هناك ثلاث قواعد أساسية للعثور على وظائف المشتقات العكسية. إنها تشبه إلى حد كبير قواعد التمايز المقابلة.

المادة 1

إذا كان F هو مشتق عكسي لبعض الوظائف f، و G هو مشتق عكسي لبعض الوظائف g، فإن F + G سيكون مشتقًا عكسيًا لـ f + g.

حسب تعريف المشتق العكسي، F' = f. ز' = ز. وبما أن هذه الشروط قد تحققت، فوفقًا لقاعدة حساب المشتقة لمجموع الدوال سيكون لدينا:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

القاعدة 2

إذا كانت F مشتقة عكسية لبعض الوظائف f، و k ثابتة. إذن k*F هو المشتق العكسي للدالة k*f. تتبع هذه القاعدة قاعدة حساب مشتقة دالة معقدة.

لدينا: (k*F)' = k*F' = k*f.

القاعدة 3

إذا كانت F(x) عبارة عن مشتق عكسي للدالة f(x)، وكانت k وb بعض الثوابت، وk لا تساوي الصفر، فإن (1/k)*F*(k*x+b) ستكون مشتق عكسي للدالة f (k*x+b).

تتبع هذه القاعدة قاعدة حساب مشتق دالة معقدة:

((1/ك)*F*(k*x+b))' = (1/ك)*F'(k*x+b)*k = f(k*x+b).

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة لكيفية تطبيق هذه القواعد:

مثال 1. يجد الشكل العامالمشتقات العكسية للدالة f(x) = x^3 +1/x^2. بالنسبة للدالة x^3، ستكون إحدى المشتقات العكسية هي الدالة (x^4)/4، وبالنسبة للدالة 1/x^2، ستكون إحدى المشتقات العكسية هي الدالة -1/x. باستخدام القاعدة الأولى لدينا:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

مثال 2. لنجد الصيغة العامة للمشتقات العكسية للدالة f(x) = 5*cos(x). بالنسبة للدالة cos(x)، ستكون إحدى المشتقات العكسية هي الدالة sin(x). إذا استخدمنا الآن القاعدة الثانية، فسيكون لدينا:

و(س) = 5*الخطيئة(س).

مثال 3.أوجد أحد المشتقات العكسية للدالة y = sin(3*x-2). بالنسبة للدالة sin(x) ستكون إحدى المشتقات العكسية هي الدالة -cos(x). إذا استخدمنا الآن القاعدة الثالثة، فسنحصل على تعبير للمشتق العكسي:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

مثال 4. أوجد المشتق العكسي للدالة f(x) = 1/(7-3*x)^5

المشتق العكسي للدالة 1/x^5 سيكون الدالة (-1/(4*x^4)). الآن، باستخدام القاعدة الثالثة، نحصل على.

لقد رأينا أن للمشتق استخدامات عديدة: المشتق هو سرعة الحركة (أو، بشكل أعم، سرعة أي عملية)؛ مشتق هو ميلمماس للرسم البياني للدالة؛ باستخدام المشتق، يمكنك فحص دالة للرتابة والنقاط القصوى؛ يساعد المشتق في حل مشكلات التحسين.

ولكن في الحياه الحقيقيهيجب أيضًا حل المشكلات العكسية: على سبيل المثال، إلى جانب مشكلة إيجاد السرعة وفقًا لقانون معروف للحركة، هناك أيضًا مشكلة استعادة قانون الحركة وفقًا لسرعة معروفة. دعونا نفكر في واحدة من هذه المشاكل.

مثال 1.يتحرك في خط مستقيم نقطة مادية، سرعة حركتها في الوقت t تعطى بالصيغة u = tg. العثور على قانون الحركة.

حل.دع s = s(t) هو قانون الحركة المطلوب. ومن المعروف أن s"(t) = u"(t). هذا يعني أنه لحل المشكلة عليك أن تختار وظيفة s = s(t)، الذي مشتقه يساوي tg. ليس من الصعب تخمين ذلك

دعونا نلاحظ على الفور أن المثال قد تم حله بشكل صحيح، ولكن بشكل غير كامل. لقد وجدنا أن المشكلة، في الواقع، لها عدد لا نهائي من الحلول: أي دالة من الشكل الثابت التعسفي يمكن أن يكون بمثابة قانون للحركة، منذ ذلك الحين

لجعل المهمة أكثر تحديدًا، كنا بحاجة إلى إصلاح الوضع الأولي: الإشارة إلى إحداثيات نقطة متحركة في وقت ما، على سبيل المثال، عند t=0. إذا، على سبيل المثال، s(0) = s 0، فمن المساواة نحصل على s(0) = 0 + C، أي S 0 = C. الآن يتم تعريف قانون الحركة بشكل فريد:
في الرياضيات، تُعطى العمليات العكسية أسماء مختلفة ويتم اختراع رموز خاصة: على سبيل المثال، التربيع (× 2) والاستخراج الجذر التربيعيجيب (الخطيئة) و أركسين(أركسين س)، الخ. عملية العثور على المشتق فيما يتعلق وظيفة معينةويسمى التمايز، والعملية العكسية، أي. عملية إيجاد دالة من مشتق معين - التكامل.
يمكن تبرير مصطلح "مشتق" نفسه "في الحياة اليومية": الوظيفة y - f(x) "تلد" وظيفة جديدة y"= f"(x). تعمل الوظيفة y = f(x) "الأم"، لكن علماء الرياضيات، بطبيعة الحال، لا يسمونها "الأم" أو "المنتج"، فهم يقولون أن هذه، فيما يتعلق بالدالة y"=f"(x)، هي الصورة الأساسية، أو، في باختصار، المشتق المضاد.

التعريف 1.تسمى الدالة y = F(x) بالمشتق العكسي للدالة y = f(x) في فترة زمنية معينة X إذا كانت المساواة F"(x)=f(x) صالحة لجميع x من X.

من الناحية العملية، عادة لا يتم تحديد الفاصل الزمني X، ولكنه ضمني (باعتباره المجال الطبيعي لتعريف الوظيفة).

وهنا بعض الأمثلة:

1) الدالة y = x 2 هي مشتقة عكسية للدالة y = 2x، حيث أن المساواة (x 2)" = 2x صحيحة لجميع x.
2) الدالة y - x 3 هي مشتقة عكسية للدالة y-3x 2، حيث أن المساواة (x 3)" = 3x 2 صحيحة لجميع x.
3) الدالة y-sinx هي مشتقة عكسية للدالة y = cosx، حيث أن المساواة (sinx)" = cosx لجميع x صحيحة.
4) الدالة هي مشتقة عكسية لدالة في الفاصل الزمني حيث أن المساواة صحيحة لجميع x > 0
بشكل عام، معرفة صيغ البحث عن المشتقات، ليس من الصعب تجميع جدول الصيغ للعثور على المشتقات العكسية.

نأمل أن تفهم كيفية تجميع هذا الجدول: مشتق الدالة المكتوبة في العمود الثاني يساوي الدالة المكتوبة في الصف المقابل من العمود الأول (تحقق من ذلك، لا تكن كسولًا، انها مفيدة للغاية). على سبيل المثال، بالنسبة للدالة y = x 5، المشتق العكسي، كما ستثبت، هو الدالة (انظر الصف الرابع من الجدول).

ملحوظات: 1. أدناه سنثبت النظرية القائلة بأنه إذا كانت y = F(x) مشتقة عكسية للدالة y = f(x)، فإن الدالة y = f(x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية وجميعها لها الشكل y = F(x ) + C. لذلك، سيكون من الأصح إضافة المصطلح C في كل مكان في العمود الثاني من الجدول، حيث يكون C رقمًا حقيقيًا عشوائيًا.
2. من أجل الإيجاز، في بعض الأحيان بدلاً من عبارة "الدالة y = F(x) هي مشتق عكسي للدالة y = f(x)"، يقولون F(x) هي مشتق عكسي للدالة f(x) ".

2. قواعد العثور على المشتقات العكسية

عند العثور على المشتقات العكسية، وكذلك عند البحث عن المشتقات، لا يتم استخدام الصيغ فقط (وهي مدرجة في الجدول ص 196)، ولكن أيضًا بعض القواعد. ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالقواعد المقابلة لحساب المشتقات.

نحن نعلم أن مشتقة المجموع تساوي مجموع مشتقاته. تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.

المادة 1.المشتقة العكسية للمجموع تساوي مجموع المشتقات العكسية.

نلفت انتباهكم إلى "خفة" هذه الصيغة إلى حد ما. في الواقع، ينبغي للمرء صياغة النظرية: إذا كانت الدالتان y = f(x) وy = g(x) لها مشتقات عكسية في الفترة X، على التوالي y-F(x) وy-G(x)، فإن مجموع الدوال y = f(x)+g(x) له مشتق عكسي في الفترة X، وهذا المشتق العكسي هو الدالة y = F(x)+G(x). ولكن عادة، عند صياغة القواعد (وليس النظريات)، يتم ترك الكلمات الرئيسية فقط - وهذا أكثر ملاءمة لتطبيق القواعد في الممارسة العملية

مثال 2.أوجد المشتق العكسي للدالة y = 2x + cos x.

حل.المشتق العكسي لـ 2x هو x"؛ المشتق العكسي لـ cox هو sin x. وهذا يعني أن المشتق العكسي للدالة y = 2x + cos x سيكون الدالة y = x 2 + sin x (وبشكل عام أي دالة من النموذج ص = س 1 + جاينكس + ج) .
نحن نعلم أنه يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتقة. تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.

القاعدة 2.يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتق العكسي.

مثال 3.

حل.أ) المشتق العكسي لـ sin x هو -soz x؛ هذا يعني أنه بالنسبة للدالة y = 5 sin x، ستكون دالة المشتق العكسي هي الدالة y = -5 cos x.

ب) المشتق العكسي لـ cos x هو sin x؛ هذا يعني أن المشتق العكسي للدالة هو الدالة
ج) المشتق العكسي لـ x 3 هو المشتق العكسي لـ x، والمشتق العكسي للدالة y = 1 هو الدالة y = x. باستخدام القاعدتين الأولى والثانية لإيجاد المشتقات العكسية نجد أن المشتقة العكسية للدالة y = 12x 3 + 8x-1 هي الدالة
تعليق.كما هو معروف، مشتقة المنتج لا تساوي منتج المشتقات (قاعدة تفاضلية المنتج أكثر تعقيدا) ومشتقة حاصل القسمة لا تساوي حاصل قسمة المشتقات. لذلك، لا توجد قواعد لإيجاد المشتق العكسي للمنتج أو المشتق العكسي لحاصل دالتين. احرص!
دعونا نحصل على قاعدة أخرى لإيجاد المشتقات العكسية. نحن نعلم أن مشتق الدالة y = f(kx+m) يتم حسابه بواسطة الصيغة

تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.
القاعدة 3.إذا كانت y = F(x) مشتقًا عكسيًا للدالة y = f(x)، فإن المشتق العكسي للدالة y=f(kx+m) هو الدالة

بالفعل،

هذا يعني أنه مشتق عكسي للدالة y = f(kx+m).
معنى القاعدة الثالثة هو كما يلي. إذا كنت تعلم أن المشتق العكسي للدالة y = f(x) هو الدالة y = F(x)، وتحتاج إلى العثور على المشتق العكسي للدالة y = f(kx+m)، فاتبع الخطوات التالية: نفس الوظيفة F، ولكن بدلاً من الوسيطة x، استبدل التعبير kx+m؛ بالإضافة إلى ذلك، لا تنس كتابة "عامل التصحيح" قبل علامة الوظيفة
مثال 4.ابحث عن المشتقات العكسية لوظائف معينة:

حل، أ) المشتق العكسي لـ sin x هو -soz x؛ هذا يعني أنه بالنسبة للدالة y = sin2x فإن المشتق العكسي هو الدالة
ب) المشتق العكسي لـ cos x هو sin x؛ هذا يعني أن المشتق العكسي للدالة هو الدالة

ج) المشتق العكسي لـ x 7 يعني أنه بالنسبة للدالة y = (4-5x) 7 فإن المشتق العكسي هو الدالة

3. تكامل غير محدد

لقد سبق أن أشرنا أعلاه إلى أن مشكلة إيجاد المشتق العكسي لدالة معينة y = f(x) لها أكثر من حل. دعونا نناقش هذه المسألة بمزيد من التفصيل.

دليل. 1. افترض أن y = F(x) هو المشتق العكسي للدالة y = f(x) في الفاصل الزمني X. وهذا يعني أنه بالنسبة لجميع x من X فإن المساواة x"(x) = f(x) موجودة. دعونا أوجد مشتقة أي دالة بالصيغة y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

إذن (F(x)+C) = f(x). هذا يعني أن y = F(x) + C هو مشتق عكسي للدالة y = f(x).
وهكذا، أثبتنا أنه إذا كانت الدالة y = f(x) لها مشتق عكسي y=F(x)، فإن الدالة (f = f(x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية، على سبيل المثال، أي دالة على الشكل y = F(x) +C هو مشتق عكسي.
2. دعونا نثبت الآن أن نوع الوظائف المشار إليه يستنفد مجموعة المشتقات العكسية بأكملها.

افترض أن y=F 1 (x) وy=F(x) هما مشتقان عكسيان للدالة Y = f(x) في الفترة X. وهذا يعني أنه بالنسبة لجميع x من الفترة X فإن العلاقات التالية تكون: F^ ( س) = و (س)؛ F"(س) = و(س).

لنفكر في الدالة y = F 1 (x) -.F(x) ونجد مشتقتها: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - و(س) = 0.
من المعروف أنه إذا كان مشتق الدالة في الفترة X يساوي الصفر، فإن الدالة تكون ثابتة في الفترة X (انظر النظرية 3 من الفقرة 35). وهذا يعني أن F 1 (x) - F (x) = C، أي. Fx) = F(x)+C.

لقد تم إثبات النظرية.

مثال 5.قانون تغير السرعة مع الزمن معطى: v = -5sin2t. أوجد قانون الحركة s = s(t)، إذا كان من المعروف أنه في الزمن t=0 كان إحداثي النقطة يساوي الرقم 1.5 (أي s(t) = 1.5).

حل.بما أن السرعة هي مشتقة من الإحداثيات كدالة للزمن، فعلينا أولًا إيجاد المشتقة العكسية للسرعة، أي. المشتق العكسي للدالة v = -5sin2t. إحدى هذه المشتقات العكسية هي الدالة، ومجموعة جميع المشتقات العكسية لها الشكل:

للعثور على القيمة المحددة للثابت C، نستخدم الشروط الأولية، والتي بموجبها s(0) = 1.5. باستبدال القيم t=0، S = 1.5 في الصيغة (1)، نحصل على:

باستبدال القيمة الموجودة لـ C في الصيغة (1)، نحصل على قانون الحركة الذي يهمنا:

التعريف 2.إذا كانت الدالة y = f(x) تحتوي على مشتق عكسي y = F(x) في الفاصل الزمني X، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية، أي. مجموعة الوظائف من النموذج y = F(x) + C تسمى التكامل غير المحدد للدالة y = f(x) ويشار إليها بواسطة:

(يقرأ: " تكامل غير محدد ef من x de x").
وفي الفقرة التالية سنتعرف على المعنى الخفي لهذه التسمية.
بناءً على جدول المشتقات العكسية المتوفرة في هذا القسم، سنقوم بتجميع جدول للتكاملات غير المحددة الرئيسية:

بناءً على القواعد الثلاث المذكورة أعلاه لإيجاد المشتقات العكسية، يمكننا صياغة قواعد التكامل المقابلة.

المادة 1.تكامل مجموع الوظائف يساوي المبلغتكاملات هذه الوظائف:

القاعدة 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:

القاعدة 3.لو

مثال 6.أوجد التكاملات غير المحددة:

حلأ) باستخدام قاعدتي التكامل الأولى والثانية نحصل على:

الآن دعونا نستخدم صيغ التكامل الثالثة والرابعة:

ونتيجة لذلك نحصل على:

ب) باستخدام القاعدة الثالثة للتكامل والصيغة 8 نحصل على:

ج) لإيجاد تكامل معين مباشرة، ليس لدينا الصيغة المقابلة ولا القاعدة المقابلة. في مثل هذه الحالات، تساعد أحيانًا التحويلات المتطابقة التي تم إجراؤها مسبقًا للتعبير الموجود تحت علامة التكامل.

دعونا نستفيد الصيغة المثلثيةتخفيض الدرجة:

ثم نجد تباعا:

اي جي. جبر موردكوفيتش الصف العاشر

التخطيط المواضيعي للتقويم في الرياضيات، فيديوفي الرياضيات على الانترنت، الرياضيات في المدرسة

وثيقة

بعض الفاصل الزمني X. إذا لأي xХ F"(x) = f(x)، إذن وظيفة F مُسَمًّىمشتق مضادلالمهام f على الفاصل الزمني X. مشتق مضادلالمهاميمكنك محاولة العثور على...

مشتق مضاد للوظيفة

وثيقة

... . وظيفةو(خ) مُسَمًّىمشتق مضادلالمهام f(x) على الفترة (a;b)، إذا لجميع x(a;b) تحمل المساواة F(x) = f(x). على سبيل المثال، لالمهام×2 مشتق مضادسوف وظيفة×3...

أساسيات دليل دراسة حساب التفاضل والتكامل

درس تعليمي

... ; 5. أوجد التكامل. ; ب) ؛ ج) ؛ د) ؛ 6. وظيفةمُسَمًّىمشتق مضادل المهامعلى مجموعة إذا: لالجميع؛ في مرحلة ما؛ لالجميع؛ في بعض ... الفاصل الزمني. التعريف 1. وظيفةمُسَمًّىمشتق مضادلالمهامفي كثير...

تكامل غير محدد المشتقة العكسية

وثيقة

اندماج. مشتق مضاد. مستمر وظيفةو(خ) مُسَمًّىمشتق مضادلالمهام f (x) على الفاصل الزمني X إذا لكل F '(x) = f (x). مثال وظيفة F(س) = × 3 هو مشتق مضادلالمهامو(خ) = 3س...

التعليم الخاص لاتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية المعتمد من قبل المديرية التعليمية والمنهجية للتعليم العالي تعليمات منهجية للرياضيات ومهام التحكم (مع البرنامج) للطلاب غير المتفرغين في التخصصات الهندسية والتقنية

القواعد الارشادية

أسئلة لتعريف الاختبار الذاتي مشتق مضادالمهام. تحديد معنى هندسيمجمل بدائيةالمهام. ماذا مُسَمًّىغير مؤكد...

تكامل غير محدد

كانت المهمة الرئيسية لحساب التفاضل والتكامل هي حساب المشتق أو التفاضلي لوظيفة معينة. حساب التكامل، الذي ننتقل إلى دراسته، يحل المشكلة العكسية، وهي إيجاد الدالة نفسها من مشتقتها أو تفاضلها. وهذا هو، وجود dF(x)= f(x)د (7.1) أو و ′ (س) = و (س),

أين و (خ)- وظيفة معروفة، تحتاج إلى العثور على الوظيفة و(خ).

تعريف:يتم استدعاء الدالة F(x). مشتق مضادالدالة f(x) على المقطع إذا كانت المساواة موجودة في جميع نقاط هذا المقطع: F'(س) = و(س)أو dF(x)= f(x)د.

على سبيل المثال، إحدى الدوال المشتقة العكسية للدالة و(س)=3س 2سوف و(س)= × 3، لأن ( × 3)′=3×2. ولكن النموذج الأولي لهذه الوظيفة و(س)=3س 2سيكون هناك أيضًا وظائف و منذ ذلك الحين .

إذن هذه الوظيفة و(س)=3س 2له عدد لا نهائي من البدائيات، كل منها يختلف بحد ثابت فقط. دعونا نبين أن هذه النتيجة تنطبق أيضًا على الحالة العامة.

نظرية يختلف المشتقان العكسيان المختلفان لنفس الوظيفة المحددة في فترة معينة عن بعضهما البعض في هذه الفترة بمقدار ثابت.

دليل

دع الوظيفة و (خ) المحددة على الفاصل الزمني (أ¸ب)و واو 1 (خ) و واو 2 (خ) - المشتقات المضادة، أي. F 1 ′(x)= f(x) و F 2 ′(x)= f(x).

ثم F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ ف 1 (س) - ف 2 (س) = ج

من هنا، ف 2 (س) = ف 1 (س) + ج

أين مع - ثابت (يتم استخدام نتيجة طبيعية لنظرية لاغرانج هنا).

وهكذا تم إثبات النظرية.

التوضيح الهندسي. لو في = واو 1 (خ) و في = واو 2 (خ) - المشتقات المضادة لنفس الوظيفة و (خ)، ثم مماس الرسوم البيانية الخاصة بهم عند النقاط ذات الإحداثي الإحداثي المشترك Xموازية لبعضها البعض (الشكل 7.1).

في هذه الحالة، المسافة بين هذه المنحنيات على طول المحور الوحدة التنظيميةيبقى ثابتا ف 2 (س) - ف 1 (س) = ج ، أي أن هذه المنحنيات في بعض الفهم"بالتوازي" مع بعضها البعض.

عاقبة .

إضافة إلى بعض المشتقات المضادة و(خ) لهذه الوظيفة و (خ)، محددة على الفاصل الزمني X، كل الثوابت الممكنة مع، نحصل على جميع المشتقات العكسية الممكنة للدالة و (خ).

هكذا التعبير و(خ)+ج وأين و و(خ) - بعض المشتقات العكسية للدالة و (خ)يشمل جميع المشتقات المضادة الممكنة ل و (خ).

مثال 1.تحقق مما إذا كانت الوظائف المشتقات المضادة للوظيفة

حل:

إجابة: المشتقات العكسية للدالة ستكون هناك وظائف و

تعريف: إذا كانت الدالة F(x) هي مشتق عكسي للدالة f(x)، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية F(x)+ C تسمى تكامل غير محدد منو (خ) وتدل على:

∫f(x)dx.

أ-بريوري:

f(x) - الدالة التكاملية،

f(x)dx - تعبير التكامل

ويترتب على ذلك أن التكامل غير المحدد هو دالة ذات صورة عامة، تفاضلها يساوي التكامل، ومشتقتها بالنسبة للمتغير Xيساوي التكامل في جميع النقاط.

من وجهة نظر هندسيةالتكامل غير المحدد هو مجموعة من المنحنيات، يتم الحصول على كل منها عن طريق إزاحة أحد المنحنيات الموازية لنفسها لأعلى أو لأسفل، أي على طول المحور الوحدة التنظيمية(الشكل 7.2).

تسمى عملية حساب التكامل غير المحدد لدالة معينة اندماج هذه الوظيفة.

لاحظ أنه إذا كان مشتق من وظيفة أوليةدائمًا ما تكون دالة أولية، فإن المشتق العكسي للدالة الأولية قد لا يتم تمثيله بعدد محدود من الدوال الأولية.

دعونا نفكر الآن خصائص التكامل غير المحدد.

من التعريف 2 يلي:

1. مشتقة التكامل غير المحدد تساوي التكامل، أي إذا F'(س) = و(س) ، الذي - التي

2. تفاضل التكامل غير المحدد يساوي التكامل

. (7.4)

من تعريف التفاضل والملكية (7.3)

3. التكامل غير المحدد لتفاضل بعض الوظائف يساوي هذه الوظيفة حتى حد ثابت، أي (7.5)

لنفكر في حركة نقطة على طول خط مستقيم. دع الأمر يستغرق وقتا رمنذ بداية الحركة قطعت النقطة مسافة شارع).ثم السرعة اللحظية الخامس (ر)يساوي مشتقة الدالة شارع)،إنه ت(ر) = ق"(ر).

في الممارسة العملية يحدث ذلك مشكلة عكسية: عند سرعة معينة لحركة النقطة الخامس (ر)العثور على الطريق الذي سلكته شارع)أي العثور على مثل هذه الوظيفة شارع)،الذي مشتق يساوي الخامس (ر). وظيفة شارع)،مثل ذلك الصورة"(ر) = الخامس(ر)، ويسمى المشتق العكسي للوظيفة الخامس (ر).

على سبيل المثال، إذا الخامس (ر) = في، أين أهو رقم معين، ثم الوظيفة
ق(ر) = (عند 2) / 2الخامس (ر)،لأن
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

وظيفة و(خ)يسمى المشتق العكسي للدالة و (خ)في فترة ما، إذا كان للجميع Xمن هذه الفجوة F"(س) = و(س).

على سبيل المثال، الدالة F(س) = الخطيئة سهو المشتق العكسي للوظيفة و(س) = كوس س،لأن (الخطيئة س)" = كوس س; وظيفة و(س) = س 4 /4هو المشتق العكسي للوظيفة و(خ) = س 3، لأن (× 4 /4)" = × 3.

دعونا ننظر في المشكلة.

مهمة.

أثبت أن الدوال x 3 /3، x 3 /3 + 1، x 3 /3 – 4 هي مشتقات عكسية لنفس الدالة f(x) = x 2.

حل.

1) دعنا نشير إلى F 1 (x) = x 3 /3، ثم F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1، F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( س).

3) F 3 (x) = x 3 /3 - 4، F" 3 (x) = (x 3 /3 - 4)" = x 2 = f (x).

بشكل عام، أي دالة x 3 /3 + C، حيث C ثابت، هي مشتق عكسي للدالة x 2. ويترتب على ذلك أن مشتقة الثابت تساوي صفرًا. يوضح هذا المثال أنه بالنسبة لوظيفة معينة، يتم تحديد المشتق العكسي لها بشكل غامض.

افترض أن F 1 (x) وF 2 (x) هما مشتقان عكسيان لنفس الدالة f(x).

ثم F 1 "(x) = f(x) وF" 2 (x) = f(x).

مشتقة الفرق بينهما g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) تساوي صفر، لأن g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – و (س) = 0.

إذا كانت g"(x) = 0 في فترة زمنية معينة، فإن مماس الرسم البياني للدالة y = g(x) عند كل نقطة من هذه الفترة يكون موازيًا لمحور الثور. وبالتالي، فإن الرسم البياني للدالة y = g(x) هو خط مستقيم موازي لمحور الثور، أي g(x) = C، حيث C ثابت بعض الشيء. من المعادلات g(x) = C، g(x) = F 1 (x) - F 2 (x) ويترتب على ذلك أن F 1 (x) = F 2 (x) + S.

لذلك، إذا كانت الدالة F(x) هي مشتق عكسي للدالة f(x) في فترة زمنية معينة، فإن جميع المشتقات العكسية للدالة f(x) تتم كتابتها في النموذج F(x) + C، حيث C هي ثابت تعسفي.

دعونا نفكر في الرسوم البيانية لجميع المشتقات العكسية لدالة معينة f(x). إذا كانت F(x) إحدى المشتقات العكسية للدالة f(x)، فسيتم الحصول على أي مشتق عكسي لهذه الدالة بإضافة بعض الثوابت إلى F(x): F(x) + C. الرسوم البيانية للدوال y = F( يتم الحصول على x) + C من الرسم البياني y = F(x) عن طريق التحول على طول محور Oy. باختيار C، يمكنك التأكد من أن الرسم البياني للمشتق العكسي يمر عبر نقطة معينة.

دعونا ننتبه إلى قواعد العثور على المشتقات العكسية.

تذكر أن عملية إيجاد المشتقة لدالة معينة تسمى التفاضل. تسمى العملية العكسية لإيجاد المشتق العكسي لدالة معينة اندماج(من الكلمة اللاتينية "يعيد").

جدول المشتقات المضادةبالنسبة لبعض الوظائف، يمكن تجميعها باستخدام جدول المشتقات. على سبيل المثال، معرفة ذلك (كوس س)" = -الخطيئة س،نحن نحصل (-cos x)" = الخطيئة x، والذي يترتب عليه أن جميع وظائف المشتقات العكسية الخطيئة سمكتوبة في النموذج -كوس س + ج، أين مع- ثابت.

دعونا نلقي نظرة على بعض معاني المشتقات المضادة.

1) وظيفة: س ع، ص ≠ -1. مشتق مضاد: (س ع+1) / (ع+1) + ج.

2) وظيفة: 1/س، س > 0.مشتق مضاد: في س + ج.

3) وظيفة: س ع، ص ≠ -1. مشتق مضاد: (س ع+1) / (ع+1) + ج.

4) وظيفة: السابق. مشتق مضاد: ه س + ج.

5) وظيفة: الخطيئة س. مشتق مضاد: -كوس س + ج.

6) وظيفة: (ك س + ب) ص، ص ≠ -1، ك ≠ 0.مشتق مضاد: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) وظيفة: 1/(ك س + ب)، ك ≠ 0. مشتق مضاد: (1/ك) قانون الجنسية (ك س + ب)+ ج.

8) وظيفة: ه ك س + ب، ك ≠ 0. مشتق مضاد: (1/ك) ه ك س + ب + ج.

9) وظيفة: الخطيئة (ك س + ب)، ك ≠ 0. مشتق مضاد: (-1/ك) كوس (ك س + ب).

10) وظيفة: كوس (ك س + ب)، ك ≠ 0.مشتق مضاد: (1/ك) الخطيئة (ك س + ب).

قواعد التكامليمكن الحصول عليها باستخدام قواعد التمايز. دعونا نلقي نظرة على بعض القواعد.

يترك و(خ)و ز(خ)- المشتقات العكسية للوظائف على التوالي و (خ)و ز (خ)في فترة ما. ثم:

1) وظيفة و(س) ± ز(خ)هو المشتق العكسي للوظيفة و (خ) ± ز (خ)؛

2) وظيفة اف(خ)هو المشتق العكسي للوظيفة ب(خ).

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.