التجويف زاوية حادةα للمثلث قائم الزاوية هي النسبة عكسالساق إلى الوتر.
ويشار إليه على النحو التالي: الخطيئة α.
جيب التمامالزاوية الحادة α للمثلث القائم هي نسبة الساق المجاورة إلى الوتر.
تم تعيينه على النحو التالي: cos α.
الظلالزاوية الحادة α هي نسبة الجانب المقابل إلى الجانب المجاور.
تم تعيينه على النحو التالي: tg α.
ظل التمامالزاوية الحادة α هي نسبة الجانب المجاور إلى الجانب المقابل.
تم تعيينه على النحو التالي: ctg α.
يعتمد جيب الزاوية وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية فقط على حجم الزاوية.
قواعد:
الهويات المثلثية الأساسية في المثلث الأيمن:
(α – زاوية حادة مقابلة للساق ب والمجاورة للساق أ . جانب مع - الوتر. β - الزاوية الحادة الثانية).
ب | جا 2 α + جتا 2 α = 1 | |
أ | 1 | |
ب | 1 | |
أ | 1 1 | |
الخطيئة α |
كلما زادت الزاوية الحادةالخطيئة α وزيادة تان α، وكوس α يتناقص.
لأي زاوية حادة α:
الخطيئة (90 درجة – α) = جتا α
كوس (90° - α) = الخطيئة α
مثال للشرح:
دعونا في المثلث الأيمن ABC
أب = 6،
قبل الميلاد = 3،
الزاوية أ = 30 درجة.
دعونا نكتشف جيب الزاوية A وجيب تمام الزاوية B.
حل .
1) أولاً، نجد قيمة الزاوية B. كل شيء بسيط هنا: بما أن مجموع الزوايا الحادة في المثلث القائم هو 90 درجة، فإن الزاوية B = 60 درجة:
ب = 90 درجة – 30 درجة = 60 درجة.
2) دعونا نحسب sin A. نحن نعلم أن الجيب يساوي نسبة الضلع المقابل للوتر. بالنسبة للزاوية A، الضلع المقابل هو الضلع BC. لذا:
ق31
الخطيئة أ = -- = - = -
أ ب 6 2
3) الآن دعونا نحسب cos B. نحن نعلم أن جيب التمام يساوي نسبة الساق المجاورة إلى الوتر. بالنسبة للزاوية B، فإن الساق المجاورة لها نفس الجانب BC. هذا يعني أننا بحاجة مرة أخرى إلى تقسيم BC على AB - أي تنفيذ نفس الإجراءات عند حساب جيب الزاوية A:
ق31
كوس ب = -- = - = -
أ ب 6 2
النتيجه هي:
الخطيئة أ = كوس ب = 1/2.
sin 30° = cos 60° = 1/2.
ويترتب على ذلك أنه في المثلث القائم يوجد جيب زاوية حادة واحدة يساوي جيب التمامزاوية حادة أخرى - والعكس صحيح. هذا هو بالضبط ما تعنيه الصيغتان:
الخطيئة (90 درجة – α) = جتا α
كوس (90° - α) = الخطيئة α
دعونا نتأكد من ذلك مرة أخرى:
1) دع α = 60 درجة. بالتعويض عن قيمة α في صيغة الجيب نحصل على:
الخطيئة (90 درجة - 60 درجة) = جتا 60 درجة.
sin 30° = cos 60°.
2) دع α = 30 درجة. بتعويض قيمة α في صيغة جيب التمام نحصل على:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(لمزيد من المعلومات حول علم المثلثات، راجع قسم الجبر)
عندما تم النظر في المسائل المتعلقة بحل المثلث القائم الزاوية، وعدت بتقديم تقنية لحفظ تعريفات الجيب وجيب التمام. باستخدامه، سوف تتذكر دائمًا بسرعة الجانب الذي ينتمي إلى الوتر (المجاور أو المعاكس). قررت عدم تأجيله لفترة طويلة، المادة اللازمة أدناه، يرجى قراءتها 😉
الحقيقة هي أنني لاحظت مرارًا وتكرارًا كيف يجد الطلاب في الصفوف 10-11 صعوبة في تذكر هذه التعريفات. إنهم يتذكرون جيدًا أن الساق تشير إلى الوتر، ولكن أي منها- ينسون و مشوش. ثمن الخطأ، كما تعلمون في الامتحان، هو نقطة ضائعة.
المعلومات التي سأقدمها مباشرة ليس لها علاقة بالرياضيات. إنها مرتبطة ب التفكير الخيالي، ومع أساليب التواصل اللفظي المنطقي. هذا بالضبط ما أتذكره، مرة واحدة وإلى الأبدبيانات التعريف. إذا نسيتها، فيمكنك دائمًا تذكرها بسهولة باستخدام التقنيات المقدمة.
اسمحوا لي أن أذكركم بتعريفات الجيب وجيب التمام في المثلث القائم الزاوية:
جيب التمامالزاوية الحادة في المثلث القائم هي نسبة الساق المجاورة إلى الوتر:
التجويفالزاوية الحادة في المثلث القائم هي نسبة الضلع المقابل للوتر:
إذن، ما هي الارتباطات التي لديك مع كلمة جيب التمام؟
ربما كل شخص لديه 😉تذكر الرابط:
وهكذا سيظهر التعبير على الفور في ذاكرتك -
«… نسبة الساق المجاورة إلى الوتر».
تم حل مشكلة تحديد جيب التمام.
إذا كنت بحاجة إلى تذكر تعريف الجيب في المثلث الأيمن، ثم تذكر تعريف جيب التمام، فيمكنك بسهولة إثبات أن جيب الزاوية الحادة في المثلث الأيمن هو نسبة الجانب الآخر إلى الوتر. بعد كل شيء، هناك ساقان فقط، إذا كانت الساق المجاورة "مشغولة" بجيب التمام، فستبقى الساق المقابلة فقط مع جيب التمام.
ماذا عن الظل وظل التمام؟ الارتباك هو نفسه. يعرف الطلاب أن هذه علاقة ساقين، لكن المشكلة تكمن في تذكر أي منهما يشير إلى أي منهما - إما عكس المجاور أو العكس.
تعريفات:
الظلالزاوية الحادة في المثلث القائم هي نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور:
ظل التمامالزاوية الحادة في المثلث القائم هي نسبة الضلع المجاور إلى المقابل:
كيف تتذكر؟ هناك طريقتان. يستخدم أحدهما أيضًا اتصالًا لفظيًا منطقيًا، والآخر يستخدم اتصالًا رياضيًا.
الطريقة الرياضية
يوجد مثل هذا التعريف - ظل الزاوية الحادة هو نسبة جيب الزاوية إلى جيب التمام:
*بعد حفظ الصيغة، يمكنك دائمًا تحديد أن ظل الزاوية الحادة في المثلث القائم هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور.
على نفس المنوال.ظل التمام للزاوية الحادة هو نسبة جيب تمام الزاوية إلى جيبها:
لذا! من خلال تذكر هذه الصيغ، يمكنك دائمًا تحديد ما يلي:
- ظل الزاوية الحادة في المثلث القائم هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور
- ظل تمام الزاوية الحادة في المثلث القائم هو نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل.
طريقة الكلمات المنطقية
حول الظل. تذكر الرابط:
بمعنى، إذا كنت بحاجة إلى تذكر تعريف المماس، باستخدام هذا الاتصال المنطقي، يمكنك بسهولة تذكر ما هو عليه
"...نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور"
إذا كنا نتحدث عن ظل التمام، فتذكر تعريف الظل، يمكنك بسهولة التعبير عن تعريف ظل التمام -
"...نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل"
هناك خدعة مثيرة للاهتمام لتذكر ظل التمام وظل التمام على موقع الويب " جنبا إلى جنب الرياضيات " ، ينظر.
طريقة عالمية
يمكنك فقط حفظها.ولكن كما تظهر الممارسة، بفضل الروابط اللفظية المنطقية، يتذكر الشخص المعلومات لفترة طويلة، وليس فقط الرياضيات.
آمل أن تكون المادة مفيدة لك.
مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ
ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.
جيب الجيب هو أحد الدوال المثلثية الأساسية، ولا يقتصر استخدامه على الهندسة وحدها. جداول حساب الدوال المثلثية، مثل الآلات الحاسبة الهندسية، ليست في متناول اليد دائمًا، وفي بعض الأحيان يكون حساب الجيب ضروريًا لحل المشكلات المختلفة. بشكل عام، حساب الجيب سيساعد على تعزيز مهارات الرسم ومعرفة الهويات المثلثية.
العاب المسطرة والقلم الرصاص
مهمة بسيطة: كيف تجد جيب الزاوية المرسومة على الورق؟ لحل المشكلة، ستحتاج إلى مسطرة عادية ومثلث (أو بوصلة) وقلم رصاص. إن أبسط طريقة لحساب جيب الزاوية هي قسمة الضلع البعيد للمثلث مع الزاوية القائمة على الضلع الطويل - الوتر. وبالتالي، عليك أولاً إكمال الزاوية الحادة لشكل المثلث القائم عن طريق رسم خط عمودي على أحد الشعاعين على مسافة اعتباطية من رأس الزاوية. سنحتاج إلى الحفاظ على زاوية قدرها 90 درجة بالضبط، والتي نحتاج إلى مثلث كتابي لها.
يعد استخدام البوصلة أكثر دقة بعض الشيء، ولكنه سيستغرق وقتًا أطول. على أحد الأشعة، تحتاج إلى تحديد نقطتين على مسافة معينة، قم بتعيين نصف قطر على البوصلة يساوي تقريبًا المسافة بين النقاط، وارسم دوائر نصف دائرية بمراكز عند هذه النقاط حتى يتم الحصول على تقاطعات هذه الخطوط. ومن خلال ربط نقاط تقاطع دائرتنا مع بعضها البعض، نحصل على عمودي صارم على شعاع زاويتنا، كل ما تبقى هو تمديد الخط حتى يتقاطع مع شعاع آخر.
في المثلث الناتج، تحتاج إلى استخدام المسطرة لقياس الجانب المقابل للزاوية والجانب الطويل على أحد الأشعة. ستكون نسبة البعد الأول إلى الثاني هي القيمة المطلوبة لجيب الزاوية الحادة.
أوجد جيب الزاوية التي قياسها أكبر من 90°
بالنسبة للزاوية المنفرجة، فإن المهمة ليست أكثر صعوبة. تحتاج إلى رسم شعاع من قمة الرأس إلى الجانب الآخرباستخدام المسطرة لتكوين خط مستقيم مع أحد أشعة الزاوية التي نهتم بها. يجب معالجة الزاوية الحادة الناتجة كما هو موضح أعلاه، أي الجيوب الزوايا المجاورة، يشكلان معًا زاوية عكسية قياسها 180 درجة، متساويان.
حساب جيب الجيب باستخدام الدوال المثلثية الأخرى
كما أن حساب الجيب ممكن إذا كانت قيم الدوال المثلثية الأخرى للزاوية أو على الأقل أطوال أضلاع المثلث معروفة. الهويات المثلثية سوف تساعدنا في هذا. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة الشائعة.
كيفية العثور على الجيب مع جيب تمام معروف للزاوية؟ تنص الهوية المثلثية الأولى، المستندة إلى نظرية فيثاغورس، على أن مجموع مربعي الجيب وجيب التمام للزاوية نفسها يساوي واحدًا.
كيفية العثور على الجيب مع ظل معروف لزاوية؟ يتم الحصول على الظل عن طريق قسمة الجانب البعيد على الجانب القريب أو قسمة الجيب على جيب التمام. وبالتالي، فإن الجيب سيكون منتج جيب التمام والظل، ومربع الجيب سيكون مربع هذا المنتج. نستبدل جيب التمام التربيعي بالفرق بين واحد ومربع الجيب حسب الأول الهوية المثلثيةومن خلال التلاعبات البسيطة، نقوم بتقليل المعادلة إلى حساب مربع الجيب من خلال الظل، وبالتالي، لحساب الجيب، سيتعين عليك استخراج جذر النتيجة التي تم الحصول عليها.
كيفية العثور على جيب مع ظل تمام معروف لزاوية؟ ويمكن حساب قيمة ظل التمام عن طريق قسمة طول الساق الأقرب للزاوية على طول البعيد، وكذلك قسمة جيب التمام على جيب التمام، أي أن ظل التمام هو دالة عكسية للظل النسبي إلى الرقم 1. لحساب الجيب، يمكنك حساب الظل باستخدام الصيغة tg α = 1 / ctg α واستخدام الصيغة في الخيار الثاني. يمكنك أيضًا استخلاص صيغة مباشرة عن طريق القياس مع المماس، والتي ستبدو بهذا الشكل.
كيفية العثور على جيب ثلاثة جوانب للمثلث
توجد صيغة لإيجاد طول الضلع المجهول لأي مثلث، وليس المثلث القائم الزاوية فقط، من ضلعين معلومين باستخدام الدالة المثلثية لجيب تمام الزاوية المقابلة. إنها تبدو هكذا.
ما هو جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام للزاوية سيساعدك على فهم المثلث الأيمن.
ماذا تسمى أضلاع المثلث القائم الزاوية؟ هذا صحيح، الوتر والساقان: الوتر هو الضلع الذي يقع مقابل الزاوية القائمة (في مثالنا هذا هو الضلع \(AC\))؛ الأرجل هما الجانبان المتبقيان \(AB\) و\(BC\) (المجاوران لـ زاوية مستقيمة)، وإذا نظرنا إلى الساقين بالنسبة إلى الزاوية \(BC\)، فإن الرجل \(AB\) هي الساق المجاورة، والرجل \(BC\) هي العكس. والآن، دعونا نجيب على السؤال: ما هي جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية؟
جيب الزاوية– هذه هي نسبة الساق المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.
في مثلثنا:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
جيب تمام الزاوية- هذه هي نسبة الضلع المجاور (القريب) إلى الوتر.
في مثلثنا:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
ظل الزاوية– هذه هي نسبة الضلع المقابل (البعيد) إلى الضلع المجاور (القريب).
في مثلثنا:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
ظل التمام للزاوية– هذه هي نسبة الضلع المجاور (القريب) إلى الضلع المقابل (البعيد).
في مثلثنا:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
هذه التعريفات ضرورية يتذكر! لتسهيل تذكر أي ساق يجب تقسيمها إلى ماذا، عليك أن تفهم ذلك بوضوح الظلو ظل التمامتجلس الأرجل فقط، ويظهر الوتر فقط في الداخل التجويفو جيب التمام. وبعد ذلك يمكنك التوصل إلى سلسلة من الارتباطات. على سبيل المثال، هذا:
جيب التمام → اللمس → اللمس → المجاورة؛
ظل التمام → اللمس → اللمس → المجاور.
بادئ ذي بدء، عليك أن تتذكر أن جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لأن نسب جوانب المثلث لا تعتمد على أطوال هذه الجوانب (في نفس الزاوية). لا تصدق؟ ثم تأكد من خلال النظر إلى الصورة:
خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، جيب تمام الزاوية \(\beta \) . بحكم التعريف، من مثلث \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \)، لكن يمكننا حساب جيب تمام الزاوية \(\beta \) من المثلث \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). كما ترون، أطوال الجوانب مختلفة، ولكن قيمة جيب التمام لزاوية واحدة هي نفسها. وبالتالي، فإن قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام تعتمد فقط على حجم الزاوية.
إذا فهمت التعريفات، فقم بالمضي قدمًا ودمجها!
بالنسبة للمثلث \(ABC\) الموضح في الشكل أدناه نجد \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(صفيف) \)
حسنا، هل حصلت عليه؟ ثم جرب ذلك بنفسك: احسب نفس الشيء بالنسبة للزاوية \(\beta \) .
الإجابات: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
دائرة الوحدة (المثلثية).
من خلال فهم مفاهيم الدرجات والراديان، اعتبرنا دائرة نصف قطرها يساوي \(1\) . تسمى هذه الدائرة أعزب. سيكون مفيدًا جدًا عند دراسة علم المثلثات. لذلك، دعونا ننظر إليها بمزيد من التفصيل.
كما ترون، تم إنشاء هذه الدائرة في نظام الإحداثيات الديكارتية. نصف قطر الدائرة يساوي واحدًا، بينما يقع مركز الدائرة عند أصل الإحداثيات، فإن الموضع الأولي لمتجه نصف القطر ثابت على طول الاتجاه الموجب للمحور \(x\) (في مثالنا، هذا هو نصف القطر \(AB\)).
كل نقطة في الدائرة تقابل رقمين: الإحداثي على طول المحور \(x\) والإحداثي على طول المحور \(y\). ما هي هذه الأرقام الإحداثية؟ وبشكل عام ما علاقتهم بالموضوع المطروح؟ للقيام بذلك، علينا أن نتذكر المثلث القائم الزاوية. في الشكل أعلاه، يمكنك رؤية مثلثين قائمين بالكامل. خذ بعين الاعتبار المثلث \(ACG\) . وهو مستطيل لأن \(CG\) عمودي على المحور \(x\).
ما هو \(\cos \ \alpha \) من المثلث \(ACG \)؟ صحيح \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). بالإضافة إلى ذلك، نحن نعلم أن \(AC\) هو نصف قطر دائرة الوحدة، وهو ما يعني \(AC=1\) . لنعوض بهذه القيمة في صيغة جيب التمام. إليك ما يحدث:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
ما هو \(\sin \ \alpha \) من المثلث \(ACG \) يساوي؟ حسنا بالطبع، \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! استبدل قيمة نصف القطر \(AC\) في هذه الصيغة واحصل على:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
إذًا، هل يمكنك معرفة إحداثيات النقطة \(C\) التابعة للدائرة؟ حسنا، بأي حال من الأحوال؟ ماذا لو أدركت أن \(\cos \ \alpha \) و \(\sin \alpha \) مجرد أرقام؟ ما الإحداثيات التي يتوافق معها \(\cos \alpha \)؟ حسنًا، بالطبع الإحداثي \(x\)! وما الإحداثيات التي يتوافق معها \(\sin \alpha \)؟ هذا صحيح، قم بالتنسيق \(y\)! هذه هي النقطة \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
ما هو إذن \(tg \alpha \) و \(ctg \alpha \) متساويان؟ هذا صحيح، دعونا نستخدم التعريفين المتناظرين للمماس وظل التمام ونحصل على ذلك \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \)، أ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
ماذا لو كانت الزاوية أكبر؟ على سبيل المثال، كما في هذه الصورة:
ما الذي تغير في هذا المثال؟ دعونا معرفة ذلك. للقيام بذلك، دعونا ننتقل مرة أخرى إلى المثلث الأيمن. خذ بعين الاعتبار المثلث القائم \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : الزاوية (المجاورة للزاوية \(\beta \) ). ما هي قيمة الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)؟ هذا صحيح، نحن نلتزم بالتعريفات المقابلة للدوال المثلثية:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(صفيف) \)
حسنًا، كما ترون، قيمة جيب الزاوية لا تزال تتوافق مع الإحداثي \(y\) ؛ قيمة جيب التمام للزاوية - الإحداثيات \(x\) ؛ وقيم الظل وظل التمام للنسب المقابلة. وبالتالي، تنطبق هذه العلاقات على أي دوران لمتجه نصف القطر.
لقد سبق أن ذكرنا أن الموضع الأولي لمتجه نصف القطر يقع على طول الاتجاه الموجب للمحور \(x\). لقد قمنا حتى الآن بتدوير هذا المتجه عكس اتجاه عقارب الساعة، لكن ماذا يحدث إذا قمنا بتدويره في اتجاه عقارب الساعة؟ لا شيء غير عادي، سوف تحصل أيضًا على زاوية ذات قيمة معينة، لكنها فقط ستكون سلبية. وبالتالي، عند تدوير ناقل نصف القطر عكس اتجاه عقارب الساعة، نحصل على زوايا إيجابية، وعند الدوران في اتجاه عقارب الساعة - سلبي.
لذلك، نحن نعلم أن الثورة الكاملة لمتجه نصف القطر حول الدائرة هي \(360()^\circ \) أو \(2\pi \) . هل من الممكن تدوير ناقل نصف القطر بواسطة \(390()^\circ \) أو بواسطة \(-1140()^\circ \)؟ حسنا بالطبع يمكنك! في الحالة الأولى، \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)وبالتالي، فإن متجه نصف القطر سيقوم بدورة كاملة ويتوقف عند الموضع \(30()^\circ \) أو \(\dfrac(\pi )(6) \) .
وفي الحالة الثانية، \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)، أي أن متجه نصف القطر سيقوم بثلاث دورات كاملة ويتوقف عند الموضع \(-60()^\circ \) أو \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
وهكذا، من الأمثلة المذكورة أعلاه يمكننا أن نستنتج أن الزوايا التي تختلف عن طريق \(360()^\circ \cdot m \) أو \(2\pi \cdot m \) (حيث \(m \) هو أي عدد صحيح )، تتوافق مع نفس موضع ناقل نصف القطر.
يوضح الشكل أدناه الزاوية \(\beta =-60()^\circ \) . نفس الصورة تتوافق مع الزاوية \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)إلخ. هذه القائمة يمكن أن تستمر إلى أجل غير مسمى. كل هذه الزوايا يمكن كتابتها بالصيغة العامة \(\بيتا +360()^\circ \cdot m\)أو \(\beta +2\pi \cdot m \) (حيث \(m \) هو أي عدد صحيح)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
الآن، معرفة تعريفات الدوال المثلثية الأساسية واستخدامها دائرة الوحدةحاول الإجابة على ما هي القيم:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
إليك دائرة الوحدة لمساعدتك:
تواجه صعوبات؟ ثم دعونا معرفة ذلك. لذلك نحن نعرف أن:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(ص).\end(صفيف)\)
ومن هنا، نحدد إحداثيات النقاط المقابلة لقياسات زوايا معينة. حسنًا، لنبدأ بالترتيب: الزاوية في الداخل \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)يتوافق مع نقطة بإحداثيات \(\left(0;1 \right) \) ، وبالتالي:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- غير موجود؛
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
وعلاوة على ذلك، التمسك بنفس المنطق، نكتشف أن الزوايا في \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )تتوافق مع النقاط مع الإحداثيات \(\left(-1;0 \يمين),\text( )\left(0;-1 \right),\text()\left(1;0 \right),\text()\left(0) ;1 \يمين) \)، على التوالى. بمعرفة ذلك، من السهل تحديد قيم الدوال المثلثية عند النقاط المقابلة. جربه بنفسك أولاً، ثم تحقق من الإجابات.
الإجابات:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- غير موجود
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- غير موجود
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- غير موجود
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- غير موجود
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
وبذلك يمكننا عمل الجدول التالي:
ليست هناك حاجة لتذكر كل هذه القيم. يكفي أن نتذكر المراسلات بين إحداثيات النقاط على دائرة الوحدة وقيم الدوال المثلثية:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(يجب أن تتذكره أو تكون قادرًا على عرضه!! \) !}
لكن قيم الدوال المثلثية للزوايا في و \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)الواردة في الجدول أدناه، يجب أن تتذكر:
لا تخف، سنعرض لك الآن مثالاً واحدًا لحفظ بسيط للقيم المقابلة:
لاستخدام هذه الطريقة، من الضروري أن نتذكر قيم الجيب لجميع قياسات الزاوية الثلاثة ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\))، وكذلك قيمة ظل الزاوية في \(30()^\circ \) . بمعرفة قيم \(4\) هذه، من السهل جدًا استعادة الجدول بأكمله - يتم نقل قيم جيب التمام وفقًا للأسهم، أي:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(صفيف) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)وبمعرفة ذلك، يمكنك استعادة القيم الخاصة بـ \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). البسط "\(1 \)" سيتوافق مع \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) والمقام "\(\sqrt(\text(3)) \)" سيتوافق مع \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . يتم نقل قيم ظل التمام وفقًا للأسهم الموضحة في الشكل. إذا فهمت هذا وتذكرت الرسم التخطيطي بالأسهم، فسيكون ذلك كافيًا لتذكر قيم \(4\) فقط من الجدول.
إحداثيات نقطة على الدائرة
هل من الممكن إيجاد نقطة (إحداثياتها) على الدائرة بمعرفة إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها وزاوية دورانها؟ حسنا بالطبع يمكنك! دعونا نشتق صيغة عامة لإيجاد إحداثيات نقطة ما. على سبيل المثال، هذه دائرة أمامنا:
لقد أعطيت لنا هذه النقطة \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- مركز الدائرة . نصف قطر الدائرة \(1.5\) . من الضروري إيجاد إحداثيات النقطة \(P\) التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة \(O\) بمقدار \(\delta \) درجات.
كما يتبين من الشكل، فإن الإحداثيات \(x\) للنقطة \(P\) تتوافق مع طول المقطع \(TP=UQ=UK+KQ\) . يتوافق طول المقطع \(UK\) مع الإحداثيات \(x\) لمركز الدائرة، أي أنه يساوي \(3\) . يمكن التعبير عن طول المقطع \(KQ\) باستخدام تعريف جيب التمام:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
ثم لدينا ذلك بالنسبة للنقطة \(P\) الإحداثية \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
باستخدام نفس المنطق، نجد قيمة الإحداثي y للنقطة \(P\) . هكذا،
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
لذلك، في منظر عاميتم تحديد إحداثيات النقاط بواسطة الصيغ:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \دلتا \نهاية(صفيف) \)، أين
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - إحداثيات مركز الدائرة،
\(r\) - نصف قطر الدائرة،
\(\delta \) - زاوية دوران نصف قطر المتجه.
كما ترون، بالنسبة لدائرة الوحدة التي ندرسها، تم تقليل هذه الصيغ بشكل كبير، حيث أن إحداثيات المركز تساوي الصفر ونصف القطر يساوي واحدًا:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \\delta \end(array) \)
تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.لإجراء العمليات الحسابية، يجب عليك تمكين عناصر تحكم ActiveX!
ترتبط مفاهيم الجيب ()، وجيب التمام ()، والظل ()، وظل التمام () ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الزاوية. لفهم هذه الأمور جيدًا، للوهلة الأولى، مفاهيم معقدة(والتي تسبب حالة من الرعب لدى كثير من تلاميذ المدارس)، وللتأكد من أن "الشيطان ليس مخيفا كما هو مرسوم"، دعونا نبدأ من البداية ونفهم مفهوم الزاوية.
مفهوم الزاوية: راديان، درجة
دعونا ننظر إلى الصورة. لقد "تحول" المتجه بالنسبة إلى النقطة بمقدار معين. إذن، سيكون قياس هذا الدوران بالنسبة إلى الموضع الأولي ركن.
ماذا تريد أن تعرف أيضًا عن مفهوم الزاوية؟ حسنا، بالطبع، وحدات الزاوية!
يمكن قياس الزاوية، في كل من الهندسة وعلم المثلثات، بالدرجات والراديان.
تسمى الزاوية (درجة واحدة). الزاوية المركزيةفي دائرة، مبنية على قوس دائري يساوي جزءاً من الدائرة. وهكذا فإن الدائرة بأكملها تتكون من “قطع” من الأقواس الدائرية، أو أن الزاوية الموصوفة بالدائرة متساوية.
أي أن الشكل أعلاه يوضح زاوية مساوية، أي أن هذه الزاوية ترتكز على قوس دائري بحجم محيطه.
الزاوية بالراديان هي الزاوية المركزية في دائرة يقابلها قوس دائري طوله يساوي نصف قطر الدائرة. حسنًا، هل اكتشفت ذلك؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك من الرسم.
إذن، يوضح الشكل زاوية تساوي الراديان، أي أن هذه الزاوية ترتكز على قوس دائري طوله يساوي نصف قطر الدائرة (الطول يساوي الطول أو نصف القطر يساوي نصف القطر) طول القوس). وبالتالي، يتم حساب طول القوس بالصيغة:
أين الزاوية المركزية بالراديان؟
حسنًا، بمعرفة ذلك، هل يمكنك الإجابة عن عدد الراديان الموجود في الزاوية التي تصفها الدائرة؟ نعم، لهذا عليك أن تتذكر صيغة المحيط. ها هي:
حسنًا، لنربط الآن بين هاتين الصيغتين ونجد أن الزاوية التي تصفها الدائرة متساوية. وهذا يعني أنه من خلال ربط القيمة بالدرجات والراديان، نحصل على ذلك. على التوالى، . كما ترون، على عكس "الدرجات"، تم حذف كلمة "راديان"، لأن وحدة القياس عادة ما تكون واضحة من السياق.
كم عدد الراديان هناك؟ صحيح!
فهمتها؟ ثم المضي قدما وإصلاحه:
تواجه صعوبات؟ ثم ابحث إجابات:
المثلث الأيمن: الجيب، جيب التمام، الظل، ظل التمام للزاوية
لذلك، توصلنا إلى مفهوم الزاوية. ولكن ما هو جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام للزاوية؟ دعونا معرفة ذلك. للقيام بذلك، سوف يساعدنا المثلث الأيمن.
ماذا تسمى أضلاع المثلث القائم الزاوية؟ هذا صحيح، الوتر والساقان: الوتر هو الضلع الذي يقع مقابل الزاوية القائمة (في مثالنا هذا هو الضلع)؛ والساقان هما الضلعان المتبقيان و(المجاوران للزاوية القائمة)، وإذا اعتبرنا الساقين نسبة إلى الزاوية، فالرجل هو الساق المجاورة، والرجل هو المقابل. والآن، دعونا نجيب على السؤال: ما هي جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية؟
جيب الزاوية- هذه هي نسبة الساق المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.
في مثلثنا.
جيب تمام الزاوية- هذه هي نسبة الساق المجاورة (المقربة) إلى الوتر.
في مثلثنا.
ظل الزاوية- هذه هي نسبة الضلع المقابل (البعيد) إلى الضلع المجاور (القريب).
في مثلثنا.
ظل التمام للزاوية- هذه هي نسبة الضلع المجاور (القريب) إلى الضلع المقابل (البعيد).
في مثلثنا.
هذه التعريفات ضرورية يتذكر! لتسهيل تذكر أي ساق يجب تقسيمها إلى ماذا، عليك أن تفهم ذلك بوضوح الظلو ظل التمامتجلس الأرجل فقط، ويظهر الوتر فقط في الداخل التجويفو جيب التمام. وبعد ذلك يمكنك التوصل إلى سلسلة من الارتباطات. على سبيل المثال، هذا:
جيب التمام → اللمس → اللمس → المجاورة؛
ظل التمام → اللمس → اللمس → المجاور.
بادئ ذي بدء، عليك أن تتذكر أن جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لأن نسب جوانب المثلث لا تعتمد على أطوال هذه الجوانب (في نفس الزاوية). لا تصدق؟ ثم تأكد من خلال النظر إلى الصورة:
خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، جيب تمام الزاوية. بحكم التعريف، من مثلث: ولكن يمكننا حساب جيب التمام لزاوية من مثلث: . كما ترون، أطوال الجوانب مختلفة، ولكن قيمة جيب التمام لزاوية واحدة هي نفسها. وبالتالي، فإن قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام تعتمد فقط على حجم الزاوية.
إذا فهمت التعريفات، فقم بالمضي قدمًا ودمجها!
بالنسبة للمثلث الموضح في الشكل أدناه نجد.
حسنا، هل حصلت عليه؟ ثم جرب ذلك بنفسك: احسب نفس الشيء بالنسبة للزاوية.
دائرة الوحدة (المثلثية).
من خلال فهم مفاهيم الدرجات والراديان، اعتبرنا دائرة نصف قطرها يساوي. تسمى هذه الدائرة أعزب. سيكون مفيدًا جدًا عند دراسة علم المثلثات. لذلك، دعونا ننظر إليها بمزيد من التفصيل.
كما ترون، تم إنشاء هذه الدائرة في نظام الإحداثيات الديكارتية. نصف قطر الدائرة يساوي واحدًا، بينما يقع مركز الدائرة عند أصل الإحداثيات، ويتم تثبيت الموضع الأولي لمتجه نصف القطر على طول الاتجاه الموجب للمحور (في مثالنا، هذا هو نصف القطر).
كل نقطة على الدائرة تقابل رقمين: إحداثي المحور وإحداثي المحور. ما هي هذه الأرقام الإحداثية؟ وبشكل عام ما علاقتهم بالموضوع المطروح؟ للقيام بذلك، علينا أن نتذكر المثلث القائم الزاوية. في الشكل أعلاه، يمكنك رؤية مثلثين قائمين بالكامل. النظر في مثلث. وهو مستطيل لأنه عمودي على المحور.
ما هو المثلث يساوي؟ صحيح. بالإضافة إلى ذلك، نحن نعلم أن هذا هو نصف قطر دائرة الوحدة، وهو ما يعني . لنعوض بهذه القيمة في صيغة جيب التمام. إليك ما يحدث:
ما هو المثلث يساوي؟ حسنا بالطبع، ! استبدل قيمة نصف القطر في هذه الصيغة واحصل على:
إذًا، هل يمكنك معرفة إحداثيات نقطة تنتمي إلى دائرة؟ حسنا، بأي حال من الأحوال؟ ماذا لو أدركت ذلك وما هي إلا أرقام؟ ما الإحداثيات التي تتوافق معها؟ حسنا، بالطبع، الإحداثيات! وما الإحداثيات التي تتوافق معها؟ هذا صحيح، الإحداثيات! وهكذا الفترة.
ما هي إذن وتساوي؟ هذا صحيح، دعونا نستخدم التعريفات المقابلة للظل وظل التمام ونحصل على ذلك، أ.
ماذا لو كانت الزاوية أكبر؟ على سبيل المثال، كما في هذه الصورة:
ما الذي تغير في هذا المثال؟ دعونا معرفة ذلك. للقيام بذلك، دعونا ننتقل مرة أخرى إلى المثلث الأيمن. خذ بعين الاعتبار المثلث القائم: الزاوية (المجاورة للزاوية). ما هي قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية؟ هذا صحيح، نحن نلتزم بالتعريفات المقابلة للدوال المثلثية:
حسنًا، كما ترون، فإن قيمة جيب الزاوية لا تزال تتوافق مع الإحداثيات؛ قيمة جيب التمام للزاوية - الإحداثيات؛ وقيم الظل وظل التمام للنسب المقابلة. وبالتالي، تنطبق هذه العلاقات على أي دوران لمتجه نصف القطر.
لقد ذكرنا بالفعل أن الموضع الأولي لمتجه نصف القطر يقع على طول الاتجاه الموجب للمحور. لقد قمنا حتى الآن بتدوير هذا المتجه عكس اتجاه عقارب الساعة، لكن ماذا يحدث إذا قمنا بتدويره في اتجاه عقارب الساعة؟ لا شيء غير عادي، سوف تحصل أيضًا على زاوية ذات قيمة معينة، لكنها فقط ستكون سلبية. وبالتالي، عند تدوير ناقل نصف القطر عكس اتجاه عقارب الساعة، نحصل على زوايا إيجابية، وعند الدوران في اتجاه عقارب الساعة - سلبي.
إذن، نحن نعلم أن الدورة الكاملة لمتجه نصف القطر حول الدائرة هي أو. هل من الممكن تدوير ناقل نصف القطر إلى أو إلى؟ حسنا بالطبع يمكنك! في الحالة الأولى، فإن متجه نصف القطر سيقوم بدورة كاملة ويتوقف عند الموضع أو.
في الحالة الثانية، أي أن متجه نصف القطر سيقوم بثلاث دورات كاملة ويتوقف عند الموضع أو.
وبالتالي، من الأمثلة المذكورة أعلاه يمكننا أن نستنتج أن الزوايا التي تختلف بـ أو (حيث يوجد أي عدد صحيح) تتوافق مع نفس موضع متجه نصف القطر.
الشكل أدناه يوضح زاوية. نفس الصورة تتوافق مع الزاوية، الخ. هذه القائمة يمكن أن تستمر إلى أجل غير مسمى. يمكن كتابة كل هذه الزوايا بالصيغة العامة أو (أين يوجد أي عدد صحيح)
الآن، بعد معرفة تعريفات الدوال المثلثية الأساسية واستخدام دائرة الوحدة، حاول الإجابة على ما هي القيم:
إليك دائرة الوحدة لمساعدتك:
تواجه صعوبات؟ ثم دعونا معرفة ذلك. لذلك نحن نعرف أن:
ومن هنا، نحدد إحداثيات النقاط المقابلة لقياسات زوايا معينة. حسنًا، لنبدأ بالترتيب: الزاوية عند تتوافق مع نقطة ذات إحداثيات، وبالتالي:
غير موجود؛
علاوة على ذلك، فإن الالتزام بنفس المنطق، نكتشف أن الزوايا تتوافق مع النقاط ذات الإحداثيات، على التوالي. بمعرفة ذلك، من السهل تحديد قيم الدوال المثلثية عند النقاط المقابلة. جربه بنفسك أولاً، ثم تحقق من الإجابات.
الإجابات:
غير موجود
غير موجود
غير موجود
غير موجود
وبذلك يمكننا عمل الجدول التالي:
ليست هناك حاجة لتذكر كل هذه القيم. يكفي أن نتذكر المراسلات بين إحداثيات النقاط على دائرة الوحدة وقيم الدوال المثلثية:
لكن قيم الدوال المثلثية للزوايا في و، الواردة في الجدول أدناه، يجب أن نتذكر:
لا تخف، الآن سنعرض لك مثالاً واحدًا من السهل جدًا تذكر القيم المقابلة:
لاستخدام هذه الطريقة، من المهم أن نتذكر قيم جيب الجيب لجميع قياسات الزاوية الثلاثة ()، وكذلك قيمة ظل الزاوية. بمعرفة هذه القيم، من السهل جدًا استعادة الجدول بأكمله - يتم نقل قيم جيب التمام وفقًا للأسهم، أي:
مع العلم بذلك، يمكنك استعادة القيم ل. سوف يتطابق البسط " " والمقام " ". يتم نقل قيم ظل التمام وفقًا للأسهم الموضحة في الشكل. إذا فهمت هذا وتذكرت الرسم التخطيطي بالأسهم، فسيكون ذلك كافيًا لتذكر جميع القيم من الجدول.
إحداثيات نقطة على الدائرة
هل من الممكن العثور على نقطة (إحداثياتها) على الدائرة، معرفة إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها وزاوية الدوران?
حسنا بالطبع يمكنك! دعونا نخرجها الصيغة العامة لإيجاد إحداثيات نقطة ما.
على سبيل المثال، هذه دائرة أمامنا:
لقد علمنا أن النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات نقطة تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة بالدرجات.
كما يتبين من الشكل، فإن إحداثيات النقطة تتوافق مع طول القطعة. طول القطعة يتوافق مع إحداثيات مركز الدائرة، أي أنها متساوية. يمكن التعبير عن طول المقطع باستخدام تعريف جيب التمام:
ثم لدينا ذلك لإحداثي النقطة.
وباستخدام نفس المنطق، نجد قيمة الإحداثيات y للنقطة. هكذا،
لذلك، بشكل عام، يتم تحديد إحداثيات النقاط بواسطة الصيغ:
إحداثيات مركز الدائرة،
نصف قطر الدائرة,
زاوية دوران نصف قطر المتجه.
كما ترون، بالنسبة لدائرة الوحدة التي ندرسها، تم تقليل هذه الصيغ بشكل كبير، حيث أن إحداثيات المركز تساوي الصفر ونصف القطر يساوي واحدًا:
حسنًا، دعونا نجرب هذه الصيغ من خلال التدرب على إيجاد النقاط على الدائرة؟
1. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.
2. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.
3. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.
4. النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير متجه نصف القطر الأولي.
5. النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير متجه نصف القطر الأولي.
هل تواجه مشكلة في العثور على إحداثيات نقطة على الدائرة؟
قم بحل هذه الأمثلة الخمسة (أو كن جيدًا في حلها) وسوف تتعلم كيفية العثور عليها!
1.
يمكنك ملاحظة ذلك. لكننا نعرف ما يقابل الثورة الكاملة لنقطة البداية. وبالتالي فإن النقطة المطلوبة ستكون في نفس الوضع الذي كانت عليه عند التحول إليها. وبمعرفة ذلك نجد الإحداثيات المطلوبة للنقطة:
2. تتمركز دائرة الوحدة عند نقطة، مما يعني أنه يمكننا استخدام صيغ مبسطة:
يمكنك ملاحظة ذلك. نحن نعرف ما يتوافق مع ثورتين كاملتين لنقطة البداية. وبالتالي فإن النقطة المطلوبة ستكون في نفس الوضع الذي كانت عليه عند التحول إليها. وبمعرفة ذلك نجد الإحداثيات المطلوبة للنقطة:
الجيب وجيب التمام هما قيمتان في الجدول. ونتذكر معانيها ونحصل على:
وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.
3. تتمركز دائرة الوحدة عند نقطة، مما يعني أنه يمكننا استخدام صيغ مبسطة:
يمكنك ملاحظة ذلك. دعونا نصور المثال المعني في الشكل:
نصف القطر يجعل الزوايا متساوية مع المحور ومعه. مع العلم أن قيمتي جيب التمام والجيب متساويتان في الجدول، وبعد تحديد أن جيب التمام هنا يأخذ قيمة سالبة والجيب يأخذ قيمة موجبة، لدينا:
تتم مناقشة هذه الأمثلة بمزيد من التفصيل عند دراسة صيغ تقليل الدوال المثلثية في الموضوع.
وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.
4.
زاوية دوران نصف قطر المتجه (حسب الحالة)
لتحديد العلامات المقابلة للجيب وجيب التمام، نقوم ببناء دائرة الوحدة والزاوية:
كما ترون، القيمة، أي موجبة، والقيمة، أي، سلبية. وبمعرفة القيم الجدولية للدوال المثلثية المقابلة نحصل على ما يلي:
دعنا نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في صيغتنا ونجد الإحداثيات:
وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.
5. لحل هذه المشكلة، نستخدم الصيغ في الصورة العامة، حيث
إحداثيات مركز الدائرة (في مثالنا،
نصف قطر الدائرة (حسب الحالة)
زاوية دوران نصف قطر المتجه (حسب الحالة).
دعنا نستبدل جميع القيم في الصيغة ونحصل على:
و - قيم الجدول. دعونا نتذكرها ونستبدلها في الصيغة:
وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.
الملخص والصيغ الأساسية
جيب الزاوية هو نسبة الساق المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.
جيب تمام الزاوية هو نسبة الساق المجاورة (المقربة) إلى الوتر.
ظل الزاوية هو نسبة الجانب المقابل (البعيد) إلى الجانب المجاور (القريب).
ظل التمام للزاوية هو نسبة الضلع المجاور (القريب) إلى الضلع المقابل (البعيد).
