في هذا الفيديو سنقوم بتحليل المجموعة بأكملها المعادلات الخطية، والتي يتم حلها باستخدام نفس الخوارزمية - ولهذا السبب يطلق عليها الأبسط.

أولاً، دعونا نحدد: ما هي المعادلة الخطية وأي منها تسمى الأبسط؟

المعادلة الخطية هي تلك التي يوجد فيها متغير واحد فقط، وحتى الدرجة الأولى فقط.

أبسط معادلة تعني البناء:

يتم تقليل جميع المعادلات الخطية الأخرى إلى أبسطها باستخدام الخوارزمية:

1. قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت؛
2. نقل الحدود التي تحتوي على متغير إلى أحد جانبي علامة التساوي، والمصطلحات التي لا تحتوي على متغير إلى الجانب الآخر؛
3. أعط مصطلحات مشابهة لليسار واليمين لعلامة المساواة؛
4. اقسم المعادلة الناتجة على معامل المتغير $x$.

وبطبيعة الحال، هذه الخوارزمية لا تساعد دائما. والحقيقة هي أنه في بعض الأحيان بعد كل هذه المكائد يكون معامل المتغير $x$ مساويًا للصفر. في هذه الحالة، هناك خياران ممكنان:

1. المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق. على سبيل المثال، عندما يظهر شيء مثل $0\cdot x=8$، أي. على اليسار صفر، وعلى اليمين رقم غير الصفر. في الفيديو أدناه سنلقي نظرة على عدة أسباب وراء حدوث هذا الموقف.
2. الحل هو كل الارقام الحالة الوحيدة التي يكون فيها ذلك ممكنًا هي عندما يتم اختزال المعادلة إلى البناء $0\cdot x=0$. من المنطقي تمامًا أنه بغض النظر عن $x$ الذي نستبدله، فسيظل "الصفر يساوي صفرًا"، أي. المساواة العددية الصحيحة

الآن دعونا نرى كيف يعمل كل هذا باستخدام أمثلة من الحياة الواقعية.

أمثلة على حل المعادلات

اليوم نحن نتعامل مع المعادلات الخطية، وأبسطها فقط. بشكل عام، المعادلة الخطية تعني أي مساواة تحتوي على متغير واحد بالضبط، ولا تصل إلا إلى الدرجة الأولى.

يتم حل هذه الإنشاءات بنفس الطريقة تقريبًا:

1. أولًا، تحتاج إلى فك الأقواس، إن وجدت (كما في مثالنا الأخير)؛
2. ثم الجمع بين مماثلة
3. وأخيرا، عزل المتغير، أي. انقل كل ما يتعلق بالمتغير – أي المصطلحات التي يحتوي عليها – إلى جهة، وانقل كل ما بقي دونه إلى الجهة الأخرى.

ثم، كقاعدة عامة، تحتاج إلى إحضار مماثلة على كل جانب من المساواة الناتجة، وبعد ذلك يبقى فقط القسمة على معامل "x"، وسنحصل على الإجابة النهائية.

من الناحية النظرية، يبدو هذا لطيفًا وبسيطًا، ولكن من الناحية العملية، حتى طلاب المدارس الثانوية ذوي الخبرة يمكن أن يرتكبوا أخطاء هجومية في معادلات خطية بسيطة إلى حد ما. عادة، يتم ارتكاب الأخطاء إما عند فتح الأقواس أو عند حساب "الإيجابيات" و"السلبيات".

بالإضافة إلى ذلك، قد يحدث أن المعادلة الخطية ليس لها حلول على الإطلاق، أو أن الحل هو خط الأعداد بأكمله، أي. أي رقم. سننظر في هذه التفاصيل الدقيقة في درس اليوم. لكننا سنبدأ، كما فهمت بالفعل، مع جدا مهام بسيطة.

مخطط لحل المعادلات الخطية البسيطة

أولاً، اسمحوا لي مرة أخرى أن أكتب المخطط بأكمله لحل أبسط المعادلات الخطية:

1. قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت.
2. نحن نعزل المتغيرات، أي. نقوم بنقل كل ما يحتوي على "X" إلى جانب واحد، وكل شيء بدون "X" إلى الجانب الآخر.
3. نقدم مصطلحات مماثلة.
4. نقسم كل شيء على معامل "x".

بالطبع، هذا المخطط لا يعمل دائما، هناك بعض التفاصيل الدقيقة والحيل فيه، والآن سوف نتعرف عليها.

حل أمثلة حقيقية للمعادلات الخطية البسيطة

المهمة رقم 1

الخطوة الأولى تتطلب منا فتح الأقواس. لكنهم ليسوا في هذا المثال، لذلك نتخطى هذه الخطوة. في الخطوة الثانية نحتاج إلى عزل المتغيرات. ملحوظة: نحن نتحدث عنفقط حول المصطلحات الفردية. دعنا نكتبها:

نقدم مصطلحات مماثلة على اليسار واليمين، ولكن تم القيام بذلك بالفعل هنا. لذلك ننتقل إلى الخطوة الرابعة: القسمة على المعامل:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

لذلك حصلنا على الجواب.

المهمة رقم 2

يمكننا أن نرى الأقواس في هذه المسألة، لذلك دعونا نوسعها:

نرى على اليسار وعلى اليمين نفس التصميم تقريبًا، ولكن دعونا نتصرف وفقًا للخوارزمية، أي. فصل المتغيرات:

وهنا بعض منها مماثلة:

في أي جذور يعمل هذا؟ الجواب: لأي. لذلك، يمكننا أن نكتب أن $x$ هو أي رقم.

المهمة رقم 3

المعادلة الخطية الثالثة هي الأكثر إثارة للاهتمام:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

هناك عدة أقواس هنا، لكنها غير مضروبة بأي شيء، فهي ببساطة مسبوقة بعلامات مختلفة. دعونا نقسمها:

نقوم بالخطوة الثانية المعروفة لنا بالفعل:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

دعونا نفعل الرياضيات:

نحن ننفذ اخر خطوة- قسمة كل شيء على معامل "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

أشياء يجب تذكرها عند حل المعادلات الخطية

إذا تجاهلنا المهام البسيطة جدًا، أود أن أقول ما يلي:

• كما قلت أعلاه، ليس كل معادلة خطية لها حل - في بعض الأحيان ببساطة لا توجد جذور؛
• وحتى لو كانت هناك جذور، فقد يكون بينها صفر، فلا حرج في ذلك.

الصفر هو نفس الرقم الموجود في الأرقام الأخرى، ويجب ألا تميز ضده بأي شكل من الأشكال أو تفترض أنك إذا حصلت على الصفر، فهذا يعني أنك ارتكبت خطأً ما.

ميزة أخرى تتعلق بفتح الأقواس. يرجى ملاحظة: عندما يكون هناك "ناقص" أمامهم، نقوم بإزالته، ولكن بين قوسين نقوم بتغيير العلامات إلى عكس. وبعد ذلك يمكننا فتحه باستخدام الخوارزميات القياسية: سنحصل على ما رأيناه في الحسابات أعلاه.

إن فهم هذه الحقيقة البسيطة سيساعدك على تجنب ارتكاب أخطاء غبية ومؤذية في المدرسة الثانوية، عندما يكون القيام بهذه الأشياء أمرا مفروغا منه.

حل المعادلات الخطية المعقدة

دعنا ننتقل إلى المزيد معادلات معقدة. الآن سوف تصبح الإنشاءات أكثر تعقيدًا وعند إجراء تحويلات مختلفة ستظهر دالة تربيعية. ومع ذلك، لا ينبغي لنا أن نخاف من ذلك، لأنه إذا كنا، وفقا لخطة المؤلف، نحل معادلة خطية، فمن المؤكد أنه أثناء عملية التحويل، سيتم إلغاء جميع أحاديات الحد التي تحتوي على دالة تربيعية.

المثال رقم 1

من الواضح أن الخطوة الأولى هي فتح الأقواس. دعونا نفعل ذلك بعناية فائقة:

والآن دعونا نلقي نظرة على الخصوصية:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

وهنا بعض منها مماثلة:

ومن الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول، لذلك سنكتب هذا في الإجابة:

\[\varnothing\]

أو لا توجد جذور.

المثال رقم 2

نحن نقوم بنفس الإجراءات. الخطوة الأولى:

دعنا ننقل كل شيء بمتغير إلى اليسار، وبدونه - إلى اليمين:

وهنا بعض منها مماثلة:

من الواضح أن هذه المعادلة الخطية ليس لها حل، لذا سنكتبها بهذه الطريقة:

\[\فارنوثينغ\]،

أو لا توجد جذور.

الفروق الدقيقة في الحل

تم حل كلتا المعادلتين بالكامل. باستخدام هذين التعبيرين كمثال، كنا مقتنعين مرة أخرى أنه حتى في أبسط المعادلات الخطية، قد لا يكون كل شيء بهذه البساطة: يمكن أن يكون هناك جذور واحدة، أو لا شيء، أو عدد لا نهائي من الجذور. في حالتنا، تناولنا معادلتين، ليس لكل منهما جذور.

لكني أود أن ألفت انتباهكم إلى حقيقة أخرى: كيفية العمل مع الأقواس وكيفية فتحها إذا كانت هناك علامة ناقص أمامها. خذ بعين الاعتبار هذا التعبير:

قبل الفتح، تحتاج إلى مضاعفة كل شيء بـ "X". يرجى ملاحظة: يتضاعف كل مصطلح على حدة. يوجد في الداخل فترتان - على التوالي، فترتان ومضروبة.

وفقط بعد الانتهاء من هذه التحولات التي تبدو بدائية ولكنها مهمة وخطيرة للغاية، يمكنك فتح القوس من وجهة نظر حقيقة وجود علامة ناقص بعدها. نعم، نعم: الآن فقط، عند اكتمال التحولات، نتذكر أن هناك علامة ناقص أمام الأقواس، مما يعني أن كل شيء أدناه يغير العلامات ببساطة. وفي الوقت نفسه، تختفي الأقواس نفسها، والأهم من ذلك، أن "الطرح" الأمامي يختفي أيضًا.

ونفعل نفس الشيء مع المعادلة الثانية:

ليس من قبيل المصادفة أن أنتبه إلى هذه الحقائق الصغيرة التي تبدو غير ذات أهمية. لأن حل المعادلات هو دائما سلسلة من التحولات الأولية، حيث عدم القدرة على الأداء بوضوح وكفاءة خطوات بسيطةيؤدي إلى حقيقة أن طلاب المدارس الثانوية يأتون إلي ويتعلمون مرة أخرى حل مثل هذه المعادلات البسيطة.

وبطبيعة الحال، سيأتي اليوم الذي ستصقل فيه هذه المهارات إلى درجة التلقائية. لن تضطر بعد الآن إلى إجراء العديد من التحويلات في كل مرة، بل ستكتب كل شيء في سطر واحد. ولكن بينما تتعلم فقط، تحتاج إلى كتابة كل إجراء على حدة.

حل المعادلات الخطية الأكثر تعقيدًا

ما سنقوم بحله الآن من الصعب أن يسمى أبسط مهمة، ولكن المعنى يبقى كما هو.

المهمة رقم 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

دعونا نضرب جميع العناصر في الجزء الأول:

دعونا نفعل بعض الخصوصية:

وهنا بعض منها مماثلة:

فلنكمل الخطوة الأخيرة:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

هنا هو جوابنا النهائي. وعلى الرغم من أنه أثناء عملية الحل كانت لدينا معاملات ذات دالة تربيعية، إلا أنها ألغت بعضها البعض، مما يجعل المعادلة خطية وليست تربيعية.

المهمة رقم 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

لننفذ الخطوة الأولى بعناية: اضرب كل عنصر من القوس الأول بكل عنصر من القوس الثاني. يجب أن يكون هناك إجمالي أربعة مصطلحات جديدة بعد التحويلات:

الآن دعونا نجري عملية الضرب بعناية في كل حد:

لننقل المصطلحات التي تحتوي على "X" إلى اليسار، وتلك التي لا تحتوي على - إلى اليمين:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

وهنا مصطلحات مماثلة:

ومرة أخرى تلقينا الجواب النهائي.

الفروق الدقيقة في الحل

وأهم ملاحظة حول هاتين المعادلتين هي ما يلي: بمجرد أن نبدأ بضرب الأقواس التي تحتوي على أكثر من حد يتم ذلك وفق القاعدة التالية: نأخذ الحد الأول من الأول ونضرب بكل عنصر من الثاني؛ ثم نأخذ العنصر الثاني من الأول ونضربه كذلك في كل عنصر من العنصر الثاني. ونتيجة لذلك، سيكون لدينا أربعة حدود.

حول المجموع الجبري

بهذا المثال الأخير، أود أن أذكر الطلاب بماذا مجموع جبري. في الرياضيات الكلاسيكية، نعني بـ 1-7 دولارات بناءًا بسيطًا: طرح سبعة من واحد. ونقصد في الجبر ما يلي: إلى العدد "واحد" نضيف رقما آخر وهو "ناقص سبعة". هذه هي الطريقة التي يختلف بها المجموع الجبري عن المجموع الحسابي العادي.

بمجرد إجراء جميع التحويلات، كل إضافة وضرب، تبدأ في رؤية إنشاءات مماثلة لتلك الموصوفة أعلاه، فلن تواجه أي مشاكل في الجبر عند العمل مع كثيرات الحدود والمعادلات.

أخيرًا، دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة أخرى ستكون أكثر تعقيدًا من تلك التي نظرنا إليها للتو، ولحلها، سيتعين علينا توسيع الخوارزمية القياسية لدينا قليلاً.

حل المعادلات بالكسور

لحل مثل هذه المهام، سيتعين علينا إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية الخاصة بنا. لكن أولاً، دعني أذكرك بالخوارزمية التي لدينا:

1. افتح الأقواس.
2. متغيرات منفصلة.
3. جلب مماثلة.
4. القسمة على النسبة.

للأسف، هذه الخوارزمية الرائعة، على الرغم من فعاليتها، ليست مناسبة تمامًا عندما تكون أمامنا كسور. وفيما سنراه أدناه، لدينا كسر على كل من اليسار واليمين في كلتا المعادلتين.

كيفية العمل في هذه الحالة؟ نعم، الأمر بسيط جدًا! للقيام بذلك، تحتاج إلى إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية، والتي يمكن القيام بها قبل الإجراء الأول وبعده، أي التخلص من الكسور. لذلك ستكون الخوارزمية كما يلي:

1. تخلص من الكسور.
2. افتح الأقواس.
3. متغيرات منفصلة.
4. جلب مماثلة.
5. القسمة على النسبة.

ماذا يعني "التخلص من الكسور"؟ ولماذا يمكن القيام بذلك بعد الخطوة القياسية الأولى وقبلها؟ في الواقع، في حالتنا، جميع الكسور عددية في مقامها، أي. في كل مكان القاسم هو مجرد رقم. ولذلك، إذا ضربنا طرفي المعادلة في هذا العدد، فسنتخلص من الكسور.

المثال رقم 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

دعونا نتخلص من الكسور في هذه المعادلة:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

يرجى ملاحظة: كل شيء مضروب في "أربعة" مرة واحدة، أي. فقط لأن لديك قوسين لا يعني أن عليك ضرب كل منهما بـ "أربعة". دعنا نكتب:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

الآن دعونا نتوسع:

نعزل المتغير:

نقوم بإجراء تخفيض المصطلحات المماثلة:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

لقد حصلنا على الحل النهائي، فلننتقل إلى المعادلة الثانية.

المثال رقم 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

هنا نقوم بتنفيذ جميع الإجراءات نفسها:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

حلت المشكلة.

وهذا، في الواقع، هو كل ما أردت أن أخبرك به اليوم.

النقاط الرئيسية

النتائج الرئيسية هي:

• معرفة خوارزمية حل المعادلات الخطية.
• القدرة على فتح الأقواس.
• لا تقلق إذا كانت لديك دوال تربيعية في مكان ما، فمن المرجح أن يتم تقليلها أثناء عملية التحويلات الإضافية.
• هناك ثلاثة أنواع من الجذور في المعادلات الخطية، حتى أبسطها: جذر واحد، وخط الأعداد بأكمله هو جذر، ولا توجد جذور على الإطلاق.

آمل أن يساعدك هذا الدرس في إتقان موضوع بسيط ولكنه مهم جدًا لمزيد من الفهم لجميع الرياضيات. إذا كان هناك شيء غير واضح، فانتقل إلى الموقع وحل الأمثلة المعروضة هناك. لا تنزعج، العديد من الأشياء الأكثر إثارة للاهتمام في انتظاركم!

هذا الجزء من المعادلة هو التعبير الموجود بين قوسين. لفتح القوسين، انظر إلى العلامة الموجودة أمام القوسين. إذا كانت هناك علامة زائد، فإن فتح الأقواس في التعبير لن يغير شيئًا: فقط قم بإزالة الأقواس. إذا كانت هناك علامة ناقص، عند فتح الأقواس، يجب عليك تغيير جميع العلامات التي كانت في الأصل بين القوسين إلى العلامات المقابلة لها. على سبيل المثال، -(2س-3)=-2س+3.

ضرب قوسين.
إذا كانت المعادلة تحتوي على حاصل ضرب قوسين، قم بفك القوسين وفقًا للقاعدة القياسية. يتم ضرب كل حد في القوس الأول بكل حد في القوس الثاني. يتم تلخيص الأرقام الناتجة. في هذه الحالة، فإن حاصل ضرب اثنين من "الزائد" أو اثنين من "الناقصات" يعطي المصطلح علامة "زائد"، وإذا كانت العوامل لها إشارات مختلفة، فإنه يتلقى علامة "ناقص".
دعونا نفكر.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

من خلال فتح الأقواس، ورفع التعبير أحيانًا إلى . يجب حفظ صيغ التربيع والمكعب عن ظهر قلب وتذكرها.
(أ+ب)^2=أ^2+2أ+ب^2
(أ-ب)^2=أ^2-2ab+ب^2
(أ+ب)^3=أ^3+3أ^2*ب+3آب^2+ب^3
(أ-ب)^3=أ^3-3أ^2*ب+3ب^2-ب^3
يمكن عمل صيغ بناء تعبير أكبر من ثلاثة باستخدام مثلث باسكال.

مصادر:

• صيغة توسيع الأقواس

محاطة بين قوسين عمليات رياضيةيمكن أن تحتوي على متغيرات وتعبيرات درجات متفاوتهالصعوبات. لمضاعفة هذه التعبيرات، سيتعين عليك البحث عن حل فيها منظر عام، فتح الأقواس وتبسيط النتيجة. إذا كانت الأقواس تحتوي على عمليات بدون متغيرات، فقط مع القيم العددية، فليس من الضروري فتح الأقواس، لأنه إذا كان لديك جهاز كمبيوتر، فإن مستخدمه لديه حق الوصول إلى موارد حاسوبية مهمة جدًا - فمن الأسهل استخدامها بدلاً من تبسيط التعبير.

تعليمات

اضرب كل (أو Minuend مع ) الموجود في قوس واحد بالتسلسل في محتويات جميع الأقواس الأخرى إذا كنت تريد الحصول على النتيجة في شكل عام. على سبيل المثال، لنكتب التعبير الأصلي كما يلي: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). ثم الضرب المتسلسل (أي فتح الأقواس) سيعطي النتيجة التالية: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - س ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

تبسيط النتيجة عن طريق تقصير التعبيرات. على سبيل المثال، يمكن تبسيط التعبير الذي تم الحصول عليه في الخطوة السابقة على النحو التالي: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

استخدم الآلة الحاسبة إذا كنت بحاجة إلى ضرب x في 4.75، أي (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2). لحساب هذه القيمة، انتقل إلى موقع محرك البحث Google أو Nigma وأدخل التعبير في حقل الاستعلام بصيغته الأصلية (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). سيعرض جوجل 82.265625 على الفور، دون النقر على زر، ولكن يحتاج Nigma إلى إرسال البيانات إلى الخادم بنقرة زر واحدة.

سننتقل الآن إلى فتح الأقواس في التعبيرات التي يتم فيها ضرب التعبير الموجود بين قوسين برقم أو تعبير. دعونا نضع قاعدة لفتح الأقواس المسبوقة بعلامة الطرح: يتم حذف الأقواس مع علامة الطرح، ويتم استبدال علامات جميع الحدود الموجودة بين القوسين بالعلامات المقابلة لها.

أحد أنواع تحويل التعبير هو فك الأقواس. رقمي، التعبيرات الحرفيةويمكن تكوين التعبيرات ذات المتغيرات باستخدام الأقواس، والتي يمكن أن تشير إلى الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات، وتحتوي على رقم سالب، وما إلى ذلك. لنفترض أنه في التعبيرات الموضحة أعلاه، بدلا من الأرقام والمتغيرات، يمكن أن يكون هناك أي تعبيرات.

ودعونا ننتبه إلى نقطة أخرى تتعلق بخصائص كتابة الحل عند فتح الأقواس. لقد تناولنا في الفقرة السابقة ما يسمى بفتح الأقواس. وللقيام بذلك، هناك قواعد لفتح الأقواس، والتي سنراجعها الآن. تملي هذه القاعدة حقيقة أن الأعداد الموجبة تُكتب عادةً بدون أقواس، وفي هذه الحالة، الأقواس غير ضرورية. يمكن كتابة التعبير (−3.7)−(−2)+4+(−9) بدون قوسين بالشكل −3.7+2+4−9.

أخيرًا، الجزء الثالث من القاعدة يرجع ببساطة إلى خصوصيات التسجيل أرقام سلبيةعلى يسار التعبير (الذي ذكرناه في قسم الأقواس لكتابة الأعداد السالبة). قد تواجه تعبيرات مكونة من أرقام وعلامات ناقص وعدة أزواج من الأقواس. إذا قمت بفتح الأقواس، وانتقلت من الداخلي إلى الخارجي، فسيكون الحل كما يلي: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5) )=−( 5)=−5.

كيفية فتح الأقواس؟

إليك تفسير: −(−2 x) هو +2 x، وبما أن هذا التعبير يأتي أولاً، يمكن كتابة +2 x بالشكل 2 x، −(x2)=−x2، +(−1/ x)=−1 /x و -(2 x y2:z)=−2 x y2:z. يتبع الجزء الأول من القاعدة المكتوبة لفتح الأقواس مباشرة من قاعدة ضرب الأرقام السالبة. الجزء الثاني هو نتيجة لقاعدة ضرب الأرقام علامات مختلفة. دعنا ننتقل إلى أمثلة فتح الأقواس في منتجات وحواصل رقمين بعلامات مختلفة.

الأقواس المفتوحة: القواعد والأمثلة والحلول.

تأخذ القاعدة المذكورة أعلاه في الاعتبار السلسلة الكاملة لهذه الإجراءات وتسريع عملية فتح الأقواس بشكل كبير. تسمح لك نفس القاعدة بفتح الأقواس في التعبيرات التي تكون عبارة عن منتجات وتعبيرات جزئية بعلامة الطرح التي لا تمثل مجاميع وفروقات.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لتطبيق هذه القاعدة. دعونا نعطي القاعدة المقابلة. لقد واجهنا أعلاه بالفعل تعبيرات من النموذج −(a) و −(−a)، والتي يتم كتابتها بدون قوسين كـ −a و a، على التوالي. على سبيل المثال، -(3)=3، و. وهذه حالات خاصة للقاعدة المذكورة. الآن دعونا نلقي نظرة على أمثلة للأقواس المفتوحة عندما تحتوي على مجموع أو فروق. دعونا نعرض أمثلة على استخدام هذه القاعدة. لنرمز إلى التعبير (b1+b2) بالرمز b، وبعد ذلك نستخدم قاعدة ضرب القوس في التعبير من الفقرة السابقة، لدينا (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·ب=(أ1·ب+أ2·ب)=أ1·ب+أ2·ب.

ومن خلال الاستقراء، يمكن توسيع هذا البيان ليشمل عددًا عشوائيًا من المصطلحات في كل قوس. يبقى فتح الأقواس في التعبير الناتج، باستخدام القواعد من الفقرات السابقة، في النهاية نحصل على 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·س·y3.

القاعدة في الرياضيات هي فتح القوسين إذا كان هناك (+) و (-) قبل القوسين.

هذا التعبير هو حاصل ضرب ثلاثة عوامل (2+4)، 3، (5+7·8). سيكون عليك فتح الأقواس بالتتابع. الآن نستخدم قاعدة ضرب القوس في عدد، لدينا ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). الدرجات التي أساسها بعض العبارات المكتوبة بين قوسين، مع عينيايمكن اعتبارها نتاج عدة أقواس.

على سبيل المثال، دعونا نحول التعبير (a+b+c)2. أولًا، نكتبه كحاصل ضرب قوسين (a+b+c)·(a+b+c)، الآن نضرب قوسًا في قوس، نحصل على a·a+a·b+a·c+ ب·أ+ب· ب+ب·ج+ج·أ+ج·ب+ج·ج.

وسنقول أيضًا إنه لرفع مجموع عددين وفروقهما إلى قوة طبيعية، فمن المستحسن استخدام صيغة نيوتن ذات الحدين. على سبيل المثال، (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. ليس أقل ملاءمة استبدال القسمة بالضرب أولاً، ثم استخدام القاعدة المقابلة لفتح الأقواس في المنتج.

يبقى أن نفهم ترتيب فتح الأقواس باستخدام الأمثلة. لنأخذ التعبير (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). نعوض بهذه النتائج في التعبير الأصلي: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . كل ما تبقى هو الانتهاء من فتح الأقواس، ونتيجة لذلك لدينا −5+3·2:4+6·7. وهذا يعني أنه عند الانتقال من الجانب الأيسر من المساواة إلى اليمين، حدث فتح القوسين.

لاحظ أننا في الأمثلة الثلاثة قمنا ببساطة بإزالة الأقواس. أولاً، أضف 445 إلى 889. يمكن تنفيذ هذا الإجراء ذهنيًا، لكنه ليس سهلاً للغاية. دعونا نفتح الأقواس ونرى أن الإجراء الذي تم تغييره سوف يبسط الحسابات بشكل كبير.

كيفية توسيع الأقواس إلى درجة أخرى

توضيح المثال و القاعدة . لنلقي نظرة على مثال: . يمكنك العثور على قيمة تعبير عن طريق جمع 2 و5، ثم أخذ الرقم الناتج بالإشارة المعاكسة. لا تتغير القاعدة إذا لم يكن هناك حدان، بل ثلاثة أو أكثر بين قوسين. تعليق. يتم عكس العلامات فقط أمام الشروط. لفتح القوسين، علينا في هذه الحالة أن نتذكر خاصية التوزيع.

للأرقام الفردية بين قوسين

خطأك ليس في العلامات بل في التعامل الخاطئ مع الكسور؟ في الصف السادس تعلمنا عن الأعداد الموجبة والسالبة. كيف سنحل الأمثلة والمعادلات؟

كم هو بين قوسين؟ ماذا يمكنك أن تقول عن هذه التعبيرات؟ بالطبع نتيجة المثالين الأول والثاني هي نفسها، مما يعني أنه يمكننا وضع إشارة المساواة بينهما: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. ماذا فعلنا بين القوسين؟

عرض الشريحة 6 مع قواعد فتح الأقواس. ومن ثم، فإن قواعد فتح الأقواس ستساعدنا في حل الأمثلة وتبسيط العبارات. بعد ذلك، يُطلب من الطلاب العمل في أزواج: عليهم استخدام الأسهم لربط التعبير الذي يحتوي على أقواس مع التعبير المقابل بدون أقواس.

الشريحة 11. بمجرد وصول زنايكا ودونو إلى مدينة صني سيتي، تجادلا حول أي منهما قام بحل المعادلة بشكل صحيح. بعد ذلك، يحل الطلاب المعادلة بمفردهم باستخدام قواعد فتح الأقواس. "حل المعادلات" أهداف الدرس: تعليمية (تعزيز المعرفة حول موضوع: "فتح الأقواس.

موضوع الدرس: "فتح الأقواس. في هذه الحالة، عليك ضرب كل حد من القوسين الأولين في كل حد من القوسين الثانيين ثم إضافة النتائج. أولاً، يتم أخذ العاملين الأولين، ووضعهما في قوس آخر، وداخل هذه الأقواس يتم فتح الأقواس وفقًا لإحدى القواعد المعروفة بالفعل.

Rawalan.freezeet.ru

الأقواس المفتوحة: القواعد والأمثلة (الصف السابع)

وتتمثل المهمة الرئيسية للأقواس في تغيير ترتيب الإجراءات عند حساب القيم التعبيرات العددية . على سبيل المثال، في التعبير العددي \(5·3+7\) سيتم حساب الضرب أولا، ثم الجمع: \(5·3+7 =15+7=22\). لكن في التعبير \(5·(3+7)\) سيتم حساب الجمع بين القوسين أولاً، وبعدها فقط الضرب: \(5·(3+7)=5·10=50\).

ومع ذلك، إذا كنا نتعامل مع تعبير جبري تحتوي عامل- على سبيل المثال، هكذا: \(2(x-3)\) - إذن من المستحيل حساب القيمة الموجودة بين القوسين، المتغير في الطريق. لذلك، في هذه الحالة، يتم "فتح" الأقواس باستخدام القواعد المناسبة.

قواعد فتح الأقواس

إذا كانت هناك علامة زائد أمام القوس، فسيتم إزالة القوس ببساطة، ويظل التعبير فيه دون تغيير. بعبارة أخرى:

وهنا لا بد من توضيح أنه في الرياضيات، لتقصير الرموز، من المعتاد عدم كتابة علامة الجمع إذا ظهرت أولاً في التعبير. على سبيل المثال، إذا أضفنا رقمين موجبين، على سبيل المثال، سبعة وثلاثة، فإننا لا نكتب \(+7+3\)، ولكن ببساطة \(7+3\)، على الرغم من أن سبعة هو أيضًا رقم موجب . وبالمثل، إذا رأيت، على سبيل المثال، التعبير \((5+x)\) - فاعلم ذلك قبل القوس هناك علامة زائد، وهي غير مكتوبة.

مثال . افتح القوس وأعط مصطلحات مشابهة: \((x-11)+(2+3x)\).
حل : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

إذا كانت هناك علامة ناقص أمام القوس، فعند إزالة القوس، تتغير إشارة كل حد من التعبير الموجود بداخله إلى عكسه:

من الضروري هنا توضيح أنه أثناء وجود "a" بين القوسين، كانت هناك علامة زائد (لم يكتبوها للتو)، وبعد إزالة القوس، تغير هذا الزائد إلى ناقص.

مثال : بسّط التعبير \(2x-(-7+x)\).
حل : يوجد داخل القوس حدان: \(-7\) و \(x\)، وقبل القوس يوجد علامة ناقص. هذا يعني أن العلامات ستتغير - وستكون السبعة الآن علامة زائد، وX الآن ناقص. افتح القوس و نقدم مصطلحات مماثلة .

مثال. افتح القوس وأعط مصطلحات مشابهة \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
حل : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

إذا كان هناك عامل أمام القوس، فإن كل فرد من أفراد القوس يضرب به، أي:

مثال. قم بتوسيع الأقواس \(5(3-x)\).
حل : في القوس لدينا \(3\) و \(-x\)، وقبل القوس يوجد خمسة. وهذا يعني أن كل عضو في القوس مضروب بـ \(5\) - أذكرك بذلك لا تتم كتابة علامة الضرب بين الرقم والأقواس في الرياضيات لتقليل حجم الإدخالات.

مثال. قم بتوسيع الأقواس \(-2(-3x+5)\).
حل : كما في المثال السابق، يتم ضرب \(-3x\) و \(5\) بين القوسين في \(-2\).

يبقى أن ننظر في الوضع الأخير.

عند ضرب قوس في قوس، يُضرب كل حد من القوس الأول في كل حد من الحد الثاني:

مثال. قم بتوسيع الأقواس \((2-x)(3x-1)\).
حل : لدينا منتج بين قوسين ويمكن توسيعه على الفور باستخدام الصيغة أعلاه. ولكن لكي لا نرتبك، دعونا نفعل كل شيء خطوة بخطوة.
الخطوة 1. قم بإزالة القوس الأول وضرب كل عضو في القوس الثاني:

الخطوة 2. قم بتوسيع منتجات الأقواس والعامل كما هو موضح أعلاه:
- اهم الاشياء اولا...

الخطوة 3. الآن نقوم بالضرب وتقديم مصطلحات مماثلة:

ليس من الضروري وصف جميع التحولات بمثل هذه التفاصيل، حيث يمكنك مضاعفتها على الفور. ولكن إذا كنت تتعلم فقط كيفية فتح الأقواس، والكتابة بالتفصيل، فستكون فرصة ارتكاب الأخطاء أقل.

ملاحظة للقسم بأكمله.في الواقع، لا تحتاج إلى تذكر القواعد الأربع جميعها، ما عليك سوى تذكر قاعدة واحدة، وهي: \(c(a-b)=ca-cb\) . لماذا؟ لأنه إذا قمت باستبدال واحد بدلاً من c، فستحصل على القاعدة \((a-b)=a-b\) . وإذا عوضنا بواحد، نحصل على القاعدة \(-(a-b)=-a+b\) . حسنًا، إذا قمت باستبدال قوس آخر بدلاً من c، فيمكنك الحصول على القاعدة الأخيرة.

بين قوسين داخل قوسين

في بعض الأحيان، من الناحية العملية، توجد مشاكل مع الأقواس المتداخلة داخل أقواس أخرى. فيما يلي مثال على هذه المهمة: قم بتبسيط التعبير \(7x+2(5-(3x+y))\).

لحل هذه المهام بنجاح، تحتاج إلى:
- فهم بعناية تداخل الأقواس - أي منها؛
— افتح الأقواس بالتتابع، بدءًا من الأعمق على سبيل المثال.

من المهم عند فتح أحد الأقواس لا تلمس بقية التعبير، مجرد إعادة كتابتها كما هي.
دعونا نلقي نظرة على المهمة المكتوبة أعلاه كمثال.

مثال. افتح الأقواس ثم اكتب مصطلحات مشابهة \(7x+2(5-(3x+y))\).
حل:

لنبدأ المهمة بفتح القوس الداخلي (الذي بالداخل). بتوسيعها، نحن نتعامل فقط مع ما يتعلق بها مباشرة - وهذا هو القوس نفسه والطرح الذي أمامه (مظلل باللون الأخضر). نعيد كتابة كل شيء آخر (لم يتم تسليط الضوء عليه) بنفس الطريقة التي كانت عليها.

حل مسائل الرياضيات عبر الإنترنت

آلة حاسبة على الانترنت.
تبسيط كثيرة الحدود.
ضرب كثيرات الحدود.

باستخدام برنامج الرياضيات هذا، يمكنك تبسيط كثيرة الحدود.
أثناء تشغيل البرنامج:
- ضرب كثيرات الحدود
- يلخص أحاديات الحد (يعطي مماثلة)
- يفتح بين قوسين
- يرفع كثيرة الحدود إلى قوة

إن برنامج تبسيط كثيرات الحدود لا يعطي الإجابة على المشكلة فحسب، بل يقدم حلاً مفصلاً مع الشروحات، أي. يعرض عملية الحل بحيث يمكنك التحقق من معرفتك بالرياضيات و/أو الجبر.

قد يكون هذا البرنامج مفيدا للطلاب المدارس الثانويةاستعدادا ل الاختباراتوالامتحانات، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة، ليتمكن الآباء من التحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك ترغب فقط في إنجاز واجباتك المنزلية في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحلول التفصيلية.

بهذه الطريقة يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو التدريب الخاص بك. الأخوة الأصغر سناأو الأخوات، في حين يرتفع مستوى التعليم في مجال المشاكل التي يتم حلها.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الراغبين في حل المشكلة، وقد تم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
في بضع ثوان سوف يظهر الحل أدناه.
من فضلك انتظر ثانية.

القليل من النظرية.

منتج أحادي الحد ومتعدد الحدود. مفهوم كثير الحدود

من بين التعبيرات المختلفة التي يتم أخذها في الاعتبار في الجبر مكانة هامةاحتلال مبالغ من monomials. فيما يلي أمثلة على هذه التعبيرات:

مجموع أحاديات الحد يسمى متعدد الحدود. تسمى المصطلحات الموجودة في كثير الحدود مصطلحات كثيرة الحدود. يتم تصنيف أحاديات الحد أيضًا على أنها متعددات الحدود، معتبرا أن أحادية الحد هي متعددة الحدود تتكون من عضو واحد.

دعونا نمثل جميع المصطلحات في شكل أحاديات النموذج القياسي:

دعونا نقدم مصطلحات مماثلة في كثير الحدود الناتج:

والنتيجة هي كثيرة الحدود، وجميع حدودها هي أحادية الحد بالشكل القياسي، ولا يوجد بينها مثيل. تسمى كثيرات الحدود هذه كثيرات الحدود من النموذج القياسي.

خلف درجة كثير الحدودذات الشكل القياسي تأخذ أعلى صلاحيات أعضائها. وبالتالي، فإن ذات الحدين لها الدرجة الثالثة، وثلاثية الحدود لها الدرجة الثانية.

عادة، يتم ترتيب حدود كثيرات الحدود ذات الشكل القياسي التي تحتوي على متغير واحد بترتيب تنازلي للأسس. على سبيل المثال:

يمكن تحويل (تبسيط) مجموع العديد من كثيرات الحدود إلى كثير حدود بالشكل القياسي.

في بعض الأحيان يجب تقسيم حدود كثيرة الحدود إلى مجموعات، مع وضع كل مجموعة بين قوسين. بما أن الأقواس المغلقة هي تحويل عكسي للأقواس المفتوحة، فمن السهل صياغتها قواعد فتح الأقواس:

إذا وضعت إشارة "+" قبل القوسين فإن المصطلحات التي بين القوسين تكتب بنفس الإشارة.

إذا وضعت إشارة "-" قبل القوسين، فإن المصطلحات التي بين القوسين تكتب بإشارة معاكسة.

تحويل (تبسيط) منتج أحادي الحد ومتعدد الحدود

باستخدام خاصية التوزيع للضرب، يمكنك تحويل (تبسيط) منتج أحادية الحد ومتعددة الحدود إلى كثيرة الحدود. على سبيل المثال:

إن حاصل ضرب أحادية الحد ومتعددة الحدود يساوي بشكل متطابق مجموع منتجات أحادية الحد وكل حد من حدود كثيرة الحدود.

عادة ما يتم صياغة هذه النتيجة كقاعدة.

لضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود، يجب عليك ضرب تلك الأحادية الحد في كل حد من حدود كثيرة الحدود.

لقد استخدمنا هذه القاعدة بالفعل عدة مرات للضرب في مجموع.

منتج كثيرات الحدود. تحويل (تبسيط) منتج متعدد الحدود

بشكل عام، حاصل ضرب كثيرتي الحدود يساوي بشكل مماثل مجموع حاصل ضرب كل حد من كثيرات الحدود وكل حد من الحدود الأخرى.

عادة ما يتم استخدام القاعدة التالية.

لضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود، تحتاج إلى ضرب كل حد من كثيرة الحدود في كل حد من الحدود الأخرى وإضافة المنتجات الناتجة.

صيغ الضرب المختصرة. مجموع المربعات والاختلافات والفرق بين المربعات

يتعين عليك التعامل مع بعض التعبيرات في التحويلات الجبرية أكثر من غيرها. ولعل التعبيرات الأكثر شيوعاً هي u، أي مربع المجموع، ومربع الفرق، وفرق المربعات. لقد لاحظت أن أسماء هذه التعبيرات تبدو غير مكتملة، على سبيل المثال، هذا بالطبع ليس مربع المجموع فحسب، بل مربع مجموع a و b. ومع ذلك، فإن مربع مجموع A و B لا يحدث في كثير من الأحيان، كقاعدة عامة، بدلا من الحروف A و B، فإنه يحتوي على تعبيرات مختلفة، وأحيانا معقدة للغاية.

يمكن تحويل (تبسيط) التعبيرات بسهولة إلى كثيرات الحدود بالشكل القياسي؛ في الواقع، لقد واجهت بالفعل مثل هذه المهمة عند ضرب كثيرات الحدود:

ومن المفيد أن نتذكر الهويات الناتجة وتطبيقها دون حسابات وسيطة. تساعد الصيغ اللفظية المختصرة على ذلك.

- مربع المبلغ يساوي المبلغالمربعات ومضاعفة المنتج.

- مربع الفرق يساوي مجموع المربعات بدون المنتج المزدوج.

- الفرق بين المربعين يساوي حاصل ضرب الفرق والمجموع.

تسمح هذه الهويات الثلاث للفرد باستبدال الأجزاء اليسرى بأجزاء يمنى في التحولات والعكس - الأجزاء اليمنى بأجزاء يسرى. أصعب شيء هو رؤية التعبيرات المقابلة وفهم كيفية استبدال المتغيرين a وb فيها. دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لاستخدام صيغ الضرب المختصرة.

الكتب (الكتب المدرسية) ملخصات امتحان الدولة الموحدة واختبارات OGE ألعاب على الانترنت، الألغاز بناء الرسوم البيانية الوظيفية القاموس الإملائي للغة الروسية قاموس اللغات العامية للشباب كتالوج المدارس الروسية كتالوج المؤسسات التعليمية الثانوية في روسيا كتالوج الجامعات الروسية قائمة المهام إيجاد GCD و LCM تبسيط كثيرات الحدود (ضرب كثيرات الحدود) قسمة كثيرات الحدود على أ متعدد الحدود مع حساب العمود الكسور العدديةحل المسائل التي تتضمن النسب المئوية الأعداد المركبة: المجموع والفرق وحاصل الضرب وحاصل القسمة أنظمة معادلتين خطيتين بمتغيرين معادلة من الدرجة الثانيةعزل مربع ذات الحدين وتحليل ثلاثية الحدود حل المتباينات حل أنظمة المتباينات رسم رسم بياني وظيفة من الدرجة الثانيةرسم رسم بياني للدالة الكسرية الخطية وحل العمليات الحسابية و التقدم الهندسيحل المثلثات ، الأسي ، المعادلات اللوغاريتميةحساب النهايات، المشتقة، الظل، التكامل، المشتقة العكسية حل المثلثات حساب الأفعال مع المتجهات حساب الأفعال مع الخطوط والمستويات مساحة الأشكال الهندسية محيط الأشكال الهندسية حجم الأجسام الهندسية مساحة سطح الأجسام الهندسية
منشئ حالة المرور
الطقس - الأخبار - الأبراج

www.mathsolution.ru

توسيع الأقواس

نواصل دراسة أساسيات الجبر. في هذا الدرس سوف نتعلم كيفية فك الأقواس في التعبيرات. توسيع الأقواس يعني إزالة الأقواس من التعبير.

لفتح الأقواس، تحتاج إلى حفظ قاعدتين فقط. مع الممارسة المنتظمة، يمكنك فتح الأقواس باستخدام عيون مغلقة، ويمكن نسيان تلك القواعد التي كان مطلوبًا حفظها بأمان.

القاعدة الأولى لفتح الأقواس

خذ بعين الاعتبار التعبير التالي:

قيمة هذا التعبير هي 2 . دعونا نفتح الأقواس في هذا التعبير. إن فتح الأقواس يعني التخلص منها دون التأثير على معنى العبارة. أي بعد التخلص من الأقواس تكون قيمة التعبير 8+(−9+3) ينبغي أن لا يزال يساوي اثنين.

القاعدة الأولى لفتح الأقواس هي كما يلي:

عند فتح الأقواس، إذا كان هناك علامة زائد أمام الأقواس، فسيتم حذف هذه العلامة مع الأقواس.

لذلك، نرى ذلك في التعبير 8+(−9+3) هناك علامة زائد قبل القوسين. يجب حذف هذه العلامة بالإضافة إلى الأقواس. بمعنى آخر، ستختفي الأقواس مع علامة الزائد التي كانت أمامها. وما كان بين قوسين سيكتب دون تغيير:

8−9+3 . هذا التعبير يساوي 2 ، مثل التعبير السابق بين قوسين، كان يساوي 2 .

8+(−9+3) و 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

مثال 2.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 3 + (−1 − 4)

توجد علامة زائد أمام القوسين، مما يعني حذف علامة الزائد مع القوسين. ما كان بين قوسين سيبقى دون تغيير:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

مثال 3.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 2 + (−1)

في هذا المثال، أصبح فتح الأقواس نوعًا من العملية العكسية لاستبدال الطرح بالجمع. ماذا يعني ذلك؟

في التعبير 2−1 يحدث الطرح، ولكن يمكن استبداله بالجمع. ثم نحصل على التعبير 2+(−1) . ولكن إذا كان في التعبير 2+(−1) افتح الأقواس، تحصل على الأصل 2−1 .

لذلك، يمكن استخدام القاعدة الأولى لفتح الأقواس لتبسيط العبارات بعد إجراء بعض التحويلات. أي تخلصه من الأقواس وجعله أسهل.

على سبيل المثال، دعونا نبسط التعبير 2أ+أ−5ب+ب .

لتبسيط هذا التعبير، يمكن إعطاء مصطلحات مماثلة. دعونا نتذكر أنه لتبسيط الحدود المتشابهة، تحتاج إلى إضافة معاملات الحدود المتشابهة وضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك:

حصلت على التعبير 3أ+(−4ب). دعونا نزيل الأقواس في هذا التعبير. توجد علامة زائد أمام الأقواس، لذلك نستخدم القاعدة الأولى لفتح الأقواس، وهي أن نحذف الأقواس مع علامة الزائد التي تأتي قبل هذه الأقواس:

هكذا التعبير 2أ+أ−5ب+بيبسط ل 3أ−4ب .

بعد أن فتحت بعض الأقواس، قد تواجه أخرى على طول الطريق. نحن نطبق عليهم نفس القواعد كما في القواعد الأولى. على سبيل المثال، دعونا نوسع الأقواس في التعبير التالي:

هناك مكانان حيث تحتاج إلى فتح الأقواس. وفي هذه الحالة تنطبق القاعدة الأولى لفتح الأقواس، وهي حذف الأقواس مع علامة الجمع التي تسبق هذه الأقواس:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

مثال 3.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 6+(−3)+(−2)

في كلا الموضعين اللذين يوجد فيهما قوسان، يسبقهما علامة زائد. هنا مرة أخرى تنطبق القاعدة الأولى لفتح الأقواس:

في بعض الأحيان يتم كتابة الفصل الأول بين قوسين بدون إشارة. على سبيل المثال، في التعبير 1+(2+3−4) المصطلح الأول بين قوسين 2 مكتوب بدون علامة. والسؤال الذي يطرح نفسه ما هي العلامة التي ستظهر أمام الاثنين بعد حذف القوسين وعلامة الجمع التي أمام القوسين؟ الجواب يقترح نفسه - سيكون هناك علامة زائد أمام الاثنين.

في الواقع، حتى لو كان بين قوسين، توجد علامة زائد أمام الاثنين، لكننا لا نراها لأنها غير مكتوبة. لقد قلنا بالفعل أن التدوين الكامل للأرقام الإيجابية يبدو كذلك +1, +2, +3. ولكن وفقا للتقاليد، لا يتم تسجيل الإيجابيات، ولهذا السبب نرى الأرقام الإيجابية المألوفة لنا 1, 2, 3 .

ولذلك، لتوسيع الأقواس في التعبير 1+(2+3−4) كالعادة، عليك حذف الأقواس مع علامة الزائد الموجودة أمام هذه الأقواس، ولكن اكتب الحد الأول الذي كان بين القوسين مع علامة الجمع:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

مثال 4.قم بتوسيع الأقواس في التعبير −5 + (2 − 3)

توجد علامة زائد أمام الأقواس، لذلك نطبق القاعدة الأولى لفتح الأقواس، وهي أن نحذف القوسين مع علامة الزائد التي قبل هذه الأقواس. لكن الحد الأول الذي نكتبه بين قوسين بعلامة الجمع:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

مثال 5.قم بتوسيع الأقواس في التعبير (−5)

توجد علامة زائد أمام القوسين، لكنها لا تُكتب لأنه لم يكن هناك أرقام أو تعبيرات أخرى قبلها. مهمتنا هي إزالة الأقواس من خلال تطبيق القاعدة الأولى لفتح الأقواس، وهي حذف الأقواس مع علامة الجمع هذه (حتى لو كانت غير مرئية)

مثال 6.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 2أ + (−6أ + ب)

توجد علامة زائد أمام القوسين، مما يعني حذف علامة الزائد مع القوسين. ما كان بين قوسين سيتم كتابته دون تغيير:

2أ + (−6أ + ب) = 2أ −6أ + ب

مثال 7.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 5أ + (−7ب + 6ج) + 3أ + (−2د)

هناك مكانان في هذا التعبير حيث تحتاج إلى توسيع الأقواس. وفي كلا القسمين علامة زائد قبل القوسين، مما يعني حذف علامة الزائد مع القوسين. ما كان بين قوسين سيتم كتابته دون تغيير:

5أ + (−7ب + 6ج) + 3أ + (−2د) = 5أ −7ب + 6ج + 3أ − 2د

القاعدة الثانية لفتح الأقواس

الآن دعونا نلقي نظرة على القاعدة الثانية لفتح الأقواس. يتم استخدامه عندما يكون هناك علامة ناقص قبل القوسين.

إذا كان هناك ناقص قبل القوسين، فسيتم حذف هذا الطرح مع القوسين، لكن الحدود التي كانت بين القوسين تغير إشارتها إلى العكس.

على سبيل المثال، دعونا نوسع الأقواس في التعبير التالي

نرى أن هناك علامة ناقص قبل القوسين. هذا يعني أنك بحاجة إلى تطبيق قاعدة التوسيع الثانية، وهي حذف الأقواس مع علامة الطرح الموجودة أمام هذه الأقواس. وفي هذه الحالة فإن المصطلحات التي كانت بين قوسين ستتغير إشارتها إلى العكس:

لقد حصلنا على تعبير بدون قوسين 5+2+3 . هذا التعبير يساوي 10، تمامًا كما كان التعبير السابق بين قوسين يساوي 10.

وهكذا بين العبارات 5−(−2−3) و 5+2+3 يمكنك وضع علامة يساوي، حيث أنهما متساويان في القيمة:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

مثال 2.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 6 − (−2 − 5)

يوجد ناقص قبل الأقواس، لذلك نطبق القاعدة الثانية لفتح الأقواس، وهي أن نحذف القوسين مع الطرح الذي قبل هذه الأقواس. وفي هذه الحالة نكتب المصطلحات التي كانت بين قوسين مع علامات عكسها:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

مثال 3.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 2 − (7 + 3)

يوجد علامة ناقص قبل القوسين، لذلك نطبق القاعدة الثانية لفتح القوسين:

مثال 4.قم بتوسيع الأقواس في التعبير −(−3 + 4)

مثال 5.قم بتوسيع الأقواس في التعبير −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

هناك مكانان حيث تحتاج إلى فتح الأقواس. في الحالة الأولى، عليك تطبيق القاعدة الثانية لفتح الأقواس، وعندما يتعلق الأمر بالتعبير +(−9−2) عليك تطبيق القاعدة الأولى:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

مثال 6.قم بتوسيع الأقواس في التعبير -(-أ − 1)

مثال 7.قم بتوسيع الأقواس في التعبير -(4أ + 3)

مثال 8.قم بتوسيع الأقواس في التعبير أ − (4ب + 3) + 15

مثال 9.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 2 أ + (3ب − ب) − (3ج + 5)

هناك مكانان حيث تحتاج إلى فتح الأقواس. في الحالة الأولى، عليك تطبيق القاعدة الأولى لفتح الأقواس، وعندما يتعلق الأمر بالتعبير -(3ج+5)عليك تطبيق القاعدة الثانية:

2أ + (3ب − ب) − (3ج + 5) = 2أ + 3ب − ب − 3ج − 5

مثال 10.قم بتوسيع الأقواس في التعبير -أ − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

هناك ثلاثة أماكن حيث تحتاج إلى فتح الأقواس. تحتاج أولاً إلى تطبيق القاعدة الثانية لفتح الأقواس، ثم الأولى، ثم الثانية مرة أخرى:

−أ − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = -أ + 4أ − 6ب + 8ج − 15

آلية فتح القوس

تعتمد قواعد فتح الأقواس التي درسناها الآن على قانون توزيع الضرب:

في الحقيقة فتح الأقواسهو الإجراء الذي يتم فيه ضرب العامل المشترك بكل حد بين قوسين. ونتيجة لهذا الضرب، تختفي الأقواس. على سبيل المثال، دعونا نوسع الأقواس في التعبير 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

لذلك، إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في تعبير بين قوسين (أو ضرب تعبير بين قوسين في رقم)، فيجب أن تقول دعونا نفتح الأقواس.

لكن كيف يرتبط قانون توزيع الضرب بقواعد فتح القوسين التي تناولناها سابقًا؟

والحقيقة هي أنه قبل أي قوسين هناك عامل مشترك. في المثال 3×(4+5)العامل المشترك هو 3 . وفي المثال أ(ب+ج)العامل المشترك هو متغير أ.

إذا لم تكن هناك أرقام أو متغيرات قبل الأقواس، فإن العامل المشترك هو 1 أو −1 ، اعتمادًا على العلامة الموجودة أمام القوسين. إذا كان هناك علامة زائد أمام القوسين، فإن العامل المشترك هو 1 . إذا كان هناك ناقص قبل القوسين، فإن العامل المشترك هو −1 .

على سبيل المثال، دعونا نوسع الأقواس في التعبير -(3ب−1). توجد علامة ناقص أمام الأقواس، لذا عليك استخدام القاعدة الثانية لفتح الأقواس، وهي حذف الأقواس مع علامة الطرح الموجودة أمام الأقواس. واكتب العبارة التي كانت بين القوسين ذات الإشارات المتضادة:

قمنا بفك الأقواس باستخدام قاعدة فك الأقواس. لكن نفس هذه الأقواس يمكن فتحها باستخدام قانون التوزيع للضرب. للقيام بذلك، اكتب أولاً قبل القوسين العامل المشترك 1، الذي لم يتم كتابته:

تشير علامة الطرح التي كانت موجودة سابقًا قبل الأقواس إلى هذه الوحدة. يمكنك الآن فتح الأقواس باستخدام قانون التوزيع للضرب. ولهذا الغرض العامل المشترك −1 تحتاج إلى الضرب في كل مصطلح بين قوسين وإضافة النتائج.

ولتسهيل الأمر، نستبدل الفرق بين القوسين بالمبلغ:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

مثل آخر مرة تلقينا التعبير −3ب+1. سيوافق الجميع على أنه تم قضاء المزيد من الوقت هذه المرة في حل مثل هذا المثال البسيط. ولذلك فمن الحكمة استخدام القواعد الجاهزة لفتح الأقواس، والتي ناقشناها في هذا الدرس:

لكن لا يضر معرفة كيفية عمل هذه القواعد.

في هذا الدرس تعلمنا تحويلا مماثلا آخر. جنبًا إلى جنب مع فتح الأقواس، وإخراج العام من الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة، يمكنك توسيع نطاق المشكلات التي يتعين حلها قليلاً. على سبيل المثال:

هنا تحتاج إلى تنفيذ إجراءين - أولا افتح الأقواس، ثم قم بإحضار مصطلحات مماثلة. لذا بالترتيب:

1) افتح الأقواس:

2) نقدم مصطلحات مماثلة:

في التعبير الناتج −10ب+(−1)يمكنك توسيع الأقواس:

مثال 2.افتح الأقواس وأضف مصطلحات مماثلة في التعبير التالي:

1) لنفتح الأقواس:

2) دعونا نقدم مصطلحات مماثلة.هذه المرة، لتوفير الوقت والمكان، لن نكتب كيفية ضرب المعاملات في جزء الحرف المشترك

مثال 3.تبسيط التعبير 8 م + 3 موالعثور على قيمتها في م=−4

1) أولا، دعونا نبسط التعبير. لتبسيط التعبير 8 م + 3 م، يمكنك إخراج العامل المشترك فيه مخارج الأقواس:

2) أوجد قيمة التعبير م(8+3)في م=−4. للقيام بذلك، في التعبير م(8+3)بدلا من متغير ماستبدال الرقم −4

م (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

وتتمثل المهمة الرئيسية للأقواس في تغيير ترتيب الإجراءات عند حساب القيم. على سبيل المثال، في التعبير العددي \(5·3+7\) سيتم حساب الضرب أولا، ثم الجمع: \(5·3+7 =15+7=22\). لكن في التعبير \(5·(3+7)\) سيتم حساب الجمع بين القوسين أولاً، وبعدها فقط الضرب: \(5·(3+7)=5·10=50\).

مثال. قم بتوسيع القوس: \(-(4m+3)\).
حل : \(-(4م+3)=-4م-3\).

مثال. افتح القوس وأعط مصطلحات مشابهة \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
حل : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

مثال. قم بتوسيع الأقواس \(5(3-x)\).
حل : في القوس لدينا \(3\) و\(-x\)، وقبل القوس يوجد خمسة. وهذا يعني أن كل عضو في القوس مضروب بـ \(5\) - أذكرك بذلك لا تتم كتابة علامة الضرب بين الرقم والأقواس في الرياضيات لتقليل حجم الإدخالات.

مثال. قم بتوسيع الأقواس \(-2(-3x+5)\).
حل : كما في المثال السابق، يتم ضرب \(-3x\) و \(5\) بين القوسين في \(-2\).

مثال. بسّط التعبير: \(5(x+y)-2(x-y)\).
حل : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

يبقى أن ننظر في الوضع الأخير.

عند ضرب قوس في قوس، يُضرب كل حد من القوس الأول في كل حد من الحد الثاني:

\((ج+د)(أ-ب)=ج·(أ-ب)+د·(أ-ب)=ca-cb+da-db\)

مثال. قم بتوسيع الأقواس \((2-x)(3x-1)\).
حل : لدينا منتج بين قوسين ويمكن توسيعه على الفور باستخدام الصيغة أعلاه. ولكن لكي لا نرتبك، دعونا نفعل كل شيء خطوة بخطوة.
الخطوة 1. قم بإزالة القوس الأول - اضرب كل حد من حدوده في القوس الثاني:

الخطوة 2. قم بتوسيع منتجات الأقواس والعامل كما هو موضح أعلاه:
- اهم الاشياء اولا...

ثم الثاني.

الخطوة 3. الآن نقوم بالضرب وتقديم مصطلحات مماثلة:

ليس من الضروري وصف جميع التحولات بمثل هذه التفاصيل، حيث يمكنك مضاعفتها على الفور. ولكن إذا كنت تتعلم فقط كيفية فتح الأقواس، والكتابة بالتفصيل، فستكون فرصة ارتكاب الأخطاء أقل.

ملاحظة للقسم بأكمله.في الواقع، لا تحتاج إلى تذكر القواعد الأربع جميعها، ما عليك سوى تذكر قاعدة واحدة، وهي: \(c(a-b)=ca-cb\) . لماذا؟ لأنه إذا قمت باستبدال واحد بدلاً من c، فستحصل على القاعدة \((a-b)=a-b\) . وإذا عوضنا بواحد، نحصل على القاعدة \(-(a-b)=-a+b\) . حسنًا، إذا قمت باستبدال قوس آخر بدلاً من c، فيمكنك الحصول على القاعدة الأخيرة.

بين قوسين داخل قوسين

في بعض الأحيان، من الناحية العملية، توجد مشاكل مع الأقواس المتداخلة داخل أقواس أخرى. فيما يلي مثال على هذه المهمة: قم بتبسيط التعبير \(7x+2(5-(3x+y))\).

لحل هذه المهام بنجاح، تحتاج إلى:
- فهم بعناية تداخل الأقواس - أي منها؛
- افتح الأقواس بالتتابع، بدءًا من الأعمق على سبيل المثال.

من المهم عند فتح أحد الأقواس لا تلمس بقية التعبير، مجرد إعادة كتابتها كما هي.
دعونا نلقي نظرة على المهمة المكتوبة أعلاه كمثال.

مثال. افتح الأقواس ثم اكتب مصطلحات مشابهة \(7x+2(5-(3x+y))\).
حل:

مثال. افتح القوسين وأعط مصطلحات مشابهة \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
حل :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		يوجد تداخل ثلاثي بين الأقواس هنا. لنبدأ بالأعمق (مظلل باللون الأخضر). هناك علامة زائد أمام الدعامة، لذلك يتم إزالتها ببساطة.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		أنت الآن بحاجة إلى فتح الشريحة الثانية، المتوسطة. لكن قبل ذلك، سنبسط تعبير الحدود الشبحية في هذه القوس الثانية.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		الآن نفتح القوس الثاني (المظلل باللون الأزرق). قبل القوس هو عامل - لذلك يتم ضرب كل حد في القوس به.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		وافتح القوس الأخير. توجد علامة ناقص أمام القوس، لذا يتم عكس جميع العلامات.

يعد فك الأقواس مهارة أساسية في الرياضيات. بدون هذه المهارة، من المستحيل الحصول على درجة أعلى من C في الصف الثامن والتاسع. لذلك أنصحك بفهم هذا الموضوع جيدًا.

يمكن كتابة A+(b + c) بدون قوسين: a+(b + c)=a + b + c. تسمى هذه العملية فتح الأقواس.

مثال 1.دعونا نفتح الأقواس في التعبير a + (- b + c).

حل.أ + (-ب+ج) = أ + ((-ب) + ج)=أ + (-ب) + ج = أ-ب + ج.

إذا كانت هناك علامة "+" أمام القوسين، فيمكن حذف القوسين وعلامة "+" هذه مع الحفاظ على إشارات المصطلحات الموجودة بين القوسين. إذا كان الحد الأول بين القوسين مكتوبا بدون إشارة، فيجب كتابته بعلامة "+".

مثال 2.لنجد قيمة التعبير -2.87+ (2.87-7.639).

حل.بفتح الأقواس نحصل على - 2.87 + (2.87 - 7.639) = - - 2.87 + 2.87 - 7.639 = 0 - 7.639 = - 7.639.

للعثور على قيمة التعبير - (- 9 + 5)، عليك أن تضيف أعداد-9 و5 وأوجد الرقم المقابل للمجموع الناتج: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

ويمكن الحصول على نفس القيمة بطريقة أخرى: قم أولاً بكتابة الأرقام المقابلة لهذه الحدود (أي قم بتغيير إشاراتها)، ثم أضف: 9 + (- 5) = 4. وبالتالي، -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

لكتابة مجموع معاكس لمجموع عدة حدود، عليك تغيير علامات هذه الحدود.

وهذا يعني - (أ + ب) = - أ - ب.

مثال 3.لنجد قيمة التعبير 16 - (10 -18 + 12).

حل. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

لفتح القوسين المسبوقين بعلامة "-"، عليك استبدال هذه العلامة بـ "+"، وتغيير إشارات جميع المصطلحات الموجودة بين القوسين إلى العكس، ثم فتح القوسين.

مثال 4.لنجد قيمة التعبير 9.36-(9.36 - 5.48).

حل. 9.36 - (9.36 - 5.48) = 9.36 + (- 9.36 + 5.48) = = 9.36 - 9.36 + 5.48 = 0 -f 5.48 = 5 ,48.

فك الأقواس وتطبيق الخصائص التبادلية والترابطية إضافةتسمح لك بتبسيط الحسابات.

مثال 5.دعونا نوجد قيمة التعبير (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

حل.أولاً، سنفتح الأقواس، وبعد ذلك سنجد بشكل منفصل مجموع جميع الأرقام الإيجابية وبشكل منفصل مجموع جميع الأرقام السالبة، وأخيرًا، نضيف النتائج:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

مثال 6.دعونا نجد قيمة التعبير

حل.أولاً، لنتخيل كل حد على أنه مجموع أجزائه الصحيحة والكسرية، ثم نفتح الأقواس، ثم نجمع الأعداد الصحيحة وبشكل منفصل كسورالأجزاء وأخيرًا قم بإضافة النتائج:

كيف يمكنك فتح قوسين يسبقهما علامة "+"؟ كيف يمكنك العثور على قيمة التعبير الذي هو عكس مجموع عدة أرقام؟ كيفية فك الأقواس مسبوقة بعلامة "-"؟

1218. افتح بين قوسين:

أ) 3.4+(2.6+8.3)؛ ج) م+(ن-ك);

ب) 4.57+(2.6 - 4.57)؛ د) ج+(-أ + ب).

1219. ابحث عن معنى العبارة:

1220. افتح بين قوسين:

أ) 85+(7.8+98)؛ د) -(80-16) + 84؛ ز) أ-(ب-ك-ن)؛
ب) (4.7 -17)+7.5؛ ه) -أ + (م-2.6)؛ ح) -(أ-ب + ج)؛
ج) 64-(90+100); ه) ج+(- أ-ب); ط) (م ن) - (ص ك).

1221. افتح القوسين وابحث عن معنى العبارة:

1222. تبسيط التعبير:

1223. اكتب كميةتعبيرين وتبسيطهما:

أ) - 4 - م و م + 6.4؛ د) أ+ب و ع - ب
ب) 1.1+أ و-26-أ؛ ه) - م + ن و -ك - ن؛
ج) أ + 13 و -13 + ب؛ ه) م - ن و ن - م.

1224. اكتب الفرق بين تعبيرين وقم بتبسيطه:

1226. استخدم المعادلة لحل المشكلة:

أ) يوجد 42 كتابًا في الرف الأول، و34 كتابًا في الرف الآخر، وتم إزالة عدة كتب من الرف الثاني، كما تم أخذ عدد من الكتب من الرف الأول كما بقي في الرف الثاني. بعد ذلك، بقي 12 كتابًا على الرف الأول. كم عدد الكتب التي تمت إزالتها من الرف الثاني؟

ب) يوجد 42 طالبًا في الصف الأول، وأقل بـ 3 طلاب في الثاني عن الثالث. ما عدد طلاب الصف الثالث إذا كان عدد الطلاب في هذه الصفوف الثلاثة 125 طالبًا؟

1227. ابحث عن معنى العبارة:

1228. احسب شفويا:

1229. البحث عن أعلى قيمةالتعبيرات:

1230. حدد 4 أعداد صحيحة متتالية إذا:

أ) أصغرهم هو -12؛ ج) أصغرهم هو ن؛
ب) أكبرهم -18؛ د) الأكبر منهم يساوي ك.

محتوى الدرس ملاحظات الدرسدعم إطار عرض الدرس وأساليب تسريع التقنيات التفاعلية يمارس المهام والتمارين ورش عمل الاختبار الذاتي، والتدريبات، والحالات، والمهام، والواجبات المنزلية، وأسئلة المناقشة، والأسئلة البلاغية من الطلاب الرسوم التوضيحية الصوت ومقاطع الفيديو والوسائط المتعددةصور فوتوغرافية، صور، رسومات، جداول، رسوم بيانية، فكاهة، نوادر، نكت، كاريكاتير، أمثال، أقوال، كلمات متقاطعة، اقتباسات الإضافات الملخصاتالمقالات والحيل لأسرّة الأطفال الفضوليين والكتب المدرسية الأساسية والإضافية للمصطلحات الأخرى تحسين الكتب المدرسية والدروستصحيح الأخطاء في الكتاب المدرسيتحديث جزء من الكتاب المدرسي، وعناصر الابتكار في الدرس، واستبدال المعرفة القديمة بأخرى جديدة فقط للمعلمين دروس مثالية خطة التقويملسنة القواعد الارشاديةبرامج المناقشة دروس متكاملة