السؤال رقم 1.ما هي الزوايا التي تسمى المجاورة؟
إجابة.تسمى زاويتان متجاورتين إذا كان لهما جانب واحد مشترك، والجوانب الأخرى لهذه الزوايا عبارة عن أنصاف خطوط متكاملة.
في الشكل 31، الزاويتان (أ 1 ب) و (أ 2 ب) متجاورتان. لديهم الجانب b مشترك، والجانبان 1 و 2 عبارة عن أنصاف خطوط إضافية.

السؤال 2.أثبت أن مجموع الزوايا المجاورة هو 180 درجة.
إجابة. نظرية 2.1.مجموع الزوايا المجاورة هو 180 درجة.
دليل.دع الزاوية (أ 1 ب) والزاوية (أ 2 ب) تعطى زاويتين متجاورتين (انظر الشكل 31). يمر الشعاع b بين الضلعين a 1 و a 2 بزاوية مستقيمة. ولذلك فإن مجموع الزوايا (أ 1 ب) و (أ 2 ب) يساوي الزاوية المفتوحة، أي 180 درجة. Q.E.D.

السؤال 3.أثبت أنه إذا كانت الزاويتان متساويتان، فإن الزوايا المجاورة لهما متساوية أيضًا.
إجابة.

من النظرية 2.1 ويترتب على ذلك أنه إذا كانت الزاويتان متساويتين، فإن الزوايا المجاورة لهما متساوية.
لنفترض أن الزاويتين (أ 1 ب) و (ج 1 د) متساويتان. علينا أن نثبت أن الزاويتين (أ2ب) و(ج2د) متساويتان أيضًا.
مجموع الزوايا المجاورة هو 180 درجة. ويترتب على ذلك أن أ 1 ب + أ 2 ب = 180 درجة و ج 1 د + ج 2 د = 180 درجة. ومن ثم، أ 2 ب = 180° - أ 1 ب و ج 2 د = 180° - ج 1 د. بما أن الزاويتين (أ 1 ب) و (ج 1 د) متساويتان، نحصل على أن أ 2 ب = 180 درجة - أ 1 ب = ج 2 د. من خلال خاصية العبور لعلامة التساوي يترتب على ذلك أن أ 2 ب = ج 2 د. Q.E.D.

السؤال 4.ما هي الزاوية التي تسمى القائمة (الحادة، المنفرجة)؟
إجابة.الزاوية التي قياسها 90 درجة تسمى زاوية قائمة.
الزاوية التي يقل قياسها عن 90 درجة تسمى زاوية حادة.
الزاوية الأكبر من 90 درجة والأقل من 180 درجة تسمى زاوية منفرجة.

السؤال 5.أثبت أن الزاوية المجاورة لزاوية قائمة هي زاوية قائمة.
إجابة.من نظرية مجموع الزوايا المجاورة يترتب على ذلك أن الزاوية المجاورة للزاوية القائمة هي زاوية قائمة: x + 90° = 180°، x = 180° - 90°، x = 90°.

السؤال 6.ما هي الزوايا التي تسمى عمودية؟
إجابة.تسمى الزاويتان رأسيتين إذا كانت جوانب إحدى الزوايا عبارة عن أنصاف خطوط مكملة لجوانب الأخرى.

السؤال 7.اثبت ذلك الزوايا العموديمتساوون.
إجابة. نظرية 2.2. الزوايا العمودية متساوية.
دليل.لتكن (أ 1 ب 1) و (أ 2 ب 2) الزاويتين الرأسيتين المعطاتين (الشكل 34). الزاوية (أ 1 ب 2) مجاورة للزاوية (أ 1 ب 1) والزاوية (أ 2 ب 2). من هنا، وباستخدام نظرية مجموع الزوايا المجاورة، نستنتج أن كل زاوية من الزوايا (أ 1 ب 1) و (أ 2 ب 2) تكمل الزاوية (أ 1 ب 2) إلى 180 درجة، أي. الزوايا (أ 1 ب 1) و (أ 2 ب 2) متساوية. Q.E.D.

السؤال 8.أثبت أنه إذا تقاطع مستقيمان وكانت إحدى الزوايا قائمة، فإن الزوايا الثلاث الأخرى قائمة أيضًا.
إجابة.لنفترض أن الخطين AB وCD يتقاطعان عند النقطة O. لنفترض أن الزاوية AOD هي 90 درجة. بما أن مجموع الزوايا المجاورة هو 180°، نحصل على AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. زاوية COB عمودية على زاوية AOD، لذا فهما متساويان. أي أن زاوية COB = 90°. زاوية COA عمودية على زاوية BOD، لذا فهما متساويان. أي أن زاوية BOD = 90 درجة. وبالتالي فإن قياس جميع الزوايا يساوي 90 درجة، أي أنها كلها زوايا قائمة. Q.E.D.

السؤال 9.ما هي الخطوط التي تسمى عمودي؟ ما العلامة المستخدمة للإشارة إلى عمودي الخطوط؟
إجابة.يسمى الخطان متعامدين إذا تقاطعا بزوايا قائمة.
تتم الإشارة إلى عمودي الخطوط بالعلامة \(\perp\). يقرأ الإدخال \(a\perp b\): "الخط a متعامد مع الخط b."

السؤال 10.أثبت أنه من خلال أي نقطة على الخط يمكنك رسم خط عمودي عليها، وواحد فقط.
إجابة. نظرية 2.3.من خلال كل سطر يمكنك رسم خط عمودي عليه، وخط واحد فقط.
دليل.دع a يكون السطر المعطى و A يكون نقطة معينةعليها. دعونا نشير بـ 1 إلى أحد أنصاف الخطوط المستقيمة a مع نقطة البداية A (الشكل 38). دعونا نطرح زاوية (أ 1 ب 1) تساوي 90 درجة من نصف الخط أ 1. إذن فإن الخط المستقيم الذي يحتوي على الشعاع b 1 سيكون متعامدا مع الخط المستقيم a.

لنفترض أن هناك خطًا آخر يمر أيضًا بالنقطة A وعموديًا على الخط a. دعونا نشير بـ c 1 إلى نصف خط هذا الخط الذي يقع في نفس المستوى النصفي مع الشعاع b 1 .
الزوايا (أ 1 ب 1) و (أ 1 ج 1)، كل منها تساوي 90 درجة، موضوعة في نصف مستوى من نصف الخط أ 1. ولكن من نصف الخط 1 يمكن وضع زاوية واحدة فقط تساوي 90 درجة في نصف مستوى معين. لذلك، لا يمكن أن يكون هناك خط آخر يمر بالنقطة A وعمودي على الخط A. لقد تم إثبات النظرية.

السؤال 11.ما هو عمودي على الخط؟
إجابة.العمودي على خط معين هو قطعة من خط عمودي على خط معين، والذي يكون أحد طرفيه عند نقطة تقاطعهما. تسمى نهاية هذا الجزء أساسعمودي.

السؤال 12.اشرح مما يتكون البرهان بالتناقض.
إجابة.طريقة الإثبات التي استخدمناها في النظرية 2.3 تسمى البرهان بالتناقض. تتكون طريقة الإثبات هذه أولاً من وضع افتراض معاكس لما تنص عليه النظرية. ومن ثم، وبالاستدلال والاعتماد على البديهيات والنظريات المثبتة، نصل إلى نتيجة تتعارض إما مع شروط النظرية، أو إحدى البديهيات، أو نظرية مثبتة مسبقًا. وعلى هذا الأساس نستنتج أن افتراضنا كان غير صحيح، وبالتالي فإن عبارة النظرية صحيحة.

السؤال 13.ما هو منصف الزاوية؟
إجابة.منصف الزاوية هو الشعاع الذي يخرج من رأس الزاوية ويمر بين ضلعيها فيقسم الزاوية إلى نصفين.

الزوايا التي يكون فيها أحد الجانبين مشتركًا، والجوانب الأخرى تقع على نفس الخط المستقيم (في الشكل، الزاويتان 1 و2 متجاورتان). أرز. إلى الفن. الزوايا المجاورة... الموسوعة السوفيتية الكبرى

الزوايا المجاورة- الزوايا التي لها قمة مشتركة وواحدة الجانب المشتركوالضلعان الآخران يقعان على نفس الخط المستقيم.. موسوعة البوليتكنيك الكبيرة

شاهد الزاوية... القاموس الموسوعي الكبير

الزاويتان المتجاورتان، زاويتان مجموع قياسهما 180 درجة. وكل زاوية من هذه الزوايا تكمل الأخرى إلى الزاوية الكاملة... القاموس الموسوعي العلمي والتقني

انظر الزاوية. * * * الزوايا المجاورة الزوايا المجاورة، انظر الزاوية (انظر الزاوية) ... القاموس الموسوعي

- (الزوايا المتجاورة) هي التي لها رأس مشترك وضلع مشترك. في الغالب يشير هذا الاسم إلى زوايا C، التي يقع الجانبان الآخران منها في اتجاهين متعاكسين لخط مستقيم واحد مرسوم عبر قمة الرأس ... القاموس الموسوعي ف. بروكهاوس وآي. إيفرون

شاهد الزاوية... علم الطبيعة. القاموس الموسوعي

يتقاطع خطان مستقيمان لتكوين زوج من الزوايا الرأسية. يتكون أحد الزوجين من الزاويتين A وB، والآخر من C وD. في الهندسة، تسمى الزاويتان عموديتين إذا تم إنشاؤهما عن طريق تقاطع زاويتين ... ويكيبيديا

زوج من الزوايا المتتامة التي يكمل بعضها البعض حتى 90 درجة، الزوايا المتتامة هي زوج من الزوايا التي يكمل بعضها البعض حتى 90 درجة. إذا كانت زاويتان متكاملتان متجاورتين (أي أن لهما قمة مشتركة ويتم فصلهما فقط... ... ويكيبيديا

زوج من الزوايا المتتامة التي تكمل بعضها البعض حتى 90 درجة الزوايا المتتامة هي زوج من الزوايا التي تكمل بعضها البعض حتى 90 درجة. إذا كانت هناك زاويتان متكاملتان مع... ويكيبيديا

كتب

• حول البرهان في الهندسة، A. I. Fetisov، سيتم إنتاج هذا الكتاب وفقًا لطلبك باستخدام تقنية الطباعة عند الطلب. في أحد الأيام، في بداية العام الدراسي، سمعت محادثة بين فتاتين. أكبرهم سنا...
• دفتر شامل للتحكم في المعرفة. الهندسة. الصف السابع. المعيار التعليمي الحكومي الفيدرالي، بابينكو سفيتلانا بافلوفنا، ماركوفا إيرينا سيرجيفنا. يقدم الدليل مواد التحكم والقياس (CMM) في الهندسة لإجراء مراقبة الجودة الحالية والموضوعية والنهائية للمعرفة لدى طلاب الصف السابع. محتويات الدليل...

القيمة المعروفة للزاوية الرئيسية α₁ = α₂ = 180°-α.

من هذا هناك. إذا كانت الزاويتان متجاورتين ومتساويتين، فإنهما زاويتان قائمتان. إذا كانت إحدى الزوايا المجاورة قائمة، أي 90 درجة، فإن الزاوية الأخرى قائمة أيضًا. فإذا كانت إحدى الزوايا المجاورة حادة، فإن الأخرى تكون منفرجة. وكذلك إذا كانت إحدى الزوايا منفرجة، فالثانية تكون حادة.

الزاوية الحادة هي الزاوية التي يكون قياس درجتها أقل من 90 درجة، ولكن أكبر من 0. والزاوية المنفرجة هي التي يكون قياس درجتها أكبر من 90 درجة، ولكن أقل من 180.

خاصية أخرى للزوايا المجاورة تتم صياغتها على النحو التالي: إذا كانت الزاويتان متساويتان، فإن الزوايا المجاورة لهما متساوية أيضًا. وهذا يعني أنه إذا كانت هناك زاويتان يكون قياس درجتهما هو نفسه (على سبيل المثال، 50 درجة) وفي نفس الوقت يكون لأحدهما زاوية مجاورة، فإن قيم هذه الزوايا المتجاورة تتطابق أيضًا ( في المثال، سيكون قياس درجاتهم يساوي 130 درجة).

مصادر:

• القاموس الموسوعي الكبير - الزوايا المتجاورة
• زاوية 180 درجة

كلمة "" لديها تفسيرات مختلفة. في الهندسة، الزاوية هي جزء من المستوى الذي يحده شعاعان منبعثان من نقطة واحدة - قمة الرأس. متى نحن نتحدث عنأما عن الزوايا القائمة والحادة والمفتوحة، فالمقصود بها هي الزوايا الهندسية.

مثل أي شكل في الهندسة، يمكن مقارنة الزوايا. يتم تحديد تساوي الزوايا باستخدام الحركة. من السهل تقسيم الزاوية إلى قسمين متساويين. يعد التقسيم إلى ثلاثة أجزاء أكثر صعوبة بعض الشيء، ولكن لا يزال من الممكن القيام بذلك باستخدام المسطرة والبوصلة. بالمناسبة، بدت هذه المهمة صعبة للغاية. إن وصف أن إحدى الزوايا أكبر أو أصغر من الأخرى هو أمر بسيط هندسيًا.

وحدة قياس الزوايا هي 1/180 من الزاوية المتطورة. حجم الزاوية هو رقم يشير إلى مدى ملاءمة الزاوية المختارة كوحدة قياس للشكل المعني.

كل زاوية لها درجة قياس أكبر من الصفر. الزاوية المستقيمة هي 180 درجة. يعتبر قياس درجة الزاوية مساوياً لمجموع قياسات درجات الزوايا التي تنقسم إليها بأي شعاع على المستوى الذي يحده ضلعه.

من أي شعاع في طائرة معينةيمكنك رسم زاوية بدرجة معينة لا تتجاوز 180 درجة. علاوة على ذلك، لن يكون هناك سوى زاوية واحدة من هذا القبيل. قياس الزاوية المستوية، التي هي جزء من نصف المستوى، هو قياس درجة الزاوية ذات الأضلاع المتشابهة. قياس مستوى الزاوية التي تحتوي على نصف المستوى هو القيمة 360 – α، حيث α هو قياس درجة زاوية المستوى التكميلية.

يتيح قياس درجة الزاوية الانتقال من الوصف الهندسي إلى الوصف العددي. إذن، الزاوية القائمة هي زاوية قياسها 90 درجة، والزاوية المنفرجة هي زاوية أقل من 180 درجة، ولكن أكبر من 90، زاوية حادةلا يتجاوز 90 درجة.

بالإضافة إلى الدرجات، هناك قياس راديان للزاوية. في علم القياس، الطول هو L، ونصف القطر هو r، وما يقابله الزاوية المركزية– أ. علاوة على ذلك، ترتبط هذه المعلمات بالعلاقة α = L/r. هذا هو أساس قياس الراديان للزوايا. إذا كانت L=r، فإن الزاوية α ستكون مساوية لراديان واحد. لذا، فإن قياس الراديان للزاوية هو نسبة طول القوس المرسوم بنصف قطر اختياري والمحاط بين جانبي هذه الزاوية إلى نصف قطر القوس. الدوران الكامل بالدرجات (360 درجة) يقابل 2π بالراديان. واحد هو 57.2958 درجة.

فيديو حول الموضوع

مصادر:

• صيغة قياس درجة الزوايا

الهندسة علم متعدد الأوجه للغاية. ينمي المنطق والخيال والذكاء. بالطبع، بسبب تعقيدها والعدد الهائل من النظريات والبديهيات، لا يحبها تلاميذ المدارس دائما. بالإضافة إلى ذلك، هناك حاجة لإثبات استنتاجاتك باستمرار باستخدام المعايير والقواعد المقبولة عمومًا.

الزوايا المتجاورة والرأسية هي جزء لا يتجزأ من الهندسة. من المؤكد أن العديد من تلاميذ المدارس يعشقونهم ببساطة لأن خصائصهم واضحة وسهلة الإثبات.

تشكيل الزوايا

تتكون أي زاوية من تقاطع خطين مستقيمين أو رسم شعاعين من نقطة واحدة. يمكن تسميتها بحرف واحد أو ثلاثة، والتي تشير بالتتابع إلى النقاط التي يتم بناء الزاوية عندها.

يتم قياس الزوايا بالدرجات ويمكن (اعتمادًا على قيمتها) تسميتها بشكل مختلف. إذن، هناك زاوية قائمة، حادة، منفرجة، ومفتوحة. يتوافق كل اسم من الأسماء مع درجة معينة أو فاصلها.

الزاوية الحادة هي الزاوية التي لا يزيد قياسها عن 90 درجة.

الزاوية المنفرجة هي زاوية أكبر من 90 درجة.

تسمى الزاوية قائمة عندما يكون قياس درجتها 90.

وأما إذا كان مكونا من خط مستقيم واحد متصل وقياس درجته 180 فإنه يسمى ممدودا.

تسمى الزوايا التي لها جانب مشترك، والذي يستمر الجانب الثاني منه، مجاورة. يمكن أن تكون حادة أو حادة. يشكل تقاطع الخط زوايا متجاورة. خصائصهم هي كما يلي:

1. مجموع هذه الزوايا سيكون 180 درجة (هناك نظرية تثبت ذلك). ولذلك يمكن بسهولة حساب أحدهما إذا كان الآخر معروفا.
2. ويترتب على النقطة الأولى أن الزوايا المتجاورة لا يمكن أن تتكون من زاويتين منفرجتين أو حادتين.

بفضل هذه الخصائص، يمكنك دائمًا حساب درجة قياس الزاوية، بمعرفة قيمة زاوية أخرى أو بـ على الأقل، العلاقة بينهما.

الزوايا العمودي

تسمى الزوايا التي تكون أضلاعها استمرارية لبعضها البعض بالرأسية. يمكن لأي من أصنافها أن تعمل كزوج من هذا القبيل. الزوايا الرأسية تكون دائمًا متساوية مع بعضها البعض.

تتشكل عندما تتقاطع الخطوط المستقيمة. جنبا إلى جنب معهم، الزوايا المجاورة موجودة دائما. يمكن أن تكون الزاوية متجاورة في نفس الوقت لواحدة وعمودية للأخرى.

عند عبور خط عشوائي، يتم أيضًا أخذ عدة أنواع أخرى من الزوايا في الاعتبار. يسمى هذا الخط بالخط القاطع، وهو يشكل زوايا مقابلة أحادية الجانب ومتقاطعة. إنهم متساوون مع بعضهم البعض. ويمكن رؤيتها في ضوء خصائص الزوايا الرأسية والمجاورة.

وبالتالي، يبدو موضوع الزوايا بسيطا للغاية ومفهوما. من السهل تذكر جميع خصائصها وإثباتها. حل المسائل ليس بالأمر الصعب طالما أن الزوايا لها قيمة عددية. لاحقًا، عندما تبدأ دراسة الخطيئة وجيب التمام، سيتعين عليك حفظ الكثير الصيغ المعقدةواستنتاجاتها وعواقبها. وحتى ذلك الحين، يمكنك فقط الاستمتاع بالألغاز السهلة حيث تحتاج إلى العثور على الزوايا المجاورة.

في عملية دراسة دورة الهندسة، تظهر في كثير من الأحيان مفاهيم "الزاوية"، "الزوايا العمودية"، "الزوايا المجاورة". سيساعدك فهم كل مصطلح من المصطلحات على فهم المشكلة وحلها بشكل صحيح. ما هي الزوايا المتجاورة وكيفية تحديدها؟

الزوايا المجاورة - تعريف المفهوم

يصف مصطلح "الزوايا المتجاورة" زاويتين مكونتين من شعاع مشترك ونصفي خطين إضافيين يقعان على نفس الخط المستقيم. جميع الأشعة الثلاثة تخرج من نفس النقطة. نصف الخط المشترك هو في نفس الوقت جانب من الزاوية الواحدة والزاوية الأخرى.

الزوايا المجاورة - الخصائص الأساسية

1. بناءً على صيغة الزوايا المتجاورة، من السهل ملاحظة أن مجموع هذه الزوايا يشكل دائمًا زاوية عكسية، قياس درجتها هو 180 درجة:

• إذا كانت μ و η زاويتين متجاورتين، فإن μ + η = 180 درجة.
• بمعرفة حجم إحدى الزوايا المجاورة (على سبيل المثال، μ)، ​​يمكنك بسهولة حساب قياس درجة الزاوية الثانية (η) باستخدام التعبير η = 180° – μ.

2. خاصية الزوايا هذه تسمح لنا باستخلاص الاستنتاج التالي: الزاوية المجاورة زاوية مستقيمة، سيكون مباشرًا أيضًا.

3. النظر الدوال المثلثية(sin، cos، tg، ctg)، استنادًا إلى صيغ الاختزال للزوايا المجاورة μ وη، يكون ما يلي صحيحًا:

• الخطيئةη = الخطيئة (180 درجة - μ) = الخطيئةμ،
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

الزوايا المتجاورة - أمثلة

مثال 1

بالنظر إلى مثلث ذو رؤوس M، P، Q – ΔMPQ. أوجد الزوايا المجاورة للزوايا ∠QMP، ∠MPQ، ∠PQM.

• دعونا نمد كل جانب من المثلث بخط مستقيم.
• بمعرفة أن الزوايا المتجاورة تكمل بعضها البعض حتى زاوية معكوسة نجد أن:

المجاورة للزاوية ∠QMP هي ∠LMP،

المجاورة للزاوية ∠MPQ هي ∠SPQ،

المجاورة للزاوية ∠PQM هي ∠HQP.

مثال 2

قيمة الزاوية المجاورة الواحدة هي 35°. ما هو قياس درجة الزاوية المجاورة الثانية؟

• مجموع زاويتين متجاورتين يصل إلى 180 درجة.
• إذا كانت ∠μ = 35°، فإن المجاورة لها ∠η = 180° – 35° = 145°.

مثال 3

تحديد قيم الزوايا المتجاورة إذا علم أن قياس درجة إحداهما أكبر بثلاث مرات من قياس درجة الزاوية الأخرى.

• دعونا نشير إلى حجم زاوية واحدة (أصغر) بـ – ∠μ = lect.
• ومن ثم، وبحسب شروط المشكلة، فإن قيمة الزاوية الثانية ستكون ∠η = 3η.
• بناءً على الخاصية الأساسية للزوايا المجاورة، يتبع ذلك μ + η = 180°

ẫ + 3ạ = μ + η = 180°،

 = 180°/4 = 45°.

هذا يعني أن الزاوية الأولى هي ∠μ = lect = 45°، والزاوية الثانية هي ∠η = 3lect = 135°.

ستساعدك القدرة على استخدام المصطلحات، بالإضافة إلى معرفة الخصائص الأساسية للزوايا المجاورة، على حل العديد من المشكلات الهندسية.