دعونا ننظر إلى واحد منهم أهم المواضيعفي علوم الكمبيوتر - . في المنهج المدرسيلقد تم الكشف عنه "بشكل متواضع" إلى حد ما، على الأرجح بسبب قلة الساعات المخصصة له. المعرفة حول هذا الموضوع، وخاصة على ترجمة أنظمة الأعداد، شرط أساسي للنجاح اجتياز امتحان الدولة الموحدةوالقبول في الجامعات في الكليات ذات الصلة. أدناه نناقش بالتفصيل مفاهيم مثل أنظمة الأرقام الموضعية وغير الموضعية، يتم تقديم أمثلة على أنظمة الأرقام هذه، ويتم تقديم قواعد لتحويل الأعداد العشرية الكاملة، والكسور العشرية المناسبة والأرقام العشرية المختلطة إلى أي نظام أرقام آخر، وتحويل الأرقام من أي نظام أرقام إلى نظام عشري، والتحويل من أنظمة الأرقام الثمانية والست عشرية إلى أرقام ثنائية نظام. في الامتحانات كميات كبيرةهناك مشاكل حول هذا الموضوع. القدرة على حلها هي أحد متطلبات المتقدمين. قريبا: لكل موضوع من مواضيع القسم، بالإضافة إلى المادة النظرية التفصيلية، كلها تقريبا الخيارات الممكنة مهامل دراسة ذاتية. بالإضافة إلى ذلك، ستتاح لك الفرصة للتنزيل مجانًا تمامًا من خدمة استضافة الملفات، الحلول التفصيلية الجاهزة لهذه المشكلات، والتي توضح طرق مختلفةالحصول على الإجابة الصحيحة.

أنظمة الأرقام الموضعية.

أنظمة الأعداد غير الموضعية- أنظمة الأعداد التي لا تعتمد فيها القيمة الكمية للرقم على موقعه في الرقم.

تشمل أنظمة الأرقام غير الموضعية، على سبيل المثال، الرومانية، حيث بدلا من الأرقام هناك أحرف لاتينية.

أنا	واحد 1)
الخامس	5 (خمسة)
X	10 (عشرة)
ل	50 (خمسون)
ج	100 (مائة)
د	500 (خمسمائة)
م	1000 (ألف)

هنا الحرف V يرمز إلى 5 بغض النظر عن موقعه. ومع ذلك، فمن الجدير بالذكر أنه على الرغم من أن نظام الأرقام الروماني هو مثال كلاسيكي لنظام الأعداد غير الموضعية، إلا أنه ليس غير موضعي تمامًا، لأنه ويطرح منه الرقم الأصغر الذي أمام الرقم الأكبر:

انا	49 (50-1=49)
السادس	6 (5+1=6)
الحادي والعشرون	21 (10+10+1=21)
مي	1001 (1000+1=1001)

أنظمة الأرقام الموضعية.

أنظمة الأرقام الموضعية- أنظمة الأعداد التي تعتمد فيها القيمة الكمية للرقم على موقعه في الرقم.

على سبيل المثال، إذا تحدثنا عن نظام الأرقام العشري، فإن الرقم 7 في الرقم 700 يعني "سبعمائة"، ولكن نفس الرقم في الرقم 71 يعني "سبع عشرات"، وفي الرقم 7020 - "سبعة آلاف" .

كل نظام الأرقام الموضعيةلديها خاصة بها قاعدة. يتم اختيار عدد طبيعي أكبر من أو يساوي اثنين كأساس. وهو يساوي عدد الأرقام المستخدمة في نظام أرقام معين.

على سبيل المثال:
• الثنائية- نظام الأرقام الموضعية مع الأساس 2.
• رباعي- نظام الأرقام الموضعية مع الأساس 4.
• خمسة أضعاف- نظام الأرقام الموضعية مع الأساس 5.
• ثماني- نظام الأرقام الموضعية بقاعدة 8.
• السداسي عشري- نظام الأرقام الموضعية بأساس 16.

لحل المشكلات المتعلقة بموضوع "أنظمة الأرقام" بنجاح، يجب على الطالب أن يحفظ عن ظهر قلب مراسلات الأرقام الثنائية والعشرية والثمانية والست عشرية حتى 16 10:

10 ثانية/ثانية	2 ثانية / ثانية	8 ثانية / ثانية	16 ثانية / ثانية
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	أ
11	1011	13	ب
12	1100	14	ج
13	1101	15	د
14	1110	16	ه
15	1111	17	F
16	10000	20	10

ومن المفيد معرفة كيفية الحصول على الأرقام في أنظمة الأرقام هذه. يمكنك تخمين ذلك بالنظام الثماني والست عشري والثلاثي وغيرها أنظمة الأرقام الموضعيةكل شيء يحدث بنفس طريقة النظام العشري الذي اعتدنا عليه:

تتم إضافة واحد إلى الرقم ويتم الحصول على رقم جديد. إذا أصبح رقم الوحدات يساوي القاعدةفي نظام الأعداد، نزيد عدد العشرات بمقدار 1، الخ.

هذا "الانتقال" هو ما يخيف معظم الطلاب. في الواقع، كل شيء بسيط للغاية. يحدث الانتقال إذا أصبح رقم الوحدات يساوي قاعدة الرقم، نزيد عدد العشرات بمقدار 1. يتذكر الكثيرون النظام العشري القديم الجيد، ويتم الخلط بينهم على الفور بشأن الأرقام في هذا الانتقال، لأن العشرية، على سبيل المثال، العشرات الثنائية هي أشياء مختلفة.

ومن ثم، يقوم الطلاب واسعو الحيلة بتطوير "أساليبهم الخاصة" (من المدهش... العمل) عند ملء، على سبيل المثال، جداول الحقيقة، حيث تكون الأعمدة الأولى (القيم المتغيرة) مليئة في الواقع بأرقام ثنائية بترتيب تصاعدي.

على سبيل المثال، دعونا ننظر في كيفية إدخال الأرقام النظام الثماني: نضيف 1 إلى الرقم الأول (0)، نحصل على 1. ثم نضيف 1 إلى 1، نحصل على 2، إلخ. إلى 7. إذا أضفنا واحدًا إلى 7، نحصل على رقم يساوي أساس نظام الأرقام، أي. 8. فأنت بحاجة إلى زيادة مكانة العشرات بمقدار واحد (نحصل على الرقم الثماني عشرة - 10). ومن الواضح أن التالي هو الأرقام 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 20، ...، 27، 30، ...، 77، 100، 101...

قواعد التحويل من نظام أرقام إلى آخر.

1 تحويل الأعداد الصحيحة العشرية إلى أي نظام أرقام آخر.

يجب تقسيم الرقم على قاعدة نظام الأرقام الجديدة. أول ما تبقى من القسمة هو أول رقم ثانوي من الرقم الجديد. إذا كان حاصل القسمة أقل من أو يساوي الأساس الجديد، فيجب قسمته (حاصل القسمة) مرة أخرى على الأساس الجديد. ويجب أن يستمر القسمة حتى نحصل على حاصل أقل من الأساس الجديد. هذا هو أعلى رقم في الرقم الجديد (عليك أن تتذكر أنه، على سبيل المثال، في النظام السداسي العشري، بعد 9 هناك أحرف، أي إذا كان الباقي 11، فأنت بحاجة إلى كتابته كـ B).

مثال ("القسمة على الزاوية"): لنحول الرقم 173 10 إلى نظام الأرقام الثماني.

وبالتالي، 173 10 = 255 8

2 تحويل الكسور العشرية العادية إلى أي نظام أرقام آخر.

يجب ضرب الرقم بقاعدة نظام الأرقام الجديدة. الرقم الذي أصبح جزءًا صحيحًا هو أعلى رقم في الجزء الكسري للرقم الجديد. للحصول على الرقم التالي، يجب مضاعفة الجزء الكسري من المنتج الناتج مرة أخرى بقاعدة جديدة لنظام الأرقام حتى يحدث الانتقال إلى الجزء بأكمله. نستمر في الضرب حتى يساوي الجزء الكسري صفراً، أو حتى نصل إلى الدقة المحددة في المسألة ("... احسب بدقة منزلتين عشريتين مثلاً").

مثال: لنحول الرقم 0.65625 10 إلى نظام الأرقام الثماني.

تتيح لك الآلة الحاسبة تحويل الأعداد الصحيحة والكسرية من نظام أرقام إلى آخر. لا يمكن أن يكون أساس نظام الأرقام أقل من 2 وأكبر من 36 (10 أرقام و26 حروف لاتينيةبعد كل ذلك). يجب ألا يتجاوز طول الأرقام 30 حرفًا. للدخول أرقام كسريةاستخدم الرمز. أو، . لتحويل رقم من نظام إلى آخر، أدخل الرقم الأصلي في الحقل الأول، وقاعدة نظام الأرقام الأصلي في الحقل الثاني، وقاعدة نظام الأرقام الذي تريد تحويل الرقم إليه في الحقل الثالث، ثم انقر فوق الزر "الحصول على السجل".

الرقم الأصلي مكتوب في 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -نظام الأرقام.

أريد الحصول على رقم مكتوب 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -نظام الأرقام.

الحصول على الدخول

الترجمات المكتملة: 1237182

أنظمة الأرقام

تنقسم أنظمة الأرقام إلى نوعين: الموضعيةو ليس موضعيا. نحن نستخدم النظام العربي، وهو موضعي، ولكن هناك أيضًا النظام الروماني - وهو ليس موضعيًا. في الأنظمة الموضعية، يحدد موضع الرقم في الرقم قيمة هذا الرقم بشكل فريد. من السهل فهم ذلك من خلال النظر إلى بعض الأرقام كمثال.

مثال 1. لنأخذ الرقم 5921 في نظام الأرقام العشري. لنرقم الرقم من اليمين إلى اليسار بدءًا من الصفر:

يمكن كتابة الرقم 5921 بالشكل التالي: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . الرقم 10 هو الخاصية التي تحدد نظام الأرقام. يتم أخذ قيم موضع رقم معين كقوى.

مثال 2. النظر في الحقيقي عدد عشري 1234.567. لنقوم بترقيمه بدءًا من موضع الصفر للرقم من العلامة العشرية إلى اليسار واليمين:

يمكن كتابة الرقم 1234.567 بالشكل التالي: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر

معظم بطريقة بسيطةتحويل رقم من نظام أرقام إلى آخر هو تحويل الرقم أولاً إلى نظام أرقام عشري، ثم النتيجة الناتجة إلى نظام الأرقام المطلوب.

تحويل الأرقام من أي نظام أرقام إلى نظام الأرقام العشري

لتحويل رقم من أي نظام أرقام إلى نظام عشري، يكفي ترقيم أرقامه، بدءًا من الصفر (الرقم الموجود على يسار العلامة العشرية) كما في المثالين 1 أو 2. فلنوجد مجموع حاصل ضرب الأرقام من الرقم بقاعدة نظام الأرقام إلى قوة موضع هذا الرقم:

1. تحويل الرقم 1001101.1101 2 إلى نظام الأرقام العشري.
حل: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
إجابة: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. تحويل الرقم E8F.2D 16 إلى نظام الأرقام العشري.
حل: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
إجابة: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

تحويل الأعداد من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر

لتحويل الأرقام من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر، يجب تحويل الأجزاء الصحيحة والكسرية من الرقم بشكل منفصل.

تحويل جزء صحيح من رقم من نظام أرقام عشري إلى نظام أرقام آخر

يتم تحويل الجزء الصحيح من نظام أرقام عشري إلى نظام أرقام آخر عن طريق قسمة الجزء الصحيح من الرقم بالتسلسل على أساس نظام الأرقام حتى يتم الحصول على باقي كامل أقل من أساس نظام الأرقام. وستكون نتيجة الترجمة عبارة عن سجل للباقي، بدءًا من الترجمة الأخيرة.

3. تحويل الرقم 273 10 إلى نظام الأرقام الثماني.
حل: 273 / 8 = 34 والباقي 1. 34 / 8 = 4 والباقي 2. 4 أقل من 8، وبذلك تكون العملية الحسابية قد اكتملت. سيبدو السجل من الأرصدة كما يلي: 421
فحص: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273، النتيجة واحدة. وهذا يعني أن الترجمة تمت بشكل صحيح.
إجابة: 273 10 = 421 8

دعونا نفكر في ترجمة الكسور العشرية العادية إلى أنظمة أرقام مختلفة.

تحويل الجزء الكسري من رقم من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر

دعونا نذكركم أن الصحيح عدد عشريمُسَمًّى عدد حقيقي مع جزء صحيح صفر. لتحويل مثل هذا الرقم إلى نظام أرقام ذو الأساس N، تحتاج إلى ضرب الرقم بالتتابع في N حتى يصل الجزء الكسري إلى الصفر أو يتم الحصول على العدد المطلوب من الأرقام. إذا تم الحصول على رقم به جزء صحيح غير الصفر أثناء الضرب، فلن يتم أخذ الجزء الصحيح في الاعتبار بشكل أكبر، حيث يتم إدخاله بالتسلسل في النتيجة.

4. تحويل الرقم 0.125 10 إلى نظام الأرقام الثنائية.
حل: 0.125·2 = 0.25 (0 هو الجزء الصحيح الذي سيصبح الرقم الأول من النتيجة)، 0.25·2 = 0.5 (0 هو الرقم الثاني من النتيجة)، 0.5·2 = 1.0 (1 هو الرقم الثالث من النتيجة، وبما أن الجزء الكسري هو صفر، فقد اكتملت الترجمة).
إجابة: 0.125 10 = 0.001 2

طرق تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر.

تحويل الأرقام من نظام أرقام موضعية إلى آخر: تحويل الأعداد الصحيحة.

لتحويل عدد صحيح من نظام أرقام ذو الأساس d1 إلى نظام آخر ذو الأساس d2، يجب عليك تقسيم هذا الرقم ونواتج القسمة الناتجة بشكل تسلسلي على الأساس d2 للنظام الجديد حتى تحصل على حاصل قسمة أقل من الأساس d2. الحاصل الأخير هو أعلى رقم من الرقم الموجود نظام جديدالأرقام ذات الأساس d2، والأرقام التي تليها هي بقايا القسمة، مكتوبة بترتيب عكسي لاستلامها. إجراء العمليات الحسابية في نظام الأرقام الذي يُكتب فيه الرقم الذي تتم ترجمته.

مثال 1. تحويل الرقم 11(10) إلى نظام الأرقام الثنائية.

الجواب: 11(10)=1011(2).

مثال 2. تحويل الرقم 122(10) إلى نظام الأرقام الثماني.

الجواب: 122(10)=172(8).

مثال 3. تحويل الرقم 500(10) إلى نظام الأرقام الست عشري.

الجواب: 500(10)=1F4(16).

تحويل الأرقام من نظام أرقام موضعي إلى آخر: تحويل الكسور المناسبة.

لتحويل كسر مناسب من نظام أرقام ذو أساس d1 إلى نظام ذو أساس d2، من الضروري ضرب الكسر الأصلي والأجزاء الكسرية للنواتج الناتجة بالتسلسل بأساس نظام الأرقام الجديد d2. يتم تشكيل الكسر الصحيح للرقم في نظام الأرقام الجديد ذو الأساس d2 في شكل أجزاء صحيحة من المنتجات الناتجة، بدءًا من الأول.
إذا نتج عن الترجمة كسر على شكل سلسلة لا نهائية أو متباعدة، فيمكن إكمال العملية عند تحقيق الدقة المطلوبة.

عند ترجمة الأعداد المختلطة، من الضروري ترجمة الأجزاء الصحيحة والكسرية بشكل منفصل إلى نظام جديد وفقًا لقواعد ترجمة الأعداد الصحيحة والكسور الصحيحة، ثم دمج كلتا النتيجتين في رقم مختلط واحد في نظام الأرقام الجديد.

مثال 1. تحويل الرقم 0.625(10) إلى نظام الأرقام الثنائية.

الجواب: 0.625(10)=0.101(2).

مثال 2. تحويل الرقم 0.6(10) إلى نظام الأرقام الثماني.

الجواب: 0.6(10)=0.463(8).

مثال 2. تحويل الرقم 0.7(10) إلى نظام الأرقام الست عشري.

الجواب: 0.7(10)=0.B333(16).

تحويل الأرقام الثنائية والثمانية والست عشرية إلى نظام الأرقام العشري.

لتحويل رقم من النظام P-ary إلى رقم عشري، يجب عليك استخدام صيغة التوسيع التالية:
аnan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .

مثال 1. تحويل الرقم 101.11(2) إلى نظام الأرقام العشري.

الجواب: 101.11(2)= 5.75(10) .

مثال 2. تحويل الرقم 57.24(8) إلى نظام الأرقام العشري.

الجواب: 57.24(8) = 47.3125(10) .

مثال 3. تحويل الرقم 7A,84(16) إلى نظام الأرقام العشري.

الجواب: 7A.84(16)= 122.515625(10) .

تحويل الأرقام الثمانية والست عشرية إلى نظام الأرقام الثنائية والعكس.

لتحويل رقم من نظام الأرقام الثماني إلى نظام ثنائي، يجب كتابة كل رقم من هذا الرقم كرقم ثنائي مكون من ثلاثة أرقام (ثالوث).

مثال: اكتب الرقم 16.24(8) في نظام الأرقام الثنائية.

الجواب: 16.24(8)= 1110.0101(2) .

لتحويل رقم ثنائي مرة أخرى إلى نظام الأرقام الثماني، تحتاج إلى تقسيم الرقم الأصلي إلى ثلاثيات على يسار ويمين العلامة العشرية وتمثيل كل مجموعة برقم في نظام الأرقام الثماني. يتم استكمال الثلاثيات غير المكتملة القصوى بالأصفار.

مثال: اكتب الرقم 1110.0101(2) في نظام الأرقام الثماني.

الجواب: 1110.0101(2)= 16.24(8) .

لتحويل رقم من نظام الأرقام السداسي العشري إلى النظام الثنائي، تحتاج إلى كتابة كل رقم من هذا الرقم كرقم ثنائي مكون من أربعة أرقام (رباعي).

مثال: اكتب الرقم 7A,7E(16) في نظام الأرقام الثنائية.


الجواب: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .

ملاحظة: لا تتم كتابة الأصفار البادئة على اليسار للأعداد الصحيحة وعلى اليمين للكسور.

لتحويل رقم ثنائي مرة أخرى إلى نظام الأرقام الست عشري، تحتاج إلى تقسيم الرقم الأصلي إلى رباعيات على يسار ويمين العلامة العشرية وتمثيل كل مجموعة برقم في نظام الأرقام الست عشري. يتم استكمال الثلاثيات غير المكتملة القصوى بالأصفار.

مثال: اكتب الرقم 1111010.0111111(2) بنظام الأرقام الست عشري.

لتحويل الأرقام بسرعة من نظام الأرقام العشري إلى النظام الثنائي، يجب أن تكون لديك معرفة جيدة بالأرقام "2 أس". على سبيل المثال، 2 10 = 1024، إلخ. سيسمح لك هذا بحل بعض أمثلة الترجمة حرفيًا في ثوانٍ. واحدة من هذه المهام هي المشكلة A1 من العرض التوضيحي للاستخدام 2012. يمكنك بالطبع أن تستغرق وقتًا طويلاً ومضجرًا لتقسيم رقم على "2". ولكن من الأفضل أن تقرر بشكل مختلف، مما يوفر الوقت الثمين في الامتحان.

الطريقه بسيطه جدا. جوهرها هو هذا: إذا كان الرقم المطلوب تحويله من النظام العشري يساوي الرقم "2 أس"، فإن هذا الرقم في النظام الثنائي يحتوي على عدد من الأصفار يساوي الأس. نضيف "1" أمام هذه الأصفار.

• دعونا نحول الرقم 2 من النظام العشري. 2=2 1 . لذلك، في النظام الثنائي، يحتوي الرقم على 1 صفر. نضع "1" في المقدمة ونحصل على 10 2.
• لنقم بتحويل 4 من النظام العشري. 4=2 2 . لذلك، في النظام الثنائي، يحتوي الرقم على 2 أصفار. نضع "1" في المقدمة ونحصل على 100 2.
• لنقم بتحويل 8 من النظام العشري. 8=2 3 . لذلك، في النظام الثنائي، يحتوي الرقم على 3 أصفار. نضع "1" في المقدمة ونحصل على 1000 2.

وبالمثل بالنسبة للأرقام الأخرى "2 أس".

إذا كان الرقم المراد ترجمته هو عدد أقل"2 أس" بمقدار 1، ثم في النظام الثنائي يتكون هذا الرقم فقط من وحدات، عددها يساوي القوة.

• لنقم بتحويل 3 من النظام العشري. 3=2 2 -1. لذلك، في النظام الثنائي، يحتوي الرقم على رقمين. نحصل على 112
• دعونا نحول 7 من النظام العشري. 7=2 3 -1. لذلك، في النظام الثنائي، يحتوي الرقم على 3 آحاد. نحصل على 1112.

في الشكل، تشير المربعات إلى التمثيل الثنائي للرقم، ويشير اللون الوردي الموجود على اليسار إلى التمثيل العشري.

الترجمة مشابهة للأرقام الأخرى "2 إلى القوة -1".

ومن الواضح أن ترجمة الأرقام من 0 إلى 8 يمكن أن تتم بسرعة أو عن طريق القسمة، أو ببساطة معرفة تمثيلها في النظام الثنائي عن ظهر قلب. أعطيت هذه الأمثلة حتى تفهم المبدأ هذه الطريقةواستخدمها لترجمة المزيد من "الأرقام الرائعة"، على سبيل المثال، لترجمة الأرقام 127,128، 255، 256، 511، 512، إلخ.

قد تواجه مثل هذه المشكلات عندما تحتاج إلى ترجمة رقم، وليس ذلك يساوي العدد"2 إلى السلطة"، ولكن على مقربة منها. وقد يكون أكبر أو أقل من 2 أس. يجب أن يكون الفرق بين الرقم المترجم والرقم "2 إلى القوة" صغيرًا. على سبيل المثال، ما يصل إلى 3. تمثيل الأرقام من 0 إلى 3 في النظام الثنائي يحتاج فقط إلى أن يكون معروفًا بدون ترجمة.

إذا كان الرقم أكبر من حلها كالتالي:

أولاً نقوم بتحويل الرقم "2 إلى القوة" إلى النظام الثنائي. ومن ثم نضيف إليها الفرق بين الرقم "2 أس" والرقم الذي يتم ترجمته.

على سبيل المثال، دعونا نحول 19 من النظام العشري. إنه أكبر من الرقم "2 أس" بمقدار 3.

16=2 4 . 16 10 =10000 2 .

3 10 =11 2 .

19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .

إذا كان الرقم أقل من الرقم "2 إلى السلطة"، فمن الملائم أكثر استخدام الرقم "2 إلى السلطة-1". نحن نحلها مثل هذا:

أولاً نقوم بتحويل الرقم "2 إلى القوة -1" إلى النظام الثنائي. ومن ثم نطرح منه الفرق بين الرقم "2 أس 1" والرقم الذي يتم ترجمته.

على سبيل المثال، دعونا نحول 29 من النظام العشري. وهو أكبر من الرقم "2 أس 1" بمقدار 2. 29=31-2.

31 10 =11111 2 .

2 10 =10 2 .

29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2

إذا كان الفرق بين الرقم الذي تتم ترجمته والرقم "2 أس" أكثر من ثلاثة، فيمكنك تقسيم الرقم إلى مكوناته، وتحويل كل جزء إلى النظام الثنائي وإضافته.

على سبيل المثال، قم بتحويل الرقم 528 من النظام العشري. 528=512+16. نترجم 512 و 16 بشكل منفصل.
512=2 9 . 512 10 =1000000000 2 .
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
الآن دعونا نضيفه في عمود:

مرحبا، زائر الموقع! نواصل دراسة بروتوكول طبقة شبكة IP، وبشكل أكثر دقة، إصداره IPv4. للوهلة الأولى الموضوع الأرقام الثنائية ونظام الأرقام الثنائيةلا علاقة له ببروتوكول IP، لكن إذا تذكرنا أن أجهزة الكمبيوتر تعمل بالأصفار والواحدات، يتبين أن النظام الثنائي وفهمه هو أساس الأساسيات، فنحن بحاجة تعلم كيفية تحويل الأرقام من ثنائي إلى عشريوالعكس صحيح: عشري إلى ثنائي. سيساعدنا هذا على فهم بروتوكول IP بشكل أفضل، بالإضافة إلى مبدأ تشغيل أقنعة الشبكة ذات الطول المتغير. هيا بنا نبدأ!

إذا كان موضوع شبكات الكمبيوتر مثيرًا للاهتمام بالنسبة لك، فيمكنك قراءة تسجيلات الدورات الأخرى.

4.4.1 مقدمة

قبل أن نبدأ، من المفيد توضيح سبب حاجة مهندس الشبكات إلى هذا الموضوع. على الرغم من أنك قد تقتنع بضرورتها عندما تحدثنا، إلا أنه يمكنك القول أن هناك حاسبات IP تسهل إلى حد كبير مهمة تخصيص عناوين IP وحساب أقنعة الشبكة الفرعية/الشبكة الضرورية وتحديد رقم الشبكة ورقم المضيف في عنوان IP. هذا صحيح، ولكن حاسبة IP ليست في متناول اليد دائمًا، وهذا هو السبب الأول. السبب الثاني هو أنه في اختبارات Cisco لن يعطوك حاسبة IP وهذا كل شيء. سيتعين عليك تحويل عناوين IP من الرقم العشري إلى الثنائي على قطعة من الورق، وهناك أسئلة ليست قليلة جدًا حيث يكون ذلك مطلوبًا في الامتحان/امتحانات الحصول على شهادة CCNA، وسيكون من العار أن يفشل الامتحان بسبب مثل هذا التافه. وأخيرًا، يؤدي فهم نظام الأرقام الثنائية إلى فهم أفضل لمبدأ التشغيل.

بشكل عام، ليس مطلوبًا من مهندس الشبكات أن يكون قادرًا على تحويل الأرقام من الثنائي إلى العشري والعكس في رأسه. علاوة على ذلك، نادرا ما يعرف أي شخص كيفية القيام بذلك عقليا، ومدرسي الدورات المختلفة على شبكات الكمبيوتر يقعون بشكل رئيسي في هذه الفئة، لأنهم يواجهون هذا باستمرار كل يوم. ولكن بقطعة من الورق والقلم، يجب أن تتعلم كيفية الترجمة.

4.4.2 الأرقام والأرقام العشرية، الأرقام بالأرقام

لنبدأ ببساطة ونتحدث عن الأرقام والأرقام الثنائية، أنت تعلم أن الأرقام والأرقام شيئان مختلفان. الرقم هو رمز خاص للتسمية، والرقم هو تدوين مجرد للكمية. على سبيل المثال، لتدوين أن لدينا خمسة أصابع في يدنا، يمكننا استخدام الأرقام الرومانية والعربية: V و5. في هذه الحالة، الخمسة عبارة عن رقم ورقم في نفس الوقت. وعلى سبيل المثال، لكتابة الرقم 20 نستخدم رقمين: 2 و0.

في المجمل، في نظام الأرقام العشري لدينا عشرة أرقام أو عشرة رموز (0،1،2،3،4،5،6،7،8،9)، من خلال الجمع بينها يمكننا كتابة أرقام مختلفة. ما المبدأ الذي نسترشد به عند استخدام نظام الأرقام العشرية؟ نعم، كل شيء بسيط للغاية، نرفع العشرة إلى قوة أو أخرى، على سبيل المثال، لنأخذ الرقم 321. كيف يمكن كتابته بشكل مختلف، مثل هذا: 3*10 2 +2*10 1 +1*10 0 . وبذلك يتبين أن الرقم 321 يمثل ثلاثة أرقام:

1. الرقم 3 يعني المكان الأكثر أهمية أو في هذه الحالة هو خانة المئات، وإلا عددهم.
2. الرقم 2 موجود في خانة العشرات، لدينا عشرتان.
3. يشير الرقم واحد إلى الرقم الأقل أهمية.

وهذا يعني أن اثنين في هذا المدخل ليس مجرد اثنين، بل عشرين أو اثنين في عشرة. وثلاثة ليست مجرد ثلاثة، بل ثلاثة في مائة. يتم الحصول على الاعتماد التالي: وحدة كل رقم تالي أكبر بعشر مرات من وحدة الرقم السابق، لأن ما هو 300 هو ثلاث مرات مائة. كان الاستطراد فيما يتعلق بنظام الأرقام العشرية ضروريًا لتسهيل فهم النظام الثنائي.

4.4.3 الأرقام والأرقام الثنائية وتسجيلها

لا يوجد سوى رقمين في نظام الأرقام الثنائية: 0 و 1. ولذلك، فإن كتابة رقم في النظام الثنائي غالبًا ما تكون أكبر بكثير من كتابتها في النظام العشري. باستثناء الرقمين 0 و1، فإن الصفر في نظام الأرقام الثنائية يساوي الصفر في نظام الأرقام العشري، وينطبق الشيء نفسه على الواحد. في بعض الأحيان، من أجل عدم الخلط بين نظام الأرقام الذي تم كتابة الرقم فيه، يتم استخدام المؤشرات الفرعية: 267 10، 10100 12، 4712 8. يشير الرقم الموجود في الفهرس الفرعي إلى نظام الأرقام.

يمكن استخدام الرمزين 0b و&(علامة الضم) لكتابة الأرقام الثنائية: 0b10111، &111. إذا كنا في نظام الأرقام العشرية، لنطق الرقم 245، نستخدم هذا البناء: مائتان وخمسة وأربعون، ثم في نظام الأرقام الثنائية، لتسمية الرقم، نحتاج إلى نطق رقم من كل رقم، على سبيل المثال، لا ينبغي نطق الرقم 1100 في نظام الأرقام الثنائية على أنه ألف ومائة، ولكن مثل واحد، واحد، صفر، صفر. دعونا نلقي نظرة على كتابة الأرقام من 0 إلى 10 في نظام الأرقام الثنائية:

أعتقد أن المنطق يجب أن يكون واضحًا الآن. إذا كان لدينا عشرة خيارات متاحة في نظام الأرقام العشري لكل رقم (من 0 إلى 9 ضمنًا)، ففي نظام الأرقام الثنائية في كل رقم من أرقام الرقم الثنائي لدينا خياران فقط: 0 أو 1.

للعمل مع عناوين IP وأقنعة الشبكة الفرعية، نحتاج فقط الأعداد الطبيعيةفي نظام الأرقام الثنائية، على الرغم من أن النظام الثنائي يسمح لك بكتابة كسور و أرقام سلبية، لكننا لسنا في حاجة إليها.

4.4.4 تحويل الأرقام من النظام العشري إلى الثنائي

دعونا نلقي نظرة أفضل على هذا كيفية تحويل رقم من عشري إلى ثنائي. وهنا كل شيء في الواقع بسيط للغاية، على الرغم من صعوبة شرحه بالكلمات، لذلك سأقدمه على الفور مثال على تحويل الأرقام من العشري إلى الثنائي. لنأخذ الرقم 61، للتحويل إلى النظام الثنائي، نحتاج إلى قسمة هذا الرقم على اثنين ونرى ما هو باقي القسمة. ويتم تقسيم نتيجة القسمة مرة أخرى على اثنين. في هذه الحالة، 61 هو المقسوم، سيكون لدينا دائمًا اثنان كمقسوم عليه، ونقسم الناتج (نتيجة القسمة) على اثنين مرة أخرى، ونواصل القسمة حتى يحتوي الناتج على 1، وستكون هذه الوحدة الأخيرة هي الرقم الموجود في أقصى اليسار. الصورة أدناه توضح ذلك.

مع العلم أن الرقم 61 ليس 101111 بل 111101 أي أننا نكتب النتيجة من النهاية. في الحالة الأخيرة، ليس هناك أي معنى لتقسيم واحد على اثنين، لأنه في هذه الحالة يتم استخدام تقسيم الأعداد الصحيحة، وبهذا النهج يظهر كما في الشكل 4.4.2.

هذا ليس الأكثر طريقة سريعةتحويل رقم من ثنائي إلى عشري. لدينا العديد من المسرعات. على سبيل المثال، يتم كتابة الرقم 7 في النظام الثنائي كـ 111، والرقم 3 كـ 11، والرقم 255 كـ 11111111. كل هذه الحالات بسيطة بشكل لا يصدق. والحقيقة هي أن الأعداد 8 و4 و256 هي من قوى العدد اثنين، والأعداد 7 و3 و255 أقل من هذه الأعداد بواحد. لذلك، بالنسبة للأرقام التي هي أقل من رقم يساوي قوة اثنين، تنطبق قاعدة بسيطة: في النظام الثنائي، يتم كتابة هذا الرقم العشري كعدد من الوحدات يساوي قوة اثنين. على سبيل المثال، الرقم 256 هو اثنان أس ثمانية، وبالتالي، يتم كتابة 255 بالشكل 11111111، والرقم 8 هو اثنان أس ثلاثة، وهذا يخبرنا أن 7 في نظام الأرقام الثنائية سيتم كتابته بالشكل 111 حسنًا، افهم أن كيفية كتابة 256 و4 و8 في نظام الأرقام الثنائية ليست صعبة أيضًا، فقط أضف واحدًا: 256 = 11111111 + 1 = 100000000؛ 8 = 111 + 1 = 1000؛ 4 = 11 + 1 = 100.
يمكنك التحقق من أي من نتائجك على الآلة الحاسبة ومن الأفضل القيام بذلك في البداية.

كما ترون، لم ننس بعد كيفية القسمة. والآن يمكننا المضي قدمًا.

4.4.5 تحويل الأرقام من الثنائي إلى العشري

يعد تحويل الأرقام من النظام الثنائي أسهل بكثير من التحويل من النظام العشري إلى النظام الثنائي. كمثال على الترجمة، سنستخدم الرقم 11110. انتبه إلى الجدول أدناه، فهو يوضح القوة التي تحتاج إلى رفع اثنين إليها حتى تحصل في النهاية على رقم عشري.

للحصول على رقم عشري من هذا الرقم الثنائي، تحتاج إلى ضرب كل رقم في الرقم في اثنين أس، ثم إضافة نتائج الضرب، فمن الأسهل إظهارها:

1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 16+8+4+2+0=30

دعونا نفتح الآلة الحاسبة ونتأكد من أن الرقم 30 في نظام الأرقام العشري هو 11110 في النظام الثنائي.

نرى أن كل شيء تم بشكل صحيح. ومن المثال يتضح ذلك يعد تحويل رقم من ثنائي إلى عشري أسهل بكثير من تحويله مرة أخرى. للعمل بثقة، كل ما عليك فعله هو أن تتذكر قوى العدد اثنين حتى الرقم 2 8. من أجل الوضوح، سأقدم جدولا.

لا نحتاج إلى المزيد، نظرًا لأن الحد الأقصى لعدد ممكن يمكن كتابته في بايت واحد (8 بت أو ثماني قيم ثنائية) هو 255، أي في كل ثماني بتات من عنوان IP أو قناع الشبكة الفرعية IPv4، فإن الحد الأقصى للقيمة الممكنة هو 255. هناك حقول يوجد فيها قيم أكبر من 255 ولكن لا نحتاج لحسابها.

4.4.6 الجمع والطرح وضرب الأعداد الثنائية والعمليات الأخرى ذات الأعداد الثنائية

دعونا ننظر الآن العمليات التي يمكن إجراؤها على الأعداد الثنائية. لنبدأ بعمليات حسابية بسيطة ثم ننتقل إلى عمليات الجبر البوليني.

إضافة أرقام ثنائية

إن إضافة الأرقام الثنائية ليس بالأمر الصعب: 1+0 =1; 1+1=0 (سأشرح ذلك لاحقًا)؛ 0+0=0. هذه كانت أمثلة بسيطةحيث تم استخدام رقم واحد فقط، فلنلقِ نظرة على الأمثلة التي يكون فيها عدد الأرقام أكثر من رقم واحد.
101+1101 في النظام العشري هو 5 + 13 = 18. لنعد في عمود.

يتم تسليط الضوء على النتيجة البرتقالي، الآلة الحاسبة تقول أننا قمنا بالحساب بشكل صحيح، يمكنك التحقق من ذلك. الآن دعونا نرى لماذا حدث هذا، لأنني في البداية كتبت أن 1+1=0، ولكن هذا في الحالة عندما يكون لدينا رقم واحد فقط، في الحالات التي يكون فيها أكثر من رقم واحد، 1+1=10 (أو رقمين) بالنظام العشري)، وهو أمر منطقي.

ثم انظر ماذا يحدث، نقوم بإجراء عمليات الجمع بالأرقام من اليمين إلى اليسار:

1. 1+1=10، اكتب صفرًا، وينتقل الرقم إلى الرقم التالي.

2. في الرقم التالي نحصل على 0+0+1=1 (جاءت هذه الوحدة إلينا من نتيجة الجمع في الخطوة 1).

4. لدينا هنا وحدة في الرقم الثاني فقط، ولكن تم نقلها هنا أيضًا، لذا 0+1+1 = 10.

5. ألصق كل شيء معًا: 10|0|1|0.

إذا كنت كسولًا في عمود، فلنعد هكذا: 101011+11011 أو 43 + 27 = 70. ماذا يمكننا أن نفعل هنا، لكن دعونا ننظر، لأنه لا أحد يمنعنا من إجراء التحولات، وتغيير أماكن العمود. المصطلحات لا تغير المجموع، بالنسبة لنظام الأرقام الثنائية، هذه القاعدة ذات صلة أيضًا.

1. 101011 = 101000 + 11 = 101000 + 10 + 1 = 100000 + 1000 + 10 + 1.
2. 11011 = 11000 + 10 + 1 = 10000 + 1000 + 10 + 1.
3. 100000 + 10000 + (1000 +1000) + (10+10) + (1+1).
4. 100000 + (10000 + 10000) + 100 + 10.
5. 100000 + 100000 +110
6. 1000000 + 110.
7. 1000110.

يمكنك التحقق باستخدام الآلة الحاسبة، 1000110 بالنظام الثنائي يساوي 70 بالنظام العشري.

طرح الأعداد الثنائية

مثال فوري لطرح الأعداد المكونة من رقم واحد في نظام الأرقام الثنائية، لم نتحدث عن الأرقام السالبة، لذلك لا نأخذ 0-1 بعين الاعتبار: 1 - 0 = 1؛ 0 - 0 = 0؛ 1 – 1 = 0. إذا كان هناك أكثر من رقم واحد، فكل شيء بسيط أيضًا، ولن تحتاج حتى إلى أي أعمدة أو حيل: 110111 – 1000، هذا هو نفس 55 – 8. ونتيجة لذلك، نحصل على 101111. وتوقف القلب عن النبض، من أين تأتي الوحدة في الرقم الثالث (الترقيم من اليسار إلى اليمين والبدء من الصفر)؟ انه سهل! في الخانة الثانية من الرقم 110111 يوجد 0، وفي الخانة الأولى يوجد 1 (إذا افترضنا أن ترقيم الأرقام يبدأ من 0 وينتقل من اليسار إلى اليمين)، ولكن يتم الحصول على وحدة الخانة الرابعة عن طريق بإضافة وحدتين من الرقم الثالث (تحصل على نوع من اثنين افتراضيين) ومن هذا بالنسبة للثنائيات نطرح واحدة وهي في الرقم صفر من الرقم 1000، و2 - 1 = 1، و1 هو رقم صالح في نظام الأرقام الثنائية.

ضرب الأعداد الثنائية

يبقى لنا أن ننظر في ضرب الأرقام الثنائية، والذي يتم تنفيذه عن طريق تحويل بت واحد إلى اليسار. لكن أولاً، دعونا ننظر إلى نتائج الضرب برقم واحد: 1*1 = 1؛ 1*0=0 0*0=0. في الواقع، كل شيء بسيط، والآن دعونا ننظر إلى شيء أكثر تعقيدًا. لنأخذ الأرقام 101001 (41) و1100 (12). سوف نضرب بالعمود.

إذا لم يكن من الواضح من الجدول كيف حدث ذلك، فسأحاول أن أشرح بالكلمات:

1. من الملائم ضرب الأرقام الثنائية في عمود، لذلك نكتب العامل الثاني أسفل العامل الأول، إذا كانت الأرقام تحتوي على أعداد مختلفة من الأرقام، فسيكون الأمر أكثر ملاءمة إذا عدد أكبرسيكون على القمة.
2. الخطوة التالية هي ضرب جميع أرقام الرقم الأول في الرقم الأدنى من الرقم الثاني. نكتب نتيجة الضرب أدناه، نحتاج إلى كتابتها بحيث يتم كتابة نتيجة الضرب تحت كل رقم مناظر.
3. نحن الآن بحاجة إلى ضرب جميع أرقام الرقم الأول في الرقم التالي من الرقم الثاني وكتابة النتيجة سطرًا آخر أدناه، ولكن هذه النتيجة تحتاج إلى إزاحة رقم واحد إلى اليسار؛ إذا نظرت إلى الجدول، هذا هو التسلسل الثاني من الأصفار من الأعلى.
4. يجب أن يتم الأمر نفسه بالنسبة للأرقام اللاحقة، مع تحريك رقم واحد إلى اليسار في كل مرة، وإذا نظرت إلى الجدول، يمكنك قول تلك الخلية الواحدة إلى اليسار.
5. لقد حصلنا على أربعة أرقام ثنائيةوالتي تحتاج الآن إلى إضافتها والحصول على النتيجة. لقد نظرنا مؤخرًا إلى الإضافة، ولا ينبغي أن تكون هناك أي مشاكل.

بشكل عام، عملية الضرب ليست بهذه الصعوبة، كل ما تحتاجه هو القليل من التدريب.

عمليات الجبر البوليني

هناك مفهومان مهمان للغاية في الجبر البوليني: الصواب والخطأ، ويعادلهما صفر وواحد في نظام الأرقام الثنائية. عوامل الجبر البوليانية توسع عدد العوامل المتاحة على هذه القيم، دعونا نلقي نظرة عليها.

عملية AND أو AND المنطقية

العملية المنطقية AND أو AND تعادل ضرب الأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد.

1 و 1 = 1؛ 1 و 0 = 1؛ 0 و 0 = 0؛ 0 و 1 = 0.

1 و 1 = 1 ; 1 و 0 = 1 ; 0 و 0 = 0 ; 0 و 1 = 0.

ستكون نتيجة "المنطقية AND" واحدة فقط إذا كانت القيمتان متساويتان لواحد، وفي جميع الحالات الأخرى ستكون صفرًا.

العملية "منطقية OR" أو OR

تعمل العملية "Logical OR" أو OR على المبدأ التالي: إذا كانت قيمة واحدة على الأقل تساوي واحدًا، فستكون النتيجة واحدة.

1 أو 1 = 1؛ 1 أو 0 = 1؛ 0 أو 1 = 1؛ 0 أو 0 = 0.

1 أو 1 = 1 ; 1 أو 0 = 1 ; 0 أو 1 = 1 ; 0 أو 0 = 0.

عملية حصرية OR أو XOR

ستعطينا العملية "حصريًا OR" أو XOR نتيجة واحدة فقط إذا كان أحد المعاملين يساوي واحدًا والثاني يساوي صفرًا. إذا كان كلا المعاملين يساوي صفرًا، فستكون النتيجة صفرًا، وحتى إذا كان كلا المعاملين يساوي واحدًا، فستكون النتيجة صفرًا.