مخطط هورنر - طريقة لتقسيم كثير الحدود

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

على ذات الحدين $x-a$. سيتعين عليك العمل مع جدول يحتوي الصف الأول منه على معاملات كثيرة الحدود المحددة. سيكون العنصر الأول من السطر الثاني هو الرقم $a$، المأخوذ من ذات الحدين $x-a$:

بعد قسمة كثيرة الحدود من الدرجة n على ذات الحدين $x-a$، نحصل على كثيرة الحدود التي تكون درجتها أقل بدرجة واحدة من الدرجة الأصلية، أي. يساوي $n-1$. من الأسهل توضيح التطبيق المباشر لمخطط هورنر باستخدام الأمثلة.

المثال رقم 1

اقسم $5x^4+5x^3+x^2-11$ على $x-1$ باستخدام مخطط هورنر.

لنقم بعمل جدول من سطرين: في السطر الأول نكتب معاملات كثيرة الحدود $5x^4+5x^3+x^2-11$، مرتبة بترتيب تنازلي لقوى المتغير $x$. لاحظ أن كثير الحدود هذا لا يحتوي على $x$ إلى الدرجة الأولى، أي. معامل $x$ للقوة الأولى هو 0. وبما أننا نقسم على $x-1$، نكتب واحدًا في السطر الثاني:

لنبدأ بملء الخلايا الفارغة في السطر الثاني. في الخلية الثانية من السطر الثاني نكتب الرقم $5$، وذلك ببساطة عن طريق نقله من الخلية المقابلة في السطر الأول:

لنملأ الخلية التالية وفقًا لهذا المبدأ: $1\cdot 5+5=10$:

لنملأ الخلية الرابعة من السطر الثاني بنفس الطريقة: $1\cdot 10+1=11$:

بالنسبة للخلية الخامسة نحصل على: $1\cdot 11+0=11$:

وأخيرًا، بالنسبة للخلية السادسة الأخيرة، لدينا: $1\cdot 11+(-11)=0$:

تم حل المشكلة، كل ما تبقى هو كتابة الجواب:

كما ترون، فإن الأرقام الموجودة في السطر الثاني (بين واحد وصفر) هي معاملات كثيرة الحدود التي تم الحصول عليها بعد قسمة $5x^4+5x^3+x^2-11$ على $x-1$. بطبيعة الحال، بما أن درجة كثيرة الحدود الأصلية $5x^4+5x^3+x^2-11$ كانت تساوي أربعة، فإن درجة كثيرة الحدود الناتجة $5x^3+10x^2+11x+11$ هي واحدة أقل، أي. يساوي ثلاثة. الرقم الأخير في السطر الثاني (صفر) يعني الباقي عند قسمة كثير الحدود $5x^4+5x^3+x^2-11$ على $x-1$. وفي حالتنا الباقي هو صفر، أي. كثيرات الحدود قابلة للقسمة بالتساوي. يمكن أيضًا وصف هذه النتيجة على النحو التالي: قيمة كثيرة الحدود $5x^4+5x^3+x^2-11$ لـ $x=1$ تساوي الصفر.

يمكن أيضًا صياغة الاستنتاج بهذه الصورة: نظرًا لأن قيمة كثيرة الحدود $5x^4+5x^3+x^2-11$ عند $x=1$ تساوي الصفر، فإن الوحدة هي جذر كثيرة الحدود $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

المثال رقم 2

اقسم كثير الحدود $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ على $x+3$ باستخدام مخطط هورنر.

دعونا نشترط على الفور أن التعبير $x+3$ يجب أن يظهر بالصيغة $x-(-3)$. سيتضمن مخطط هورنر بالضبط -3 دولارات. بما أن درجة كثيرة الحدود الأصلية $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ تساوي أربعة، فنتيجة للقسمة نحصل على كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة:

النتيجة تعني ذلك

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

في هذه الحالة، يكون الباقي عند قسمة $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ على $x+3$ هو $4$. أو، بالمثل، قيمة كثيرة الحدود $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ لـ $x=-3$ تساوي $4$. بالمناسبة، من السهل التحقق من ذلك مرة أخرى عن طريق الاستبدال المباشر $x=-3$ في كثيرة الحدود المحددة:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

أولئك. يمكن استخدام مخطط هورنر إذا كنت بحاجة إلى إيجاد قيمة كثيرة الحدود لقيمة معينة لمتغير. إذا كان هدفنا هو إيجاد جميع جذور كثيرة الحدود، فيمكن تطبيق مخطط هورنر عدة مرات متتالية حتى نستنفد جميع الجذور، كما تمت مناقشته في المثال رقم 3.

المثال رقم 3

أوجد جميع الجذور الصحيحة للكثيرة الحدود $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ باستخدام مخطط هورنر.

معاملات كثيرة الحدود المعنية هي أعداد صحيحة، ومعامل أعلى قوة للمتغير (أي $x^6$) يساوي واحدًا. في هذه الحالة، يجب البحث عن الجذور الصحيحة لكثيرة الحدود بين قواسم الحد الحر، أي. بين قواسم الرقم 45. بالنسبة للكثيرة حدود معينة، يمكن أن تكون هذه الجذور هي الأرقام $45؛ \; 15؛ \; 9؛ \; 5؛ \; 3؛ \; 1 دولار و-45 دولارًا؛ \; -15؛ \; -9؛ \; -5؛ \; -3؛ \; -1$. دعونا نتحقق، على سبيل المثال، من الرقم $1$:

كما ترون، قيمة كثيرة الحدود $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ مع $x=1$ تساوي $192$ (الرقم الأخير في السطر الثاني)، وليس $0 $، وبالتالي فإن الوحدة ليست جذر كثير الحدود هذا. نظرًا لفشل التحقق من أحد هذه العناصر، فلنتحقق من القيمة $x=-1$. لن نقوم بإنشاء جدول جديد لهذا، ولكننا سنستمر في استخدام الجدول. رقم 1 إضافة سطر (ثالث) جديد إليه. سيتم تمييز السطر الثاني، الذي تم تحديد قيمة $1$ فيه، باللون الأحمر ولن يتم استخدامه في مزيد من المناقشات.

يمكنك بالطبع إعادة كتابة الجدول مرة أخرى، لكن ملؤه يدويًا سيستغرق الكثير من الوقت. علاوة على ذلك، قد يكون هناك عدة أرقام سيفشل التحقق منها، ومن الصعب كتابة جدول جديد في كل مرة. عند الحساب "على الورق"، يمكن ببساطة شطب الخطوط الحمراء.

إذن، قيمة كثيرة الحدود $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ عند $x=-1$ تساوي صفر، أي. الرقم $-1$ هو جذر كثير الحدود هذا. بعد قسمة كثيرة الحدود $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ على ذات الحدين $x-(-1)=x+1$ نحصل على كثيرة الحدود $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$، والتي يتم أخذ معاملاتها من الصف الثالث من الجدول. رقم 2 (أنظر المثال رقم 1). يمكن أيضًا عرض نتيجة الحسابات في هذا النموذج:

\تبدأ(المعادلة)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\النهاية(المعادلة)

دعنا نواصل البحث عن الجذور الصحيحة. الآن نحن بحاجة إلى البحث عن جذور كثيرة الحدود $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. مرة أخرى، يتم البحث عن الجذور الصحيحة لكثيرة الحدود هذه بين مقسومات حدها الحر، الأرقام $45$. دعونا نحاول التحقق من الرقم $-1$ مرة أخرى. لن نقوم بإنشاء جدول جديد، ولكننا سنستمر في استخدام الجدول السابق. رقم 2، أي. دعنا نضيف سطرًا آخر إليه:

إذن، الرقم $-1$ هو جذر كثير الحدود $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. يمكن كتابة هذه النتيجة على النحو التالي:

\begin(معادلة)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(معادلة)

ومع مراعاة المساواة (2)، يمكن إعادة كتابة المساواة (1) بالشكل التالي:

\begin(معادلة)\begin(محاذاة) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\النهاية(محاذاة)\النهاية(المعادلة)

نحتاج الآن إلى البحث عن جذور كثيرة الحدود $x^4-22x^2+24x+45$ - بشكل طبيعي، بين قواسم حدها الحر (الأرقام $45$). دعونا نتحقق من الرقم $-1$ مرة أخرى:

الرقم $-1$ هو جذر كثير الحدود $x^4-22x^2+24x+45$. يمكن كتابة هذه النتيجة على النحو التالي:

\begin(معادلة)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(معادلة)

ومع مراعاة المساواة (4) نعيد كتابة المساواة (3) على الشكل التالي:

\begin(معادلة)\begin(محاذاة) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\النهاية(محاذاة)\النهاية(المعادلة)

نحن الآن نبحث عن جذور كثيرة الحدود $x^3-x^2-21x+45$. دعونا نتحقق من الرقم $-1$ مرة أخرى:

انتهى الشيك بالفشل. لنظلل السطر السادس باللون الأحمر ونحاول التحقق من رقم آخر، على سبيل المثال، الرقم $3$:

والباقي هو صفر، وبالتالي فإن الرقم $3$ هو جذر كثيرة الحدود المعنية. إذن $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. الآن يمكن إعادة كتابة المساواة (5) على النحو التالي.

الشريحة 3

هورنر ويليامز جورج (1786-22.9.1837) - عالم رياضيات إنجليزي. ولد في بريستول. درس وعمل هناك، ثم في مدارس باث. الأعمال الأساسية في الجبر. في عام 1819 نشر طريقة للحساب التقريبي للجذور الحقيقية لكثيرة الحدود، والتي تسمى الآن طريقة روفيني-هورنر (كانت هذه الطريقة معروفة لدى الصينيين في القرن الثالث عشر). يُسمى مخطط قسمة كثير الحدود على X-a ذي الحدين بعد هورنر.

الشريحة 4

مخطط هورنر

طريقة التقسيم كثير الحدود ندرجة على ذات الحدين الخطية - أ، بناءً على حقيقة أن معاملات الحاصل غير المكتمل والباقي مرتبطان بمعاملات كثير الحدود القابل للقسمة وبالصيغ:

الشريحة 5

يتم وضع الحسابات وفقًا لمخطط هورنر في الجدول:

مثال 1. القسمة: حاصل القسمة الجزئي هو x3-x2+3x - 13 والباقي هو 42=f(-3).

الشريحة 6

الميزة الرئيسية لهذه الطريقة هي ضغط التدوين والقدرة على تقسيم كثيرة الحدود بسرعة إلى ذات الحدين. في الواقع، مخطط هورنر هو شكل آخر من أشكال تسجيل طريقة التجميع، على الرغم من أنه، على عكس الأخير، غير مرئي تمامًا. والجواب (التحليل) يتم الحصول عليه هنا بنفسه، ولا نرى عملية الحصول عليه. لن ننخرط في إثبات صارم لمخطط هورنر، لكننا سنوضح فقط كيف يعمل.

الشريحة 7

مثال 2.

دعونا نثبت أن كثيرة الحدود P(x)=x4-6x3+7x-392 قابلة للقسمة على x-7، ونوجد حاصل القسمة. حل. وباستخدام مخطط هورنر نجد P(7): ومن هنا نحصل على P(7)=0، أي. والباقي عند قسمة كثيرة الحدود على x-7 يساوي صفر، وبالتالي فإن كثيرة الحدود P(x) هي من مضاعفات (x-7).علاوة على ذلك، فإن الأرقام الموجودة في الصف الثاني من الجدول هي معاملات حاصل قسمة P(x) على (x-7)، وبالتالي P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

الشريحة 8

عامل متعدد الحدود x3 – 5x2 – 2x + 16.

هذا كثير الحدود له معاملات عددية. إذا كان العدد الصحيح هو جذر كثير الحدود هذا، فهو مقسوم على الرقم 16. وبالتالي، إذا كان كثير الحدود المعين له جذور صحيحة، فيمكن أن تكون هذه الأرقام ± 1 فقط؛ ±2; ± 4؛ ± 8؛ ±16. وبالتحقق المباشر اقتنعنا أن الرقم 2 هو جذر كثيرة الحدود هذه، أي x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x)، حيث Q(x) كثيرة الحدود من الدرجة الثانية

الشريحة 9

الأرقام الناتجة 1، −3، −8 هي معاملات كثيرة الحدود، والتي يتم الحصول عليها عن طريق قسمة كثيرة الحدود الأصلية على x - 2. وهذا يعني أن نتيجة القسمة هي: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. درجة كثيرة الحدود الناتجة عن القسمة تكون دائمًا أقل بمقدار 1 من درجة الدرجة الأصلية. إذن: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

العودة إلى الأمام

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتم هذا العمل، يرجى تنزيل النسخة الكاملة.

نوع الدرس: درس في إتقان وترسيخ المعرفة الأولية.

الغرض من الدرس:

• تعريف الطلاب بمفهوم جذور كثيرة الحدود وتعليمهم كيفية العثور عليها. تحسين المهارات في استخدام مخطط هورنر لتوسيع كثيرة الحدود بالقوى وقسمة كثيرة الحدود على ذات الحدين.
• تعلم كيفية العثور على جذور المعادلة باستخدام مخطط هورنر.
• تطوير التفكير المجرد.
• تعزيز ثقافة الحوسبة.
• تطوير الاتصالات بين التخصصات.

خلال الفصول الدراسية

1. اللحظة التنظيمية.

أبلغ موضوع الدرس وصياغة الأهداف.

2. التحقق من الواجبات المنزلية.

3. دراسة مواد جديدة.

دع Fn(x) = أ ن × ن +أ ن-1 × ن-1 +...+ أ 1 × +أ 0 - كثيرة الحدود لـ x من الدرجة n، حيث a 0 ، a 1 ،...،a n تُعطى أرقامًا، و 0 لا يساوي 0. إذا تم تقسيم كثير الحدود F n (x) مع الباقي على ذات الحدين x-a، فإن خارج القسمة (حاصل القسمة غير المكتمل) هو متعدد الحدود Q n-1 (x) من الدرجة n-1، والباقي R هو رقم، والمساواة صحيحة F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.متعدد الحدود F n (x) قابل للقسمة على الحدين (x-a) فقط في حالة R=0.

نظرية بيزوت: الباقي R عند قسمة كثيرة الحدود F n (x) على ذات الحدين (x-a) يساوي القيمةمتعدد الحدود F n (x) لـ x=a، أي. ص = الحزب الشيوعي (أ).

قليلا من التاريخ. تعتبر نظرية بيزوت، على الرغم من بساطتها الواضحة ووضوحها، إحدى النظريات الأساسية في نظرية كثيرات الحدود. تربط هذه النظرية بين الخصائص الجبرية لكثيرات الحدود (التي تسمح بمعاملة كثيرات الحدود كأعداد صحيحة) مع خصائصها الوظيفية (التي تسمح بمعاملة كثيرات الحدود كوظائف). إحدى طرق حل المعادلات ذات الدرجات الأعلى هي تحليل كثير الحدود الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة. يتم حساب معاملات كثيرة الحدود والباقي على شكل جدول يسمى مخطط هورنر.

مخطط هورنر هو خوارزمية لتقسيم كثيرات الحدود، مكتوبة للحالة الخاصة عندما يكون حاصل القسمة مساويًا ذات الحدين س-أ.

هورنر ويليام جورج (1786 - 1837)، عالم رياضيات إنجليزي. البحوث الأساسية تتعلق بالنظرية المعادلات الجبرية. طور طريقة للحل التقريبي للمعادلات من أي درجة. في عام 1819، قدم طريقة مهمة للجبر تتمثل في تقسيم كثيرة الحدود على ذات الحدين x - a (مخطط هورنر).

اشتقاق الصيغة العامة لمخطط هورنر.

قسمة كثيرة الحدود f(x) مع باقي على ذات الحدين (x-c) تعني إيجاد كثيرة الحدود q(x) ورقم r بحيث يكون f(x)=(x-c)q(x)+r

ولنكتب هذه المساواة بالتفصيل:

و 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 س ن-3 +...+ ف ن-2 س + ف ن-1)+ر

دعونا نساوي المعاملات بنفس الدرجات:

س ن:	و 0 = ف 0	=> ف 0 = و 0
xn-1:	و 1 = س 1 - ج ف 0	=> ف 1 = و 1 + ج ف 0
xn-2:	و 2 = ف 2 - ج ف 1	=> ف 2 = و 2 + ج ف 1
...		...
×0:	و ن = ف ن - ج ف ن-1	=> ف ن = و ن + ج ف ن-1.

عرض لدائرة هورنر باستخدام مثال.

التمرين 1.باستخدام مخطط هورنر، نقسم كثيرة الحدود f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 مع الباقي على ذات الحدين x-2.

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4، حيث g(x)= (x 2 -3x-6)، r = -4 الباقي.

توسيع كثيرة الحدود في صلاحيات ذات الحدين.

باستخدام مخطط هورنر، نقوم بتوسيع كثيرة الحدود f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 في قوى ذات الحدين (x+2).

ونتيجة لذلك، يجب أن نحصل على التوسع f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( س+2 ) 2 -2(س+2)+12

غالبًا ما يستخدم مخطط هورنر عند حل المعادلات من الدرجات الثالثة والرابعة والأعلى، عندما يكون من المناسب توسيع كثيرة الحدود إلى ذات الحدين x-a. رقم أمُسَمًّى جذر كثير الحدود F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n، إذا كان في س=أقيمة كثيرة الحدود F n (x) تساوي الصفر: F n (a)=0، أي. إذا كان كثير الحدود قابلاً للقسمة على ذات الحدين x-a.

على سبيل المثال، الرقم 2 هو جذر كثيرة الحدود F 3 (x)=3x 3 -2x-20، حيث أن F 3 (2)=0. هذا يعني. أن تحليل كثير الحدود هذا يحتوي على العامل x-2.

ف 3 (س)=3س 3 -2س-20=(س-2)(3س 2 +6س+10).

أي كثيرة الحدود F n(x) من الدرجة ن 1 لا يمكن أن يكون أكثر من ذلك نجذور حقيقية.

أي جذر صحيح لمعادلة ذات معاملات صحيحة هو مقسوم على حدها الحر.

إذا كان المعامل الرئيسي للمعادلة هو 1، فكل شيء جذور عقلانيةالمعادلات، إن وجدت، هي عدد صحيح.

توحيد المواد المدروسة.

لتوحيد المادة الجديدة، الطلاب مدعوون لاستكمال الأرقام من الكتاب المدرسي 2.41 و 2.42 (ص 65).

(يحل طلابان على السبورة، والباقي، بعد أن يقرروا، يتحققون من المهام في دفتر الملاحظات مع الإجابات الموجودة على السبورة).

تلخيص.

بعد فهم هيكل ومبدأ تشغيل مخطط هورنر، يمكن استخدامه أيضًا في دروس علوم الكمبيوتر، عند النظر في مسألة تحويل الأعداد الصحيحة من نظام الأرقام العشرية إلى النظام الثنائي والعكس. أساس الانتقال من نظام أرقام إلى آخر هو النظرية العامة التالية

نظرية.لتحويل عدد صحيح ا ف بمن ص-ary نظام الأرقام لنظام الأرقام الأساسية دضروري ا ف بالقسمة بالتتابع مع الباقي على العدد د، مكتوب في نفسه ص-ary النظام حتى يصبح الحاصل الناتج يساوي الصفر. أما الباقي من القسمة فيكون د-أرقام رقمية إعلان، بدءًا من الفئة الأصغر إلى الفئة الأكبر. يجب تنفيذ جميع الإجراءات في ص-نظام الأرقام ary. للرجل هذه القاعدةمريحة فقط عندما ص= 10، أي عند الترجمة منالنظام العشري. أما الكمبيوتر، على العكس من ذلك، فهو “أكثر ملاءمة” لإجراء العمليات الحسابية فيه النظام الثنائي. ولذلك، لتحويل "2 إلى 10"، يتم استخدام التقسيم التسلسلي على عشرة في النظام الثنائي، و"10 إلى 2" هو جمع قوى العشرة. لتحسين حسابات إجراء "10 في 2"، يستخدم الكمبيوتر مخطط هورنر للحوسبة الاقتصادية.

العمل في المنزل. يقترح إكمال مهمتين.

الأول. باستخدام مخطط هورنر، اقسم كثيرة الحدود f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 على ذات الحدين (x-3).

الثاني. أوجد الجذور الصحيحة للكثيرة الحدود f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (مع الأخذ في الاعتبار أن أي جذر صحيح لمعادلة ذات معاملات صحيحة هو مقسوم على حدها الحر)

الأدب.

1. كوروش أ.ج. "دورة الجبر العالي."
2. نيكولسكي إس إم، بوتابوف إم كيه. وغيرها الصف العاشر "الجبر وبدايات التحليل الرياضي".
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.

عند حل المعادلات والمتباينات، غالبًا ما يكون من الضروري تحليل كثيرة الحدود التي تبلغ درجتها ثلاثة أو أعلى. في هذه المقالة سننظر في أسهل طريقة للقيام بذلك.

كالعادة، دعونا ننتقل إلى النظرية للحصول على المساعدة.

نظرية بيزوتينص على أن الباقي عند قسمة كثيرة الحدود على ذات الحدين هو .

لكن المهم بالنسبة لنا ليس النظرية نفسها، بل نتيجة طبيعية منه:

إذا كان الرقم هو جذر كثيرة الحدود، فإن كثيرة الحدود تكون قابلة للقسمة على ذات الحدين دون باقي.

نحن نواجه مهمة إيجاد جذر واحد على الأقل لكثيرة الحدود، ثم قسمة كثير الحدود على أين يوجد جذر كثير الحدود. ونتيجة لذلك، نحصل على كثيرة حدود درجتها أقل من درجة الأصل. وبعد ذلك، إذا لزم الأمر، يمكنك تكرار العملية.

وتنقسم هذه المهمة إلى قسمين: كيفية العثور على جذر كثيرة الحدود، وكيفية تقسيم كثيرة الحدود على ذات الحدين.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على هذه النقاط.

1. كيفية العثور على جذر كثير الحدود.

أولاً، نتحقق مما إذا كان الرقمان 1 و -1 هما جذور كثيرة الحدود.

الحقائق التالية ستساعدنا هنا:

إذا كان مجموع معاملات كثيرة الحدود يساوي صفرًا، فإن العدد هو جذر كثيرة الحدود.

على سبيل المثال، في كثيرة الحدود يكون مجموع المعاملات صفرًا: . من السهل التحقق من جذر كثير الحدود.

إذا كان مجموع معاملات كثيرة الحدود للقوى الزوجية يساوي مجموع معاملات كثيرة الحدود للقوى الفردية، فإن العدد هو جذر كثيرة الحدود.يعتبر الحد الحر معاملًا للدرجة الزوجية، حيث أن a هو رقم زوجي.

على سبيل المثال، في كثيرة الحدود مجموع معاملات القوى الزوجية هو: ومجموع معاملات القوى الفردية هو: . من السهل التحقق من جذر كثير الحدود.

إذا لم يكن 1 أو -1 جذورًا لكثيرة الحدود، فإننا ننتقل.

بالنسبة لكثيرة الحدود ذات الدرجة المخفضة (أي كثيرة الحدود التي يكون فيها المعامل الرئيسي - المعامل at - مساويًا للوحدة)، تكون صيغة فييتا صالحة:

أين هي جذور كثير الحدود.

هناك أيضًا صيغ فييتا تتعلق بالمعاملات المتبقية لكثيرة الحدود، لكننا مهتمون بهذه الصيغة.

من صيغة فييتا يتبع ذلك إذا كانت جذور كثيرة الحدود أعدادًا صحيحة، فهي مقسومة على حدها الحر، وهو أيضًا عدد صحيح.

بناء على هذا، نحتاج إلى تحليل الحد الحر لكثيرة الحدود إلى عوامل، وبالتسلسل، من الأصغر إلى الأكبر، نتحقق من أي العوامل هو جذر كثير الحدود.

خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، كثير الحدود

قواسم المصطلح الحر : ; ; ;

مجموع كل معاملات كثيرة الحدود يساوي ، وبالتالي فإن الرقم 1 ليس جذر كثيرة الحدود.

مجموع معاملات القوى الزوجية:

مجموع معاملات القوى الفردية:

ولذلك، فإن الرقم -1 أيضًا ليس جذرًا لكثيرة الحدود.

دعونا نتحقق مما إذا كان الرقم 2 هو جذر كثيرة الحدود: وبالتالي، فإن الرقم 2 هو جذر كثيرة الحدود. وهذا يعني، وفقًا لنظرية بيزوت، أن كثيرة الحدود قابلة للقسمة على ذات الحدين دون باق.

2. كيفية تقسيم كثيرة الحدود إلى ذات الحدين.

يمكن تقسيم كثيرة الحدود إلى ذات الحدين بواسطة عمود.

اقسم كثيرة الحدود على ذات الحدين باستخدام عمود:

هناك طريقة أخرى لتقسيم كثيرة الحدود على ذات الحدين - مخطط هورنر.

شاهد هذا الفيديو لتفهم كيفية قسمة كثيرة الحدود على ذات الحدين بعمود، واستخدام مخطط هورنر.

ألاحظ أنه عند القسمة على عمود، إذا كانت هناك درجة معينة من المجهول مفقودة في كثيرة الحدود الأصلية، فإننا نكتب 0 في مكانها - بنفس الطريقة عند تجميع جدول لمخطط هورنر.

لذلك، إذا كنا بحاجة إلى قسمة كثيرة الحدود على ذات الحدين ونتيجة للقسمة نحصل على كثيرة الحدود، فيمكننا إيجاد معاملات كثيرة الحدود باستخدام مخطط هورنر:

يمكننا أيضا أن نستخدم مخطط هورنرللتحقق مما إذا كان الرقم المحدد هو جذر كثيرة الحدود: إذا كان الرقم هو جذر كثيرة الحدود، فإن الباقي عند قسمة كثيرة الحدود يساوي الصفر، أي في العمود الأخير من الصف الثاني من مخطط هورنر نحصل على 0.

باستخدام مخطط هورنر، "نقتل عصفورين بحجر واحد": نتحقق في نفس الوقت مما إذا كان الرقم هو جذر كثير الحدود ونقسم هذا كثير الحدود على ذو الحدين.

مثال.حل المعادلة:

1. دعونا نكتب مقسومات الحد الحر ونبحث عن جذور كثيرة الحدود بين مقسومات الحد الحر.

مقسومات 24:

2. دعونا نتحقق مما إذا كان الرقم 1 هو جذر كثيرة الحدود.

مجموع معاملات كثيرة الحدود، وبالتالي فإن الرقم 1 هو جذر كثيرة الحدود.

3. قم بتقسيم كثيرة الحدود الأصلية إلى ذات الحدين باستخدام مخطط هورنر.

أ) دعونا نكتب معاملات كثيرة الحدود الأصلية في الصف الأول من الجدول.

نظرًا لأن المصطلح المحتوي مفقود، في عمود الجدول الذي يجب أن يُكتب فيه المعامل نكتب 0. على اليسار نكتب الجذر الذي تم العثور عليه: الرقم 1.

ب) املأ الصف الأول من الجدول.

في العمود الأخير، كما هو متوقع، حصلنا على صفر؛ لقد قسمنا كثيرة الحدود الأصلية على ذات الحدين بدون باقي. معاملات كثيرة الحدود الناتجة عن القسمة موضحة باللون الأزرق في الصف الثاني من الجدول:

من السهل التحقق من أن الرقمين 1 و-1 ليسا جذورًا لكثيرة الحدود

ب) دعونا نواصل الجدول. دعونا نتحقق مما إذا كان الرقم 2 هو جذر كثيرة الحدود:

إذن درجة كثيرة الحدود التي يتم الحصول عليها عن طريق القسمة على واحد درجة أقلكثيرة الحدود الأصلية، وبالتالي فإن عدد المعاملات وعدد الأعمدة أقل بمقدار واحد.

في العمود الأخير حصلنا على -40 - رقم لا يساوي الصفر، وبالتالي فإن كثير الحدود قابل للقسمة على ذات الحدين مع باقي، والرقم 2 ليس جذر كثير الحدود.

ج) دعونا نتحقق مما إذا كان الرقم -2 هو جذر كثيرة الحدود. وبما أن المحاولة السابقة فشلت، لتجنب الخلط مع المعاملات، سأقوم بمسح السطر المقابل لهذه المحاولة:

عظيم! لقد حصلنا على صفر كباقي، لذلك تم تقسيم كثيرة الحدود إلى ذات الحدين بدون باقي، وبالتالي فإن الرقم -2 هو جذر كثيرة الحدود. معاملات كثيرة الحدود التي يتم الحصول عليها عن طريق قسمة كثيرة الحدود على ذات الحدين موضحة باللون الأخضر في الجدول.

ونتيجة القسمة نحصل على ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية ، والتي يمكن العثور على جذورها بسهولة باستخدام نظرية فييتا:

إذن جذور المعادلة الأصلية هي:

{}

إجابة: ( }

أهداف الدرس:

• تعليم الطلاب حل المعادلات درجات أعلىباستخدام مخطط هورنر.
• تطوير القدرة على العمل في أزواج؛
• إنشاء، بالتزامن مع الأقسام الرئيسية للدورة، أساسًا لتنمية قدرات الطلاب؛
• مساعدة الطالب على تقييم إمكاناته وتنمية الاهتمام بالرياضيات والقدرة على التفكير والتحدث علنًا عن الموضوع.

معدات:بطاقات للعمل الجماعي، ملصق مع مخطط هورنر.

طريقة التعليم:محاضرة، قصة، شرح، أداء التمارين التدريبية.

شكل السيطرة:التحقق من حل المشاكل المستقلة والعمل المستقل.

خلال الفصول الدراسية

1. اللحظة التنظيمية

2. تحديث معارف الطلاب

ما هي النظرية التي تسمح لك بتحديد ما إذا كان الرقم هو جذر معادلة معينة (صياغة نظرية)؟

نظرية بيزوت. ما تبقى من تقسيم كثير الحدود P(x) على ذات الحدين س-ج يساوي P(c)، يُسمى الرقم c جذر كثير الحدود P(x) إذا كان P(c)=0. تسمح النظرية، دون إجراء عملية القسمة، بتحديد ما إذا كان رقم معين هو جذر كثيرة الحدود.

ما هي العبارات التي تسهل العثور على الجذور؟

أ) إذا كان المعامل الرئيسي لكثيرة الحدود يساوي واحدًا، فيجب البحث عن جذور كثيرة الحدود بين قواسم الحد الحر.

ب) إذا كان مجموع معاملات كثيرة الحدود هو 0، فإن أحد الجذور هو 1.

ج) إذا كان مجموع المعاملات في الأماكن الزوجية يساوي مجموع المعاملات في الأماكن الفردية، فإن أحد الجذور يساوي -1.

د) إذا كانت جميع المعاملات موجبة، فإن جذور كثيرة الحدود هي أرقام سالبة.

هـ) كثيرة الحدود ذات الدرجة الفردية لها جذر حقيقي واحد على الأقل.

3. تعلم مواد جديدة

عند حل المعادلات الجبرية بأكملها، عليك إيجاد قيم جذور كثيرات الحدود. يمكن تبسيط هذه العملية بشكل كبير إذا تم إجراء الحسابات باستخدام خوارزمية خاصة تسمى مخطط هورنر. سميت هذه الدائرة على اسم العالم الإنجليزي ويليام جورج هورنر. مخطط هورنر هو خوارزمية لحساب حاصل وبقية قسمة كثير الحدود P(x) على x-c. باختصار كيف يعمل.

دع متعدد الحدود التعسفي P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n يعطى. تقسيم كثير الحدود هذا على x-c هو تمثيله بالشكل P(x)=(x-c)g(x) + r(x). جزئي g(x)=في 0 x n-1 + في n x n-2 +...+في n-2 x + في n-1، حيث في 0 =a 0، في n =st n-1 +a n ، ن=1،2،3،…ن-1. الباقي ص(س)= ش ن-1 +أ ن. تسمى طريقة الحساب هذه مخطط هورنر. ترجع كلمة "مخطط" في اسم الخوارزمية إلى حقيقة أن تنفيذها يتم تنسيقه عادةً على النحو التالي. أولاً، ارسم الجدول 2(ن+2). في الخلية اليسرى السفلية، اكتب الرقم c، وفي السطر العلوي معاملات كثيرة الحدود P(x). في هذه الحالة، يتم ترك الخلية اليسرى العليا فارغة.

	في 0 = أ 0	في 1 = ش 1 + أ 1	في 2 = سانت 1 + أ 2		في n-1 =st n-2 +a n-1	ص(س)=و(ج)=ست ن-1 +أ ن

الرقم الذي، بعد تنفيذ الخوارزمية، يتبين أنه مكتوب في الخلية السفلية اليمنى هو الجزء المتبقي من قسمة كثير الحدود P(x) على x-c. الأرقام الأخرى في 0، في 1، في 2،... في الخلاصة هي معاملات خارج القسمة.

على سبيل المثال: اقسم كثيرة الحدود P(x)= x 3 -2x+3 على x-2.

نحصل على ذلك x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. توحيد المادة المدروسة

مثال 1:قم بتحليل كثيرة الحدود P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 إلى عوامل ذات معاملات صحيحة.

نحن نبحث عن جذور كاملة بين مقسومات الحد الحر -1: 1؛ -1. لنقم بعمل جدول:

X = -1 - الجذر

ف(س)= (س+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

دعونا نتحقق من 1/2.

					X=1/2 - الجذر

ولذلك، يمكن تمثيل كثير الحدود P(x) في النموذج

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

مثال 2:حل المعادلة 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

بما أن مجموع معاملات كثيرة الحدود المكتوبة على الجانب الأيسر من المعادلة يساوي صفرًا، فإن أحد الجذور هو 1. فلنستخدم مخطط هورنر:

						X=1 - الجذر

نحصل على P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). سنبحث عن الجذور بين قواسم الحد الحر 2.

اكتشفنا أنه لم يعد هناك جذور سليمة. دعونا نتحقق من 1/2؛ -1/2.

					X= -1/2 - الجذر

الجواب: 1؛ -1/2.

مثال 3:حل المعادلة 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

وسنبحث عن جذور هذه المعادلة بين قواسم الحد الحر 5: 1;-1;5;-5. x=1 هو جذر المعادلة، لأن مجموع المعاملات هو صفر. دعونا نستخدم مخطط هورنر:

لنعرض المعادلة كحاصل ضرب ثلاثة عوامل: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. اتخاذ القرار معادلة من الدرجة الثانية 5x 2 -7x+5=0، حصلنا على D=49-100=-51، لا توجد جذور.

البطاقة 1

1. قم بتحليل كثير الحدود: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. حل المعادلة: 27x3 -15x2 +5x-1=0

البطاقة 2

1. قم بتحليل كثير الحدود: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. حل المعادلة: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

البطاقة 3

1. حلل إلى: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. حل المعادلة: x 3 -2x 2 +4x-8=0

البطاقة 4

1. حلل إلى: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. حل المعادلة: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. تلخيص

يتم اختبار المعرفة عند الحل في أزواج في الفصل من خلال التعرف على طريقة العمل واسم الإجابة.

العمل في المنزل:

حل المعادلات:

أ) × 4 -3س 3 +4س 2 -3س+1=0

ب) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

ج) س 4 + س 3 + س + 1 = 4س 2

د) × 4 +2س 3 -س-2=0

الأدب

1. ن.يا. فيلينكين وآخرون، الجبر وبدايات التحليل، الصف العاشر ( دراسة متعمقةالرياضيات): التنوير، 2005.
2. واجهة المستخدم. ساخارشوك، إل.إس. ساجاتيلوفا، حل المعادلات ذات الدرجات العليا: فولجوجراد، 2007.
3. إس بي. غاشكوف، أنظمة الأرقام وتطبيقاتها.