Kichkina va chiroyli oddiy vazifa suzuvchi talaba uchun qutqaruvchi bo'lib xizmat qiladiganlar toifasidan. Tabiatda iyul oyining o'rtalarida, shuning uchun plyajda noutbuk bilan yashash vaqti keldi. Erta tongda nazariyaning quyosh nurlari o'ynay boshladi, tez orada amaliyotga e'tibor qaratish uchun, e'lon qilingan qulaylikka qaramay, qumda shisha parchalari mavjud. Shu munosabat bilan, men ushbu sahifaning bir nechta misollarini vijdonan ko'rib chiqishingizni tavsiya qilaman. Amaliy muammolarni hal qilish uchun siz qobiliyatga ega bo'lishingiz kerak hosilalarni toping va maqolaning materialini tushuning Funksiyaning monotonlik intervallari va ekstremallari.

Birinchidan, asosiy narsa haqida qisqacha. Haqida darsda funksiyaning uzluksizligi Men bir nuqtada uzluksizlik va intervalda uzluksizlik ta'rifini berdim. Segmentdagi funksiyaning namunali xatti-harakati ham xuddi shunday shakllantirilgan. Funktsiya intervalda uzluksiz bo'ladi, agar:

1) intervalda uzluksiz;
2) bir nuqtada uzluksiz o'ngda va nuqtada chap.

Ikkinchi xatboshida biz deb atalmish haqida gapirdik bir tomonlama davomiylik bir nuqtada ishlaydi. Uni aniqlashning bir nechta yondashuvlari mavjud, ammo men ilgari boshlagan chiziqqa sodiq qolaman:

Funktsiya nuqtada uzluksizdir o'ngda, agar u berilgan nuqtada aniqlangan boʻlsa va uning oʻng chegarasi berilgan nuqtadagi funksiya qiymatiga toʻgʻri kelsa: . U nuqtada uzluksizdir chap, agar berilgan nuqtada va uning chap tomoni chegarasida aniqlangan bo'lsa qiymatiga teng ayni paytda:

Tasavvur qiling-a, yashil nuqtalar sehrli elastik tasmali mixlardir:

Qo'llaringizga qizil chiziqni aqliy ravishda oling. Shubhasiz, biz grafikni qanchalik yuqoriga va pastga (o'q bo'ylab) cho'zmasak ham, funktsiya saqlanib qoladi. cheklangan– tepada to‘siq, pastda to‘siq va mahsulotimiz o‘tloqda o‘tlanadi. Shunday qilib, oraliqda uzluksiz funksiya unga chegaralangan. Matematik tahlil jarayonida bu oddiy ko'ringan haqiqat aytiladi va qat'iy isbotlanadi. Veyershtrasning birinchi teoremasi....Matematikada elementar gaplar zerikarli asoslanayotgani ko‘pchilikni bezovta qiladi, ammo bu muhim ma’noga ega. Aytaylik, terri o'rta asrlarining ma'lum bir aholisi osmonga ko'rinadigan chegaradan tashqarida grafik tortdi, bu kiritilgan. Teleskop ixtiro qilinishidan oldin, kosmosdagi cheklangan funktsiya umuman aniq emas edi! Haqiqatan ham, ufqda bizni nima kutayotganini qaerdan bilasiz? Axir, bir paytlar Yer tekis hisoblangan, shuning uchun bugungi kunda oddiy teleportatsiya ham isbot talab qiladi =)

Ga binoan Veyershtrasning ikkinchi teoremasi, segmentda uzluksizfunktsiya o'z darajasiga etadi aniq yuqori chegara siznikini ham; siznikichi aniq pastki chet .

Raqam ham chaqiriladi segmentdagi funksiyaning maksimal qiymati va bilan belgilanadi, soni esa segmentdagi funksiyaning minimal qiymati belgilangan.

Bizning holatda:

Eslatma : nazariy jihatdan, yozuvlar keng tarqalgan .

Qo'pol qilib aytganda, eng yuqori qiymat eng ko'p joylashgan joyda joylashgan yuqori nuqta grafik va eng kichigi eng past nuqta bo'lgan joy.

Muhim! Maqolada allaqachon ta'kidlanganidek funktsiyaning ekstremal qismi, eng katta funktsiya qiymati Va eng kichik funktsiya qiymati – BIR XIL EMAS, Nima maksimal funktsiya Va minimal funktsiya. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan misolda raqam funktsiyaning minimal qiymatidir, lekin minimal qiymat emas.

Aytgancha, segmentdan tashqarida nima sodir bo'ladi? Ha, hatto toshqin ham, ko'rib chiqilayotgan muammo kontekstida bu bizni umuman qiziqtirmaydi. Vazifa faqat ikkita raqamni topishni o'z ichiga oladi va tamom!

Bundan tashqari, yechim faqat analitikdir chizmachilik qilish shart emas!

Algoritm sirtda yotadi va yuqoridagi rasmdan o'zini ko'rsatadi:

1) Funktsiyaning qiymatlarini toping tanqidiy nuqtalar, ushbu segmentga tegishli.

Yana bir bonusni qo'lga kiriting: bu erda ekstremum uchun etarli shartni tekshirishning hojati yo'q, chunki ko'rsatilgandek, minimal yoki maksimal mavjud. hali kafolat bermaydi, minimal yoki maksimal qiymat nima. Namoyish funktsiyasi maksimal darajaga etadi va taqdirning irodasi bilan bir xil raqam segmentdagi funktsiyaning eng katta qiymati hisoblanadi. Lekin, albatta, bunday tasodif har doim ham bo'lavermaydi.

Shunday qilib, birinchi bosqichda segmentga tegishli kritik nuqtalarda funktsiya qiymatlarini ularda ekstremal bor yoki yo'qligini bezovta qilmasdan hisoblash tezroq va osonroqdir.

2) Biz segmentning oxiridagi funktsiya qiymatlarini hisoblaymiz.

3) 1 va 2-bandlarda joylashgan funktsiya qiymatlari orasida eng kichik va eng ko'pini tanlang. katta raqam, javobni yozing.

Biz qirg'oqqa o'tiramiz moviy dengiz va tovonimiz bilan sayoz suvga urib:

1-misol

Eng kattasini toping va eng kichik qiymat oraliqda ishlaydi

Yechim:
1) Keling, ushbu segmentga tegishli kritik nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini hisoblaylik:

Ikkinchi kritik nuqtadagi funksiya qiymatini hisoblaymiz:

2) Segment oxiridagi funksiya qiymatlarini hisoblaylik:

3) Ko'rsatkichlar va logarifmlar bilan "qalin" natijalar olingan, bu ularni taqqoslashni sezilarli darajada murakkablashtiradi. Shu sababli, keling, kalkulyator yoki Excel bilan qurollanamiz va taxminiy qiymatlarni hisoblaymiz, buni unutmang:

Endi hamma narsa aniq.

Javob:

Mustaqil yechim uchun kasr-ratsional misol:

6-misol

Segmentdagi funksiyaning maksimal va minimal qiymatlarini toping

$z=f(x,y)$ funksiya aniqlangan va baʼzi chegaralanganlarda uzluksiz boʻlsin yopiq maydon$D$. Ushbu mintaqada berilgan funktsiya birinchi tartibli cheklangan qisman hosilalarga ega bo'lsin (cheklangan sonli nuqtalar bundan mustasno). Berilgan yopiq mintaqada ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun oddiy algoritmning uchta bosqichi talab qilinadi.

$D$ yopiq domenida $z=f(x,y)$ funksiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini topish algoritmi.

1. $D$ domeniga tegishli $z=f(x,y)$ funksiyasining kritik nuqtalarini toping. Kritik nuqtalarda funktsiya qiymatlarini hisoblang.
2. $D$ hududi chegarasida $z=f(x,y)$ funksiyaning harakatini o‘rganing, mumkin bo‘lgan maksimal va minimal qiymatlar nuqtalarini toping. Olingan nuqtalarda funktsiya qiymatlarini hisoblang.
3. Oldingi ikkita paragrafda olingan funktsiya qiymatlaridan eng katta va eng kichikni tanlang.

Kritik nuqtalar nima? ko'rsatish\yashirish

ostida tanqidiy nuqtalar ikkala birinchi tartibli qisman hosilalari nolga teng boʻlgan nuqtalarni bildiradi (masalan, $\frac(\qisman z)(\qisman x)=0$ va $\frac(\qisman z)(\qisman y)=0 $) yoki kamida bitta qisman hosila mavjud emas.

Ko'pincha birinchi tartibli qisman hosilalar nolga teng bo'lgan nuqtalar deyiladi statsionar nuqtalar. Shunday qilib, statsionar nuqtalar kritik nuqtalarning kichik to'plamidir.

Misol № 1

Yopiq mintaqada $z=x^2+2xy-y^2-4x$ funksiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini toping, chiziqlar bilan cheklangan$x=3$, $y=0$ va $y=x+1$.

Biz yuqorida aytilganlarga amal qilamiz, lekin birinchi navbatda biz $D$ harfi bilan belgilab qo'yilgan ma'lum bir maydonni chizish bilan shug'ullanamiz. Bizga berilgan uchta tenglama bu maydonni cheklaydigan to'g'ri chiziqlar. $x=3$ toʻgʻri chiziq $(3;0)$ nuqtadan ordinatalar oʻqiga (Oy oʻqi) parallel oʻtadi. $y=0$ to'g'ri chiziq abscissa o'qi (Ox o'qi) tenglamasidir. $y=x+1$ chizig'ini qurish uchun biz ushbu chiziqni o'tkazadigan ikkita nuqtani topamiz. Siz, albatta, $ x $ o'rniga bir nechta ixtiyoriy qiymatlarni almashtirishingiz mumkin. Masalan, $x=10$ oʻrniga quyidagini olamiz: $y=x+1=10+1=11$. $y=x+1$ to‘g‘rida yotgan $(10;11)$ nuqtani topdik. Lekin $y=x+1$ toʻgʻri chiziq $x=3$ va $y=0$ toʻgʻri chiziqni kesib oʻtadigan nuqtalarni topish maʼqulroq. Nima uchun bu yaxshiroq? Chunki biz bir tosh bilan bir nechta qushlarni o'ldiramiz: $y=x+1$ to'g'ri chiziqni qurish uchun ikkita nuqta olamiz va shu bilan birga bu to'g'ri chiziq berilgan maydonni cheklovchi boshqa chiziqlarni qaysi nuqtalarda kesib o'tishini aniqlaymiz. $y=x+1$ chiziq $x=3$ chiziqni $(3;4)$ nuqtada, $y=0$ chiziq esa $(-1;0)$ nuqtada kesishadi. Yechimning borishini yordamchi tushuntirishlar bilan aralashtirib yubormaslik uchun men ushbu ikki nuqtani olish masalasini eslatmaga qo'yaman.

$(3;4)$ va $(-1;0)$ ballari qanday olindi? ko'rsatish\yashirish

$y=x+1$ va $x=3$ chiziqlarning kesishgan nuqtasidan boshlaylik. Kerakli nuqtaning koordinatalari birinchi va ikkinchi to'g'ri chiziqlarga tegishli, shuning uchun noma'lum koordinatalarni topish uchun siz tenglamalar tizimini echishingiz kerak:

$$ \left \( \begin(hizalangan) & y=x+1;\\ & x=3. \end(hizalangan) \o'ng. $$

Bunday tizimning yechimi ahamiyatsiz: $x=3$ ni birinchi tenglamaga almashtirsak: $y=3+1=4$. $(3;4)$ nuqtasi $y=x+1$ va $x=3$ chiziqlarining kerakli kesishish nuqtasidir.

Endi $y=x+1$ va $y=0$ chiziqlarning kesishish nuqtasini topamiz. Keling, yana tenglamalar tizimini tuzamiz va yechamiz:

$$ \left \( \begin(hizalangan) & y=x+1;\\ & y=0. \end(hizalangan) \o'ng. $$

Birinchi tenglamaga $y=0$ o‘rniga qo‘ysak, quyidagilarga erishamiz: $0=x+1$, $x=-1$. $(-1;0)$ nuqta $y=x+1$ va $y=0$ (x o'qi) chiziqlarining kerakli kesishish nuqtasidir.

Hamma narsa shunday ko'rinadigan rasmni yaratishga tayyor:

Eslatmaning savoli aniq ko'rinadi, chunki rasmdan hamma narsani ko'rish mumkin. Biroq, chizma dalil bo'la olmasligini yodda tutish kerak. Chizma faqat tasvirlash uchun mo'ljallangan.

Bizning hududimiz uni bog'laydigan chiziqlar tenglamalari yordamida aniqlangan. Shubhasiz, bu chiziqlar uchburchakni belgilaydi, shunday emasmi? Yoki bu butunlay aniq emasmi? Yoki bizga bir xil chiziqlar bilan chegaralangan boshqa maydon berilgandir:

Albatta, shart hududning yopiqligini aytadi, shuning uchun ko'rsatilgan rasm noto'g'ri. Ammo bunday noaniqliklarga yo'l qo'ymaslik uchun hududlarni tengsizliklar bilan belgilash yaxshiroqdir. Bizni tekislikning $y=x+1$ toʻgʻri chiziq ostida joylashgan qismi qiziqtiradimi? OK, shuning uchun $y ≤ x+1$. Bizning hududimiz $y=0$ chizig'idan yuqorida joylashgan bo'lishi kerakmi? Ajoyib, bu $y ≥ 0$ degani. Aytgancha, oxirgi ikkita tengsizlik osongina bittaga birlashtirilishi mumkin: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(hizalangan) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(hizalangan) \o'ng. $$

Bu tengsizliklar $D$ mintaqasini belgilaydi va ular hech qanday noaniqlikka yo'l qo'ymasdan, uni bir ma'noda belgilaydi. Ammo bu eslatma boshida keltirilgan savolga qanday yordam beradi? Bu ham yordam beradi :) $M_1(1;1)$ nuqtasi $D$ maydoniga tegishli ekanligini tekshirishimiz kerak. $x=1$ va $y=1$ larni ushbu mintaqani aniqlaydigan tengsizliklar tizimiga almashtiramiz. Agar ikkala tengsizlik ham qondirilsa, nuqta mintaqa ichida joylashgan. Agar tengsizliklardan kamida bittasi qondirilmasa, nuqta mintaqaga tegishli emas. Shunday qilib:

$$ \left \( \begin(hizalangan) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(hizalangan) \o'ng. \;\; \left \( \begin(hizalangan) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right $$.

Ikkala tengsizlik ham o'rinli. $M_1(1;1)$ nuqtasi $D$ hududiga tegishli.

Endi mintaqa chegarasida funksiyaning harakatini o'rganish navbati, ya'ni. ga boramiz. $y=0$ to'g'ri chiziqdan boshlaylik.

$y=0$ toʻgʻri chiziq (abtsissa oʻqi) $-1 ≤ x ≤ 3$ sharti ostida $D$ mintaqasini cheklaydi. Berilgan $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ funksiyaga $y=0$ ni almashtiramiz. Biz $f_1(x)$ almashtirish natijasida olingan bitta $x$ oʻzgaruvchining funksiyasini belgilaymiz:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Endi $f_1(x)$ funksiyasi uchun $-1 ≤ x ≤ 3$ oraliqda eng katta va eng kichik qiymatlarni topishimiz kerak. Bu funksiyaning hosilasini topib, uni nolga tenglashtiramiz:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

$x=2$ qiymati $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentiga tegishli, shuning uchun biz nuqtalar ro'yxatiga $M_2(2;0)$ ni ham qo'shamiz. Bundan tashqari, $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentining oxirida $z$ funksiyasining qiymatlarini hisoblaylik, ya'ni. $M_3(-1;0)$ va $M_4(3;0)$ nuqtalarida. Aytgancha, agar $M_2$ nuqtasi ko'rib chiqilayotgan segmentga tegishli bo'lmasa, unda, albatta, undagi $z$ funksiyasining qiymatini hisoblashning hojati qolmaydi.

Shunday qilib, $M_2$, $M_3$, $M_4$ nuqtalarida $z$ funksiyasining qiymatlarini hisoblaymiz. Siz, albatta, ushbu nuqtalarning koordinatalarini asl $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ifodasiga almashtirishingiz mumkin. Masalan, $M_2$ nuqtasi uchun biz quyidagilarni olamiz:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Biroq, hisob-kitoblarni biroz soddalashtirish mumkin. Buni amalga oshirish uchun $M_3M_4$ segmentida bizda $z(x,y)=f_1(x)$ borligini yodda tutish kerak. Men buni batafsil yozaman:

\begin(hizalangan) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end (tekislangan)

Albatta, odatda bunday batafsil yozuvlarga ehtiyoj qolmaydi va kelajakda biz barcha hisob-kitoblarni qisqacha yozamiz:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Endi $x=3$ to'g'ri chiziqqa murojaat qilaylik. Bu toʻgʻri chiziq $0 ≤ y ≤ 4$ sharti ostida $D$ hududini cheklaydi. Berilgan $z$ funksiyasiga $x=3$ ni almashtiramiz. Ushbu almashtirish natijasida biz $f_2(y)$ funksiyasini olamiz:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

$f_2(y)$ funksiyasi uchun $0 ≤ y ≤ 4$ oraliqda eng katta va eng kichik qiymatlarni topishimiz kerak. Bu funksiyaning hosilasini topib, uni nolga tenglashtiramiz:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

$y=3$ qiymati $0 ≤ y ≤ 4$ segmentiga tegishli, shuning uchun biz avval topilgan nuqtalarga $M_5(3;3)$ qo'shamiz. Bundan tashqari, $0 ≤ y ≤ 4$ segmentining uchlaridagi nuqtalarda $z$ funksiyaning qiymatini hisoblash kerak, ya'ni. $M_4(3;0)$ va $M_6(3;4)$ nuqtalarida. $M_4(3;0)$ nuqtasida biz allaqachon $z$ qiymatini hisoblab chiqdik. $M_5$ va $M_6$ nuqtalarida $z$ funksiyasining qiymatini hisoblaymiz. Eslatib o'taman, $M_4M_6$ segmentida bizda $z(x,y)=f_2(y)$ bor, shuning uchun:

\begin(hizalangan) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end (tekislangan)

Va nihoyat, mintaqaning oxirgi chegarasini ko'rib chiqing $ D $, ya'ni. $y=x+1$ toʻgʻri chiziq. Bu toʻgʻri chiziq $D$ hududini $-1 ≤ x ≤ 3$ sharti bilan cheklaydi. $y=x+1$ ni $z$ funksiyasiga almashtirsak, biz quyidagilarga ega bo‘lamiz:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Yana bir bor bizda bitta o'zgaruvchi $x$ funksiyasi bor. Va yana $-1 ≤ x ≤ 3$ oralig'ida ushbu funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topishimiz kerak. $f_(3)(x)$ funksiyaning hosilasini topamiz va uni nolga tenglashtiramiz:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

$x=1$ qiymati $-1 ≤ x ≤ 3$ intervaliga tegishli. Agar $x=1$ boʻlsa, $y=x+1=2$. Nuqtalar qatoriga $M_7(1;2)$ qo‘shamiz va bu nuqtada $z$ funksiyaning qiymati qanday ekanligini aniqlaymiz. $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentining uchlaridagi nuqtalar, ya'ni. $M_3(-1;0)$ va $M_6(3;4)$ nuqtalari ilgari ko'rib chiqilgan, biz ularda funktsiyaning qiymatini allaqachon topdik.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Yechimning ikkinchi bosqichi tugallandi. Biz ettita qiymat oldik:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

ga murojaat qilaylik. Uchinchi xatboshida olingan raqamlardan eng katta va eng kichik qiymatlarni tanlab, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

$$z_(min)=-4; \; z_(maks)=6.$$

Muammo hal qilindi, javobni yozish qoladi.

Javob: $z_(min)=-4; \; z_(maks)=6$.

Misol № 2

$x^2+y^2 ≤ 25$ hududida $z=x^2+y^2-12x+16y$ funksiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.

Birinchidan, chizma tuzamiz. $x^2+y^2=25$ tenglamasi (bu maʼlum maydonning chegara chizigʻi) markazi koordinata boshida (yaʼni $(0;0)$ nuqtada) va radiusi boʻlgan doirani belgilaydi. 5. $x^2 +y^2 ≤ $25 tengsizligi aytilgan doira ichidagi va ustidagi barcha nuqtalarni qanoatlantiradi.

ga muvofiq harakat qilamiz. Keling, qisman hosilalarni topamiz va kritik nuqtalarni aniqlaymiz.

$$ \frac(\qisman z)(\qisman x)=2x-12; \frac(\qisman z)(\qisman y)=2y+16. $$

Topilgan qisman hosilalari mavjud bo'lmagan nuqtalar yo'q. Keling, qaysi nuqtalarda ikkala qisman hosila bir vaqtning o'zida nolga teng ekanligini aniqlaylik, ya'ni. statsionar nuqtalarni topamiz.

$$ \left \( \begin(hizalangan) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(hizalangan) \o'ng. \;\; \left \( \begin(hizalangan) & x =6;\\ & y=-8 \end(hizalangan) \o'ng $$.

Biz $(6;-8)$ statsionar nuqtani oldik. Biroq, topilgan nuqta $D$ hududiga tegishli emas. Buni hatto chizishga murojaat qilmasdan ko'rsatish oson. Keling, $D$ mintaqamizni belgilaydigan $x^2+y^2 ≤ 25$ tengsizligi oʻrinli yoki yoʻqligini tekshirib koʻramiz. Agar $x=6$, $y=-8$ boʻlsa, u holda $x^2+y^2=36+64=100$, yaʼni. $x^2+y^2 ≤ 25$ tengsizligi bajarilmaydi. Xulosa: $(6;-8)$ nuqta $D$ maydoniga tegishli emas.

Shunday qilib, $D$ mintaqasida hech qanday muhim nuqta yo'q. Keling, davom etaylik ... Biz funktsiyaning ma'lum bir hudud chegarasida harakatini o'rganishimiz kerak, ya'ni. $x^2+y^2=25$ doira boʻyicha. Biz, albatta, $y$ ni $x$ shaklida ifodalashimiz va keyin olingan ifodani $z$ funktsiyamizga almashtirishimiz mumkin. Doira tenglamasidan biz quyidagilarni olamiz: $y=\sqrt(25-x^2)$ yoki $y=-\sqrt(25-x^2)$. Masalan, $y=\sqrt(25-x^2)$ ni berilgan funktsiyaga almashtirsak, biz quyidagilarga ega bo‘lamiz:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x) ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Keyingi yechim 1-sonli oldingi misoldagi mintaqa chegarasidagi funksiyaning harakatini o'rganish bilan butunlay bir xil bo'ladi. Biroq, menimcha, bu vaziyatda Lagrange usulini qo'llash yanada oqilona. Bizni faqat ushbu usulning birinchi qismi qiziqtiradi. Lagrange usulining birinchi qismini qo'llaganimizdan so'ng, biz $z$ funktsiyasini minimal va maksimal qiymatlar uchun tekshiradigan nuqtalarni olamiz.

Biz Lagrange funktsiyasini tuzamiz:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2) -25). $$

Biz Lagrange funktsiyasining qisman hosilalarini topamiz va tegishli tenglamalar tizimini tuzamiz:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \chap \( \boshlash (hizalangan) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0; \left \( \begin(hizalangan) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end(hizalangan)\o'ng.$ $

Ushbu tizimni hal qilish uchun darhol $\lambda\neq -1$ ekanligini ta'kidlaymiz. Nima uchun $\lambda\neq -1$? Birinchi tenglamaga $\lambda=-1$ ni almashtirishga harakat qilaylik:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Natijada $0=6$ qarama-qarshiligi $\lambda=-1$ qiymati qabul qilinishi mumkin emasligini ko'rsatadi. Chiqish: $\lambda\neq -1$. $x$ va $y$ ni $\lambda$ shaklida ifodalaymiz:

\begin(hizalangan) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end (tekislangan)

O'ylaymanki, nima uchun biz $\lambda\neq -1$ shartini aniq belgilab qo'yganimiz shu erda aniq bo'ladi. Bu $1+\lambda$ ifodasini maxrajlarga aralashmasdan moslashtirish uchun qilingan. Ya'ni, maxraj $1+\lambda\neq 0$ ekanligiga ishonch hosil qilish uchun.

Hosil boʻlgan $x$ va $y$ ifodalarini sistemaning uchinchi tenglamasiga almashtiramiz, yaʼni. $x^2+y^2=25$ da:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \o'ng)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \o'ng)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Olingan tenglikdan kelib chiqadiki, $1+\lambda=2$ yoki $1+\lambda=-2$. Demak, bizda $\lambda$ parametrining ikkita qiymati bor, xususan: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Shunga ko'ra, biz ikki juft qiymatni olamiz $x$ va $y$:

\begin(hizalangan) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end (tekislangan)

Shunday qilib, biz mumkin bo'lgan shartli ekstremumning ikkita nuqtasini oldik, ya'ni. $M_1(3;-4)$ va $M_2(-3;4)$. $M_1$ va $M_2$ nuqtalarida $z$ funksiyasining qiymatlarini topamiz:

\begin(hizalangan) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end (tekislangan)

Biz birinchi va ikkinchi bosqichlarda olingan qiymatlardan eng katta va eng kichik qiymatlarni tanlashimiz kerak. Lekin bu holda tanlov kichik :) Bizda:

$$ z_(min)=-75; \; z_(maks)=125. $$

Javob: $z_(min)=-75; \; z_(maks)=$125.

Amaliy nuqtai nazardan, eng katta qiziqish funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun hosiladan foydalanishdir. Bu nima bilan bog'liq? Foydani maksimal darajada oshirish, xarajatlarni minimallashtirish, uskunaning optimal yukini aniqlash... Boshqacha qilib aytganda, hayotning ko'p sohalarida biz ba'zi parametrlarni optimallashtirish muammolarini hal qilishimiz kerak. Va bu funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish vazifalari.

Shuni ta'kidlash kerakki, funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari odatda funktsiyaning butun sohasi yoki ta'rif sohasining bir qismi bo'lgan ma'lum X oralig'ida qidiriladi. X intervalining o'zi segment, ochiq interval bo'lishi mumkin , cheksiz interval.

Ushbu maqolada biz eng katta va eng kichik qiymatlarni aniq topish haqida gaplashamiz berilgan funksiya bitta o'zgaruvchi y=f(x) .

Sahifani navigatsiya qilish.

Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymati - ta'riflar, rasmlar.

Keling, asosiy ta'riflarni qisqacha ko'rib chiqaylik.

Funktsiyaning eng katta qiymati bu har kim uchun tengsizlik haqiqatdir.

Funktsiyaning eng kichik qiymati X oraliqdagi y=f(x) bunday qiymat deyiladi bu har kim uchun tengsizlik haqiqatdir.

Ushbu ta'riflar intuitivdir: funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymati abscissada ko'rib chiqilayotgan intervalda qabul qilingan eng katta (eng kichik) qiymatdir.

Statsionar nuqtalar- bu funktsiyaning hosilasi nolga aylanadigan argumentning qiymatlari.

Eng katta va eng kichik qiymatlarni topishda bizga statsionar nuqtalar nima uchun kerak? Bu savolga Ferma teoremasi javob beradi. Bu teoremadan kelib chiqadiki, agar differensiallanuvchi funksiya qaysidir nuqtada ekstremumga (lokal minimum yoki mahalliy maksimal) ega bo‘lsa, u holda bu nuqta statsionar hisoblanadi. Shunday qilib, funktsiya ko'pincha X oralig'ida o'zining eng katta (eng kichik) qiymatini ushbu intervaldan statsionar nuqtalardan birida oladi.

Bundan tashqari, funktsiya ko'pincha ushbu funktsiyaning birinchi hosilasi mavjud bo'lmagan va funktsiyaning o'zi aniqlangan nuqtalarda o'zining eng katta va minimal qiymatlarini olishi mumkin.

Keling, ushbu mavzu bo'yicha eng keng tarqalgan savollardan biriga darhol javob beraylik: "Funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymatini aniqlash har doim mumkinmi"? Yo'q har doim emas. Ba'zan X oralig'ining chegaralari funksiyaning aniqlanish sohasi chegaralari bilan mos keladi yoki X oralig'i cheksizdir. Cheksizlikda va aniqlanish sohasi chegaralarida ba'zi funktsiyalar cheksiz katta va cheksiz kichik qiymatlarni olishi mumkin. Bunday hollarda funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati haqida hech narsa deyish mumkin emas.

Aniqlik uchun biz grafik tasvirni beramiz. Rasmlarga qarang va ko'p narsa aniq bo'ladi.

Segmentda

Birinchi rasmda funksiya segment ichida joylashgan statsionar nuqtalarda eng katta (max y) va eng kichik (min y) qiymatlarni oladi [-6;6].

Ikkinchi rasmda tasvirlangan ishni ko'rib chiqing. Keling, segmentni ga o'zgartiramiz. Ushbu misolda funktsiyaning eng kichik qiymati statsionar nuqtada, eng kattasi esa abscissa mos keladigan nuqtada olinadi. o'ng chegara interval.

3-rasmda [-3;2] segmentning chegara nuqtalari funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatiga mos keladigan nuqtalarning abssissalaridir.

Ochiq intervalda

To'rtinchi rasmda funksiya ochiq oraliq (-6;6) ichida joylashgan statsionar nuqtalarda eng katta (max y) va eng kichik (min y) qiymatlarni oladi.

Intervalda eng katta qiymat haqida xulosa chiqarish mumkin emas.

Cheksizlikda

Ettinchi rasmda keltirilgan misolda funksiya eng katta qiymatni (max y) abscissa x=1 bo'lgan statsionar nuqtada oladi va eng kichik qiymatga (min y) intervalning o'ng chegarasida erishiladi. Minus cheksizlikda funktsiya qiymatlari asimptotik tarzda y=3 ga yaqinlashadi.

Intervalda funktsiya eng kichik va eng katta qiymatga erishmaydi. X = 2 o'ngdan yaqinlashganda, funktsiya qiymatlari minus cheksizlikka intiladi (x=2 to'g'ri chiziq vertikal asimptota) va abscissa plyus cheksizlikka moyil bo'lganligi sababli, funktsiya qiymatlari asimptotik tarzda y = 3 ga yaqinlashadi. Ushbu misolning grafik tasviri 8-rasmda ko'rsatilgan.

Segmentdagi uzluksiz funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish algoritmi.

Keling, segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topishga imkon beruvchi algoritmni yozaylik.

1. Biz funktsiyani aniqlash sohasini topamiz va uning butun segmentni o'z ichiga olganligini tekshiramiz.
2. Biz birinchi hosila mavjud bo'lmagan va segmentda joylashgan barcha nuqtalarni topamiz (odatda bunday nuqtalar modul belgisi ostida va argumentli funktsiyalarda topiladi. quvvat funktsiyalari kasr-ratsional ko'rsatkich bilan). Agar bunday nuqtalar bo'lmasa, keyingi nuqtaga o'ting.
3. Biz segmentga tushadigan barcha statsionar nuqtalarni aniqlaymiz. Buning uchun biz uni nolga tenglashtiramiz, hosil bo'lgan tenglamani echamiz va mos ildizlarni tanlaymiz. Agar statsionar nuqtalar bo'lmasa yoki ularning hech biri segmentga tushmasa, keyingi nuqtaga o'ting.
4. Funktsiyaning qiymatlarini tanlangan statsionar nuqtalarda (agar mavjud bo'lsa), birinchi hosila mavjud bo'lmagan nuqtalarda (agar mavjud bo'lsa), shuningdek x=a va x=b nuqtalarida hisoblaymiz.
5. Funktsiyaning olingan qiymatlaridan biz eng katta va eng kichikni tanlaymiz - ular mos ravishda funktsiyaning kerakli eng katta va eng kichik qiymatlari bo'ladi.

Segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun misolni yechish algoritmini tahlil qilaylik.

Misol.

Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatini toping

• segment bo'yicha;
• segmentida [-4;-1] .

Yechim.

Funktsiyani aniqlash sohasi noldan tashqari haqiqiy sonlarning butun to'plamidir, ya'ni. Ikkala segment ham ta'rif sohasiga kiradi.

Funktsiyaning hosilasini toping:

Shubhasiz, funktsiyaning hosilasi segmentlarning barcha nuqtalarida va [-4;-1] mavjud.

Tenglamadan statsionar nuqtalarni aniqlaymiz. Yagona haqiqiy ildiz x=2. Bu statsionar nuqta birinchi segmentga tushadi.

Birinchi holda, biz segmentning uchlari va statsionar nuqtadagi funktsiya qiymatlarini hisoblaymiz, ya'ni x=1, x=2 va x=4 uchun:

Shuning uchun funksiyaning eng katta qiymati x=1 va eng kichik qiymatda erishiladi – x=2 da.

Ikkinchi holda, biz funktsiya qiymatlarini faqat segmentning uchlarida hisoblaymiz [-4;-1] (chunki u bitta statsionar nuqtani o'z ichiga olmaydi):

Keling, funktsiyani grafik yordamida qanday tekshirishni ko'rib chiqaylik. Ma'lum bo'lishicha, grafikaga qarab, bizni qiziqtirgan hamma narsani bilib olishimiz mumkin, xususan:

• funktsiya sohasi
• funktsiya diapazoni
• funktsiya nollari
• ortish va pasayish intervallari
• maksimal va minimal ball
• segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati.

Keling, terminologiyaga aniqlik kiritaylik:

Abscissa nuqtaning gorizontal koordinatasi hisoblanadi.
Ordinatsiya qilish- vertikal koordinata.
Abscissa o'qi- ko'pincha eksa deb ataladigan gorizontal o'q.
Y o'qi- vertikal o'q yoki eksa.

Dalil- funktsiya qiymatlari bog'liq bo'lgan mustaqil o'zgaruvchi. Ko'pincha ko'rsatilgan.
Boshqacha qilib aytganda, biz ni tanlaymiz, formulaga funktsiyalarni almashtiramiz va ni olamiz.

Domen funktsiyalar - bu funktsiya mavjud bo'lgan (va faqat o'sha) argument qiymatlari to'plami.
Belgilangan: yoki.

Bizning rasmimizda funksiyani aniqlash sohasi segmentdir. Aynan shu segmentda funksiya grafigi chiziladi. Bu funksiya mavjud bo'lgan yagona joy.

Funktsiya diapazoni o'zgaruvchi qabul qiladigan qiymatlar to'plamidir. Bizning rasmimizda bu segment - eng pastdan eng yuqori qiymatgacha.

Funktsiya nollari- funksiyaning qiymati nolga teng bo'lgan nuqtalar, ya'ni. Bizning rasmimizda bu nuqtalar va .

Funktsiya qiymatlari ijobiy qayerda. Bizning rasmimizda bu intervallar va .
Funktsiya qiymatlari salbiy qayerda. Biz uchun bu dan gacha bo'lgan interval (yoki interval).

Eng muhim tushunchalar - oshirish va kamaytirish funktsiyasi ba'zi to'plamda. To'plam sifatida siz segmentni, intervalni, intervallar birligini yoki butun son chizig'ini olishingiz mumkin.

Funktsiya ortadi

Boshqacha qilib aytganda, qancha ko'p , shuncha ko'p, ya'ni grafik o'ngga va yuqoriga boradi.

Funktsiya kamayadi to'plamda agar har qanday bo'lsa va to'plamga tegishli bo'lsa, tengsizlik tengsizlikni bildiradi.

Kamaytiruvchi funktsiya uchun yuqoriroq qiymat kichikroq qiymatga mos keladi. Grafik o'ngga va pastga tushadi.

Bizning rasmimizda funktsiya intervalda ortib boradi va intervallarda kamayadi.

Keling, nima ekanligini aniqlaylik funktsiyaning maksimal va minimal nuqtalari.

Maksimal nuqta- bu ta'rif sohasining ichki nuqtasi bo'lib, undagi funktsiyaning qiymati unga etarlicha yaqin bo'lgan barcha nuqtalardan kattaroqdir.
Boshqacha qilib aytganda, maksimal nuqta - bu funktsiyaning qiymati bo'lgan nuqta Ko'proq qo'shnilarga qaraganda. Bu grafikdagi mahalliy "tepalik".

Bizning rasmimizda maksimal nuqta bor.

Minimal nuqta- ta'rif sohasining ichki nuqtasi, undagi funksiya qiymati unga etarlicha yaqin bo'lgan barcha nuqtalardan kichik bo'ladi.
Ya'ni, minimal nuqta shunday bo'ladiki, undagi funktsiyaning qiymati qo'shnilariga qaraganda kamroq. Bu grafikdagi mahalliy "teshik".

Bizning rasmimizda minimal nuqta mavjud.

Nuqta - bu chegara. Bu ta'rif sohasining ichki nuqtasi emas va shuning uchun maksimal nuqta ta'rifiga mos kelmaydi. Axir, uning chap tomonida qo'shnilari yo'q. Xuddi shu tarzda, bizning jadvalimizda minimal nuqta bo'lishi mumkin emas.

Maksimal va minimal nuqtalar birgalikda deyiladi funktsiyaning ekstremal nuqtalari. Bizning holatlarimizda bu va.

Agar topish kerak bo'lsa, nima qilish kerak, masalan, minimal funktsiya segmentida? Bu holda javob: . Chunki minimal funktsiya uning minimal nuqtadagi qiymati.

Xuddi shunday, bizning funktsiyamizning maksimal qiymati . Bu nuqtaga erishiladi.

Funksiyaning ekstremallari va ga teng, deyishimiz mumkin.

Ba'zida muammolar topishni talab qiladi funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari ma'lum bir segmentda. Ular ekstremal holatlarga to'g'ri kelishi shart emas.

Bizning holatda eng kichik funktsiya qiymati segmentdagi funktsiyaning minimaliga teng va mos keladi. Ammo uning ushbu segmentdagi eng katta qiymati ga teng. U segmentning chap uchida joylashgan.

Har holda, eng katta va eng kichik qiymatlar doimiy funktsiya segmentda ekstremal nuqtalarda yoki segmentning oxirida erishiladi.

Funksiyaning ekstremumi nima va ekstremum uchun zarur shart nima?

Funksiyaning ekstremumlari funksiyaning maksimal va minimumi hisoblanadi.

Old shart Funksiyaning maksimal va minimumi (ekstremum) quyidagicha: agar f(x) funksiya x = a nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa, bu nuqtada hosila nolga teng, yoki cheksiz yoki mavjud emas.

Bu shart zarur, ammo etarli emas. X = a nuqtadagi hosila nolga, cheksizlikka o'tishi mumkin yoki bu nuqtada ekstremumga ega bo'lmagan holda mavjud bo'lmasligi mumkin.

Funksiyaning ekstremum (maksimal yoki minimal) uchun yetarli shart nima?

Birinchi shart:

Agar x = a nuqtaga yetarlicha yaqinlikda f?(x) hosilasi a ning chap tomonida musbat va a ning o‘ng tomonida manfiy bo‘lsa, x = a nuqtada f(x) funksiyaga ega bo‘ladi. maksimal

Agar x = a nuqtaga yetarlicha yaqinlikda f?(x) hosilasi a ning chap tomonida manfiy va a ning o‘ng tomonida musbat bo‘lsa, u holda x = a nuqtada f(x) funksiyaga ega bo‘ladi. eng kam bu erda f(x) funksiya uzluksiz bo'lishi sharti bilan.

Buning o'rniga, siz funktsiyaning ekstremumi uchun ikkinchi etarli shartdan foydalanishingiz mumkin:

x = a nuqtada birinchi hosila f?(x) yo'qolsin; agar ikkinchi hosila f??(a) manfiy bo’lsa, f(x) funksiya x = a nuqtada maksimalga, musbat bo’lsa, minimalga ega bo’ladi.

Funksiyaning kritik nuqtasi nima va uni qanday topish mumkin?

Bu funksiya ekstremumga (ya'ni maksimal yoki minimal) ega bo'lgan funktsiya argumentining qiymati. Uni topish uchun sizga kerak hosilasini toping f?(x) funksiyasi va uni nolga tenglashtirib, tenglamani yeching f?(x) = 0. Ushbu tenglamaning ildizlari, shuningdek, ushbu funktsiyaning hosilasi mavjud bo'lmagan nuqtalar kritik nuqtalar, ya'ni ekstremum bo'lishi mumkin bo'lgan argumentning qiymatlari. Ularga qarash orqali osongina aniqlash mumkin hosilaviy grafik: bizni funktsiya grafigi abscissa o'qi (Ox o'qi) bilan kesishadigan argumentning qiymatlari va grafik uzilishlarga duchor bo'lgan qiymatlari bilan qiziqamiz.

Masalan, topamiz parabolaning ekstremumi.

Funktsiya y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funktsiyaning hosilasi: y?(x) = 6x + 2

Tenglamani yeching: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Bunda kritik nuqta x0=-1/3 ga teng. Funktsiya aynan shu argument qiymatiga ega ekstremum. Unga toping, “x” o‘rniga topilgan raqamni funksiyaning o‘rniga qo‘ying:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Funktsiyaning maksimal va minimumini qanday aniqlash mumkin, ya'ni. uning eng katta va eng kichik qiymatlari?

Agar x0 kritik nuqtadan o'tayotganda hosilaning belgisi "ortiqcha" dan "minus" ga o'zgarmasa, x0 bo'ladi. maksimal nuqta; agar hosilaning belgisi minusdan plyusga o'zgarmasa, x0 bo'ladi minimal nuqta; agar belgi o'zgarmasa, u holda x0 nuqtada na maksimal, na minimal bo'ladi.

Ko'rib chiqilgan misol uchun:

ning chap tomonidagi ixtiyoriy argument qiymatini oling tanqidiy nuqta: x = -1

X = -1 da hosilaning qiymati y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 bo'ladi (ya'ni belgisi "minus").

Endi biz kritik nuqtaning o'ng tomonidagi argumentning ixtiyoriy qiymatini olamiz: x = 1

X = 1 bo'lsa, lotinning qiymati y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 bo'ladi (ya'ni, belgi "ortiqcha").

Ko'rib turganingizdek, lotin kritik nuqtadan o'tganda belgisini minusdan plyusga o'zgartirdi. Bu shuni anglatadiki, x0 kritik qiymatida biz minimal nuqtaga egamiz.

Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati intervalda(segmentda) xuddi shu protsedura yordamida topiladi, faqat barcha muhim nuqtalar belgilangan oraliqda yotmasligini hisobga olgan holda. Intervaldan tashqarida bo'lgan tanqidiy fikrlarni ko'rib chiqishdan chiqarib tashlash kerak. Agar intervalda faqat bitta kritik nuqta bo'lsa, u maksimal yoki minimalga ega bo'ladi. Bunday holda, funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini aniqlash uchun biz oraliq oxiridagi funktsiya qiymatlarini ham hisobga olamiz.

Masalan, funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topamiz

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

intervallarda:

Demak, funktsiyaning hosilasi

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

3cos(x) - 0,5 = 0 tenglamani yechamiz

cos (x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2p.

Biz oraliqda kritik nuqtalarni topamiz [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2p*2 = -11,163 (intervalga kiritilmagan)

x = -arccos(0,16667) - 2p*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2p*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2p*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2p*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2p*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2p*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2p*2 = 11,163 (intervalga kiritilmagan)

Argumentning kritik qiymatlarida funktsiya qiymatlarini topamiz:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Ko'rinib turibdiki, intervalda [-9; 9] funksiya x = -4.88 da eng katta qiymatga ega:

x = -4,88, y = 5,398,

va eng kichigi - x = 4,88 da:

x = 4,88, y = -5,398.

[-6 oraliqda; -3] bizda faqat bitta muhim nuqta bor: x = -4,88. Funktsiyaning x = -4,88 da qiymati y = 5,398 ga teng.

Funktsiyaning oraliq oxiridagi qiymatini toping:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

[-6 oraliqda; -3] funksiyaning eng katta qiymatiga egamiz

y = 5,398 da x = -4,88

eng kichik qiymat -

x = -3 da y = 1,077

Funksiya grafigining burilish nuqtalari qanday topiladi va qavariq va botiq tomonlari aniqlanadi?

y = f(x) chizig'ining barcha burilish nuqtalarini topish uchun siz ikkinchi hosilani topishingiz, uni nolga tenglashtirishingiz (tenglamani yechish) va ikkinchi hosila nolga teng bo'lgan x ning barcha qiymatlarini sinab ko'rishingiz kerak, cheksiz yoki mavjud emas. Agar ushbu qiymatlardan biri orqali o'tayotganda ikkinchi hosila ishorani o'zgartirsa, u holda funktsiya grafigida bu nuqtada burilish mavjud. Agar u o'zgarmasa, demak, burish yo'q.

f tenglamaning ildizlari? (x) = 0, shuningdek, funktsiyaning mumkin bo'lgan uzilish nuqtalari va ikkinchi hosila, funktsiyani aniqlash sohasini bir qator intervallarga bo'linadi. Ularning har bir intervalidagi qavariqlik ikkinchi hosilaning belgisi bilan aniqlanadi. Agar o'rganilayotgan oraliqdagi nuqtadagi ikkinchi hosila musbat bo'lsa, u holda y = f(x) chiziq yuqoriga botiq bo'ladi, manfiy bo'lsa, pastga.

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremalini qanday topish mumkin?

F(x,y) funksiyaning spetsifikatsiya sohasida differensiallanuvchi ekstremalini topish uchun quyidagilar kerak:

1) kritik nuqtalarni toping va buning uchun - tenglamalar tizimini eching

fx? (x, y) = 0, f? (x,y) = 0

2) har bir kritik nuqta uchun P0(a;b) farq belgisi o'zgarmaganligini tekshirib ko'ring.

P0 ga etarlicha yaqin bo'lgan barcha nuqtalar (x;y) uchun. Agar farq ijobiy bo'lib qolsa, u holda P0 nuqtasida bizda minimal, salbiy bo'lsa, bizda maksimal bo'ladi. Agar farq o'z belgisini saqlab qolmasa, u holda P0 nuqtasida ekstremum yo'q.

Funktsiyaning ekstremallari uchun ham xuddi shunday aniqlanadi Ko'proq argumentlar.

"Shrek Forever After" multfilmi nima haqida?
Multfilm: “Shrek Forever After” Chiqarilgan yili: 2010-yil Premyera (Rossiya Federatsiyasi): 2010-yil 20-may Davlat: AQSh Rejissor: Maykl Pitchel Ssenariy: Josh Klausner, Darren Lemke Janr: oilaviy komediya, fantastika, sarguzasht Rasmiy veb-sayt: www.shrekforeverafter .com Xachir syujeti

Hayz paytida qon topshirish mumkinmi?
Shifokorlar hayz paytida qon berishni tavsiya etmaydi, chunki... qon yo'qotish, garchi sezilarli darajada bo'lmasa ham, gemoglobin darajasining pasayishi va ayolning farovonligining yomonlashishi bilan to'la. Qon topshirish jarayonida sog'lig'ingiz bilan bog'liq vaziyat qon ketishigacha yomonlashishi mumkin. Shuning uchun ayollar hayz paytida qon topshirishdan voz kechishlari kerak. Va allaqachon tugaganidan keyin 5-kuni

Zaminlarni yuvishda qancha kkal/soat sarflanadi?
Turlari jismoniy faoliyat Energiya iste'moli, kkal/soat Ovqat pishirish 80 Kiyinish 30 Haydash 50 Chang tozalash 80 Ovqatlanish 30 Bog'dorchilik 135 Dazmollash 45 Ko'rpa-to'shak yig'ish 130 Xarid qilish 80 O'tirib ishlash 75 Yog'ochni kesish 300 Pol yuvish 130 Jinsiy aloqa 100-150 Pastki ovqat

"Qirib" so'zi nimani anglatadi?
Firibgar - mayda o'g'irlik bilan shug'ullanadigan o'g'ri yoki firibgarlikka moyil ayyor odam. Ushbu ta'rifning tasdig'i Krilovning etimologik lug'atida mavjud bo'lib, unga ko'ra "firibgar" so'zi &la fe'liga tegishli "zhal" (o'g'ri, firibgar) so'zidan tuzilgan.

Aka-uka Strugatskiylarning oxirgi nashr etilgan hikoyasi qanday nomlanadi?
Arkadiy va Boris Strugatskiyning "Tsiklotatsiya masalasi to'g'risida" qisqa hikoyasi birinchi marta 2008 yil aprel oyida "Peshin XXI asr" fantastika antologiyasida nashr etilgan (Boris tahririyati ostida nashr etilgan "Dunyo bo'ylab" jurnaliga qo'shimcha. Strugatskiy). Nashr Boris Strugatskiyning 75 yilligiga to'g'ri keldi.

Work And Travel USA dasturi ishtirokchilarining hikoyalarini qayerda o'qishingiz mumkin?
Work and Travel USA (AQShda ish va sayohat) mashhur talabalar almashinuv dasturi boʻlib, unga asosan yozni Amerikada, qonuniy ravishda xizmat koʻrsatish sohasida ishlash va sayohat qilish mumkin. Work & Travel dasturi tarixi Cultural Exchange Pro hukumatlararo almashinuv dasturiga kiritilgan

Quloq. Pazandachilik va tarixiy ma'lumotlar Ikki yarim asrdan ko'proq vaqt davomida "uxa" so'zi sho'rvalar yoki yangi baliq qaynatmalarini belgilash uchun ishlatilgan. Lekin bu so‘z kengroq talqin qilingan paytlar ham bo‘lgan. Bu sho'rvani anglatardi - nafaqat baliq, balki go'sht, no'xat va hatto shirin ham. Shunday qilib, tarixiy hujjatda - "

Superjob.ru ma'lumot va yollash portallari - Superjob.ru ishga yollash portali 2000 yildan beri Rossiyaning onlayn ishga qabul qilish bozorida faoliyat yuritib keladi va ish va kadrlar qidirishni taklif qiluvchi resurslar orasida yetakchi hisoblanadi. Har kuni sayt ma'lumotlar bazasiga 80 000 dan ortiq mutaxassislarning rezyumelari va 10 000 dan ortiq bo'sh ish o'rinlari kiritiladi.

Motivatsiya nima
Motivatsiya ta’rifi Motivatsiya (lotinchadan moveo – harakat qilaman) – harakatga undash; inson xulq-atvorini boshqaradigan, uning yo'nalishini, tashkiliyligini, faolligi va barqarorligini belgilovchi dinamik fiziologik va psixologik jarayon; insonning mehnat orqali o'z ehtiyojlarini qondirish qobiliyati. Motivac

Bob Dylan kim
Bob Dilan (inglizcha Bob Dylan, asl ismi - Robert Allen Zimmerman English. Robert Allen Zimmerman; 1941-yil 24-mayda tugʻilgan) amerikalik qoʻshiq yozuvchisi, Rolling Stone jurnali soʻroviga koʻra, ikkinchi (

Yopiq o'simliklarni qanday tashish kerak
Yopiq o'simliklarni sotib olgandan so'ng, bog'bon sotib olingan ekzotik gullarni zararsiz etkazib berish vazifasiga duch keladi. Yopiq o'simliklarni qadoqlash va tashishning asosiy qoidalarini bilish bu muammoni hal qilishga yordam beradi. O'simliklarni tashish yoki tashish uchun qadoqlangan bo'lishi kerak. O'simliklar qanchalik qisqa masofaga tashilgan bo'lishidan qat'iy nazar, ular zararlanishi, qurib qolishi va qishda & m