أوجد تعريف كل مصفوفة 2x2.يرتبط كل عنصر في أي مصفوفة، بما في ذلك العنصر المنقول، بمصفوفة 2x2 مقابلة. للعثور على مصفوفة 2x2 تتوافق مع عنصر معين، قم بشطب الصف والعمود الذي يوجد فيه العنصر المحدد، أي أنك تحتاج إلى شطب خمسة عناصر من المصفوفة الأصلية 3x3. ستبقى أربعة عناصر غير متقاطعة، وهي عناصر المصفوفة المقابلة 2x2.

• على سبيل المثال، للعثور على مصفوفة 2x2 للعنصر الموجود عند تقاطع الصف الثاني والعمود الأول، قم بشطب العناصر الخمسة الموجودة في الصف الثاني والعمود الأول. العناصر الأربعة المتبقية هي عناصر مصفوفة 2x2 المقابلة.
• أوجد محدد كل مصفوفة 2×2. للقيام بذلك، اطرح منتج عناصر القطر الثانوي من منتج عناصر القطر الرئيسي (انظر الشكل).
• يمكن العثور على معلومات تفصيلية حول مصفوفات 2x2 المقابلة لعناصر محددة من مصفوفة 3x3 على الإنترنت.

إنشاء مصفوفة العوامل المساعدة.اكتب النتائج التي تم الحصول عليها سابقًا في شكل مصفوفة عوامل مساعدة جديدة. للقيام بذلك، اكتب المحدد الموجود لكل مصفوفة 2x2 حيث يوجد العنصر المقابل للمصفوفة 3x3. على سبيل المثال، إذا كنت تفكر في مصفوفة 2x2 للعنصر (1،1)، فاكتب محددها في الموضع (1،1). ثم قم بتغيير علامات العناصر المقابلة وفقًا لمخطط معين كما هو موضح في الشكل.

• مخطط تغيير العلامات: علامة العنصر الأول من السطر الأول لا تتغير؛ معكوسة إشارة العنصر الثاني من السطر الأول؛ ولا تتغير إشارة العنصر الثالث من السطر الأول، وهكذا سطرًا سطرًا. يرجى ملاحظة أن علامتي "+" و"-" الموضحتين في الرسم التخطيطي (انظر الشكل) لا تشيران إلى أن العنصر المقابل سيكون موجبًا أو سالبًا. وفي هذه الحالة تشير علامة "+" إلى عدم تغير إشارة العنصر، وعلامة "-" تشير إلى تغير إشارة العنصر.
• يمكن العثور على معلومات تفصيلية حول مصفوفات العوامل المساعدة على الإنترنت.
• بهذه الطريقة سوف تجد المصفوفة المجاورة للمصفوفة الأصلية. يطلق عليها أحيانًا مصفوفة مترافقة معقدة. يُشار إلى هذه المصفوفة بالصفة (M).

اقسم كل عنصر من عناصر المصفوفة المجاورة على محدده.تم حساب محدد المصفوفة M في البداية للتحقق من ذلك مصفوفة معكوسةموجود. الآن قم بتقسيم كل عنصر من عناصر المصفوفة المجاورة على هذا المحدد. اكتب نتيجة كل عملية قسمة حيث يوجد العنصر المقابل. بهذه الطريقة ستجد المصفوفة معكوسة للمصفوفة الأصلية.

• محدد المصفوفة التي تظهر في الشكل هو 1. وبالتالي فإن المصفوفة المجاورة هنا هي المصفوفة العكسية (لأنه عندما يتم قسمة أي رقم على 1 فإنه لا يتغير).
• في بعض المصادر، يتم استبدال عملية القسمة بعملية الضرب بـ 1/det(M). ومع ذلك، فإن النتيجة النهائية لا تتغير.

اكتب المصفوفة العكسية.اكتب العناصر الموجودة على النصف الأيمن من المصفوفة الكبيرة كمصفوفة منفصلة وهي المصفوفة العكسية.

أدخل المصفوفة الأصلية في ذاكرة الآلة الحاسبة.للقيام بذلك، انقر فوق زر المصفوفة، إذا كان متاحًا. بالنسبة لآلة حاسبة Texas Instruments، قد تحتاج إلى الضغط على الزرين الثاني والمصفوفة.

حدد قائمة التحرير.قم بذلك باستخدام أزرار الأسهم أو زر الوظيفة المناسب الموجود أعلى لوحة مفاتيح الآلة الحاسبة (يختلف موقع الزر وفقًا لطراز الآلة الحاسبة).

أدخل تدوين المصفوفة.يمكن أن تعمل معظم الآلات الحاسبة الرسومية مع 3 إلى 10 مصفوفات، والتي يمكن تخصيصها الحروف أ-ي. عادة، ما عليك سوى تحديد [A] لتعيين المصفوفة الأصلية. ثم اضغط على زر الإدخال.

أدخل حجم المصفوفة.تتحدث هذه المقالة عن المصفوفات 3x3. لكن الآلات الحاسبة الرسومية يمكنها العمل مع المصفوفات أحجام كبيرة. أدخل عدد الصفوف، واضغط على Enter، ثم أدخل عدد الأعمدة واضغط على Enter مرة أخرى.

أدخل كل عنصر مصفوفة.سيتم عرض المصفوفة على شاشة الآلة الحاسبة. إذا قمت مسبقًا بإدخال مصفوفة في الآلة الحاسبة، فسوف تظهر على الشاشة. سيسلط المؤشر الضوء على العنصر الأول في المصفوفة. أدخل قيمة العنصر الأول واضغط على Enter. سينتقل المؤشر تلقائيًا إلى عنصر المصفوفة التالي.

التعريف 1:تسمى المصفوفة مفردة إذا كان محددها صفراً.

التعريف 2:تسمى المصفوفة غير مفردة إذا كان محددها لا يساوي الصفر.

يتم استدعاء المصفوفة "A". مصفوفة معكوسة، إذا تم استيفاء الشرط A*A-1 = A-1 *A = E (مصفوفة الوحدة).

المصفوفة المربعة تكون قابلة للعكس فقط إذا كانت غير مفردة.

مخطط لحساب المصفوفة العكسية:

1) احسب محدد المصفوفة "أ" إذا ∆ A = 0، إذن المصفوفة العكسية غير موجودة.

2) أوجد جميع المكملات الجبرية للمصفوفة "أ".

3) إنشاء مصفوفة الإضافات الجبرية (Aij)

4) تبديل مصفوفة المكملات الجبرية (Aij )T

5) اضرب المصفوفة المنقولة في معكوس محدد هذه المصفوفة.

6) إجراء الفحص:

للوهلة الأولى قد يبدو الأمر معقدا، ولكن في الواقع كل شيء بسيط للغاية. تعتمد جميع الحلول على عمليات حسابية بسيطة، والشيء الرئيسي عند الحل هو عدم الخلط بين علامتي "-" و "+" وعدم فقدانهما.

والآن دعونا نحل مهمة عملية معًا عن طريق حساب المصفوفة العكسية.

المهمة: أوجد المصفوفة العكسية "A" الموضحة في الصورة أدناه:

1. أول ما يجب فعله هو إيجاد محدد المصفوفة "A":

توضيح:

لقد قمنا بتبسيط المحدد باستخدام وظائفه الأساسية. أولاً أضفنا إلى السطرين الثاني والثالث عناصر السطر الأول مضروبة في رقم واحد.

ثانياً قمنا بتغيير العمودين الثاني والثالث للمحدد وحسب خصائصه قمنا بتغيير العلامة التي أمامه.

ثالثا، أخرجنا العامل المشترك (-1) للسطر الثاني، وبذلك غيرنا الإشارة مرة أخرى، وأصبحت موجبة. لقد قمنا أيضًا بتبسيط السطر 3 بنفس الطريقة كما في بداية المثال.

لدينا محدد مثلث عناصره الموجودة أسفل القطر تساوي صفرًا، وبالخاصية 7 فهو يساوي حاصل ضرب عناصر القطر. في النهاية حصلنا ∆ A = 26، وبالتالي فإن المصفوفة العكسية موجودة.

أ11 = 1*(3+1) = 4

أ12 = -1*(9+2) = -11

أ13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

أ22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

أ31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

أ33 = 1+(1+6) = 7

3. الخطوة التالية هي تجميع مصفوفة من الإضافات الناتجة:

5. اضرب هذه المصفوفة في معكوس المحدد، أي في 1/26:

6. الآن علينا فقط التحقق من:

أثناء الاختبار، تلقينا مصفوفة هوية، لذلك تم تنفيذ الحل بشكل صحيح تماما.

2 طريقة لحساب المصفوفة العكسية.

1. تحويل المصفوفة الأولية

2. المصفوفة العكسية من خلال محول أولي.

يتضمن تحويل المصفوفة الأولية ما يلي:

1. ضرب سلسلة في رقم لا يساوي الصفر.

2. إضافة إلى أي سطر سطر آخر مضروبا في رقم.

3. قم بتبديل صفوف المصفوفة.

4. بتطبيق سلسلة من التحويلات الأولية نحصل على مصفوفة أخرى.

أ -1 = ?

1. (أ|ه) ~ (ه|أ -1 )

2.أ -1 * أ = ه

دعونا ننظر إلى هذا مثال عمليبأعداد حقيقية.

يمارس:أوجد المصفوفة العكسية.

حل:

دعونا تحقق:

توضيح بسيط حول الحل:

أولاً، قمنا بإعادة ترتيب الصفين 1 و2 من المصفوفة، ثم ضربنا الصف الأول في (-1).

بعد ذلك، ضربنا الصف الأول في (-2) وأضفناه مع الصف الثاني من المصفوفة. ثم ضربنا السطر 2 في 1/4.

كانت المرحلة الأخيرة من التحويل هي ضرب السطر الثاني في 2 وإضافته مع الأول. ونتيجة لذلك، لدينا مصفوفة الهوية على اليسار، وبالتالي فإن المصفوفة العكسية هي المصفوفة على اليمين.

وبعد التدقيق اقتنعنا أن القرار كان صحيحا.

كما ترون، حساب المصفوفة العكسية بسيط للغاية.

وفي نهاية هذه المحاضرة، أود أيضًا أن أقضي بعض الوقت في الحديث عن خصائص هذه المصفوفة.

المصفوفة العكسية لمصفوفة معينة هي مثل هذه المصفوفة، ضرب المصفوفة الأصلية يعطي مصفوفة الهوية: الشرط الإلزامي والكافي لوجود مصفوفة معكوسة هو أن محدد المصفوفة الأصلية هو لا يساوي الصفر (وهذا بدوره يعني أن المصفوفة يجب أن تكون مربعة). إذا كان محدد المصفوفة يساوي الصفر، فإنها تسمى مفردة ومثل هذه المصفوفة ليس لها معكوس. في الرياضيات العلياالمصفوفات العكسية مهمة وتستخدم لحل عدد من المسائل. على سبيل المثال، على العثور على المصفوفة العكسيةتم بناء طريقة مصفوفية لحل أنظمة المعادلات. يسمح موقع خدمتنا بذلك حساب المصفوفة العكسية على الانترنتطريقتان: طريقة غاوس-جوردان واستخدام مصفوفة الإضافات الجبرية. المقاطعة تعني عدد كبير منالتحويلات الأولية داخل المصفوفة، والثانية هي حساب المحددات والإضافات الجبرية لجميع العناصر. لحساب محدد المصفوفة عبر الإنترنت، يمكنك استخدام خدمتنا الأخرى - حساب محدد المصفوفة عبر الإنترنت

أوجد المصفوفة العكسية للموقع

موقع إلكترونييسمح لك بالعثور على مصفوفة معكوسة على الانترنتسريع ومجاني. يتم إجراء الحسابات على الموقع باستخدام خدمتنا ويتم تقديم النتيجة مع حل مفصل للعثور عليه مصفوفة معكوسة. يقدم الخادم دائمًا إجابة دقيقة وصحيحة فقط. في المهام حسب التعريف مصفوفة معكوسة على الانترنت، فمن الضروري أن المحدد المصفوفاتكان غير الصفر، وإلا موقع إلكترونيسيبلغ عن استحالة العثور على المصفوفة العكسية نظرًا لأن محدد المصفوفة الأصلية يساوي الصفر. مهمة العثور مصفوفة معكوسةوجدت في العديد من فروع الرياضيات، كونها واحدة من المفاهيم الأساسية للجبر وأداة رياضية في المسائل التطبيقية. مستقل تعريف المصفوفة العكسيةيتطلب جهدًا كبيرًا ووقتًا كبيرًا وحسابات وعناية كبيرة لتجنب الأخطاء المطبعية أو الأخطاء الطفيفة في الحسابات. ولذلك خدمتنا إيجاد المصفوفة العكسية على الإنترنتسيجعل مهمتك أسهل بكثير وسيصبح أداة لا غنى عنها لحل المشكلات الرياضية. حتى لو كنت العثور على المصفوفة العكسيةبنفسك، نوصيك بالتحقق من الحل الخاص بك على خادمنا. أدخل المصفوفة الأصلية على موقعنا. احسب المصفوفة العكسية عبر الإنترنت وتحقق من إجابتك. نظامنا لا يرتكب الأخطاء ويكتشف أبدًا مصفوفة معكوسةالبعد المحدد في الوضع متصلفورا! في الموقع موقع إلكترونييُسمح بإدخالات الأحرف في العناصر المصفوفات، في هذه الحالة مصفوفة معكوسة على الانترنتسيتم تقديمها في شكل رمزي عام.

وشبهه بالعكس في كثير من الخصائص.

يوتيوب الموسوعي

1 / 5

✪ كيفية العثور على معكوس المصفوفة - bezbotvy

✪ المصفوفة العكسية (طريقتان للعثور عليها)

✪ المصفوفة العكسية رقم 1

✪ 2015-01-28. معكوس مصفوفة 3x3

✪ 2015-01-27. مصفوفة معكوسة 2x2

ترجمات

خصائص المصفوفة العكسية

• ديت أ − 1 = 1 ديت أ (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A)))، أين ديت (\displaystyle \\det )يدل على المحدد.
• (أ ب) − 1 = ب − 1 أ − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))لمصفوفتين مربعتين قابلتين للعكس أ (\displaystyle A)و ب (\displaystyle B).
• (أ T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T))، أين (. . .) ت (\displaystyle (...)^(T))يدل على مصفوفة منقولة.
• (ك ا) − 1 = ك − 1 ا − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))لأي معامل ك ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• إذا كان من الضروري حل نظام من المعادلات الخطية، (b هو متجه غير صفري) حيث س (\displaystyle x)هو المتجه المطلوب، وإذا ا − 1 (\displaystyle A^(-1))موجود إذن س = أ − 1 ب (\displaystyle x=A^(-1)b). وإلا فإما أن يكون بُعد فضاء الحل أكبر من الصفر، أو لا توجد حلول على الإطلاق.

طرق العثور على المصفوفة العكسية

إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس، للعثور على المصفوفة العكسية يمكنك استخدام إحدى الطرق التالية:

الطرق الدقيقة (المباشرة).

طريقة غاوس-جوردان

لنأخذ مصفوفتين: أواحد ه. دعونا نقدم المصفوفة أإلى مصفوفة الهوية باستخدام طريقة Gauss-Jordan، مع تطبيق التحويلات على طول الصفوف (يمكنك أيضًا تطبيق التحويلات على طول الأعمدة، ولكن ليس مختلطًا). بعد تطبيق كل عملية على المصفوفة الأولى، قم بتطبيق نفس العملية على الثانية. عند اكتمال اختزال المصفوفة الأولى إلى شكل وحدة، ستكون المصفوفة الثانية مساوية لـ أ−1.

عند استخدام الطريقة الغوسية، سيتم ضرب المصفوفة الأولى على اليسار بإحدى المصفوفات الأولية Λ أنا (\displaystyle \Lambda _(i))(مصفوفة التحويل أو المصفوفة القطرية مع تلك الموجودة على القطر الرئيسي، باستثناء موضع واحد):

المصفوفة الثانية بعد تطبيق جميع العمليات ستكون مساوية ل Λ (\displaystyle \Lambda)أي أنه سيكون المطلوب. تعقيد الخوارزمية - يا (ن 3) (\displaystyle O(n^(3))).

باستخدام المصفوفة التكميلية الجبرية

مصفوفة معكوسة للمصفوفة أ (\displaystyle A)، يمكن تمثيلها في النموذج

A − 1 = صفة (A) ديت (A) (\displaystyle (A)^(-1)=((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

أين صفة (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- مصفوفة مجاورة؛

يعتمد تعقيد الخوارزمية على مدى تعقيد الخوارزمية لحساب المحدد O det ويساوي O(n²)·O det.

باستخدام التحلل LU/LUP

معادلة المصفوفة أ X = أنا ن (\displaystyle AX=I_(n))للمصفوفة العكسية إكس (\displaystyle X)يمكن اعتبارها مجموعة ن (\displaystyle n)أنظمة النموذج أ س = ب (\displaystyle Ax=b). دعونا نشير أنا (\displaystyle i)العمود العاشر من المصفوفة إكس (\displaystyle X)خلال X أنا (\displaystyle X_(i)); ثم A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n)،بسبب ال أنا (\displaystyle i)العمود العاشر من المصفوفة أنا ن (\displaystyle I_(n))هو ناقل الوحدة ه أنا (\displaystyle e_(i)). بمعنى آخر، فإن إيجاد المصفوفة العكسية يتلخص في حل المعادلات n التي لها نفس المصفوفة وأطرافها اليمنى المختلفة. بعد إجراء تحليل LUP (O(n³) الوقت)، يستغرق حل كل من المعادلات n وقتًا O(n²)، لذا فإن هذا الجزء من العمل يتطلب أيضًا وقتًا O(n³).

إذا كانت المصفوفة A غير مفردة، فيمكن حساب تحليل LUP لها P A = L U (\displaystyle PA=LU). يترك ف أ = ب (\displaystyle PA=B), ب − 1 = د (\displaystyle B^(-1)=D). ثم من خصائص المصفوفة العكسية يمكننا أن نكتب: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). إذا قمت بضرب هذه المساواة في U وL، فيمكنك الحصول على تساويين في النموذج U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))و D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). أول هذه المساواة يمثل نظام n² المعادلات الخطيةل n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))ومنه يعرف الطرف الأيمن (من خواص المصفوفات المثلثية). ويمثل الثاني أيضًا نظامًا من المعادلات الخطية n² لـ n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))والتي يُعرف منها الجانب الأيمن (أيضًا من خصائص المصفوفات المثلثية). يمثلون معًا نظام المساواة n². باستخدام هذه المساواة، يمكننا تحديد جميع عناصر n² في المصفوفة D بشكل متكرر. ثم من المساواة (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. نحصل على المساواة ا − 1 = د ف (\displaystyle A^(-1)=DP).

في حالة استخدام تحليل LU، لا يلزم إجراء تبديل لأعمدة المصفوفة D، ولكن الحل قد يتباعد حتى لو كانت المصفوفة A غير مفردة.

تعقيد الخوارزمية هو O(n³).

الأساليب التكرارية

أساليب شولتز

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(الحالات)))

تقدير الخطأ

اختيار التقريب الأولي

إن مشكلة اختيار التقريب الأولي في عمليات انعكاس المصفوفة التكرارية التي تم النظر فيها هنا لا تسمح لنا بمعاملتها كطرق عالمية مستقلة تتنافس مع طرق الانعكاس المباشر القائمة، على سبيل المثال، على تحلل المصفوفات LU. هناك بعض التوصيات للاختيار يو 0 (\displaystyle U_(0))، ضمان استيفاء الشرط ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (نصف القطر الطيفي للمصفوفة أقل من الوحدة)، وهو أمر ضروري وكافي لتقارب العملية. ومع ذلك، في هذه الحالة، أولا، مطلوب معرفة من فوق التقدير لطيف المصفوفة القابلة للانعكاس A أو المصفوفة أ أ ت (\displaystyle AA^(T))(أي إذا كانت A عبارة عن مصفوفة محددة إيجابية متماثلة و ρ (A) ≥ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta )، ثم يمكنك أن تأخذ U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E)، أين ؛ إذا كانت A عبارة عن مصفوفة تعسفية غير مفردة و ρ (A A T) ≥ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta )، ثم يؤمنون U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T))، حيث أيضا α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); يمكنك بالطبع تبسيط الموقف والاستفادة من حقيقة ذلك ρ (A A T) ≥ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k)))، يضع U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). ثانياً، عند تحديد المصفوفة الأولية بهذه الطريقة، ليس هناك ما يضمن ذلك ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)ستكون صغيرة (وربما ستكون كذلك ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1))، ولن يتم الكشف عن الترتيب العالي لمعدل التقارب على الفور.

أمثلة

مصفوفة 2x2

لا يمكن عكس مصفوفة 2x2 إلا بشرط ذلك أ د − ب ج = ديت A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).