دعونا نفكر في موضوع تحويل التعبيرات بالقوى، ولكن دعونا نتناول أولاً عددًا من التحولات التي يمكن إجراؤها باستخدام أي تعبيرات، بما في ذلك تعبيرات القوة. سوف نتعلم كيف نفتح الأقواس، ونضيف الحدود المتشابهة، ونتعامل مع الأساسات والأسس، ونستخدم خواص القوى.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

ما هي تعبيرات القوة؟

في الدورات المدرسية، قليل من الناس يستخدمون عبارة " تعبيرات السلطة"، ولكن هذا المصطلح موجود باستمرار في مجموعات التحضير لامتحان الدولة الموحدة. في معظم الحالات، تشير العبارة إلى التعبيرات التي تحتوي على درجات في إدخالاتها. وهذا ما سنعكسه في تعريفنا.

التعريف 1

تعبير عن القوةهو تعبير يحتوي على صلاحيات.

دعونا نعطي عدة أمثلة على تعبيرات السلطة، بدءا من القوة مع مؤشر طبيعيوتنتهي بدرجة ذات أس حقيقي.

أبسط تعبيرات القوة يمكن اعتبارها قوى لعدد ذي أس طبيعي: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + أ 2, x 3 − 1 , (أ 2) 3 . وأيضًا للقوى ذات الأس الصفري: 0 5, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. والقوى ذات الأعداد الصحيحة السالبة: (0، 5) 2 + (0، 5) - 2 2.

من الأصعب قليلاً العمل بدرجة لها أسس عقلانية وغير عقلانية: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 أ - 1 6 · ب 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

يمكن أن يكون المؤشر هو المتغير 3 x - 54 - 7 3 x - 58 أو اللوغاريتم x 2 · l g x − 5 · x l g x.

لقد تعاملنا مع مسألة ما هي تعبيرات القوة. الآن لنبدأ في تحويلها.

الأنواع الرئيسية لتحولات تعبيرات القوة

أولاً، سنلقي نظرة على تحويلات الهوية الأساسية للتعبيرات التي يمكن إجراؤها باستخدام تعبيرات القوة.

مثال 1

احسب قيمة تعبير القوة 2 3 (4 2 − 12).

حل

سنقوم بتنفيذ جميع التحولات وفقًا لترتيب الإجراءات. في هذه الحالة، سنبدأ بتنفيذ الإجراءات الموجودة بين قوسين: سنستبدل الدرجة بقيمة رقمية ونحسب الفرق بين رقمين. لدينا 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

كل ما علينا فعله هو استبدال الدرجة 2 3 معناها 8 وحساب المنتج 8 4 = 32. وهنا جوابنا.

إجابة: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

مثال 2

تبسيط التعبير مع القوى 3 أ 4 ب − 7 − 1 + 2 أ 4 ب − 7.

حل

يحتوي التعبير المعطى لنا في بيان المشكلة على مصطلحات مشابهة يمكننا تقديمها: 3 أ 4 ب − 7 − 1 + 2 أ 4 ب − 7 = 5 أ 4 ب − 7 − 1.

إجابة: 3 · أ 4 · ب − 7 − 1 + 2 · أ 4 · ب − 7 = 5 · أ 4 · ب − 7 − 1 .

مثال 3

عبر عن التعبير بالقوى 9 - ب 3 · π - 1 2 كحاصل ضرب.

حل

دعونا نتخيل الرقم 9 كقوة 3 2 وتطبيق صيغة الضرب المختصرة:

9 - ب 3 π - 1 2 = 3 2 - ب 3 π - 1 2 = = 3 - ب 3 π - 1 3 + ب 3 π - 1

إجابة: 9 - ب 3 · π - 1 2 = 3 - ب 3 · π - 1 3 + ب 3 · π - 1 .

لننتقل الآن إلى تحليل تحويلات الهوية التي يمكن تطبيقها خصيصًا على تعبيرات القوة.

العمل مع القاعدة والأس

يمكن أن تحتوي الدرجة الموجودة في الأساس أو الأس على أرقام ومتغيرات وبعض التعبيرات. على سبيل المثال، (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7و . العمل مع مثل هذه السجلات أمر صعب. من الأسهل كثيرًا استبدال التعبير الموجود في أساس الدرجة أو التعبير الموجود في الأس بتعبير متساوٍ تمامًا.

يتم إجراء تحويلات الدرجة والأس وفقًا للقواعد المعروفة لدينا بشكل منفصل عن بعضها البعض. الشيء الأكثر أهمية هو أن التحويل يؤدي إلى تعبير مطابق للعبارة الأصلية.

الغرض من التحويلات هو تبسيط التعبير الأصلي أو الحصول على حل للمشكلة. على سبيل المثال، في المثال الذي قدمناه أعلاه، (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 يمكنك اتباع الخطوات للوصول إلى الدرجة 4 , 1 1 , 3 . ومن خلال فتح القوسين، يمكننا تقديم مصطلحات مشابهة لأساس القوة (أ · (أ + 1) − أ 2) 2 · (س + 1)والحصول على تعبير القوة في شكل أبسط أ 2 (س + 1).

استخدام خصائص الدرجة

تعد خصائص القوى، المكتوبة في صورة مساواة، إحدى الأدوات الرئيسية لتحويل التعبيرات بالقوى. ونعرض هنا أهمها مع مراعاة ذلك أو بهي أي أرقام إيجابية، و صو س- الأعداد الحقيقية التعسفية:

التعريف 2

• أ ص · أ ق = أ ص + ق ;
• أ ص: أ ق = أ ص − ق ;
• (أ · ب) ص = أ ص · ب ص ;
• (أ: ب) ص = أ ص: ب ص ;
• (أ ص) س = أ ص · ق .

في الحالات التي نتعامل فيها مع الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والموجبة، يمكن أن تكون القيود المفروضة على الأرقام a وb أقل صرامة بكثير. لذلك، على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى المساواة أ م · أ ن = أ م + ن، أين مو ن – الأعداد الصحيحة، فسيكون صحيحًا بالنسبة لأي قيم a، سواء كانت إيجابية أو سلبية، وكذلك بالنسبة لـ أ = 0.

يمكنك تطبيق خصائص القوى دون قيود في الحالات التي تكون فيها أسس القوى موجبة أو تحتوي على متغيرات القيم المقبولةبحيث لا تأخذ الأسس التي يقوم عليها إلا قيماً موجبة. في الواقع، داخل المنهج المدرسيفي الرياضيات، مهمة الطالب هي اختيار الخاصية المناسبة وتطبيقها بشكل صحيح.

عند التحضير لدخول الجامعات، قد تواجه مشكلات يؤدي فيها التطبيق غير الدقيق للخصائص إلى تضييق نطاق التعلم وصعوبات أخرى في حلها. في هذا القسم سوف ندرس حالتين فقط من هذا القبيل. يمكن العثور على مزيد من المعلومات حول هذا الموضوع في موضوع "تحويل التعبيرات باستخدام خصائص القوى".

مثال 4

تخيل التعبير أ 2 , 5 (أ 2) − 3: أ − 5 , 5على شكل قوة ذات قاعدة أ.

حل

أولًا، نستخدم خاصية الأسية ونحول العامل الثاني باستخدامها (أ 2) - 3. ثم نستخدم خصائص ضرب وقسمة القوى ذات الأساس نفسه:

أ 2 , 5 · أ − 6: أ − 5 , 5 = أ 2 , 5 − 6: أ − 5 , 5 = أ − 3 , 5: أ − 5 , 5 = أ − 3 , 5 − (− 5 , 5) = أ 2 .

إجابة:أ 2, 5 · (أ 2) − 3: أ − 5, 5 = أ 2.

يمكن تحويل تعبيرات القوة وفقًا لخاصية القوى من اليسار إلى اليمين وفي الاتجاه المعاكس.

مثال 5

أوجد قيمة تعبير القوة 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

حل

إذا طبقنا المساواة (أ · ب) ص = أ ص · ب ص، من اليمين إلى اليسار، نحصل على حاصل الضرب بالشكل 3 · 7 1 3 · 21 2 3 ثم 21 1 3 · 21 2 3 . دعونا نضيف الأسس عند ضرب القوى بها لنفس الأسباب: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

هناك طريقة أخرى لتنفيذ التحول:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

إجابة: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

مثال 6

نظرا لتعبير السلطة أ 1، 5 − أ 0، 5 − 6، أدخل متغيرًا جديدًا ر = 0.5.

حل

دعونا نتخيل الدرجة أ 1، 5كيف 0.5 3. استخدام خاصية الدرجات إلى الدرجات (أ ص) ق = أ ص · قمن اليمين إلى اليسار ونحصل على (أ 0, 5) 3: أ 1, 5 − أ 0, 5 − 6 = (أ 0, 5) 3 − أ 0, 5 − 6. يمكنك بسهولة إدخال متغير جديد في التعبير الناتج ر = 0.5: نحن نحصل ر 3 – ر − 6.

إجابة:ر 3 − ر − 6 .

تحويل الكسور التي تحتوي على القوى

نتعامل عادة مع نسختين من تعبيرات القوة مع الكسور: التعبير يمثل كسرًا بقوة أو يحتوي على مثل هذا الكسر. جميع التحويلات الأساسية للكسور قابلة للتطبيق على هذه التعبيرات دون قيود. يمكن تصغيرها أو إحضارها إلى مقام جديد أو العمل بشكل منفصل مع البسط والمقام. دعونا نوضح ذلك بالأمثلة.

مثال 7

بسّط تعبير القوة 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

حل

نحن نتعامل مع كسر، لذلك سنقوم بإجراء التحويلات في كل من البسط والمقام:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 × 2 - 3 - 3 × 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - × 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - س 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - س 2

ضع علامة الطرح أمام الكسر لتغيير إشارة المقام: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

إجابة: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 × 2 - 3 - 3 × 2 = - 12 2 + × 2

يتم تخفيض الكسور التي تحتوي على القوى إلى مقام جديد بنفس الطريقة الكسور العقلانية. للقيام بذلك، تحتاج إلى إيجاد عامل إضافي وضرب بسط ومقام الكسر به. من الضروري تحديد عامل إضافي بحيث لا يصل إلى الصفر لأي قيم للمتغيرات من متغيرات ODZ للتعبير الأصلي.

مثال 8

اختصر الكسور إلى مقام جديد: أ) أ + 1 أ 0، 7 إلى المقام أ, ب) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · 1 6 + 4 · y 1 3 إلى المقام x + 8 · y 1 2 .

حل

أ) دعونا نختار عاملاً يسمح لنا بالاختزال إلى مقام جديد. أ 0، 7 أ 0، 3 = أ 0، 7 + 0، 3 = أ،ولذلك، كعامل إضافي سوف نأخذ أ 0، 3. يشمل نطاق القيم المسموح بها للمتغير a مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الموجبة. شهادة في هذا المجال أ 0، 3لا يذهب إلى الصفر.

دعونا نضرب بسط ومقام الكسر في أ 0، 3:

أ + 1 أ 0، 7 = أ + 1 أ 0، 3 أ 0، 7 أ 0، 3 = أ + 1 أ 0، 3 أ

ب) دعنا ننتبه إلى المقام:

س 2 3 - 2 س 1 3 ص 1 6 + 4 ص 1 3 = = س 1 3 2 - س 1 3 2 ص 1 6 + 2 ص 1 6 2

لنضرب هذا التعبير في x 1 3 + 2 · y 1 6، نحصل على مجموع المكعبات x 1 3 و 2 · y 1 6، أي. س + 8 · ص 1 2 . هذا هو المقام الجديد الذي علينا تبسيط الكسر الأصلي إليه.

هكذا وجدنا العامل الإضافي x 1 3 + 2 · 1 6 . على نطاق القيم المسموح بها للمتغيرات سو ذالتعبير x 1 3 + 2 y 1 6 لا يختفي، لذلك يمكننا ضرب بسط الكسر ومقامه به:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 ص 1 6 + 4 ص 1 3 = = x 1 3 + 2 ص 1 6 x 1 3 + 2 ص 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 ص 1 6 + 4 ص 1 3 = = س 1 3 + 2 ص 1 6 x 1 3 3 + 2 ص 1 6 3 = س 1 3 + 2 ص 1 6 س + 8 ص 1 2

إجابة:أ) أ + 1 أ 0، 7 = أ + 1 أ 0، 3 أ، ب) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 ص 1 6 + 4 ص 1 3 = x 1 3 + 2 ص 1 6 x + 8 · ص 1 2 .

مثال 9

اختصر الكسر: أ) 30 × 3 (س 0، 5 + 1) × + 2 × 1 1 3 - 5 3 45 × 0، 5 + 1 2 × + 2 × 1 1 3 - 5 3، ب) أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 2 - ب 1 2.

حل

أ) نستخدم القاسم المشترك الأكبر (GCD)، والذي يمكننا من خلاله تقليل البسط والمقام. بالنسبة للرقمين 30 و45، يكون العدد 15. يمكننا أيضًا إجراء تخفيض بواسطة ×0.5+1وعلى x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

نحن نحصل:

30 × 3 (× 0، 5 + 1) × + 2 × 1 1 3 - 5 3 45 × 0، 5 + 1 2 × + 2 × 1 1 3 - 5 3 = 2 × 3 3 (× 0، 5 + 1)

ب) هنا ليس من الواضح وجود عوامل متطابقة. سيتعين عليك إجراء بعض التحويلات للحصول على نفس العوامل في البسط والمقام. للقيام بذلك، نقوم بتوسيع المقام باستخدام صيغة فرق المربعات:

أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 2 - ب 1 2 = أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 4 2 - ب 1 2 2 = = أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 4 + ب 1 4 أ 1 4 - ب 1 4 = 1 أ 1 4 + ب 1 4

إجابة:أ) 30 × 3 (× 0، 5 + 1) × + 2 × 1 1 3 - 5 3 45 × 0، 5 + 1 2 × + 2 × 1 1 3 - 5 3 = 2 · × 3 3 · (س 0 , 5 + 1) , ب) أ 1 4 - ب 1 4 أ 1 2 - ب 1 2 = 1 أ 1 4 + ب 1 4 .

تتضمن العمليات الأساسية مع الكسور تحويل الكسور إلى مقام جديد وتقليل الكسور. يتم تنفيذ كلا الإجراءين وفقًا لعدد من القواعد. عند جمع وطرح الكسور، يتم أولاً اختزال الكسور إلى قاسم مشترك، وبعد ذلك يتم إجراء العمليات (الجمع أو الطرح) مع البسطين. يبقى القاسم كما هو. نتيجة أفعالنا هي كسر جديد، بسطه هو حاصل ضرب البسطين، ومقامه هو حاصل ضرب المقامات.

مثال 10

قم بتنفيذ الخطوات x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

حل

لنبدأ بطرح الكسور الموجودة بين قوسين. فلنضعهم في قاسم مشترك:

× 1 2 - 1 × 1 2 + 1

دعونا نطرح البسطين:

س 1 2 + 1 س 1 2 - 1 - س 1 2 - 1 س 1 2 + 1 1 س 1 2 = = س 1 2 + 1 س 1 2 + 1 س 1 2 - 1 س 1 2 + 1 - س 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 × 1 2 + 1 1 × 1 2

الآن نضرب الكسور:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

دعونا نقلل بمقدار قوة × 1 2، نحصل على 4 × 1 2 - 1 · × 1 2 + 1 .

بالإضافة إلى ذلك، يمكنك تبسيط تعبير القوة في المقام باستخدام صيغة فرق المربعات: المربعات: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

إجابة:س 1 2 + 1 س 1 2 - 1 - س 1 2 - 1 س 1 2 + 1 1 س 1 2 = 4 س - 1

مثال 11

بسّط تعبير قانون القوى x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
حل

يمكننا تقليل الكسر بواسطة (× ٢ ، ٧ + ١) ٢. نحصل على الكسر x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

لنواصل تحويل قوى x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. الآن يمكنك استخدام خاصية تقسيم القوى بنفس الأساس: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 ، 7 + 1 .

ننتقل من المنتج الأخير إلى الكسر x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

إجابة:س 3 4 × 2، 7 + 1 2 س - 5 8 × 2، 7 + 1 3 = × 1 3 8 × 2، 7 + 1.

في معظم الحالات، يكون من الملائم أكثر نقل العوامل ذات الأسس السالبة من البسط إلى المقام والعودة، مع تغيير إشارة الأس. يتيح لك هذا الإجراء تبسيط القرار الإضافي. لنعطي مثالاً: يمكن استبدال تعبير القوة (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 بـ x 3 · (x + 1) 0, 2.

تحويل التعبيرات مع الجذور والقوى

في المسائل هناك تعبيرات قوة لا تحتوي فقط على قوى ذات أسس كسرية، بل تحتوي أيضًا على جذور. من المستحسن اختصار هذه التعبيرات إلى الجذور فقط أو إلى القوى فقط. يُفضل الحصول على الدرجات العلمية لأنها أسهل في العمل. يُفضل هذا الانتقال بشكل خاص عندما يسمح لك ODZ للمتغيرات الخاصة بالتعبير الأصلي باستبدال الجذور بالقوى دون الحاجة إلى الوصول إلى المعامل أو تقسيم ODZ إلى عدة فترات.

مثال 12

عبر عن التعبير x 1 9 · x · x 3 6 كقوة.

حل

نطاق القيم المتغيرة المسموح بها سيتم تعريفه من خلال اثنين من عدم المساواة س ≥ 0و x x 3 ≥ 0، والتي تحدد المجموعة [ 0 , + ∞) .

في هذه المجموعة لنا الحق في الانتقال من الجذور إلى القوى:

س 1 9 · س · س 3 6 = س 1 9 · س · س 1 3 1 6

باستخدام خصائص القوى، نقوم بتبسيط تعبير القوة الناتج.

× 1 9 · × · × 1 3 1 6 = × 1 9 · × 1 6 · × 1 3 1 6 = × 1 9 · × 1 6 · × 1 · 1 3 · 6 = = × 1 9 · × 1 6 س 1 18 = س 1 9 + 1 6 + 1 18 = س 1 3

إجابة: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

تحويل القوى مع المتغيرات في الأس

من السهل جدًا إجراء هذه التحويلات إذا كنت تستخدم خصائص الدرجة بشكل صحيح. على سبيل المثال، 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

يمكننا الاستعاضة عن ذلك بمنتج القوى، التي تكون أسسها مجموع متغير ما وعدد. على الجانب الأيسر، يمكن القيام بذلك باستخدام الحدين الأول والأخير من الجانب الأيسر من التعبير:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

الآن دعونا نقسم طرفي المساواة على 7 2 س. هذا التعبير للمتغير x يأخذ القيم الموجبة فقط:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 × 7 2 × - 3 5 × 7 × 7 × 7 × - 2 7 2 × 7 2 × = 0

دعونا نبسط الكسور بالقوى، نحصل على: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

أخيرًا، يتم استبدال نسبة القوى التي لها نفس الأسس بقوى النسب، مما يؤدي إلى المعادلة 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0، أي ما يعادل 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

دعونا نقدم متغيرًا جديدًا t = 5 7 x مما يقلل الحل إلى الأصل المعادلة الأسيةإلى قرار معادلة من الدرجة الثانية 5 · ر 2 − 3 · ر − 2 = 0 .

تحويل التعبيرات مع القوى واللوغاريتمات

التعبيرات التي تحتوي على القوى واللوغاريتمات موجودة أيضًا في المشكلات. مثال على هذه التعبيرات: 1 4 1 - 5 · سجل 2 3 أو سجل 3 27 9 + 5 (1 - سجل 3 5) · سجل 5 3. يتم تحويل هذه التعبيرات باستخدام أساليب وخصائص اللوغاريتمات التي تمت مناقشتها أعلاه، والتي ناقشناها بالتفصيل في موضوع "تحويل التعبيرات اللوغاريتمية".

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

§ 1 مفهوم تبسيط التعبير الحرفي

في هذا الدرس، سوف نتعرف على مفهوم "المصطلحات المتشابهة"، وباستخدام الأمثلة، سوف نتعلم كيفية إجراء اختزال المصطلحات المتشابهة، وبالتالي تبسيط التعبيرات الحرفية.

دعونا معرفة معنى مفهوم "التبسيط". كلمة "تبسيط" مشتقة من كلمة "تبسيط". التبسيط يعني جعل الأمر بسيطًا وأبسط. ولذلك، فإن تبسيط التعبير الحرفي يعني جعله أقصر، مع أقل عدد ممكن من الإجراءات.

خذ بعين الاعتبار التعبير 9x + 4x. هذا تعبير حرفي وهو مبلغ. يتم تقديم المصطلحات هنا كمنتجات لرقم وحرف. ويسمى العامل العددي لهذه المصطلحات بالمعامل. في هذا التعبير، ستكون المعاملات هي الرقمين 9 و 4. يرجى ملاحظة أن العامل الذي يمثله الحرف هو نفسه في كلا حدي هذا المجموع.

دعونا نتذكر قانون التوزيع للضرب:

لضرب مجموع في رقم، يمكنك ضرب كل حد في هذا الرقم وإضافة المنتجات الناتجة.

في منظر عاممكتوبة على النحو التالي: (أ + ب) ∙ ج = أ + ق.

هذا القانون صحيح في كلا الاتجاهين ac + bc = (a + b) ∙ c

دعونا نطبق ذلك على تعبيرنا الحرفي: مجموع منتجات 9x و 4x يساوي المنتج الذي عامله الأول هو يساوي المبلغ 9 و 4، العامل الثاني هو x.

9 + 4 = 13، أي 13س.

9س + 4 س = (9 + 4)س = 13س.

بدلا من ثلاثة إجراءات في التعبير، لم يتبق سوى إجراء واحد - الضرب. وهذا يعني أننا جعلنا تعبيرنا الحرفي أبسط، أي. بسّطته.

§ 2 تخفيض المصطلحات المماثلة

يختلف المصطلحان 9x و4x فقط في معاملاتهما - وتسمى هذه المصطلحات متشابهة. جزء الرسالة من المصطلحات المماثلة هو نفسه. تتضمن المصطلحات المشابهة أيضًا الأرقام والشروط المتساوية.

على سبيل المثال، في التعبير 9أ + 12-15، ستكون الحدود المتشابهة هي الأرقام 12 و-15، وفي مجموع حاصل ضرب 12 و6أ، الرقم 14 وحاصل ضرب 12 و6أ (12 ∙ 6أ + 14 + 12 ∙ 6أ) الحدود المتساوية التي يمثلها حاصل ضرب 12 و6أ.

من المهم أن نلاحظ أن الحدود التي معاملاتها متساوية، ولكن عوامل حروفها مختلفة، ليست متشابهة، على الرغم من أنه من المفيد في بعض الأحيان تطبيق قانون توزيع الضرب عليها، على سبيل المثال، مجموع المنتجات 5x و 5y هو يساوي منتج الرقم 5 ومجموع x و y

5س + 5ص = 5(س + ص).

دعونا نبسط التعبير -9a + 15a - 4 + 10.

المصطلحات المماثلة في هذه الحالة هي المصطلحات -9a و15a، لأنها تختلف فقط في معاملاتها. مضاعف الحروف هو نفسه، والمصطلحان -4 و10 متشابهان أيضًا، لأنهما أرقام. إضافة مصطلحات مماثلة:

9 أ + 15 أ - 4 + 10

9أ + 15أ = 6أ؛

نحصل على: 6 أ + 6.

ومن خلال تبسيط التعبير، وجدنا مجموع الحدود المتشابهة؛ ويسمى هذا في الرياضيات بتبسيط الحدود المتشابهة.

إذا كان من الصعب إضافة مثل هذه المصطلحات، فيمكنك التوصل إلى كلمات لها وإضافة كائنات.

على سبيل المثال، النظر في التعبير:

لكل حرف نأخذ غرضنا الخاص: ب-تفاحة، ج-كمثرى، ثم نحصل على: 2 تفاحات ناقص 5 كمثرى بالإضافة إلى 8 كمثرى.

هل يمكننا طرح الكمثرى من التفاح؟ بالطبع لا. لكن يمكننا إضافة 8 كمثرى إلى سالب 5 كمثرى.

دعونا نقدم مصطلحات مماثلة -5 كمثرى + 8 كمثرى. المصطلحات المتشابهة لها نفس جزء الحرف، لذلك عند إحضار مصطلحات متشابهة يكفي إضافة المعاملات وإضافة جزء الحرف إلى النتيجة:

(-5 + 8) كمثرى - تحصل على 3 كمثرى.

بالعودة إلى التعبير الحرفي، لدينا -5 s + 8 s = 3 s. وهكذا، بعد إحضار مصطلحات مماثلة، نحصل على التعبير 2ب + 3ج.

لذا، تعرفت في هذا الدرس على مفهوم "المصطلحات المتشابهة" وتعلمت كيفية تبسيط تعبيرات الحروف عن طريق تقليل المصطلحات المتشابهة.

قائمة الأدبيات المستخدمة:

1. الرياضيات. الصف السادس: خطط الدروس لكتاب I.I. زوباريفا، أ.ج. موردكوفيتش // المؤلف والمترجم L.A. توبيلينا. منيموسين 2009.
2. الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام. I. I. زوباريفا، أ.ج. موردكوفيتش - م: منيموسين، 2013.
3. الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام / ج.ف. دوروفييف ، آي إف. شارجين ، س.ب. سوفوروف وآخرون / حرره ج.ف. دوروفيفا ، آي إف. شاريجينا. الأكاديمية الروسية للعلوم، الأكاديمية الروسية للتربية. م.: «التنوير»، 2010.
4. الرياضيات. الصف السادس: الدراسة في مؤسسات التعليم العام/ن.يا. فيلينكين، ف. جوخوف، أ.س. تشيسنوكوف، إس. شوارتزبرد. – م.: منيموسين، 2013.
5. الرياضيات. الصف السادس: الكتاب المدرسي/G.K. مورافين، أو.ف. مورافينا. - م: حبارى، 2014.

الصور المستخدمة:

في بداية الدرس سوف نقوم بمراجعة الخصائص الأساسية للجذور التربيعية، وبعد ذلك سننظر في العديد منها أمثلة معقدةلتبسيط العبارات التي تحتوي على جذور تربيعية.

موضوع:وظيفة. ملكيات الجذر التربيعي

درس:تحويل وتبسيط أكثر تعبيرات معقدةمع الجذور

1. مراجعة خصائص الجذور التربيعية

دعونا نكرر النظرية بإيجاز ونتذكر الخصائص الأساسية للجذور التربيعية.

خصائص الجذور التربيعية:

1. لذلك؛

3. ;

4. .

2. أمثلة لتبسيط العبارات ذات الجذور

دعنا ننتقل إلى أمثلة لاستخدام هذه الخصائص.

مثال 1: تبسيط التعبير .

حل. للتبسيط، يجب تحليل العدد 120 إلى عوامل أولية:

سنكشف عن مربع المجموع باستخدام الصيغة المناسبة:

مثال 2: تبسيط التعبير .

حل. لنأخذ في الاعتبار أن هذا التعبير لا معنى له بالنسبة لجميع القيم الممكنة للمتغير، حيث أن هذا التعبير يحتوي على جذور تربيعية وكسور، مما يؤدي إلى "تضييق" نطاق القيم المسموح بها. أودز: ().

لنجلب التعبير بين قوسين إلى القاسم المشترك ونكتب بسط الكسر الأخير على شكل فرق المربعات:

إجابة. في.

مثال 3: تبسيط التعبير .

حل. يمكن ملاحظة أن شكل قوس البسط الثاني غير مناسب ويحتاج إلى التبسيط؛ فلنحاول تحليله باستخدام طريقة التجميع.

لكي نتمكن من استنتاج عامل مشترك، قمنا بتبسيط الجذور عن طريق تحليلها. دعنا نستبدل التعبير الناتج في الكسر الأصلي:

بعد تبسيط الكسر، نطبق صيغة فرق المربعات.

3. مثال للتخلص من اللاعقلانية

مثال 4. حرر نفسك من اللاعقلانية (الجذور) في المقام: أ) ; ب) .

حل. أ) من أجل التخلص من اللاعقلانية في المقام، يتم استخدام الطريقة القياسية لضرب كل من بسط ومقام الكسر في العامل المرافق للمقام (نفس التعبير، ولكن مع الإشارة المعاكسة). يتم ذلك لتكملة مقام الكسر بفرق المربعات، مما يسمح لك بالتخلص من الجذور في المقام. دعونا نفعل ذلك في حالتنا:

ب) تنفيذ إجراءات مماثلة:

4. مثال لإثبات وتحديد المربع الكامل في جذري مركب

مثال 5. إثبات المساواة .

دليل. دعونا نستخدم تعريف الجذر التربيعي، والذي يترتب عليه أن مربع التعبير الأيمن يجب أن يكون مساوياً للتعبير الجذري:

. دعونا نفتح الأقواس باستخدام صيغة مربع المجموع:

، لقد حصلنا على المساواة الصحيحة.

ثبت.

مثال 6. تبسيط التعبير.

حل. يُطلق على هذا التعبير عادةً اسم الجذر المعقد (الجذر تحت الجذر). في هذا المثال، تحتاج إلى معرفة كيفية عزل مربع كامل من التعبير الجذري. للقيام بذلك، لاحظ أنه من بين المصطلحين، فهو مرشح لدور المنتج المزدوج في صيغة الفرق المربع (الفرق، حيث يوجد ناقص). لنكتبها على صورة حاصل الضرب التالي: ، فإن 1 يدعي أنه أحد حدود المربع الكامل، ويدعي 1 أنه الحد الثاني.

دعونا نستبدل هذا التعبير تحت الجذر.

يمكن لأي لغة التعبير عن نفس المعلومات بكلمات مختلفةوالثورات. اللغة الرياضية ليست استثناء. ولكن يمكن كتابة نفس التعبير بشكل متكافئ بطرق مختلفة. وفي بعض الحالات، يكون أحد الإدخالات أبسط. سنتحدث عن تبسيط التعبيرات في هذا الدرس.

يتواصل الناس على لغات مختلفة X. بالنسبة لنا، المقارنة المهمة هي زوج "اللغة الروسية - اللغة الرياضية". ويمكن توصيل نفس المعلومات بلغات مختلفة. ولكن، إلى جانب ذلك، يمكن نطقها بطرق مختلفة في لغة واحدة.

على سبيل المثال: "بيتيا صديقة لفاسيا"، "فاسيا صديقة لبيتيا"، "بيتيا وفاسيا صديقتان". قال بشكل مختلف، ولكن نفس الشيء. من أي من هذه العبارات سوف نفهم ما نتحدث عنه.

دعونا نلقي نظرة على هذه العبارة: "الصبي بيتيا والصبي فاسيا صديقان". نحن نفهم ما نعنيه نحن نتحدث عن. ومع ذلك، نحن لا نحب صوت هذه العبارة. ألا يمكننا تبسيط الأمر، ونقول نفس الشيء، ولكن بشكل أبسط؟ "الصبي والصبي" - يمكنك أن تقول مرة واحدة: "الأولاد بيتيا وفاسيا صديقان".

«أولاد».. أليس واضحاً من أسمائهم أنهم ليسوا فتيات؟ نقوم بإزالة "الأولاد": "بيتيا وفاسيا صديقان". ويمكن استبدال كلمة "أصدقاء" بكلمة "أصدقاء": "بيتيا وفاسيا صديقان". ونتيجة لذلك، تم استبدال العبارة الأولى الطويلة والقبيحة بعبارة مكافئة أسهل في القول وأسهل في الفهم. لقد قمنا بتبسيط هذه العبارة. التبسيط يعني قول الأمر بشكل أكثر بساطة، ولكن دون فقدان المعنى أو تشويهه.

وفي لغة الرياضيات، يحدث نفس الشيء تقريبًا. ويمكن قول نفس الشيء، ولكن بطريقة مختلفة. ماذا يعني تبسيط التعبير؟ وهذا يعني أنه بالنسبة للتعبير الأصلي هناك العديد من التعبيرات المتكافئة، أي تلك التي تعني نفس الشيء. ومن بين كل هذا التنوع يجب علينا أن نختار الأبسط، في رأينا، أو الأكثر ملاءمة لأغراضنا الإضافية.

على سبيل المثال، النظر في التعبير الرقمي. سيكون معادلاً لـ .

وسيكون أيضًا معادلاً للأولين: .

اتضح أننا بسطنا التعبيرات ووجدنا أقصر تعبير مكافئ.

ل التعبيرات العدديةتحتاج دائمًا إلى تنفيذ جميع الإجراءات والحصول على التعبير المكافئ في شكل رقم واحد.

دعونا نلقي نظرة على مثال للتعبير الحرفي . من الواضح أن الأمر سيكون أسهل.

عند التبسيط التعبيرات الحرفيةمن الضروري تنفيذ جميع الإجراءات الممكنة.

هل من الضروري دائمًا تبسيط التعبير؟ لا، في بعض الأحيان سيكون من الأفضل بالنسبة لنا أن يكون لدينا دخول مكافئ ولكن لفترة أطول.

مثال: تحتاج إلى طرح رقم من رقم.

من الممكن الحساب، لكن إذا تم تمثيل الرقم الأول بالرمز المكافئ له: فإن الحسابات ستكون فورية: .

وهذا يعني أن التعبير المبسط ليس مفيدًا دائمًا لإجراء المزيد من الحسابات.

ومع ذلك، فإننا في كثير من الأحيان نواجه مهمة تبدو مثل "تبسيط التعبير".

تبسيط التعبير: .

حل

1) نفذ الإجراءات الواردة في القوسين الأول والثاني: .

2) دعونا نحسب المنتجات: .

من الواضح أن التعبير الأخير له شكل أبسط من التعبير الأولي. لقد قمنا بتبسيط الأمر.

لتبسيط التعبير يجب استبداله بما يعادله (يساوي).

لتحديد التعبير المكافئ الذي تحتاجه:

1) تنفيذ جميع الإجراءات الممكنة،

2) استخدام خصائص الجمع والطرح والضرب والقسمة لتبسيط العمليات الحسابية.

خصائص الجمع والطرح:

1. الخاصية التبادلية للجمع: إعادة ترتيب الحدود لا يغير المجموع.

2. خاصية الجمع التجميعية: من أجل إضافة رقم ثالث إلى مجموع رقمين، يمكنك إضافة مجموع الرقمين الثاني والثالث إلى الرقم الأول.

3. خاصية طرح مجموع من رقم: لطرح مجموع من رقم، يمكنك طرح كل حد على حدة.

خواص الضرب والقسمة

1. الخاصية التبادلية للضرب: إعادة ترتيب العوامل لا يغير حاصل الضرب.

2. الخاصية التجميعية: لضرب رقم في حاصل ضرب رقمين، يمكنك أولاً ضربه في العامل الأول، ثم ضرب الناتج الناتج في العامل الثاني.

3. خاصية التوزيع للضرب: لكي تقوم بضرب رقم في مجموع، عليك أن تضربه في كل حد على حدة.

دعونا نرى كيف نقوم بالفعل بالحسابات الذهنية.

احسب:

حل

1) دعونا نتخيل كيف

2) لنتخيل العامل الأول كمجموع لمصطلحات البت ونجري عملية الضرب:

3) يمكنك تخيل كيفية إجراء الضرب:

4) استبدل العامل الأول بمبلغ معادل:

يمكن أيضًا استخدام قانون التوزيع في الجانب المعاكس: .

اتبع الخطوات التالية:

1) 2)

حل

1) من أجل التيسير، يمكنك استخدام قانون التوزيع، استخدمه فقط في الاتجاه المعاكس - أخرج العامل المشترك من الأقواس.

2) لنخرج العامل المشترك من الأقواس

من الضروري شراء مشمع للمطبخ والممر. منطقة المطبخ - المدخل - . هناك ثلاثة أنواع من المشمع: ل، وروبل ل. كم سيكلف كل منهما؟ ثلاثة أنواعمشمع؟ (رسم بياني 1)

أرز. 1. رسم توضيحي لبيان المشكلة

حل

الطريقة الأولى. يمكنك بشكل منفصل معرفة مقدار الأموال التي ستستغرقها لشراء مشمع للمطبخ، ثم وضعه في الردهة وإضافة المنتجات الناتجة.

ملاحظة 1

يمكن كتابة دالة منطقية باستخدام تعبير منطقي ويمكن بعد ذلك نقلها إلى دائرة منطقية. من الضروري تبسيط التعبيرات المنطقية للحصول على أبسط دائرة منطقية (وبالتالي أرخص). في الواقع، الوظيفة المنطقية والتعبير المنطقي والدائرة المنطقية هي ثلاث لغات مختلفة تتحدث عن كيان واحد.

لتبسيط استخدام التعبيرات المنطقية قوانين منطق الجبر.

تشبه بعض التحويلات تحويلات الصيغ في الجبر الكلاسيكي (إخراج العامل المشترك بين قوسين، واستخدام قوانين التبادل والتركيب، وما إلى ذلك)، بينما تعتمد التحويلات الأخرى على خصائص لا تمتلكها عمليات الجبر الكلاسيكي (باستخدام طريقة التوزيع قانون الاقتران، قوانين الامتصاص، الإلتصاق، قواعد دي مورغان، الخ).

تمت صياغة قوانين الجبر المنطقي للعمليات المنطقية الأساسية - "NOT" - الانقلاب (النفي)، "AND" - الاقتران (الضرب المنطقي) و"OR" - الانفصال (الإضافة المنطقية).

قانون النفي المزدوج يعني أن عملية "ليس" قابلة للعكس: إذا قمت بتطبيقها مرتين، فلن تتغير القيمة المنطقية في النهاية.

ينص قانون الوسط المستبعد على أن أي تعبير منطقي يكون صحيحًا أو خاطئًا ("لا يوجد ثالث"). لذلك، إذا كان $A=1$، فإن $\bar(A)=0$ (والعكس صحيح)، مما يعني أن اقتران هذه الكميات يساوي دائمًا الصفر، والانفصال دائمًا يساوي واحدًا.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

دعونا نبسط هذه الصيغة:

الشكل 3.

ويترتب على ذلك أن $A = 0$، $B = 1$، $C = 1$، $D = 1$.

إجابة:الطلاب $B$ و$C$ و$D$ يلعبون الشطرنج، لكن الطالب $A$ لا يلعب.

عند تبسيط التعبيرات المنطقية، يمكنك تنفيذ تسلسل الإجراءات التالي:

1. استبدال جميع العمليات "غير الأساسية" (التكافؤ، التضمين، الحصري أو، إلخ) بعباراتها من خلال العمليات الأساسية للقلب والربط والانفصال.
2. قم بتوسيع انقلابات التعبيرات المعقدة وفقًا لقواعد De Morgan بحيث تظل عمليات النفي للمتغيرات الفردية فقط.
3. ثم قم بتبسيط التعبير باستخدام الأقواس المفتوحة، مع وضع العوامل المشتركة خارج الأقواس وقوانين الجبر المنطقي الأخرى.

مثال 2

وهنا يتم استخدام قاعدة دي مورغان، وقانون التوزيع، وقانون الوسط المستبعد، والقانون التبادلي، وقانون التكرار، ومرة ​​أخرى القانون التبادلي وقانون الامتصاص على التوالي.