المشتقات المعقدة. مشتق لوغاريتمي.
مشتق الطاقة وظيفة الأسية

نواصل تحسين تقنية التمايز لدينا. في هذا الدرس، سنقوم بدمج المواد التي تناولناها، وننظر إلى المشتقات الأكثر تعقيدًا، ونتعرف أيضًا على التقنيات والحيل الجديدة لإيجاد المشتقة، على وجه الخصوص، المشتقة اللوغاريتمية.

لأولئك القراء الذين لديهم مستوى منخفضالتحضير، يجب عليك الرجوع إلى هذه المادة كيفية العثور على المشتق؟ أمثلة على الحلولمما سيسمح لك برفع مهاراتك من الصفر تقريبًا. بعد ذلك، عليك أن تدرس الصفحة بعناية مشتق من وظيفة معقدةوفهم وحل الجميعالأمثلة التي أعطيتها. هذا الدرس منطقيًا هو الثالث على التوالي، وبعد إتقانه ستميز بثقة بين الوظائف المعقدة إلى حد ما. من غير المرغوب فيه اتخاذ موقف "أين آخر؟" نعم هذا يكفي!"، حيث أن جميع الأمثلة والحلول مأخوذة من الواقع الاختباراتوغالبا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.

لنبدأ بالتكرار. في الدرس مشتق من وظيفة معقدةنظرنا إلى عدد من الأمثلة مع تعليقات مفصلة. في سياق دراسة حساب التفاضل والتكامل والفروع الأخرى للتحليل الرياضي، سيتعين عليك التمييز في كثير من الأحيان، وليس من المناسب دائمًا (وليس من الضروري دائمًا) وصف الأمثلة بتفصيل كبير. ومن ثم، سوف نتدرب على إيجاد المشتقات شفويًا. "المرشحون" الأكثر ملاءمة لذلك هم مشتقات أبسط الدوال المعقدة، على سبيل المثال:

وفقا لقاعدة التفاضل وظيفة معقدة :

عند دراسة مواضيع متانية أخرى في المستقبل، غالبًا ما لا يكون هذا السجل التفصيلي مطلوبًا، ويُفترض أن الطالب يعرف كيفية العثور على مثل هذه المشتقات على الطيار الآلي. لنتخيل أنه في الساعة الثالثة صباحًا كان هناك مكالمة هاتفيةوسأل صوت لطيف: «ما مشتقة مماس اثنين X؟» يجب أن يتبع ذلك إجابة فورية ومهذبة تقريبًا: .

سيتم تخصيص المثال الأول على الفور للحل المستقل.

مثال 1

أوجد المشتقات التالية شفهياً في إجراء واحد مثلاً: . لإكمال المهمة، ما عليك سوى استخدامه جدول مشتقات الوظائف الأولية(إذا لم تكن تتذكره بعد). إذا واجهت أي صعوبات، أنصحك بإعادة قراءة الدرس مشتق من وظيفة معقدة.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

الإجابات في نهاية الدرس

المشتقات المعقدة

بعد إعداد المدفعية الأولي، ستكون الأمثلة ذات التعشيش 3-4-5 أقل مخيفة. قد يبدو المثالان التاليان معقدين بالنسبة للبعض، ولكن إذا فهمتهما (سيعاني شخص ما)، فإن كل شيء آخر تقريبًا في حساب التفاضل والتكامل سيبدو وكأنه مزحة طفل.

مثال 2

أوجد مشتقة الدالة

كما ذكرنا سابقًا، عند العثور على مشتق دالة معقدة، فمن الضروري أولاً وقبل كل شيء يمينفهم استثماراتك. في الحالات التي توجد فيها شكوك، أذكرك خدعة مفيدة: نأخذ المعنى التجريبي لـ "x" على سبيل المثال، ونحاول (ذهنيًا أو في مسودة) استبدال هذا المعنى بـ "التعبير الرهيب".

1) نحتاج أولاً إلى حساب التعبير، مما يعني أن المجموع هو التضمين الأعمق.

2) فأنت بحاجة إلى حساب اللوغاريتم:

4) ثم مكعب جيب التمام:

5) في الخطوة الخامسة الفرق:

6) وأخيرا، الوظيفة الأكثر خارجية هي الجذر التربيعي:

صيغة للتمييز بين وظيفة معقدة سيتم تطبيقها بترتيب عكسي، من الأكثر وظيفة خارجية، إلى الأعمق. نحن نقرر:

يبدو أنه لا يوجد أي أخطاء..

(1) خذ مشتقة الجذر التربيعي.

(2) نأخذ مشتقة الفرق باستخدام القاعدة

(٣) مشتقة الثلاثي هي صفر. وفي الفصل الثاني نأخذ مشتقة الدرجة (المكعب).

(4) خذ مشتق جيب التمام.

(5) خذ مشتقة اللوغاريتم.

(6) وأخيرا، نأخذ مشتقة التضمين الأعمق.

قد يبدو الأمر صعبا للغاية، ولكن هذا ليس المثال الأكثر وحشية. خذ على سبيل المثال مجموعة كوزنتسوف وسوف تقدر كل جمال وبساطة المشتق الذي تم تحليله. لقد لاحظت أنهم يحبون تقديم شيء مماثل في الاختبار للتحقق مما إذا كان الطالب يفهم كيفية العثور على مشتق دالة معقدة أم لا.

المثال التالي هو الحل بنفسك.

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة

تلميح: أولاً، نطبق القواعد الخطية وقاعدة تمايز المنتجات

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

حان الوقت للانتقال إلى شيء أصغر وأجمل.
ليس من غير المألوف أن يُظهر المثال منتجًا ليس وظيفتين، بل ثلاث وظائف. كيفية العثور على مشتق المنتج من ثلاثة عوامل؟

مثال 4

أوجد مشتقة الدالة

لننظر أولاً، هل من الممكن تحويل منتج ثلاث وظائف إلى منتج دالتين؟ على سبيل المثال، إذا كان لدينا كثيرتا الحدود في حاصل الضرب، فيمكننا فتح القوسين. ولكن في المثال قيد النظر، جميع الوظائف مختلفة: الدرجة والأس واللوغاريتم.

في مثل هذه الحالات فمن الضروري بالتتابعتطبيق قاعدة تمايز المنتج مرتين

الحيلة هي أننا نشير بالحرف "y" إلى حاصل ضرب وظيفتين: وبالحرف "ve" نشير إلى اللوغاريتم: . لماذا يمكن القيام بذلك؟ هل هو حقا – هذا ليس نتاج عاملين والقاعدة لا تعمل؟! لا يوجد شيء معقد:

الآن يبقى تطبيق القاعدة مرة ثانية بين قوسين:

يمكنك أيضًا التحريف ووضع شيء ما خارج الأقواس، ولكن في هذه الحالة من الأفضل ترك الإجابة بالضبط في هذا النموذج - سيكون من الأسهل التحقق منها.

يمكن حل المثال المدروس بالطريقة الثانية:

كلا الحلين متكافئان تمامًا.

مثال 5

أوجد مشتقة الدالة

وهذا مثال لحل مستقل، في العينة يتم حله باستخدام الطريقة الأولى.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة مماثلة مع الكسور.

مثال 6

أوجد مشتقة الدالة

هناك عدة طرق يمكنك الذهاب إليها هنا:

او مثل هذا:

لكن الحل سيكون مكتوبًا بشكل أكثر إحكامًا إذا استخدمنا قاعدة اشتقاق خارج القسمة أولًا ، مع الأخذ في الاعتبار البسط بأكمله:

ومن حيث المبدأ فالمثال محلول، وإذا ترك كما هو فلا يكون خطأ. ولكن إذا كان لديك الوقت، فمن المستحسن دائمًا التحقق من المسودة لمعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط الإجابة؟ دعونا نختصر تعبير البسط إلى قاسم مشترك و دعونا نتخلص من الكسر المكون من ثلاثة طوابق:

عيب التبسيط الإضافي هو أن هناك خطر ارتكاب خطأ ليس عند العثور على المشتق، ولكن أثناء التحولات المدرسية المبتذلة. من ناحية أخرى، غالبًا ما يرفض المعلمون المهمة ويطلبون "إحضارها إلى الذهن" المشتقة.

مثال أبسط لحلها بنفسك:

مثال 7

أوجد مشتقة الدالة

نواصل إتقان طرق العثور على المشتق، والآن سننظر في حالة نموذجية عندما يتم اقتراح اللوغاريتم "الرهيب" للتمايز

مثال 8

أوجد مشتقة الدالة

هنا يمكنك قطع شوط طويل، باستخدام قاعدة التمييز بين دالة معقدة:

لكن الخطوة الأولى تغرقك على الفور في اليأس - عليك أن تأخذ المشتق غير السار من القوة الكسرية، ثم من الكسر أيضًا.

لهذا قبلكيفية أخذ مشتق اللوغاريتم "المعقد" يتم تبسيطه أولاً باستخدام خصائص المدرسة المعروفة:

! إذا كان لديك دفتر تدريبي في متناول يدك، فانسخ هذه الصيغ مباشرة هناك. إذا لم يكن لديك دفتر ملاحظات، فانسخه على قطعة من الورق، لأن الأمثلة المتبقية من الدرس ستدور حول هذه الصيغ.

الحل نفسه يمكن كتابته بشيء من هذا القبيل:

دعونا نحول الوظيفة:

إيجاد المشتقة:

أدى التحويل المسبق للوظيفة نفسها إلى تبسيط الحل إلى حد كبير. وبالتالي، عندما يتم اقتراح لوغاريتم مماثل للتمايز، فمن المستحسن دائمًا "تقسيمه".

والآن إليك بعض الأمثلة البسيطة التي يمكنك حلها بنفسك:

مثال 9

أوجد مشتقة الدالة

مثال 10

أوجد مشتقة الدالة

جميع التحويلات والإجابات موجودة في نهاية الدرس.

مشتق لوغاريتمي

إذا كان مشتق اللوغاريتمات موسيقى حلوة، فإن السؤال الذي يطرح نفسه: هل من الممكن في بعض الحالات تنظيم اللوغاريتم بشكل مصطنع؟ يستطيع! وحتى ضرورية.

مثال 11

أوجد مشتقة الدالة

لقد نظرنا مؤخرًا إلى أمثلة مماثلة. ما يجب القيام به؟ يمكنك تطبيق قاعدة اشتقاق الحاصل بشكل تسلسلي، ثم قاعدة اشتقاق المنتج. عيب هذه الطريقة هو أنه سينتهي بك الأمر بجزء ضخم من ثلاثة طوابق، وهو ما لا ترغب في التعامل معه على الإطلاق.

ولكن من الناحية النظرية والتطبيقية هناك شيء رائع مثل المشتق اللوغاريتمي. يمكن تنظيم اللوغاريتمات بشكل مصطنع عن طريق "تعليقها" على كلا الجانبين:

أنت الآن بحاجة إلى "تفكيك" لوغاريتم الجانب الأيمن قدر الإمكان (الصيغ أمام عينيك؟). سأصف هذه العملية بتفصيل كبير:

لنبدأ بالتمايز.
نستنتج كلا الجزأين تحت الرئاسة:

إن مشتقة الجانب الأيمن بسيطة جدًا، ولن أعلق عليها، لأنك إذا كنت تقرأ هذا النص، فيجب أن تكون قادرًا على التعامل معه بثقة.

ماذا عن الجانب الأيسر؟

على الجانب الأيسر لدينا وظيفة معقدة. أتوقع السؤال: "لماذا يوجد حرف واحد "Y" تحت اللوغاريتم؟"

الحقيقة هي أن هذه "لعبة الحرف الواحد" - هي في حد ذاتها وظيفة(إذا لم يكن الأمر واضحًا جدًا، فارجع إلى المقالة مشتق من دالة محددة ضمنيًا). وبالتالي فإن اللوغاريتم هو دالة خارجية، و"y" هي دالة داخلية. ونستخدم القاعدة لاشتقاق دالة معقدة :

على الجانب الأيسر، كما لو كان بالسحر العصا السحريةلدينا مشتق . بعد ذلك، وفقًا لقاعدة التناسب، نقوم بنقل "y" من مقام الجانب الأيسر إلى أعلى الجانب الأيمن:

والآن دعونا نتذكر ما نوع وظيفة "اللاعب" التي تحدثنا عنها أثناء التمايز؟ دعونا نلقي نظرة على الحالة:

الجواب النهائي:

مثال 12

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال لك لحله بنفسك. يوجد تصميم عينة لمثال من هذا النوع في نهاية الدرس.

باستخدام المشتق اللوغاريتمي، كان من الممكن حل أي من الأمثلة رقم 4-7، والشيء الآخر هو أن الوظائف هناك أبسط، وربما، استخدام المشتق اللوغاريتمي ليس له ما يبرره.

مشتق من دالة الأسية

لم نفكر في هذه الوظيفة بعد. دالة الأس الأسية هي دالة لها تعتمد كل من الدرجة والقاعدة على "x". مثال كلاسيكي سيتم تقديمه لك في أي كتاب مدرسي أو محاضرة:

كيفية العثور على مشتق دالة القوة الأسية؟

من الضروري استخدام التقنية التي تمت مناقشتها للتو - المشتق اللوغاريتمي. نعلق اللوغاريتمات على كلا الجانبين:

كقاعدة عامة، على الجانب الأيمن يتم إخراج الدرجة من تحت اللوغاريتم:

ونتيجة لذلك، على الجانب الأيمن لدينا منتج وظيفتين، والتي سيتم اشتقاقها وفقًا للصيغة القياسية .

نجد المشتقة؛ للقيام بذلك، نحيط كلا الجزأين بالحدود:

الإجراءات الإضافية بسيطة:

أخيراً:

إذا لم يكن أي تحويل واضحًا تمامًا، فيرجى إعادة قراءة شرح المثال رقم 11 بعناية.

في المهام العملية، ستكون دالة الأس الأسية دائمًا أكثر تعقيدًا من مثال المحاضرة الذي تم النظر فيه.

مثال 13

أوجد مشتقة الدالة

نستخدم المشتقة اللوغاريتمية.

على الجانب الأيمن لدينا ثابت وحاصل ضرب عاملين - "x" و"لوغاريتم اللوغاريتم x" (يوجد لوغاريتم آخر متداخل تحت اللوغاريتم). عند الاشتقاق، كما نتذكر، من الأفضل نقل الثابت فورًا خارج إشارة المشتقة حتى لا يعيق الطريق؛ وبالطبع نطبق القاعدة المألوفة :

كما ترون، فإن خوارزمية استخدام المشتق اللوغاريتمي لا تحتوي على أي حيل أو حيل خاصة، وعادةً لا يرتبط العثور على مشتق دالة أسية بـ "العذاب".

مشتق من وظيفة معقدة. أمثلة على الحلول

في هذا الدرس سوف نتعلم كيفية إيجاد مشتق من وظيفة معقدة. الدرس هو استمرار منطقي للدرس كيفية العثور على المشتقة؟والتي استعرضنا فيها أبسط المشتقات، وتعرفنا أيضًا على قواعد التفاضل وبعض التقنيات الفنية لإيجاد المشتقات. وبالتالي، إذا لم تكن جيدًا في التعامل مع مشتقات الدوال أو أن بعض النقاط في هذه المقالة ليست واضحة تمامًا، فاقرأ الدرس أعلاه أولاً. من فضلك، كن في حالة مزاجية جدية - المادة ليست بسيطة، لكنني سأظل أحاول تقديمها ببساطة ووضوح.

من الناحية العملية، يتعين عليك التعامل مع مشتقة دالة معقدة في كثير من الأحيان، بل وأود أن أقول، دائمًا تقريبًا، عندما يتم تكليفك بمهام للعثور على المشتقات.

وننظر إلى الجدول في القاعدة (رقم 5) للتمييز بين دالة معقدة:

دعونا معرفة ذلك. بادئ ذي بدء، دعونا ننتبه إلى الإدخال. لدينا هنا وظيفتان - و، والدالة، بالمعنى المجازي، متداخلة داخل الوظيفة. تسمى الوظيفة من هذا النوع (عندما تتداخل وظيفة واحدة داخل أخرى) بوظيفة معقدة.

سأتصل بالوظيفة وظيفة خارجية، والوظيفة - وظيفة داخلية (أو متداخلة)..

! هذه التعريفات ليست نظرية ولا ينبغي أن تظهر في التصميم النهائي للواجبات. أستخدم التعبيرات غير الرسمية مثل "وظيفة خارجية" و"وظيفة داخلية" فقط لتسهيل فهم المادة.

لتوضيح الموقف خذ بعين الاعتبار:

مثال 1

أوجد مشتقة الدالة

تحت جيب الزاوية ليس لدينا الحرف "X" فحسب، بل لدينا تعبير كامل، لذا فإن العثور على المشتقة مباشرة من الجدول لن ينجح. ونلاحظ أيضًا أنه من المستحيل تطبيق القواعد الأربع الأولى هنا، يبدو أن هناك فرقًا، لكن الحقيقة هي أن الجيب لا يمكن "تمزيقه إلى أجزاء":

في هذا المثال، أصبح من الواضح بالفعل من خلال شرحي أن الدالة هي دالة معقدة، وأن كثير الحدود هو دالة داخلية (تضمين)، ودالة خارجية.

الخطوة الأولىما عليك القيام به عند العثور على مشتق دالة معقدة هو فهم أي وظيفة داخلية وأيها خارجية.

متى أمثلة بسيطةيبدو من الواضح أن كثيرة الحدود مضمنة تحت الجيب. ولكن ماذا لو لم يكن كل شيء واضحًا؟ كيف تحدد بدقة أي وظيفة خارجية وأيها داخلية؟ للقيام بذلك، أقترح استخدام التقنية التالية، والتي يمكن القيام بها عقليًا أو في مسودة.

لنتخيل أننا بحاجة إلى حساب قيمة التعبير على الآلة الحاسبة (بدلاً من واحد يمكن أن يكون هناك أي رقم).

ماذا سنحسب أولا؟ أولاًستحتاج إلى تنفيذ الإجراء التالي: وبالتالي فإن كثيرة الحدود ستكون دالة داخلية:

ثانيًاسوف تحتاج إلى العثور عليها، لذا فإن sine – ستكون دالة خارجية:

بعد نحن نفذمع الوظائف الداخلية والخارجية، حان الوقت لتطبيق قاعدة التفريق بين الوظائف المعقدة.

لنبدأ في اتخاذ القرار. من الصف كيفية العثور على المشتقة؟نتذكر أن تصميم حل أي مشتق يبدأ دائمًا على هذا النحو - نضع التعبير بين قوسين ونضع حدًا في أعلى اليمين:

في البدايهأوجد مشتقة الدالة الخارجية (جيب الجيب)، انظر إلى جدول المشتقات وظائف أوليةونحن نلاحظ ذلك. جميع صيغ الجدول قابلة للتطبيق أيضًا إذا تم استبدال "x" بتعبير معقد، في هذه الحالة:

يرجى ملاحظة أن الوظيفة الداخلية لم يتغير، نحن لا نلمسه.

حسنًا، من الواضح تمامًا ذلك

تبدو النتيجة النهائية لتطبيق الصيغة كما يلي:

عادة ما يتم وضع العامل الثابت في بداية التعبير:

إذا كان هناك أي سوء فهم، فاكتب الحل على الورق واقرأ الشرح مرة أخرى.

مثال 2

أوجد مشتقة الدالة

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة

وكعادتنا نكتب:

دعونا نكتشف أين لدينا وظيفة خارجية وأين لدينا وظيفة داخلية. للقيام بذلك، نحاول (ذهنيًا أو في مسودة) حساب قيمة التعبير عند . ما الذى ينبغى عليك فعله اولا؟ أولًا، عليك أن تحسب ما يساويه الأساس: وبالتالي فإن كثير الحدود هو دالة داخلية:

وعندها فقط يتم إجراء الأس، وبالتالي فإن وظيفة الطاقة هي وظيفة خارجية:

وفقًا للصيغة، عليك أولاً إيجاد مشتقة الدالة الخارجية، وهي الدرجة في هذه الحالة. نبحث عن الصيغة المطلوبة في الجدول: . ونكرر مرة أخرى: أي صيغة جدولية صالحة ليس فقط لـ "X"، ولكن أيضًا للتعبير المعقد. وبالتالي فإن نتيجة تطبيق قاعدة اشتقاق دالة معقدة هي كما يلي:

وأؤكد مرة أخرى أنه عندما نأخذ مشتقة الدالة الخارجية فإن وظيفتنا الداخلية لا تتغير:

الآن كل ما تبقى هو العثور على مشتق بسيط جدًا للدالة الداخلية وتعديل النتيجة قليلاً:

مثال 4

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

لتعزيز فهمك لمشتق وظيفة معقدة، سأقدم مثالا دون تعليقات، حاول معرفة ذلك بنفسك، والسبب حيث تكون الوظيفة الخارجية وأين الوظيفة الداخلية، لماذا يتم حل المهام بهذه الطريقة؟

مثال 5

أ) أوجد مشتقة الدالة

ب) أوجد مشتقة الدالة

مثال 6

أوجد مشتقة الدالة

لدينا هنا جذر، ومن أجل التمييز بين الجذر، يجب تمثيله كقوة. وبالتالي، نقوم أولاً بإحضار الدالة إلى الشكل المناسب للتمايز:

وبتحليل الدالة نستنتج أن مجموع الحدود الثلاثة هو دالة داخلية، والرفع إلى قوة هو دالة خارجية. نحن نطبق قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة:

نحن نمثل الدرجة مرة أخرى كجذر (جذر)، وبالنسبة لمشتقة الوظيفة الداخلية، فإننا نطبق قاعدة بسيطة للتمييز بين المجموع:

مستعد. يمكنك أيضًا اختصار التعبير إلى قاسم مشترك بين قوسين وكتابة كل شيء في صورة كسر واحد. إنها جميلة بالطبع، ولكن عندما تحصل على مشتقات طويلة مرهقة، فمن الأفضل عدم القيام بذلك (من السهل أن تتشوش، وترتكب خطأً غير ضروري، وسيكون من غير المناسب للمعلم التحقق منه).

مثال 7

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

ومن المثير للاهتمام ملاحظة أنه في بعض الأحيان بدلاً من قاعدة اشتقاق دالة معقدة، يمكنك استخدام قاعدة اشتقاق خارج القسمة لكن مثل هذا الحل سيبدو وكأنه انحراف مضحك. هنا هو مثال نموذجي:

مثال 8

أوجد مشتقة الدالة

هنا يمكنك استخدام قاعدة التمايز بين الحاصل ولكن من الأكثر ربحية العثور على المشتق من خلال قاعدة التمايز لوظيفة معقدة:

نجهز الدالة للاشتقاق - ننقل علامة الطرح من علامة المشتقة، ونرفع جيب التمام إلى البسط:

جيب التمام هو وظيفة داخلية، الأس هو وظيفة خارجية.
دعونا نستخدم قاعدتنا:

نجد مشتقة الوظيفة الداخلية ونعيد تعيين جيب التمام إلى الأسفل:

مستعد. في المثال المذكور، من المهم عدم الخلط بين العلامات. بالمناسبة، حاول حلها باستخدام القاعدة ، يجب أن تتطابق الإجابات.

مثال 9

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

لقد نظرنا حتى الآن في الحالات التي كان لدينا فيها تداخل واحد فقط في وظيفة معقدة. في المهام العملية، يمكنك غالبًا العثور على مشتقات، حيث، مثل دمى التعشيش، واحدة داخل الأخرى، 3 أو حتى 4-5 وظائف متداخلة في وقت واحد.

مثال 10

أوجد مشتقة الدالة

دعونا نفهم مرفقات هذه الوظيفة. دعونا نحاول حساب التعبير باستخدام القيمة التجريبية. كيف يمكننا الاعتماد على الآلة الحاسبة؟

تحتاج أولاً إلى العثور على، مما يعني أن arcsine هو التضمين الأعمق:

يجب بعد ذلك تربيع قوس القوس هذا:

وأخيرًا، نرفع سبعة إلى قوة:

أي أنه في هذا المثال لدينا ثلاث دوال مختلفة واثنين من التضمينات، في حين أن الدالة الأعمق هي قوس الجيب، والدالة الخارجية هي الدالة الأسية.

لنبدأ في اتخاذ القرار

وفقًا للقاعدة، عليك أولاً أن تأخذ مشتقة الدالة الخارجية. ننظر إلى جدول المشتقات ونجد مشتقة الدالة الأسية: الفرق الوحيد هو أنه بدلاً من "x" لدينا تعبير معقدوهو ما لا ينفي صحة هذه الصيغة. وبالتالي فإن نتيجة تطبيق قاعدة اشتقاق دالة معقدة هي كما يلي:

تحت السكتة الدماغية لدينا وظيفة معقدة مرة أخرى! لكن الأمر أسهل بالفعل. من السهل التحقق من أن الوظيفة الداخلية هي قوس الجيب، والدالة الخارجية هي الدرجة. وفقًا لقاعدة اشتقاق دالة معقدة، عليك أولًا أن تأخذ مشتقة القوة.

في الكتب المدرسية "القديمة" يطلق عليها أيضًا قاعدة "السلسلة". حتى إذا ص = و (ش)، و ش = φ (س)، إنه

ص = و (φ (س))

معقدة - وظيفة مركبة (تكوين الوظائف) إذن

أين ، بعد النظر في الحساب في ش = φ (س).

لاحظ أننا هنا أخذنا تركيبات "مختلفة" من نفس الوظائف، ومن الطبيعي أن نتيجة التمايز تعتمد على ترتيب "المزج".

تمتد قاعدة السلسلة بشكل طبيعي إلى التراكيب المكونة من ثلاث وظائف أو أكثر. في هذه الحالة، سيكون هناك ثلاثة "روابط" أو أكثر في "السلسلة" التي تشكل المشتق. هنا تشبيه بالضرب: "لدينا" جدول المشتقات؛ "هناك" - جدول الضرب؛ "معنا" هي قاعدة السلسلة و"هناك" هي قاعدة الضرب "في العمود". عند حساب مثل هذه المشتقات "المعقدة"، لا يتم تقديم أي وسيطات مساعدة (u¸v، وما إلى ذلك)، بالطبع، ولكن بعد ملاحظة عدد وتسلسل الوظائف المشاركة في التكوين، يتم "ربط" الروابط المقابلة بالترتيب المشار إليه.

. هنا، باستخدام "x" للحصول على قيمة "y"، يتم تنفيذ خمس عمليات، أي أن هناك تركيبة من خمس وظائف: "الخارجية" (آخرها) - الأسي - e  ؛ ثم بترتيب عكسي، السلطة. (♦) 2 ؛ الخطيئة المثلثية(); رزين. () 3 وأخيراً الخط اللوغاريتمي (). لهذا

من خلال الأمثلة التالية، سوف "نضرب عصفورين بحجر واحد": سوف نتدرب على التمييز بين الدوال المعقدة ونضيفها إلى جدول مشتقات الدوال الأولية. لذا:

4. بالنسبة لوظيفة الطاقة - y = x α - أعد كتابتها باستخدام "basic" المعروف الهوية اللوغاريتمية" - b=e ln b - في الشكل x α = x α ln x نحصل عليه

5. بالنسبة للدالة الأسية التعسفية، باستخدام نفس الأسلوب الذي سنستخدمه

6. بالنسبة إلى دالة لوغاريتمية عشوائية، باستخدام الصيغة المعروفة للانتقال إلى قاعدة جديدة، نحصل باستمرار على

.

7. للتمييز بين المماس (ظل التمام)، نستخدم قاعدة اشتقاق خارج القسمة:

للحصول على مشتقات الدوال المثلثية العكسية، نستخدم العلاقة التي تتحقق بمشتقات دالتين عكسيتين، أي الدالتين φ (x) وf (x) المرتبطتين بالعلاقات:

هذه هي النسبة

ومن هذه الصيغة للوظائف العكسية المتبادلة

و
,

وأخيرا، دعونا نلخص هذه وبعض المشتقات الأخرى التي يمكن الحصول عليها بسهولة أيضا في الجدول التالي.

مستوى اول

مشتق من وظيفة. الدليل الشامل (2019)

لنتخيل طريقًا مستقيمًا يمر عبر منطقة جبلية. أي أنه يصعد ويهبط، لكنه لا يلتفت يمينًا أو يسارًا. إذا تم توجيه المحور أفقيًا على طول الطريق وعموديًا، فسيكون خط الطريق مشابهًا جدًا للرسم البياني لبعض الوظائف المستمرة:

المحور هو مستوى معين من الارتفاع صفر، في الحياة نستخدم مستوى سطح البحر كما هو.

وبينما نتحرك للأمام على طول هذا الطريق، فإننا نتحرك أيضًا لأعلى أو لأسفل. يمكننا أن نقول أيضًا: عندما يتغير الوسيط (الحركة على طول محور الإحداثي) تتغير قيمة الدالة (الحركة على طول المحور الإحداثي). الآن دعونا نفكر في كيفية تحديد "انحدار" طريقنا؟ أي نوع من القيمة يمكن أن يكون هذا؟ الأمر بسيط للغاية: ما مدى تغير الارتفاع عند المضي قدمًا لمسافة معينة. في الواقع، في أجزاء مختلفة من الطريق، عند التحرك للأمام (على طول المحور السيني) بمقدار كيلومتر واحد، سنرتفع أو نهبط بعدد مختلف من الأمتار بالنسبة لمستوى سطح البحر (على طول المحور الصادي).

دعونا نشير إلى التقدم (اقرأ "دلتا x").

يُستخدم الحرف اليوناني (دلتا) بشكل شائع في الرياضيات كبادئة تعني "التغيير". وهذا هو - هذا تغيير في الكمية، - التغيير؛ ما هي اذا؟ هذا صحيح، تغيير في الحجم.

هام: التعبير هو كل واحد ومتغير واحد. لا تفصل أبدًا "دلتا" عن "x" أو أي حرف آخر! وهذا هو، على سبيل المثال،.

لذلك، تقدمنا ​​للأمام، أفقيًا، بمقدار. إذا قارنا خط الطريق بالرسم البياني للدالة، فكيف نشير إلى الارتفاع؟ بالتأكيد، . أي أننا كلما تقدمنا ​​للأمام، نرتفع إلى أعلى.

القيمة سهلة الحساب: إذا كنا في البداية على ارتفاع، وبعد التحرك وجدنا أنفسنا على ارتفاع، إذن. إذا كانت نقطة النهاية أقل من نقطة البداية، فستكون سلبية - وهذا يعني أننا لا نصعد، بل ننزل.

دعنا نعود إلى "الانحدار": هذه قيمة توضح مدى زيادة الارتفاع (بشكل حاد) عند التحرك للأمام بوحدة مسافة واحدة:

لنفترض أنه في جزء ما من الطريق، عند التحرك للأمام بمقدار كيلومتر، يرتفع الطريق بمقدار كيلومتر. إذن الميل عند هذا المكان متساوي. وإذا كان الطريق أثناء التقدم بمقدار متر انخفض بمقدار كيلومتر؟ ثم الميل متساوي.

الآن دعونا ننظر إلى أعلى التل. إذا أخذت بداية المقطع قبل القمة بنصف كيلومتر، والنهاية بعد نصف كيلومتر منها، يمكنك أن ترى أن الارتفاع هو نفسه تقريبًا.

وهذا يعني أنه وفقًا لمنطقنا، يتبين أن الميل هنا يساوي الصفر تقريبًا، وهو ما من الواضح أنه غير صحيح. على مسافة كيلومترات قليلة يمكن أن يتغير الكثير. من الضروري النظر في مناطق أصغر لإجراء تقييم أكثر دقة ودقة للانحدار. على سبيل المثال، إذا قمت بقياس التغير في الارتفاع أثناء تحركك مترًا واحدًا، فستكون النتيجة أكثر دقة. ولكن حتى هذه الدقة قد لا تكون كافية بالنسبة لنا - لأنه إذا كان هناك عمود في منتصف الطريق، فيمكننا ببساطة تجاوزه. ما المسافة التي يجب أن نختارها إذن؟ سنتيمتر؟ ملليمتر؟ اقل هو الافضل!

في الحياه الحقيقيهيعد قياس المسافات إلى أقرب ملليمتر أكثر من كافي. لكن علماء الرياضيات يسعون دائمًا إلى الكمال. ولذلك، تم اختراع هذا المفهوم متناهي الصغرأي أن القيمة المطلقة أقل من أي رقم يمكننا تسميته. مثلاً تقول: واحد على تريليون! كم أقل؟ وقمت بتقسيم هذا الرقم على - وسيكون أقل. وما إلى ذلك وهلم جرا. إذا أردنا أن نكتب أن الكمية متناهية الصغر، نكتب هكذا: (نقرأ "x تميل إلى الصفر"). من المهم جدا أن نفهم أن هذا الرقم ليس صفراً!ولكن قريبة جدا منه. هذا يعني أنه يمكنك القسمة عليه.

المفهوم المعاكس لل متناهية الصغر هو كبير بلا حدود (). من المحتمل أنك صادفت هذا بالفعل عندما كنت تعمل على المتباينات: هذا الرقم أكبر بمقياس من أي رقم يمكن أن يخطر ببالك. إذا حصلت على أكبر عدد ممكن، فما عليك سوى ضربه في اثنين وستحصل على رقم أكبر. واللانهاية أعظم مما يحدث. في الواقع، الكبير بلا حدود والصغير بلا حدود هما عكس بعضهما البعض، أي عند، والعكس صحيح: عند.

الآن دعونا نعود إلى طريقنا. الميل المحسوب بشكل مثالي هو الميل المحسوب لجزء متناهٍ في الصغر من المسار، وهو:

وألاحظ أنه مع الإزاحة المتناهية الصغر، فإن التغير في الارتفاع سيكون أيضًا متناهيًا في الصغر. ولكن اسمحوا لي أن أذكركم أن متناهية الصغر لا تعني يساوي الصفر. إذا قمت بقسمة أعداد متناهية الصغر على بعضها البعض، فيمكنك الحصول على رقم عادي تمامًا، على سبيل المثال، . وهذا يعني أن قيمة صغيرة واحدة يمكن أن تكون أكبر من الأخرى تمامًا.

لماذا كل هذا؟ الطريق والانحدار... لن نشارك في مسيرة بالسيارات، ولكننا نقوم بتدريس الرياضيات. وفي الرياضيات، كل شيء هو نفسه تمامًا، ولكن يُسمى بشكل مختلف.

مفهوم المشتقة

مشتق الدالة هو نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة لزيادة متناهية الصغر في الوسيطة.

تدريجيافي الرياضيات يسمونه التغيير. يسمى المدى الذي تتغير به الوسيطة () أثناء تحركها على طول المحور زيادة الحجةويتم تعيينه، ويسمى مقدار تغير الوظيفة (الارتفاع) عند التحرك للأمام على طول المحور لمسافة زيادة الوظيفةويتم تعيينه.

إذن، مشتقة الدالة هي النسبة إلى متى. نشير إلى المشتق بنفس حرف الدالة، فقط برمز أولي في أعلى اليمين: أو ببساطة. لذلك، دعونا نكتب الصيغة المشتقة باستخدام هذه الرموز:

وكما في التشبيه بالطريق، هنا عندما تزيد الدالة تكون المشتقة موجبة، وعندما تنقص تكون سالبة.

هل يمكن أن تكون المشتقة مساوية للصفر؟ بالتأكيد. على سبيل المثال، إذا كنا نسير على طريق أفقي مسطح، فإن درجة الانحدار تكون صفرًا. وهذا صحيح، الارتفاع لا يتغير على الإطلاق. وهكذا الحال مع المشتقة: مشتقة دالة ثابتة (ثابتة) تساوي صفرًا:

حيث أن زيادة هذه الدالة تساوي صفرًا لأي.

دعونا نتذكر مثال قمة التل. اتضح أنه من الممكن ترتيب نهايات المقطع على جوانب متقابلة من الرأس بحيث يكون الارتفاع عند الأطراف هو نفسه، أي أن المقطع موازي للمحور:

لكن الأجزاء الكبيرة هي علامة على قياس غير دقيق. سنرفع القطعة موازية لنفسها، ثم سينخفض ​​طولها.

في النهاية، عندما نقترب بشكل لا نهائي من القمة، سيصبح طول القطعة متناهية الصغر. لكنه بقي في نفس الوقت موازيا للمحور، أي أن فرق الارتفاعات عند طرفيه يساوي الصفر (لا يميل إلى بل يساوي). لذلك المشتقة

يمكن فهم ذلك بهذه الطريقة: عندما نقف في القمة، فإن التحول البسيط إلى اليسار أو اليمين يغير ارتفاعنا بشكل ضئيل.

يوجد أيضًا تفسير جبري بحت: تزداد الوظيفة على يسار الرأس، وتتناقص إلى اليمين. كما عرفنا سابقًا، عندما تزيد الدالة، تكون المشتقة موجبة، وعندما تقل تكون سالبة. لكنه يتغير بسلاسة، دون قفزات (لأن الطريق لا يغير منحدره بشكل حاد في أي مكان). ولذلك يجب أن يكون هناك بين القيم السلبية والإيجابية. سيكون حيث لا تزيد الدالة ولا تنقص - عند نقطة القمة.

وينطبق الشيء نفسه على الحوض الصغير (المنطقة التي تقل فيها الدالة على اليسار وتزداد على اليمين):

المزيد عن الزيادات.

لذلك نغير الحجة إلى الحجم. نتغير من أي قيمة؟ ماذا أصبحت (الحجة) الآن؟ يمكننا اختيار أي نقطة، والآن سنرقص منها.

النظر في نقطة مع الإحداثيات. قيمة الدالة فيه متساوية. ثم نقوم بنفس الزيادة: نزيد الإحداثيات بمقدار. ما هي الحجة الآن؟ سهل جدا: . ما هي قيمة الدالة الآن؟ أينما تذهب الوسيطة، تذهب الدالة أيضًا: . ماذا عن زيادة الوظيفة؟ لا شيء جديد: لا يزال هذا هو المقدار الذي تغيرت به الدالة:

ممارسة العثور على الزيادات:

1. أوجد زيادة الدالة عند نقطة تكون فيها زيادة الوسيطة مساوية لـ.
2. وينطبق الشيء نفسه على الوظيفة عند نقطة ما.

حلول:

في نقاط مختلفة بنفس زيادة الوسيطة، ستكون زيادة الوظيفة مختلفة. هذا يعني أن المشتق عند كل نقطة يختلف (ناقشنا هذا في البداية - يختلف انحدار الطريق عند نقاط مختلفة). لذلك، عندما نكتب مشتقًا، يجب أن نشير إلى أي نقطة:

وظيفة الطاقة.

دالة القوة هي دالة يكون فيها الوسيط إلى حد ما (منطقي، أليس كذلك؟).

علاوة على ذلك - إلى أي حد: .

أبسط حالة هي عندما يكون الأس:

دعونا نجد مشتقتها عند نقطة ما. لنتذكر تعريف المشتق:

لذلك تتغير الحجة من إلى. ما هي الزيادة في الدالة؟

الزيادة هي هذه. لكن الدالة عند أي نقطة تساوي حجتها. لهذا السبب:

المشتق يساوي:

مشتق يساوي:

ب) فكر الآن وظيفة من الدرجة الثانية (): .

الآن دعونا نتذكر ذلك. وهذا يعني أنه يمكن إهمال قيمة الزيادة، لأنها متناهية الصغر، وبالتالي غير ذات أهمية على خلفية المصطلح الآخر:

لذلك توصلنا إلى قاعدة أخرى:

ج) نواصل السلسلة المنطقية : .

يمكن تبسيط هذا التعبير بطرق مختلفة: افتح القوس الأول باستخدام صيغة الضرب المختصر لمكعب المجموع، أو قم بتحليل التعبير بأكمله باستخدام صيغة فرق المكعبات. حاول أن تفعل ذلك بنفسك باستخدام أي من الطرق المقترحة.

لذلك حصلت على ما يلي:

ومرة أخرى دعونا نتذكر ذلك. وهذا يعني أنه يمكننا إهمال جميع المصطلحات التي تحتوي على:

نحن نحصل: .

د) يمكن الحصول على قواعد مماثلة للقوى الكبرى:

هـ) اتضح أنه يمكن تعميم هذه القاعدة على دالة قوى ذات أس اعتباطي، ولا حتى عددًا صحيحًا:

(2)

يمكن صياغة القاعدة بالكلمات التالية: "يتم تقديم الدرجة كمعامل، ثم يتم تخفيضها بمقدار".

سنثبت هذه القاعدة لاحقًا (في النهاية تقريبًا). الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة. أوجد مشتقة الدوال:

1. (بطريقتين: بالصيغة وباستخدام تعريف المشتق - بحساب زيادة الدالة)؛

1. . صدق أو لا تصدق، هذه وظيفة قوة. إذا كانت لديك أسئلة مثل "كيف يتم ذلك؟ أين الدرجة؟"، تذكروا موضوع ""!
   نعم، نعم، الجذر أيضًا درجة، كسري فقط: .
   هذا يعني أن الجذر التربيعي لدينا هو مجرد قوة لها أس:
   .
   نحن نبحث عن المشتق باستخدام الصيغة التي تعلمناها مؤخرًا:

   إذا أصبح الأمر غير واضح في هذه المرحلة مرة أخرى، أعيدوا الموضوع “”!!! (حوالي درجة ذات أس سلبي)

2. . الآن الأس:

   والآن من خلال التعريف (هل نسيت بعد؟):
   ;
   .
   والآن كالعادة نهمل المصطلح الذي يحتوي على:
   .

3. . الجمع بين الحالات السابقة : .

الدوال المثلثية.

هنا سوف نستخدم حقيقة واحدة من الرياضيات العليا:

مع التعبير.

سوف تتعلم الدليل في السنة الأولى من المعهد (وللوصول إلى هناك، تحتاج إلى اجتياز اختبار الدولة الموحدة جيدًا). والآن سأعرضها بيانيًا فقط:

نرى أنه في حالة عدم وجود الدالة، يتم قطع النقطة الموجودة على الرسم البياني. ولكن كلما اقتربنا من القيمة، كلما اقتربت الوظيفة منها، وهذا هو "الهدف".

بالإضافة إلى ذلك، يمكنك التحقق من هذه القاعدة باستخدام الآلة الحاسبة. نعم، نعم، لا تخجل، استخدم الآلة الحاسبة، فنحن لم نصل إلى امتحان الدولة الموحدة بعد.

إذا دعنا نحاول: ؛

لا تنس تحويل الآلة الحاسبة إلى وضع الراديان!

إلخ. ونلاحظ أنه كلما كانت النسبة أصغر، كلما اقتربت قيمة النسبة منها.

أ) النظر في الوظيفة. كالعادة، لنجد زيادتها:

دعونا نحول فرق الجيوب إلى منتج. للقيام بذلك نستخدم الصيغة (تذكر الموضوع ""): .

الآن المشتقة:

فلنقم بالاستبدال : . ثم بالنسبة إلى متناهية الصغر فهي أيضًا متناهية الصغر: . التعبير لـ يأخذ الشكل:

والآن نتذكر ذلك بالتعبير. وأيضًا، ماذا لو كان من الممكن إهمال كمية متناهية الصغر في المجموع (أي في).

وبذلك نحصل على القاعدة التالية: مشتق الجيب يساوي جيب التمام:

هذه هي المشتقات الأساسية ("الجدولية"). وهنا هم في قائمة واحدة:

سنضيف إليها لاحقًا بعضًا منها، لكن هذه هي الأهم، حيث يتم استخدامها في أغلب الأحيان.

يمارس:

1. أوجد مشتقة الدالة عند نقطة ما؛
2. العثور على مشتق من وظيفة.

حلول:

1. أولًا، دعونا نوجد المشتقة في منظر عام، ثم استبدل قيمته:
   ;
   .
2. هنا لدينا شيء مماثل ل وظيفة الطاقة. دعونا نحاول إحضارها إلى
   العرض العادي:
   .
   عظيم، الآن يمكنك استخدام الصيغة:
   .
   .
3. . إييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييي������ئ هؤلاء ما هذا ؟؟؟؟

حسنًا، أنت على حق، فنحن لا نعرف بعد كيفية العثور على مثل هذه المشتقات. لدينا هنا مجموعة من عدة أنواع من الوظائف. للعمل معهم، عليك أن تتعلم بعض القواعد الإضافية:

الأس واللوغاريتم الطبيعي.

هناك دالة في الرياضيات مشتقتها لأي قيمة تساوي قيمة الدالة نفسها في نفس الوقت. وتسمى "الأس"، وهي دالة أسية

أساس هذه الدالة هو ثابت - إنه لانهائي عدد عشري، أي عدد غير نسبي (مثل). يُطلق عليه "رقم أويلر"، ولهذا يُشار إليه بالحرف.

إذن القاعدة:

من السهل جدًا تذكرها.

حسنًا، دعونا لا نذهب بعيدًا، فلننظر إلى الأمر على الفور وظيفة عكسية. ما هي الدالة المعكوسة للدالة الأسية؟ اللوغاريتم:

في حالتنا، الأساس هو الرقم:

يُطلق على مثل هذا اللوغاريتم (أي اللوغاريتم ذو الأساس) اسم "طبيعي" ، ونستخدم له رمزًا خاصًا: نكتب بدلاً من ذلك.

ما هو يساوي؟ بالطبع، .

مشتق اللوغاريتم الطبيعي بسيط جدًا أيضًا:

أمثلة:

1. العثور على مشتق من وظيفة.
2. ما هو مشتق الدالة؟

الإجابات: العارض و اللوغاريتم الطبيعي- الوظائف بسيطة بشكل فريد من حيث المشتقات. إن الدوال الأسية واللوغاريتمية مع أي أساس آخر سيكون لها مشتق مختلف، وهو ما سنحلله لاحقا، بعد أن نتعرف على قواعد الاشتقاق.

قواعد التمايز

قواعد ماذا؟ مرة أخرى مصطلح جديد، مرة أخرى؟!...

التفاضلهي عملية العثور على المشتق.

هذا كل شئ. ماذا يمكنك أن تسمي هذه العملية في كلمة واحدة؟ ليست مشتقة... يطلق علماء الرياضيات على التفاضل نفس زيادة الدالة عند. يأتي هذا المصطلح من التمايز اللاتيني - الاختلاف. هنا.

عند استخلاص كل هذه القواعد، سنستخدم دالتين، على سبيل المثال، و. سنحتاج أيضًا إلى صيغ لزياداتها:

هناك 5 قواعد في المجموع.

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة.

إذا - بعض الأرقام الثابتة (ثابت)، إذن.

من الواضح أن هذه القاعدة تعمل أيضًا على الاختلاف: .

دعونا نثبت ذلك. فليكن، أو أبسط.

أمثلة.

أوجد مشتقات الدوال:

1. عند نقطة ما؛
2. عند نقطة ما؛
3. عند نقطة ما؛
4. عند هذه النقطة.

حلول:

1. (المشتق هو نفسه في جميع النقاط، لأن هذا دالة خطية، يتذكر؟)؛

مشتق من المنتج

كل شيء مشابه هنا: فلنقدم دالة جديدة ونجد زيادتها:

المشتق:

أمثلة:

1. أوجد مشتقات الدوال و؛
2. أوجد مشتقة الدالة عند نقطة ما.

حلول:

مشتق من الدالة الأسية

الآن معرفتك كافية لتتعلم كيفية العثور على مشتقة أي دالة أسية، وليس فقط الأسس (هل نسيت ما هو حتى الآن؟).

لذلك، أين هو بعض العدد.

نحن نعرف بالفعل مشتقة الدالة، لذا دعونا نحاول اختزال الدالة إلى أساس جديد:

لهذا سوف نستخدم قاعدة بسيطة: . ثم:

حسنًا، لقد نجحت. حاول الآن إيجاد المشتقة، ولا تنس أن هذه الدالة معقدة.

حدث؟

وهنا راجع نفسك:

تبين أن الصيغة مشابهة جدًا لمشتقة الأس: كما كانت، ظلت كما هي، ولم يظهر سوى عامل، وهو مجرد رقم، ولكنه ليس متغيرًا.

أمثلة:
أوجد مشتقات الدوال:

الإجابات:

هذا مجرد رقم لا يمكن حسابه بدون آلة حاسبة، أي أنه لا يمكن تدوينه بشكل أبسط. ولذلك نتركها على هذه الصورة في الجواب.

مشتق من دالة لوغاريتمية

الأمر مشابه هنا: أنت تعرف بالفعل مشتقة اللوغاريتم الطبيعي:

ولذلك، للعثور على لوغاريتم اختياري مع قاعدة مختلفة، على سبيل المثال:

علينا اختزال هذا اللوغاريتم إلى الأساس. كيف يمكنك تغيير قاعدة اللوغاريتم؟ أتمنى أن تتذكر هذه الصيغة:

الآن فقط سنكتب بدلاً من ذلك:

المقام هو ببساطة ثابت (رقم ثابت، بدون متغير). يتم الحصول على المشتق بكل بساطة:

لا يتم العثور على مشتقات الوظائف الأسية واللوغاريتمية أبدًا في امتحان الدولة الموحدة، لكن معرفتها لن تكون زائدة عن الحاجة.

مشتق من وظيفة معقدة.

ما هي "الوظيفة المعقدة"؟ لا، هذا ليس لوغاريتمًا، وليس ظلًا قوسيًا. يمكن أن يكون من الصعب فهم هذه الوظائف (على الرغم من أنك إذا وجدت اللوغاريتمات صعبة، فاقرأ موضوع "اللوغاريتمات" وستكون بخير)، ولكن من وجهة نظر رياضية، فإن كلمة "معقدة" لا تعني "صعبة".

تخيل حزامًا ناقلًا صغيرًا: شخصان يجلسان ويقومان ببعض الإجراءات باستخدام بعض الأشياء. على سبيل المثال، يقوم الأول بتغليف قطعة من الشوكولاتة في غلاف، والثاني يربطها بشريط. والنتيجة هي كائن مركب: قطعة من الشوكولاتة ملفوفة ومربوطة بشريط. لتناول قطعة من الشوكولاتة، عليك القيام بالخطوات العكسية بترتيب عكسي.

لنقم بإنشاء مسار رياضي مماثل: أولاً سنجد جيب تمام الرقم، ثم نقوم بتربيع الرقم الناتج. لذلك، حصلنا على رقم (الشوكولاتة)، وأجد جيب تمامها (الغلاف)، ثم قمت بتربيع ما حصلت عليه (اربطه بشريط). ماذا حدث؟ وظيفة. هذا مثال على دالة معقدة: للعثور على قيمتها، نقوم بالإجراء الأول مباشرة مع المتغير، ثم الإجراء الثاني بما نتج عن الأول.

يمكننا بسهولة القيام بنفس الخطوات بترتيب عكسي: أولاً تقوم بتربيعه، ثم أبحث عن جيب التمام للرقم الناتج: . من السهل تخمين أن النتيجة ستكون مختلفة دائمًا تقريبًا. من السمات المهمة للوظائف المعقدة: عندما يتغير ترتيب الإجراءات، تتغير الوظيفة.

بعبارة أخرى، الدالة المعقدة هي دالة تكون حجتها دالة أخرى: .

بالنسبة للمثال الأول، .

المثال الثاني: (نفس الشيء). .

سيتم استدعاء الإجراء الذي قمنا به أخيرًا وظيفة "خارجية".، ويتم تنفيذ الإجراء أولاً - وفقًا لذلك وظيفة "داخلية".(هذه أسماء غير رسمية، أستخدمها فقط لشرح المادة بلغة بسيطة).

حاول أن تحدد بنفسك أي وظيفة خارجية وأي وظيفة داخلية:

الإجابات:إن فصل الوظائف الداخلية والخارجية يشبه إلى حد كبير تغيير المتغيرات: على سبيل المثال، في دالة

1. ما الإجراء الذي سنقوم به أولاً؟ أولاً، دعونا نحسب جيب الجيب، وبعد ذلك فقط نقوم بتكعيبه. وهذا يعني أنها وظيفة داخلية، ولكنها وظيفة خارجية.
   والوظيفة الأصلية هي تركيبها : .
2. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
3. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
4. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
5. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .

نغير المتغيرات ونحصل على دالة.

حسنًا، الآن سوف نستخرج لوح الشوكولاتة الخاص بنا ونبحث عن المشتق. يتم دائمًا عكس الإجراء: أولاً نبحث عن مشتقة الدالة الخارجية، ثم نضرب النتيجة في مشتقة الدالة الداخلية. بالنسبة للمثال الأصلي، يبدو كما يلي:

مثال آخر:

لذا، دعونا أخيرًا صياغة القاعدة الرسمية:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

يبدو الأمر بسيطا، أليس كذلك؟

دعونا نتحقق من الأمثلة:

حلول:

1) داخلي: ;

خارجي: ؛

2) داخلي: ;

(فقط لا تحاول قطعها الآن! لا شيء يخرج من تحت جيب التمام، تذكر؟)

3) داخلي: ;

خارجي: ؛

من الواضح على الفور أن هذه وظيفة معقدة من ثلاثة مستويات: فهي بالفعل وظيفة معقدة في حد ذاتها، ونقوم أيضًا باستخراج الجذر منها، أي أننا نقوم بالإجراء الثالث (نضع الشوكولاتة في وعاء) غلاف ومع شريط في الحقيبة). ولكن لا يوجد سبب للخوف: مازلنا "نفك" هذه الوظيفة بنفس الترتيب المعتاد: من النهاية.

وهذا يعني أننا نفرق أولاً بين الجذر، ثم جيب التمام، وعندها فقط التعبير بين قوسين. وبعد ذلك نضرب كل شيء.

في مثل هذه الحالات، يكون من المناسب ترقيم الإجراءات. وهذا هو، دعونا نتخيل ما نعرفه. بأي ترتيب سننفذ الإجراءات لحساب قيمة هذا التعبير؟ لنلقي نظرة على مثال:

كلما تم تنفيذ الإجراء لاحقًا، أصبحت الوظيفة المقابلة أكثر "خارجية". تسلسل الإجراءات هو نفسه كما كان من قبل:

هنا يكون التعشيش بشكل عام على مستوى 4. دعونا نحدد مسار العمل.

1. التعبير الراديكالي. .

2. الجذر. .

3. جيب. .

4. ساحة. .

5. تجميع كل ذلك معًا:

المشتق. باختصار عن الأشياء الرئيسية

مشتق من وظيفة- نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة لزيادة متناهية الصغر في الوسيطة:

المشتقات الأساسية:

قواعد التمايز:

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة:

مشتق من المبلغ:

مشتق من المنتج:

مشتق الحاصل:

مشتق من وظيفة معقدة:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

1. نحدد الدالة "الداخلية" ونجد مشتقتها.
2. نحدد الدالة "الخارجية" ونجد مشتقتها.
3. نضرب نتائج النقطتين الأولى والثانية.

بعد إعداد المدفعية الأولي، ستكون الأمثلة ذات التعشيش 3-4-5 أقل مخيفة. قد يبدو المثالان التاليان معقدين بالنسبة للبعض، ولكن إذا فهمتهما (سيعاني شخص ما)، فإن كل شيء آخر تقريبًا في حساب التفاضل والتكامل سيبدو وكأنه مزحة طفل.

مثال 2

أوجد مشتقة الدالة

كما ذكرنا سابقًا، عند العثور على مشتق دالة معقدة، فمن الضروري أولاً وقبل كل شيء يمينفهم استثماراتك. في الحالات التي توجد فيها شكوك، أذكرك بأسلوب مفيد: نأخذ القيمة التجريبية لـ "x"، على سبيل المثال، ونحاول (ذهنيًا أو في مسودة) استبدال هذه القيمة في "التعبير الرهيب".

1) نحتاج أولاً إلى حساب التعبير، مما يعني أن المجموع هو التضمين الأعمق.

2) فأنت بحاجة إلى حساب اللوغاريتم:

4) ثم مكعب جيب التمام:

5) في الخطوة الخامسة الفرق:

6) وأخيرًا، الدالة الخارجية هي الجذر التربيعي:

صيغة للتمييز بين وظيفة معقدة يتم تطبيقها بترتيب عكسي، من الوظيفة الخارجية إلى الوظيفة الأعمق. نحن نقرر:

يبدو بدون أخطاء:

1) خذ مشتقة الجذر التربيعي.

2) أوجد مشتقة الفرق باستخدام القاعدة

3) مشتقة الثلاثي هي صفر. وفي الفصل الثاني نأخذ مشتقة الدرجة (المكعب).

4) خذ مشتق جيب التمام.

6) وأخيرا، نأخذ مشتقة التضمين الأعمق.

قد يبدو الأمر صعبا للغاية، ولكن هذا ليس المثال الأكثر وحشية. خذ على سبيل المثال مجموعة كوزنتسوف وسوف تقدر كل جمال وبساطة المشتق الذي تم تحليله. لقد لاحظت أنهم يحبون تقديم شيء مماثل في الاختبار للتحقق مما إذا كان الطالب يفهم كيفية العثور على مشتق دالة معقدة أم لا.

المثال التالي هو الحل بنفسك.

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة

تلميح: أولاً، نطبق القواعد الخطية وقاعدة تمايز المنتجات

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

حان الوقت للانتقال إلى شيء أصغر وأجمل.
ليس من غير المألوف أن يُظهر المثال منتجًا ليس وظيفتين، بل ثلاث وظائف. كيفية العثور على مشتق المنتج من ثلاثة عوامل؟

مثال 4

أوجد مشتقة الدالة

لننظر أولاً، هل من الممكن تحويل منتج ثلاث وظائف إلى منتج دالتين؟ على سبيل المثال، إذا كان لدينا كثيرتا الحدود في حاصل الضرب، فيمكننا فتح القوسين. ولكن في المثال قيد النظر، جميع الوظائف مختلفة: الدرجة والأس واللوغاريتم.

في مثل هذه الحالات فمن الضروري بالتتابعتطبيق قاعدة تمايز المنتج مرتين

الحيلة هي أننا نشير بالحرف "y" إلى حاصل ضرب وظيفتين: وبالحرف "ve" نشير إلى اللوغاريتم: . لماذا يمكن القيام بذلك؟ هل هو حقا - هذا ليس نتاج عاملين والقاعدة لا تعمل؟! لا يوجد شيء معقد:

الآن يبقى تطبيق القاعدة مرة ثانية بين قوسين:

يمكنك أيضًا التحريف ووضع شيء ما خارج الأقواس، ولكن في هذه الحالة من الأفضل ترك الإجابة بالضبط في هذا النموذج - سيكون من الأسهل التحقق منها.

يمكن حل المثال المدروس بالطريقة الثانية:

كلا الحلين متكافئان تمامًا.

مثال 5

أوجد مشتقة الدالة

وهذا مثال لحل مستقل، في العينة يتم حله باستخدام الطريقة الأولى.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة مماثلة مع الكسور.

مثال 6

أوجد مشتقة الدالة

هناك عدة طرق يمكنك الذهاب إليها هنا:

او مثل هذا:

لكن الحل سيكون مكتوبًا بشكل أكثر إحكامًا إذا استخدمنا قاعدة اشتقاق خارج القسمة أولًا ، مع الأخذ في الاعتبار البسط بأكمله:

ومن حيث المبدأ فالمثال محلول، وإذا ترك كما هو فلا يكون خطأ. ولكن إذا كان لديك الوقت، فمن المستحسن دائمًا التحقق من المسودة لمعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط الإجابة؟

دعونا نختصر تعبير البسط إلى قاسم مشترك ونتخلص من بنية الكسر المكونة من ثلاثة طوابق:

عيب التبسيط الإضافي هو أن هناك خطر ارتكاب خطأ ليس عند العثور على المشتق، ولكن أثناء التحولات المدرسية المبتذلة. من ناحية أخرى، غالبًا ما يرفض المعلمون المهمة ويطلبون "إحضارها إلى الذهن" المشتقة.

مثال أبسط لحلها بنفسك:

مثال 7

أوجد مشتقة الدالة

نواصل إتقان طرق العثور على المشتق، والآن سننظر في حالة نموذجية عندما يتم اقتراح اللوغاريتم "الرهيب" للتمايز