عندما نرسم دالة بيانيًا، من المهم تحديد فترات التحدب ونقاط الانقلاب. نحن بحاجة إليها، بالإضافة إلى فترات النقصان والزيادة، لتمثيل الدالة بوضوح في شكل رسومي.

يتطلب فهم هذا الموضوع معرفة ماهية مشتقة الدالة وكيفية تقييمها بترتيب ما، بالإضافة إلى القدرة على حلها أنواع مختلفةعدم المساواة

في بداية المقال يتم تعريف المفاهيم الأساسية. ثم سنوضح العلاقة الموجودة بين اتجاه التحدب وقيمة المشتقة الثانية خلال فترة معينة. بعد ذلك، سنشير إلى الشروط التي يمكن بموجبها تحديد نقاط انعطاف الرسم البياني. سيتم توضيح جميع الحجج بأمثلة لحلول المشكلات.

تعريف Yandex.RTB RA-A-339285-1 1

في الاتجاه الهبوطي خلال فترة زمنية معينة في الحالة التي يكون فيها الرسم البياني الخاص به ليس أقل من المماس له عند أي نقطة في هذه الفترة.

التعريف 2

الوظيفة المراد تمييزها محدبةلأعلى خلال فترة زمنية معينة إذا كان الرسم البياني لدالة معينة لا يقع أعلى من مماسها عند أي نقطة في هذه الفترة.

يمكن أيضًا أن تسمى الدالة المحدبة للأسفل دالة مقعرة. يظهر كلا التعريفين بوضوح في الرسم البياني أدناه:

التعريف 3

نقطة انعطاف الدالة- هذه هي النقطة M (x 0 ; f (x 0)))، حيث يوجد مماس للرسم البياني للدالة، بشرط وجود مشتق بالقرب من النقطة x 0، حيث من اليسار و الجانب الأيمنالرسم البياني للوظيفة يأخذ اتجاهات مختلفة من التحدب.

ببساطة، نقطة الانعطاف هي مكان على الرسم البياني حيث يوجد ظل، واتجاه تحدب الرسم البياني عند المرور عبر هذا المكان سيغير اتجاه التحدب. إذا كنت لا تتذكر الظروف التي يكون من الممكن فيها وجود ظل رأسي وغير رأسي، فنوصي بتكرار القسم الخاص بظل الرسم البياني للدالة عند نقطة ما.

يوجد أدناه رسم بياني لدالة تحتوي على عدة نقاط انعطاف، تم تمييزها باللون الأحمر. دعونا نوضح أن وجود نقاط انعطاف ليس إلزاميا. على الرسم البياني لوظيفة واحدة، يمكن أن يكون هناك واحدة أو اثنتين أو عدة أو لا نهائية أو لا شيء.

سنتحدث في هذا القسم عن نظرية يمكنك من خلالها تحديد فترات التحدب على الرسم البياني لدالة معينة.

التعريف 4

سيكون الرسم البياني للدالة محدبًا للأسفل أو للأعلى إذا كانت الدالة المقابلة y = f (x) لها مشتق محدود ثانٍ في الفترة المحددة x، بشرط أن تكون المتباينة f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f) "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X) سيكون صحيحًا.

باستخدام هذه النظرية، يمكنك العثور على فترات التقعر والتحدب على أي رسم بياني للدالة. للقيام بذلك، تحتاج ببساطة إلى حل المتباينات f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≥ 0 في مجال تعريف الدالة المقابلة.

دعونا نوضح أن تلك النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الثاني، ولكن يتم تعريف الدالة y = f (x)، سيتم تضمينها في فترات التحدب والتقعر.

دعونا نلقي نظرة على مثال لمشكلة محددة لنرى كيفية تطبيق هذه النظرية بشكل صحيح.

مثال 1

حالة:بالنظر إلى الدالة y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . تحديد الفترات التي سيكون فيها الرسم البياني الخاص به محدبًا وتقعرًا.

حل

مجال تعريف هذه الدالة هو المجموعة الكاملة للأعداد الحقيقية. لنبدأ بحساب المشتق الثاني.

y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

نرى أن مجال تعريف المشتقة الثانية يتطابق مع مجال الدالة نفسها، وهذا يعني أنه لتحديد فترات التحدب نحتاج إلى حل المتباينات f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ) ≥ 0.

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2

لقد حصلنا على هذا الجدول الزمني وظيفة معينةسيكون هناك تقعر في الجزء [ 2 ; + ∞) والتحدب على المقطع (- ∞; 2 ] .

للتوضيح، دعونا نرسم رسمًا بيانيًا للدالة ونحدد الجزء المحدب باللون الأزرق والجزء المقعر باللون الأحمر.

إجابة:الرسم البياني للدالة المعطاة سيكون له تقعر في المقطع [ 2 ; + ∞) والتحدب على المقطع (- ∞; 2 ] .

ولكن ماذا تفعل إذا كان مجال تعريف المشتق الثاني لا يتطابق مع مجال تعريف الدالة؟ هنا ستكون الملاحظة المذكورة أعلاه مفيدة لنا: سنقوم أيضًا بتضمين تلك النقاط التي لا يوجد فيها المشتق الثاني المحدود في القطع التقعرية والمحدبة.

مثال 2

حالة:بالنظر إلى الدالة y = 8 x x - 1 . حدد الفترات التي سيكون فيها الرسم البياني مقعرًا وفي أي الفترات سيكون محدبًا.

حل

أولا، دعونا معرفة مجال تعريف الوظيفة.

س ≥ 0 س - 1 ≠ 0 ⇔ س ≥ 0 س ≠ 1 ⇔ س ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ؛ + ∞)

الآن نحسب المشتق الثاني:

y " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( س - 1) 2 + س 2 (س - 1) س س - 1 4 = = 2 3 × 2 + 6 س - 1 × 3 2 · (س - 1) 3

مجال تعريف المشتق الثاني هو المجموعة x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . نرى أن x التي تساوي الصفر تنتمي إلى مجال الدالة الأصلية، ولكن ليس إلى مجال المشتقة الثانية. يجب تضمين هذه النقطة في الجزء التقعري أو المحدب.

بعد ذلك، نحتاج إلى حل المتباينات f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≥ 0 في مجال تعريف الدالة المعطاة. نستخدم الطريقة الفاصلة لهذا: مع x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 أو x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 البسط 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 يصبح 0، والمقام هو 0 عندما تكون x صفر أو واحد.

لنرسم النقاط الناتجة على الرسم البياني ونحدد إشارة التعبير على جميع الفواصل الزمنية التي سيتم تضمينها في مجال تعريف الدالة الأصلية. تتم الإشارة إلى هذه المنطقة بالتظليل على الرسم البياني. إذا كانت القيمة موجبة، فإننا نضع علامة على الفاصل الزمني بعلامة زائد، وإذا كانت سالبة، بعلامة ناقص.

لذلك،

و "" (س) ≥ 0 س ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ س ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , و f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

نقوم بتضمين النقطة المحددة مسبقًا x = 0 ونحصل على الإجابة المطلوبة. سيكون الرسم البياني للدالة الأصلية محدبًا للأسفل عند 0؛ - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) وللأعلى - لـ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

لنرسم رسمًا بيانيًا، مع تحديد الجزء المحدب باللون الأزرق والجزء المقعر باللون الأحمر. يتم تمييز الخط المقارب العمودي بخط منقط أسود.

إجابة:سيكون الرسم البياني للدالة الأصلية محدبًا للأسفل عند 0؛ - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) وللأعلى - لـ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

شروط انعطاف الرسم البياني للدالة

لنبدأ بصياغة الشرط الضروري لانعطاف الرسم البياني لوظيفة معينة.

التعريف 5

لنفترض أن لدينا دالة y = f (x)، والتي يحتوي الرسم البياني لها على نقطة انعطاف. عند x = x 0 يكون لها مشتق ثانٍ مستمر، وبالتالي فإن المساواة f "" (x 0) = 0 ستظل قائمة.

مع مراعاة هذا الشرطيجب أن نبحث عن نقاط انعطاف بين تلك التي يتحول عندها المشتق الثاني إلى 0. وهذا الشرط لن يكون كافيا: ليست كل هذه النقاط مناسبة لنا.

لاحظ أيضًا أنه وفقًا لـ تعريف عام، سنحتاج إلى خط مماس، عموديًا أو غير عمودي. من الناحية العملية، هذا يعني أنه للعثور على نقاط انعطاف، يجب أن تأخذ تلك النقاط التي يتحول عندها المشتق الثاني لدالة معينة إلى 0. لذلك، للعثور على الإحداثيات الإحداثية لنقاط الانعطاف، نحتاج إلى أخذ كل x 0 من مجال تعريف الدالة، حيث lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ و lim x → x 0 + 0 و "(س) = ∞. في أغلب الأحيان، هذه هي النقاط التي يصبح عندها مقام المشتقة الأولى 0.

الشرط الكافي الأول لوجود نقطة انعطاف في الرسم البياني للدالة

لقد وجدنا جميع قيم x 0 التي يمكن اعتبارها حروف انعطاف. بعد ذلك، نحتاج إلى تطبيق شرط التصريف الكافي الأول.

التعريف 6

لنفترض أن لدينا دالة y = f (x) متصلة عند النقطة M (x 0 ; f (x 0)). علاوة على ذلك، فإن لها مماسًا عند هذه النقطة، والدالة نفسها لها مشتق ثانٍ بالقرب من هذه النقطة × 0. في هذه الحالة، إذا حصل المشتق الثاني على الجانبين الأيسر والأيمن على إشارات معاكسة، فيمكن اعتبار هذه النقطة نقطة انعطاف.

ونرى أن هذا الشرط لا يتطلب بالضرورة وجود مشتق ثان عند هذه النقطة، فوجوده في محيط النقطة × 0 يكفي.

من الملائم تقديم كل ما سبق في شكل سلسلة من الإجراءات.

1. تحتاج أولاً إلى العثور على جميع الإحداثيات x 0 لنقاط الانعطاف المحتملة، حيث f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (س) = ∞ .
2. دعونا نتعرف على النقاط التي سيغير فيها المشتق الإشارة. هذه القيم هي حدود نقاط الانعطاف، والنقاط M (x 0 ; f (x 0)) المقابلة لها هي نقاط الانعطاف نفسها.

من أجل الوضوح، سنقوم بتحليل مشكلتين.

مثال 3

حالة:بالنظر إلى الدالة y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. حدد المكان الذي سيحتوي فيه الرسم البياني لهذه الدالة على نقاط انعطاف ونقاط تحدب.

حل

يتم تعريف الوظيفة المحددة على مجموعة كاملة من الأرقام الحقيقية. نحسب المشتقة الأولى:

y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 س + 2

الآن دعونا نجد مجال تعريف المشتقة الأولى. وهي أيضًا مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. هذا يعني أن المساواة lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ و lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ لا يمكن تحقيقها لأي قيم x 0 .

نحسب المشتق الثاني:

y " " = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 × 1 = 1 - 25 2 = - 2، × 2 = 1 + 25 2 = 3

لقد وجدنا الإحداثي الإحداثي لنقطتي انعطاف محتملتين - 2 و 3. كل ما علينا فعله هو التحقق من النقطة التي تغير فيها المشتقة إشارتها. لنرسم خط أعداد ونرسم عليه هذه النقاط، وبعد ذلك سنضع علامات المشتقة الثانية على الفترات الناتجة.

توضح الأقواس اتجاه تحدب الرسم البياني في كل فترة.

تشير تغييرات المشتقة الثانية إلى العكس (من زائد إلى ناقص) عند النقطة ذات الإحداثي السيني 3، ويمر عبرها من اليسار إلى اليمين، ويفعل ذلك أيضًا (من الناقص إلى الزائد) عند النقطة ذات الإحداثي السيني 3. هذا يعني أنه يمكننا أن نستنتج أن x = - 2 و x = 3 هي حروف نقطية لنقاط انعطاف الرسم البياني للدالة. سوف تتوافق مع نقاط الرسم البياني - 2؛ - 4 3 و 3؛ - 15 8 .

دعونا نلقي نظرة مرة أخرى على صورة محور الأعداد والعلامات الناتجة على الفواصل من أجل استخلاص استنتاجات حول أماكن التقعر والتحدب. اتضح أن التحدب سيكون موجودا في الجزء - 2؛ 3، والتقعر على القطع (- ∞; - 2 ] و [ 3; + ∞).

تم توضيح حل المشكلة بوضوح في الرسم البياني: لون ازرق– التحدب، الأحمر – التقعر، اللون الأسود يعني نقاط الانعطاف.

إجابة:سيتم وضع التحدب على الجزء - 2؛ 3، والتقعر على القطع (- ∞; - 2 ] و [ 3; + ∞).

مثال 4

حالة:احسب الإحداثيات لجميع نقاط انعطاف الرسم البياني للدالة y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

حل

مجال تعريف دالة معينة هو مجموعة الأعداد الحقيقية. نحسب المشتق:

y " = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (س - 3) 2 5

على عكس الدالة، لن يتم تعريف مشتقتها الأولى بقيمة x تساوي 3، ولكن:

lim x → 3 - 0 y " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (س) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

وهذا يعني أن المماس الرأسي للرسم البياني سوف يمر عبر هذه النقطة. ولذلك، 3 يمكن أن يكون الإحداثي المحوري لنقطة انعطاف.

نحسب المشتق الثاني. نجد أيضًا مجال تعريفه والنقاط التي يتحول عندها إلى 0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y " " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 51 - 1509 26 ≈ 0.4675

لدينا الآن نقطتا انعطاف محتملتان أخريان. لنرسمها جميعًا على خط الأعداد ونحدد الفواصل الزمنية الناتجة بالعلامات:

ستتغير العلامة عند المرور بكل نقطة محددة، مما يعني أنها جميعها نقاط انعطاف.

إجابة:لنرسم رسمًا بيانيًا للدالة، مع تحديد التقعرات باللون الأحمر، والتحدبات باللون الأزرق، ونقاط الانعطاف باللون الأسود:

وبمعرفة الشرط الكافي الأول للانعطاف، يمكننا تحديد النقاط الضرورية التي لا يكون عندها وجود المشتقة الثانية ضروريًا. وبناء على ذلك يمكن اعتبار الشرط الأول هو الأكثر عالمية ومناسبا للحل أنواع مختلفةمهام.

لاحظ أن هناك شرطين آخرين للانعطاف، لكن لا يمكن تطبيقهما إلا عندما يكون هناك مشتق محدود عند النقطة المحددة.

إذا كان لدينا f "" (x 0) = 0 و f """ (x 0) ≠ 0، فإن x 0 ستكون نقطة انعطاف الرسم البياني y = f (x).

مثال 5

حالة:الدالة y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 معطاة. تحديد ما إذا كان الرسم البياني للدالة سيكون له نقطة انعطاف عند النقطة 3؛ 4 5 .

حل

أول شيء يجب فعله هو التأكد من أن هذه النقطة ستنتمي بشكل عام إلى الرسم البياني لهذه الوظيفة.

ص (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

يتم تعريف الوظيفة المحددة لجميع الوسيطات التي تمثل أرقامًا حقيقية. لنحسب المشتقتين الأولى والثانية:

y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 س - 3 10 = 1 10 (س - 3)

لقد وجدنا أن المشتقة الثانية ستصل إلى 0 إذا كانت x تساوي 0. وهذا يعني أنه سيتم استيفاء شرط الانعطاف اللازم لهذه النقطة. الآن نستخدم الشرط الثاني: ابحث عن المشتقة الثالثة واكتشف ما إذا كانت ستتحول إلى 0 عند 3:

ص " " " = 1 10 (س - 3) " = 1 10

لن يختفي المشتق الثالث لأي قيمة x. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن هذه النقطة ستكون نقطة انقلاب التمثيل البياني للدالة.

إجابة:دعونا نعرض الحل في الرسم التوضيحي:

لنفترض أن f "(x 0) = 0، f "" (x 0) = 0، ...، f (n) (x 0) = 0 و f (n + 1) (x 0) ≠ 0 في هذه الحالة، حتى بالنسبة لـ n، نحصل على أن x 0 هي نقطة انعطاف الرسم البياني y = f (x).

مثال 6

حالة:بالنظر إلى الدالة y = (x - 3) 5 + 1. احسب نقاط انعطاف الرسم البياني الخاص بها.

حل

يتم تعريف هذه الوظيفة على مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. نحسب المشتقة: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . وبما أنه سيتم تعريفه أيضًا لجميع القيم الحقيقية للوسيطة، فسيكون المماس غير الرأسي موجودًا عند أي نقطة في الرسم البياني الخاص به.

الآن دعونا نحسب القيم التي سيتحول بها المشتق الثاني إلى 0:

y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

لقد وجدنا أنه عند x = 3 قد يكون للرسم البياني للدالة نقطة انعطاف. لنستخدم الشرط الثالث لتأكيد ذلك:

y " " " = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2 , y " " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2 " = 120 · (س - 3) ، ص (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 ص (5) = 120 · (س - 3) " = 120، ص (5) (3) ) = 120 ≠ 0

لدينا n = 4 بالشرط الكافي الثالث. هذا رقم زوجي، مما يعني أن x = 3 ستكون نقطة الانعطاف ونقطة الرسم البياني للدالة (3؛ 1) تتوافق معها.

إجابة:فيما يلي رسم بياني لهذه الوظيفة مع تحديد التحدبات والتجاويف ونقطة الانعطاف:

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

تعليمات

نقاط انثناء المهاميجب أن تنتمي إلى مجال تعريفها، والذي يجب العثور عليه أولا. جدول المهامهو خط يمكن أن يكون مستمرًا أو به فواصل، أو ينقص أو يزيد بشكل رتيب، أو له حد أدنى أو أقصى نقاط(الخطوط المقاربة) تكون محدبة أو مقعرة. تغيير مفاجئ لاثنين أحدث الدولويسمى انعطاف.

المتطلبات المسبقةوجود انثناء المهاميتكون من مساواة الثانية بالصفر. وبالتالي، من خلال اشتقاق الدالة مرتين ومساواة التعبير الناتج بالصفر، يمكننا إيجاد حدود النقاط المحتملة انثناء.

يتبع هذا الشرط تعريف خصائص التحدب وتقعر الرسم البياني المهام، أي. القيم السلبية والإيجابية للمشتق الثاني. عند هذه النقطة انثناءالتغيير الحاد في هذه الخصائص يعني أن المشتق يتجاوز علامة الصفر. ومع ذلك، فإن كونك يساوي الصفر ليس كافيًا بعد للإشارة إلى انعطاف.

هناك شرطان كافيان أن ينتمي الإحداثي الذي تم العثور عليه في المرحلة السابقة إلى هذه النقطة انثناء:من خلال هذه النقطة يمكنك رسم مماس ل المهام. المشتق الثاني لديه علامات مختلفةعن يمين ويسار المتوقع نقاط انثناء. وبالتالي فإن وجوده عند النقطة نفسها ليس ضروريا، يكفي تحديد أنه عندها تتغير الإشارة المهاميساوي الصفر، والثالث لا.

الحل: ابحث عن . في هذه الحالة لا توجد قيود، وبالتالي، فهي المساحة الكاملة للأعداد الحقيقية. احسب المشتقة الأولى: y' = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

انتبه على . ويترتب على ذلك أن مجال تعريف المشتق محدود. النقطة x = 5 مثقوبة، مما يعني أن المماس يمكن أن يمر عبرها، وهو ما يتوافق جزئيًا مع العلامة الأولى للكفاية انثناء.

حدد التعبير الناتج لـ x → 5 – 0 وx → 5 + 0. إنهما يساويان -∞ و+∞. لقد أثبتنا أن المماس الرأسي يمر بالنقطة x=5. قد تتحول هذه النقطة إلى نقطة انثناء، لكن قم أولًا بحساب المشتقة الثانية: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² - 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2 س - 22)/∛(س - 5)^5.

احذف المقام لأنك قد أخذت في الاعتبار النقطة x = 5 بالفعل. حل المعادلة 2 س – 22 = 0. لها جذر واحد س = 11. الخطوة الأخيرة هي التأكد من ذلك نقاطس = 5 و س = 11 هي نقاط انثناء. تحليل سلوك المشتق الثاني في المنطقة المجاورة لهم. من الواضح أنه عند النقطة x = 5 تتغير الإشارة من "+" إلى "-"، وعند النقطة x = 11 - بالعكس. الخلاصة: كلاهما نقاطهي نقاط انثناء. تم استيفاء الشرط الكافي الأول.

رسم بياني للدالة ذ=و (خ)مُسَمًّى محدبعلى الفاصل الزمني (أ، ب)إذا كان يقع أسفل أي من مماساته في هذه الفترة.

رسم بياني للدالة ذ=و (خ)مُسَمًّى مقعرعلى الفاصل الزمني (أ، ب)إذا كان يقع فوق أي من مماساته في هذه الفترة.

يوضح الشكل منحنى محدبًا عند (أ، ب)ومقعرة على (قبل الميلاد).

أمثلة.

دعونا نفكر في معيار كافٍ يسمح لنا بتحديد ما إذا كان الرسم البياني للدالة في فترة معينة سيكون محدبًا أم مقعرًا.

نظرية. يترك ذ=و (خ)قابلة للتمييز على (أ، ب). إذا كان في جميع نقاط الفاصل الزمني (أ، ب)المشتقة الثانية للدالة ذ = و (خ)سلبي، أي. F ""(س) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же F""(س) > 0 - مقعرة.

دليل. ولنفترض على وجه اليقين ذلك F""(س) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

لنأخذ الوظائف على الرسم البياني ص = و(س)نقطة تعسفية م0مع الإحداثي السيني × 0 Î ( أ; ب) ورسم من خلال هذه النقطة م0الظل. معادلتها. يجب أن نظهر أن الرسم البياني للوظيفة على (أ، ب)يقع تحت هذا الظل، أي. بنفس القيمة سإحداثي المنحنى ص = و(س)سيكون أقل من إحداثي الظل.

إذن معادلة المنحنى هي ص = و(س). دعونا نشير إلى إحداثي المماس المقابل للإحداثي السيني س. ثم . وبالتالي فإن الفرق بين إحداثيات المنحنى والمماس لنفس القيمة سسوف .

اختلاف و(خ) - و(س 0)تحويل وفقا لنظرية لاغرانج، حيث جبين سو × 0.

هكذا،

نطبق مرة أخرى نظرية لاغرانج على التعبير الموجود بين قوسين معقوفين: ، أين ج1بين ج 0و × 0. وفقا لشروط النظرية F ""(س) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

وبالتالي، فإن أي نقطة على المنحنى تقع أسفل مماس المنحنى لجميع القيم سو × 0 Î ( أ; ب) مما يعني أن المنحنى محدب. تم إثبات الجزء الثاني من النظرية بطريقة مماثلة.

أمثلة.

نقطة الرسم البياني وظيفة مستمرةويسمى الذي يفصل الجزء المحدب عن الجزء المقعر نقطة الأنحراف.

من الواضح أنه عند نقطة الانعطاف، فإن المماس، إن وجد، يتقاطع مع المنحنى، لأنه على أحد جانبي هذه النقطة، يقع المنحنى تحت المماس، وعلى الجانب الآخر - فوقه.

دعونا نحدد الشروط الكافية لحقيقة أن نقطة معينة من المنحنى هي نقطة انعطاف.

نظرية. دع المنحنى يتم تعريفه بالمعادلة ص = و(س). لو F ""(س 0) = 0 أو F ""(س 0) غير موجود حتى عند المرور عبر القيمة س = × 0المشتق F ""(س) علامة التغييرات، ثم النقطة في الرسم البياني للدالة مع الإحداثي السيني س = × 0هناك نقطة انعطاف.

دليل. يترك F ""(س) < 0 при س < × 0و F ""(س) > 0 في س > × 0. ثم في س < × 0المنحنى محدب ومتى س > × 0- مقعرة. ولذلك النقطة أ، ملقاة على المنحنى، مع الإحداثي السيني × 0هناك نقطة انعطاف. ويمكن اعتبار الحالة الثانية بالمثل، متى F ""(س) > 0 في س < × 0و F ""(س) < 0 при س > × 0.

وبالتالي، ينبغي البحث عن نقاط الانعطاف فقط بين تلك النقاط التي يختفي فيها المشتق الثاني أو لا وجود له.

أمثلة.العثور على نقاط انعطاف وتحديد فترات التحدب وتقعر المنحنيات.

خطوط التقارب للرسم البياني للوظيفة

عند دراسة دالة، من المهم تحديد شكل الرسم البياني الخاص بها على مسافة غير محدودة من نقطة الرسم البياني من الأصل.

من الأمور ذات الأهمية الخاصة الحالة التي يكون فيها الرسم البياني للدالة، عندما تتم إزالة نقطة المتغير الخاصة بها إلى ما لا نهاية، يقترب إلى أجل غير مسمى من خط مستقيم معين.

يسمى الخط المستقيم الخط المقاربالرسومات الوظيفية ذ = و (خ)، إذا كانت المسافة من النقطة المتغيرة مالرسومات إلى هذا الخط عند إزالة نقطة مإلى ما لا نهاية يميل إلى الصفر، أي. النقطة على الرسم البياني للدالة، لأنها تميل إلى اللانهاية، يجب أن تقترب من الخط المقارب إلى أجل غير مسمى.

يمكن للمنحنى أن يقترب من خط التقارب الخاص به، ويبقى على أحد جوانبه أو على جوانب مختلفة، ويعبر الخط المقارب لعدد لا نهائي من المرات ويتحرك من جانب إلى آخر.

إذا نشير بـ d المسافة من النقطة ممنحنى إلى الخط المقارب، فمن الواضح أن d يميل إلى الصفر عندما تبتعد النقطة مإلى ما لا نهاية.

وسوف نميز أيضًا بين الخطوط المقاربة الرأسية والمائلة.

الخطوط المقاربة الرأسية

دعونا في س→ × 0من أي وظيفة جانبية ذ = و (خ)يزيد بشكل غير محدود في القيمة المطلقة، أي. او او . ثم من تعريف الخط المقارب يترتب على ذلك الخط المستقيم س = × 0هو الخط المقارب. والعكس واضح أيضًا إذا كان الخط س = × 0هو الخط المقارب، أي. .

وهكذا، الخط المقارب الرأسي للرسم البياني للوظيفة ص = و(س)ويسمى خط مستقيم إذا و (خ)→ ∞ تحت واحد على الأقل من الشروط س→ × 0– 0 أو س → × 0 + 0, س = × 0

لذلك، للعثور على الخطوط المقاربة الرأسية للرسم البياني للدالة ذ = و (خ)بحاجة للعثور على تلك القيم س = × 0، حيث تنتقل الوظيفة إلى ما لا نهاية (تعاني من انقطاع لا نهائي). ثم الخط المقارب الرأسيلديه المعادلة س = × 0.

أمثلة.

الخطوط المقاربة المائلة

بما أن الخط المقارب هو خط مستقيم، فإذا كان المنحنى ذ = و (خ)له خط تقارب مائل، فإن معادلته ستكون ذ = kx + ب. مهمتنا هي العثور على المعاملات كو ب.

نظرية. مستقيم ذ = kx + ببمثابة الخط المقارب المائل في س→ +∞ للرسم البياني للوظيفة ذ = و (خ)ثم وفقط عندما . بيان مماثل صحيح ل س → –∞.

دليل. يترك النائب- طول القطعة يساوي المسافة من النقطة مإلى الخط المقارب. بالشرط . دعونا نشير بـ φ إلى زاوية ميل الخط المقارب إلى المحور ثور. ثم من ΔMNPيتبع ذلك. بما أن φ هي زاوية ثابتة (φ ≠ π/2)، إذن، ولكن

يبقى أن نأخذ في الاعتبار التحدب، التقعر ومكامن الخلل في الرسم البياني. لنبدأ بالمواقع التي يحبها الزوار كثيرًا تمرين جسدي. يرجى الوقوف والانحناء إلى الأمام أو الخلف. هذا انتفاخ. الآن مد ذراعيك أمامك، وارفع راحتي يديك للأعلى، وتخيل أنك تحمل جذعًا كبيرًا على صدرك... ...حسنًا، إذا لم يعجبك الجذع، دع شيئًا/شخصًا آخر يفعل ذلك = ) هذا هو التقعر. يحتوي عدد من المصادر على مصطلحات مترادفة انتفاخو انتفاخ إلى أسفللكني من محبي العناوين القصيرة.

! انتباه : بعض المؤلفين تحديد التحدب والتقعر على العكس تماما. وهذا أيضًا صحيح رياضيًا ومنطقيًا، ولكنه غالبًا ما يكون غير صحيح تمامًا من وجهة نظر موضوعية، بما في ذلك على مستوى فهم الأشخاص العاديين للمصطلحات. لذلك، على سبيل المثال، تسمى العدسة ذات الدرنات عدسة ثنائية التحدب، ولكن ليس ذات انخفاضات (ثنائية التقعر).
ولنفترض أن السرير "المقعر" - لا يزال من الواضح أنه لا "يلتصق" =) (ومع ذلك، إذا تسلقت تحته، فسنتحدث بالفعل عن التحدب؛ =)) أنا ألتزم بالنهج الذي يتوافق مع الطبيعي الجمعيات الإنسانية.

إن التعريف الرسمي للتحدب وتقعر الرسم البياني صعب للغاية بالنسبة لإبريق الشاي، لذلك سنقتصر على تفسير هندسي للمفهوم على أمثلة محددة. النظر في الرسم البياني للدالة التي مستمرعلى خط الأعداد بأكمله:

من السهل البناء بها التحولات الهندسيةوربما يعرف العديد من القراء كيفية الحصول عليها من القطع المكافئ المكعب.

لنتصل وترربط الخط نقطتين مختلفتينالفنون التصويرية.

الرسم البياني للدالة هو محدبفي فترة ما، إذا كان موجودا ليس أقلأي وتر من فترة زمنية معينة. الخط التجريبي محدب، ومن الواضح أن أي جزء من الرسم البياني يقع فوقه وتر. لتوضيح التعريف، رسمت ثلاثة خطوط سوداء.

وظائف الرسم البياني هي مقعرعلى الفاصل الزمني، إذا كان موجودا ليس أعلىأي وتر من هذه الفترة. في المثال قيد النظر، يكون المريض مقعرًا عند الفاصل الزمني. يوضح زوج من القطاعات البنية بشكل مقنع أن أي قطعة من الرسم البياني تقع تحتها وتر.

النقطة على الرسم البياني التي يتغير عندها من محدب إلى مقعر أويسمى التقعر بالتحدب نقطة الأنحراف. لدينا في نسخة واحدة (الحالة الأولى)، ومن الناحية العملية، يمكننا أن نعني بنقطة الانعطاف كلاً من النقطة الخضراء التي تنتمي إلى الخط نفسه وقيمة "X".

مهم!ينبغي رسم مكامن الخلل في الرسم البياني بعناية و ناعمة جدا. جميع أنواع "المخالفات" و"الخشونة" غير مقبولة. يستغرق الأمر القليل من التدريب.

يتم إعطاء النهج الثاني لتحديد التحدب/التقعر من الناحية النظرية من خلال الظلال:

محدبعلى الفاصل الزمني يقع الرسم البياني ليس أعلىالمماس المرسوم عليه عند نقطة عشوائية من فترة زمنية معينة. مقعرعلى الرسم البياني الفاصل - ليس أقلأي مماس في هذه الفترة.

القطع الزائد مقعر على الفاصل الزمني ومحدب على:

عند المرور بأصل الإحداثيات يتغير التقعر إلى التحدب ولكن النقطة لا تعدنقطة انعطاف، منذ الوظيفة لم يحددفيه.

يمكن العثور على بيانات ونظريات أكثر صرامة حول هذا الموضوع في الكتاب المدرسي، وننتقل إلى الجزء العملي المكثف:

كيفية العثور على فترات التحدب، فترات التقعر
ونقاط انعطاف الرسم البياني؟

المادة بسيطة ومرسومة بالستينسيل ومتكررة هيكلياً دراسة وظيفة لأقصى.

يتميز التحدب / تقعر الرسم البيانيالمشتق الثاني المهام.

دع الدالة تكون قابلة للاشتقاق مرتين في فترة ما. ثم:

- إذا كانت المشتقة الثانية تقع على فترة، فإن الرسم البياني للدالة يكون محدبًا على هذه الفترة؛

– إذا كانت المشتقة الثانية تقع على فترة، فإن الرسم البياني للدالة يكون مقعرًا على هذه الفترة.

فيما يتعلق بعلامات المشتق الثاني، هناك ارتباط ما قبل التاريخ يتجول في المؤسسات التعليمية: "-" يدل على أنه "لا يمكنك صب الماء في الرسم البياني للدالة" (التحدب)،
و"+" - "يعطي مثل هذه الفرصة" (التقعر).

شرط ضروري من انعطاف

إذا كانت هناك نقطة انعطاف في الرسم البياني للوظيفة، الذي - التي:
أو القيمة غير موجودة(دعونا فرزها، وقراءة!).

هذه العبارة تعني أن الوظيفة مستمرعند نقطة ما وفي هذه الحالة - يمكن تمييزه مرتين في بعض الأحياء منه.

وتشير ضرورة الشرط إلى أن العكس ليس صحيحا دائما. أي من المساواة (أو عدم وجود القيمة) لا ينبغي بعدوجود انعطاف في الرسم البياني للدالة عند النقطة . لكن في كلا الحالتين يسمون النقطة الحرجة للمشتق الثاني.

حالة كافية للانعطاف

إذا تغيرت علامة المشتق الثاني عند المرور عبر نقطة ما، فعند هذه النقطة يكون هناك انعطاف في الرسم البياني للدالة.

قد لا تكون هناك نقاط انعطاف (تم بالفعل استيفاء مثال) على الإطلاق، وبهذا المعنى تكون بعض الأمثلة الأولية إرشادية. دعنا نحلل المشتق الثاني للدالة:

يتم الحصول على دالة ثابتة موجبة، أي لأي قيمة "x". حقائق ملقاة على السطح: القطع المكافئ مقعر طوال الوقت مجال التعريف، لا توجد نقاط انعطاف. من السهل ملاحظة أن المعامل السالب عند "عكس" القطع المكافئ وجعله محدبًا (كما ستخبرنا المشتقة الثانية، وهي دالة ثابتة سالبة).

الدالة الأسيةمقعرة أيضًا في:

لأي قيمة "x".

وبطبيعة الحال، الرسم البياني لا يحتوي على نقاط انعطاف.

نفحص الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية للتحدب/التقعر:

وبالتالي، فإن فرع اللوغاريتم محدب في الفترة. يتم تعريف المشتق الثاني أيضًا على الفترة، ولكن ضع في اعتبارك ذلك ممنوع، حيث أن هذه الفترة غير متضمنة اِختِصاصالمهام الشرط واضح - نظرًا لعدم وجود رسم بياني لوغاريتمي هناك، فمن الطبيعي أنه لا يوجد حديث عن أي تحدب/تقعر/تصريفات.

كما ترون، كل شيء يذكرنا حقًا بالقصة الزيادة والتناقص والأقصى للدالة. مشابه لنفسي خوارزمية لدراسة الرسم البياني للدالةللتحدب والتقعر ووجود الالتواءات:

2) نحن نبحث عن القيم الحرجة. للقيام بذلك، خذ المشتقة الثانية وحل المعادلة. النقاط التي لا يوجد فيها مشتق ثانٍ، ولكنها مدرجة في مجال تعريف الدالة نفسها، تعتبر أيضًا حرجة!

3) ضع علامة على خط الأعداد على جميع نقاط الانقطاع الموجودة و نقاط حرجة (قد لا يكون هناك هذا ولا ذاك - فلا داعي لرسم أي شيء (كما هو الحال في الحالة البسيطة جدًا)، يكفي أن يقتصر الأمر على تعليق مكتوب). طريقة الفاصلتحديد العلامات على الفواصل الزمنية الناتجة. كما أوضحت للتو، ينبغي للمرء أن يأخذ في الاعتبار فقط اولئكالفواصل الزمنية المضمنة في مجال تعريف الوظيفة. نحن نستخلص استنتاجات حول التحدب/التقعر ونقاط انعطاف الرسم البياني للوظيفة. نعطي الجواب.

حاول تطبيق الخوارزمية لفظيًا على الوظائف . في الحالة الثانية، بالمناسبة، هناك مثال عندما لا يكون هناك نقطة انعطاف في الرسم البياني عند النقطة الحرجة. ومع ذلك، لنبدأ بمهام أكثر صعوبة قليلاً:

مثال 1

حل:
1) الدالة محددة ومستمرة على خط الأعداد بأكمله. جيد جدًا.

2) دعونا نجد المشتقة الثانية. يمكنك أولا تنفيذ بناء المكعب، ولكن استخدامه أكثر ربحية قاعدة للتمييز بين الوظائف المعقدة:

يرجى ملاحظة ذلك ، مما يعني أن الوظيفة غير متناقصة. على الرغم من أن هذا ليس له صلة بالمهمة، فمن المستحسن دائمًا الانتباه إلى مثل هذه الحقائق.

دعونا نجد النقاط الحرجة للمشتق الثاني:

- نقطة حرجة

3) دعونا نتحقق من استيفاء شرط التصريف الكافي. دعونا نحدد علامات المشتقة الثانية على الفترات الناتجة.

انتباه!نحن الآن نعمل مع المشتقة الثانية (وليس مع وظيفة!)

ونتيجة لذلك تم الحصول على نقطة حرجة: .

3) ضع علامة على نقطتي انقطاع على خط الأعداد، وهي نقطة حرجة، وحدد إشارات المشتقة الثانية على الفترات الناتجة:

أذكرك بتقنية مهمة طريقة الفاصلمما يسمح لك بتسريع الحل بشكل ملحوظ. المشتق الثاني تبين أنها مرهقة للغاية، لذلك ليس من الضروري حساب قيمها، يكفي إجراء "تقدير" في كل فاصل زمني. لنختار، على سبيل المثال، نقطة تنتمي إلى المجال الأيسر،
وإجراء الاستبدال:

الآن دعونا نحلل المضاعفات:

اثنان "ناقص" و"زائد" يعطيان "زائد"، مما يعني أن المشتقة الثانية موجبة خلال الفترة بأكملها.

من السهل تنفيذ الإجراءات المعلقة لفظيًا. بالإضافة إلى ذلك، من المفيد تجاهل العامل تمامًا - فهو موجب لأي "x" ولا يؤثر على علامات المشتق الثاني.

إذن ما هي المعلومات التي قدمتها لنا؟

إجابة: الرسم البياني للدالة مقعر عند ومحدب على . بالأصل (انه واضح )هناك نقطة انعطاف في الرسم البياني.

عند المرور عبر النقاط، تغير المشتقة الثانية أيضًا الإشارة، لكنها لا تعتبر نقاط انعطاف، نظرًا لأن الدالة تعاني منها فواصل لا نهاية لها.

في المثال الذي تم تحليله، المشتقة الأولى يخبرنا عن نمو الوظيفة طوال الوقت مجال التعريف. سيكون هناك دائما مثل هذه الهدية الترويجية =) وبالإضافة إلى ذلك، فمن الواضح أن هناك ثلاثة الخط المقارب. تم الحصول على الكثير من البيانات، مما يسمح درجة عاليةالموثوقية الحالية مظهرالفنون التصويرية. بالنسبة للكومة، الوظيفة غريبة أيضًا. بناءً على الحقائق المثبتة، حاول رسم رسم تقريبي. الصورة في نهاية الدرس.

مهمة الحل المستقل:

مثال 6

افحص الرسم البياني للدالة من حيث التحدب والتقعر وابحث عن نقاط انعطاف الرسم البياني، إذا كانت موجودة.

لا يوجد رسم في العينة لكن لا يمنع طرح فرضية؛)

نقوم بطحن المادة دون ترقيم نقاط الخوارزمية:

مثال 7

افحص الرسم البياني لدالة التحدب والتقعر وإيجاد نقاط انعطاف، إذا كانت موجودة.

حل: وظيفة يتسامح فجوة لا نهاية لهاعند نقطة .

كالعادة كل شيء على ما يرام معنا:

المشتقات ليست هي الأكثر صعوبة، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر مع "تصفيفة الشعر".
في الماراثون المستحث، تم الكشف عن نقطتين حاسمتين للمشتق الثاني:

دعونا نحدد العلامات على الفواصل الزمنية الناتجة:

توجد نقطة انعطاف في الرسم البياني عند نقطة ما؛ فلنوجد إحداثيات النقطة:

عند المرور عبر نقطة ما، لا تتغير إشارة المشتق الثاني، وبالتالي لا يوجد انعطاف في الرسم البياني.

إجابة: فترات التحدب: ; فاصل التقعر: ; نقطة الأنحراف: .

دعونا نفكر الأمثلة النهائيةمع أجراس وصفارات إضافية:

مثال 8

أوجد فترات التحدب والتقعر ونقاط الانقلاب في الرسم البياني

حل: مع العثور على مجال التعريفلا توجد مشاكل خاصة:
، بينما تعاني الوظيفة من انقطاعات عند النقاط.

دعنا نسير في الطريق المطروق:

- نقطة حرجة.

دعونا نحدد العلامات ونفكر في الفواصل الزمنية فقط من مجال الوظيفة:

توجد نقطة انعطاف في الرسم البياني عند نقطة ما، فلنحسب الإحداثي: