I. القيم النسبية المباشرة.

دع القيمة ذيعتمد على الحجم X. إذا مع زيادة Xعدة أضعاف الحجم فييزيد بنفس العامل ، ثم هذه القيم Xو فيتسمى نسبيًا مباشرًا.

أمثلة.

1 . كمية البضائع المشتراة وتكلفة الشراء (بسعر ثابت لوحدة واحدة من البضائع - قطعة واحدة أو 1 كجم ، إلخ.) كم عدد المرات التي تم فيها شراء البضائع ، مرات أكثر ودفع الثمن.

2 . المسافة المقطوعة والوقت الذي تقضيه فيه (بسرعة ثابتة). كم مرة أطول المسار ، وكم مرة سنقضي الوقت على ذلك.

3 . حجم الجسم وكتلته. ( إذا كانت حبة بطيخة أكبر مرتين من الأخرى ، فإن كتلتها ستكون أكبر بمرتين)

ثانيًا. خاصية التناسب المباشر للكميات.

إذا كانت كميتان متناسبتان بشكل مباشر ، فإن نسبة القيمتين التعسفيتين للكمية الأولى تساوي نسبة القيمتين المناظرتين للكمية الثانية.

مهمة 1.لمربى التوت 12 كجمالتوت و 8 كجمالصحراء. ما هي كمية السكر المطلوبة إذا تم تناولها 9 كجمتوت العليق؟

حل.

نحن نتجادل على هذا النحو: فليكن ذلك ضروريًا × كجمالسكر 9 كجمتوت العليق. تتناسب كتلة التوت وكتلة السكر بشكل مباشر: كم مرة أقل من توت العليق ، هناك حاجة إلى نفس الكمية من السكر. لذلك ، فإن نسبة توت العليق (بالوزن) ( 12:9 ) ستكون مساوية لنسبة السكر المأخوذ ( 8: س). نحصل على النسبة:

12: 9=8: X ؛

س = 9 · 8: 12;

س = 6. إجابة:على 9 كجمالتوت لاتخاذ 6 كجمالصحراء.

حل المشكلةكان من الممكن القيام به على هذا النحو:

تساهل 9 كجمالتوت لاتخاذ × كجمالصحراء.

(الأسهم الموجودة في الشكل موجهة في اتجاه واحد ، ولا يهم لأعلى أو لأسفل. المعنى: كم مرة الرقم 12 رقم أكثر 9 ، نفس العدد 8 رقم أكثر X، أي أن هناك تبعية مباشرة هنا).

إجابة:على 9 كجمالتوت لاتخاذ 6 كجمالصحراء.

المهمة 2.سيارة ل 3 ساعاتالمسافة المقطوعة 264 كم. كم من الوقت سيستغرقه 440 كمإذا كان يسافر بنفس السرعة؟

حل.

اسمحوا ل x ساعة سوف تمر السيارةمسافة 440 كم.

إجابة:سوف تمر السيارة 440 كم في 5 ساعات.

مثال

1.6 / 2 = 0.8 ؛ 4/5 = 0.8 ؛ 5.6 / 7 = 0.8 إلخ.

عامل التناسب

تسمى النسبة الثابتة للكميات المتناسبة معامل التناسب. يوضح معامل التناسب عدد الوحدات من كمية ما تقع على وحدة من أخرى.

التناسب المباشر

التناسب المباشر- الاعتماد الوظيفي ، حيث تعتمد كمية معينة على كمية أخرى بحيث تظل نسبتها ثابتة. بمعنى آخر ، هذه المتغيرات تتغير بشكل متناسب، في حصص متساوية ، أي إذا تغيرت الوسيطة مرتين في أي اتجاه ، فإن الوظيفة تتغير أيضًا مرتين في نفس الاتجاه.

رياضيا ، التناسب المباشر مكتوب كصيغة:

F(x) = أx,أ = جانسر

التناسب العكسي

تناسب عكسي- هذا تبعية وظيفية ، حيث تؤدي الزيادة في القيمة المستقلة (الوسيطة) إلى انخفاض نسبي في القيمة التابعة (الوظيفة).

رياضيا ، التناسب العكسي مكتوب كصيغة:

خصائص الوظيفة:

مصادر

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

§ 129. توضيحات أولية.

يتعامل الإنسان باستمرار مع مجموعة متنوعة من الكميات. يحاول الموظف والعامل الوصول إلى الخدمة ، للعمل في وقت معين ، يسارع المشاة للوصول إلى مكان معين بأقصر طريق ، ويخشى مصدر تسخين البخار أن ترتفع درجة الحرارة في الغلاية ببطء ، مدير الأعمال يضع خططًا لتقليل تكلفة الإنتاج ، إلخ.

يمكن الاستشهاد بأي عدد من هذه الأمثلة. الوقت والمسافة ودرجة الحرارة والتكلفة - كل هذه كميات مختلفة. في الجزأين الأول والثاني من هذا الكتاب ، تعرفنا على بعض الكميات الشائعة بشكل خاص: المساحة والحجم والوزن. نواجه كميات كثيرة في دراسة الفيزياء والعلوم الأخرى.

تخيل أنك على متن قطار. من وقت لآخر ، تنظر إلى ساعتك وتلاحظ المدة التي قضيتها بالفعل على الطريق. تقول ، على سبيل المثال ، أن 2 ، 3 ، 5 ، 10 ، 15 ساعة ، وما إلى ذلك قد انقضت منذ مغادرة القطار الخاص بك. تشير هذه الأرقام إلى فترات زمنية مختلفة ؛ يطلق عليهم قيم هذه الكمية (الوقت). أو تنظر من النافذة وتتبع أعمدة الطريق لمعرفة المسافة التي يقطعها قطارك. الأرقام 110 ، 111 ، 112 ، 113 ، 114 كم تومض أمامك. تشير هذه الأرقام إلى المسافات المختلفة التي قطعها القطار من نقطة المغادرة. وتسمى أيضًا قيمًا ، هذه المرة بقيمة مختلفة (مسار أو مسافة بين نقطتين). وبالتالي ، يمكن أن تأخذ قيمة واحدة ، على سبيل المثال ، الوقت والمسافة ودرجة الحرارة أي قيمة معان مختلفة.

انتبه إلى حقيقة أن الشخص لا يأخذ في الاعتبار أبدًا قيمة واحدة فقط ، ولكنه يربطها دائمًا ببعض القيم الأخرى. يجب أن يتعامل مع اثنين وثلاثة و عدد كبيركميات. تخيل أنك بحاجة للوصول إلى المدرسة بحلول الساعة التاسعة صباحًا. تنظر إلى ساعتك وترى أن لديك 20 دقيقة. ثم تقرر سريعًا ما إذا كان ينبغي عليك ركوب الترام أو سيكون لديك وقت للمشي إلى المدرسة. بعد التفكير ، قررت المشي. لاحظ أنه في الوقت الذي كنت تفكر فيه ، كنت تحل بعض المشكلات. أصبحت هذه المهمة بسيطة ومألوفة ، حيث تقوم بحل مثل هذه المشكلات كل يوم. في ذلك ، قمت بسرعة بمقارنة العديد من القيم. كنت أنت من نظرت إلى الساعة ، مما يعني أنك أخذت الوقت في الحسبان ، ثم تخيلت عقليًا المسافة من منزلك إلى المدرسة ؛ أخيرًا ، قارنت كميتين: سرعة خطوتك وسرعة الترام ، وخلصت إلى أنه في وقت معين (20 دقيقة) سيكون لديك وقت للمشي. من هذا مثال بسيطترى في ممارستنا أن بعض الكميات مترابطة ، أي أنها تعتمد على بعضها البعض

في الفصل الثاني عشر ، تم الحديث عن نسبة الكميات المتجانسة. على سبيل المثال ، إذا كان أحدهما 12 مترًا والآخر 4 أمتار ، فستكون نسبة هذين المقطعين 12: 4.

قلنا إنها نسبة كميتين متجانستين. بمعنى آخر ، إنها نسبة رقمين اسم واحد.

الآن بعد أن أصبحنا أكثر دراية بالكميات وقدمنا ​​مفهوم قيمة الكمية ، يمكننا تحديد تعريف العلاقة بطريقة جديدة. في الواقع ، عندما نظرنا إلى جزأين 12 م و 4 أمتار ، كنا نتحدث عن قيمة واحدة - الطول ، و 12 م و 4 م - كان هذان اثنان فقط معان مختلفةهذه القيمة.

لذلك ، في المستقبل ، عندما نبدأ الحديث عن نسبة ما ، سننظر في قيمتين لواحدة من بعض الكميات ، ونسبة قيمة واحدة إلى قيمة أخرى بنفس الكمية ستسمى حاصل القسمة القيمة الأولى بالثانية.

130. الكميات تتناسب طرديا.

تأمل مشكلة تشتمل حالتها على كميتين: المسافة والوقت.

مهمة 1.جسم يتحرك في خط مستقيم ويمر بشكل موحد 12 سم في كل ثانية ، حدد المسار الذي يسلكه الجسم في 2 ، 3 ، 4 ، ... ، 10 ثوانٍ.

دعنا نصنع جدولًا يمكن من خلاله مراقبة التغيير في الوقت والمسافة.

يمنحنا الجدول الفرصة لمقارنة هاتين السلسلتين من القيم. نرى منه أنه عندما تزداد قيم الكمية الأولى (الوقت) تدريجيًا بمقدار 2 ، 3 ، ... ، 10 مرات ، فإن قيم الكمية الثانية (المسافة) تزيد أيضًا بمقدار 2 ، 3 ، ... ، 10 مرات. وهكذا ، عندما تزيد قيم كمية واحدة عدة مرات ، تزداد قيم كمية أخرى بنفس المقدار ، وعندما تنخفض قيم كمية واحدة عدة مرات ، تنخفض قيم الكمية الأخرى بمقدار نفس المبلغ.

فكر الآن في مشكلة تتضمن كميتين من هذا القبيل: مقدار المادة وتكلفتها.

المهمة 2. 15 م من القماش تكلف 120 روبل. احسب تكلفة هذا القماش لعدة كميات أخرى من الأمتار الموضحة في الجدول.

من هذا الجدول ، يمكننا أن نرى كيف تزداد قيمة سلعة ما تدريجيًا ، اعتمادًا على الزيادة في كميتها. على الرغم من حقيقة وجود كميات مختلفة تمامًا في هذه المشكلة (في المشكلة الأولى - الوقت والمسافة ، وهنا - كمية البضائع وتكلفتها) ، إلا أنه يمكن العثور على تشابه كبير في سلوك هذه الكميات.

في الواقع ، في السطر العلوي من الجدول توجد أرقام تشير إلى عدد أمتار القماش ، وتحت كل منها يتم كتابة رقم يعبر عن تكلفة الكمية المقابلة من البضائع. حتى نظرة خاطفة على هذا الجدول تظهر أن الأرقام في كل من الصفوف العلوية والسفلية تتزايد ؛ يكشف الفحص الدقيق للجدول ومقارنة الأعمدة الفردية أنه في جميع الحالات تزيد قيم الكمية الثانية بقدر قيم الزيادة الأولى ، أي إذا زادت قيمة الكمية الأولى ، على سبيل المثال ، 10 مرات ، زادت قيمة القيمة الثانية أيضًا 10 مرات.

إذا نظرنا إلى الجدول من اليمين إلى اليسار ، فسنجد أن القيم المشار إليها للكميات ستنخفض بنفس عدد المرات. بهذا المعنى ، هناك تشابه غير مشروط بين المهمة الأولى والثانية.

تسمى أزواج الكميات التي التقيناها في المسألة الأولى والثانية يتناسب طرديا.

وبالتالي ، إذا كانت هناك كميتين مترابطتين بحيث مع زيادة (نقص) قيمة إحداهما عدة مرات ، تزداد قيمة الأخرى (تنقص) بنفس المقدار ، فإن هذه الكميات تسمى متناسبة مباشرة.

يقولون أيضًا عن مثل هذه الكميات أنها مترابطة من خلال اعتماد نسبي مباشر.

في الطبيعة وفي الحياة من حولنا ، هناك العديد من هذه الكميات. وهنا بعض الأمثلة:

1. وقتالعمل (يوم ، يومين ، ثلاثة أيام ، إلخ) و الأرباحوردت خلال هذا الوقت في أجر اليوم.

2. مقدارأي كائن مصنوع من مادة متجانسة ، و وزنهذه الماده.

§ 131.ممتلكات الكميات المتناسبة مباشرة.

لنأخذ مشكلة تتضمن الكميتين التاليتين: وقت العملوالأرباح. إذا كانت الأرباح اليومية 20 روبل ، فإن الأرباح لمدة يومين ستكون 40 روبل ، وما إلى ذلك. عدد معينأيام تتوافق مع أرباح معينة.

بالنظر إلى هذا الجدول ، نلاحظ أن كلا الكميتين اتخذتا 10 قيم مختلفة. تتوافق كل قيمة من القيمة الأولى مع قيمة معينة للقيمة الثانية ، على سبيل المثال ، 40 روبل تقابل يومين ؛ 5 أيام تقابل 100 روبل. في الجدول ، هذه الأرقام مكتوبة واحدة تحت الأخرى.

نحن نعلم بالفعل أنه إذا كانت كميتان متناسبتان بشكل مباشر ، فإن كل منهما ، أثناء عملية التغيير ، تزداد بنفس المقدار الذي تزيد فيه الكميات الأخرى. ويترتب على ذلك مباشرة: إذا أخذنا نسبة أي قيمتين للكمية الأولى ، فستكون مساوية لنسبة القيمتين المناظرتين للكمية الثانية. بالفعل:

لماذا يحدث هذا؟ ولكن نظرًا لأن هذه القيم متناسبة بشكل مباشر ، أي عندما زاد أحدهما (الوقت) بمقدار 3 مرات ، زادت (الأرباح) الأخرى بمقدار 3 مرات.

لذلك توصلنا إلى الاستنتاج التالي: إذا أخذنا أي قيمتين من الحجم الأول وقسمناهما إحداهما على الأخرى ، ثم قسمنا إحداهما على الأخرى قيم المقدار الثاني المقابل لها ، إذن في سيتم الحصول على كلتا الحالتين رقم واحد ونفس الرقم ، أي نفس العلاقة. هذا يعني أن العلاقات التي كتبناها أعلاه يمكن ربطها بعلامة المساواة ، أي

لا شك أننا إذا لم نأخذ هذه العلاقات ، بل علاقات أخرى ، وليس بهذا الترتيب ، بل بالاتجاه المعاكس ، لكنا نحصل أيضًا على مساواة في العلاقات. في الواقع ، سننظر في قيم كمياتنا من اليسار إلى اليمين ونأخذ القيمتين الثالثة والتاسعة:

60:180 = 1 / 3 .

حتى نتمكن من كتابة:

يشير هذا إلى الاستنتاج التالي: إذا كانت كميتان متناسبتان بشكل مباشر ، فإن نسبة قيمتين تم أخذهما بشكل تعسفي للكمية الأولى تساوي نسبة القيمتين المناظرتين للكمية الثانية.

§ 132- صيغة التناسب المباشر.

لنضع جدولًا بتكلفة الكميات المختلفة من الحلويات ، إذا كان 1 كجم منها يكلف 10.4 روبل.

الآن دعونا نفعل ذلك بهذه الطريقة. لنأخذ أي رقم من الصف الثاني ونقسمه على الرقم المقابل للصف الأول. على سبيل المثال:

ترى أنه في حاصل القسمة يتم الحصول على نفس الرقم طوال الوقت. لذلك ، بالنسبة لزوج معين من الكميات المتناسبة بشكل مباشر ، فإن حاصل قسمة أي قيمة لكمية واحدة على القيمة المقابلة لكمية أخرى هو رقم ثابت (أي لا يتغير). في مثالنا ، هذا الحاصل هو 10.4. يسمى هذا الرقم الثابت عامل التناسب. في هذه الحالة ، يعبر عن سعر وحدة القياس ، أي كيلوغرام واحد من البضائع.

كيف تجد أو تحسب عامل التناسب؟ للقيام بذلك ، عليك أن تأخذ أي قيمة لكمية واحدة وتقسيمها على القيمة المقابلة لأخرى.

دعونا نشير إلى هذه القيمة التعسفية لكمية واحدة بالحرف في ، والقيمة المقابلة لكمية أخرى - الحرف X ، ثم معامل التناسب (نشير إليه ل) أوجد بقسمة:

في هذه المساواة في - قابل للقسمة X - مقسم و ل- حاصل القسمة ، وبما أن المقسوم ، من خلال خاصية القسمة ، يساوي المقسوم عليه مضروبًا في حاصل القسمة ، يمكننا كتابة:

ص =ك x

المساواة الناتجة تسمى صيغة التناسب المباشر.باستخدام هذه الصيغة ، يمكننا حساب أي عدد من القيم لإحدى الكميات المتناسبة مباشرة ، إذا عرفنا القيم المقابلة للكمية الأخرى ومعامل التناسب.

مثال.من الفيزياء نعلم أن الوزن صأي جسم يساوي جاذبيته النوعية د مضروبة في حجم هذا الجسم الخامس، أي. ص = دالخامس.

خذ خمس سبائك حديدية بأحجام مختلفة ؛ بمعرفة الثقل النوعي للحديد (7.8) ، يمكننا حساب أوزان هذه الفراغات باستخدام الصيغة:

ص = 7,8 الخامس.

مقارنة هذه الصيغة بالصيغة في = ل X ، نحن نرى ذلك ص = ص, س = الخامسومعامل التناسب ل= 7.8. الصيغة هي نفسها ، فقط الأحرف مختلفة.

باستخدام هذه الصيغة ، لنصنع جدولًا: لنجعل حجم الفراغ الأول 8 أمتار مكعبة. سم ، ثم وزنه 7.8 8 = 62.4 (ز). حجم الفراغ الثاني 27 متر مكعب. سم وزنه 7.8 27 \ u003d 210.6 (جم). سيبدو الجدول كما يلي:

احسب الأرقام المفقودة في هذا الجدول بنفسك باستخدام الصيغة ص= دالخامس.

§ 133. طرق أخرى لحل المشاكل بكميات متناسبة مباشرة.

في الفقرة السابقة حللنا المشكلة التي تضمنت حالتها كميات متناسبة مباشرة. لهذا الغرض ، اشتقنا سابقًا معادلة التناسب المباشر ثم طبقنا هذه الصيغة. الآن سوف نعرض طريقتين أخريين لحل مشاكل مماثلة.

لنصنع مشكلة وفقًا للبيانات الرقمية الواردة في جدول الفقرة السابقة.

مهمة.فارغ بحجم 8 متر مكعب. سم يزن 62.4 جرام كم يزن فراغ بحجم 64 متر مكعب؟ سم؟

حل.وزن الحديد ، كما تعلم ، يتناسب مع حجمه. إذا كان 8 متر مكعب. يزن سم 62.4 جرامًا ، ثم 1 متر مكعب. سوف يزن سم 8 مرات أقل ، أي

62.4: 8 = 7.8 (جم).

فراغ بحجم 64 متر مكعب. سوف يزن سم 64 مرة أكثر من فراغ 1 متر مكعب. سم ، أي

7.8 64 = 499.2 (جم).

لقد حللنا مشكلتنا بالحد من الوحدة. يبرر معنى هذا الاسم حقيقة أنه من أجل حله ، كان علينا إيجاد وزن وحدة الحجم في السؤال الأول.

2. طريقة النسبة.لنحل المشكلة نفسها باستخدام طريقة التناسب.

نظرًا لأن وزن الحديد وحجمه كميات متناسبة بشكل مباشر ، فإن نسبة قيمتين لكمية واحدة (حجم) تساوي نسبة قيمتين متطابقتين لكمية أخرى (وزن) ، أي

(خطاب صأشرنا إلى الوزن المجهول للفراغ). من هنا:

(ز).

يتم حل المشكلة بطريقة النسب. هذا يعني أنه من أجل حلها ، تم تكوين نسبة من الأرقام المدرجة في الشرط.

§ 134- الكميات متناسبة عكسياً.

تأمل المشكلة التالية: "يمكن لخمسة عمال بناء أن يضعوا جدران منزل من الطوب في 168 يومًا. حدد عدد الأيام 10 و 8 و 6 وما إلى ذلك. يمكن للبنائين القيام بنفس العمل.

إذا قام 5 بنّائين بوضع جدران منزل في 168 يومًا ، فعندئذ (مع نفس إنتاجية العمل) يمكن أن يقوم 10 بنائين بذلك بسرعة مضاعفة ، حيث يقوم 10 أشخاص في المتوسط ​​بعمل ضعف ما يقوم به 5 أشخاص.

لنعد جدولاً يمكن بموجبه مراقبة التغيير في عدد ساعات العمل وساعات العمل.

على سبيل المثال ، لمعرفة عدد الأيام التي يستغرقها 6 عمال ، يجب عليك أولاً حساب عدد الأيام التي يستغرقها عامل واحد (168 5 = 840) ، ثم ستة عمال (840: 6 = 140). بالنظر إلى هذا الجدول ، نرى أن كلا الكميتين اتخذتا ست قيم مختلفة. تتوافق كل قيمة من القيمة الأولى بشكل أكثر تأكيدًا ؛ قيمة القيمة الثانية ، على سبيل المثال ، 10 تقابل 84 ، الرقم 8 - الرقم 105 ، إلخ.

إذا أخذنا في الاعتبار قيم كلتا القيمتين من اليسار إلى اليمين ، فسنرى أن قيم القيمة العليا تزداد وقيم القيمة الأدنى تنخفض. تخضع الزيادة والنقصان للقانون الآتي: تزداد قيم عدد العمال أضعاف ما تنخفض قيم وقت العمل الذي يقضيه. بشكل أكثر بساطة ، يمكن التعبير عن هذه الفكرة على النحو التالي: كلما زاد عدد العاملين في أي عمل ، قل الوقت الذي يحتاجون إليه للقيام بعمل معين. تسمى الكميتان اللتان واجهناهما في هذه المشكلة يتناسب عكسيا.

وبالتالي ، إذا كانت هناك كميتين مترابطتين بطريقة أنه مع زيادة (نقص) قيمة إحداهما عدة مرات ، فإن قيمة الأخرى تتناقص (تزداد) بنفس المقدار ، فإن هذه الكميات تسمى متناسبة عكسيًا.

هناك الكثير من هذه الأشياء في الحياة. دعنا نعطي أمثلة.

1. إذا ل 150 روبل. تحتاج إلى شراء عدة كيلوغرامات من الحلويات ، ثم يعتمد عدد الحلويات على سعر كيلوغرام واحد. كلما ارتفع السعر ، قل شراء السلع بهذه الأموال ؛ هذا يمكن رؤيته من الجدول:

مع زيادة سعر الحلويات عدة مرات ، يتناقص عدد الكيلوغرامات من الحلويات التي يمكن شراؤها مقابل 150 روبل بنفس المقدار. في هذه الحالة ، تكون الكميتان (وزن المنتج وسعره) متناسبتين عكسياً.

2. إذا كانت المسافة بين مدينتين 1200 كم فيمكن قطعها أوقات مختلفةحسب سرعة الحركة. يخرج طرق مختلفةالنقل: سيرا على الأقدام ، على ظهور الخيل ، بالدراجة ، بالقارب ، بالسيارة ، بالقطار ، بالطائرة. كلما انخفضت السرعة ، زاد الوقت المستغرق للتحرك. يمكن ملاحظة ذلك من الجدول:

مع زيادة السرعة عدة مرات ، يقل وقت الحركة بنفس المقدار. ومن ثم ، في ظل ظروف معينة ، فإن السرعة والوقت متناسبان عكسيا.

135. خاصية الكميات المتناسبة عكسياً.

لنأخذ المثال الثاني الذي تناولناه في الفقرة السابقة. هناك كنا نتعامل مع كميتين - سرعة الحركة والوقت. إذا أخذنا في الاعتبار قيم هذه الكميات من اليسار إلى اليمين في الجدول ، فسنرى أن قيم الكمية الأولى (السرعة) تزداد ، وقيم الثانية (الوقت) تنخفض ، و تزيد السرعة بنفس العامل مع انخفاض الوقت.من السهل معرفة أنه إذا كتبت نسبة بعض القيم لكمية واحدة ، فلن تكون مساوية لنسبة القيم المقابلة لكمية أخرى. في الواقع ، إذا أخذنا نسبة القيمة الرابعة من القيمة العليا إلى القيمة السابعة (40: 80) ، فلن تكون مساوية لنسبة القيمتين الرابعة والسابعة للقيمة الأقل (30: 15) ). يمكن كتابتها على النحو التالي:

40:80 لا يساوي 30:15 أو 40:80 = / = 30:15.

ولكن إذا أخذنا العكس بدلاً من إحدى هذه النسب ، فإننا نحصل على المساواة ، أي من هذه النسب سيكون من الممكن عمل نسبة. على سبيل المثال:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

بناءً على ما سبق ، يمكننا استخلاص الاستنتاج التالي: إذا كانت كميتان متناسبتان عكسيًا ، فإن نسبة قيمتين تم أخذهما عشوائيًا لكمية واحدة تساوي النسبة العكسية للقيم المقابلة للكمية الأخرى.

§ 136 - صيغة التناسب العكسي.

فكر في المشكلة: "هناك 6 قطع من الأقمشة الحريرية بأحجام مختلفة ودرجات مختلفة. كل القطع بنفس السعر. قطعة واحدة 100 م من القماش بسعر 20 روبل. لكل متر. كم متر في كل قطعة من القطع الخمس المتبقية ، إذا كان المتر من القماش في هذه القطع يكلف 25 ، 40 ، 50 ، 80 ، 100 روبل على التوالي؟ لنقم بإنشاء جدول لحل هذه المشكلة:

نحتاج إلى ملء الخلايا الفارغة في الصف العلوي من هذا الجدول. لنحاول أولاً تحديد عدد الأمتار في القطعة الثانية. ويمكن القيام بذلك على النحو التالي. من المعروف من حالة المشكلة أن تكلفة كل القطع هي نفسها. من السهل تحديد تكلفة القطعة الأولى: فهي تحتوي على 100 متر ويبلغ سعر كل متر 20 روبل ، مما يعني أنه في أول قطعة من الحرير مقابل 2000 روبل. نظرًا لأن القطعة الثانية من الحرير تحتوي على نفس العدد من الروبل ، فقم بتقسيم 2000 روبل. بسعر المتر ، أي عند 25 ، نجد قيمة القطعة الثانية: 2000: 25 = 80 (م). بنفس الطريقة سنجد حجم كل القطع الأخرى. سيبدو الجدول كما يلي:

من السهل ملاحظة وجود علاقة عكسية بين عدد الأمتار والسعر.

إذا قمت بإجراء الحسابات اللازمة بنفسك ، فستلاحظ أنه في كل مرة يتعين عليك قسمة الرقم 2000 على سعر متر واحد. على العكس ، إذا بدأت الآن في ضرب حجم القطعة بالأمتار في سعر 1 متر ، فأنت سيحصل دائمًا على الرقم 2000. وكان ذلك متوقعًا ، لأن كل قطعة تكلف 2000 روبل.

من هذا يمكننا استخلاص الاستنتاج التالي: بالنسبة لزوج معين من الكميات المتناسبة عكسيًا ، فإن منتج أي قيمة لكمية واحدة بالقيمة المقابلة لكمية أخرى هو رقم ثابت (أي لا يتغير).

في مشكلتنا ، هذا المنتج يساوي 2000. تحقق من ذلك في المشكلة السابقة ، حيث قيل عن سرعة الحركة والوقت اللازم للانتقال من مدينة إلى أخرى ، كان هناك أيضًا رقم ثابت لهذه المشكلة (1200 ).

مع الأخذ في الاعتبار كل ما قيل ، من السهل اشتقاق معادلة التناسب العكسي. تشير إلى قيمة كمية واحدة بالحرف X ، والقيمة المقابلة لقيمة أخرى - الحرف في . ثم ، على أساس العمل أعلاه X على في يجب أن تكون مساوية لبعض القيمة الثابتة ، والتي نشير إليها بالحرف ل، أي.

س ص = ل.

في هذه المساواة X - مضاعف ، في - المضاعف و ك- عمل. من خلال خاصية الضرب ، فإن المضاعف يساوي حاصل الضرب مقسومًا على المضاعف. وسائل،

هذه هي صيغة التناسب العكسي. باستخدامه ، يمكننا حساب أي عدد من القيم لإحدى الكميات المتناسبة عكسيًا ، مع معرفة قيم الآخر ورقم ثابت ل.

فكر في مشكلة أخرى: "حسب مؤلف أحد المقالات أنه إذا كان كتابه بالتنسيق المعتاد ، فسيكون من 96 صفحة ، ولكن إذا كان بتنسيق الجيب ، فسيكون من 300 صفحة. لقد حاول متغيرات مختلفة، بدأ بـ 96 صفحة ، ثم حصل على 2500 حرف لكل صفحة. ثم أخذ عدد الصفحات المشار إليها في الجدول أدناه ، وحساب مرة أخرى عدد الأحرف التي ستكون على الصفحة.

دعنا نحاول ونحسب عدد الأحرف الموجودة على الصفحة إذا كان الكتاب يحتوي على 100 صفحة.

يوجد 240.000 حرف في الكتاب بأكمله ، حيث إن 2500 96 = 240.000.

مع أخذ ذلك في الاعتبار ، نستخدم صيغة التناسب العكسي ( في - عدد الحروف في كل صفحة X - عدد الصفحات):

في مثالنا ل= 240.000 ، إذن

لذلك ، هناك 2400 حرف في الصفحة.

وبالمثل ، نتعلم أنه إذا كان الكتاب يحتوي على 120 صفحة ، فسيكون عدد الأحرف على الصفحة كما يلي:

سوف تبدو طاولتنا مثل:

املأ باقي الخلايا بنفسك.

137. طرق أخرى لحل المسائل ذات الكميات المتناسبة عكسيًا.

في الفقرة السابقة ، قمنا بحل المشكلات التي تضمنت الكميات المتناسبة عكسيًا. لقد اشتقنا سابقًا صيغة التناسب العكسي ثم طبقنا هذه الصيغة. الآن سوف نعرض طريقتين أخريين لحل مثل هذه المشاكل.

1. طريقة الاختزال إلى الوحدة.

مهمة.يمكن لـ 5 مقلدين القيام ببعض الأعمال في 16 يومًا. في كم يوم يمكن لثمانية خراطيم إكمال هذا العمل؟

حل.هناك علاقة عكسية بين عدد الخراطة ووقت العمل. إذا قام 5 مقلدين بالعمل في 16 يومًا ، فسيحتاج شخص واحد إلى 5 أضعاف الوقت لذلك ، أي

5 مقلدين يقومون بالعمل في 16 يومًا ،

1 تيرنر سيكملها في 16 5 = 80 يومًا.

تسأل المشكلة ، في عدد الأيام التي سيكمل فيها 8 مقلدين العمل. من الواضح أنهم سيقومون بالمهمة أسرع 8 مرات من 1 Turner ، أي لـ

80: 8 = 10 (أيام).

هذا هو حل المشكلة بطريقة الاختزال إلى الوحدة. هنا ، أولاً وقبل كل شيء ، كان من الضروري تحديد وقت أداء العمل من قبل عامل واحد.

2. طريقة النسبة.لنحل نفس المشكلة بالطريقة الثانية.

نظرًا لوجود علاقة تناسبية عكسية بين عدد العمال ووقت العمل ، يمكننا أن نكتب: مدة عمل 5 قواطع العدد الجديد للقواطع (8) مدة عمل 8 قواطع العدد السابق للخراطين ( 5) دعونا نشير إلى مدة العمل المطلوبة بالحرف X واستبدل النسبة المعبر عنها بالكلمات بالأرقام الضرورية:

يتم حل نفس المشكلة بطريقة النسب. لحلها ، كان علينا عمل نسبة من الأرقام المدرجة في حالة المشكلة.

ملحوظة.في الفقرات السابقة نظرنا في مسألة التناسب المباشر والعكسي. تعطينا الطبيعة والحياة العديد من الأمثلة على النسب المباشرة والعكسية للكميات. ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أن هذين النوعين من التبعية هما الأبسط فقط. إلى جانبهم ، هناك علاقات أخرى أكثر تعقيدًا بين الكميات. بالإضافة إلى ذلك ، لا ينبغي للمرء أن يعتقد أنه إذا زادت أي كميتين في وقت واحد ، فهناك بالضرورة تناسب مباشر بينهما. هذا أبعد ما يكون عن الحقيقة. على سبيل المثال ، أجرة سكة حديديةيزيد مع المسافة: كلما ذهبنا كلما دفعنا أكثر ، لكن هذا لا يعني أن الدفع يتناسب مع المسافة.

مثال

1.6 / 2 = 0.8 ؛ 4/5 = 0.8 ؛ 5.6 / 7 = 0.8 إلخ.

عامل التناسب

تسمى النسبة الثابتة للكميات المتناسبة معامل التناسب. يوضح معامل التناسب عدد الوحدات من كمية ما تقع على وحدة من أخرى.

التناسب المباشر

التناسب المباشر- الاعتماد الوظيفي ، حيث تعتمد كمية معينة على كمية أخرى بحيث تظل نسبتها ثابتة. بمعنى آخر ، هذه المتغيرات تتغير بشكل متناسب، في حصص متساوية ، أي إذا تغيرت الوسيطة مرتين في أي اتجاه ، فإن الوظيفة تتغير أيضًا مرتين في نفس الاتجاه.

رياضيا ، التناسب المباشر مكتوب كصيغة:

F(x) = أx,أ = جانسر

التناسب العكسي

تناسب عكسي- هذا تبعية وظيفية ، حيث تؤدي الزيادة في القيمة المستقلة (الوسيطة) إلى انخفاض نسبي في القيمة التابعة (الوظيفة).

رياضيا ، التناسب العكسي مكتوب كصيغة:

خصائص الوظيفة:

مصادر

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

الأهداف الأساسية:

• تقديم مفهوم الاعتماد النسبي المباشر والعكسي للكميات ؛
• تعليم كيفية حل المشكلات باستخدام هذه التبعيات ؛
• تعزيز تنمية مهارات حل المشكلات ؛
• تعزيز مهارة حل المعادلات باستخدام النسب ؛
• كرر الخطوات مع العادي و الكسور العشرية;
• يطور التفكير المنطقيطلاب.

أثناء الفصول

أنا. تقرير المصير للنشاط(تنظيم الوقت)

- شباب! اليوم في الدرس سوف نتعرف على المشكلات التي تم حلها باستخدام النسب.

ثانيًا. تحديث المعرفة ومعالجة الصعوبات في الأنشطة

2.1. العمل الشفوي (3 دقيقة)

- ابحث عن معاني التعابير واكتشف الكلمة المشفرة في الأجوبة.

14 - ق ؛ 0.1 - و ؛ 7 - ل ؛ 0.2 - أ ؛ 17 - في ؛ 25 - ل

- خرجت الكلمة - قوة. أحسنت!
- شعار درسنا اليوم: القوة في المعرفة! أنا أبحث - لذلك أنا أتعلم!
- عمل نسبة من الأرقام الناتجة. (14: 7 = 0.2: 0.1 إلخ.)

2.2. ضع في اعتبارك العلاقة بين الكميات المعروفة (7 دقائق)

- المسار الذي تقطعه السيارة بسرعة ثابتة ، ووقت حركتها: S = ت (مع زيادة السرعة (الوقت) ، يزداد المسار) ؛
- سرعة السيارة والوقت الذي تقضيه على الطريق: ت = S: ر(مع زيادة وقت السير على المسار ، تنخفض السرعة) ؛
– تكلفة البضاعة المشتراة بسعر واحد وكميتها: C \ u003d a n (مع زيادة (انخفاض) السعر ، تزداد تكلفة الشراء (تنخفض) ؛
- سعر المنتج وكميته: أ \ u003d ج: ن (مع زيادة الكمية ينخفض ​​السعر)
- مساحة المستطيل وطوله (عرضه): S = a b (مع زيادة الطول (العرض) تزداد المساحة ؛
- طول المستطيل والعرض: أ = S: ب (مع زيادة الطول ، ينخفض ​​العرض ؛
- عدد العمال الذين يؤدون بعض الأعمال بنفس إنتاجية العمل ، والوقت المستغرق لإكمال هذا العمل: t \ u003d A: n (مع زيادة عدد العمال ، ينخفض ​​الوقت الذي يقضيه في القيام بالعمل) ، إلخ. .

لقد حصلنا على التبعيات التي ، مع زيادة قيمة واحدة عدة مرات ، تزيد الأخرى على الفور بنفس المقدار (كما هو موضح مع الأسهم للأمثلة) والتبعيات التي ، مع زيادة قيمة واحدة عدة مرات ، تقل القيمة الثانية بمقدار نفس العدد من المرات.
تسمى هذه العلاقات بالنسب المباشرة والعكسية.
الاعتماد النسبي المباشر- تبعية حيث مع زيادة (نقص) قيمة واحدة عدة مرات ، تزيد القيمة الثانية (تنقص) بنفس المقدار.
علاقة تناسبية عكسية- تبعية حيث مع زيادة (نقص) قيمة واحدة عدة مرات ، تنخفض القيمة الثانية (تزداد) بنفس المقدار.

ثالثا. بيان مهمة التعلم

ما هي المشكلة التي نواجهها؟ (تعلم كيفية التمييز بين العلاقات المباشرة والعكسية)
- هذا - هدفدرسنا. الآن صياغة عنواندرس. (التناسب المباشر والعكسي).
- أحسنت! اكتب موضوع الدرس في دفاتر ملاحظاتك. (يكتب المعلم الموضوع على السبورة).

رابعا. "اكتشاف" معرفة جديدة(10 دقائق)

لنحلل المسائل رقم 199.

1. تقوم الطابعة بطباعة 27 صفحة في 4.5 دقيقة. كم من الوقت ستستغرق طباعة 300 صفحة؟

27 صفحة - 4.5 دقيقة.
300 ص. - س؟

2. هناك 48 عبوة من الشاي في علبة ، كل منها 250 جرام. كم علبة 150 جرام ستخرج من هذا الشاي؟

48 عبوة - 250 جم.
X؟ - 150 جرام

3. قطعت السيارة مسافة 310 كيلومترات ، واستهلكت 25 لترًا من البنزين. إلى أي مدى يمكن للسيارة أن تقطع على خزان ممتلئ بسعة 40 لترًا؟

310 كم - 25 لتر
X؟ - 40 لتر

4. يحتوي أحد تروس القابض على 32 سنًا والآخر يحتوي على 40 سنًا. كم عدد الدورات التي سيحدثها الترس الثاني بينما يقوم الترس الأول بإجراء 215 دورة؟

32 سنًا - 315 دورة في الدقيقة
40 سنًا - س؟

لرسم نسبة ، يلزم وجود اتجاه واحد للسهم ، ولهذا ، في تناسب عكسي ، يتم استبدال نسبة واحدة بالمقلوب.

في السبورة ، يجد الطلاب قيمة الكميات ، في المجال ، يحل الطلاب مشكلة واحدة من اختيارهم.

- صياغة قاعدة لحل المشكلات ذات التناسب المباشر والعكسي.

يظهر جدول على السبورة:

خامسا التوحيد الأساسي في الكلام الخارجي(10 دقائق)

المهام على الأوراق:

1. من 21 كجم من بذرة القطن ، تم الحصول على 5.1 كجم من الزيت. ما هي كمية الزيت التي سيتم الحصول عليها من 7 كجم من بذرة القطن؟
2. لبناء الملعب ، قامت 5 جرافات بتطهير الموقع في 210 دقيقة. كم من الوقت سيستغرق 7 جرافات لتطهير هذه المنطقة؟

السادس. عمل مستقلمع الاختبار الذاتي حسب المعيار(5 دقائق)

طالبان يكملان المهام رقم 225 بمفردهما على ألواح مخفية ، والباقي في دفاتر ملاحظات. ثم يقومون بفحص العمل وفقًا للخوارزمية ومقارنته بالحل الموجود على السبورة. يتم تصحيح الأخطاء وتوضيح أسبابها. إذا اكتملت المهمة ، على اليمين ، ثم بجانب الطلاب ضع علامة "+" لأنفسهم.
يمكن للطلاب الذين يرتكبون أخطاء في العمل المستقل استخدام المستشارين.

سابعا. الدمج في نظام المعرفة والتكرار№ 271, № 270.

ستة أشخاص يعملون في السبورة. بعد 3-4 دقائق ، يقدم الطلاب الذين عملوا في السبورة حلولهم ، ويقوم الباقون بفحص المهام والمشاركة في مناقشتهم.

ثامنا. انعكاس النشاط (نتيجة الدرس)

- ما الجديد الذي تعلمته في الدرس؟
- ماذا كررت؟
ما هي الخوارزمية لحل مسائل التناسب؟
هل وصلنا إلى هدفنا؟
- كيف تقيم عملك؟