أوجد البسط والمقام.يتضمن الكسر رقمين: الرقم الموجود فوق السطر يسمى البسط، والرقم الموجود أسفل السطر يسمى المقام. القاسم يعني المجموعالأجزاء التي ينقسم إليها بعض الكل، والبسط هو العدد المعتبر من هذه الأجزاء.

• على سبيل المثال، في الكسر ½، البسط هو 1 والمقام هو 2.

تحديد القاسم.إذا كان لكسرين أو أكثر قاسم مشترك، فإن هذه الكسور لها نفس الرقم تحت الخط، أي في هذه الحالة، يتم تقسيم عدد صحيح معين إلى نفس عدد الأجزاء. تعد إضافة الكسور ذات المقام المشترك أمرًا بسيطًا للغاية، نظرًا لأن مقام الكسر المجمع سيكون هو نفس مقام الكسور المضافة. على سبيل المثال:

• الكسور 3/5 و 2/5 لها مقام مشترك قدره 5.
• الكسور 3/8، 5/8، 17/8 لها مقام مشترك هو 8.

قواعد لإضافة الكسور مع قواسم مختلفةبسيط جدا.

دعونا نلقي نظرة على قواعد إضافة الكسور ذات القواسم المختلفة خطوة بخطوة:

1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر) للمقامات. سيكون المضاعف المشترك الأصغر الناتج هو القاسم المشترك للكسور؛

2. اختزال الكسور إلى قاسم مشترك؛

3. أضف الكسور المختزلة إلى قاسم مشترك.

على مثال بسيطدعونا نتعلم كيفية تطبيق قواعد جمع الكسور ذات المقامات المختلفة.

مثال

مثال على جمع الكسور ذات المقامات المختلفة.

أضف الكسور ذات القواسم المختلفة:

سنقرر خطوة بخطوة.

1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر) للمقامات.

الرقم 12 يقبل القسمة على 6

من هذا نستنتج أن 12 هو المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 6 و 12.

الجواب: عدد الأرقام 6 و 12 هو 12:

م م م (6، 12) = 12

سيكون المضاعف المشترك الأصغر الناتج هو القاسم المشترك للكسرين 1/6 و5/12.

2. اختزال الكسور إلى قاسم مشترك.

في مثالنا، الكسر الأول فقط هو الذي يحتاج إلى اختزال إلى مقام مشترك 12، لأن الكسر الثاني له مقام مشترك 12 بالفعل.

اقسم المقام المشترك للعدد 12 على مقام الكسر الأول:

2 لديه مضاعف إضافي.

اضرب بسط ومقام الكسر الأول (1/6) بعامل إضافي قدره 2.

هل أحضر طفلك واجباته المدرسية من المدرسة ولا تعرفين كيفية حلها؟ إذًا هذا الدرس المصغر مناسب لك!

كيفية إضافة الكسور العشرية

يعد إضافة الكسور العشرية في العمود أكثر ملاءمة. لأداء الإضافة الكسور العشرية، يجب عليك الالتزام بقاعدة واحدة بسيطة:

• يجب أن يكون المكان تحت المكان، والفاصلة تحت الفاصلة.

كما ترون في المثال، فإن الوحدات بأكملها تقع تحت بعضها البعض، وتقع أرقام العشر والمئات تحت بعضها البعض. الآن نقوم بإضافة الأرقام، متجاهلين الفاصلة. ماذا تفعل مع الفاصلة؟ يتم نقل الفاصلة إلى المكان الذي كانت فيه في فئة الأعداد الصحيحة.

جمع الكسور ذات المقامات المتساوية

لإجراء عملية الجمع مع قاسم مشترك، تحتاج إلى الحفاظ على المقام دون تغيير، والعثور على مجموع البسطين والحصول على الكسر الذي سيكون المبلغ الإجمالي.

جمع الكسور ذات المقامات المختلفة باستخدام طريقة المضاعف المشترك

أول شيء تحتاج إلى الاهتمام به هو القواسم. المقامات مختلفة، هل هي غير قابلة للقسمة على بعضها البعض، أليس كذلك؟ الأعداد الأولية. علينا أولاً أن نصل إلى قاسم مشترك واحد، وهناك عدة طرق للقيام بذلك:

• 1/3 + 3/4 = 13/12، لحل هذا المثال نحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) الذي سيكون قابلاً للقسمة على مقامين. للإشارة إلى أصغر مضاعف لـ a وb – LCM (a;b). في هذا المثال المضاعف المشترك الأصغر (3;4)=12. نتحقق: 12: 3=4؛ 12:4=3.
• نضرب العوامل ونضيف الأرقام الناتجة، نحصل على 13/12 - كسر غير حقيقي.

• من أجل تحويل كسر غير فعلي إلى كسر حقيقي، نقسم البسط على المقام، نحصل على العدد الصحيح 1، والباقي 1 هو البسط، و12 هو المقام.

جمع الكسور باستخدام طريقة الضرب التبادلي

لجمع الكسور ذات المقامات المختلفة، هناك طريقة أخرى تستخدم صيغة "تقاطع للتقاطع". هذه طريقة مضمونة لمساواة المقامات، وللقيام بذلك، عليك ضرب البسطين في مقام الكسر الواحد والعكس. إذا كنت في المرحلة الأولية لتعلم الكسور، فهذه الطريقة هي الطريقة الأبسط والأكثر دقة للحصول على النتيجة الصحيحة عند إضافة الكسور ذات المقامات المختلفة.

آلة حاسبة على الانترنت.
تقييم التعبير باستخدام الكسور العددية.
ضرب وطرح وقسمة وجمع وتخفيض الكسور ذات المقامات المختلفة.

مع هذه الآلة الحاسبة على الانترنت يمكنك ضرب وطرح وقسمة وإضافة وتقليل الكسور ذات المقامات المختلفة.

يعمل البرنامج مع الكسور العادية وغير الصحيحة والمختلطة.

يمكن لهذا البرنامج (الآلة الحاسبة عبر الإنترنت) أن:
- إجراء عملية جمع الكسور المختلطة ذات القواسم المختلفة
- القيام بطرح الكسور المختلطة ذات المقامات المختلفة
- تقسيم الكسور المختلطة ذات القواسم المختلفة
- ضرب الكسور المختلطة بمقامات مختلفة
- اختزال الكسور إلى قاسم مشترك
- تحويل الكسور المختلطة إلى كسور غير حقيقية
- تقليل الكسور

لا يمكنك أيضًا إدخال تعبير يحتوي على كسور، بل كسرًا واحدًا.
في هذه الحالة، سيتم تقليل الكسر وفصل الجزء بأكمله عن النتيجة.

الآلة الحاسبة عبر الإنترنت لحساب التعبيرات ذات الكسور العددية لا تعطي إجابة للمشكلة فحسب، بل توفر حلاً مفصلاً مع التوضيحات، أي. يعرض عملية إيجاد الحل.

قد يكون هذا البرنامج مفيدًا لطلاب المدارس الثانوية المدارس الثانويةاستعدادا ل الاختباراتوالامتحانات، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة، ليتمكن الآباء من التحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك ترغب فقط في إنجاز واجباتك المنزلية في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحلول التفصيلية.

بهذه الطريقة يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو التدريب الخاص بك. الأخوة الأصغر سناأو الأخوات، في حين يرتفع مستوى التعليم في مجال المشاكل التي يتم حلها.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال التعبيرات بالكسور الرقمية، فنوصيك بالتعرف عليها.

قواعد إدخال التعبيرات بالكسور العددية

يمكن للعدد الصحيح فقط أن يكون بمثابة البسط والمقام والجزء الصحيح من الكسر.

لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.

عند إدخال كسر رقمي، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة القسمة: /
الإدخال: -2/3 + 7/5
النتيجة: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)

يتم فصل الجزء بأكمله عن الكسر بواسطة علامة العطف: &
الإدخال: -1&2/3*5&8/3
النتيجة: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)

يتم تقسيم الكسور بواسطة علامة القولون: :
الإدخال: -9&37/12: -3&5/14
النتيجة: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
تذكر أنه لا يمكنك القسمة على صفر!

يمكنك استخدام الأقواس عند إدخال تعبيرات تحتوي على كسور رقمية.
مدخل: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
النتيجة: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)

تم اكتشاف أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المشكلة لم يتم تحميلها، وقد لا يعمل البرنامج.
ربما قمت بتمكين AdBlock.
وفي هذه الحالة، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الراغبين في حل المشكلة، وقد تم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
في بضع ثوان سوف يظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية...

اذا أنت لاحظت خطأ في الحل، فيمكنك الكتابة عن هذا في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى المهمةعليك أن تقرر ما أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

القليل من النظرية.

الكسور العادية. القسمة على الباقي

إذا كنا بحاجة إلى قسمة 497 على 4، فعند القسمة سنرى أن 497 غير قابل للقسمة على 4 بالتساوي، أي. باقي القسمة باقية في مثل هذه الحالات يقال أنه اكتمل القسمة مع الباقي، والحل مكتوب على النحو التالي:
497: 4 = 124 (1 باقي).

تسمى مكونات القسمة على الجانب الأيسر من المساواة بنفس الطريقة كما في القسمة بدون باقي: 497 - توزيعات ارباح, 4 - مقسم. تسمى نتيجة القسمة عند القسمة على باقي خاصة غير مكتملة. في حالتنا، هذا هو الرقم 124. وأخيرًا، العنصر الأخير، الذي لا يدخل في القسمة العادية، هو بقية. في الحالات التي لا يوجد فيها باقي، يقال إن أحد الأرقام مقسوم على آخر دون أن يترك أثرا، أو تماما. ويعتقد أنه بمثل هذا التقسيم يكون الباقي صفراً. في حالتنا، الباقي هو 1.

والباقي دائما أقل من المقسوم عليه.

يمكن التحقق من القسمة عن طريق الضرب. على سبيل المثال، إذا كانت هناك مساواة 64: 32 = 2، فيمكن إجراء التحقق على النحو التالي: 64 = 32 * 2.

في كثير من الأحيان في الحالات التي يتم فيها إجراء القسمة مع الباقي، يكون من المناسب استخدام المساواة
أ = ب * ن + ص،
حيث a هو المقسوم، b هو المقسوم عليه، n هو الحاصل الجزئي، r هو الباقي.

حاصل القسمة الأعداد الطبيعيةيمكن كتابتها على شكل كسر.

بسط الكسر هو المقسوم عليه، والمقام هو المقسوم عليه.

بما أن بسط الكسر هو المقسوم عليه والمقام هو المقسوم عليه نعتقد أن خط الكسر يعني إجراء القسمة. في بعض الأحيان يكون من المناسب كتابة القسمة على شكل كسر دون استخدام العلامة ":".

يمكن كتابة حاصل قسمة الأعداد الطبيعية m وn في صورة كسر \(\frac(m)(n)\)، حيث البسط m هو المقسوم، والمقام n هو المقسوم عليه:
\(م:ن = \فارك(م)(ن)\)

القواعد التالية صحيحة:

للحصول على الكسر \(\frac(m)(n)\)، تحتاج إلى تقسيم الوحدة إلى n أجزاء متساوية (أسهم) وأخذ m من هذه الأجزاء.

للحصول على الكسر \(\frac(m)(n)\)، عليك قسمة الرقم m على الرقم n.

للعثور على جزء من الكل، تحتاج إلى تقسيم الرقم المقابل للكل على المقام وضرب النتيجة في بسط الكسر الذي يعبر عن هذا الجزء.

للعثور على كل من جزء منه، تحتاج إلى تقسيم الرقم المقابل لهذا الجزء على البسط وضرب النتيجة بمقام الكسر الذي يعبر عن هذا الجزء.

إذا تم ضرب كل من البسط والمقام لكسر في نفس الرقم (ما عدا الصفر)، فإن قيمة الكسر لن تتغير:
\(\كبير \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

إذا تم قسمة كل من البسط والمقام لكسر على نفس الرقم (ما عدا الصفر)، فإن قيمة الكسر لن تتغير:
\(\كبير \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
هذه الخاصية تسمى الخاصية الرئيسية للكسر.

يتم استدعاء التحولين الأخيرين تقليل جزء.

إذا كان من الضروري تمثيل الكسور ككسور لها نفس المقام، فسيتم استدعاء هذا الإجراء جلب الكسور إلى قاسم مشترك.

الكسور الصحيحة وغير الصحيحة. أرقام مختلطة

أنت تعلم بالفعل أنه يمكن الحصول على الكسر عن طريق تقسيم الكل إلى أجزاء متساوية وأخذ عدة أجزاء من هذا القبيل. على سبيل المثال، الكسر \(\frac(3)(4)\) يعني ثلاثة أرباع الواحد. في العديد من المسائل الواردة في الفقرة السابقة، تم استخدام الكسور لتمثيل أجزاء من الكل. الفطرة السليمةيقترح أن الجزء يجب أن يكون دائمًا أقل من الكل، ولكن ماذا عن الكسور مثل، على سبيل المثال، \(\frac(5)(5)\) أو \(\frac(8)(5)\)؟ ومن الواضح أن هذا لم يعد جزءا من الوحدة. ربما هذا هو سبب تسمية الكسور التي بسطها أكبر من أو يساوي المقام الكسور غير المناسبة. وتسمى الكسور المتبقية، أي الكسور التي يكون بسطها أقل من مقامها الكسور الصحيحة.

كما تعلم، يمكن اعتبار أي كسر مشترك، صحيحًا أو غير حقيقي، نتيجة قسمة البسط على المقام. لذلك، في الرياضيات، على عكس اللغة العادية، فإن مصطلح "الكسر غير الحقيقي" لا يعني أننا فعلنا شيئًا خاطئًا، ولكن فقط أن بسط هذا الكسر أكبر من أو يساوي المقام.

إذا كان الرقم يتكون من جزء صحيح وكسر، فهو كذلك تسمى الكسور مختلطة.

على سبيل المثال:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 هو الجزء الصحيح، و\(\frac(2)(3) \) هو الجزء الكسري.

إذا كان بسط الكسر \(\frac(a)(b)\) يقبل القسمة على عدد طبيعي n، فمن أجل قسمة هذا الكسر على n، يجب قسمة بسطه على هذا الرقم:
\(\كبير \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

إذا كان بسط الكسر \(\frac(a)(b)\) غير قابل للقسمة على عدد طبيعي n، فلتقسيم هذا الكسر على n، تحتاج إلى ضرب مقامه بهذا الرقم:
\(\كبير \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

لاحظ أن القاعدة الثانية صحيحة أيضًا عندما يكون البسط قابلاً للقسمة على n. ولذلك يمكننا استخدامه عندما يكون من الصعب تحديد للوهلة الأولى ما إذا كان بسط الكسر يقبل القسمة على n أم لا.

الإجراءات مع الكسور. إضافة الكسور.

يمكنك إجراء عمليات حسابية على الأعداد الكسرية، تمامًا كما هو الحال مع الأعداد الطبيعية. دعونا ننظر في إضافة الكسور أولا. من السهل إضافة كسور ذات مقامات متشابهة. دعونا نجد، على سبيل المثال، مجموع \(\frac(2)(7)\) و \(\frac(3)(7)\). من السهل أن نفهم أن \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

لجمع كسور لها نفس المقامات، عليك جمع بسطيها وترك المقام كما هو.

باستخدام الحروف، يمكن كتابة قاعدة جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة على النحو التالي:
\(\كبير \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

إذا كنت بحاجة إلى إضافة كسور بمقامات مختلفة، فيجب أولًا اختزالها إلى مقام مشترك. على سبيل المثال:
\(\كبير \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

بالنسبة للكسور، كما هو الحال بالنسبة للأعداد الطبيعية، فإن خصائص الجمع التبادلية والترابطية صالحة.

إضافة الكسور المختلطة

يتم استدعاء الرموز مثل \(2\frac(2)(3)\). كسور مختلطة. في هذه الحالة، يتم استدعاء الرقم 2 الجزء الكاملكسر مختلط، والرقم \(\frac(2)(3)\) هو هذا الكسر الجزء الكسري. تتم قراءة الإدخال \(2\frac(2)(3)\) على النحو التالي: "اثنان وثلثان".

عند قسمة الرقم 8 على الرقم 3، يمكنك الحصول على إجابتين: \(\frac(8)(3)\) و \(2\frac(2)(3)\). يعبرون عن نفس العدد الكسري، أي \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

ومن ثم، يتم تمثيل الكسر غير الحقيقي \(\frac(8)(3)\) ككسر مختلط \(2\frac(2)(3)\). وفي مثل هذه الحالات يقولون ذلك من كسر غير صحيح سلط الضوء على الجزء كله.

طرح الكسور (الأعداد الكسرية)

الطرح أرقام كسريةمثل الأعداد الطبيعية، يتم تحديدها على أساس عملية الجمع: طرح رقم آخر من رقم واحد يعني العثور على رقم، عند إضافته إلى الثاني، يعطي الأول. على سبيل المثال:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) منذ \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \فارك(8)(9)\)

تشبه قاعدة طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة قاعدة جمع هذه الكسور:
للعثور على الفرق بين الكسور التي لها نفس المقام، تحتاج إلى طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، وترك المقام كما هو.

باستخدام الحروف، يتم كتابة هذه القاعدة على النحو التالي:
\(\كبير \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

ضرب الكسور

لضرب كسر في كسر، تحتاج إلى ضرب البسط والمقامات وكتابة المنتج الأول كبسط، والثاني كمقام.

باستخدام الحروف، يمكن كتابة قاعدة ضرب الكسور على النحو التالي:
\(\كبير \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

باستخدام القاعدة المصاغة، يمكنك ضرب الكسر في عدد طبيعي، وفي كسر مختلط، وكذلك ضرب الكسور المختلطة. للقيام بذلك، تحتاج إلى كتابة رقم طبيعي ككسر بمقام 1، وكسر مختلط - ككسر غير حقيقي.

يجب تبسيط نتيجة الضرب (إن أمكن) عن طريق تقليل الكسر وعزل الجزء الكامل من الكسر غير الحقيقي.

بالنسبة للكسور، كما هو الحال بالنسبة للأعداد الطبيعية، فإن الخصائص التبادلية والتركيبية للضرب، وكذلك خاصية توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع، صالحة.

تقسيم الكسور

لنأخذ الكسر \(\frac(2)(3)\) ونقلبه ونستبدل البسط والمقام. نحصل على الكسر \(\frac(3)(2)\). ويسمى هذا الكسر يعكسالكسور \(\frac(2)(3)\).

إذا قمنا الآن "بعكس" الكسر \(\frac(3)(2)\)، فسنحصل على الكسر الأصلي \(\frac(2)(3)\). لذلك، يتم تسمية الكسور مثل \(\frac(2)(3)\) و \(\frac(3)(2)\) معكوسين بشكل متبادل.

على سبيل المثال، الكسور \(\frac(6)(5) \) و \(\frac(5)(6) \)، \(\frac(7)(18) \) و \(\frac (18) )(7)\).

باستخدام الحروف، يمكن كتابة الكسور المتبادلة على النحو التالي: \(\frac(a)(b) \) و \(\frac(b)(a) \)

فمن الواضح أن منتج الكسور المتبادلة يساوي 1. على سبيل المثال: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

باستخدام الكسور المتبادلة، يمكنك تقليل تقسيم الكسور إلى الضرب.

قاعدة قسمة الكسر على الكسر هي:
لتقسيم كسر على آخر، عليك ضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه.

الرياضيات هي واحدة من أهم العلوم، والتي يمكن رؤية تطبيقها في تخصصات مثل الكيمياء والفيزياء وحتى علم الأحياء. دراسة هذا العلم تسمح لك بتنمية بعض الصفات العقلية وتحسين قدرتك على التركيز. من المواضيع التي تستحق اهتمامًا خاصًا في مقرر الرياضيات جمع وطرح الكسور. يجد العديد من الطلاب صعوبة في الدراسة. ربما ستساعدك مقالتنا على فهم هذا الموضوع بشكل أفضل.

كيفية طرح الكسور التي مقاماتها هي نفسها

الكسور هي نفس الأرقام التي يمكنك من خلالها إجراء عمليات مختلفة. يكمن اختلافهم عن الأعداد الصحيحة في وجود مقام. لهذا السبب، عند إجراء العمليات مع الكسور، تحتاج إلى دراسة بعض ميزاتها وقواعدها. أبسط حالة هي الطرح الكسور العادية، والتي يتم تمثيل قواسمها بنفس الرقم. لن يكون تنفيذ هذا الإجراء صعبًا إذا كنت تعرف قاعدة بسيطة:

• من أجل طرح ثانية من كسر واحد، من الضروري طرح بسط الكسر المطروح من بسط الكسر الذي يتم اختزاله. نكتب هذا الرقم في بسط الفرق، ونترك المقام كما هو: k/m - b/m = (k-b)/m.

أمثلة على طرح الكسور ذات المقامات نفسها

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

من بسط الكسر "7" نطرح بسط الكسر "3" المراد طرحه، نحصل على "4". نكتب هذا الرقم في بسط الإجابة، وفي المقام نضع نفس الرقم الذي كان في مقامي الكسرين الأول والثاني - "19".

توضح الصورة أدناه العديد من الأمثلة المشابهة.

لنفكر في مثال أكثر تعقيدًا حيث يتم طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

من بسط الكسر "29" يتم تخفيضه عن طريق طرح بسط جميع الكسور اللاحقة - "3"، "8"، "2"، "7". ونتيجة لذلك، نحصل على النتيجة "9"، والتي نكتبها في بسط الإجابة، وفي المقام نكتب الرقم الموجود في مقامات كل هذه الكسور - "47".

جمع الكسور التي لها نفس المقام

جمع وطرح الكسور العادية يتبع نفس المبدأ.

• من أجل جمع الكسور التي مقاماتها هي نفسها، تحتاج إلى إضافة البسط. الرقم الناتج هو بسط المجموع، وسيظل المقام كما هو: k/m + b/m = (k + b)/m.

دعونا نرى كيف يبدو هذا باستخدام مثال:

1/4 + 2/4 = 3/4.

إلى بسط الحد الأول من الكسر - "1" - أضف بسط الحد الثاني من الكسر - "2". النتيجة - "3" - تُكتب في بسط المجموع، ويُترك المقام كما هو موجود في الكسور - "4".

الكسور ذات المقامات المختلفة وطرحها

لقد تناولنا بالفعل العملية مع الكسور التي لها نفس المقام. كما نرى، مع العلم قواعد بسيطة، حل مثل هذه الأمثلة سهل للغاية. ولكن ماذا لو كنت بحاجة إلى إجراء عملية مع الكسور التي لها مقامات مختلفة؟ كثير من طلاب المدارس الثانوية مرتبكون بمثل هذه الأمثلة. ولكن حتى هنا، إذا كنت تعرف مبدأ الحل، فإن الأمثلة لن تكون صعبة بالنسبة لك. هناك أيضًا قاعدة هنا، والتي بدونها يكون حل هذه الكسور مستحيلًا.

لطرح الكسور ذات المقامات المختلفة، يجب اختزالها إلى نفس المقام الأصغر.



سنتحدث بمزيد من التفاصيل حول كيفية القيام بذلك.

خاصية الكسر

من أجل جلب عدة كسور إلى نفس المقام، تحتاج إلى استخدام الخاصية الرئيسية للكسر في الحل: بعد قسمة أو ضرب البسط والمقام بنفس الرقم، تحصل على كسر يساوي الكسر المحدد.

لذلك، على سبيل المثال، يمكن أن يكون للكسر 2/3 مقامات مثل "6"، "9"، "12"، وما إلى ذلك، أي أنه يمكن أن يكون له شكل أي رقم يكون من مضاعفات "3". بعد أن نضرب البسط والمقام في "2"، نحصل على الكسر 4/6. بعد أن نضرب بسط ومقام الكسر الأصلي في "3" نحصل على 6/9، وإذا عمل مماثلإنتاج بالرقم "4" نحصل على 8/12. يمكن كتابة المساواة الواحدة على النحو التالي:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

كيفية تحويل كسور متعددة إلى نفس المقام

دعونا نلقي نظرة على كيفية اختزال الكسور المتعددة إلى نفس المقام. على سبيل المثال، لنأخذ الكسور الموضحة في الصورة أدناه. تحتاج أولاً إلى تحديد الرقم الذي يمكن أن يصبح مقامًا لهم جميعًا. لتسهيل الأمور، دعونا نحلل المقامات الموجودة.

لا يمكن تحليل مقام الكسر 1/2 والكسر 2/3. المقام 7/9 له عاملان 7/9 = 7/(3 × 3)، ومقام الكسر 5/6 = 5/(2 × 3). والآن علينا تحديد العوامل الأصغر لجميع هذه الكسور الأربعة. وبما أن الكسر الأول يحمل الرقم "2" في المقام، فهذا يعني أنه يجب أن يكون موجودًا في جميع المقامات، وفي الكسر 7/9 يوجد ثلاثة توائم، مما يعني أن كلاهما يجب أن يكون موجودًا في المقام أيضًا. وبأخذ ما سبق في الاعتبار، نحدد أن المقام يتكون من ثلاثة عوامل: 3، 2، 3 ويساوي 3 × 2 × 3 = 18.



لنفكر في الكسر الأول - 1/2. يوجد "2" في مقامه، ولكن لا يوجد رقم "3" واحد، ولكن يجب أن يكون هناك رقمان. للقيام بذلك، نضرب المقام في مضاعفتين، ولكن وفقًا لخاصية الكسر، يجب علينا ضرب البسط في مضاعفتين:
1/2 = (1 × 3 × 3)/(2 × 3 × 3) = 9/18.

نقوم بنفس العمليات مع الكسور المتبقية.

• 2/3 - واحد ثلاثة وواحد اثنان مفقودان في المقام:
  2/3 = (2 × 3 × 2)/(3 × 3 × 2) = 12/18.
• 7/9 أو 7/(3 × 3) - المقام ينقصه اثنان:
  7/9 = (7 × 2)/(9 × 2) = 14/18.
• 5/6 أو 5/(2 × 3) - المقام ينقصه ثلاثة:
  5/6 = (5 × 3)/(6 × 3) = 15/18.

كل ذلك معًا يبدو كما يلي:



كيفية طرح وإضافة الكسور التي لها مقامات مختلفة

كما ذكرنا أعلاه، من أجل جمع أو طرح الكسور التي لها مقامات مختلفة، يجب تخفيضها إلى نفس المقام، ثم استخدام قواعد طرح الكسور التي لها نفس المقام، والتي تمت مناقشتها بالفعل.

لننظر إلى هذا كمثال: 18/4 - 15/3.

إيجاد مضاعف العددين 18 و 15:

• الرقم 18 يتكون من 3x2x3
• الرقم 15 يتكون من 5×3
• المضاعف المشترك سيكون العوامل التالية: 5 × 3 × 3 × 2 = 90.

بعد العثور على المقام، من الضروري حساب العامل الذي سيكون مختلفًا لكل كسر، أي الرقم الذي سيكون من الضروري ضرب ليس فقط المقام، ولكن أيضًا البسط. للقيام بذلك، قم بتقسيم الرقم الذي وجدناه (المضاعف المشترك) على مقام الكسر الذي يجب تحديد عوامل إضافية له.

• 90 مقسومة على 15. الرقم الناتج "6" سيكون مضاعفًا لـ 3/15.
• 90 مقسومة على 18. الرقم الناتج "5" سيكون مضاعفًا لـ 4/18.

المرحلة التالية من الحل هي تقليل كل كسر إلى المقام "90".

لقد تحدثنا بالفعل عن كيفية القيام بذلك. دعونا نرى كيف يتم كتابة هذا في مثال:

(4 × 5)/(18 × 5) - (3 × 6)/(15 × 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

إذا كانت الكسور تحتوي على أرقام صغيرة، فيمكنك تحديد القاسم المشترك، كما في المثال الموضح في الصورة أدناه.



وينطبق الشيء نفسه على أولئك الذين لديهم قواسم مختلفة.

الطرح والحصول على أجزاء صحيحة

لقد ناقشنا بالفعل بالتفصيل طرح الكسور وإضافتها. ولكن كيف يتم الطرح إذا كان الكسر يحتوي على جزء صحيح؟ مرة أخرى، دعونا نستخدم بعض القواعد:

• تحويل جميع الكسور التي تحتوي على جزء صحيح إلى كسور غير صحيحة. تكلم بكلمات بسيطة، قم بإزالة الجزء بأكمله. للقيام بذلك، اضرب عدد الجزء الصحيح بمقام الكسر، وأضف المنتج الناتج إلى البسط. الرقم الذي يخرج بعد هذه الإجراءات هو بسط الكسر غير الحقيقي. يبقى القاسم دون تغيير.
• إذا كانت الكسور لها مقامات مختلفة، فيجب اختزالها إلى نفس المقام.
• إجراء عمليات الجمع أو الطرح بنفس المقامات.
• عند استلام كسر غير حقيقي، حدد الجزء بأكمله.



هناك طريقة أخرى يمكنك من خلالها جمع وطرح الكسور ذات الأجزاء الكاملة. للقيام بذلك، يتم تنفيذ الإجراءات بشكل منفصل مع الأجزاء الكاملة، والإجراءات مع الكسور بشكل منفصل، ويتم تسجيل النتائج معًا.



يتكون المثال الموضح من كسور لها نفس المقام. في حالة اختلاف المقامات، يجب إحضارها إلى نفس القيمة، ثم تنفيذ الإجراءات كما هو موضح في المثال.

طرح الكسور من الأعداد الصحيحة

نوع آخر من العمليات مع الكسور هو الحالة التي يجب فيها طرح كسر من الكسر، للوهلة الأولى، يبدو مثل هذا المثال صعب الحل. ومع ذلك، كل شيء بسيط للغاية هنا. لحلها، تحتاج إلى تحويل العدد الصحيح إلى كسر، وبنفس المقام الموجود في الكسر المطروح. بعد ذلك، نقوم بإجراء عملية طرح مشابهة لعملية الطرح ذات المقامات المتماثلة. في مثال يبدو مثل هذا:

7 - 4/9 = (7 × 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

طرح الكسور (الصف 6) المقدمة في هذه المقالة هو الأساس لحل المزيد أمثلة معقدة، والتي سيتم مناقشتها في الفصول اللاحقة. يتم استخدام المعرفة بهذا الموضوع لاحقًا لحل الوظائف والمشتقات وما إلى ذلك. لذلك، من المهم جدًا فهم وفهم العمليات مع الكسور التي تمت مناقشتها أعلاه.