لكتابة عدد نسبي m/n في النموذج عدد عشري، تحتاج إلى قسمة البسط على المقام. في هذه الحالة، تتم كتابة حاصل القسمة على شكل كسر عشري منتهٍ أو لا نهائي.

اكتب هذا الرقم في صورة كسر عشري.

حل. قسّم بسط كل كسر إلى عمود على مقامه: أ)قسمة 6 على 25؛ ب)قسمة 2 على 3؛ الخامس)قسّم 1 على 2، ثم أضف الكسر الناتج إلى واحد - الجزء الصحيح من هذا الرقم المختلط.

غير القابل للاختزال الكسور المشتركة، التي لا تحتوي مقاماتها على عوامل أولية غير 2 و 5 ، يتم كتابتها ككسر عشري نهائي.

في مثال 1متى أ)المقام 25=5·5; متى الخامس)المقام هو 2، لذلك نحصل على الكسور العشرية النهائية 0.24 و1.5. متى ب)المقام هو 3، لذلك لا يمكن كتابة النتيجة ككسر عشري منتهٍ.

هل يمكن بدون القسمة المطولة التحويل إلى كسر عشري مثل هذا الكسر العادي الذي لا يحتوي مقامه على قواسم أخرى غير 2 و 5؟ دعونا معرفة ذلك! ما هو الكسر الذي يسمى بالكسر العشري ويتم كتابته بدون شريط الكسور؟ الإجابة: الكسر الذي مقامه 10؛ 100؛ 1000، الخ. وكل من هذه الأعداد عبارة عن منتج متساويعدد اثنين وخمسة. في الواقع: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 إلخ.

وبالتالي، فإن مقام الكسر العادي غير القابل للاختزال يجب تمثيله كحاصل ضرب "الاثنين" و"الخمسات"، ثم ضربه في 2 و (أو) 5 بحيث يصبح "الاثنان" و"الخمسات" متساويين. ثم سيكون مقام الكسر يساوي 10 أو 100 أو 1000، وما إلى ذلك. ولضمان عدم تغير قيمة الكسر، نضرب بسط الكسر في نفس العدد الذي ضربنا به المقام.

عبر عن الكسور المشتركة التالية في صورة أعداد عشرية:

حل. كل من هذه الكسور غير قابل للاختزال. دعونا نحلل مقام كل كسر إلى عوامل أولية.

20=2·2·5. الخلاصة: واحد "أ" مفقود.

8=2·2·2. الخلاصة: ثلاثة حروف "أ" مفقودة.

25=5·5. الخلاصة: اثنان "اثنين" مفقودان.

تعليق.من الناحية العملية، غالبًا ما لا يستخدمون تحليل المقام، ولكنهم ببساطة يطرحون السؤال التالي: إلى أي مدى يجب ضرب المقام بحيث تكون النتيجة واحدًا بأصفار (10 أو 100 أو 1000، وما إلى ذلك). ثم يتم ضرب البسط في نفس العدد.

لذلك، في حالة أ)(مثال 2) من الرقم 20 يمكنك الحصول على 100 عن طريق الضرب في 5، لذلك تحتاج إلى ضرب البسط والمقام في 5.

متى ب)(مثال 2) من الرقم 8 لن يتم الحصول على الرقم 100، ولكن سيتم الحصول على الرقم 1000 عن طريق الضرب في 125. يتم ضرب كل من البسط (3) والمقام (8) للكسر في 125.

متى الخامس)(مثال 2) من 25 تحصل على 100 إذا ضربت في 4. وهذا يعني أن البسط 8 يجب أن يضرب في 4.

يسمى الكسر العشري اللانهائي الذي يتكرر فيه رقم واحد أو أكثر بشكل ثابت في نفس التسلسل دوريةكعلامة عشرية. تسمى مجموعة الأرقام المتكررة فترة هذا الكسر. للإيجاز، يتم كتابة فترة الكسر مرة واحدة، بين قوسين.

متى ب)(المثال 1) هناك رقم واحد متكرر فقط ويساوي 6. وبالتالي فإن النتيجة 0.66... ​​سيتم كتابتها على النحو التالي: 0,(6) . يقرأون: نقطة الصفر، ستة في الفترة.

إذا كان هناك واحد أو أكثر من الأرقام غير المتكررة بين العلامة العشرية والفترة الأولى، فإن هذا الكسر الدوري يسمى الكسر الدوري المختلط.

كسر عادي غير قابل للاختزال ومقامه هو جنبا إلى جنب مع الآخرينالمضاعف يحتوي على المضاعف 2 أو 5 ، يصبح مختلطجزء دوري.

اكتب الأعداد على شكل كسر عشري:

يمكن كتابة أي رقم نسبي ككسر عشري دوري لا نهائي.

اكتب الأعداد في صورة كسر دوري لا نهائي.

الكسر الدوري

كسر عشري لا نهائي، بدءًا من نقطة معينة، لا يوجد سوى مجموعة معينة من الأرقام تتكرر بشكل دوري. على سبيل المثال، 1.3181818...; باختصار، يُكتب هذا الكسر هكذا: 1.3(18)، أي يضعون الفترة بين قوسين (ويقولون: "18 في الفترة"). P. تسمى خالصة إذا كانت الفترة تبدأ بعد العلامة العشرية مباشرة، مثلاً 2(71) = 2.7171...، ومختلطة إذا كان بعد العلامة العشرية أرقام تسبق الفترة، مثلاً 1.3(18). يرجع دور الكسور العشرية في الحساب إلى حقيقة أنه عندما يتم تمثيل الأعداد النسبية، أي الكسور العادية (البسيطة)، بكسور عشرية، يتم الحصول دائمًا على كسور نهائية أو دورية. بتعبير أدق: يتم الحصول على الكسر العشري النهائي عندما لا يحتوي مقام الكسر البسيط غير القابل للاختزال على عوامل أولية أخرى غير 2 و 5؛ وفي جميع الحالات الأخرى، تكون النتيجة كسر P. علاوة على ذلك، يكون نقيًا إذا كان مقام كسر معين غير قابل للاختزال لا يحتوي على العاملين 2 و5 على الإطلاق، ومختلطًا إذا تم احتواء أحد هذه العوامل على الأقل في القاسم. يمكن تحويل أي P.D جزء بسيط(أي أنه يساوي بعض الأرقام المنطقية). الكسر الخالص يساوي كسرًا بسيطًا، بسطه هو الفترة، والمقام يمثله الرقم 9، مكتوبًا بعدد مرات وجود أرقام في الفترة؛ عند تحويل كسر مختلط إلى كسر بسيط، يكون البسط هو الفرق بين الرقم الذي تمثله الأرقام التي تسبق الفترة الثانية والرقم الذي تمثله الأرقام التي تسبق الفترة الأولى؛ لتكوين المقام، عليك كتابة الرقم 9 بعدد مرات وجود أرقام في الفترة، وإضافة عدد من الأصفار إلى اليمين بعدد أرقام قبل الفترة. تفترض هذه القواعد أن P. المعطى صحيح، أي أنه لا يحتوي على وحدات كاملة؛ وإلا فسيتم إعطاء الجزء بأكمله اعتبارًا خاصًا.

قواعد تحديد طول فترة الكسر المقابل لكسر عادي معين معروفة أيضًا. على سبيل المثال، لكسر أ / ع، أين ص -العدد الأولي و 1 ≥ أ ≤ ع- 1، طول الفترة هو المقسوم عليه ص - 1. لذلك، بالنسبة للتقريبات المعروفة لرقم (انظر Pi) الفترتان 22/7 و355/113 تساويان 6 و112 على التوالي.

الموسوعة السوفيتية الكبرى. - م: الموسوعة السوفيتية. 1969-1978 .

المرادفات:

انظر ما هو "الكسر الدوري" في القواميس الأخرى:

كسر عشري لا نهائي، يتم فيه تكرار مجموعة معينة من الأرقام (نقطة) بشكل دوري، على سبيل المثال، بدءًا من مكان معين. 0.373737... جزء دوري خالص أو 0.253737... جزء دوري مختلط... القاموس الموسوعي الكبير

جزء، جزء لا نهائيقاموس المرادفات الروسية. اسم الكسر الدوري، عدد المرادفات: 2 كسر لا نهائي (2) ... قاموس المرادفات

كسر عشري تتكرر فيه سلسلة من الأرقام بنفس الترتيب. على سبيل المثال، 0.135135135... هو pd دورته 135 ويساوي الكسر البسيط 135/999 = 5/37. قاموس كلمات اجنبية، المدرجة في اللغة الروسية. بافلينكوف ف... قاموس الكلمات الأجنبية للغة الروسية

العدد العشري هو كسر مقامه 10n، حيث n عدد طبيعي. لها شكل خاص من التدوين: جزء صحيح في النظام العشريرقم، ثم فاصلة ثم جزء كسري في نظام الأعداد العشرية، وعدد أرقام الجزء الكسري ... ويكيبيديا

كسر عشري لا نهائي، تبدأ فيه مجموعة معينة من الأرقام (الفترة) من نقطة معينة وتتكرر بشكل دوري؛ على سبيل المثال، 0.373737... جزء دوري خالص أو 0.253737... جزء دوري مختلط. * * * دورية … … القاموس الموسوعي

كسر عشري لا نهاية له، بدءًا من مكان معين، يتكرر التعريف بشكل دوري. مجموعة من الأرقام (الفترة)؛ على سبيل المثال، 0.373737... P. d. خالص أو 0.253737... P. d. مختلط ... علم الطبيعة. القاموس الموسوعي

انظر الجزء... قاموس المرادفات الروسية والتعبيرات المشابهة. تحت. إد. N. Abramova، M.: القواميس الروسية، 1999. جزء تافه، جزء؛ دونست، الكرة، وجبة، رصاصة؛ رقم كسريقاموس المرادفات الروسية... قاموس المرادفات

العشري الدوري- - [إل جي سومينكو. قاموس إنجليزي روسي في مجال تكنولوجيا المعلومات. م: مؤسسة الدولة TsNIIS، 2003.] المواضيع تكنولوجيا المعلوماتبشكل عام، العشري المتداول، العشري المتكرر، العشري الدوري، العشري الدوري، العشري الدوري ... دليل المترجم الفني

إذا تم قسمة عدد صحيح a على عدد صحيح آخر b، أي يتم البحث عن رقم x يحقق الشرط bx = a، فيمكن أن تنشأ حالتان: إما أن يوجد في سلسلة الأعداد الصحيحة رقم x يحقق هذا الشرط، أو أنه تبين،…… القاموس الموسوعي ف. بروكهاوس وآي. إيفرون

كسر مقامه عدد صحيح يساوي 10. تتم كتابة الكسور بدون مقام، مع الفصل بين أرقام البسط إلى اليمين بفاصلة بقدر وجود أصفار في المقام. على سبيل المثال، في مثل هذا السجل، الجزء الموجود على اليسار... ... الموسوعة السوفيتية الكبرى

هل تتذكر كيف قلت في الدرس الأول عن الكسور العشرية أن هناك كسورًا رقمية لا يمكن تمثيلها ككسور عشرية (انظر الدرس "الكسور العشرية")؟ تعلمنا أيضًا كيفية تحليل مقامات الكسور لمعرفة ما إذا كان هناك أي أرقام غير 2 و5.

إذن: كذبت. واليوم سوف نتعلم كيفية ترجمة أي شيء على الإطلاق جزء رقميإلى العشري. في الوقت نفسه، سوف نتعرف على فئة كاملة من الكسور مع جزء مهم لا حصر له.

العلامة العشرية الدورية هي أي عدد عشري:

1. يتكون الجزء المهم من عدد لا حصر له من الأرقام؛
2. على فترات زمنية معينة، تتكرر الأرقام في الجزء المهم.

مجموعة من الأرقام المتكررة التي تشكل جزء كبير، يُسمى الجزء الدوري من الكسر، ويسمى عدد الأرقام في هذه المجموعة بفترة الكسر. الجزء المتبقي من الجزء المهم، والذي لا يتكرر، يسمى الجزء غير الدوري.

وبما أن هناك العديد من التعريفات، فمن المفيد النظر في عدد قليل من هذه الكسور بالتفصيل:

يظهر هذا الكسر في أغلب الأحيان في المشاكل. الجزء غير الدوري: 0؛ الجزء الدوري: 3؛ طول الفترة: 1.

الجزء غير الدوري: 0.58؛ الجزء الدوري: 3؛ طول الفترة: مرة أخرى 1.

الجزء غير الدوري: 1؛ الجزء الدوري: 54؛ طول الفترة: 2.

الجزء غير الدوري: 0؛ الجزء الدوري: 641025؛ طول الفترة: 6. للراحة، يتم فصل الأجزاء المتكررة عن بعضها البعض بمسافة - وهذا ليس ضروريا في هذا الحل.

الجزء غير الدوري: 3066؛ الجزء الدوري: 6؛ طول الفترة: 1.

كما ترون، يعتمد تعريف الكسر الدوري على المفهوم جزء مهم من العدد. لذلك، إذا نسيت ما هو عليه، أوصي بتكراره - راجع الدرس "".

الانتقال إلى الكسر العشري الدوري

النظر في جزء عادي من النموذج أ / ب. دعونا نحلل مقامه إلى عوامل أولية. هناك خياران:

1. يحتوي التوسع على العاملين 2 و5 فقط. يمكن تحويل هذه الكسور بسهولة إلى أعداد عشرية - راجع الدرس "الكسور العشرية". نحن لسنا مهتمين بمثل هؤلاء الأشخاص؛
2. هناك شيء آخر في الموسع غير 2 و 5. في هذه الحالة، لا يمكن تمثيل الكسر ككسر عشري، ولكن يمكن تحويله إلى كسر عشري دوري.

لتحديد الكسر العشري الدوري، تحتاج إلى العثور على أجزائه الدورية وغير الدورية. كيف؟ حول الكسر إلى كسر غير فعلي، ثم اقسم البسط على المقام باستخدام الزاوية.

سيحدث ما يلي:

1. سوف تنقسم أولا الجزء الكامل، إذا كان موجودا؛
2. قد يكون هناك عدة أرقام بعد العلامة العشرية؛
3. وبعد فترة ستبدأ الأرقام يكرر.

هذا كل شئ! تتم الإشارة إلى الأرقام المتكررة بعد العلامة العشرية بالجزء الدوري، أما الأرقام الموجودة في المقدمة فيتم الإشارة إليها بالجزء غير الدوري.

مهمة. تحويل الكسور العادية إلى أعداد عشرية دورية:

جميع الكسور ليس لها جزء صحيح، لذلك نقوم ببساطة بقسمة البسط على المقام بـ "زاوية":

وكما ترون، يتم تكرار الباقي. لنكتب الكسر بالشكل "الصحيح": 1.733 ... = 1.7(3).

والنتيجة هي كسر: 0.5833 ... = 0.58(3).

نكتبها بالصورة العادية: 4.0909... = 4,(09).

نحصل على الكسر: 0.4141 ... = 0.(41).

الانتقال من الكسر العشري الدوري إلى الكسر العادي

خذ بعين الاعتبار الكسر العشري الدوري X = abc (أ 1 ب 1 ج 1). مطلوب تحويله إلى مبنى كلاسيكي "مكون من طابقين". للقيام بذلك، اتبع أربع خطوات بسيطة:

1. العثور على فترة الكسر، أي. حساب عدد الأرقام الموجودة في الجزء الدوري. فليكن هذا الرقم ك؛
2. أوجد قيمة التعبير X · 10 ك. وهذا يعادل إزاحة العلامة العشرية إلى اليمين فترة كاملة - راجع الدرس "ضرب الأعداد العشرية وقسمتها"؛
3. يجب طرح التعبير الأصلي من الرقم الناتج. في هذه الحالة يتم "حرق" الجزء الدوري ويبقى جزء مشترك;
4. أوجد X في المعادلة الناتجة. نقوم بتحويل جميع الكسور العشرية إلى كسور عادية.

مهمة. تحويل الرقم إلى كسر عادي غير حقيقي:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

نحن نتعامل مع الكسر الأول: X = 9,(6) = 9.666 ...

تحتوي الأقواس على رقم واحد فقط، وبالتالي فإن الدورة هي k = 1. بعد ذلك، نضرب هذا الكسر في 10 k = 10 1 = 10. لدينا:

10س = 10 9.6666...= 96.666...

اطرح الكسر الأصلي وحل المعادلة:

10X − X = 96.666 ... − 9.666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87؛
س = 87/9 = 29/3.

الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الثاني. إذن X = 32،(39) = 32.393939...

الدورة k = 2، لذا اضرب كل شيء في 10 k = 10 2 = 100:

100س = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

اطرح الكسر الأصلي مرة أخرى وحل المعادلة:

100X − X = 3239.3939 ... − 32.3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207؛
س = 3207/99 = 1069/33.

دعنا ننتقل إلى الكسر الثالث: X = 0.30(5) = 0.30555... الرسم البياني هو نفسه، لذا سأعطي الحسابات فقط:

الدورة ك = 1 ⇒ اضرب كل شيء في 10 ك = 10 1 = 10؛

10س = 10 0.30555... = 3.05555...
10X − X = 3.0555 ... − 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4؛
س = (11/4) : 9 = 11/36.

وأخيرًا، الكسر الأخير: X = 0,(2475) = 0.2475 2475... مرة أخرى، وللتيسير، يتم فصل الأجزاء الدورية عن بعضها البعض بمسافات. لدينا:

ك = 4 ⇒ 10 ك = 10 4 = 10000؛
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475...
10,000X − X = 2475.2475 ... − 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
س = 2475: 9999 = 25/101.

تتضمن عملية التقسيم مشاركة عدة مكونات رئيسية. أولها ما يسمى بتوزيع الأرباح، أي الرقم الذي يخضع لإجراءات القسمة. والثاني هو المقسوم عليه، أي العدد الذي تتم به القسمة. والثالث هو حاصل القسمة، أي نتيجة عملية قسمة المقسوم على المقسوم عليه.

نتيجة القسمة

إن أبسط نتيجة يمكن الحصول عليها عند استخدام عددين صحيحين موجبين كمقسوم ومقسوم هو عدد صحيح موجب آخر. على سبيل المثال، عند قسمة 6 على 2، سيكون الناتج مساوياً لـ 3. وهذا الوضع ممكن إذا كان المقسوم هو المقسوم عليه، أي يتم القسمة عليه دون باقي.

ومع ذلك، هناك خيارات أخرى عندما يكون من المستحيل تنفيذ عملية القسمة دون باقي. في هذه الحالة، يصبح العدد غير الصحيح حاصلًا، والذي يمكن كتابته على شكل مزيج من عدد صحيح وجزء كسري. على سبيل المثال، عند قسمة 5 على 2، يكون الناتج 2.5.

العدد في الفترة

أحد الخيارات التي يمكن أن تنتج إذا لم تكن الأرباح من مضاعفات المقسوم عليه هو ما يسمى بالرقم في الفترة. يمكن أن تنشأ نتيجة للقسمة إذا تبين أن حاصل القسمة عبارة عن مجموعة من الأرقام المتكررة إلى ما لا نهاية. على سبيل المثال، قد يظهر رقم في فترة ما عند قسمة الرقم 2 على 3. في هذه الحالة، سيتم التعبير عن النتيجة، ككسر عشري، كمجموعة من عدد لا نهائي مكون من 6 أرقام بعد العلامة العشرية.

من أجل الإشارة إلى نتيجة هذا التقسيم، تم اختراع طريقة خاصة لكتابة الأرقام في الفترة: تتم الإشارة إلى هذا الرقم عن طريق وضع رقم متكرر بين قوسين. على سبيل المثال، سيتم كتابة نتيجة قسمة 2 على 3 باستخدام هذه الطريقة على أنها 0,(6). ينطبق هذا الترميز أيضًا في حالة تكرار جزء فقط من الرقم الناتج عن القسمة.

على سبيل المثال، عند قسمة 5 على 6، ستكون النتيجة رقمًا دوريًا على شكل 0.8(3). يعد استخدام هذه الطريقة، أولاً، أكثر فعالية مقارنة بمحاولة كتابة كل أو جزء من أرقام الرقم في فترة ما، وثانيًا، يتمتع بدقة أكبر مقارنة بطريقة أخرى لنقل هذه الأرقام - التقريب، وبالإضافة إلى ذلك، يسمح لك بتمييز الأرقام في الفترة من الكسر العشري الدقيق بالقيمة المقابلة عند مقارنة حجم هذه الأرقام. لذلك، على سبيل المثال، من الواضح أن 0.(6) أكبر بكثير من 0.6.