عمليه الضرب الكسور العشرية يحدث على ثلاث مراحل.

تتم كتابة الكسور العشرية في عمود وضربها مثل الأعداد العادية.

نحسب عدد المنازل العشرية للكسر العشري الأول والثاني. نحن نجمع عددهم.

في النتيجة الناتجة نعد من اليمين إلى اليسار نفس عدد الأرقام التي حصلنا عليها في الفقرة أعلاه ونضع فاصلة.

كيفية ضرب الأعداد العشرية

نكتب الكسور العشرية في عمود ونضربها كأعداد طبيعية، متجاهلين الفواصل. أي أننا نعتبر 3.11 311، و0.01 1.

وصلنا 311 الآن نحسب عدد العلامات (الأرقام) بعد العلامة العشرية لكلا الكسرين. العلامة العشرية الأولى مكونة من رقمين والثانية مكونة من رقمين. إجمالي عدد المنازل العشرية:

نحسب من اليمين إلى اليسار 4 علامات (أرقام) للرقم الناتج. تحتوي النتيجة الناتجة على أرقام أقل مما يلزم فصلها بفاصلة. في هذه الحالة تحتاج غادرأضف العدد المفقود من الأصفار.

ينقصنا رقم واحد، لذا نضيف صفرًا إلى اليسار.

عند ضرب أي كسر عشريفي 10؛ 100؛ 1000، الخ. تتحرك العلامة العشرية إلى اليمين بعدد من الأماكن يساوي عدد الأصفار بعد الواحد.

70.1 10 = 701

0.023100 = 2.3

5.6 · 1000 = 5600

لضرب عدد عشري في 0.1؛ 0.01؛ 0.001، وما إلى ذلك، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية في هذا الكسر إلى اليسار بعدد من الأماكن يساوي عدد الأصفار الموجودة قبل الواحد.

نحن نحسب الأعداد الصحيحة صفر!

• 12 0.1 = 1.2
• 0.05 · 0.1 = 0.005
• 1.256 · 0.01 = 0.012 56

لفهم كيفية ضرب الأعداد العشرية، دعونا نلقي نظرة على أمثلة محددة.

قواعد ضرب الأعداد العشرية

1) اضرب دون الالتفات إلى الفاصلة.

2) ونتيجة لذلك، فإننا نفصل عددًا من الأرقام بعد العلامة العشرية يساوي عدد الأرقام الموجودة بعد العلامة العشرية في كلا العاملين معًا.

العثور على منتج الكسور العشرية:

لضرب الكسور العشرية، نقوم بالضرب دون الانتباه إلى الفواصل. وهذا يعني أننا لا نضرب 6.8 و3.4، بل 68 و34. ونتيجة لذلك، فإننا نفصل عددًا من الأرقام بعد العلامة العشرية بقدر ما نفصله بعد الفاصلة العشرية في كلا العاملين معًا. في العامل الأول يوجد رقم واحد بعد العلامة العشرية، وفي الثاني يوجد رقم واحد أيضًا. في المجمل، نقوم بفصل رقمين بعد العلامة العشرية، وبذلك نحصل على الإجابة النهائية: 6.8×3.4=23.12.

نقوم بضرب الأعداد العشرية دون مراعاة العلامة العشرية. أي، في الواقع، بدلًا من ضرب 36.85 في 1.14، نضرب 3685 في 14. نحصل على 51590. الآن في هذه النتيجة، نحتاج إلى فصل أكبر عدد ممكن من الأرقام بفاصلة عن العدد الموجود في كلا العاملين معًا. يتكون الرقم الأول من رقمين بعد العلامة العشرية، والثاني به رقم واحد. في المجموع، نقوم بفصل ثلاثة أرقام بفاصلة. وبما أن هناك صفر بعد العلامة العشرية في نهاية الإدخال، فإننا لا نكتبه في الإجابة: 36.85∙1.4=51.59.

لضرب هذه الأعداد العشرية، دعونا نضرب الأرقام دون الانتباه إلى الفواصل. أي أننا نضرب الأعداد الطبيعية 2315 و 7. نحصل على 16205. في هذا الرقم، تحتاج إلى فصل أربعة أرقام بعد العلامة العشرية - بقدر ما يوجد في كلا العاملين معًا (اثنان في كل منهما). الإجابة النهائية: 23.15∙0.07=1.6205.

ضرب عدد عشري ب عدد طبيعيأداء مماثل. نحن نضرب الأرقام دون الانتباه إلى الفاصلة، أي أننا نضرب 75 في 16. يجب أن تحتوي النتيجة الناتجة على نفس عدد العلامات بعد العلامة العشرية كما هو الحال في كلا العاملين معًا - واحد. وبالتالي، 75∙1.6=120.0=120.

نبدأ بضرب الكسور العشرية بضرب الأعداد الطبيعية، لأننا لا ننتبه إلى الفواصل. بعد ذلك، نقوم بفصل عدد من الأرقام بعد العلامة العشرية يساوي عدد العاملين معًا. يحتوي الرقم الأول على منزلتين عشريتين، بينما يحتوي الرقم الثاني على منزلتين عشريتين أيضًا. في المجمل، يجب أن تكون النتيجة أربعة أرقام بعد العلامة العشرية: 4.72∙5.04=23.7888.

وبعض الأمثلة الأخرى على ضرب الكسور العشرية:

www.for6cl.uznateshe.ru

ضرب الكسور العشرية، القواعد، الأمثلة، الحلول.

دعنا ننتقل إلى دراسة الإجراء التالي مع الكسور العشرية، والآن سنلقي نظرة شاملة عليه ضرب الأعداد العشرية. دعونا نتحدث أولا المبادئ العامةضرب الكسور العشرية. بعد ذلك سننتقل إلى ضرب الكسر العشري في الكسر العشري، وسنبين كيفية ضرب الكسور العشرية في العمود، وسنتناول الحلول بالأمثلة. بعد ذلك، سننظر إلى ضرب الكسور العشرية في الأعداد الطبيعية، خاصة في 10، 100، إلخ. أخيرًا، دعونا نتحدث عن ضرب الأعداد العشرية في الكسور والأعداد الكسرية.

لنفترض على الفور أننا في هذه المقالة سنتحدث فقط عن ضرب الكسور العشرية الموجبة (انظر الموجب و أرقام سلبية). وتناقش حالات أخرى في مقالات الضرب أرقام نسبيةو ضرب الأعداد الحقيقية.

التنقل في الصفحة.

المبادئ العامة لضرب الأعداد العشرية

دعونا نناقش المبادئ العامة التي ينبغي اتباعها عند الضرب في الكسور العشرية.

نظرًا لأن الكسور العشرية المحدودة والكسور الدورية اللانهائية هي الشكل العشري للكسور الشائعة، فإن ضرب هذه الكسور العشرية هو في الأساس ضرب الكسور العادية. بعبارة أخرى، ضرب الأعداد العشرية المنتهية, ضرب الكسور العشرية المحدودة والدورية، و ضرب الأعداد العشرية الدوريةيتعلق الأمر بضرب الكسور العادية بعد تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لتطبيق المبدأ المعلن لضرب الكسور العشرية.

اضرب الأعداد العشرية 1.5 و0.75.

دعونا نستبدل الكسور العشرية التي يتم ضربها بالكسور العادية المقابلة لها. بما أن 1.5=15/10 و0.75=75/100 إذن. يمكنك تقليل الكسر، ثم عزل الجزء بأكمله عن الكسر غير الحقيقي، ومن الملائم أكثر كتابة الكسر العادي الناتج 1125/1000 ككسر عشري 1.125.

تجدر الإشارة إلى أنه من الملائم ضرب الكسور العشرية النهائية في عمود، وسنتحدث عن هذه الطريقة لضرب الكسور العشرية في الفقرة التالية.

دعونا نلقي نظرة على مثال لضرب الكسور العشرية الدورية.

احسب حاصل ضرب الكسور العشرية الدورية 0,(3) و 2,(36) .

لنقم بتحويل الكسور العشرية الدورية إلى كسور عادية:

ثم. يمكنك تحويل الكسر العادي الناتج إلى كسر عشري:


إذا كان هناك عدد لا نهائي من الكسور العشرية غير الدورية، فيجب تقريب جميع الكسور المضروبة، بما في ذلك الكسور المحدودة والدورية، إلى رقم معين (انظر أرقام التقريب)، ثم قم بضرب الكسور العشرية النهائية التي تم الحصول عليها بعد التقريب.

اضرب الأعداد العشرية 5.382... و0.2.

أولاً، دعونا نقرب كسرًا عشريًا لا نهائيًا غير دوري، ويمكن إجراء التقريب إلى أجزاء من مائة، لدينا 5.382...≈5.38. لا يلزم تقريب الكسر العشري الأخير 0.2 إلى أقرب جزء من مائة. وبالتالي، 5.382...·0.2≈5.38·0.2. يبقى حساب حاصل ضرب الكسور العشرية النهائية: 5.38·0.2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1.076.

ضرب الكسور العشرية بالعمود

يمكن إجراء ضرب الكسور العشرية المحددة في عمود، على غرار ضرب الأعداد الطبيعية في عمود.

دعونا صياغة قاعدة ضرب الكسور العشرية بالعمود. لضرب الكسور العشرية في العمود، تحتاج إلى:

• دون الالتفات إلى الفواصل، قم بإجراء الضرب وفقًا لجميع قواعد الضرب بعمود من الأعداد الطبيعية؛
• في الرقم الناتج، افصل بفاصلة عشرية عدد الأرقام الموجودة على اليمين بقدر وجود منازل عشرية في كلا العاملين معًا، وإذا لم يكن هناك أرقام كافية في المنتج، فيجب إضافة العدد المطلوب من الأصفار إلى اليسار.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة ضرب الكسور العشرية بالأعمدة.

اضرب الأعداد العشرية 63.37 و0.12.

دعونا نضرب الكسور العشرية في عمود. أولاً نقوم بضرب الأرقام مع تجاهل الفواصل:


كل ما تبقى هو إضافة فاصلة إلى المنتج الناتج. إنها بحاجة إلى فصل 4 أرقام إلى اليمين لأن العوامل بها إجمالي أربع منازل عشرية (اثنتان في الكسر 3.37 واثنتان في الكسر 0.12). هناك أرقام كافية هناك، لذا لا يتعين عليك إضافة أصفار إلى اليسار. لنكمل التسجيل:


ونتيجة لذلك، لدينا 3.37·0.12=7.6044.

احسب حاصل ضرب الأعداد العشرية 3.2601 و0.0254.

بعد إجراء الضرب في عمود دون مراعاة الفواصل، نحصل على الصورة التالية:


الآن في المنتج، تحتاج إلى فصل الأرقام الثمانية الموجودة على اليمين بفاصلة، منذ ذلك الحين المجموعالمنازل العشرية للكسور التي يتم ضربها تساوي ثمانية. ولكن لا يوجد سوى 7 أرقام في المنتج، لذلك تحتاج إلى إضافة أكبر عدد ممكن من الأصفار إلى اليسار حتى تتمكن من فصل 8 أرقام بفاصلة. في حالتنا، نحتاج إلى تعيين صفرين:


وبهذا يكتمل ضرب الكسور العشرية في العمود.

ضرب الأعداد العشرية في 0.1، 0.01، إلخ.

في كثير من الأحيان، يتعين عليك ضرب الكسور العشرية في 0.1 و0.01 وما إلى ذلك. لذلك، يُنصح بصياغة قاعدة لضرب الكسر العشري بهذه الأرقام، والتي تنبع من مبادئ ضرب الكسور العشرية التي تمت مناقشتها أعلاه.

لذا، ضرب عدد عشري معين في 0.1، 0.01، 0.001، وهكذايعطي الكسر الذي تم الحصول عليه من الكسر الأصلي إذا تم نقل الفاصلة في تدوينها إلى اليسار بمقدار 1 و 2 و 3 وما إلى ذلك من الأرقام على التوالي، وإذا لم تكن هناك أرقام كافية لتحريك الفاصلة، فأنت بحاجة إلى أضف إلى اليسار المبلغ المطلوبأصفار.

على سبيل المثال، لضرب الكسر العشري 54.34 في 0.1، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية في الكسر 54.34 إلى اليسار برقم واحد، مما سيعطيك الكسر 5.434، أي 54.34·0.1=5.434. دعونا نعطي مثالا آخر. اضرب الكسر العشري 9.3 في 0.0001. للقيام بذلك، نحتاج إلى تحريك العلامة العشرية 4 أرقام إلى اليسار في الكسر العشري المضروب 9.3، لكن تدوين الكسر 9.3 لا يحتوي على هذا العدد من الأرقام. لذلك، نحن بحاجة إلى تعيين العديد من الأصفار على يسار الكسر 9.3 حتى نتمكن بسهولة من تحريك العلامة العشرية إلى 4 أرقام، لدينا 9.3·0.0001=0.00093.

لاحظ أن القاعدة المذكورة لضرب الكسر العشري في 0.1، 0.01، ... صالحة أيضًا للكسور العشرية اللانهائية. على سبيل المثال، 0.(18)·0.01=0.00(18) أو 93.938…·0.1=9.3938… .

ضرب عدد عشري في عدد طبيعي

في الصميم ضرب الأعداد العشرية في الأعداد الطبيعيةلا يختلف عن ضرب عدد عشري في عدد عشري.

من الأكثر ملاءمة ضرب الكسر العشري النهائي برقم طبيعي في العمود، في هذه الحالة يجب عليك الالتزام بقواعد ضرب الكسور العشرية في العمود، والتي تمت مناقشتها في إحدى الفقرات السابقة.

احسب الناتج 15·2.27.

دعونا نضرب عددًا طبيعيًا في كسر عشري في عمود:


عند ضرب كسر عشري دوري بعدد طبيعي، يجب استبدال الكسر الدوري بكسر عادي.

اضرب الكسر العشري 0.(42) في العدد الطبيعي 22.

أولاً، لنحول الكسر العشري الدوري إلى كسر عادي:

الآن لنقم بعملية الضرب: . هذه النتيجة كرقم عشري هي 9,(3) .

وعند ضرب كسر عشري غير دوري لا نهائي بعدد طبيعي، يجب عليك أولاً إجراء التقريب.

اضرب 4·2.145….

بعد تقريب الكسر العشري اللانهائي الأصلي إلى أجزاء من مائة، نصل إلى ضرب عدد طبيعي وكسر عشري نهائي. لدينا 4·2.145...≈4·2.15=8.60.

ضرب عدد عشري في 10، 100، ...

في كثير من الأحيان يتعين عليك ضرب الكسور العشرية في 10، 100، ... لذلك، من المستحسن الخوض في هذه الحالات بالتفصيل.

دعونا صوت ذلك قاعدة ضرب الكسر العشري في 10، 100، 1000، إلخ.عند ضرب كسر عشري في 10، 100، ... في تدوينه، تحتاج إلى نقل العلامة العشرية إلى اليمين إلى 1، 2، 3، ... أرقام، على التوالي، وتجاهل الأصفار الإضافية على اليسار؛ إذا كان تدوين الكسر المضروب لا يحتوي على أرقام كافية لتحريك العلامة العشرية، فأنت بحاجة إلى إضافة العدد المطلوب من الأصفار إلى اليمين.

اضرب الكسر العشري 0.0783 في 100.

لنحرك الكسر 0.0783 رقمين إلى اليمين، وسنحصل على 007.83. إسقاط الصفرين على اليسار يعطي الكسر العشري 7.38. وبالتالي، 0.0783 · 100 = 7.83.

اضرب الكسر العشري 0.02 في 10000.

لضرب 0.02 في 10000، نحتاج إلى تحريك العلامة العشرية 4 أرقام إلى اليمين. من الواضح أنه في الكسر 0.02 لا توجد أرقام كافية لتحريك العلامة العشرية بمقدار 4 أرقام، لذلك سنضيف بضعة أصفار إلى اليمين حتى يمكن نقل العلامة العشرية. في مثالنا، يكفي إضافة ثلاثة أصفار، لدينا 0.02000. بعد تحريك الفاصلة نحصل على الإدخال 00200.0. وبغض النظر عن الأصفار الموجودة على اليسار، يصبح لدينا الرقم 200.0، وهو يساوي العدد الطبيعي 200، وهو ناتج ضرب الكسر العشري 0.02 في 10000.

تنطبق القاعدة المذكورة أيضًا على ضرب الكسور العشرية اللانهائية في 10، 100، ... عند ضرب الكسور العشرية الدورية، عليك أن تكون حذرًا بشأن فترة الكسر الناتج عن الضرب.

اضرب الكسر العشري الدوري 5.32(672) في 1000.

قبل الضرب، دعونا نكتب الكسر العشري الدوري بالشكل 5.32672672672...، فهذا سيسمح لنا بتجنب الأخطاء. الآن حرك الفاصلة إلى اليمين بمقدار 3 أماكن، لدينا 5 326.726726…. وهكذا، بعد الضرب، يتم الحصول على الكسر العشري الدوري 5 326، (726).

5.32(672)·1,000=5,326,(726) .

عند ضرب الكسور غير الدورية اللانهائية في 10، 100، ...، يجب عليك أولاً تقريب الكسر اللانهائي إلى رقم معين، ثم إجراء الضرب.

ضرب عدد عشري في كسر أو عدد كسري

لضرب كسر عشري منتهي أو كسر عشري دوري لا نهائي في كسر عادي أو رقم مختلط، يلزمك تمثيل الكسر العشري في النموذج جزء مشترك، ثم قم بإجراء الضرب.

اضرب الكسر العشري 0.4 في عدد كسري.

منذ 0.4=4/10=2/5 وبعد ذلك. يمكن كتابة الرقم الناتج ككسر عشري دوري 1.5(3).

عند ضرب كسر عشري غير دوري لا نهائي في كسر أو رقم مخلوط، استبدل الكسر أو الرقم المختلط بكسر عشري، ثم قم بتقريب الكسور المضروبة وإنهاء العملية الحسابية.

بما أن 2/3=0.6666... ​​إذن. بعد تقريب الكسور المضروبة إلى أجزاء من الألف، نصل إلى حاصل ضرب كسرين عشريين نهائيين 3.568 و0.667. دعونا نفعل الضرب العمودي:


يجب تقريب النتيجة التي تم الحصول عليها إلى أقرب ألف، حيث تم أخذ الكسور المضروبة بدقة إلى الألف، لدينا 2.379856≈2.380.

www.cleverstudents.ru

29. ضرب الكسور العشرية. قواعد




أوجد مساحة المستطيل ذو الجوانب المتساوية
1.4 د م و 0.3 د م. دعونا نحول الديسيمترات إلى سنتيمترات:

1.4 دسم ​​= 14 سم؛ 0.3 دسم = 3 سم.

الآن دعونا نحسب المساحة بالسنتيمتر.

ق = 14 3 = 42 سم2.

تحويل سنتيمترات مربعة إلى سنتيمترات مربعة
ديسيمترات:

د م 2 = 0.42 د م 2.

وهذا يعني S = 1.4 dm 0.3 dm = 0.42 dm 2.

يتم ضرب عددين عشريين على النحو التالي:
1) يتم ضرب الأرقام دون مراعاة الفواصل.
2) تم وضع الفاصلة في المنتج بحيث يتم فصله على اليمين
نفس عدد العلامات المنفصلة في كلا العاملين
مجموع. على سبيل المثال:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

أمثلة على ضرب الكسور العشرية في عمود:



بدلاً من ضرب أي رقم بـ 0.1؛ 0.01؛ 0.001
يمكنك تقسيم هذا الرقم على 10؛ 100 ؛ أو 1000 على التوالي.
على سبيل المثال:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

عند ضرب كسر عشري في عدد طبيعي يجب:

1) ضرب الأرقام دون الانتباه إلى الفاصلة؛

2) في المنتج الناتج، ضع فاصلة بحيث تكون على اليمين
كان يحتوي على نفس عدد الأرقام الموجودة في الكسر العشري.

دعونا نجد المنتج 3.12 10. وفقا للقاعدة المذكورة أعلاه
أولًا، نضرب 312 في 10. نحصل على: 312 10 = 3120.
الآن نفصل الرقمين الموجودين على اليمين بفاصلة ونحصل على:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

وهذا يعني أنه عند ضرب 3.12 في 10، حركنا العلامة العشرية بمقدار واحد
الرقم إلى اليمين. إذا ضربنا 3.12 في 100، نحصل على 312
تم نقل الفاصلة رقمين إلى اليمين.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

عند ضرب كسر عشري في 10، 100، 1000، إلخ، يجب عليك
في هذا الكسر، حرك العلامة العشرية إلى اليمين بعدد من الأماكن يساوي عدد الأصفار
يستحق المضاعف. على سبيل المثال:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

مسائل في موضوع "ضرب الأعداد العشرية"

school-assistant.ru

جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد العشرية

جمع وطرح الأعداد العشرية يشبه جمع وطرح الأعداد الطبيعية، ولكن بشروط معينة.

قاعدة. يتم إجراؤه وفقًا لأرقام الأجزاء الصحيحة والكسرية كأعداد طبيعية.

في الكتابة جمع وطرح الكسور العشريةيجب أن تكون الفاصلة التي تفصل الجزء الصحيح عن الجزء الكسري موجودة عند الإضافات والمجموع أو عند الطرح والمطروح والفرق في عمود واحد (فاصلة تحت الفاصلة من كتابة الشرط إلى نهاية الحساب).

جمع وطرح الكسور العشريةإلى السطر:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

جمع وطرح الكسور العشريةفي عمود:

تتطلب إضافة الكسور العشرية سطرًا علويًا إضافيًا لتسجيل الأرقام عندما يتجاوز مجموع القيمة المكانية العشرة. يتطلب طرح الكسور العشرية سطرًا علويًا إضافيًا لتحديد المكان الذي تم فيه استعارة الرقم 1.

إذا لم يكن هناك ما يكفي من أرقام الجزء الكسري على يمين الإضافة أو الطرح، فيمكنك إضافة عدد من الأصفار إلى اليمين في الجزء الكسري (زيادة رقم الجزء الكسري) حيث توجد أرقام في الإضافة الأخرى أو مينيند.

ضرب الأعداد العشريةيتم إجراؤه بنفس طريقة ضرب الأعداد الطبيعية، وفقًا لنفس القواعد، ولكن في المنتج يتم وضع فاصلة وفقًا لمجموع أرقام العوامل في الجزء الكسري، والعد من اليمين إلى اليسار (مجموع أرقام العوامل في الجزء الكسري). أرقام المضاعفات هي عدد الأرقام بعد العلامة العشرية للعوامل مجتمعة).

في ضرب الأعداد العشريةفي العمود، يتم توقيع أول رقم مهم على اليمين أسفل الرقم المهم الأول على اليمين، كما هو الحال في الأعداد الطبيعية:

سِجِلّ ضرب الأعداد العشريةفي عمود:

سِجِلّ تقسيم الكسور العشريةفي عمود:

الأحرف التي تحتها خط هي الأحرف التي تليها فاصلة لأن المقسوم عليه يجب أن يكون عددًا صحيحًا.

قاعدة. في تقسيم الكسورتتم زيادة المقسوم عليه العشري بعدد أرقام يساوي عدد الأرقام في الجزء الكسري. للتأكد من أن الكسر لا يتغير، تتم زيادة المقسوم بنفس عدد الأرقام (في المقسوم والمقسوم، يتم نقل العلامة العشرية إلى نفس عدد الأرقام). يتم وضع فاصلة في الحاصل في تلك المرحلة من القسمة عندما يتم تقسيم الجزء بأكمله من الكسر.

بالنسبة للكسور العشرية، كما هو الحال بالنسبة للأعداد الطبيعية، تبقى القاعدة: لا يمكنك قسمة الكسر العشري على صفر!

في هذا البرنامج التعليمي سوف ننظر في كل من هذه العمليات على حدة.

محتوى الدرس

إضافة الكسور العشرية

كما نعلم، الكسر العشري يحتوي على عدد صحيح وجزء كسري. عند إضافة الكسور العشرية، يتم إضافة الأجزاء الكاملة والكسرية بشكل منفصل.

على سبيل المثال، دعونا نضيف الكسور العشرية 3.2 و 5.3. يعد إضافة الكسور العشرية في العمود أكثر ملاءمة.

دعونا أولًا نكتب هذين الكسرين في عمود، بحيث تكون الأجزاء الصحيحة بالضرورة تحت الأعداد الصحيحة، والأجزاء الكسرية تحت الأجزاء الكسرية. في المدرسة يسمى هذا المطلب "فاصلة تحت فاصلة".

لنكتب الكسور في عمود بحيث تكون الفاصلة تحت الفاصلة:

نبدأ بإضافة الأجزاء الكسرية: 2 + 3 = 5. نكتب الخمسة في الجزء الكسري من إجابتنا:

الآن نجمع الأجزاء بأكملها: 3 + 5 = 8. ونكتب ثمانية في الجزء الكامل من إجابتنا:

الآن نفصل الجزء كله عن الجزء الكسري بفاصلة. للقيام بذلك، نتبع القاعدة مرة أخرى "فاصلة تحت فاصلة":

لقد تلقينا إجابة 8.5. إذن التعبير 3.2 + 5.3 يساوي 8.5

في الواقع، ليس كل شيء بسيطا كما يبدو للوهلة الأولى. هناك أيضًا مطبات هنا سنتحدث عنها الآن.

الأماكن في الأعداد العشرية

الكسور العشرية، مثل الأعداد العادية، لها أرقامها الخاصة. هذه هي أماكن العشر، وأماكن المئة، وأماكن الألف. في هذه الحالة، تبدأ الأرقام بعد العلامة العشرية.

الرقم الأول بعد العلامة العشرية هو المسؤول عن منزلة الأجزاء من عشرة، والرقم الثاني بعد العلامة العشرية هو مكان الأجزاء من المائة، والرقم الثالث بعد العلامة العشرية هو مكان الأجزاء من الألف.

تحتوي المنازل في الكسور العشرية على بعض معلومات مفيدة. على وجه التحديد، يخبرونك بعدد الأعشار والمئات والألف الموجودة في النظام العشري.

على سبيل المثال، النظر في الكسر العشري 0.345

يسمى الموضع الذي يقع فيه الثلاثة المركز العاشر

يسمى الموضع الذي يقع فيه الأربعة مكان المئات

يسمى الموضع الذي يقع فيه الخمسة المركز الألف

دعونا ننظر إلى هذا الرسم. نلاحظ أن هناك ثلاثة في خانة الجزء من عشرة. وهذا يعني أن هناك ثلاثة أعشار في الكسر العشري 0.345.

إذا أضفنا الكسور، نحصل على الكسر العشري الأصلي 0.345

يمكن ملاحظة أننا تلقينا الإجابة في البداية، لكننا حولناها إلى كسر عشري وحصلنا على 0.345.

عند إضافة الكسور العشرية، يتم اتباع نفس المبادئ والقواعد المتبعة عند إضافة الأرقام العادية. تتم إضافة الكسور العشرية بالأرقام: تتم إضافة الأعشار إلى الأعشار، والمئات إلى المئات، والألف إلى الألف.

لذلك، عند إضافة الكسور العشرية، يجب عليك اتباع القاعدة "فاصلة تحت فاصلة". توفر الفاصلة الموجودة أسفل الفاصلة نفس الترتيب الذي تتم به إضافة الأعشار إلى الأعشار، ومن المئات إلى المئات، ومن الألف إلى الألف.

مثال 1.أوجد قيمة التعبير 1.5 + 3.4

أولًا، نجمع الأجزاء الكسرية 5 + 4 = 9. نكتب تسعة في الجزء الكسري من إجابتنا:

الآن نجمع الأجزاء الصحيحة 1 + 3 = 4. نكتب الأربعة في الجزء الصحيح من إجابتنا:

الآن نفصل الجزء كله عن الجزء الكسري بفاصلة. للقيام بذلك، نتبع مرة أخرى قاعدة "الفاصلة تحت الفاصلة":

لقد تلقينا إجابة 4.9. وهذا يعني أن قيمة التعبير 1.5 + 3.4 هي 4.9

مثال 2.أوجد قيمة التعبير: 3.51 + 1.22

نكتب هذا التعبير في عمود، مع مراعاة قاعدة "الفاصلة تحت الفاصلة".

أولًا، نجمع الجزء الكسري، أي الأجزاء من المائة من 1+2=3. نكتب ثلاثية في الجزء المائة من إجابتنا:

والآن أضف الأعشار 5+2=7. نكتب سبعة في الجزء العاشر من إجابتنا:

الآن نضيف الأجزاء الكاملة 3+1=4. نكتب الأربعة في الجزء الكامل من إجابتنا:

ونفصل الجزء الكامل عن الجزء الكسري بفاصلة، مع مراعاة قاعدة "الفاصلة تحت الفاصلة":

الجواب الذي تلقيناه كان 4.73. وهذا يعني أن قيمة التعبير 3.51 + 1.22 تساوي 4.73

3,51 + 1,22 = 4,73

كما هو الحال مع الأرقام العادية، عند إضافة الكسور العشرية، . في هذه الحالة، يتم كتابة رقم واحد في الإجابة، ويتم نقل الباقي إلى الرقم التالي.

مثال 3.أوجد قيمة التعبير 2.65 + 3.27

نكتب هذا التعبير في العمود:

أضف الأجزاء من المائة 5+7=12. الرقم 12 لن يتناسب مع الجزء المائة من إجابتنا. لذلك، في الجزء المائة نكتب الرقم 2، وننقل الوحدة إلى الرقم التالي:

والآن نجمع أعشار 6+2=8 بالإضافة إلى الوحدة التي حصلنا عليها من العملية السابقة فنحصل على 9. نكتب الرقم 9 في العاشر من إجابتنا:

الآن نجمع الأجزاء الكاملة 2+3=5. نكتب الرقم 5 في الجزء الصحيح من إجابتنا:

الجواب الذي تلقيناه كان 5.92. وهذا يعني أن قيمة التعبير 2.65 + 3.27 تساوي 5.92

2,65 + 3,27 = 5,92

مثال 4.أوجد قيمة التعبير 9.5 + 2.8

نكتب هذا التعبير في العمود

نضيف الأجزاء الكسرية 5 + 8 = 13. الرقم 13 لن يتناسب مع الجزء الكسري من إجابتنا، لذلك نكتب الرقم 3 أولاً، وننقل الوحدة إلى الرقم التالي، أو بالأحرى، ننقلها إلى الرقم جزء صحيح:

الآن نجمع الأجزاء الصحيحة 9+2=11 بالإضافة إلى الوحدة التي حصلنا عليها من العملية السابقة، نحصل على 12. نكتب الرقم 12 في الجزء الصحيح من إجابتنا:

افصل الجزء الكامل عن الجزء الكسري بفاصلة:

لقد تلقينا الجواب 12.3. هذا يعني أن قيمة التعبير 9.5 + 2.8 هي 12.3

9,5 + 2,8 = 12,3

عند إضافة الكسور العشرية، يجب أن يكون عدد الأرقام بعد العلامة العشرية في كلا الكسرين هو نفسه. إذا لم تكن هناك أرقام كافية، فسيتم ملء هذه الأماكن في الجزء الكسري بالأصفار.

مثال 5. أوجد قيمة التعبير: 12.725 + 1.7

قبل كتابة هذا التعبير في عمود، دعونا نجعل عدد الأرقام بعد العلامة العشرية في كلا الكسرين متساويًا. يتكون الكسر العشري 12.725 من ثلاثة أرقام بعد العلامة العشرية، لكن الكسر 1.7 يحتوي على رقم واحد فقط. هذا يعني أنه في الكسر 1.7 تحتاج إلى إضافة صفرين في النهاية. ثم نحصل على الكسر 1.700. يمكنك الآن كتابة هذا التعبير في عمود والبدء في الحساب:

أضف أجزاء الألف 5+0=5. نكتب الرقم 5 في الجزء الألف من إجابتنا:

أضف الأجزاء من المائة 2+0=2. نكتب الرقم 2 في الجزء المائة من إجابتنا:

أضف الأعشار 7+7=14. الرقم 14 لن يتناسب مع عُشر إجابتنا. لذلك، نكتب أولاً الرقم 4، وننقل الوحدة إلى الرقم التالي:

الآن نجمع الأجزاء الصحيحة 12+1=13 بالإضافة إلى الوحدة التي حصلنا عليها من العملية السابقة، نحصل على 14. نكتب الرقم 14 في الجزء الصحيح من إجابتنا:

افصل الجزء الكامل عن الجزء الكسري بفاصلة:

لقد تلقينا ردًا قدره 14,425. هذا يعني أن قيمة التعبير 12.725+1.700 هي 14.425

12,725+ 1,700 = 14,425

طرح الأعداد العشرية

عند طرح الكسور العشرية، يجب عليك اتباع نفس القواعد المتبعة عند إضافة: "فاصلة تحت العلامة العشرية" و"عدد متساو من الأرقام بعد العلامة العشرية".

مثال 1.أوجد قيمة التعبير 2.5 - 2.2

نكتب هذا التعبير في عمود، مع مراعاة قاعدة "الفاصلة تحت الفاصلة":

نحسب الجزء الكسري 5−2=3. نكتب الرقم 3 في الجزء العاشر من إجابتنا:

نحسب الجزء الصحيح 2−2=0. نكتب صفرًا في الجزء الصحيح من إجابتنا:

افصل الجزء الكامل عن الجزء الكسري بفاصلة:

لقد تلقينا إجابة 0.3. وهذا يعني أن قيمة التعبير 2.5 - 2.2 تساوي 0.3

2,5 − 2,2 = 0,3

مثال 2.أوجد قيمة التعبير 7.353 - 3.1

يحتوي هذا التعبير على عدد مختلف من المنازل العشرية. يحتوي الكسر 7.353 على ثلاثة أرقام بعد العلامة العشرية، لكن الكسر 3.1 يحتوي على رقم واحد فقط. هذا يعني أنه في الكسر 3.1 تحتاج إلى إضافة صفرين في النهاية لجعل عدد الأرقام في كلا الكسرين متساويًا. ثم نحصل على 3100.

يمكنك الآن كتابة هذا التعبير في عمود وحسابه:

لقد تلقينا ردًا قدره 4,253. وهذا يعني أن قيمة التعبير 7.353 - 3.1 تساوي 4.253

7,353 — 3,1 = 4,253

كما هو الحال مع الأعداد العادية، سيتعين عليك أحيانًا استعارة رقم من رقم مجاور إذا أصبح الطرح مستحيلًا.

مثال 3.أوجد قيمة التعبير 3.46 - 2.39

اطرح أجزاء من المئات من 6−9. لا يمكنك طرح الرقم 9 من الرقم 6. لذلك، تحتاج إلى استعارة واحد من الرقم المجاور. عن طريق استعارة واحد من الرقم المجاور، يتحول الرقم 6 إلى الرقم 16. الآن يمكنك حساب الأجزاء من المائة من 16−9=7. نكتب سبعة في الجزء المائة من إجابتنا:

والآن نطرح أعشارًا. وبما أننا وضعنا وحدة واحدة في خانة الجزء من عشرة، انخفض الرقم الموجود هناك بمقدار وحدة واحدة. بمعنى آخر، في خانة العشرات لا يوجد الآن الرقم 4، بل الرقم 3. لنحسب أعشار 3−3=0. نكتب صفرًا في الجزء العاشر من إجابتنا:

الآن نطرح الأجزاء الكاملة 3−2=1. نكتب واحدًا في الجزء الصحيح من إجابتنا:

افصل الجزء الكامل عن الجزء الكسري بفاصلة:

لقد تلقينا إجابة 1.07. وهذا يعني أن قيمة التعبير 3.46−2.39 تساوي 1.07

3,46−2,39=1,07

مثال 4. أوجد قيمة التعبير 3−1.2

هذا المثال يطرح رقمًا عشريًا من رقم صحيح. لنكتب هذا التعبير في عمود بحيث يكون الجزء الكامل من الكسر العشري 1.23 تحت الرقم 3

الآن دعونا نجعل عدد الأرقام بعد العلامة العشرية هو نفسه. للقيام بذلك، بعد الرقم 3 نضع فاصلة ونضيف صفراً واحداً:

الآن نطرح أعشارًا: 0−2. لا يمكنك طرح الرقم 2 من الصفر، لذلك عليك استعارة واحد من الرقم المجاور. بعد استعارة واحد من الرقم المجاور، يتحول 0 إلى الرقم 10. الآن يمكنك حساب أعشار 10−2=8. نكتب ثمانية في الجزء العاشر من إجابتنا:

الآن نطرح الأجزاء بأكملها. في السابق كان الرقم 3 يقع في الكل، لكننا أخذنا منه وحدة واحدة. ونتيجة لذلك، تحول إلى الرقم 2. لذلك، من 2 نطرح 1. 2−1=1. نكتب واحدًا في الجزء الصحيح من إجابتنا:

افصل الجزء الكامل عن الجزء الكسري بفاصلة:

الجواب الذي تلقيناه كان 1.8. وهذا يعني أن قيمة التعبير 3−1.2 هي 1.8

ضرب الأعداد العشرية

يعد ضرب الكسور العشرية أمرًا بسيطًا وممتعًا. لضرب الأعداد العشرية، عليك ضربها مثل الأعداد العادية، مع تجاهل الفواصل.

بعد تلقي الإجابة، تحتاج إلى فصل الجزء بأكمله من الجزء الكسري بفاصلة. للقيام بذلك، تحتاج إلى حساب عدد الأرقام بعد العلامة العشرية في كلا الكسرين، ثم حساب نفس عدد الأرقام من اليمين في الإجابة ووضع فاصلة.

مثال 1.أوجد قيمة التعبير 2.5 × 1.5

دعونا نضرب هذه الكسور العشرية مثل الأعداد العادية، متجاهلين الفواصل. لتجاهل الفواصل، يمكنك أن تتخيل مؤقتًا أنها غائبة تمامًا:

لقد حصلنا على 375. في هذا الرقم، تحتاج إلى فصل الجزء الصحيح عن الجزء الكسري بفاصلة. للقيام بذلك، تحتاج إلى حساب عدد الأرقام بعد العلامة العشرية في الكسور 2.5 و 1.5. يحتوي الكسر الأول على رقم واحد بعد العلامة العشرية، والكسر الثاني يحتوي أيضًا على رقم واحد. مجموع رقمين.

نعود إلى الرقم 375 ونبدأ في التحرك من اليمين إلى اليسار. نحتاج إلى عد رقمين إلى اليمين ووضع فاصلة:

لقد تلقينا إجابة 3.75. إذن قيمة التعبير 2.5 × 1.5 هي 3.75

2.5 × 1.5 = 3.75

مثال 2.أوجد قيمة التعبير 12.85 × 2.7

دعونا نضرب هذه الكسور العشرية، متجاهلين الفواصل:

لقد حصلنا على 34695. في هذا الرقم تحتاج إلى فصل الجزء الصحيح عن الجزء الكسري بفاصلة. للقيام بذلك، تحتاج إلى حساب عدد الأرقام بعد العلامة العشرية في الكسور 12.85 و 2.7. يتكون الكسر 12.85 من رقمين بعد العلامة العشرية، والكسر 2.7 يتكون من رقم واحد - إجمالي ثلاثة أرقام.

نعود إلى الرقم 34695 ونبدأ في التحرك من اليمين إلى اليسار. نحتاج إلى عد ثلاثة أرقام من اليمين ووضع فاصلة:

لقد تلقينا ردًا قدره 34,695. إذن قيمة التعبير 12.85 × 2.7 هي 34.695

12.85 × 2.7 = 34.695

ضرب عدد عشري في عدد منتظم

في بعض الأحيان تنشأ مواقف عندما تحتاج إلى ضرب الكسر العشري برقم عادي.

لضرب عدد عشري ورقم، عليك ضربهما دون الانتباه إلى الفاصلة في العلامة العشرية. بعد تلقي الإجابة، تحتاج إلى فصل الجزء بأكمله من الجزء الكسري بفاصلة. للقيام بذلك، تحتاج إلى حساب عدد الأرقام بعد العلامة العشرية في الكسر العشري، ثم حساب نفس عدد الأرقام من اليمين في الإجابة ووضع فاصلة.

على سبيل المثال، اضرب 2.54 في 2

اضرب الكسر العشري 2.54 في الرقم المعتاد 2، متجاهلاً الفاصلة:

لقد حصلنا على الرقم 508. في هذا الرقم تحتاج إلى فصل الجزء الصحيح عن الجزء الكسري بفاصلة. للقيام بذلك، تحتاج إلى حساب عدد الأرقام بعد العلامة العشرية في الكسر 2.54. يتكون الكسر 2.54 من رقمين بعد العلامة العشرية.

نعود إلى الرقم 508 ونبدأ في التحرك من اليمين إلى اليسار. نحتاج إلى عد رقمين إلى اليمين ووضع فاصلة:

لقد تلقينا إجابة 5.08. إذن قيمة التعبير 2.54 × 2 هي 5.08

2.54 × 2 = 5.08

ضرب الأعداد العشرية في 10، 100، 1000

يتم ضرب الكسور العشرية في 10 أو 100 أو 1000 بنفس طريقة ضرب الكسور العشرية في الأعداد العادية. تحتاج إلى إجراء الضرب، دون الانتباه إلى الفاصلة في الكسر العشري، ثم في الإجابة، افصل الجزء بأكمله عن الجزء الكسري، عد من اليمين نفس عدد الأرقام التي كانت هناك أرقام بعد العلامة العشرية.

على سبيل المثال، اضرب 2.88 في 10

اضرب الكسر العشري 2.88 في 10، متجاهلاً الفاصلة في الكسر العشري:

لقد حصلنا على 2880. في هذا الرقم تحتاج إلى فصل الجزء الصحيح عن الجزء الكسري بفاصلة. للقيام بذلك، تحتاج إلى حساب عدد الأرقام بعد العلامة العشرية في الكسر 2.88. نلاحظ أن الكسر 2.88 يتكون من رقمين بعد العلامة العشرية.

نعود إلى الرقم 2880 ونبدأ في التحرك من اليمين إلى اليسار. نحتاج إلى عد رقمين إلى اليمين ووضع فاصلة:

تلقينا إجابة 28.80. دعونا نسقط الصفر الأخير ونحصل على 28.8. هذا يعني أن قيمة التعبير 2.88×10 هي 28.8

2.88 × 10 = 28.8

هناك طريقة ثانية لضرب الكسور العشرية في 10، 100، 1000. هذه الطريقة أبسط وأكثر ملاءمة. وهي تتمثل في تحريك العلامة العشرية إلى اليمين بعدد من الأرقام يساوي عدد الأصفار في العامل.

على سبيل المثال، لنحل المثال السابق 2.88×10 بهذه الطريقة. دون إجراء أي حسابات، ننظر على الفور إلى العامل 10. نحن مهتمون بمعرفة عدد الأصفار الموجودة فيه. نرى أن هناك صفرًا واحدًا فيه. الآن في الكسر 2.88، نحرك العلامة العشرية إلى الرقم الصحيح، ونحصل على 28.8.

2.88 × 10 = 28.8

دعونا نحاول ضرب 2.88 في 100. ننظر على الفور إلى العامل 100. نحن مهتمون بعدد الأصفار الموجودة فيه. نرى أن هناك صفرين فيه. الآن في الكسر 2.88 نحرك العلامة العشرية إلى الرقمين الأيمن، نحصل على 288

2.88 × 100 = 288

دعونا نحاول ضرب 2.88 في 1000. ننظر على الفور إلى العامل 1000. نحن مهتمون بعدد الأصفار الموجودة فيه. نرى أن هناك ثلاثة أصفار فيه. الآن في الكسر 2.88، نحرك العلامة العشرية إلى اليمين بمقدار ثلاثة أرقام. لا يوجد رقم ثالث هناك، لذا نضيف صفرًا آخر. ونتيجة لذلك، نحصل على 2880.

2.88 × 1000 = 2880

ضرب الأعداد العشرية في 0.1 و0.01 و0.001

يعمل ضرب الكسور العشرية في 0.1 و0.01 و0.001 بنفس طريقة ضرب الكسور العشرية في عدد عشري. من الضروري ضرب الكسور مثل الأرقام العادية، ووضع فاصلة في الإجابة، بحيث يكون عدد الأرقام الموجودة على اليمين مساوية لعدد الأرقام بعد العلامة العشرية في كلا الكسرين.

على سبيل المثال، اضرب 3.25 في 0.1

نقوم بضرب هذه الكسور مثل الأعداد العادية، متجاهلين الفواصل:

لقد حصلنا على 325. في هذا الرقم تحتاج إلى فصل الجزء الصحيح عن الجزء الكسري بفاصلة. للقيام بذلك، تحتاج إلى حساب عدد الأرقام بعد العلامة العشرية في الكسور 3.25 و 0.1. الكسر 3.25 يتكون من رقمين بعد العلامة العشرية، والكسر 0.1 يتكون من رقم واحد. مجموع ثلاثة أرقام.

نعود إلى الرقم 325 ونبدأ في التحرك من اليمين إلى اليسار. علينا أن نعد ثلاثة أرقام من اليمين ونضع فاصلة. بعد العد التنازلي لثلاثة أرقام، نجد أن الأرقام قد نفدت. في هذه الحالة، تحتاج إلى إضافة صفر وإضافة فاصلة:

لقد تلقينا إجابة قدرها 0.325. وهذا يعني أن قيمة التعبير 3.25 × 0.1 هي 0.325

3.25 × 0.1 = 0.325

هناك طريقة ثانية لضرب الأعداد العشرية في 0.1 و0.01 و0.001. هذه الطريقة أبسط بكثير وأكثر ملاءمة. وهي تتمثل في تحريك العلامة العشرية إلى اليسار بعدد من الأرقام يساوي عدد الأصفار في العامل.

على سبيل المثال، لنحل المثال السابق 3.25 × 0.1 بهذه الطريقة. دون إعطاء أي حسابات، ننظر على الفور إلى المضاعف 0.1. نحن مهتمون بعدد الأصفار الموجودة فيه. نرى أن هناك صفرًا واحدًا فيه. الآن في الكسر 3.25 نقوم بتحريك العلامة العشرية إلى اليسار بمقدار رقم واحد. وبتحريك الفاصلة رقمًا واحدًا إلى اليسار، نرى أنه لم يعد هناك أرقام أخرى قبل الثلاثة. في هذه الحالة، أضف صفرًا وضع فاصلة. والنتيجة هي 0.325

3.25 × 0.1 = 0.325

لنحاول ضرب 3.25 في 0.01. ننظر على الفور إلى المضاعف 0.01. نحن مهتمون بعدد الأصفار الموجودة فيه. نرى أن هناك صفرين فيه. الآن في الكسر 3.25 نحرك العلامة العشرية إلى اليسار رقمين، نحصل على 0.0325

3.25 × 0.01 = 0.0325

لنحاول ضرب 3.25 في 0.001. ننظر على الفور إلى المضاعف 0.001. نحن مهتمون بعدد الأصفار الموجودة فيه. نرى أن هناك ثلاثة أصفار فيه. الآن في الكسر 3.25 نحرك العلامة العشرية إلى اليسار بمقدار ثلاثة أرقام، فنحصل على 0.00325

3.25 × 0.001 = 0.00325

لا تخلط بين ضرب الكسور العشرية في 0.1 و0.001 و0.001 وبين الضرب في 10 و100 و1000. خطأ عاممعظم الناس.

عند الضرب في 10، 100، 1000، يتم نقل العلامة العشرية إلى اليمين بنفس عدد الأرقام الموجودة في المضاعف.

وعند الضرب في 0.1 و0.01 و0.001، يتم نقل العلامة العشرية إلى اليسار بنفس عدد الأرقام الموجودة في المضاعف.

إذا كان من الصعب تذكره في البداية، فيمكنك استخدام الطريقة الأولى، حيث يتم إجراء الضرب كما هو الحال مع الأرقام العادية. في الإجابة، ستحتاج إلى فصل الجزء الكامل عن الجزء الكسري، مع حساب نفس عدد الأرقام الموجودة على اليمين حيث توجد أرقام بعد العلامة العشرية في كلا الكسرين.

قسمة عدد أصغر على عدد أكبر. مستوى متقدم.

قلنا في أحد الدروس السابقة أنه عند قسمة عدد أصغر على عدد أكبر يتم الحصول على كسر بسطه هو المقسوم ومقامه هو المقسوم عليه.

على سبيل المثال، لتقسيم تفاحة واحدة بين اثنتين، عليك كتابة 1 (تفاحة واحدة) في البسط، وكتابة 2 (صديقان) في المقام. ونتيجة لذلك، نحصل على الكسر. هذا يعني أن كل صديق سيحصل على تفاحة. وبعبارة أخرى، نصف تفاحة. الكسر هو الجواب على المشكلة "كيفية تقسيم تفاحة واحدة إلى اثنتين"

اتضح أنه من الممكن حل هذه المشكلة بشكل أكبر إذا قمت بتقسيم 1 على 2. بعد كل شيء، فإن الخط الكسري في أي كسر يعني القسمة، وبالتالي يسمح بهذا التقسيم في الكسر. ولكن كيف؟ لقد اعتدنا على حقيقة أن المقسوم دائمًا أكبر من المقسوم عليه. ولكن هنا، على العكس من ذلك، المقسوم أقل من المقسوم عليه.

سيتضح كل شيء إذا تذكرنا أن الكسر يعني سحقًا وتقسيمًا وتقسيمًا. وهذا يعني أنه يمكن تقسيم الوحدة إلى أي عدد من الأجزاء حسب الرغبة، وليس فقط إلى جزأين.

عند قسمة رقم أصغر على رقم أكبر، تحصل على كسر عشري يكون الجزء الصحيح فيه 0 (صفر). الجزء الكسري يمكن أن يكون أي شيء.

لذلك، دعونا نقسم 1 على 2. دعونا نحل هذا المثال بزاوية:

لا يمكن تقسيم المرء بالكامل إلى قسمين. إذا سألت سؤالا "كم اثنان في الواحد" فيكون الجواب 0. لذلك نكتب في خارج القسمة 0 ونضع فاصلة:

الآن، كالعادة، نضرب الناتج في المقسوم عليه للحصول على الباقي:

لقد حان الوقت الذي يمكن فيه تقسيم الوحدة إلى قسمين. للقيام بذلك، أضف صفرًا آخر إلى يمين الناتج:

حصلنا على 10. قسمة 10 على 2 نحصل على 5. نكتب الخمسة في الجزء الكسري من إجابتنا:

الآن نخرج الباقي الأخير لإكمال العملية الحسابية. اضرب 5 في 2 لتحصل على 10

لقد تلقينا إجابة 0.5. إذن الكسر هو 0.5

ويمكن أيضًا كتابة نصف تفاحة باستخدام الكسر العشري 0.5. إذا أضفنا هذين النصفين (0.5 و 0.5)، فسنحصل مرة أخرى على التفاحة الأصلية الكاملة:

يمكن أيضًا فهم هذه النقطة إذا تخيلت كيف ينقسم 1 سم إلى قسمين. إذا قسمت سنتيمترًا واحدًا إلى جزأين، فستحصل على 0.5 سم

مثال 2.أوجد قيمة التعبير 4:5

كم عدد الخمسات الموجودة في الأربعة؟ مُطْلَقاً. نكتب 0 في الحاصل ونضع فاصلة:

نضرب 0 في 5، نحصل على 0. نكتب صفرًا تحت الأربعة. اطرح هذا الصفر على الفور من الأرباح:

الآن لنبدأ بتقسيم (تقسيم) الأربعة إلى 5 أجزاء. للقيام بذلك، أضف صفرًا إلى يمين 4 وقسم 40 على 5، نحصل على 8. نكتب ثمانية في خارج القسمة.

نكمل المثال بضرب 8 في 5 للحصول على 40:

لقد تلقينا إجابة 0.8. وهذا يعني أن قيمة التعبير 4:5 هي 0.8

مثال 3.أوجد قيمة التعبير 5: 125

كم عدد الأرقام 125 في خمسة؟ مُطْلَقاً. نكتب 0 في الحاصل ونضع فاصلة:

نضرب 0 في 5، نحصل على 0. نكتب 0 تحت الخمسة. اطرح 0 من خمسة على الفور

الآن لنبدأ بتقسيم (تقسيم) الخمسة إلى 125 جزءًا. وللقيام بذلك نكتب صفراً على يمين هذا الخمسة:

اقسم 50 على 125. كم عدد الأرقام 125 في الرقم 50؟ مُطْلَقاً. لذلك في الحاصل نكتب 0 مرة أخرى

اضرب 0 في 125، نحصل على 0. اكتب هذا الصفر تحت 50. اطرح 0 على الفور من 50

الآن قم بتقسيم الرقم 50 إلى 125 جزءًا. للقيام بذلك، نكتب صفرًا آخر على يمين 50:

اقسم 500 على 125. كم عدد الأرقام 125 في العدد 500؟ هناك أربعة أرقام 125 في العدد 500. اكتب الأربعة في خارج القسمة:

نكمل المثال بضرب 4 في 125 لنحصل على 500

لقد تلقينا إجابة 0.04. وهذا يعني أن قيمة التعبير 5:125 هي 0.04

قسمة الأعداد بدون باقي

لذلك، دعونا نضع فاصلة بعد الوحدة في خارج القسمة، مما يشير إلى أن قسمة الأجزاء الصحيحة قد انتهت وننتقل إلى الجزء الكسري:

دعونا نضيف الصفر إلى الباقي 4

الآن نقسم 40 على 5، نحصل على 8. نكتب ثمانية في خارج القسمة:

40−40=0. لقد حصلنا على 0 متبقية. وهذا يعني أن التقسيم قد اكتمل بالكامل. قسمة 9 على 5 يعطي الكسر العشري 1.8:

9: 5 = 1,8

مثال 2. اقسم 84 على 5 بدون باقي

أولاً، قم بتقسيم 84 على 5 كالمعتاد مع الباقي:

حصلنا على 16 شخصًا على انفراد وبقي 4 آخرين. الآن دعونا نقسم هذا الباقي على 5. ضع فاصلة في الناتج وأضف 0 إلى الباقي 4

الآن نقسم 40 على 5، نحصل على 8. نكتب الثمانية في خارج القسمة بعد العلامة العشرية:

وأكمل المثال عن طريق التحقق مما إذا كان لا يزال هناك باقي:

قسمة عدد عشري على عدد منتظم

الكسر العشري، كما نعلم، يتكون من عدد صحيح وجزء كسري. عند قسمة كسر عشري على عدد عادي، عليك أولًا:

• قسمة الجزء الكامل من الكسر العشري على هذا الرقم؛
• بعد تقسيم الجزء بأكمله، تحتاج إلى وضع فاصلة على الفور في الحاصل ومواصلة الحساب، كما هو الحال في القسمة العادية.

على سبيل المثال، قم بتقسيم 4.8 على 2

لنكتب هذا المثال في الزاوية:

الآن دعونا نقسم الجزء بالكامل على 2. أربعة مقسومًا على اثنين يساوي اثنين. نكتب اثنين في الحاصل ونضع فاصلة على الفور:

الآن نضرب الناتج في المقسوم عليه ونرى ما إذا كان هناك باقي من القسمة:

4−4=0. والباقي هو صفر. لم نكتب الصفر بعد، لأن الحل لم يكتمل. بعد ذلك، نواصل الحساب كما في القسمة العادية. خذ 8 واقسمه على 2

8: 2 = 4. نكتب الأربعة في خارج القسمة ونضربها على الفور في المقسوم عليه:

لقد تلقينا إجابة 2.4. قيمة التعبير 4.8:2 هي 2.4

مثال 2.أوجد قيمة التعبير 8.43: 3

نقسم 8 على 3 نحصل على 2. نضع فاصلة مباشرة بعد 2:

الآن نضرب الناتج في المقسوم عليه 2 × 3 = 6. نكتب الستة تحت الثمانية ونجد الباقي:

نقسم 24 على 3، نحصل على 8. نكتب ثمانية في خارج القسمة. اضربه على الفور في المقسوم عليه للعثور على باقي القسمة:

24−24=0. والباقي هو صفر. نحن لم نكتب الصفر بعد. نطرح الثلاثة الأخيرة من المقسوم ونقسمها على 3، فنحصل على 1. ونضرب 1 في 3 على الفور لإكمال هذا المثال:

الجواب الذي تلقيناه كان 2.81. وهذا يعني أن قيمة التعبير 8.43: 3 هي 2.81

قسمة عدد عشري على عدد عشري

لتقسيم كسر عشري على كسر عشري، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية في المقسوم والمقسوم عليه إلى اليمين بنفس عدد الأرقام الموجودة بعد العلامة العشرية في المقسوم عليه، ثم القسمة على الرقم المعتاد.

على سبيل المثال، قم بتقسيم 5.95 على 1.7

لنكتب هذا التعبير بزاوية

الآن في المقسوم وفي المقسوم علينا تحريك العلامة العشرية إلى اليمين بنفس عدد الأرقام الموجودة بعد العلامة العشرية في المقسوم عليه. المقسوم عليه رقم واحد بعد العلامة العشرية. هذا يعني أنه في المقسوم والمقسوم يجب علينا تحريك العلامة العشرية إلى اليمين بمقدار رقم واحد. نقوم بنقل:

بعد تحريك العلامة العشرية إلى رقم واحد إلى اليمين، أصبح الكسر العشري 5.95 هو الكسر 59.5. والكسر العشري 1.7، بعد تحريك الفاصلة العشرية إلى اليمين برقم واحد، تحول إلى الرقم المعتاد 17. ونحن نعرف بالفعل كيفية تقسيم الكسر العشري على رقم عادي. مزيد من الحساب ليس صعبا:

تم نقل الفاصلة إلى اليمين لتسهيل عملية القسمة. وهذا مسموح به لأنه عند ضرب أو قسمة المقسوم والمقسوم عليه على نفس الرقم، لا يتغير حاصل القسمة. ماذا يعني ذلك؟

هذا هو واحد من ميزات مثيرة للاهتمامقسم. وتسمى خاصية الحاصل. خذ بعين الاعتبار التعبير 9: 3 = 3. إذا تم ضرب أو قسمة المقسوم والمقسوم عليه في هذا التعبير على نفس الرقم، فلن يتغير الحاصل 3.

دعونا نضرب المقسوم والمقسوم على 2 ونرى ما سيخرج منه:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

وكما يتبين من المثال، لم يتغير الحاصل.

ويحدث الشيء نفسه عندما نحرك الفاصلة في المقسوم والمقسوم عليه. في المثال السابق، حيث قسمنا 5.91 على 1.7، قمنا بنقل الفاصلة في المقسوم والمقسوم رقمًا واحدًا إلى اليمين. وبعد تحريك العلامة العشرية، تم تحويل الكسر 5.91 إلى الكسر 59.1 والكسر 1.7 إلى الرقم المعتاد 17.

في الواقع، داخل هذه العملية كان هناك ضرب في 10. وهذا ما بدا عليه الأمر:

5.91 × 10 = 59.1

لذلك، فإن عدد الأرقام بعد العلامة العشرية في المقسوم عليه يحدد ما سيتم ضرب المقسوم عليه والمقسوم عليه. بمعنى آخر، عدد الأرقام بعد العلامة العشرية في المقسوم عليه سيحدد عدد الأرقام في المقسوم وفي المقسوم عليه النقطة العشرية التي سيتم نقلها إلى اليمين.

قسمة عدد عشري على 10، 100، 1000

يتم إجراء قسمة العدد العشري على 10 أو 100 أو 1000 بنفس الطريقة. على سبيل المثال، قم بتقسيم 2.1 على 10. قم بحل هذا المثال باستخدام الزاوية:

ولكن هناك طريقة ثانية. انها أخف وزنا. جوهر هذه الطريقة هو أن الفاصلة في المقسوم يتم نقلها إلى اليسار بعدد من الأرقام يساوي عدد الأصفار في المقسوم عليه.

دعونا نحل المثال السابق بهذه الطريقة. 2.1: 10. ننظر إلى المقسوم عليه. نحن مهتمون بعدد الأصفار الموجودة فيه. نرى أن هناك صفرًا واحدًا. هذا يعني أنه في توزيع 2.1 تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية إلى اليسار بمقدار رقم واحد. ننقل الفاصلة إلى اليسار برقم واحد ونرى أنه لم يعد هناك أي أرقام متبقية. في هذه الحالة، أضف صفرًا آخر قبل الرقم. ونتيجة لذلك نحصل على 0.21

دعونا نحاول قسمة 2.1 على 100. هناك صفران في 100. هذا يعني أنه في المقسوم 2.1 نحتاج إلى تحريك الفاصلة إلى اليسار برقمين:

2,1: 100 = 0,021

دعونا نحاول قسمة 2.1 على 1000. هناك ثلاثة أصفار في 1000. هذا يعني أنه في المقسوم 2.1 تحتاج إلى تحريك الفاصلة إلى اليسار بثلاثة أرقام:

2,1: 1000 = 0,0021

قسمة عدد عشري على 0.1 و0.01 و0.001

يتم إجراء قسمة الكسر العشري على 0.1 و0.01 و0.001 بنفس الطريقة. في المقسوم والمقسوم عليه، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية إلى اليمين بعدد الأرقام الموجودة بعد العلامة العشرية في المقسوم عليه.

على سبيل المثال، دعونا نقسم 6.3 على 0.1. أولًا، دعونا ننقل الفواصل في المقسوم والمقسوم عليه إلى اليمين بنفس عدد الأرقام الموجودة بعد العلامة العشرية في المقسوم عليه. المقسوم عليه رقم واحد بعد العلامة العشرية. وهذا يعني أننا نحرك الفواصل في المقسوم والمقسوم إلى اليمين برقم واحد.

بعد تحريك العلامة العشرية إلى رقم واحد إلى اليمين، يصبح الكسر العشري 6.3 هو الرقم المعتاد 63، والكسر العشري 0.1 بعد تحريك العلامة العشرية إلى رقم واحد إلى اليمين يتحول إلى رقم واحد. وتقسيم 63 على 1 أمر بسيط للغاية:

وهذا يعني أن قيمة التعبير 6.3: 0.1 هي 63

ولكن هناك طريقة ثانية. انها أخف وزنا. جوهر هذه الطريقة هو أن الفاصلة في المقسوم يتم نقلها إلى اليمين بعدد من الأرقام يساوي عدد الأصفار في المقسوم عليه.

دعونا نحل المثال السابق بهذه الطريقة. 6.3: 0.1. دعونا ننظر إلى المقسوم عليه. نحن مهتمون بعدد الأصفار الموجودة فيه. نرى أن هناك صفرًا واحدًا. هذا يعني أنه في توزيع 6.3 تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية إلى اليمين بمقدار رقم واحد. حرك الفاصلة إلى الرقم الصحيح واحصل على 63

دعونا نحاول تقسيم 6.3 على 0.01. المقسوم على 0.01 له صفرين. هذا يعني أنه في المقسوم 6.3 علينا تحريك العلامة العشرية إلى اليمين بمقدار رقمين. لكن في المقسوم يوجد رقم واحد فقط بعد العلامة العشرية. في هذه الحالة، تحتاج إلى إضافة صفر آخر في النهاية. ونتيجة لذلك نحصل على 630

دعونا نحاول تقسيم 6.3 على 0.001. المقسوم على 0.001 يحتوي على ثلاثة أصفار. هذا يعني أنه في المقسوم 6.3 نحتاج إلى تحريك العلامة العشرية إلى اليمين بثلاثة أرقام:

6,3: 0,001 = 6300

مهام الحل المستقل

هل أعجبك الدرس؟
انضم الينا مجموعة جديدةفكونتاكتي وابدأ في تلقي إشعارات حول الدروس الجديدة

دعنا ننتقل إلى دراسة الإجراء التالي مع الكسور العشرية، والآن سنلقي نظرة شاملة عليه ضرب الأعداد العشرية. أولاً، دعونا نناقش المبادئ العامة لضرب الأعداد العشرية. بعد ذلك سننتقل إلى ضرب الكسر العشري في الكسر العشري، وسنبين كيفية ضرب الكسور العشرية في العمود، وسنتناول الحلول بالأمثلة. بعد ذلك، سننظر إلى ضرب الكسور العشرية في الأعداد الطبيعية، خاصة في 10، 100، إلخ. أخيرًا، دعونا نتحدث عن ضرب الأعداد العشرية في الكسور والأعداد الكسرية.

لنفترض على الفور أننا سنتحدث في هذه المقالة فقط عن ضرب الكسور العشرية الموجبة (انظر الأرقام الموجبة والسالبة). وتناقش الحالات المتبقية في المقالات ضرب الأعداد النسبية و ضرب الأعداد الحقيقية.

التنقل في الصفحة.

المبادئ العامة لضرب الأعداد العشرية

دعونا نناقش المبادئ العامة التي ينبغي اتباعها عند الضرب في الكسور العشرية.

نظرًا لأن الكسور العشرية المحدودة والكسور الدورية اللانهائية هي الشكل العشري للكسور الشائعة، فإن ضرب هذه الكسور العشرية هو في الأساس ضرب الكسور العادية. بعبارة أخرى، ضرب الأعداد العشرية المنتهية, ضرب الكسور العشرية المحدودة والدورية، و ضرب الأعداد العشرية الدوريةيتعلق الأمر بضرب الكسور العادية بعد تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لتطبيق المبدأ المعلن لضرب الكسور العشرية.

مثال.

اضرب الأعداد العشرية 1.5 و0.75.

حل.

دعونا نستبدل الكسور العشرية التي يتم ضربها بالكسور العادية المقابلة لها. بما أن 1.5=15/10 و0.75=75/100، إذن. يمكنك تقليل الكسر، ثم عزل الجزء بأكمله عن الكسر غير الحقيقي، ومن الملائم أكثر كتابة الكسر العادي الناتج 1,125/1,000 ككسر عشري 1.125.

إجابة:

1.5·0.75=1.125.

تجدر الإشارة إلى أنه من الملائم ضرب الكسور العشرية النهائية في عمود، وسنتحدث عن هذه الطريقة لضرب الكسور العشرية.

دعونا نلقي نظرة على مثال لضرب الكسور العشرية الدورية.

مثال.

احسب حاصل ضرب الكسور العشرية الدورية 0,(3) و 2,(36) .

حل.

لنقم بتحويل الكسور العشرية الدورية إلى كسور عادية:

ثم . يمكنك تحويل الكسر العادي الناتج إلى كسر عشري:

إجابة:

0,(3)·2,(36)=0,(78) .

إذا كان هناك عدد لا نهائي من الكسور العشرية غير الدورية، فيجب تقريب جميع الكسور المضروبة، بما في ذلك الكسور المحدودة والدورية، إلى رقم معين (انظر أرقام التقريب)، ثم قم بضرب الكسور العشرية النهائية التي تم الحصول عليها بعد التقريب.

مثال.

اضرب الأعداد العشرية 5.382... و0.2.

حل.

أولاً، دعونا نقرب كسرًا عشريًا لا نهائيًا غير دوري، ويمكن إجراء التقريب إلى أجزاء من مائة، لدينا 5.382...≈5.38. لا يلزم تقريب الكسر العشري الأخير 0.2 إلى أقرب جزء من مائة. وبالتالي، 5.382...·0.2≈5.38·0.2. يبقى حساب حاصل ضرب الكسور العشرية النهائية: 5.38·0.2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1.076.

إجابة:

5.382…·0.2≈1.076.

ضرب الكسور العشرية بالعمود

يمكن إجراء ضرب الكسور العشرية المحددة في عمود، على غرار ضرب الأعداد الطبيعية في عمود.

دعونا صياغة قاعدة ضرب الكسور العشرية بالعمود. لضرب الكسور العشرية في العمود، تحتاج إلى:

• دون الالتفات إلى الفواصل، قم بإجراء الضرب وفقًا لجميع قواعد الضرب بعمود من الأعداد الطبيعية؛
• في الرقم الناتج، افصل بفاصلة عشرية عدد الأرقام الموجودة على اليمين بقدر وجود منازل عشرية في كلا العاملين معًا، وإذا لم يكن هناك أرقام كافية في المنتج، فيجب إضافة العدد المطلوب من الأصفار إلى اليسار.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة ضرب الكسور العشرية بالأعمدة.

مثال.

اضرب الأعداد العشرية 63.37 و0.12.

حل.

دعونا نضرب الكسور العشرية في عمود. أولاً نقوم بضرب الأرقام مع تجاهل الفواصل:

كل ما تبقى هو إضافة فاصلة إلى المنتج الناتج. إنها بحاجة إلى فصل 4 أرقام إلى اليمين، نظرًا لأن العوامل بها إجمالي أربع منازل عشرية (اثنتان في الكسر 3.37 واثنتان في الكسر 0.12). هناك أرقام كافية هناك، لذا لا يتعين عليك إضافة أصفار إلى اليسار. لنكمل التسجيل:

ونتيجة لذلك، لدينا 3.37·0.12=7.6044.

إجابة:

3.37·0.12=7.6044.

مثال.

احسب حاصل ضرب الأعداد العشرية 3.2601 و0.0254.

حل.

بعد إجراء الضرب في عمود دون مراعاة الفواصل، نحصل على الصورة التالية:

الآن في المنتج، تحتاج إلى فصل الأرقام الثمانية الموجودة على اليمين بفاصلة، نظرًا لأن إجمالي عدد المنازل العشرية للكسور المضروبة هو ثمانية. ولكن لا يوجد سوى 7 أرقام في المنتج، لذلك تحتاج إلى إضافة أكبر عدد ممكن من الأصفار إلى اليسار حتى تتمكن من فصل 8 أرقام بفاصلة. في حالتنا، نحتاج إلى تعيين صفرين:

وبهذا يكتمل ضرب الكسور العشرية في العمود.

إجابة:

3.2601·0.0254=0.08280654.

ضرب الأعداد العشرية في 0.1، 0.01، إلخ.

في كثير من الأحيان، يتعين عليك ضرب الكسور العشرية في 0.1 و0.01 وما إلى ذلك. لذلك، يُنصح بصياغة قاعدة لضرب الكسر العشري بهذه الأرقام، والتي تنبع من مبادئ ضرب الكسور العشرية التي تمت مناقشتها أعلاه.

لذا، ضرب عدد عشري معين في 0.1، 0.01، 0.001، وهكذايعطي الكسر الذي تم الحصول عليه من الكسر الأصلي إذا تم نقل الفاصلة في تدوينها إلى اليسار بمقدار 1 و 2 و 3 وما إلى ذلك من الأرقام على التوالي، وإذا لم تكن هناك أرقام كافية لتحريك الفاصلة، فأنت بحاجة إلى أضف العدد المطلوب من الأصفار إلى اليسار.

على سبيل المثال، لضرب الكسر العشري 54.34 في 0.1، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية في الكسر 54.34 إلى اليسار برقم واحد، مما سيعطيك الكسر 5.434، أي 54.34·0.1=5.434. دعونا نعطي مثالا آخر. اضرب الكسر العشري 9.3 في 0.0001. للقيام بذلك، نحتاج إلى تحريك العلامة العشرية 4 أرقام إلى اليسار في الكسر العشري المضروب 9.3، لكن تدوين الكسر 9.3 لا يحتوي على هذا العدد من الأرقام. لذلك، نحن بحاجة إلى تعيين العديد من الأصفار على يسار الكسر 9.3 حتى نتمكن بسهولة من تحريك العلامة العشرية إلى 4 أرقام، لدينا 9.3·0.0001=0.00093.

لاحظ أن القاعدة المذكورة لضرب الكسر العشري في 0.1، 0.01، ... صالحة أيضًا للكسور العشرية اللانهائية. على سبيل المثال، 0.(18)·0.01=0.00(18) أو 93.938…·0.1=9.3938… .

ضرب عدد عشري في عدد طبيعي

في الصميم ضرب الأعداد العشرية في الأعداد الطبيعيةلا يختلف عن ضرب عدد عشري في عدد عشري.

من الأكثر ملاءمة ضرب الكسر العشري النهائي برقم طبيعي في العمود، في هذه الحالة يجب عليك الالتزام بقواعد ضرب الكسور العشرية في العمود، والتي تمت مناقشتها في إحدى الفقرات السابقة.

مثال.

احسب الناتج 15·2.27.

حل.

دعونا نضرب عددًا طبيعيًا في كسر عشري في عمود:

إجابة:

15·2.27=34.05.

عند ضرب كسر عشري دوري بعدد طبيعي، يجب استبدال الكسر الدوري بكسر عادي.

مثال.

اضرب الكسر العشري 0.(42) في العدد الطبيعي 22.

حل.

أولاً، لنحول الكسر العشري الدوري إلى كسر عادي:

الآن لنقم بعملية الضرب: . هذه النتيجة كرقم عشري هي 9,(3) .

إجابة:

0,(42)·22=9,(3) .

وعند ضرب كسر عشري غير دوري لا نهائي بعدد طبيعي، يجب عليك أولاً إجراء التقريب.

مثال.

اضرب 4·2.145….

حل.

بعد تقريب الكسر العشري اللانهائي الأصلي إلى أجزاء من مائة، نصل إلى ضرب عدد طبيعي وكسر عشري نهائي. لدينا 4·2.145...≈4·2.15=8.60.

إجابة:

4·2.145…≈8.60.

ضرب عدد عشري في 10، 100، ...

في كثير من الأحيان يتعين عليك ضرب الكسور العشرية في 10، 100، ... لذلك، من المستحسن الخوض في هذه الحالات بالتفصيل.

دعونا صوت ذلك قاعدة ضرب الكسر العشري في 10، 100، 1000، إلخ.عند ضرب كسر عشري في 10، 100، ... في تدوينه، تحتاج إلى نقل العلامة العشرية إلى اليمين إلى 1، 2، 3، ... أرقام، على التوالي، وتجاهل الأصفار الإضافية على اليسار؛ إذا كان تدوين الكسر المضروب لا يحتوي على أرقام كافية لتحريك العلامة العشرية، فأنت بحاجة إلى إضافة العدد المطلوب من الأصفار إلى اليمين.

مثال.

اضرب الكسر العشري 0.0783 في 100.

حل.

لنحرك الكسر 0.0783 رقمين إلى اليمين، وسنحصل على 007.83. إسقاط الصفرين على اليسار يعطي الكسر العشري 7.38. وبالتالي، 0.0783 · 100 = 7.83.

إجابة:

0.0783·100=7.83.

مثال.

اضرب الكسر العشري 0.02 في 10000.

حل.

لضرب 0.02 في 10000، نحتاج إلى تحريك العلامة العشرية 4 أرقام إلى اليمين. من الواضح أنه في تدوين الكسر 0.02 لا توجد أرقام كافية لتحريك العلامة العشرية بمقدار 4 أرقام، لذلك سنضيف بضعة أصفار إلى اليمين حتى يمكن نقل العلامة العشرية. في مثالنا، يكفي إضافة ثلاثة أصفار، لدينا 0.02000. بعد تحريك الفاصلة نحصل على الإدخال 00200.0. وبغض النظر عن الأصفار الموجودة على اليسار، يصبح لدينا الرقم 200.0، وهو يساوي العدد الطبيعي 200، وهو ناتج ضرب الكسر العشري 0.02 في 10000.

في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على عملية ضرب الأعداد العشرية. لنبدأ بذكر المبادئ العامة، ثم نوضح كيفية ضرب كسر عشري في آخر ونفكر في طريقة الضرب في عمود. وسيتم توضيح جميع التعريفات مع الأمثلة. ثم سننظر في كيفية ضرب الكسور العشرية بشكل صحيح في الأعداد العادية، وكذلك الأعداد المختلطة والطبيعية (بما في ذلك 100، 10، وما إلى ذلك)

في هذه المادة، سنتطرق فقط إلى قواعد ضرب الكسور الموجبة. يتم التعامل مع الحالات ذات الأعداد السالبة بشكل منفصل في المقالات المتعلقة بضرب الأعداد النسبية والحقيقية.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

دعونا نصيغ المبادئ العامة التي يجب اتباعها عند حل المسائل التي تتضمن ضرب الكسور العشرية.

دعونا نتذكر أولاً أن الكسور العشرية ليست أكثر من شكل خاص لكتابة الكسور العادية، وبالتالي يمكن اختزال عملية ضربها إلى عملية مماثلة للكسور العادية. تعمل هذه القاعدة مع الكسور المنتهية وغير المحدودة: بعد تحويلها إلى كسور عادية، يكون من السهل الضرب بها وفقًا للقواعد التي تعلمناها بالفعل.

دعونا نرى كيف يتم حل مثل هذه المشاكل.

مثال 1

احسب حاصل ضرب 1.5 و0.75.

الحل: أولاً، دعونا نستبدل الكسور العشرية بالكسور العادية. نحن نعلم أن 0.75 يساوي 75/100، و1.5 يساوي 15/10. يمكننا تبسيط الكسر واختيار الجزء بأكمله. سنكتب النتيجة الناتجة 1251000 على شكل 1125.

إجابة: 1 , 125 .

يمكننا استخدام طريقة العد العمودي، تمامًا كما هو الحال مع الأعداد الطبيعية.

مثال 2

اضرب كسرًا دوريًا واحدًا 0، (3) في 2 آخر، (36).

أولًا، دعونا نختصر الكسور الأصلية إلى كسور عادية. سوف نحصل على:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

وبالتالي، 0، (3) · 2، (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33.

يمكن تقليل الكسر العادي الناتج إلى شكل عشري، قسمة البسط على المقام في عمود:

إجابة: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .

إذا كان لدينا عدد لا نهائي من الكسور غير الدورية في بيان المشكلة، فسنحتاج إلى إجراء تقريب أولي (راجع المقالة حول تقريب الأرقام إذا نسيت كيفية القيام بذلك). بعد ذلك، يمكنك إجراء عملية الضرب باستخدام الكسور العشرية المقربة بالفعل. دعونا نعطي مثالا.

مثال 3

احسب حاصل ضرب 5، 382... و0، 2.

حل

في مسألتنا، لدينا كسر لا نهائي يجب تقريبه أولًا إلى أجزاء من مائة. اتضح أن 5.382... ≈ 5.38. ليس من المنطقي تقريب العامل الثاني إلى المئات. يمكنك الآن حساب المنتج المطلوب وكتابة الإجابة: 5.38 0.2 = 538100 2 10 = 10761000 = 1.076.

إجابة: 5.382…·0.2 ≈ 1.076.

يمكن استخدام طريقة حساب الأعمدة ليس فقط للأعداد الطبيعية. إذا كان لدينا أعداد عشرية، فيمكننا ضربها بنفس الطريقة تمامًا. لنستنتج القاعدة:

التعريف 1

يتم ضرب الكسور العشرية في العمود في خطوتين:

1. إجراء عملية ضرب الأعمدة، دون الاهتمام بالفواصل.

2. ضع علامة عشرية في الرقم النهائي، وافصل بينها بعدد من الأرقام على الجانب الأيمن حيث يحتوي كلا العاملين على منازل عشرية معًا. إذا كانت النتيجة ليست أرقاما كافية لهذا، أضف الأصفار إلى اليسار.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لهذه الحسابات في الممارسة العملية.

مثال 4

اضرب الأعداد العشرية 63، 37 و0، 12 في الأعمدة.

حل

أولاً، دعونا نضرب الأرقام، متجاهلين الفاصلة العشرية.

والآن علينا أن نضع الفاصلة في المكان الصحيح. سيتم فصل الأرقام الأربعة الموجودة على الجانب الأيمن لأن مجموع الكسور العشرية في كلا العاملين هو 4. ليست هناك حاجة لإضافة الأصفار، لأنه علامات كافية:

إجابة: 3.37 0.12 = 7.6044.

مثال 5

احسب مقدار 3.2601 في 0.0254.

حل

نحن نحسب بدون فواصل. نحصل على الرقم التالي:

سنضع فاصلة تفصل بين 8 أرقام على الجانب الأيمن، لأن الكسور الأصلية معًا تحتوي على 8 منازل عشرية. لكن نتيجتنا تتكون من سبعة أرقام فقط، ولا يمكننا الاستغناء عن الأصفار الإضافية:

إجابة: 3.2601 · 0.0254 = 0.08280654.

كيفية ضرب عدد عشري في 0.001، 0.01، 01، إلخ.

يعد ضرب الأعداد العشرية بهذه الأرقام أمرًا شائعًا، لذا من المهم أن تكون قادرًا على القيام بذلك بسرعة ودقة. دعونا نكتب قاعدة خاصة سنستخدمها في هذا الضرب:

التعريف 2

إذا ضربنا عددًا عشريًا في 0، 1، 0، 01، وما إلى ذلك، فسنحصل في النهاية على رقم مشابه للكسر الأصلي، مع تحريك العلامة العشرية إلى اليسار بالعدد المطلوب من المنازل. إذا لم تكن هناك أرقام كافية لنقلها، فستحتاج إلى إضافة أصفار إلى اليسار.

لذلك، لضرب 45، 34 في 0، 1، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية في الكسر العشري الأصلي بمقدار مكان واحد. سننتهي بـ 4,534.

مثال 6

اضرب 9.4 في 0.0001.

حل

سيتعين علينا تحريك العلامة العشرية أربع منازل حسب عدد الأصفار في العامل الثاني، لكن الأرقام الموجودة في العامل الأول ليست كافية لذلك. نقوم بتعيين الأصفار اللازمة ونحصل على 9.4 · 0.0001 = 0.00094.

إجابة: 0 , 00094 .

بالنسبة للأعداد العشرية اللانهائية، نستخدم نفس القاعدة. على سبيل المثال، 0، (18) · 0، 01 = 0، 00 (18) أو 94،938... · 0، 1 = 9،4938.... وإلخ.

لا تختلف عملية الضرب هذه عن عملية ضرب كسرين عشريين. من المناسب استخدام طريقة ضرب الأعمدة إذا كانت عبارة المشكلة تحتوي على كسر عشري نهائي. وفي هذه الحالة لا بد من مراعاة جميع القواعد التي تحدثنا عنها في الفقرة السابقة.

مثال 7

احسب مقدار 15 · 2.27.

حل

دعونا نضرب الأرقام الأصلية في عمود ونفصل بين فاصلتين.

إجابة: 15 · 2.27 = 34.05.

إذا قمنا بضرب كسر عشري دوري في عدد طبيعي، فيجب علينا أولًا تغيير الكسر العشري إلى كسر عادي.

مثال 8

احسب حاصل ضرب 0 و (42) و 22 .

دعونا نختصر الكسر الدوري إلى الشكل العادي.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

يمكننا كتابة النتيجة النهائية في شكل كسر عشري دوري مثل 9، (3).

إجابة: 0 , (42) 22 = 9 , (3) .

يجب أولاً تقريب الكسور اللانهائية قبل إجراء العمليات الحسابية.

مثال 9

احسب كم سيكون 4 · 2, 145....

حل

دعونا نقرب الكسر العشري اللانهائي الأصلي إلى أجزاء من المئات. بعد ذلك نأتي إلى ضرب عدد طبيعي وكسر عشري نهائي:

4 2.145… ≈ 4 2.15 = 8.60.

إجابة: 4 · 2, 145… ≈ 8, 60.

كيفية ضرب عدد عشري في 1000، 100، 10، الخ.

ضرب الكسر العشري في 10، 100، وما إلى ذلك غالبًا ما يتم مواجهته في المسائل، لذلك سندرس هذه الحالة بشكل منفصل. القاعدة الأساسية للضرب هي:

التعريف 3

لضرب كسر عشري في 1000، 100، 10، وما إلى ذلك، تحتاج إلى نقل العلامة العشرية إلى 3، 2، 1 أرقام اعتمادًا على المضاعف وتجاهل الأصفار الإضافية على اليسار. إذا لم تكن هناك أرقام كافية لتحريك الفاصلة، فإننا نضيف العديد من الأصفار إلى اليمين حسب حاجتنا.

دعونا نعرض بمثال كيفية القيام بذلك بالضبط.

مثال 10

اضرب 100 في 0.0783.

حل

للقيام بذلك، نحن بحاجة إلى نقل الفاصلة في الكسر العشري إلى رقمين الجانب الأيمن. سننتهي بـ 007، 83 ويمكن التخلص من الأصفار الموجودة على اليسار وكتابة النتيجة على النحو التالي 7، 38.

إجابة: 0.0783100 = 7.83.

مثال 11

اضرب 0.02 في 10 آلاف.

الحل: سنقوم بتحريك الفاصلة بأربعة أرقام إلى اليمين. ليس لدينا علامات كافية لهذا في الكسر العشري الأصلي، لذا علينا إضافة أصفار. في هذه الحالة، ثلاثة 0 سيكون كافيا. النتيجة هي 0،02000، حرك الفاصلة واحصل على 00200،0. بتجاهل الأصفار الموجودة على اليسار، يمكننا كتابة الإجابة على النحو 200.

إجابة: 0.02 · 10000 = 200.

القاعدة التي قدمناها ستعمل بنفس الطريقة في حالة الكسور العشرية اللانهائية، ولكن هنا يجب أن تكون حذرًا جدًا بشأن فترة الكسر النهائي، حيث أنه من السهل ارتكاب خطأ فيه.

مثال 12

احسب حاصل ضرب 5.32 (672) في 1000.

الحل: أولاً، سنكتب الكسر الدوري بالشكل 5، 32672672672...، وبالتالي فإن احتمال ارتكاب الخطأ سيكون أقل. بعد ذلك يمكننا نقل الفاصلة إلى العدد المطلوب من الأحرف (ثلاثة). ستكون النتيجة 5326، 726726... فلنضع الفترة بين قوسين ونكتب الإجابة على النحو 5326، (726).

إجابة: 5, 32 (672) · 1,000 = 5,326, (726) .

إذا كانت شروط المسألة تحتوي على عدد لا نهائي من الكسور غير الدورية التي يجب ضربها في عشرة، أو مائة، أو ألف، وما إلى ذلك، فلا تنس تقريبها قبل الضرب.

لإجراء الضرب من هذا النوع، تحتاج إلى تمثيل الكسر العشري ككسر عادي ثم المتابعة وفقًا للقواعد المألوفة بالفعل.

مثال 13

اضرب 0، 4 في 3 5 6

حل

​أولاً، دعونا نحول الكسر العشري إلى كسر عادي. لدينا: 0، 4 = 4 10 = 2 5.

لقد حصلنا على الإجابة في صورة عدد كسري. يمكنك كتابتها ككسر دوري 1، 5 (3).

إجابة: 1 , 5 (3) .

إذا كان هناك كسر غير دوري لا نهائي في الحساب، فستحتاج إلى تقريبه إلى رقم معين ثم ضربه.

مثال 14

احسب المنتج 3، 5678. . . · 2 3

حل

يمكننا تمثيل العامل الثاني على أنه 2 3 = 0, 6666…. بعد ذلك، قم بتقريب كلا العاملين إلى المرتبة الألف. بعد ذلك، سنحتاج إلى حساب حاصل ضرب الكسرين العشريين النهائيين 3.568 و0.667. لنعد بعمود ونحصل على الإجابة:

يجب تقريب النتيجة النهائية إلى جزء من الألف، حيث قمنا بتقريب الأرقام الأصلية إلى هذا الرقم. اتضح أن 2.379856 ≈ 2.380.

إجابة: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2, 380

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

العودة إلى الأمام

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتم هذا العمل، يرجى تنزيل النسخة الكاملة.

الغرض من الدرس:

• بطريقة ممتعة، قدّم للطلاب قاعدة ضرب الكسر العشري في عدد طبيعي، وفي وحدة القيمة المكانية، وقاعدة التعبير عن الكسر العشري كنسبة مئوية. تنمية القدرة على تطبيق المعرفة المكتسبة عند حل الأمثلة والمشكلات.
• تطوير وتفعيل التفكير المنطقيالطلاب، والقدرة على تحديد الأنماط وتعميمها، وتقوية الذاكرة، والقدرة على التعاون، وتقديم المساعدة، وتقييم عملهم الخاص وعمل بعضهم البعض.
• تنمية الاهتمام بالرياضيات والنشاط والتنقل ومهارات الاتصال.

معدات:لوحة بيضاء تفاعلية، ملصق به مخطط مشفر، ملصقات تحتوي على تصريحات لعلماء الرياضيات.

خلال الفصول الدراسية

1. تنظيم الوقت.
2. الحساب الشفهي – تعميم المواد التي سبق دراستها، والتحضير لدراسة مواد جديدة.
3. شرح مادة جديدة .
4. الواجب المنزلي.
5. التربية البدنية الرياضية.
6. تعميم وتنظيم المعرفة المكتسبة في شكل اللعبةباستخدام جهاز كمبيوتر.
7. وضع العلامات.

2. يا رفاق، درسنا اليوم سيكون غير عادي إلى حد ما، لأنني لن أقوم بتدريسه بمفردي، ولكن مع صديقي. وصديقي أيضًا غير عادي، ستراه الآن. (يظهر كمبيوتر كرتوني على الشاشة.) صديقي لديه اسم ويمكنه التحدث. ما اسمك يا صديقي؟ تجيب كومبوشا: "اسمي كومبوشا". هل أنت مستعد لمساعدتي اليوم؟ نعم! حسنًا، فلنبدأ الدرس.

وصلتني اليوم رسالة مشفرة يا شباب يجب علينا حلها وفك شفرتها معًا. (يتم تعليق ملصق على السبورة يتضمن عملية حسابية شفهية لجمع وطرح الكسور العشرية، ونتيجة لذلك يحصل الأطفال على الكود التالي 523914687. )

5	2	3	9	1	4	6	8	7
1	2	3	4	5	6	7	8	9

يساعد Komposha في فك الكود المستلم. نتيجة فك التشفير هي كلمة الضرب. الضرب هو الكلمة الأساسية لموضوع درس اليوم. يتم عرض موضوع الدرس على الشاشة: "ضرب الكسر العشري في عدد طبيعي"

يا رفاق، نحن نعرف كيفية ضرب الأعداد الطبيعية. اليوم سوف ننظر في الضرب أرقام عشريةإلى عدد طبيعي. يمكن اعتبار ضرب الكسر العشري في عدد طبيعي مجموع حدود، كل منها يساوي هذا الكسر العشري، وعدد الحدود يساوي هذا العدد الطبيعي. على سبيل المثال: 5.21 ·3 = 5.21 + 5.21 + 5.21 = 15.63وهذا يعني 5.21·3 = 15.63. بتقديم 5.21 ككسر عادي لعدد طبيعي، نحصل على

وفي هذه الحالة حصلنا على نفس النتيجة: 15.63. والآن، مع تجاهل الفاصلة، بدلًا من الرقم 5.21، خذ الرقم 521 واضربه في هذا العدد الطبيعي. وهنا يجب أن نتذكر أنه في أحد العوامل تم نقل الفاصلة مكانين إلى اليمين. عند ضرب الأعداد 5 و 21 و 3 نحصل على ناتج يساوي 15.63. الآن في هذا المثال نقوم بتحريك الفاصلة إلى اليسار مكانين. ومن ثم، بكم مرة زاد أحد العوامل، وكم مرة انخفض المنتج. وبناء على أوجه التشابه بين هذه الأساليب، سوف نتوصل إلى نتيجة.

لضرب كسر عشري في عدد طبيعي يجب:
1) دون الالتفات إلى الفاصلة، اضرب الأعداد الطبيعية؛
2) في المنتج الناتج، قم بفصل أكبر عدد من الأرقام من اليمين بفاصلة كما هو الحال في الكسر العشري.

يتم عرض الأمثلة التالية على الشاشة، والتي نقوم بتحليلها مع Komposha والرجال: 5.21·3 = 15.63 و7.624·15 = 114.34. ثم أقوم بعرض الضرب برقم دائري 12.6·50 = 630. بعد ذلك، ننتقل إلى ضرب الكسر العشري بوحدة القيمة المكانية. أعرض الأمثلة التالية: 7.423 ·100 = 742.3 و5.2 ·1000 = 5200. لذا، أقدم قاعدة ضرب الكسر العشري بوحدة رقمية:

لضرب كسر عشري في الوحدات الرقمية 10، 100، 1000، وما إلى ذلك، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية في هذا الكسر إلى اليمين بعدد من الأماكن يساوي عدد الأصفار في الوحدة الرقمية.

أنهي شرحي بالتعبير عن الكسر العشري كنسبة مئوية. أعرض القاعدة:

للتعبير عن كسر عشري كنسبة مئوية، يجب عليك ضربه في 100 وإضافة علامة %.

سأعطي مثالا على الكمبيوتر: 0.5 100 = 50 أو 0.5 = 50%.

4. في نهاية الشرح، أعطي اللاعبين الواجبات المنزلية، والتي يتم عرضها أيضًا على شاشة الكمبيوتر: № 1030, № 1034, № 1032.

5. لكي يستريح الرجال قليلاً، نقوم بإجراء جلسة التربية البدنية الرياضية مع Komposha لتعزيز الموضوع. يقف الجميع ويعرضون الأمثلة المحلولة للفصل، ويجب عليهم الإجابة عما إذا كان المثال قد تم حله بشكل صحيح أم غير صحيح. إذا تم حل المثال بشكل صحيح، فإنهم يرفعون أذرعهم فوق رؤوسهم ويصفقون بأكفهم. إذا لم يتم حل المثال بشكل صحيح، فإن الرجال يمدون أذرعهم إلى الجانبين ويمدون أصابعهم.

6. والآن بعد أن استراحت قليلا، يمكنك حل المهام. افتح كتابك المدرسي إلى الصفحة 205، № 1029. في هذه المهمة تحتاج إلى حساب قيمة التعبيرات:

تظهر المهام على الكمبيوتر. أثناء حلها، تظهر صورة بها صورة قارب يطفو بعيدًا عند تجميعه بالكامل.

رقم 1031 احسب :

ومن خلال حل هذه المهمة على الكمبيوتر، يطوى الصاروخ تدريجيًا، وبعد حل المثال الأخير، يطير الصاروخ بعيدًا. يقدم المعلم بعض المعلومات للطلاب: “في كل عام، تنطلق سفن الفضاء من قاعدة بايكونور الفضائية من أرض كازاخستان إلى النجوم. وتقوم كازاخستان ببناء مطارها الفضائي الجديد بايتيريك بالقرب من بايكونور.

رقم 1035. مشكلة.

ما المسافة التي تقطعها سيارة ركاب خلال 4 ساعات إذا كانت سرعة سيارة الركاب 74.8 كم/ساعة؟

هذه المهمة مصحوبة بتصميم صوتي وحالة مختصرة للمهمة المعروضة على الشاشة. إذا تم حل المشكلة بشكل صحيح، تبدأ السيارة في التحرك للأمام حتى علامة النهاية.

№ 1033. اكتب الأعداد العشرية كنسب مئوية.

0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.

وبحل كل مثال، عندما تظهر الإجابة يظهر حرف ينتج عنه كلمة أحسنت.

المعلم يسأل كومبوشا لماذا ظهرت هذه الكلمة؟ يجيب كومبوشا: "أحسنت يا شباب!" ويقول وداعا للجميع.

يقوم المعلم بتلخيص الدرس ويعطي الدرجات.