ال المواد المنهجيةهو للإشارة فقط وينطبق على مجموعة واسعة من المواضيع. توفر المقالة لمحة عامة عن الرسوم البيانية للوظائف الأولية الأساسية وتناقش السؤال الأهم – كيفية بناء الرسم البياني بشكل صحيح وبسرعة. أثناء الدراسة الرياضيات العليادون معرفة الجداول الزمنية الرئيسية وظائف أوليةسيكون الأمر صعبًا، لذا من المهم جدًا أن تتذكر كيف تبدو الرسوم البيانية للقطع المكافئ، والقطع الزائد، والجيب، وجيب التمام، وما إلى ذلك، وتذكر بعض قيم الدالة. سنتحدث أيضًا عن بعض خصائص الوظائف الرئيسية.

أنا لا أدعي اكتمال المواد ودقتها العلمية، بل سيتم التركيز، في المقام الأول، على الممارسة - تلك الأشياء التي يمكن من خلالها يواجه المرء حرفيًا في كل خطوة في أي موضوع من موضوعات الرياضيات العليا. الرسوم البيانية للدمى؟ يمكن للمرء أن يقول ذلك.

نظرا للطلبات العديدة من القراء جدول محتويات قابل للنقر:

بالإضافة إلى ذلك، هناك ملخص قصير للغاية حول هذا الموضوع
- أتقن 16 نوعًا من الرسوم البيانية من خلال دراسة ست صفحات!

على محمل الجد، ستة، حتى أنني فوجئت. يحتوي هذا الملخص على رسومات محسنة ومتاح مقابل رسوم رمزية، ويمكن الاطلاع على نسخة تجريبية. من السهل طباعة الملف بحيث تكون الرسوم البيانية في متناول اليد دائمًا. شكرا لدعم المشروع!

ولنبدأ على الفور:

كيفية بناء محاور الإحداثيات بشكل صحيح؟

من الناحية العملية، يتم إكمال الاختبارات دائمًا تقريبًا من قبل الطلاب في دفاتر ملاحظات منفصلة، ​​مبطنة في مربع. لماذا تحتاج إلى علامات متقلب؟ بعد كل شيء، يمكن أن يتم العمل، من حيث المبدأ، على أوراق A4. والقفص ضروري فقط لتصميم الرسومات عالي الجودة والدقيق.

يبدأ أي رسم للرسم البياني للدالة بمحاور الإحداثيات.

يمكن أن تكون الرسومات ثنائية الأبعاد أو ثلاثية الأبعاد.

دعونا نفكر أولاً في الحالة ثنائية الأبعاد نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل:

1) رسم محاور الإحداثيات. يسمى المحور المحور السيني ، والمحور هو المحور ص . نحاول دائمًا رسمهم أنيق وغير ملتوي. يجب أيضًا ألا تشبه الأسهم لحية بابا كارلو.

2) نوقع المحاور بالأحرف الكبيرة "X" و"Y". لا تنس تسمية المحاور.

3) ضبط المقياس على طول المحاور: ارسم صفرًا واثنين من الآحاد. عند الرسم، فإن المقياس الأكثر ملاءمة والأكثر استخدامًا هو: وحدة واحدة = خليتين (الرسم على اليسار) - التزم به إذا أمكن. ومع ذلك، من وقت لآخر يحدث أن الرسم لا يتناسب مع ورقة دفتر الملاحظات - ثم نقوم بتقليل المقياس: وحدة واحدة = خلية واحدة (الرسم على اليمين). إنه أمر نادر، ولكن يحدث أنه يجب تقليل (أو زيادة) حجم الرسم أكثر

ليست هناك حاجة إلى "مدفع رشاش"...-5، -4، -3، -1، 0، 1، 2، 3، 4، 5، .....لأن المستوى الإحداثي ليس نصبًا تذكاريًا لديكارت، والطالب ليس حمامة. نضع صفرو وحدتين على طول المحاور. أحيانا بدلاً منالوحدات، من الملائم "وضع علامة" على القيم الأخرى، على سبيل المثال، "اثنين" على محور الإحداثيات و"ثلاثة" على المحور الإحداثي - وهذا النظام (0 و2 و3) سيحدد أيضًا شبكة الإحداثيات بشكل فريد.

من الأفضل تقدير الأبعاد المقدرة للرسم قبل إنشاء الرسم. لذلك، على سبيل المثال، إذا كانت المهمة تتطلب رسم مثلث ذو رؤوس، ,، فمن الواضح تمامًا أن المقياس الشائع 1 وحدة = 2 خلية لن يعمل. لماذا؟ دعونا نلقي نظرة على هذه النقطة - هنا سيتعين عليك قياس خمسة عشر سنتيمترًا لأسفل، ومن الواضح أن الرسم لن يتناسب (أو بالكاد يتناسب) مع ورقة دفتر الملاحظات. لذلك، نختار على الفور مقياسًا أصغر: وحدة واحدة = خلية واحدة.

بالمناسبة، حوالي سنتيمترات وخلايا الكمبيوتر المحمول. هل صحيح أن 30 خلية دفترية تحتوي على 15 سم؟ للمتعة، قم بقياس 15 سم في دفترك باستخدام المسطرة. ربما كان هذا صحيحًا في الاتحاد السوفييتي... ومن المثير للاهتمام ملاحظة أنه إذا قمت بقياس هذه السنتيمترات نفسها أفقيًا وعموديًا، فإن النتائج (في الخلايا) ستكون مختلفة! بالمعنى الدقيق للكلمة، أجهزة الكمبيوتر المحمولة الحديثة ليست متقلب، ولكن مستطيلة. قد يبدو هذا هراء، ولكن رسم دائرة بالبوصلة في مثل هذه المواقف، على سبيل المثال، أمر غير مريح للغاية. لنكون صادقين، في مثل هذه اللحظات، تبدأ في التفكير في صحة الرفيق ستالين، الذي تم إرساله إلى معسكرات العمل الاختراق في الإنتاج، ناهيك عن صناعة السيارات المحلية أو الطائرات المتساقطة أو انفجار محطات الطاقة.

الحديث عن الجودة، أو توصية موجزة بشأن القرطاسية. اليوم، معظم أجهزة الكمبيوتر المحمولة معروضة للبيع، كلمات سيئةناهيك عن القمامة الكاملة. لسبب أنها تتبلل، ليس فقط من أقلام الجل، ولكن أيضًا من أقلام الحبر الجاف! إنهم يوفرون المال على الورق. للتسجيل الاختباراتأوصي باستخدام دفاتر الملاحظات من Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 ورقة، شبكة) أو "Pyaterochka"، على الرغم من أنها أكثر تكلفة. يُنصح باختيار قلم جل، فحتى أرخص عبوة هلام صينية أفضل بكثير من قلم الحبر الجاف، الذي إما يلطخ الورق أو يمزقه. قلم الحبر الوحيد "التنافسي" الذي يمكنني تذكره هو قلم إريك كراوس. إنها تكتب بشكل واضح وجميل ومتسق – سواء بنواة كاملة أو بنواة فارغة تقريبًا.

بالإضافة إلى ذلك: رؤية نظام الإحداثيات المستطيل من خلال عيون الهندسة التحليلية تمت تغطيتها في المقالة الاعتماد الخطي (غير) للمتجهات. أساس المتجهات, معلومات مفصلةيمكن العثور على الأرباع الإحداثية في الفقرة الثانية من الدرس المتباينات الخطية.

حالة ثلاثية الأبعاد

إنه نفس الشيء تقريبًا هنا.

1) رسم محاور الإحداثيات. معيار: ينطبق المحور – موجه للأعلى، المحور – موجه لليمين، المحور – موجه للأسفل لليسار بشكل صارمبزاوية 45 درجة.

2) تسمية المحاور.

3) ضبط المقياس على طول المحاور. المقياس على طول المحور أصغر مرتين من المقياس على طول المحاور الأخرى. لاحظ أيضًا أنه في الرسم الأيمن استخدمت "درجة" غير قياسية على طول المحور (وقد سبق ذكر هذا الاحتمال أعلاه). من وجهة نظري، هذا أكثر دقة وأسرع وأكثر جمالية - ليست هناك حاجة للبحث عن منتصف الخلية تحت المجهر و"نحت" وحدة قريبة من أصل الإحداثيات.

عند عمل رسم ثلاثي الأبعاد، أعط الأولوية مرة أخرى للقياس
وحدة واحدة = خليتين (الرسم على اليسار).

لماذا كل هذه القواعد؟ مصنوعة قواعد لا بد من كسرها. وهذا ما سأفعله الآن. والحقيقة هي أن الرسومات اللاحقة للمقال سوف أقوم بها في Excel، وستبدو محاور الإحداثيات غير صحيحة من وجهة النظر التصميم الصحيح. يمكنني رسم جميع الرسوم البيانية يدويًا، ولكن من المخيف في الواقع رسمها لأن برنامج Excel متردد في رسمها بشكل أكثر دقة.

الرسوم البيانية والخصائص الأساسية للوظائف الأولية

دالة خطيةتعطى بواسطة المعادلة. الرسم البياني للوظائف الخطية هو مباشر. من أجل بناء خط مستقيم، يكفي معرفة نقطتين.

مثال 1

إنشاء رسم بياني للوظيفة. دعونا نجد نقطتين. من المفيد اختيار الصفر كأحد النقاط.

اذا ثم

لنأخذ نقطة أخرى، على سبيل المثال، 1.

اذا ثم

عند الانتهاء من المهام، عادة ما يتم تلخيص إحداثيات النقاط في جدول:

ويتم حساب القيم نفسها شفويا أو على مسودة الآلة الحاسبة.

تم العثور على نقطتين، دعونا نرسم:

عند إعداد الرسم، نقوم دائمًا بالتوقيع على الرسومات.

قد يكون من المفيد التذكير بحالات خاصة للدالة الخطية:

لاحظوا كيف وضعت التوقيعات، يجب ألا تسمح التوقيعات بالتناقضات عند دراسة الرسم. في هذه الحالة، كان من غير المرغوب فيه للغاية وضع التوقيع بجوار نقطة تقاطع الخطوط، أو في أسفل اليمين بين الرسوم البيانية.

1) تسمى الدالة الخطية بالشكل () التناسب المباشر. على سبيل المثال، . يمر مخطط التناسب المباشر دائمًا عبر نقطة الأصل. وبالتالي، يتم تبسيط إنشاء خط مستقيم - يكفي العثور على نقطة واحدة فقط.

2) تحدد معادلة النموذج خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور، على وجه الخصوص، يتم إعطاء المحور نفسه بواسطة المعادلة. يتم رسم الرسم البياني للدالة على الفور، دون العثور على أي نقاط. أي أنه يجب فهم الإدخال على النحو التالي: "y تساوي دائمًا -4 لأي قيمة لـ x."

3) تحدد معادلة النموذج خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور، على وجه الخصوص، يتم إعطاء المحور نفسه بواسطة المعادلة. يتم أيضًا رسم الرسم البياني للوظيفة على الفور. يجب أن يُفهم الإدخال على النحو التالي: "x دائمًا، لأي قيمة لـ y، تساوي 1."

قد يتساءل البعض لماذا تتذكر الصف السادس؟! هذا هو الحال، ربما يكون الأمر كذلك، ولكن على مدار سنوات الممارسة التقيت بعدد كبير من الطلاب الذين كانوا في حيرة من أمرهم بشأن مهمة إنشاء رسم بياني مثل أو.

يعد إنشاء خط مستقيم هو الإجراء الأكثر شيوعًا عند عمل الرسومات.

وقد تمت مناقشة الخط المستقيم بالتفصيل في سياق الهندسة التحليلية، ويمكن للمهتمين الرجوع إلى المقال معادلة الخط المستقيم على المستوى.

رسم بياني لدالة تربيعية ومكعبة، رسم بياني لكثيرة الحدود

القطع المكافئ. الرسم البياني للدالة التربيعية () يمثل القطع المكافئ. لنتأمل الحالة الشهيرة:

دعونا نتذكر بعض خصائص الوظيفة.

إذن حل معادلتنا: – عند هذه النقطة يقع رأس القطع المكافئ. يمكن العثور على سبب ذلك في المقالة النظرية حول المشتقة والدرس الخاص بالنقاط القصوى للدالة. في هذه الأثناء، دعونا نحسب قيمة "Y" المقابلة:

وبالتالي فإن قمة الرأس تقع عند النقطة

والآن نجد نقاطًا أخرى، بينما نستخدم بوقاحة تماثل القطع المكافئ. وتجدر الإشارة إلى أن الوظيفة – ليست حتىولكن، مع ذلك، لم يقم أحد بإلغاء تماثل القطع المكافئ.

وبأي ترتيب للعثور على النقاط المتبقية أعتقد أنه سيكون واضحاً من الجدول النهائي:

هذه الخوارزميةيمكن تسمية الإنشاءات مجازيًا بمبدأ "المكوك" أو "ذهابًا وإيابًا" لدى Anfisa Chekhova.

لنقم بالرسم:

ومن خلال الرسوم البيانية التي تم فحصها، تتبادر إلى الذهن ميزة أخرى مفيدة:

لدالة تربيعية () صحيح ما يلي:

إذا، فإن فروع القطع المكافئ موجهة للأعلى.

إذا، فإن فروع القطع المكافئ موجهة نحو الأسفل.

يمكن الحصول على معرفة متعمقة حول المنحنى في درس القطع الزائد والقطع المكافئ.

يتم إعطاء القطع المكافئ المكعب بواسطة الوظيفة. هنا رسم مألوف من المدرسة:

دعونا قائمة الخصائص الرئيسية للوظيفة

رسم بياني للدالة

وهو يمثل أحد فروع القطع المكافئ. لنقم بالرسم:

الخصائص الرئيسية للوظيفة:

وفي هذه الحالة يكون المحور الخط المقارب الرأسي للرسم البياني للقطع الزائد في .

سيكون من الخطأ الفادح أن تسمح للرسم البياني بالتقاطع مع الخط المقارب أثناء رسم الرسم.

تخبرنا الحدود أحادية الجانب أيضًا أن القطع الزائد لا يقتصر من فوقو لا يقتصر من الأسفل.

دعونا نتفحص الدالة عند اللانهاية: أي أننا إذا بدأنا التحرك على طول المحور إلى اليسار (أو اليمين) إلى ما لا نهاية، فإن "الألعاب" ستكون في خطوة منظمة قريبة بلا حدوديقترب من الصفر، وبالتالي فروع القطع الزائد قريبة بلا حدودالاقتراب من المحور.

وبالتالي فإن المحور هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للدالة، إذا كان "x" يميل إلى زائد أو ناقص اللانهاية.

الوظيفة هي غريب، وبالتالي فإن القطع الزائد متماثل حول الأصل. هذه الحقيقة واضحة من الرسم، بالإضافة إلى أنه يمكن التحقق منها بسهولة من الناحية التحليلية: .

يمثل الرسم البياني لدالة النموذج () فرعين من القطع الزائد.

إذا كان القطع الزائد يقع في ربعي الإحداثيات الأول والثالث(انظر الصورة أعلاه).

إذا كان القطع الزائد يقع في ربعي الإحداثيات الثاني والرابع.

من السهل تحليل النمط المشار إليه لإقامة القطع الزائد من وجهة نظر التحولات الهندسية للرسوم البيانية.

مثال 3

بناء الفرع الأيمن من القطع الزائد

نستخدم طريقة البناء النقطي، ومن المفيد اختيار القيم بحيث تكون قابلة للقسمة على الكل:

لنقم بالرسم:

لن يكون من الصعب بناء و الفرع الأيسرالقطع الزائد، فإن غرابة الوظيفة ستساعد هنا. بشكل تقريبي، في جدول البناء النقطي، نضيف عقليًا ناقصًا لكل رقم، ونضع النقاط المقابلة ونرسم الفرع الثاني.

يمكن العثور على معلومات هندسية تفصيلية حول الخط المعني في مقالة القطع الزائد والقطع المكافئ.

رسم بياني للدالة الأسية

في هذا القسم، سأفكر على الفور في الوظيفة الأسية، لأنه في مشاكل الرياضيات العليا في 95٪ من الحالات، تظهر الأسي.

اسمحوا لي أن أذكرك أن هذا رقم غير منطقي: سيكون هذا مطلوبًا عند إنشاء رسم بياني، والذي سأبنيه في الواقع بدون احتفال. ثلاث نقاط، ولعل هذا يكفي:

دعونا نترك الرسم البياني للوظيفة بمفرده في الوقت الحالي، وسنتحدث عنه لاحقًا.

الخصائص الرئيسية للوظيفة:

تبدو الرسوم البيانية للوظائف، وما إلى ذلك، متشابهة بشكل أساسي.

ويجب أن أقول إن الحالة الثانية تحدث بشكل أقل تكرارا في الممارسة العملية، ولكنها تحدث، لذلك رأيت أنه من الضروري إدراجها في هذه المقالة.

رسم بياني للدالة اللوغاريتمية

النظر في وظيفة مع اللوغاريتم الطبيعي.
دعونا نرسم نقطة بنقطة:

إذا نسيت ما هو اللوغاريتم، يرجى الرجوع إلى الكتب المدرسية الخاصة بك.

الخصائص الرئيسية للوظيفة:

اِختِصاص:

مدى من القيم: .

الوظيفة لا تقتصر على ما سبق: وإن كان ذلك ببطء، إلا أن فرع اللوغاريتم يرتفع إلى ما لا نهاية.
دعونا نتفحص سلوك الدالة القريبة من الصفر على اليمين: . وبالتالي فإن المحور هو الخط المقارب الرأسي للرسم البياني للدالة حيث يميل "x" إلى الصفر من اليمين.

من الضروري معرفة وتذكر القيمة النموذجية للوغاريتم: .

من حيث المبدأ، يبدو الرسم البياني للوغاريتم للأساس كما هو: , , (اللوغاريتم العشري للأساس 10)، إلخ. علاوة على ذلك، كلما كانت القاعدة أكبر، كلما كان الرسم البياني مسطحًا.

لن ننظر في القضية، لا أتذكر متى آخر مرةلقد قمت ببناء رسم بياني على هذا الأساس. ويبدو أن اللوغاريتم ضيف نادر جدًا في مشاكل الرياضيات العليا.

وفي نهاية هذه الفقرة سأقول حقيقة أخرى: الدالة الأسيةوالدالة اللوغاريتمية- الاثنان متبادلان وظائف عكسية . إذا نظرت عن كثب إلى الرسم البياني للوغاريتم، يمكنك أن ترى أن هذا هو نفس الأس، ولكنه يقع بشكل مختلف قليلاً.

الرسوم البيانية للدوال المثلثية

أين يبدأ العذاب المثلثي في ​​المدرسة؟ يمين. من جيب

دعونا نرسم الوظيفة

هذا الخط يسمى الجيوب الأنفية.

اسمحوا لي أن أذكرك أن "باي" هو عدد غير نسبي: وفي علم المثلثات يجعل عينيك تبهر.

الخصائص الرئيسية للوظيفة:

هذه الوظيفة دوريةمع فترة . ماذا يعني ذلك؟ دعونا نلقي نظرة على هذا الجزء. وعلى يساره ويمينه، تتكرر نفس القطعة من الرسم البياني إلى ما لا نهاية.

اِختِصاص: أي أنه لأي قيمة لـ "x" هناك قيمة جيبية.

مدى من القيم: . الوظيفة هي محدود: أي أن جميع "الألعاب" موجودة بشكل صارم في هذا المقطع.
هذا لا يحدث: أو بالأحرى، يحدث، لكن هذه المعادلات ليس لها حل.

كيفية بناء القطع المكافئ؟ هناك عدة طرق لرسم دالة تربيعية بيانيًا. كل واحد منهم لديه إيجابيات وسلبيات. دعونا نفكر في طريقتين.

لنبدأ برسم دالة تربيعية بالشكل y=x²+bx+c وy= -x²+bx+c.

مثال.

ارسم بيانيًا الدالة y=x²+2x-3.

حل:

y=x²+2x-3 هي دالة تربيعية. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى. إحداثيات قمة القطع المكافئ

من الرأس (-1;-4) نبني رسمًا بيانيًا للقطع المكافئ y=x² (اعتبارًا من أصل الإحداثيات. بدلاً من (0;0) - الرأس (-1;-4). من (-1; -4) نذهب إلى اليمين بمقدار وحدة واحدة وإلى الأعلى بمقدار وحدة واحدة، ثم إلى اليسار بمقدار 1 وإلى الأعلى بمقدار 1؛ كذلك: 2 - يمين، 4 - أعلى، 2 - يسار، 4 - أعلى؛ 3 - يمين، 9 - لأعلى، 3 - يسار، 9 - أعلى، إذا كانت هذه النقاط السبعة غير كافية، إذن 4 إلى اليمين، 16 إلى الأعلى، وما إلى ذلك).

الرسم البياني للدالة التربيعية y= -x²+bx+c عبارة عن قطع مكافئ، يتم توجيه فروعه نحو الأسفل. لإنشاء رسم بياني، نبحث عن إحداثيات الرأس ومنه نبني قطعًا مكافئًا y= -x².

مثال.

ارسم الدالة y= -x²+2x+8.

حل:

y= -x²+2x+8 هي دالة تربيعية. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأسفل. إحداثيات قمة القطع المكافئ

من الأعلى نبني القطع المكافئ y= -x² (1 - إلى اليمين، 1- إلى الأسفل؛ 1 - إلى اليسار، 1 - إلى الأسفل؛ 2 - إلى اليمين، 4 - إلى الأسفل؛ 2 - إلى اليسار، 4 - إلى الأسفل، إلخ.):

تسمح لك هذه الطريقة ببناء القطع المكافئ بسرعة ولا تسبب صعوبات إذا كنت تعرف كيفية رسم الدالتين y=x² وy= -x². العيب: إذا كانت إحداثيات القمة أرقام كسرية، فإن إنشاء رسم بياني ليس أمرًا مريحًا للغاية. إذا كنت بحاجة إلى معرفة القيم الدقيقةنقاط تقاطع الرسم البياني مع محور الثور، سيتعين عليك أيضًا حل المعادلة x²+bx+c=0 (أو -x²+bx+c=0)، حتى لو كان من الممكن تحديد هذه النقاط مباشرة من الرسم.

هناك طريقة أخرى لإنشاء قطع مكافئ وهي بالنقاط، أي أنه يمكنك العثور على عدة نقاط على الرسم البياني ورسم قطع مكافئ من خلالها (مع الأخذ في الاعتبار أن الخط x=xₒ هو محور التماثل). عادةً ما يتم أخذ قمة القطع المكافئ ونقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات و1-2 نقاط إضافية لهذا الغرض.

ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y=x²+5x+4.

حل:

y=x²+5x+4 هي دالة تربيعية. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى. إحداثيات قمة القطع المكافئ

أي أن رأس القطع المكافئ هو النقطة (-2.5؛ -2.25).

يبحثون عن . عند نقطة التقاطع مع محور الثور y=0: x²+5x+4=0. الجذور معادلة من الدرجة الثانية x1=-1, x2=-4، أي أننا حصلنا على نقطتين على الرسم البياني (-1; 0) و(-4; 0).

عند نقطة تقاطع الرسم البياني مع محور Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. لقد حصلنا على النقطة (0؛ 4).

لتوضيح الرسم البياني، يمكنك العثور على نقطة إضافية. لنأخذ x=1، ثم y=1²+5∙1+4=10، أي نقطة أخرى على الرسم البياني هي (1؛ 10). نحتفل بهذه النقاط على المستوى الإحداثي. مع الأخذ في الاعتبار تماثل القطع المكافئ بالنسبة للخط الذي يمر عبر رأسه، نحدد نقطتين إضافيتين: (-5؛ 6) و (-6؛ 10) ونرسم قطعًا مكافئًا من خلالهما:

ارسم الدالة y= -x²-3x.

حل:

y= -x²-3x هي دالة تربيعية. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأسفل. إحداثيات قمة القطع المكافئ

الرأس (-1.5؛ 2.25) هو النقطة الأولى في القطع المكافئ.

عند نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور x y=0، نحل المعادلة -x²-3x=0. جذورها هي x=0 وx=-3، أي (0;0) و(-3;0) - نقطتان إضافيتان على الرسم البياني. النقطة (o; 0) هي أيضًا نقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور الإحداثي.

عند x=1 y=-1²-3∙1=-4، تكون (1; -4) نقطة إضافية للتخطيط.

يعد إنشاء القطع المكافئ من النقاط طريقة أكثر كثافة في العمالة مقارنة بالطريقة الأولى. إذا لم يتقاطع القطع المكافئ مع محور الثور، فستكون هناك حاجة إلى المزيد من النقاط الإضافية.

قبل الاستمرار في إنشاء الرسوم البيانية للدوال التربيعية بالصيغة y=ax²+bx+c، دعونا نفكر في إنشاء الرسوم البيانية للدوال باستخدام التحولات الهندسية. ومن الأكثر ملائمة أيضًا إنشاء رسوم بيانية للدوال بالصيغة y=x²+c باستخدام أحد هذه التحويلات - الترجمة الموازية.

التصنيف: |

دالة النموذج حيث يتم استدعاؤها وظيفة من الدرجة الثانية.

الرسم البياني للدالة التربيعية – القطع المكافئ.

دعونا ننظر في الحالات:

أنا أعتبر القطع المكافئ الكلاسيكي

إنه ، ،

للبناء، املأ الجدول عن طريق استبدال قيم x في الصيغة:

ضع علامة على النقاط (0؛0)؛ (1؛1)؛ (-1؛1)، الخ. على المستوى الإحداثي (كلما كانت الخطوة التي نتخذها لقيم x أصغر (في هذه الحالة، الخطوة 1)، وكلما زادت قيم x التي نتخذها، كلما كان المنحنى أكثر سلاسة)، نحصل على القطع المكافئ:

من السهل أن نرى أنه إذا أخذنا الحالة، فسنحصل على قطع مكافئ متماثل حول المحور (أوه). من السهل التحقق من ذلك عن طريق ملء جدول مماثل:

الحالة الثانية، "أ" تختلف عن الوحدة

ماذا سيحدث لو أخذنا ،،؟ كيف سيتغير سلوك القطع المكافئ؟ مع العنوان = " تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

في الصورة الأولى (أنظر أعلاه) يظهر بوضوح أن النقاط من الجدول الخاص بالقطع المكافئ (1;1)، (-1;1) قد تم تحويلها إلى نقاط (1;4)، (1;-4)، أي أنه مع نفس القيم، يتم ضرب إحداثيات كل نقطة في 4. سيحدث هذا لجميع النقاط الرئيسية في الجدول الأصلي. نحن نفكر بالمثل في حالتي الصورتين 2 و 3.

وعندما "يصبح القطع المكافئ أوسع" من القطع المكافئ:

دعونا نلخص:

1)تحدد علامة المعامل اتجاه الفروع. مع العنوان = " تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) قيمه مطلقهالمعامل (المعامل) هو المسؤول عن "تمدد" و"ضغط" القطع المكافئ. كلما كان القطع المكافئ أكبر، كان القطع المكافئ أضيق؛ وكلما كان |a| أصغر، كان القطع المكافئ أوسع.

الحالة الثالثة، تظهر "C".

الآن دعونا ندخل في اللعبة (أي، النظر في الحالة عندما)، سننظر في القطع المكافئة من النموذج . ليس من الصعب التخمين (يمكنك دائمًا الرجوع إلى الجدول) أن القطع المكافئ سيتحرك لأعلى أو لأسفل على طول المحور اعتمادًا على الإشارة:

الحالة الرابعة، تظهر "ب".

متى "ينفصل" القطع المكافئ عن المحور ويسير في النهاية على طول المستوى الإحداثي بأكمله؟ متى سيتوقف عن المساواة؟

هنا لبناء القطع المكافئ الذي نحتاجه صيغة لحساب قمة الرأس: , .

إذن عند هذه النقطة (كما في النقطة (0؛0) نظام جديدالإحداثيات) سنقوم ببناء القطع المكافئ، وهو ما يمكننا القيام به بالفعل. إذا كنا نتعامل مع هذه الحالة، فمن قمة الرأس نضع قطعة وحدة واحدة إلى اليمين، وواحدة لأعلى - النقطة الناتجة هي نقطتنا (وبالمثل، خطوة إلى اليسار، خطوة للأعلى هي نقطتنا)؛ إذا كنا نتعامل، على سبيل المثال، فمن الرأس نضع قطعة وحدة واحدة إلى اليمين، واثنين - لأعلى، وما إلى ذلك.

على سبيل المثال، قمة القطع المكافئ:

الآن الشيء الرئيسي الذي يجب أن نفهمه هو أننا في هذه القمة سنبني قطعًا مكافئًا وفقًا لنمط القطع المكافئ، لأنه في حالتنا.

عند بناء القطع المكافئ بعد العثور على إحداثيات قمة الرأس جدامن الملائم مراعاة النقاط التالية:

1) القطع المكافئ سوف تمر بالتأكيد من خلال هذه النقطة . في الواقع، باستبدال x=0 في الصيغة، نحصل على ذلك. أي أن إحداثية نقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور (oy) هي . في مثالنا (أعلاه)، يتقاطع القطع المكافئ مع الإحداثي عند النقطة .

2) محاور التماثل القطع المكافئة هو خط مستقيم، لذا فإن جميع نقاط القطع المكافئ ستكون متماثلة حوله. في مثالنا، نأخذ النقطة (0؛ -2) على الفور ونبنيها متناظرة بالنسبة إلى محور تماثل القطع المكافئ، نحصل على النقطة (4؛ -2) التي سيمر من خلالها القطع المكافئ.

3) وبمساواة نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور (يا). للقيام بذلك، قمنا بحل المعادلة. اعتمادًا على المُميز، سنحصل على واحد (، ) ، اثنان ( title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . في المثال السابق، جذر المميز ليس عددًا صحيحًا؛ عند البناء، ليس من المنطقي بالنسبة لنا إيجاد الجذور، لكننا نرى بوضوح أنه سيكون لدينا نقطتا تقاطع مع المحور (أوه). (منذ العنوان = " تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

لذلك دعونا نعمل على حل هذه المشكلة

خوارزمية بناء القطع المكافئ إذا تم تقديمها في النموذج

1) تحديد اتجاه الفروع (أ>0 – أعلى، أ<0 – вниз)

2) نجد إحداثيات رأس القطع المكافئ باستخدام الصيغة .

3) نجد نقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور (oy) باستخدام المصطلح الحر، وننشئ نقطة متناظرة لهذه النقطة بالنسبة إلى محور تماثل القطع المكافئ (تجدر الإشارة إلى أنه يحدث أنه من غير المربح تحديد هذه النقطة مثلا لأن القيمة كبيرة...نتخطى هذه النقطة...)

4) عند النقطة التي تم العثور عليها - قمة القطع المكافئ (كما هو الحال عند النقطة (0؛0) من نظام الإحداثيات الجديد) نقوم ببناء القطع المكافئ. إذا كان العنوان = " تم تقديمه بواسطة QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور (oy) (إذا لم "تظهر" بعد) عن طريق حل المعادلة

مثال 1

مثال 2

ملاحظة 1.إذا تم إعطاء القطع المكافئ لنا في البداية في النموذج، حيث توجد بعض الأرقام (على سبيل المثال، )، فسيكون من الأسهل بناءه، لأننا حصلنا بالفعل على إحداثيات الرأس. لماذا؟

لنأخذ ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية ونعزل المربع الكامل فيها: انظر، لقد حصلنا على ذلك، . لقد قمنا أنا وأنت سابقًا بتسمية قمة القطع المكافئ، أي الآن.

على سبيل المثال، . نحدد قمة القطع المكافئ على المستوى، ونفهم أن الفروع موجهة نحو الأسفل، ويتم توسيع القطع المكافئ (بالنسبة إلى ). أي أننا ننفذ النقاط 1؛ 3؛ 4؛ 5 من خوارزمية بناء القطع المكافئ (انظر أعلاه).

ملاحظة 2.إذا تم إعطاء القطع المكافئ في شكل مشابه لهذا (أي يتم تقديمه كمنتج لعاملين خطيين)، فإننا نرى على الفور نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور (الثور). في هذه الحالة – ​​(0;0) و (4;0). بالنسبة للباقي، نتصرف وفقًا للخوارزمية، ونفتح الأقواس.

في دروس الرياضيات في المدرسة، لقد تعرفت بالفعل على أبسط الخصائص والرسم البياني للدالة ص = س 2. دعونا توسيع معرفتنا على وظيفة من الدرجة الثانية.

التمرين 1.

رسم بياني للوظيفة ص = س 2. المقياس: 1 = 2 سم حدد نقطة على محور أوي F(0 ؛ 1/4). باستخدام البوصلة أو شريط من الورق، قم بقياس المسافة من النقطة Fإلى حد ما مالقطع المكافئة. ثم قم بتثبيت الشريط عند النقطة M وقم بتدويره حول تلك النقطة حتى يصبح عموديًا. سوف تقع نهاية الشريط أسفل المحور السيني قليلاً (رسم بياني 1). حدد على الشريط مدى امتداده خارج المحور السيني. الآن خذ نقطة أخرى على القطع المكافئ وكرر القياس مرة أخرى. إلى أي مدى سقطت حافة الشريط أسفل المحور السيني؟

نتيجة:بغض النظر عن النقطة الموجودة على القطع المكافئ y = x 2، فإن المسافة من هذه النقطة إلى النقطة F(0; 1/4) ستكون أكبر من المسافة من نفس النقطة إلى محور الإحداثي السيني بنفس الرقم دائمًا - 1/4.

يمكننا أن نقول ذلك بشكل مختلف: المسافة من أي نقطة من القطع المكافئ إلى النقطة (0؛ 1/4) تساوي المسافة من نفس نقطة القطع المكافئ إلى الخط المستقيم y = -1/4. تسمى هذه النقطة الرائعة F(0; 1/4). ركزالقطع المكافئ y = x 2، والخط المستقيم y = -1/4 - ناظرةهذا القطع المكافئ. كل قطع مكافئ له دليل وبؤرة.

خصائص مثيرة للاهتمام من القطع المكافئ:

1. تكون أي نقطة من القطع المكافئ على مسافة متساوية من نقطة ما تسمى بؤرة القطع المكافئ، ومن نقطة أخرى من الخط المستقيم تسمى دليله.

2. إذا قمت بتدوير قطع مكافئ حول محور التماثل (على سبيل المثال، القطع المكافئ y = x 2 حول محور Oy)، فسوف تحصل على سطح مثير للاهتمام للغاية يسمى القطع المكافئ للثورة.

سطح السائل في وعاء دوار له شكل قطع مكافئ للدوران. يمكنك رؤية هذا السطح إذا قمت بالتحريك بقوة باستخدام ملعقة في كوب شاي غير مكتمل، ثم قم بإزالة الملعقة.

3. إذا رميت حجرًا في الفراغ بزاوية معينة مع الأفق، فسوف يطير في شكل قطع مكافئ (الصورة 2).

4. إذا تقاطعت سطح المخروط مع مستوى موازي لأي من مولداته، فإن المقطع العرضي سينتج عنه قطع مكافئ (تين. 3).

5. تتمتع المتنزهات الترفيهية أحيانًا برحلة ممتعة تسمى Paraboloid of Wonders. يبدو لكل من يقف داخل القطع المكافئ الدوار أنه يقف على الأرض، بينما يتمسك بقية الأشخاص بطريقة ما بأعجوبة بالجدران.

6. في التلسكوبات العاكسة، تُستخدم أيضًا المرايا المكافئة: يتم تجميع ضوء نجم بعيد، يأتي في شعاع متوازي، يسقط على مرآة التلسكوب، في التركيز.

7. تحتوي الأضواء الكاشفة عادة على مرآة على شكل قطع مكافئ. إذا قمت بوضع مصدر ضوء في بؤرة القطع المكافئ، فإن الأشعة المنعكسة من المرآة ذات القطع المكافئ تشكل شعاعًا متوازيًا.

رسم بياني للدالة التربيعية

درست في دروس الرياضيات كيفية الحصول على الرسوم البيانية لدوال النموذج من الرسم البياني للدالة y = x 2:

1) ص = الفأس 2– تمديد الرسم البياني y = x 2 على طول محور Oy في |a| مرات (مع |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, أرز. 4).

2) ص = س 2 + ن- إزاحة الرسم البياني بمقدار n من الوحدات على طول محور Oy، وإذا كانت n > 0، فإن الإزاحة تكون للأعلى، وإذا كانت n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) ص = (س + م) 2- إزاحة الرسم البياني بوحدات م على طول محور الثور: إذا م< 0, то вправо, а если m >0 ثم غادر (الشكل 5).

4) ص = -س 2– عرض متماثل بالنسبة لمحور الثور في الرسم البياني y = x 2 .

دعونا نلقي نظرة فاحصة على رسم الوظيفة ص = أ(س – م) 2 + ن.

يمكن دائمًا اختزال الدالة التربيعية بالصيغة y = ax 2 + bx + c إلى الصورة

ص = أ(س – م) 2 + ن، حيث م = -ب/(2أ)، ن = -(ب 2 – 4أ)/(4أ).

دعونا نثبت ذلك.

حقًا،

ص = الفأس 2 + ب س + ج = أ(س 2 + (ب/أ) س + ج/أ) =

أ(س 2 + 2س · (ب/أ) + ب 2 /(4أ 2) – ب 2 /(4أ 2) + ج/أ) =

أ((x + ب/2أ) 2 – (ب 2 – 4أ)/(4أ 2)) = أ(س + ب/2أ) 2 – (ب 2 – 4أ)/(4أ).

دعونا نقدم رموزا جديدة.

يترك م = -ب/(2أ)، أ ن = -(ب2 – 4أ)/(4أ),

ثم نحصل على y = a(x – m) 2 + n أو y – n = a(x – m) 2.

لنجري المزيد من البدائل: دع y – n = Y، x – m = X (*).

ثم نحصل على الدالة Y = aX 2، ورسمها البياني عبارة عن قطع مكافئ.

قمة القطع المكافئ تقع في نقطة الأصل. س = 0؛ ص = 0.

باستبدال إحداثيات الرأس في (*)، نحصل على إحداثيات قمة الرسم البياني y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

وبالتالي، من أجل رسم دالة تربيعية ممثلة بـ

ص = أ(س – م) 2 + ن

من خلال التحولات، يمكنك المتابعة على النحو التالي:

أ)ارسم الدالة y = x 2 ;

ب)عن طريق الترجمة المتوازية على طول محور الثور بوحدات m وعلى طول محور Oy بوحدات n - نقل قمة القطع المكافئ من الأصل إلى النقطة ذات الإحداثيات (m؛ n) (الشكل 6).

تسجيل التحولات:

ص = س 2 → ص = (س – م) 2 → ص = أ(س – م) 2 → ص = أ(س – م) 2 + ن.

مثال.

باستخدام التحويلات، أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y = 2(x – 3) 2 في نظام الإحداثيات الديكارتية – 2.

حل.

سلسلة التحولات:

ص = س 2 (1) → ص = (س – 3) 2 (2) → ص = 2(س – 3) 2 (3) → ص = 2(س – 3) 2 – 2 (4) .

يظهر التخطيط في أرز. 7.

يمكنك التدرب على رسم الدوال التربيعية بيانيًا بنفسك. على سبيل المثال، قم ببناء رسم بياني للدالة y = 2(x + 3) 2 + 2 في نظام إحداثي واحد باستخدام التحويلات. إذا كانت لديك أي أسئلة أو ترغب في الحصول على نصيحة من أحد المعلمين، فلديك الفرصة لإجراء درس مجاني مدته 25 دقيقة مع مدرس عبر الإنترنتبعد التسجيل . لمزيد من العمل مع المعلم، يمكنك اختيار خطة التعريفة التي تناسبك.

لا تزال لديك أسئلة؟ لا أعرف كيفية رسم دالة تربيعية؟
للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.
الدرس الأول مجاني!

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.