التعابير اللوغاريتمية، حل الأمثلة. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على المسائل المتعلقة بحل اللوغاريتمات. تطرح المهام سؤال العثور على معنى التعبير. تجدر الإشارة إلى أن مفهوم اللوغاريتم يستخدم في العديد من المهام وفهم معناه مهم للغاية. أما بالنسبة لامتحان الدولة الموحدة، فيستخدم اللوغاريتم عند حل المعادلات، وفي المسائل التطبيقية، وأيضا في المهام المتعلقة بدراسة الدوال.

دعونا نعطي أمثلة لفهم معنى اللوغاريتم:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

خصائص اللوغاريتمات التي يجب تذكرها دائمًا:

* لوغاريتم المنتج يساوي المبلغلوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم الحاصل (الكسر) يساوي الفرقلوغاريتمات العوامل.

* * *

*لوغاريتم الأس يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم قاعدته.

* * *

*الانتقال إلى أساس جديد

* * *

المزيد من الخصائص:

* * *

يرتبط حساب اللوغاريتمات ارتباطًا وثيقًا باستخدام خصائص الأسس.

دعونا قائمة بعض منهم:

جوهر هذه الخاصية هو أنه عندما ينتقل البسط إلى المقام والعكس، تتغير إشارة الأس إلى العكس. على سبيل المثال:

نتيجة طبيعية من هذه الخاصية:

* * *

عند رفع قوة إلى قوة، يظل الأساس كما هو، ولكن يتم ضرب الأسس.

* * *

كما رأيت، فإن مفهوم اللوغاريتم نفسه بسيط. الشيء الرئيسي هو أنك تحتاج إلى ممارسة جيدة، مما يمنحك مهارة معينة. وبطبيعة الحال، مطلوب معرفة الصيغ. إذا لم يتم تطوير مهارة تحويل اللوغاريتمات الأولية، فعند حل المهام البسيطة، يمكنك بسهولة ارتكاب خطأ.

تدرب على حل أبسط الأمثلة من دورة الرياضيات أولاً، ثم انتقل إلى الأمثلة الأكثر تعقيدًا. في المستقبل، سأوضح بالتأكيد كيف يتم حل اللوغاريتمات "المخيفة"، فهي لن تظهر في امتحان الدولة الموحدة، لكنها مثيرة للاهتمام، لا تفوتها!

هذا كل شئ! كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد الهوية شخص معينأو الارتباط معه.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، والإجراءات القانونية، و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات الواردة من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

تعليمات

اكتب المعطى التعبير اللوغاريتمي. إذا كان التعبير يستخدم لوغاريتم 10، فسيتم اختصار تدوينه ويبدو كما يلي: lg b هو اللوغاريتم العشري. إذا كان اللوغاريتم يحتوي على الرقم e كأساس له، فاكتب التعبير: ln b - اللوغاريتم الطبيعي. ومن المفهوم أن نتيجة أي هي القوة التي يجب رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.

عند إيجاد مجموع دالتين، ما عليك سوى التمييز بينهما واحدة تلو الأخرى وإضافة النتائج: (u+v)" = u"+v";

عند إيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين من الضروري ضرب مشتقة الدالة الأولى في الثانية وإضافة مشتقة الدالة الثانية مضروبة في الدالة الأولى: (u*v)" = u"*v +v"*u;

من أجل العثور على مشتق حاصل قسمة دالتين، من الضروري طرح ناتج مشتقة المقسوم مضروبًا في دالة المقسوم عليه، حاصل ضرب مشتقة المقسوم عليه في دالة المقسوم عليه، وتقسيمه كل هذا بواسطة دالة المقسوم عليها مربعة. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

إذا أعطيت وظيفة معقدة، فمن الضروري مضاعفة مشتق وظيفة داخليةوالمشتق من الخارج . دع y=u(v(x)) ثم y"(x)=y"(u)*v"(x).

باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها أعلاه، يمكنك التمييز بين أي وظيفة تقريبًا. لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *س));
هناك أيضًا مشاكل تتعلق بحساب المشتق عند نقطة ما. افترض أن الدالة y=e^(x^2+6x+5) معطاة، فأنت بحاجة إلى إيجاد قيمة الدالة عند النقطة x=1.
1) أوجد مشتقة الدالة: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) احسب قيمة الدالة نقطة معينةص"(1)=8*ه^0=8

فيديو حول الموضوع

نصائح مفيدة

تعلم جدول المشتقات الأولية. وهذا سيوفر الوقت بشكل كبير.

مصادر:

• مشتق من ثابت

إذن ما هو الفرق بين معادلة عقلانيةمن العقلاني؟ إذا كان المتغير غير المعروف تحت العلامة الجذر التربيعي، فإن المعادلة تعتبر غير عقلانية.

تعليمات

الطريقة الرئيسية لحل مثل هذه المعادلات هي طريقة بناء كلا الطرفين المعادلاتفي مربع. لكن. هذا أمر طبيعي، أول شيء عليك فعله هو التخلص من العلامة. هذه الطريقة ليست صعبة من الناحية الفنية، ولكنها قد تؤدي في بعض الأحيان إلى مشاكل. على سبيل المثال، المعادلة هي v(2x-5)=v(4x-7). بتربيع الطرفين تحصل على 2x-5=4x-7. إن حل مثل هذه المعادلة ليس بالأمر الصعب؛ س = 1. ولكن لن يتم إعطاء الرقم 1 المعادلات. لماذا؟ عوض بواحد في المعادلة بدلا من قيمة x. وسيحتوي الجانبان الأيمن والأيسر على تعبيرات لا معنى لها، أي. هذه القيمة غير صالحة للجذر التربيعي. لذلك، 1 هو جذر خارجي، وبالتالي فإن هذه المعادلة ليس لها جذور.

لذا، معادلة غير منطقيةيتم حلها باستخدام طريقة تربيع جزأينها. وبعد حل المعادلة، من الضروري قطع الجذور الدخيلة. للقيام بذلك، قم بالتعويض بالجذور الموجودة في المعادلة الأصلية.

النظر في واحد آخر.
2x+vx-3=0
وبالطبع يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نفس المعادلة السابقة. تحرك المركبات المعادلات، والتي ليس لها جذر تربيعي، في الجانب الأيمنثم استخدم طريقة التربيع. حل المعادلة العقلانية الناتجة والجذور. ولكن أيضًا واحدة أخرى أكثر أناقة. أدخل متغيرا جديدا. vx=y. وبناء على ذلك، سوف تحصل على معادلة بالصيغة 2y2+y-3=0. وهذا هو المعتاد معادلة من الدرجة الثانية. ابحث عن جذوره؛ y1=1 و y2=-3/2. التالي حل اثنين المعادلات vx=1; vx=-3/2. المعادلة الثانية ليس لها جذور، فمن الأولى نجد أن x=1. لا تنس التحقق من الجذور.

حل الهويات بسيط للغاية. للقيام بذلك، من الضروري إجراء تحولات متطابقة حتى يتم تحقيق الهدف المحدد. وهكذا، بمساعدة العمليات الحسابية البسيطة، سيتم حل المشكلة المطروحة.

سوف تحتاج

• - ورق؛
• - قلم.

تعليمات

أبسط هذه التحويلات هي الضربات الجبرية المختصرة (مثل مربع المجموع (الفرق)، فرق المربعات، المجموع (الفرق)، مكعب المجموع (الفرق)). بالإضافة إلى ذلك، هناك العديد من و الصيغ المثلثية، والتي هي في الأساس نفس الهويات.

في الواقع، مربع مجموع حدين يساوي مربع الأول زائد ضعف ناتج الأول في الثاني وزائد مربع الثاني، أي (a+b)^2= (a+ ب)(أ+ب)=أ^2+آب +با+ب ^2=أ^2+2ab+ب^2.

بسّط كلا الأمرين

المبادئ العامة للحل

كرر الكتاب المدرسي عن التحليل الرياضي أو الرياضيات العليا، وهو تكامل محدد. كما هو معروف، حل التكامل المحدد هو دالة مشتقتها سوف تعطي تكاملا. هذه الوظيفة تسمى المشتق العكسي. وعلى هذا المبدأ يتم بناء التكاملات الرئيسية.
حدد حسب نوع التكامل وأي من تكاملات الجدول مناسب في هذه الحالة. ليس من الممكن دائمًا تحديد ذلك على الفور. في كثير من الأحيان، يصبح الشكل الجدولي ملحوظًا فقط بعد عدة تحويلات لتبسيط التكامل.

طريقة الاستبدال المتغيرة

إذا كانت الدالة integrand هي وظيفة المثلثية، التي تحتوي حجتها على كثيرات الحدود، فحاول استخدام طريقة استبدال المتغير. من أجل القيام بذلك، استبدل كثير الحدود في وسيطة التكامل بمتغير جديد. بناءً على العلاقة بين المتغيرات الجديدة والقديمة، حدد الحدود الجديدة للتكامل. من خلال التمييز بين هذا التعبير، ابحث عن التفاضل الجديد في . لذلك سوف تحصل النوع الجديدالتكامل السابق، قريب أو حتى مطابق لأي تكامل جدولي.

حل التكاملات من النوع الثاني

إذا كان التكامل تكاملًا من النوع الثاني، وهو شكل متجه للتكامل، فستحتاج إلى استخدام قواعد الانتقال من هذه التكاملات إلى التكاملات العددية. إحدى هذه القواعد هي علاقة أوستروجرادسكي-غاوس. يسمح لنا هذا القانون بالانتقال من التدفق الدوار لوظيفة متجهة معينة إلى التكامل الثلاثي على مدى تباعد مجال متجه معين.

استبدال حدود التكامل

بعد إيجاد المشتقة العكسية، من الضروري التعويض بحدود التكامل. أولًا، عوض بقيمة الحد الأعلى في التعبير الخاص بالمشتق العكسي. سوف تحصل على بعض الرقم. بعد ذلك، اطرح من الرقم الناتج رقمًا آخر تم الحصول عليه من الحد الأدنى إلى المشتق العكسي. إذا كان أحد حدود التكامل هو ما لا نهاية، فعند التعويض به في وظيفة مضادمن الضروري الذهاب إلى الحد الأقصى والعثور على ما يسعى إليه التعبير.
إذا كان التكامل ثنائي أو ثلاثي الأبعاد، فسيتعين عليك تمثيل حدود التكامل هندسيًا لفهم كيفية حساب التكامل. في الواقع، في حالة التكامل ثلاثي الأبعاد، على سبيل المثال، يمكن أن تكون حدود التكامل مستويات كاملة تحد من الحجم الجاري تكامله.

اليوم سنتحدث عنه الصيغ اللوغاريتميةوسوف نعطي الإرشادية أمثلة الحل.

هم أنفسهم يشيرون إلى أنماط الحل وفقًا للخصائص الأساسية للوغاريتمات. قبل تطبيق صيغ اللوغاريتم لحلها، دعونا نذكرك بجميع الخصائص:

الآن، على أساس هذه الصيغ (الخصائص)، سوف نعرض أمثلة على حل اللوغاريتمات.

أمثلة على حل اللوغاريتمات على أساس الصيغ.

اللوغاريتمالرقم الموجب b للأساس a (يُشار إليه بالسجل a b) هو الأس الذي يجب رفع a إليه للحصول على b، مع b > 0، وa > 0، و1.

وفقًا للتعريف، سجل a b = x، وهو ما يعادل a x = b، وبالتالي سجل a a x = x.

اللوغاريتمات، أمثلة:

سجل 2 8 = 3، لأن 2 3 = 8

سجل 7 49 = 2، لأن 7 2 = 49

سجل 5 1/5 = -1، لأن 5 -1 = 1/5

اللوغاريتم العشري- هذا لوغاريتم عادي، قاعدته 10. ويشار إليه بـ lg.

سجل 10 100 = 2، لأن 10 2 = 100

اللوغاريتم الطبيعي- أيضًا لوغاريتم عادي، لوغاريتم، لكن بالأساس e (e = 2.71828... - رقم غير نسبي). يشار إليه باسم ln.

من المستحسن حفظ صيغ أو خصائص اللوغاريتمات، لأننا سنحتاجها لاحقا عند حل اللوغاريتمات، المعادلات اللوغاريتميةوعدم المساواة. دعونا نعمل على كل صيغة مرة أخرى مع الأمثلة.

• الهوية اللوغاريتمية الأساسية
  سجل أ ب = ب

  8 2 سجل 8 3 = (8 2 سجل 8 3) 2 = 3 2 = 9

• لوغاريتم المنتج يساوي مجموع اللوغاريتمات
  سجل أ (قبل الميلاد) = سجل أ ب + سجل أ ج

  سجل 3 8.1 + سجل 3 10 = سجل 3 (8.1*10) = سجل 3 81 = 4

• لوغاريتم الحاصل يساوي الفرق بين اللوغاريتمات
  سجل أ (ب / ج) = سجل أ ب - سجل أ ج

  9 سجل 5 50 /9 سجل 5 2 = 9 سجل 5 50- سجل 5 2 = 9 سجل 5 25 = 9 2 = 81

• خصائص قوة الرقم اللوغاريتمي وأساس اللوغاريتم

  أس اللوغاريتم أرقام السجلأ ب م = mlog أ ب

  الأس الأساسي سجل اللوغاريتمأ ن ب =1/ن*سجل أ ب

  تسجيل الدخول أ ن ب م = م/ن*تسجيل أ ب،

  إذا م = ن، نحصل على سجل أ ن ب ن = سجل أ ب

  سجل 4 9 = سجل 2 2 3 2 = سجل 2 3

• الانتقال إلى أساس جديد
  سجل أ ب = سجل ج ب/سجل ج أ،

  إذا كان ج = ب، نحصل على سجل ب ب = 1

  ثم سجل أ ب = 1/سجل ب أ

  سجل 0.8 3*سجل 3 1.25 = سجل 0.8 3*سجل 0.8 1.25/سجل 0.8 3 = سجل 0.8 1.25 = سجل 4/5 5/4 = -1

كما ترون، صيغ اللوغاريتمات ليست معقدة كما تبدو. والآن، بعد أن نظرنا إلى أمثلة حل اللوغاريتمات، يمكننا الانتقال إلى المعادلات اللوغاريتمية. سننظر في أمثلة حل المعادلات اللوغاريتمية بمزيد من التفصيل في المقالة: "". لا تفوت!

إذا كان لا يزال لديك أسئلة حول الحل، فاكتبها في التعليقات على المقالة.

ملاحظة: قررنا الحصول على فئة مختلفة من التعليم والدراسة في الخارج كخيار.

1.1. تحديد الأس للأس الصحيح

× 1 = ×
× 2 = س * س
× 3 = س * س * س
…
X N = X * X * … * X - N مرات

1.2. درجة الصفر.

بحكم التعريف، من المقبول عمومًا أن القوة الصفرية لأي رقم هي 1:

1.3. درجة سلبية.

X -N = 1/X N

1.4. القوة الكسرية، الجذر.

X 1/N = N جذر X.

على سبيل المثال: X 1/2 = √X.

1.5. صيغة لإضافة الصلاحيات.

X (N+M) = X N *X M

1.6.صيغة لطرح القوى.

X (N-M) = X N /X M

1.7. صيغة لضرب القوى.

X N*M = (X N) م

1.8. صيغة لرفع الكسر إلى قوة.

(X/Y) N = X N /Y N

2. الرقم ه.

قيمة الرقم e تساوي الحد التالي:

E = lim(1+1/N)، مثل N → ∞.

وبدقة 17 رقمًا، يكون الرقم e هو 2.71828182845904512.

3. مساواة أويلر.

تربط هذه المساواة بين خمسة أرقام تلعب دورًا خاصًا في الرياضيات: 0، 1، e، pi، الوحدة التخيلية.

ه (ط*بي) + 1 = 0

4. الدالة الأسية exp(x)

إكسب(س) = ه س

5. مشتق من الدالة الأسية

تتمتع الدالة الأسية بخاصية رائعة: مشتقة الدالة تساوي الدالة الأسية نفسها:

(إكسب(x))" = إكسب(x)

6. اللوغاريتم.

6.1. تعريف الدالة اللوغاريتمية

إذا كانت x = b y، فإن اللوغاريتم هو الدالة

ص = سجل ب (خ).

يُظهر اللوغاريتم القوة التي يجب رفع الرقم بها - قاعدة اللوغاريتم (ب) للحصول على رقم معين (X). يتم تعريف الدالة اللوغاريتمية لـ X أكبر من الصفر.

على سبيل المثال: سجل 10 (100) = 2.

6.2. اللوغاريتم العشري

هذا هو اللوغاريتم للأساس 10:

ص = سجل 10 (س) .

يُشار إليه بالسجل (x): السجل (x) = السجل 10 (x).

مثال على استخدام اللوغاريتم العشري هو الديسيبل.

6.3. ديسيبل

يتم تمييز العنصر في صفحة منفصلة بالديسيبل

6.4. اللوغاريتم الثنائي

هذا هو اللوغاريتم ذو الأساس 2:

ص = سجل 2 (س).

يُشار إليه بواسطة Lg(x): Lg(x) = السجل 2 (X)

6.5. اللوغاريتم الطبيعي

هذا هو اللوغاريتم للأساس e:

ص = سجل ه (س) .

يُشار إليه بواسطة Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
اللوغاريتم الطبيعي هو الدالة العكسية للدالة الأسية exp(X).

6.6. النقاط المميزة

لوغا (1) = 0
سجل (أ) = 1

6.7. صيغة لوغاريتم المنتج

سجل (x*y) = سجل (x)+سجل (y)

6.8. صيغة لوغاريتم الحاصل

سجل (س/ص) = سجل (س)- سجل (ص)

6.9. لوغاريتم صيغة القوة

سجل (س ص) = ص* سجل (س)

6.10. صيغة للتحويل إلى لوغاريتم بأساس مختلف

السجل ب (س) = (السجل أ (س))/السجل أ (ب)

مثال:

سجل 2 (8) = سجل 10 (8)/سجل 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. صيغ مفيدة في الحياة

غالبًا ما تكون هناك مشاكل في تحويل الحجم إلى مساحة أو طول و مشكلة عكسية- تحويل المساحة إلى حجم . على سبيل المثال، تُباع الألواح على شكل مكعبات (متر مكعب)، ونحتاج إلى حساب مقدار مساحة الجدار التي يمكن تغطيتها بالألواح الموجودة في حجم معين، راجع حساب الألواح، وكم عدد الألواح الموجودة في المكعب. أو، إذا كانت أبعاد الجدار معروفة، فأنت بحاجة إلى حساب عدد الطوب، راجع حساب الطوب.

يُسمح باستخدام مواد الموقع بشرط تثبيت رابط نشط للمصدر.