مهمة:
توجد عينة ذات صلة مكونة من 26 زوجًا من القيم (x k,y k):
| ك | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| س ك | 25.20000 | 26.40000 | 26.00000 | 25.80000 | 24.90000 | 25.70000 | 25.70000 | 25.70000 | 26.10000 | 25.80000 |
| ذ ك | 30.80000 | 29.40000 | 30.20000 | 30.50000 | 31.40000 | 30.30000 | 30.40000 | 30.50000 | 29.90000 | 30.40000 |
| ك | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| س ك | 25.90000 | 26.20000 | 25.60000 | 25.40000 | 26.60000 | 26.20000 | 26.00000 | 22.10000 | 25.90000 | 25.80000 |
| ذ ك | 30.30000 | 30.50000 | 30.60000 | 31.00000 | 29.60000 | 30.40000 | 30.70000 | 31.60000 | 30.50000 | 30.60000 |
| ك | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
| س ك | 25.90000 | 26.30000 | 26.10000 | 26.00000 | 26.40000 | 25.80000 |
| ذ ك | 30.70000 | 30.10000 | 30.60000 | 30.50000 | 30.70000 | 30.80000 |
مطلوب لحساب / مؤامرة:
- معامل الارتباط؛
- اختبار فرضية اعتماد المتغيرات العشوائية X وY، عند مستوى دلالة α = 0.05؛
- معاملات معادلة الانحدار الخطي؛
- مخطط مبعثر (مجال الارتباط) والرسم البياني لخط الانحدار؛
حل:
1. احسب معامل الارتباط.
معامل الارتباط هو مؤشر للتأثير الاحتمالي المتبادل لمتغيرين عشوائيين. معامل الارتباط ريمكن أن تأخذ القيم من -1 قبل +1 . إذا كانت القيمة المطلقة أقرب إلى 1 فهذا دليل على وجود ارتباط قوي بين الكميات، وإذا كان أقرب إليها 0 - فهذا يدل على ضعف الاتصال أو عدمه. إذا كانت القيمة المطلقة ريساوي واحدًا، فيمكننا الحديث عن العلاقة الوظيفية بين الكميات، أي أنه يمكن التعبير عن كمية من خلال أخرى باستخدام دالة رياضية.
يمكن حساب معامل الارتباط باستخدام الصيغ التالية:
| ن |
| Σ |
| ك = 1 |
| م × | = |
|
| إكس كيه, | لي | = | أو عن طريق الصيغة
من الناحية العملية، يتم استخدام الصيغة (1.4) في كثير من الأحيان لحساب معامل الارتباط لأن يتطلب حسابًا أقل. ومع ذلك، إذا تم حساب التباين مسبقًا كوف (X، Y)فمن الأفضل استخدام الصيغة (1.1) لأن بالإضافة إلى قيمة التباين نفسها، يمكنك أيضًا استخدام نتائج الحسابات المتوسطة. 1.1 لنحسب معامل الارتباط باستخدام الصيغة (1.4)للقيام بذلك، نحسب قيم x k 2 و y k 2 و x k y k وندخلها في الجدول 1. الجدول 1
1.2. دعونا نحسب M x باستخدام الصيغة (1.5). 1.2.1. س ك س 1 + س 2 + … + س 26 = 25.20000 + 26.40000 + ... + 25.80000 = 669.500000 1.2.2. 669.50000 / 26 = 25.75000 م × = 25.750000 1.3. دعونا نحسب M y بطريقة مماثلة. 1.3.1. دعونا نضيف جميع العناصر بالتسلسل ذ ك ص 1 + ص 2 + … + ص 26 = 30.80000 + 29.40000 + ... + 30.80000 = 793.000000 1.3.2. اقسم المجموع الناتج على عدد عناصر العينة 793.00000 / 26 = 30.50000 م ص = 30.500000 1.4. بطريقة مماثلة نحسب M xy. 1.4.1. دعونا نضيف بالتتابع جميع عناصر العمود السادس من الجدول 1 776.16000 + 776.16000 + ... + 794.64000 = 20412.830000 1.4.2. اقسم المجموع الناتج على عدد العناصر 20412.83000 / 26 = 785.10885 م ص ص = 785.108846 1.5. لنحسب قيمة S x 2 باستخدام الصيغة (1.6).. 1.5.1. دعونا نضيف بالتتابع جميع عناصر العمود الرابع من الجدول 1 635.04000 + 696.96000 + ... + 665.64000 = 17256.910000 1.5.2. اقسم المجموع الناتج على عدد العناصر 17256.91000 / 26 = 663.72731 1.5.3. اطرح مربع M x من الرقم الأخير للحصول على قيمة S x 2 س × 2 = 663.72731 - 25.75000 2 = 663.72731 - 663.06250 = 0.66481 1.6. دعونا نحسب قيمة S y 2 باستخدام الصيغة (1.6).. 1.6.1. دعونا نضيف بالتتابع جميع عناصر العمود الخامس من الجدول 1 948.64000 + 864.36000 + ... + 948.64000 = 24191.840000 1.6.2. اقسم المجموع الناتج على عدد العناصر 24191.84000 / 26 = 930.45538 1.6.3. اطرح مربع M y من الرقم الأخير للحصول على قيمة S y 2 س ص 2 = 930.45538 - 30.50000 2 = 930.45538 - 930.25000 = 0.20538 1.7. لنحسب حاصل ضرب الكميتين S x 2 و S y 2. س × 2 س ص 2 = 0.66481 0.20538 = 0.136541 1.8. لنأخذ الجذر التربيعي للرقم الأخير ونحصل على القيمة S x S y. س س ص ص = 0.36951 1.9. لنحسب قيمة معامل الارتباط باستخدام الصيغة (1.4).. ر = (785.10885 - 25.75000 30.50000) / 0.36951 = (785.10885 - 785.37500) / 0.36951 = -0.72028 الإجابة: ر س، ص = -0.720279 2. نتحقق من أهمية معامل الارتباط (نتحقق من فرضية الاعتماد).ونظرًا لأن تقدير معامل الارتباط يتم حسابه على عينة محدودة، وبالتالي قد ينحرف عن قيمته السكانية، فمن الضروري اختبار أهمية معامل الارتباط. يتم التحقق باستخدام اختبار t:
قيمة عشوائية ريتبع توزيع t للطالب وباستخدام جدول توزيع t، من الضروري العثور على القيمة الحرجة للمعيار (t cr.α) عند مستوى دلالة معين α. إذا تبين أن t المحسوبة بالصيغة (2.1) بالقيمة المطلقة أقل من t cr.α، فلا يوجد اعتماد بين المتغيرين العشوائيين X وY. وبخلاف ذلك فإن البيانات التجريبية لا تتعارض مع فرضية اعتماد المتغيرات العشوائية. 2.1. دعونا نحسب قيمة معيار t باستخدام الصيغة (2.1) ونحصل على:
2.2. باستخدام جدول التوزيع t، نحدد القيمة الحرجة للمعلمة t cr.α تقع القيمة المطلوبة لـ tcr.α عند تقاطع الصف المقابل لعدد درجات الحرية والعمود المقابل لمستوى الأهمية المحدد α. الجدول 2 توزيع t
2.2. دعونا نقارن القيمة المطلقة لمعيار t وt cr.α القيمة المطلقة لمعيار t لا تقل عن القيمة الحرجة t = 5.08680، t cr.α = 2.064، وبالتالي البيانات التجريبية، مع احتمال 0.95(1 - ألفا)، لا تتعارض مع الفرضيةعلى اعتماد المتغيرات العشوائية X و Y. 3. احسب معاملات معادلة الانحدار الخطي.معادلة الانحدار الخطي هي معادلة خط مستقيم تقارب (تصف تقريبًا) العلاقة بين المتغيرات العشوائية X و Y. إذا افترضنا أن القيمة X مجانية وأن Y تعتمد على X، فسيتم كتابة معادلة الانحدار على النحو التالي يتبع ص = أ + ب X (3.1)، حيث:
المعامل المحسوب باستخدام الصيغة (3.2) بويسمى معامل الانحدار الخطي. في بعض المصادر أويسمى معامل الانحدار المستمر و بوفقا للمتغيرات. يتم حساب الأخطاء في توقع Y لقيمة معينة X باستخدام الصيغ: وتسمى أيضًا الكمية σ y/x (الصيغة 3.4). الانحراف المعياري المتبقي، فهو يميز انحراف القيمة Y عن خط الانحدار الموصوف بالمعادلة (3.1) لقيمة ثابتة (معطاة) لـ X. | . |
ص ص / س س = 0.55582
3.3 دعونا نحسب المعامل بحسب الصيغة (3.2)
ب = -0.72028 0.55582 = -0.40035
3.4 دعونا نحسب المعامل أحسب الصيغة (3.3)
أ = 30.50000 - (-0.40035 25.75000) = 40.80894
3.5 دعونا نقدر أخطاء معادلة الانحدار.
3.5.1 وبأخذ الجذر التربيعي لـ S y 2 نحصل على:
3.5.4 لنحسب الخطأ النسبي باستخدام الصيغة (3.5)
δ ص/س = (0.31437 / 30.50000)100% = 1.03073%
4. نقوم ببناء مخطط مبعثر (حقل الارتباط) ورسم بياني لخط الانحدار.
مخطط التشتت هو تمثيل رسومي للأزواج المتناظرة (x k، y k) كنقاط على المستوى، في إحداثيات مستطيلة مع المحورين X وY. يعد مجال الارتباط أحد التمثيلات الرسومية لعينة (مزدوجة) ذات صلة. يتم أيضًا رسم الرسم البياني لخط الانحدار في نفس نظام الإحداثيات. يجب اختيار المقاييس ونقاط البداية على المحاور بعناية للتأكد من أن المخطط واضح قدر الإمكان.4.1. أوجد الحد الأدنى والحد الأقصى لعنصر العينة X هو العنصر الثامن عشر والخامس عشر على التوالي، x min = 22.10000 و x max = 26.60000.
4.2. نجد أن الحد الأدنى والحد الأقصى لعنصر العينة Y هما العنصران الثاني والثامن عشر على التوالي، y min = 29.40000 و y max = 31.60000.
4.3. على المحور x، حدد نقطة بداية على يسار النقطة x 18 = 22.10000 قليلًا، وبمقياس بحيث تتناسب النقطة x 15 = 26.60000 على المحور وتكون النقاط المتبقية مرئية بوضوح.
4.4. على المحور الإحداثي، حدد نقطة بداية على يسار النقطة y 2 = 29.40000 قليلًا، وبمقياس بحيث تتناسب النقطة y 18 = 31.60000 مع المحور ويمكن تمييز النقاط المتبقية بوضوح.
4.5. نضع قيم x k على المحور الإحداثي، وقيم y k على المحور الإحداثي.
4.6. نرسم النقاط (x 1، y 1)، (x 2، y 2)،…، (x 26، y 26) على المستوى الإحداثي. نحصل على المخطط المبعثر (حقل الارتباط) الموضح في الشكل أدناه.
4.7. دعونا نرسم خط الانحدار.
للقيام بذلك، سنجد نقطتين مختلفتين بإحداثيات (x r1، y r1) و (x r2، y r2) تحققان المعادلة (3.6)، ونرسمهما على المستوى الإحداثي ونرسم خطًا مستقيمًا من خلالهما. كنقطة حدودية للنقطة الأولى، نأخذ القيمة x min = 22.10000. وبتعويض القيمة x min في المعادلة (3.6)، نحصل على إحداثية النقطة الأولى. وبالتالي، لدينا نقطة بإحداثيات (22.10000، 31.96127). وبطريقة مماثلة، نحصل على إحداثيات النقطة الثانية، ونضع القيمة x max = 26.60000 كنقطة الإحداثي الإحداثي. النقطة الثانية ستكون: (26.60000، 30.15970).
يظهر خط الانحدار في الشكل أدناه باللون الأحمر
يرجى ملاحظة أن خط الانحدار يمر دائمًا بنقطة متوسط قيم X وY، أي. مع الإحداثيات (M x , M y).
الغرض من تحليل الارتباطهو تحديد تقدير لقوة الارتباط بين المتغيرات العشوائية (الميزات) التي تميز بعض العمليات الحقيقية.مشاكل تحليل الارتباط:
أ) قياس درجة الترابط (التقارب، القوة، الشدة، الشدة) لظاهرتين أو أكثر.
ب) اختيار العوامل ذات التأثير الأكبر على السمة الناتجة، بناءً على قياس درجة الارتباط بين الظواهر. يتم استخدام العوامل المهمة في هذا الجانب بشكل أكبر في تحليل الانحدار.
ج) الكشف عن العلاقات السببية غير المعروفة.
أشكال مظاهر العلاقات متنوعة للغاية. الأنواع الأكثر شيوعًا هي وظيفية (كاملة) و اتصال الارتباط (غير مكتمل)..
علاقةيتجلى في المتوسط بالنسبة للملاحظات الجماعية، عندما تتوافق القيم المعطاة للمتغير التابع مع سلسلة معينة من القيم الاحتمالية للمتغير المستقل. العلاقة تسمى الارتباط، إذا كانت كل قيمة لخاصية العامل تتوافق مع قيمة غير عشوائية محددة جيدًا للخاصية الناتجة.
التمثيل المرئي لجدول الارتباط هو حقل الارتباط. وهو عبارة عن رسم بياني حيث يتم رسم قيم X على محور الإحداثي، ويتم رسم قيم Y على المحور الإحداثي، ويتم عرض مجموعات X و Y بالنقاط من خلال موقع النقاط، يمكن الحكم على التواجد من اتصال.
مؤشرات قرب الاتصالتجعل من الممكن وصف اعتماد تباين السمة الناتجة على تباين سمة العامل.
مؤشر أكثر تقدما لدرجة الازدحام اتصال الارتباطيكون معامل الارتباط الخطي. عند حساب هذا المؤشر، لا تؤخذ في الاعتبار فقط انحرافات القيم الفردية للخاصية عن المتوسط، ولكن أيضًا حجم هذه الانحرافات.
تتمثل الأسئلة الأساسية لهذا الموضوع في معادلات علاقة الانحدار بين الخاصية الفعالة والمتغير التوضيحي، وطريقة المربعات الصغرى لتقدير معلمات نموذج الانحدار، وتحليل جودة معادلة الانحدار الناتجة، وبناء فترات الثقة للتنبؤ قيم الخاصية الفعالة باستخدام معادلة الانحدار.
مثال 2 
نظام المعادلات العادية.
أ ن + ب∑س = ∑ص
أ∑س + ب∑س 2 = ∑ص س
بالنسبة لبياناتنا، فإن نظام المعادلات له الشكل
30أ + 5763 ب = 21460
5763 أ + 1200261 ب = 3800360
من المعادلة الأولى نعبر عنها أونعوض في المعادلة الثانية :
نحصل على ب = -3.46، أ = 1379.33
معادلة الانحدار:
ص = -3.46 س + 1379.33
2. حساب معلمات معادلة الانحدار.
وسائل العينة. 
فروق العينة:
الانحراف المعياري
1.1. معامل الارتباط
التغاير.
نحسب مؤشر قرب الاتصال. هذا المؤشر هو نموذج معامل الارتباط الخطي، والذي يتم حسابه بواسطة الصيغة:
يأخذ معامل الارتباط الخطي القيم من -1 إلى +1.
يمكن أن تكون الروابط بين الخصائص ضعيفة وقوية (قريبة). يتم تقييم معاييرهم على مقياس تشادوك:
0.1 < r xy < 0.3: слабая;
0.3 < r xy < 0.5: умеренная;
0.5 < r xy < 0.7: заметная;
0.7 < r xy < 0.9: высокая;
0.9 < r xy < 1: весьма высокая;
في مثالنا، العلاقة بين السمة Y والعامل X علاقة عالية وعكسية.
بالإضافة إلى ذلك يمكن تحديد معامل الارتباط الزوجي الخطي من خلال معامل الانحدار b:
1.2. معادلة الانحدار(تقدير معادلة الانحدار).
معادلة الانحدار الخطي هي y = -3.46 x + 1379.33 
يُظهر المعامل b = -3.46 متوسط التغير في المؤشر الفعال (بوحدات القياس y) مع زيادة أو نقصان في قيمة العامل x لكل وحدة قياسه. في هذا المثال، مع زيادة قدرها وحدة واحدة، تنخفض y بمقدار -3.46 في المتوسط.
يُظهر المعامل a = 1379.33 بشكل رسمي المستوى المتوقع لـ y، ولكن فقط إذا كانت x = 0 قريبة من قيم العينة.
ولكن إذا كانت x=0 بعيدة عن قيم العينة x، فإن التفسير الحرفي قد يؤدي إلى نتائج غير صحيحة، وحتى إذا كان خط الانحدار يصف قيم العينة المرصودة بدقة إلى حد ما، فليس هناك ما يضمن أن ذلك سيؤدي أيضًا يكون هذا هو الحال عند استقراء اليسار أو اليمين.
من خلال استبدال قيم x المناسبة في معادلة الانحدار، يمكننا تحديد القيم المحاذاة (المتوقعة) لمؤشر الأداء y(x) لكل ملاحظة.
تحدد العلاقة بين y وx علامة معامل الانحدار b (إذا كان > 0 - علاقة مباشرة، وإلا - معكوس). في مثالنا، الاتصال عكسي.
1.3. معامل المرونة.
لا يُنصح باستخدام معاملات الانحدار (في المثال ب) لتقييم تأثير العوامل بشكل مباشر على الخاصية الناتجة إذا كان هناك اختلاف في وحدات قياس المؤشر الناتج y وخاصية العامل x.
ولهذه الأغراض، يتم حساب معاملات المرونة ومعاملات بيتا.
يُظهر متوسط معامل المرونة E النسبة المئوية في المتوسط التي ستتغير فيها النتيجة في المجموع فيمن قيمته المتوسطة عندما يتغير العامل سبنسبة 1% من متوسط قيمته.
تم العثور على معامل المرونة بالصيغة: 
معامل المرونة أقل من 1. لذلك، إذا تغير X بنسبة 1%، فسوف يتغير Y بنسبة أقل من 1%. وبعبارة أخرى، فإن تأثير X على Y ليس كبيرا.
معامل بيتايُظهر أي جزء من قيمة انحرافه المعياري سيتغير متوسط قيمة الخاصية الناتجة عندما تتغير خاصية العامل بقيمة انحرافه المعياري مع قيمة المتغيرات المستقلة المتبقية الثابتة عند مستوى ثابت: 
أولئك. الزيادة في x بالانحراف المعياري S x ستؤدي إلى انخفاض في متوسط قيمة Y بمقدار 0.74 انحراف معياري S y .
1.4. خطأ في التقريب.
دعونا نقيم جودة معادلة الانحدار باستخدام خطأ التقريب المطلق. متوسط خطأ التقريب - متوسط انحراف القيم المحسوبة عن القيم الفعلية: 
وبما أن الخطأ أقل من 15%، فيمكن استخدام هذه المعادلة كانحدار.
تحليل التباين.
الغرض من تحليل التباين هو تحليل تباين المتغير التابع:
∑(y i - y cp) 2 = ∑(y(x) - y cp) 2 + ∑(y - y(x)) 2
أين
∑(y i - y cp) 2 - إجمالي مجموع الانحرافات المربعة؛
∑(y(x) - y cp) 2 - مجموع الانحرافات المربعة بسبب الانحدار ("موضح" أو "مضروب")؛
∑(y - y(x)) 2 - مجموع الانحرافات التربيعية المتبقية.
علاقة الارتباط النظريةللاتصال الخطي يساوي معامل الارتباط r xy .
لأي شكل من أشكال الاعتماد، يتم تحديد ضيق الاتصال باستخدام معامل الارتباط المتعدد:
وهذا المعامل عالمي، فهو يعكس مدى قرب العلاقة ودقة النموذج، ويمكن استخدامه أيضًا لأي شكل من أشكال الارتباط بين المتغيرات. عند إنشاء نموذج الارتباط ذو العامل الواحد، فإن معامل الارتباط المتعدد يساوي معامل الارتباط الزوجي r xy.
1.6. معامل التحديد.
ويسمى مربع معامل الارتباط (المتعدد) بمعامل التحديد، وهو يوضح نسبة التباين في السمة الناتجة مفسرة بالتباين في سمة العامل.
في أغلب الأحيان، عند تفسير معامل التحديد، يتم التعبير عنه كنسبة مئوية.
R2 = -0.742 = 0.5413
أولئك. في 54.13% من الحالات، تؤدي التغييرات في x إلى تغييرات في y. بمعنى آخر أن دقة اختيار معادلة الانحدار متوسطة. يتم تفسير نسبة 45.87% المتبقية من التغير في Y بعوامل لم تؤخذ في الاعتبار في النموذج.
فهرس
- الاقتصاد القياسي: كتاب مدرسي / إد. أنا. إليسيفا. – م: المالية والإحصاء، 2001، ص. 34..89.
- ماغنوس واي آر، كاتيشيف بي كيه، بيريسيتسكي أ.أ. الاقتصاد القياسي. دورة المبتدئين. درس تعليمي. – الطبعة الثانية، مراجعة. – م: ديلو، 1998، ص. 17..42.
- ورشة عمل حول الاقتصاد القياسي: Proc. بدل / أنا. إليسيفا ، إس. كوريشيفا، ن.م. جوردينكو وآخرون؛ إد. أنا. إليسيفا. – م: المالية والإحصاء، 2001، ص. 5..48.
06.06.2018 16235 0 ايجور
علم النفس والمجتمع
كل شيء في العالم مترابط. يحاول كل إنسان، على مستوى الحدس، إيجاد العلاقات بين الظواهر ليتمكن من التأثير عليها والسيطرة عليها. ويسمى المفهوم الذي يعكس هذه العلاقة الارتباط. ماذا يعني بكلمات بسيطة؟
محتوى:
مفهوم الارتباط
الارتباط (من اللاتينية "الارتباط" - النسبة، العلاقة)– مصطلح رياضي يعني مقياس الاعتماد الاحتمالي الإحصائي بين الكميات العشوائية (المتغيرات).
مثال:لنأخذ نوعين من العلاقات:
- أولاً- قلم في يد الإنسان. في أي اتجاه تتحرك اليد، في ذلك الاتجاه يذهب القلم. إذا كانت اليد في راحة فلن يكتب القلم. إذا ضغط الشخص عليها بقوة أكبر، فإن العلامة الموجودة على الورقة ستكون أكثر ثراءً. يعكس هذا النوع من العلاقات الاعتماد الصارم وليس الارتباط. هذه العلاقة وظيفية.
- النوع الثاني– العلاقة بين مستوى تعليم الفرد وقراءة الأدب. من غير المعروف مسبقًا من هم الأشخاص الذين يقرؤون أكثر: أولئك الذين حصلوا على تعليم عالٍ أو لم يحصلوا عليه. وهذا الارتباط عشوائي أو عشوائي، ويدرسه العلم الإحصائي الذي يتعامل حصريًا مع الظواهر الجماعية. إذا كان الحساب الإحصائي يجعل من الممكن إثبات العلاقة بين مستوى التعليم وقراءة الأدب، فسيجعل من الممكن إجراء أي تنبؤات والتنبؤ بالحدوث الاحتمالي للأحداث. في هذا المثال، مع درجة عالية من الاحتمالية، يمكن القول أن الأشخاص الحاصلين على تعليم عالٍ، والذين هم أكثر تعليماً، يقرؤون المزيد من الكتب. ولكن بما أن العلاقة بين هذه المعلمات غير فعالة، فقد نكون مخطئين. يمكنك دائمًا حساب احتمال حدوث مثل هذا الخطأ، والذي سيكون واضحًا أنه صغير ويسمى مستوى الأهمية الإحصائية (ع).
ومن أمثلة العلاقات بين الظواهر الطبيعية:السلسلة الغذائية في الطبيعة، جسم الإنسان، الذي يتكون من أجهزة أعضاء مترابطة وتعمل كوحدة واحدة.
نواجه كل يوم ارتباطات في الحياة اليومية: بين الطقس والمزاج الجيد، والصياغة الصحيحة للأهداف وتحقيقها، والموقف الإيجابي والحظ، والشعور بالسعادة والرفاهية المالية. لكننا نبحث عن روابط، لا نعتمد على الحسابات الرياضية، بل على الأساطير والحدس والخرافات والتكهنات الخاملة. ومن الصعب جدًا ترجمة هذه الظواهر إلى لغة رياضية، والتعبير عنها بالأرقام، وقياسها. إنها مسألة أخرى عندما نقوم بتحليل الظواهر التي يمكن حسابها وتقديمها في شكل أرقام. وفي هذه الحالة يمكننا تعريف الارتباط باستخدام معامل الارتباط (r) الذي يعكس قوة الارتباط ودرجته وتقاربه واتجاهه بين المتغيرات العشوائية.
ارتباط قوي بين المتغيرات العشوائية- دليل على وجود ارتباط إحصائي ما على وجه التحديد بين هذه الظواهر، إلا أن هذا الارتباط لا يمكن أن ينتقل إلى نفس الظواهر، بل إلى حالة مختلفة. في كثير من الأحيان، يقوم الباحثون، بعد أن حصلوا على ارتباط كبير بين متغيرين في حساباتهم، بناءً على بساطة تحليل الارتباط، بوضع افتراضات بديهية خاطئة حول وجود علاقات السبب والنتيجة بين الخصائص، متناسين أن معامل الارتباط ذو طبيعة احتمالية .
مثال:عدد الأشخاص الذين أصيبوا أثناء الظروف الجليدية وعدد حوادث الطرق بين السيارات. سوف ترتبط هذه الكميات مع بعضها البعض، على الرغم من أنها غير مترابطة على الإطلاق، ولكن لها فقط اتصال بالسبب المشترك لهذه الأحداث العشوائية - الجليد الأسود. وإذا لم يكشف التحليل عن وجود ارتباط بين الظواهر، فهذا لا يعد دليلا بعد على عدم وجود تبعية بينها، والتي قد تكون معقدة غير خطية ولا تكشفها حسابات الارتباط.
أول من أدخل مفهوم الارتباط في الاستخدام العلمي هو الفرنسيون عالم الحفريات جورج كوفييه. في القرن الثامن عشر، استنتج قانون الارتباط بين أجزاء وأعضاء الكائنات الحية، والذي بفضله أصبح من الممكن استعادة مظهر مخلوق أحفوري كامل، حيوان، من الأجزاء الموجودة من الجسم (البقايا). في الإحصاء، تم استخدام مصطلح الارتباط لأول مرة في عام 1886 من قبل عالم إنجليزي فرانسيس جالتون. لكنه لم يتمكن من استخلاص الصيغة الدقيقة لحساب معامل الارتباط، لكن تلميذه فعل ذلك - عالم الرياضيات والأحياء الشهير كارل بيرسون.
أنواع الارتباط
حسب الأهمية- مهم للغاية، مهم وغير مهم.
|
أنواع |
ما هو ص يساوي |
|
مهم للغاية |
r يتوافق مع مستوى الأهمية الإحصائية p<=0,01 |
|
بارِز |
ص يتوافق مع ص<=0,05 |
|
تافهة |
r لا يصل إلى p>0.1 |
سلبي(انخفاض قيمة أحد المتغيرات يؤدي إلى زيادة في مستوى آخر: كلما زاد عدد الرهاب لدى الشخص، قل احتمال توليه منصبا قياديا) وإيجابيا (إذا كانت الزيادة في أحد المتغيرات تؤدي إلى زيادة وفي مستوى آخر: كلما كنت أكثر عصبية، كلما زاد احتمال إصابتك بالمرض). إذا لم يكن هناك اتصال بين المتغيرات، فإن هذا الارتباط يسمى صفر.
خطي(عندما تزيد أو تنقص إحدى القيم، فإن الثانية تزيد أو تنقص أيضًا) وغير خطية (عندما تتغير قيمة واحدة، لا يمكن وصف طبيعة التغيير في الثانية باستخدام علاقة خطية، ثم يتم تطبيق قوانين رياضية أخرى - متعددة الحدود، الزائدية العلاقات).
بالقوة.
احتمال
اعتمادا على المقياس الذي تنتمي إليه المتغيرات قيد الدراسة، يتم حساب أنواع مختلفة من معاملات الارتباط:
- يتم حساب معامل ارتباط بيرسون، أو معامل الارتباط الخطي الزوجي، أو ارتباط لحظة المنتج للمتغيرات ذات مقاييس قياس الفاصل الزمني والمقياس.
- معامل ارتباط رتبة سبيرمان أو كيندال - عندما يكون لإحدى الكميات على الأقل مقياس ترتيبي أو لا يتم توزيعها بشكل طبيعي.
- معامل الارتباط الثنائي النقطي (معامل ارتباط إشارة فيشنر) – إذا كانت إحدى الكميتين ثنائية التفرع.
- معامل الارتباط ذو الأربعة مجالات (معامل الارتباط متعدد الرتب (التوافق) – إذا كان هناك متغيران ثنائي التفرع.
يشير معامل بيرسون إلى مؤشرات الارتباط البارامترية، وجميع المؤشرات الأخرى غير بارامترية.
تتراوح قيمة معامل الارتباط من -1 إلى +1. مع وجود ارتباط إيجابي كامل، r = +1، مع ارتباط سلبي كامل، r = -1.
الصيغة والحساب
أمثلة
من الضروري تحديد العلاقة بين متغيرين: مستوى النمو الفكري (حسب الاختبار) وعدد التأخير شهريًا (حسب الإدخالات في المجلة التعليمية) لدى أطفال المدارس.
يتم عرض البيانات الأولية في الجدول:
|
№ |
بيانات معدل الذكاء (x) |
بيانات عن عدد حالات التأخير (ص) |
|
مجموع |
1122 |
|
|
متوسط |
112,2 |
لإعطاء تفسير صحيح للمؤشر الذي تم الحصول عليه، من الضروري تحليل علامة معامل الارتباط (+ أو -) وقيمته المطلقة (modulo).
ووفقاً لجدول تصنيف معامل الارتباط حسب القوة، نستنتج أن rxy = -0.827 هو ارتباط سلبي قوي. وبالتالي، فإن عدد تلاميذ المدارس المتأخرين يعتمد بقوة على مستوى تطورهم الفكري. يمكن القول أن الطلاب ذوي مستوى الذكاء المرتفع يتأخرون عن الفصول الدراسية بشكل أقل من الطلاب ذوي مستوى الذكاء المنخفض.
يمكن استخدام معامل الارتباط من قبل العلماء لتأكيد أو دحض افتراض الاعتماد على كميتين أو ظواهر وقياس قوتها وأهميتها، ومن قبل الطلاب لإجراء بحث تجريبي وإحصائي في مواضيع مختلفة. يجب أن نتذكر أن هذا المؤشر ليس أداة مثالية؛ فهو يتم حسابه فقط لقياس قوة العلاقة الخطية وسيكون دائمًا قيمة احتمالية بها خطأ معين.
يستخدم تحليل الارتباط في المجالات التالية:
- علم الاقتصاد؛
- الفيزياء الفلكية.
- العلوم الاجتماعية (علم الاجتماع وعلم النفس والتربية)؛
- الكيمياء الزراعية.
- علم المعادن.
- الصناعة (لمراقبة الجودة) ؛
- علم الأحياء المائية.
- القياسات الحيوية، الخ.
أسباب شعبية طريقة تحليل الارتباط:
- لا تتطلب البساطة النسبية لحساب معاملات الارتباط تعليمًا رياضيًا خاصًا.
- يسمح لك بحساب العلاقات بين المتغيرات العشوائية الجماعية، والتي هي موضوع التحليل في العلوم الإحصائية. وفي هذا الصدد أصبحت هذه الطريقة منتشرة على نطاق واسع في مجال البحث الإحصائي.
آمل أن تكون الآن قادرًا على التمييز بين العلاقة الوظيفية والعلاقة الارتباطية، وستعرف أنه عندما تسمع على شاشة التلفزيون أو تقرأ في الصحافة عن الارتباط، فهذا يعني ترابطًا إيجابيًا وهامًا إلى حد ما بين ظاهرتين.
قد تكون العلامات المختلفة مرتبطة ببعضها البعض.
هناك نوعان من الاتصالات بينهما:
- وظيفي؛
- علاقة.
علاقةالترجمة إلى اللغة الروسية ليست أكثر من مجرد اتصال.
في حالة وجود اتصال ارتباطي، يمكن تتبع تطابق عدة قيم لخاصية واحدة مع عدة قيم لخاصية أخرى. كأمثلة، يمكننا النظر في الارتباطات القائمة بين:
- طول أقدام وأعناق ومناقير الطيور مثل مالك الحزين والرافعات واللقالق؛
- مؤشرات لدرجة حرارة الجسم ومعدل ضربات القلب.
بالنسبة لمعظم العمليات الطبية الحيوية، تم إثبات وجود هذا النوع من الاتصال إحصائيًا.
تتيح الأساليب الإحصائية إثبات حقيقة وجود ترابط في الخصائص. يؤدي استخدام الحسابات الخاصة لذلك إلى إنشاء معاملات الارتباط (مقاييس الاتصال).
تسمى هذه الحسابات تحليل الارتباط.يتم إجراؤه لتأكيد اعتماد متغيرين (متغيرات عشوائية) على بعضهما البعض، وهو ما يتم التعبير عنه بمعامل الارتباط.
يتيح لك استخدام طريقة الارتباط حل العديد من المشكلات:
- تحديد وجود علاقة بين المعلمات التي تم تحليلها؛
- معرفة وجود الارتباط يسمح لنا بحل مشاكل التنبؤ. وبالتالي، هناك فرصة حقيقية للتنبؤ بسلوك المعلمة بناءً على تحليل سلوك معلمة أخرى مرتبطة؛
- إجراء التصنيف على أساس اختيار الميزات المستقلة عن بعضها البعض.
للمتغيرات:
- وفيما يتعلق بالمقياس الترتيبي، يتم حساب معامل سبيرمان؛
- المتعلقة بالمقياس الفتري – معامل بيرسون.
هذه هي المعلمات الأكثر استخدامًا، وهناك معلمات أخرى بجانبها.
يمكن التعبير عن قيمة المعامل إما بشكل إيجابي أو سلبي.
في الحالة الأولى، مع زيادة قيمة أحد المتغيرين، يتم ملاحظة زيادة في المتغير الثاني. إذا كان المعامل سالبًا، فسيتم عكس النمط.
ما هو معامل الارتباط ل؟
قد يكون للمتغيرات العشوائية المرتبطة ببعضها البعض طبيعة مختلفة تمامًا لهذا الاتصال. ولن تكون بالضرورة وظيفية، عندما يمكن تتبع علاقة مباشرة بين الكميات. في أغلب الأحيان، تتأثر كلا الكميتين بمجموعة كاملة من العوامل المختلفة؛ وفي الحالات التي تكون فيها الكميتين مشتركة، يتم ملاحظة تكوين الأنماط ذات الصلة.
وهذا يعني أن الحقيقة المثبتة إحصائيا بوجود علاقة بين الكميات لا تؤكد إثبات سبب التغيرات المرصودة. وكقاعدة عامة، يخلص الباحث إلى أن هناك نتيجتين مترابطتين.
خصائص معامل الارتباط
وتتميز هذه الخاصية الإحصائية بالخصائص التالية:
- تتراوح قيمة المعامل من -1 إلى +1. كلما اقتربنا من القيم المتطرفة، كلما كانت العلاقة الإيجابية أو السلبية بين المعلمات الخطية أقوى. وفي حالة القيمة صفر، فإننا نتحدث عن عدم وجود ارتباط بين الخصائص؛
- تشير القيمة الموجبة للمعامل إلى أنه إذا زادت قيمة خاصية واحدة، يتم ملاحظة زيادة في الثانية (ارتباط إيجابي)؛
- القيمة السلبية – في حالة زيادة قيمة إحدى الخاصيتين، يلاحظ انخفاض في الثانية (ارتباط سلبي)؛
- يشير اقتراب قيمة المؤشر إلى النقاط القصوى (إما -1 أو +1) إلى وجود علاقة خطية قوية جدًا؛
- يمكن أن تتغير مؤشرات الخاصية بينما تظل قيمة المعامل دون تغيير؛
- معامل الارتباط هو كمية بلا أبعاد؛
- إن وجود الارتباط لا يؤكد بالضرورة وجود علاقة السبب والنتيجة.
قيم معامل الارتباط
ويمكن تحديد قوة الارتباط من خلال اللجوء إلى مقياس تشيلدوك، الذي تتوافق فيه قيمة عددية معينة مع خاصية نوعية.
في حالة وجود علاقة إيجابية مع القيمة:
- 0-0.3 - الارتباط ضعيف جداً؛
- 0.3-0.5 – ضعيف
- 0.5-0.7 – قوة متوسطة؛
- 0.7-0.9 – مرتفع؛
- 0.9-1 - قوة ارتباط عالية جدًا.
يمكن أيضًا استخدام المقياس للارتباط السلبي. وفي هذه الحالة، يتم استبدال الخصائص النوعية بالخصائص المعاكسة.
يمكنك استخدام مقياس تشيلدوك المبسط، والذي يميز 3 درجات فقط لقوة الارتباط:
- قوية جدًا - المؤشرات ±0.7 - ±1؛
- المتوسط - المؤشرات ±0.3 - ±0.699؛
- ضعيف جدًا - المؤشرات 0 - ±0.299.
لا يسمح هذا المؤشر الإحصائي باختبار افتراض وجود علاقة خطية بين الخصائص فحسب، بل يسمح أيضًا بتحديد قوتها.
أنواع معامل الارتباط
يمكن تصنيف معاملات الارتباط حسب العلامة والقيمة:
- إيجابي؛
- باطل؛
- سلبي.
اعتمادًا على القيم التي تم تحليلها، يتم حساب المعامل:
- بيرسون.
- الرامح؛
- كندال.
- علامات فيشنر؛
- التوافق أو الارتباط متعدد الرتب.
يستخدم معامل ارتباط بيرسون لإنشاء علاقات مباشرة بين القيم المطلقة للمتغيرات. في هذه الحالة، يجب أن تقترب توزيعات سلسلتي المتغيرات من المستوى الطبيعي. يجب أن تختلف المتغيرات المقارنة في نفس عدد الخصائص المتغيرة. يجب أن يكون المقياس الذي يمثل المتغيرات عبارة عن مقياس فاصل أو نسبة.
- تحديد قوة الارتباط بدقة؛
- مقارنة الخصائص الكمية.
هناك عيوب قليلة لاستخدام معامل ارتباط بيرسون الخطي:
- الطريقة غير مستقرة في حالة القيم المتطرفة للقيم العددية؛
- باستخدام هذه الطريقة، من الممكن تحديد قوة الارتباط فقط للعلاقة الخطية؛ أما بالنسبة للأنواع الأخرى من العلاقات المتبادلة للمتغيرات، فيجب استخدام أساليب تحليل الانحدار.
يتم تحديد ارتباط الرتبة بواسطة طريقة سبيرمان، والتي تسمح للمرء بدراسة العلاقة بين الظواهر إحصائيا. بفضل هذا المعامل، يتم حساب الدرجة الفعلية للتوازي بين سلسلتين من الخصائص المعبر عنها كميًا، كما يتم تقييم مدى ضيق الاتصال المحدد.
- لا تتطلب تحديدًا دقيقًا لقيمة قوة الارتباط؛
- المؤشرات المقارنة لها معاني كمية وإسناد على حد سواء؛
- مقارنة سلسلة من الخصائص مع المتغيرات المفتوحة للقيم.
طريقة سبيرمان هي طريقة تحليل غير بارامترية، لذلك ليست هناك حاجة للتحقق من صحة توزيع الخاصية. بالإضافة إلى ذلك، فهو يسمح لك بمقارنة المؤشرات المعبر عنها بمقاييس مختلفة. على سبيل المثال، مقارنة عدد خلايا الدم الحمراء في حجم معين من الدم (مقياس مستمر) وتقييم الخبراء معبرًا عنه بالنقاط (مقياس ترتيبي).
وتتأثر فعالية الطريقة سلبا بالفرق الكبير بين قيم الكميات المقارنة. كما أن الطريقة غير فعالة في الحالات التي تتميز فيها القيمة المقاسة بتوزيع غير متساوي للقيم.
حساب خطوة بخطوة لمعامل الارتباط في Excel
يتضمن حساب معامل الارتباط إجراء عدد من العمليات الحسابية بشكل تسلسلي.
توضح الصيغة أعلاه لحساب معامل بيرسون مدى كثافة العمالة في هذه العملية إذا تم إجراؤها يدويًا.
يؤدي استخدام إمكانيات Excel إلى تسريع عملية العثور على المعامل بشكل كبير.
يكفي اتباع خوارزمية بسيطة من الإجراءات:
- إدخال المعلومات الأساسية - عمود من قيم x وعمود من قيم y؛
- في الأدوات، حدد علامة التبويب "الصيغ" وافتحها؛
- في علامة التبويب التي تفتح، حدد "إدراج وظيفة الفوركس"؛
- في مربع الحوار الذي يفتح، حدد الوظيفة الإحصائية "Corel"، والتي تسمح لك بحساب معامل الارتباط بين مجموعتين من البيانات؛
- في النافذة التي تفتح، أدخل البيانات: الصفيف 1 - نطاق قيم العمود x (يجب تحديد البيانات)، الصفيف 2 - نطاق قيم العمود y؛
- يتم الضغط على مفتاح "موافق"، وتظهر نتيجة حساب المعامل في سطر "القيمة"؛
- الاستنتاج المتعلق بوجود علاقة ارتباط بين مجموعتين من البيانات وقوتها.
يعكس معامل الارتباط درجة العلاقة بين مؤشرين. يأخذ دائمًا قيمة من -1 إلى 1. إذا كان المعامل يقع حول 0، فلن يكون هناك اتصال بين المتغيرات.
إذا كانت القيمة قريبة من واحد (من 0.9، على سبيل المثال)، فهناك علاقة مباشرة قوية بين الكائنات المرصودة. إذا كان المعامل قريبًا من النقطة القصوى الأخرى للمدى (-1)، فهناك علاقة عكسية قوية بين المتغيرين. عندما تكون القيمة في مكان ما بين 0 إلى 1 أو 0 إلى -1، فإننا نتحدث عن اتصال ضعيف (مباشر أو عكسي). عادة لا تؤخذ هذه العلاقة بعين الاعتبار: يُعتقد أنها غير موجودة.
حساب معامل الارتباط في Excel
دعونا نلقي نظرة على مثال لطرق حساب معامل الارتباط وخصائص العلاقات المباشرة والعكسية بين المتغيرات.
قيم المؤشرات x و y:
Y هو متغير مستقل، وX هو متغير تابع. من الضروري العثور على قوة (قوية/ضعيفة) واتجاه (للأمام/للعكس) للاتصال بينهما. تبدو صيغة معامل الارتباط كما يلي:
لتسهيل الفهم، دعونا نقسمها إلى عدة عناصر بسيطة.
يتم تحديد علاقة مباشرة قوية بين المتغيرات.
تتجنب وظيفة CORREL المدمجة إجراء العمليات الحسابية المعقدة. دعونا نحسب معامل ارتباط الزوج في Excel باستخدامه. اتصل بمعالج الوظيفة. نجد الشخص الذي نحتاجه. وسيطات الدالة عبارة عن مصفوفة من قيم y ومصفوفة من قيم x:
لنعرض قيم المتغيرات على الرسم البياني:
هناك علاقة قوية بين y وx مرئية، لأن الخطوط تعمل بالتوازي تقريبًا مع بعضها البعض. العلاقة مباشرة: y يزيد - x يزيد، y ينقص - x يتناقص.
مصفوفة معامل الارتباط الزوجي في برنامج Excel
مصفوفة الارتباط عبارة عن جدول عند تقاطع الصفوف والأعمدة توجد به معاملات الارتباط بين القيم المقابلة. من المنطقي بنائه لعدة متغيرات.
يتم إنشاء مصفوفة معاملات الارتباط في برنامج Excel باستخدام أداة "الارتباط" من حزمة "تحليل البيانات".
تم العثور على علاقة مباشرة قوية بين قيم y وx1. هناك ردود فعل قوية بين x1 وx2. لا يوجد عملياً أي اتصال بالقيم الموجودة في العمود x3.
