في هذا الفيديو سوف نقوم بتحليل مجموعة كاملة من المعادلات الخطية التي تم حلها باستخدام نفس الخوارزمية - ولهذا السبب يطلق عليها الأبسط.

أولاً، دعونا نحدد: ما هي المعادلة الخطية وأي منها تسمى الأبسط؟

المعادلة الخطية هي تلك التي يوجد فيها متغير واحد فقط، وحتى الدرجة الأولى فقط.

أبسط معادلة تعني البناء:

يتم تقليل جميع المعادلات الخطية الأخرى إلى أبسطها باستخدام الخوارزمية:

1. قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت؛
2. نقل الحدود التي تحتوي على متغير إلى أحد جانبي علامة التساوي، والمصطلحات التي لا تحتوي على متغير إلى الجانب الآخر؛
3. أعط مصطلحات مشابهة لليسار واليمين لعلامة المساواة؛
4. اقسم المعادلة الناتجة على معامل المتغير $x$.

وبطبيعة الحال، هذه الخوارزمية لا تساعد دائما. والحقيقة هي أنه في بعض الأحيان بعد كل هذه المكائد يكون معامل المتغير $x$ مساويًا للصفر. في هذه الحالة، هناك خياران ممكنان:

1. المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق. على سبيل المثال، عندما يظهر شيء مثل $0\cdot x=8$، أي. على اليسار صفر، وعلى اليمين رقم غير الصفر. في الفيديو أدناه سنلقي نظرة على عدة أسباب وراء حدوث هذا الموقف.
2. الحل هو كل الارقام الحالة الوحيدة التي يكون فيها ذلك ممكنًا هي عندما يتم اختزال المعادلة إلى البناء $0\cdot x=0$. من المنطقي تمامًا أنه بغض النظر عن $x$ الذي نستبدله، فسيظل "الصفر يساوي صفرًا"، أي. المساواة العددية الصحيحة

الآن دعونا نرى كيف يعمل كل هذا باستخدام أمثلة من الحياة الواقعية.

أمثلة على حل المعادلات

اليوم نحن نتعامل مع المعادلات الخطية، وأبسطها فقط. بشكل عام، المعادلة الخطية تعني أي مساواة تحتوي على متغير واحد بالضبط، ولا تصل إلا إلى الدرجة الأولى.

يتم حل هذه الإنشاءات بنفس الطريقة تقريبًا:

1. أولًا، تحتاج إلى فك الأقواس، إن وجدت (كما في مثالنا الأخير)؛
2. ثم الجمع بين مماثلة
3. وأخيرا، عزل المتغير، أي. انقل كل ما يتعلق بالمتغير – أي المصطلحات التي يحتوي عليها – إلى جهة، وانقل كل ما بقي دونه إلى الجهة الأخرى.

بعد ذلك، كقاعدة عامة، تحتاج إلى إعطاء مماثلة على كل جانب من المساواة الناتجة، وبعد ذلك يبقى فقط القسمة على معامل "x"، وسنحصل على الإجابة النهائية.

من الناحية النظرية، يبدو هذا لطيفًا وبسيطًا، ولكن من الناحية العملية، حتى طلاب المدارس الثانوية ذوي الخبرة يمكن أن يرتكبوا أخطاء هجومية في معادلات خطية بسيطة إلى حد ما. عادة، يتم ارتكاب الأخطاء إما عند فتح الأقواس أو عند حساب "الإيجابيات" و"السلبيات".

بالإضافة إلى ذلك، قد يحدث أن المعادلة الخطية ليس لها حلول على الإطلاق، أو أن الحل هو خط الأعداد بأكمله، أي. أي رقم. سننظر في هذه التفاصيل الدقيقة في درس اليوم. لكننا سنبدأ، كما فهمت بالفعل، مع جدا مهام بسيطة.

مخطط لحل المعادلات الخطية البسيطة

أولاً، اسمحوا لي مرة أخرى أن أكتب المخطط بأكمله لحل أبسط المعادلات الخطية:

1. قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت.
2. نحن نعزل المتغيرات، أي. نقوم بنقل كل ما يحتوي على "X" إلى جانب واحد، وكل شيء بدون "X" إلى الجانب الآخر.
3. نقدم مصطلحات مماثلة.
4. نقسم كل شيء على معامل "x".

بالطبع، هذا المخطط لا يعمل دائما، هناك بعض التفاصيل الدقيقة والحيل فيه، والآن سوف نتعرف عليها.

حل أمثلة حقيقية للمعادلات الخطية البسيطة

المهمة رقم 1

الخطوة الأولى تتطلب منا فتح الأقواس. لكنهم ليسوا في هذا المثال، لذلك نتخطى هذه الخطوة. في الخطوة الثانية نحتاج إلى عزل المتغيرات. ملحوظة: نحن نتحدث عنفقط حول المصطلحات الفردية. دعنا نكتبها:

نقدم مصطلحات مماثلة على اليسار واليمين، ولكن تم القيام بذلك بالفعل هنا. لذلك ننتقل إلى الخطوة الرابعة: القسمة على المعامل:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

لذلك حصلنا على الجواب.

المهمة رقم 2

يمكننا أن نرى الأقواس في هذه المسألة، لذلك دعونا نوسعها:

نرى على اليسار وعلى اليمين نفس التصميم تقريبًا، ولكن دعونا نتصرف وفقًا للخوارزمية، أي. فصل المتغيرات:

وهنا بعض منها مماثلة:

في أي جذور يعمل هذا؟ الجواب: لأي. لذلك، يمكننا أن نكتب أن $x$ هو أي رقم.

المهمة رقم 3

المعادلة الخطية الثالثة هي الأكثر إثارة للاهتمام:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

هناك عدة أقواس هنا، لكنها غير مضروبة بأي شيء، فهي ببساطة مسبوقة بعلامات مختلفة. دعونا نقسمها:

نقوم بالخطوة الثانية المعروفة لنا بالفعل:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

دعونا نفعل الرياضيات:

نحن ننفذ اخر خطوة- قسمة كل شيء على معامل "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

أشياء يجب تذكرها عند حل المعادلات الخطية

إذا تجاهلنا المهام البسيطة جدًا، أود أن أقول ما يلي:

• كما قلت أعلاه، ليس كل معادلة خطية لها حل - في بعض الأحيان ببساطة لا توجد جذور؛
• وحتى لو كانت هناك جذور، فقد يكون بينها صفر، فلا حرج في ذلك.

الصفر هو نفس الرقم الموجود في الأرقام الأخرى، ويجب ألا تميز ضده بأي شكل من الأشكال أو تفترض أنك إذا حصلت على الصفر، فهذا يعني أنك ارتكبت خطأً ما.

ميزة أخرى تتعلق بفتح الأقواس. يرجى ملاحظة: عندما يكون هناك "ناقص" أمامهم، نقوم بإزالته، ولكن بين قوسين نقوم بتغيير العلامات إلى عكس. وبعد ذلك يمكننا فتحه باستخدام الخوارزميات القياسية: سنحصل على ما رأيناه في الحسابات أعلاه.

إن فهم هذه الحقيقة البسيطة سيساعدك على تجنب ارتكاب أخطاء غبية ومؤذية في المدرسة الثانوية، عندما يكون القيام بهذه الأشياء أمرا مفروغا منه.

حل المعادلات الخطية المعقدة

دعنا ننتقل إلى معادلات أكثر تعقيدا. الآن سوف تصبح الإنشاءات أكثر تعقيدًا وعند إجراء تحويلات مختلفة ستظهر دالة تربيعية. ومع ذلك، لا ينبغي لنا أن نخاف من ذلك، لأنه إذا كنا، وفقا لخطة المؤلف، نحل معادلة خطية، فمن المؤكد أنه أثناء عملية التحويل، سيتم إلغاء جميع أحاديات الحد التي تحتوي على دالة تربيعية.

المثال رقم 1

من الواضح أن الخطوة الأولى هي فتح الأقواس. دعونا نفعل ذلك بعناية فائقة:

والآن دعونا نلقي نظرة على الخصوصية:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

وهنا بعض منها مماثلة:

ومن الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول، لذلك سنكتب هذا في الإجابة:

\[\varnothing\]

أو لا توجد جذور.

المثال رقم 2

نحن نقوم بنفس الإجراءات. الخطوة الأولى:

دعنا ننقل كل شيء بمتغير إلى اليسار، وبدونه - إلى اليمين:

وهنا بعض منها مماثلة:

من الواضح أن هذه المعادلة الخطية ليس لها حل، لذا سنكتبها بهذه الطريقة:

\[\فارنوثينغ\]،

أو لا توجد جذور.

الفروق الدقيقة في الحل

تم حل كلتا المعادلتين بالكامل. باستخدام هذين التعبيرين كمثال، كنا مقتنعين مرة أخرى أنه حتى في أبسط المعادلات الخطية، قد لا يكون كل شيء بهذه البساطة: يمكن أن يكون هناك جذور واحدة، أو لا شيء، أو عدد لا نهائي من الجذور. في حالتنا، تناولنا معادلتين، ليس لكل منهما جذور.

لكني أود أن ألفت انتباهكم إلى حقيقة أخرى: كيفية العمل مع الأقواس وكيفية فتحها إذا كانت هناك علامة ناقص أمامها. خذ بعين الاعتبار هذا التعبير:

قبل الفتح، تحتاج إلى مضاعفة كل شيء بـ "X". يرجى ملاحظة: يتضاعف كل مصطلح على حدة. يوجد في الداخل فترتان - على التوالي، فترتان ومضروبة.

وفقط بعد الانتهاء من هذه التحولات التي تبدو بدائية ولكنها مهمة وخطيرة للغاية، يمكنك فتح القوس من وجهة نظر حقيقة وجود علامة ناقص بعدها. نعم، نعم: الآن فقط، عند اكتمال التحولات، نتذكر أن هناك علامة ناقص أمام الأقواس، مما يعني أن كل شيء أدناه يغير العلامات ببساطة. وفي الوقت نفسه، تختفي الأقواس نفسها، والأهم من ذلك، أن "الطرح" الأمامي يختفي أيضًا.

ونفعل نفس الشيء مع المعادلة الثانية:

ليس من قبيل المصادفة أن أنتبه إلى هذه الحقائق الصغيرة التي تبدو غير ذات أهمية. لأن حل المعادلات هو دائما سلسلة من التحولات الأولية، حيث عدم القدرة على الأداء بوضوح وكفاءة خطوات بسيطةيؤدي إلى حقيقة أن طلاب المدارس الثانوية يأتون إلي ويتعلمون مرة أخرى حل مثل هذه المعادلات البسيطة.

وبطبيعة الحال، سيأتي اليوم الذي ستصقل فيه هذه المهارات إلى درجة التلقائية. لن تضطر بعد الآن إلى إجراء العديد من التحويلات في كل مرة، بل ستكتب كل شيء في سطر واحد. ولكن بينما تتعلم فقط، تحتاج إلى كتابة كل إجراء على حدة.

حل المعادلات الخطية الأكثر تعقيدًا

ما سنقوم بحله الآن من الصعب أن يسمى أبسط مهمة، ولكن المعنى يبقى كما هو.

المهمة رقم 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

دعونا نضرب جميع العناصر في الجزء الأول:

دعونا نفعل بعض الخصوصية:

وهنا بعض منها مماثلة:

فلنكمل الخطوة الأخيرة:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

هنا هو جوابنا النهائي. وعلى الرغم من أنه أثناء عملية الحل كانت لدينا معاملات ذات دالة تربيعية، إلا أنها ألغت بعضها البعض، مما يجعل المعادلة خطية وليست تربيعية.

المهمة رقم 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

لننفذ الخطوة الأولى بعناية: اضرب كل عنصر من القوس الأول بكل عنصر من القوس الثاني. يجب أن يكون هناك إجمالي أربعة مصطلحات جديدة بعد التحويلات:

الآن دعونا نجري عملية الضرب بعناية في كل حد:

لننقل المصطلحات التي تحتوي على "X" إلى اليسار، وتلك التي لا تحتوي على - إلى اليمين:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

وهنا مصطلحات مماثلة:

ومرة أخرى تلقينا الجواب النهائي.

الفروق الدقيقة في الحل

وأهم ملاحظة حول هاتين المعادلتين هي ما يلي: بمجرد أن نبدأ بضرب الأقواس التي تحتوي على أكثر من حد يتم ذلك وفق القاعدة التالية: نأخذ الحد الأول من الأول ونضرب بكل عنصر من الثاني؛ ثم نأخذ العنصر الثاني من الأول ونضربه كذلك في كل عنصر من العنصر الثاني. ونتيجة لذلك، سيكون لدينا أربعة حدود.

حول المجموع الجبري

بهذا المثال الأخير، أود أن أذكر الطلاب بماذا مجموع جبري. في الرياضيات الكلاسيكية، نعني بـ 1-7 دولارات بناءًا بسيطًا: طرح سبعة من واحد. ونقصد في الجبر ما يلي: إلى العدد "واحد" نضيف رقما آخر وهو "ناقص سبعة". هذه هي الطريقة التي يختلف بها المجموع الجبري عن المجموع الحسابي العادي.

بمجرد إجراء جميع التحويلات، كل إضافة وضرب، تبدأ في رؤية إنشاءات مماثلة لتلك الموصوفة أعلاه، فلن تواجه أي مشاكل في الجبر عند العمل مع كثيرات الحدود والمعادلات.

أخيرًا، دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة أخرى ستكون أكثر تعقيدًا من تلك التي نظرنا إليها للتو، ولحلها، سيتعين علينا توسيع الخوارزمية القياسية لدينا قليلاً.

حل المعادلات بالكسور

لحل مثل هذه المهام، سيتعين علينا إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية الخاصة بنا. لكن أولاً، دعني أذكرك بالخوارزمية التي لدينا:

1. افتح الأقواس.
2. متغيرات منفصلة.
3. جلب مماثلة.
4. القسمة على النسبة.

للأسف، هذه الخوارزمية الرائعة، على الرغم من فعاليتها، ليست مناسبة تمامًا عندما تكون أمامنا كسور. وفيما سنراه أدناه، لدينا كسر على كل من اليسار واليمين في كلتا المعادلتين.

كيفية العمل في هذه الحالة؟ نعم، الأمر بسيط جدًا! للقيام بذلك، تحتاج إلى إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية، والتي يمكن القيام بها قبل الإجراء الأول وبعده، أي التخلص من الكسور. لذلك ستكون الخوارزمية كما يلي:

1. تخلص من الكسور.
2. افتح الأقواس.
3. متغيرات منفصلة.
4. جلب مماثلة.
5. القسمة على النسبة.

ماذا يعني "التخلص من الكسور"؟ ولماذا يمكن القيام بذلك بعد الخطوة القياسية الأولى وقبلها؟ في الواقع، في حالتنا، جميع الكسور عددية في مقامها، أي. في كل مكان القاسم هو مجرد رقم. ولذلك، إذا ضربنا طرفي المعادلة في هذا العدد، فسنتخلص من الكسور.

المثال رقم 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

دعونا نتخلص من الكسور في هذه المعادلة:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

يرجى ملاحظة: كل شيء مضروب في "أربعة" مرة واحدة، أي. فقط لأن لديك قوسين لا يعني أن عليك ضرب كل منهما بـ "أربعة". دعنا نكتب:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

الآن دعونا نتوسع:

نعزل المتغير:

نقوم بإجراء تخفيض المصطلحات المماثلة:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

لقد حصلنا على الحل النهائي، فلننتقل إلى المعادلة الثانية.

المثال رقم 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

هنا نقوم بتنفيذ جميع الإجراءات نفسها:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

حلت المشكلة.

وهذا، في الواقع، هو كل ما أردت أن أخبرك به اليوم.

النقاط الرئيسية

النتائج الرئيسية هي:

• معرفة خوارزمية حل المعادلات الخطية.
• القدرة على فتح الأقواس.
• لا تقلق إذا رأيت وظائف تربيعيةعلى الأرجح، في عملية مزيد من التحولات، سوف تنخفض.
• هناك ثلاثة أنواع من الجذور في المعادلات الخطية، حتى أبسطها: جذر واحد، وخط الأعداد بأكمله هو جذر، ولا توجد جذور على الإطلاق.

آمل أن يساعدك هذا الدرس في إتقان موضوع بسيط ولكنه مهم جدًا لمزيد من الفهم لجميع الرياضيات. إذا كان هناك شيء غير واضح، فانتقل إلى الموقع وحل الأمثلة المعروضة هناك. لا تنزعج، العديد من الأشياء الأكثر إثارة للاهتمام في انتظاركم!

المعادلات الخطية. الحل، الأمثلة.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

المعادلات الخطية.

المعادلات الخطية- ليس الموضوع الأكثر صعوبة الرياضيات المدرسية. ولكن هناك بعض الحيل التي يمكن أن تحير حتى الطالب المتدرب. دعونا معرفة ذلك؟)

عادة يتم تعريف المعادلة الخطية كمعادلة من النموذج:

فأس + ب = 0 أين أ و ب– أي أرقام.

2س + 7 = 0. هنا أ = 2، ب=7

0.1x - 2.3 = 0 هنا أ = 0.1، ب=-2.3

12س + 1/2 = 0 هنا أ = 12، ب=1/2

لا شيء معقد، أليس كذلك؟ خاصة إذا كنت لا تلاحظ الكلمات: "حيث a و b عبارة عن أي أرقام"... وإذا لاحظت ذلك وفكرت فيه بلا مبالاة؟) بعد كل شيء، إذا أ = 0، ب=0(أي أرقام ممكنة؟)، ثم نحصل على تعبير مضحك:

ولكن هذا ليس كل شيء! إذا، قل، أ = 0،أ ب = 5،يبدو أن هذا شيء خارج عن المألوف تمامًا:

وهو أمر مزعج ويقوض الثقة في الرياضيات، نعم...) خاصة أثناء الامتحانات. ولكن من بين هذه التعبيرات الغريبة، عليك أيضًا العثور على X! وهو ما لا وجود له على الإطلاق. والمثير للدهشة أنه من السهل جدًا العثور على علامة X هذه. سوف نتعلم القيام بذلك. في هذا الدرس.

كيف تتعرف على المعادلة الخطية من مظهرها؟ هذا يعتمد على ماذا مظهر.) الحيلة هي أن معادلات النموذج لا تسمى فقط المعادلات الخطية فأس + ب = 0 ولكن أيضًا أي معادلات يمكن اختزالها إلى هذا الشكل عن طريق التحويلات والتبسيطات. ومن يعلم هل ينزل أم لا؟)

يمكن التعرف على المعادلة الخطية بوضوح في بعض الحالات. لنفترض أنه إذا كانت لدينا معادلة لا يوجد فيها سوى مجاهيل من الدرجة الأولى وأرقام. وفي المعادلة لا يوجد الكسور مقسومة على مجهول , انه مهم! والقسمة على رقم،أو كسرًا رقميًا - هذا مرحب به! على سبيل المثال:

هذه معادلة خطية. توجد كسور هنا، لكن لا توجد علامة x في المربع أو المكعب وما إلى ذلك، ولا توجد علامة x في المقامات، أي. لا القسمة على x. وهنا المعادلة

لا يمكن أن يسمى الخطية. هنا جميع علامات X في الدرجة الأولى، ولكن هناك القسمة على التعبير مع x. بعد التبسيط والتحويل، يمكنك الحصول على معادلة خطية أو معادلة تربيعية أو أي شيء تريده.

اتضح أنه من المستحيل التعرف على المعادلة الخطية في بعض الأمثلة المعقدة حتى تتمكن من حلها تقريبًا. هذا مزعج. لكن في المهام، كقاعدة عامة، لا يسألون عن شكل المعادلة، أليس كذلك؟ المهام تطلب المعادلات يقرر.هذا يجعلني سعيدا.)

حل المعادلات الخطية. أمثلة.

يتكون الحل الكامل للمعادلات الخطية من تحويلات متطابقة للمعادلات. وبالمناسبة، هذه التحولات (اثنان منها!) هي أساس الحلول جميع معادلات الرياضيات.بمعنى آخر الحل أيتبدأ المعادلة بهذه التحولات ذاتها. وفي حالة المعادلات الخطية فهو (الحل) يعتمد على هذه التحويلات وينتهي بالإجابة الكاملة. من المنطقي اتباع الرابط، أليس كذلك؟) علاوة على ذلك، هناك أيضًا أمثلة لحل المعادلات الخطية هناك.

أولا، دعونا نلقي نظرة على أبسط مثال. دون أي مطبات. لنفترض أننا بحاجة إلى حل هذه المعادلة.

س - 3 = 2 - 4س

هذه معادلة خطية. علامات X كلها في القوة الأولى، ولا يوجد قسمة على X. لكن في الواقع، لا يهمنا نوع المعادلة. نحن بحاجة إلى حلها. المخطط هنا بسيط. اجمع كل شيء به علامات X على الجانب الأيسر من المعادلة، وكل شيء بدون علامات X على الجانب الأيمن.

للقيام بذلك تحتاج إلى نقل - 4x في الجهه اليسرىمع تغيير الإشارة بالطبع و - 3 - إلى اليمين. بالمناسبة، هذا هو أول تحويل متطابق للمعادلات.متفاجئ؟ هذا يعني أنك لم تتبع الرابط ولكن عبثا...) نحصل على:

س + 4س = 2 + 3

وهنا مماثلة، ونحن نعتبر:

ماذا نحتاج لتحقيق السعادة الكاملة؟ نعم، بحيث يكون هناك علامة X نقية على اليسار! خمسة في الطريق. التخلص من الخمس بالمساعدة التحويل المتطابق الثاني للمعادلات.وهي أننا نقسم طرفي المعادلة على 5. ونحصل على إجابة جاهزة:

مثال أولي بالطبع. هذا من أجل الإحماء.) ليس من الواضح لماذا تذكرت التحولات المتطابقة هنا؟ نعم. دعونا نمسك الثور من قرونه.) دعونا نقرر شيئًا أكثر صلابة.

على سبيل المثال، إليك المعادلة:

من اين نبدأ؟ مع X - إلى اليسار، بدون X - إلى اليمين؟ يمكن أن يكون الأمر كذلك. خطوات صغيرة على طريق طويل. أو يمكنك ذلك على الفور، وعالميًا، و بطريقة قوية. إذا كان لديك، بالطبع، تحويلات متطابقة للمعادلات في ترسانتك.

أطرح عليك سؤالا رئيسيا: ما هو أكثر ما لا يعجبك في هذه المعادلة؟

95 من 100 شخص سيجيبون: الكسور ! الجواب صحيح. لذلك دعونا نتخلص منهم. ولذلك، نبدأ على الفور مع تحويل الهوية الثانية. ما الذي تحتاجه لضرب الكسر الموجود على اليسار بحيث يتم تقليل المقام بالكامل؟ هذا صحيح، عند الساعة 3. وعلى اليمين؟ بواسطة 4. لكن الرياضيات تسمح لنا بضرب كلا الطرفين في نفس العدد. كيف يمكننا الخروج؟ دعونا نضرب كلا الطرفين في 12! أولئك. إلى قاسم مشترك. ثم سيتم تخفيض كل من الثلاثة والأربعة. لا تنس أنك تحتاج إلى مضاعفة كل جزء تماما. إليك ما تبدو عليه الخطوة الأولى:

توسيع الأقواس:

ملحوظة! البسط (س+2)لقد وضعته بين قوسين! وذلك لأنه عند ضرب الكسور، يتم ضرب البسط بأكمله! الآن يمكنك تقليل الكسور:

قم بتوسيع الأقواس المتبقية:

ليس مثالاً، بل متعة خالصة!) الآن دعونا نتذكر التعويذة من فصول المبتدئين: بعلامة X - إلى اليسار، بدون علامة X - إلى اليمين!وتطبيق هذا التحول:

وهنا بعض منها مماثلة:

ونقسم كلا الجزأين على 25 أي: قم بتطبيق التحويل الثاني مرة أخرى:

هذا كل شئ. إجابة: X=0,16

يرجى ملاحظة: لجلب المعادلة المربكة الأصلية إلى شكل جميل، استخدمنا اثنتين (اثنتين فقط!) تحولات الهوية– الترجمة من اليسار إلى اليمين مع تغيير الإشارة وقسمة الضرب للمعادلة على نفس الرقم. هذا طريقة عالمية! سوف نعمل بهذه الطريقة مع أي معادلات! أي شخص على الاطلاق. ولهذا السبب أكرر بشكل مضجر هذه التحولات المتطابقة طوال الوقت.)

كما ترون، مبدأ حل المعادلات الخطية بسيط. نأخذ المعادلة ونبسطها باستخدام التحويلات المتماثلة حتى نحصل على الإجابة. المشاكل الرئيسية هنا تكمن في الحسابات، وليس في مبدأ الحل.

لكن... هناك مثل هذه المفاجآت في عملية حل أبسط المعادلات الخطية التي يمكن أن تقودك إلى ذهول قوي...) لحسن الحظ، لا يمكن أن يكون هناك سوى مفاجأتين من هذا القبيل. دعونا نسميها حالات خاصة.

حالات خاصة في حل المعادلات الخطية.

المفاجأة الأولى.

لنفترض أنك صادفت معادلة أساسية جدًا، مثل:

2س+3=5س+5 - 3س - 2

بالملل قليلاً، نحركها بعلامة X إلى اليسار، بدون علامة X - إلى اليمين... مع تغيير العلامة، كل شيء على ما يرام... نحصل على:

2س-5س+3س=5-2-3

نحن نحسب، و... عفوًا!!! نحن نحصل:

وهذه المساواة في حد ذاتها ليست مرفوضة. الصفر هو في الواقع صفر. لكن X مفقود! وعلينا أن نكتب في الجواب ما هو x يساوي؟وإلا الحل ما يحسب صح...) طريق مسدود؟

هادئ! في مثل هذه الحالات المشكوك فيها، ستوفر لك القواعد الأكثر عمومية. كيفية حل المعادلات؟ ماذا يعني حل المعادلة؟ هذا يعنى، أوجد جميع قيم x التي عند استبدالها في المعادلة الأصلية ستعطينا المساواة الصحيحة.

لكن لدينا مساواة حقيقية بالفعلحدث! 0=0، كم أكثر دقة؟! يبقى أن نعرف لماذا يحدث هذا. ما هي قيم X التي يمكن استبدالها إبداعيالمعادلة إذا كانت هذه x هل سيتم تخفيضها إلى الصفر؟تعال؟)

نعم!!! يمكن استبدال X أي!تلك التي تريد؟ على الأقل 5، على الأقل 0.05، على الأقل -220. وسوف لا تزال تتقلص. إذا كنت لا تصدقني، يمكنك التحقق من ذلك.) استبدل أي قيم لـ X بها إبداعيالمعادلة وحساب. في كل وقت سوف تحصل على الحقيقة النقية: 0=0، 2=2، -7.1=-7.1، وهكذا.

وهنا إجابتك: س - أي رقم.

يمكن كتابة الإجابة برموز رياضية مختلفة، ولا يتغير الجوهر. هذه إجابة صحيحة وكاملة تمامًا.

المفاجأة الثانية.

لنأخذ نفس المعادلة الخطية الأولية ونغير فيها رقمًا واحدًا فقط. وهذا ما سنقرره:

2س+1=5س+5 - 3س - 2

وبعد نفس التحولات المتطابقة، نحصل على شيء مثير للاهتمام:

مثله. لقد حللنا معادلة خطية وحصلنا على مساواة غريبة. من الناحية الرياضية، حصلنا على المساواة الزائفةوالتحدث بلغة بسيطة، هذا ليس صحيحا. الهذيان. ولكن مع ذلك، فإن هذا الهراء يعد سببًا وجيهًا جدًا للحل الصحيح للمعادلة.)

مرة أخرى نفكر على أساس قواعد عامة. ما هو x، عند استبداله في المعادلة الأصلية، سوف يعطينا حقيقيالمساواة؟ نعم، لا شيء! لا يوجد مثل هذه العلامات X. بغض النظر عما قدمته، سيتم تقليل كل شيء، وسيبقى فقط الهراء.)

وهنا إجابتك: لا توجد حلول.

وهذه أيضًا إجابة كاملة تمامًا. في الرياضيات، غالبا ما توجد مثل هذه الإجابات.

مثله. الآن، آمل ألا يربكك اختفاء X أثناء حل أي معادلة (وليس فقط خطية) على الإطلاق. هذه مسألة مألوفة بالفعل.)

الآن بعد أن تعاملنا مع جميع المخاطر في المعادلات الخطية، فمن المنطقي حلها.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

المعادلة الخطية هي معادلة جبرية درجة مجموعها لكثيرات الحدود تساوي واحدًا. حل المعادلات الخطية - الجزء المنهج المدرسي، وليس الأصعب. ومع ذلك، لا يزال البعض يجد صعوبة في استكمال هذا الموضوع. نأمل بعد قراءة هذه المادة أن تظل كل الصعوبات التي تواجهك في الماضي. لذلك، دعونا معرفة ذلك. كيفية حل المعادلات الخطية.

الشكل العام

يتم تمثيل المعادلة الخطية على النحو التالي:

• ax + b = 0، حيث a وb عبارة عن أرقام.

على الرغم من أن a وb يمكن أن يكونا أي رقم، إلا أن قيمهما تؤثر على عدد حلول المعادلة. هناك عدة حالات خاصة للحل:

• إذا كانت a=b=0، فإن المعادلة لها عدد لا نهائي من الحلول؛
• إذا كانت a=0, b≠0، فإن المعادلة ليس لها حل؛
• إذا كانت a≠0, b=0، فإن للمعادلة حل: x = 0.

في حالة أن كلا الرقمين لهما قيم غير الصفر، يجب حل المعادلة لاشتقاق التعبير النهائي للمتغير.

كيف تقرر؟

حل معادلة خطية يعني إيجاد ما يساويه المتغير. كيف نفعل ذلك؟ نعم، الأمر بسيط للغاية - باستخدام عمليات جبرية بسيطة واتباع قواعد النقل. إذا ظهرت المعادلة أمامك بشكل عام فأنت محظوظ، كل ما عليك فعله هو:

1. انتقل ب إلى الجانب الأيمنالمعادلة، دون أن ننسى تغيير العلامة (قاعدة الترجمة!)، وبالتالي، من تعبير بالشكل ax + b = 0، يجب الحصول على تعبير بالشكل: ax = -b.
2. قم بتطبيق القاعدة: للعثور على أحد العوامل (س - في حالتنا)، تحتاج إلى تقسيم المنتج (-ب في حالتنا) على عامل آخر (أ - في حالتنا). وبالتالي، يجب أن تحصل على تعبير بالصيغة: x = -b/a.

هذا كل شيء - تم العثور على الحل!

الآن دعونا نلقي نظرة على مثال محدد:

1. 2x + 4 = 0 - انقل b، الذي يساوي 4 في هذه الحالة، إلى الجانب الأيمن
2. 2x = -4 - قسمة b على a (لا تنس علامة الطرح)
3. س = -4/2 = -2

هذا كل شئ! الحل لدينا: س = -2.

كما ترون، من السهل جدًا العثور على حل لمعادلة خطية ذات متغير واحد، ولكن كل شيء بسيط جدًا إذا كنا محظوظين بما يكفي للعثور على المعادلة في شكلها العام. في معظم الحالات، قبل حل المعادلة في الخطوتين الموضحتين أعلاه، لا تزال بحاجة إلى تحويل التعبير الموجود إلى صيغة عامة. ومع ذلك، هذه أيضًا ليست مهمة صعبة للغاية. دعونا نلقي نظرة على بعض الحالات الخاصة باستخدام الأمثلة.

حل الحالات الخاصة

أولا، دعونا نلقي نظرة على الحالات التي وصفناها في بداية المقال ونشرح ماذا يعني أن يكون لديك عدد لا نهائي من الحلول ولا يوجد حل.

• إذا كانت a=b=0، فستبدو المعادلة كما يلي: 0x + 0 = 0. بتنفيذ الخطوة الأولى، نحصل على: 0x = 0. ماذا يعني هذا الهراء، تصرخ! ففي النهاية، بغض النظر عن الرقم الذي تضربه في صفر، فإنك تحصل دائمًا على صفر! يمين! ولهذا السبب يقولون أن المعادلة لها عدد لا نهائي من الحلول - بغض النظر عن العدد الذي تأخذه، ستكون المساواة صحيحة، 0x = 0 أو 0 = 0.
• إذا كانت a=0، b≠0، فستبدو المعادلة كما يلي: 0x + 3 = 0. قم بالخطوة الأولى، نحصل على 0x = -3. هراء مرة أخرى! ومن الواضح أن هذه المساواة لن تكون حقيقية أبداً! ولهذا يقولون أن المعادلة ليس لها حلول.
• إذا كانت a≠0, b=0، فستبدو المعادلة كما يلي: 3x + 0 = 0. بتنفيذ الخطوة الأولى، نحصل على: 3x = 0. ما هو الحل؟ الأمر سهل، س = 0.

ضاعت في الترجمة

الحالات الخاصة الموصوفة ليست كل ما يمكن أن تفاجئنا به المعادلات الخطية. في بعض الأحيان يكون من الصعب تحديد المعادلة للوهلة الأولى. لنلقي نظرة على مثال:

• 12س - 14 = 2س + 6

هل هذه معادلة خطية؟ ماذا عن الصفر الموجود على الجانب الأيمن؟ لن نتسرع في الاستنتاجات، وسوف نتصرف - سننقل جميع مكونات معادلتنا إلى الجانب الأيسر. نحن نحصل:

• 12س - 2س - 14 - 6 = 0

الآن نطرح مثل من مثل، نحصل على:

• 10س - 20 = 0

تعلمت؟ المعادلة الخطية الأكثر على الإطلاق! حلها هو: س = 20/10 = 2.

ماذا لو كان لدينا هذا المثال:

• 12((س + 2)/3) + س) = 12 (1 - 3س/4)

نعم، هذه أيضًا معادلة خطية، ولا يلزم إجراء سوى المزيد من التحويلات. أولا، دعونا نفتح الأقواس:

1. (12(س+2)/3) + 12س = 12 - 36س/4
2. 4(س+2) + 12س = 12 - 36س/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - الآن نقوم بالنقل:
4. 25x - 4 = 0 - يبقى إيجاد حل باستخدام المخطط المعروف بالفعل:
5. 25س = 4،
6. س = 4/25 = 0.16

كما ترون، كل شيء يمكن حله، والشيء الرئيسي هو عدم القلق، ولكن التصرف. تذكر، إذا كانت معادلتك تحتوي فقط على متغيرات من الدرجة الأولى وأرقام، فستكون لديك معادلة خطية، والتي بغض النظر عن شكلها في البداية، يمكن اختزالها إلى صورة عامة وحلها. نأمل أن يعمل كل شيء من أجلك! حظ سعيد!

وما إلى ذلك، فمن المنطقي التعرف على معادلات من أنواع أخرى. التالي في الخط هم المعادلات الخطيةوالتي تبدأ دراستها المستهدفة في دروس الجبر في الصف السابع.

من الواضح أنك تحتاج أولاً إلى شرح ماهية المعادلة الخطية، وإعطاء تعريف للمعادلة الخطية، ومعاملاتها، وإظهارها الشكل العام. بعد ذلك يمكنك معرفة عدد الحلول التي تحتوي عليها المعادلة الخطية اعتمادًا على قيم المعاملات وكيفية العثور على الجذور. سيسمح لك ذلك بالانتقال إلى حل الأمثلة، وبالتالي تعزيز النظرية المكتسبة. في هذه المقالة سنقوم بذلك: سنتناول بالتفصيل جميع النقاط النظرية والعملية المتعلقة بالمعادلات الخطية وحلولها.

لنفترض على الفور أننا سننظر هنا فقط في المعادلات الخطية ذات المتغير الواحد، وفي مقال منفصل سندرس مبادئ الحل المعادلات الخطية ذات متغيرين.

التنقل في الصفحة.

ما هي المعادلة الخطية؟

يتم تعريف المعادلة الخطية من خلال طريقة كتابتها. علاوة على ذلك، في كتب الرياضيات والجبر المختلفة، تحتوي صياغة تعريفات المعادلات الخطية على بعض الاختلافات التي لا تؤثر على جوهر المشكلة.

على سبيل المثال، في كتاب الجبر المدرسي للصف السابع للكاتب يو.ن.ماكاريتشيف وآخرون، تم تعريف المعادلة الخطية على النحو التالي:

تعريف.

معادلة النموذج أ س = ب، حيث x متغير، a و b عبارة عن بعض الأرقام، يتم استدعاؤها معادلة خطية ذات متغير واحد.

دعونا نعطي أمثلة على المعادلات الخطية التي تلبي التعريف المذكور. على سبيل المثال، 5 x = 10 هي معادلة خطية ذات متغير واحد x، هنا المعامل a هو 5، والرقم b هو 10. مثال آخر: −2.3·y=0 هي أيضًا معادلة خطية، ولكن بمتغير y، حيث a=−2.3 وb=0. وفي المعادلات الخطية x=−2 و −x=3.33 a غير موجودة بشكل صريح وتساوي 1 و −1 على التوالي، بينما في المعادلة الأولى b=−2، وفي الثانية - b=3.33.

وقبل عام، في كتاب الرياضيات المدرسي لـ N. Ya. Vilenkin، المعادلات الخطية ذات المجهول الواحد، بالإضافة إلى معادلات النموذج a x = b، تعتبر أيضًا معادلات يمكن إحضارها إلى هذا النموذج عن طريق نقل المصطلحات من جزء واحد من المعادلة إلى أخرى ذات الإشارة المعاكسة، وكذلك عن طريق اختزال الحدود المتشابهة. ووفقاً لهذا التعريف، فإن المعادلات من الصيغة 5 x = 2 x + 6، إلخ. خطية أيضا.

بدوره، في كتاب الجبر للصف السابع من تأليف A. G. Mordkovich، يتم تقديم التعريف التالي:

تعريف.

معادلة خطية ذات متغير واحد xهي معادلة من الشكل a·x+b=0، حيث a وb عبارة عن أرقام تسمى معاملات المعادلة الخطية.

على سبيل المثال، المعادلات الخطية من هذا النوع هي 2 x−12=0، هنا المعامل a هو 2، وb يساوي −12، و0.2 y+4.6=0 مع المعاملين a=0.2 وb =4.6. ولكن في الوقت نفسه، هناك أمثلة للمعادلات الخطية التي ليس لها الشكل a·x+b=0، ولكن a·x=b، على سبيل المثال، 3·x=12.

دعونا، حتى لا يكون لدينا أي اختلافات في المستقبل، من خلال معادلة خطية ذات متغير واحد x والمعاملين a و b نعني معادلة بالشكل a x + b = 0. يبدو أن هذا النوع من المعادلات الخطية هو الأكثر تبريرًا، نظرًا لأن المعادلات الخطية كذلك المعادلات الجبرية الدرجة الأولى. وجميع المعادلات الأخرى المشار إليها أعلاه، وكذلك المعادلات التي، باستخدام التحويلات المكافئة، يتم اختزالها إلى الصورة a x + b = 0، سوف نسميها المعادلات التي يتم اختزالها إلى المعادلات الخطية. بهذا النهج، المعادلة 2 x+6=0 هي معادلة خطية، و2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12، إلخ. - هذه هي المعادلات التي يتم اختزالها إلى المعادلات الخطية.

كيفية حل المعادلات الخطية؟

حان الوقت الآن لمعرفة كيفية حل المعادلات الخطية a·x+b=0. بمعنى آخر، حان الوقت لمعرفة ما إذا كانت المعادلة الخطية لها جذور، وإذا كان الأمر كذلك، فما عددها وكيفية العثور عليها.

يعتمد وجود جذور المعادلة الخطية على قيم المعاملين a و b. في هذه الحالة، المعادلة الخطية a x+b=0

• الجذر الوحيد لـ a≠0،
• ليس له جذور لـ a=0 وb≠0،
• له عدد لا نهائي من الجذور لـ a=0 وb=0، وفي هذه الحالة يكون أي رقم هو جذر المعادلة الخطية.

دعونا نشرح كيف تم الحصول على هذه النتائج.

نحن نعلم أنه لحل المعادلات، يمكننا الانتقال من المعادلة الأصلية إلى المعادلات المكافئة، أي إلى معادلات لها نفس الجذور، أو بدون جذور، مثل المعادلة الأصلية. للقيام بذلك، يمكنك استخدام التحويلات المكافئة التالية:

• نقل حد من أحد طرفي المعادلة إلى الطرف الآخر بإشارة معاكسة،
• وكذلك ضرب أو قسمة طرفي المعادلة على نفس الرقم غير الصفر.

إذن، في معادلة خطية ذات واحد متغير النموذج a x+b=0 يمكننا نقل المصطلح b من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيمنمع الإشارة المعاكسة. في هذه الحالة، المعادلة سوف تأخذ الشكل a·x=−b.

ومن ثم يطرح سؤال قسمة طرفي المعادلة على الرقم أ. لكن هناك شيء واحد: العدد a يمكن أن يساوي صفرًا، وفي هذه الحالة تكون هذه القسمة مستحيلة. للتعامل مع هذه المشكلة، سنفترض أولاً أن الرقم a ليس صفرًا، وسننظر في حالة كون العدد يساوي صفرًا بشكل منفصل بعد قليل.

لذا، عندما لا يساوي a الصفر، فيمكننا قسمة طرفي المعادلة a·x=−b على a، وبعد ذلك سيتم تحويلها إلى الشكل x=(-b):a، يمكن أن تكون هذه النتيجة مكتوبة باستخدام شرطة مائلة كسور.

وبالتالي، بالنسبة لـ a≠0، فإن المعادلة الخطية a·x+b=0 تعادل المعادلة التي يظهر منها جذرها.

ومن السهل أن نبين أن هذا الجذر فريد من نوعه، أي أن المعادلة الخطية ليس لها جذور أخرى. هذا يسمح لك أن تفعل الطريقة المعاكسة.

دعنا نشير إلى الجذر بـ x 1. لنفترض أن هناك جذرًا آخر للمعادلة الخطية، والذي نشير إليه بـ x 2، و x 2 ≠x 1، والذي يرجع إلى تعريفات أعداد متساويةمن خلال الفرقيعادل الشرط x 1 −x 2 ≠0. بما أن x 1 وx 2 هما جذور المعادلة الخطية a·x+b=0، فإن المساواة العددية a·x 1 +b=0 وa·x 2 +b=0 تظل ثابتة. يمكننا طرح الأجزاء المتناظرة من هذه المعادلات، والتي تسمح لنا خصائص المساواة العددية بفعلها، لدينا a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0، منها a·(x 1) −x 2)+( b−b)=0 ثم a·(x 1 −x 2)=0 . لكن هذه المساواة مستحيلة، لأن كلا من a≠0 و x 1 − x 2 ≠0. لذلك وصلنا إلى تناقض يثبت تفرد جذر المعادلة الخطية a·x+b=0 لـ a≠0.

لذلك قمنا بحل المعادلة الخطية a·x+b=0 لـ a≠0. النتيجة الأولى الواردة في بداية هذه الفقرة لها ما يبررها. هناك اثنان آخران يستوفيان الشرط a=0.

عندما تكون a=0، فإن المعادلة الخطية a·x+b=0 تأخذ الشكل 0·x+b=0. من هذه المعادلة ومن خاصية ضرب الأعداد في الصفر، يترتب على ذلك أنه بغض النظر عن الرقم الذي نأخذه كـ x، عندما يتم استبداله في المعادلة 0 x + b=0، سيتم الحصول على المساواة العددية b=0. تكون هذه المساواة صحيحة عندما تكون b=0، وفي حالات أخرى عندما تكون b≠0 تكون هذه المساواة خاطئة.

وبالتالي، مع a=0 وb=0، أي رقم هو جذر المعادلة الخطية a·x+b=0، لأنه في ظل هذه الظروف، استبدال أي رقم لـ x يعطي المساواة العددية الصحيحة 0=0. وعندما يكون a=0 وb≠0، فإن المعادلة الخطية a·x+b=0 ليس لها جذور، لأنه في ظل هذه الظروف، يؤدي استبدال أي رقم بدلاً من x إلى المساواة العددية غير الصحيحة b=0.

تسمح لنا المبررات المقدمة بصياغة سلسلة من الإجراءات التي تسمح لنا بحل أي معادلة خطية. لذا، خوارزمية لحل المعادلة الخطيةيكون:

• أولاً، بكتابة المعادلة الخطية نجد قيم المعاملين a وb.
• إذا كانت a=0 وb=0، فإن هذه المعادلة لها عدد لا نهائي من الجذور، أي أن أي رقم هو جذر لهذه المعادلة الخطية.
• إذا كان a غير صفر، إذن
• يتم نقل المعامل b إلى الجانب الأيمن بالإشارة المعاكسة، ويتم تحويل المعادلة الخطية إلى الشكل a·x=−b،
• وبعد ذلك يتم تقسيم طرفي المعادلة الناتجة على رقم غير صفري، مما يعطي الجذر المطلوب للمعادلة الخطية الأصلية.

الخوارزمية المكتوبة هي إجابة شاملة لسؤال كيفية حل المعادلات الخطية.

في ختام هذه النقطة، تجدر الإشارة إلى أنه يتم استخدام خوارزمية مماثلة لحل المعادلات من الشكل a·x=b. الفرق هو أنه عندما يكون a≠0، يتم تقسيم طرفي المعادلة على الفور على هذا الرقم؛ هنا b موجود بالفعل في الجزء المطلوب من المعادلة وليس هناك حاجة لنقله.

لحل المعادلات من الصورة a x = b، يتم استخدام الخوارزمية التالية:

• إذا كانت a=0 وb=0، فإن المعادلة لها عدد لا نهائي من الجذور، وهي أي أرقام.
• إذا كانت a=0 وb≠0، فإن المعادلة الأصلية ليس لها جذور.
• إذا كانت a غير الصفر، فسيتم قسمة طرفي المعادلة على رقم غير الصفر a، ومنه يوجد الجذر الوحيد للمعادلة، وهو b/a.

أمثلة على حل المعادلات الخطية

دعنا ننتقل إلى الممارسة. دعونا نلقي نظرة على كيفية استخدام الخوارزمية لحل المعادلات الخطية. دعونا نعطي حلولاً للأمثلة النموذجية المقابلة لـ معان مختلفةمعاملات المعادلات الخطية.

مثال.

حل المعادلة الخطية 0·x−0=0.

حل.

في هذه المعادلة الخطية, a=0 و b=−0 , وهو نفس b=0 . ولذلك فإن هذه المعادلة لها عدد لا نهائي من الجذور، وأي رقم هو جذر لهذه المعادلة.

إجابة:

س – أي رقم.

مثال.

هل للمعادلة الخطية 0 x + 2.7 = 0 حلول؟

حل.

في هذه الحالة، المعامل أ يساوي الصفر، والمعامل ب لهذه المعادلة الخطية يساوي 2.7، أي يختلف عن الصفر. وبالتالي فإن المعادلة الخطية ليس لها جذور.

عند حل المعادلات الخطية، نسعى جاهدين لإيجاد الجذر، أي قيمة المتغير الذي سيحول المعادلة إلى مساواة صحيحة.

للعثور على جذر المعادلة التي تحتاجها التحويلات المكافئة تجلب المعادلة المعطاة لنا إلى النموذج

\(س=[الرقم]\)

سيكون هذا الرقم هو الجذر.

أي أننا نحول المعادلة، ونجعلها أبسط مع كل خطوة، حتى نختصرها إلى معادلة بدائية تماماً "س = رقم"، حيث يكون الجذر واضحاً. التحويلات الأكثر استخدامًا عند حل المعادلات الخطية هي التالية:

على سبيل المثال: أضف \(5\) إلى طرفي المعادلة \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6س-5+5=1+5\)
\(6س=6\)

يرجى ملاحظة أنه يمكننا الحصول على النتيجة نفسها بشكل أسرع بمجرد كتابة العدد خمسة في الطرف الآخر من المعادلة وتغيير إشارتها. في الواقع، هذه هي بالضبط الطريقة التي تتم بها المدرسة "من خلال المساواة مع تغيير الإشارة إلى العكس".

2. ضرب أو قسمة طرفي المعادلة على نفس العدد أو التعبير.

على سبيل المثال: قسمة المعادلة \(-2x=8\) على سالب اثنين

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(س=-4\)

عادةً ما يتم تنفيذ هذه الخطوة في النهاية، عندما تكون المعادلة قد تم اختصارها بالفعل إلى الصيغة \(ax=b\)، ونقسمها على \(a\) لإزالتها من اليسار.

3. استخدام خصائص وقوانين الرياضيات: فتح الأقواس، وإحضار المصطلحات المتشابهة، وتبسيط الكسور، وما إلى ذلك.

أضف \(2x\) لليسار واليمين

اطرح \(24\) من طرفي المعادلة

نقدم مصطلحات مماثلة مرة أخرى

الآن نقسم المعادلة على \(-3\)، وبالتالي نزيل علامة X الأمامية من الجانب الأيسر.

إجابة : \(7\)

لقد تم العثور على الجواب. ومع ذلك، دعونا التحقق من ذلك. إذا كان سبعة هو حقا جذر، فعند استبداله بدلا من X في المعادلة الأصلية، يجب الحصول على المساواة الصحيحة - نفس الأرقام على اليسار وعلى اليمين. دعونا نحاول.

فحص:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

لقد نجحت. وهذا يعني أن سبعة هو بالفعل جذر المعادلة الخطية الأصلية.

لا تتكاسل في التحقق من الإجابات التي حصلت عليها عن طريق التعويض، خاصة إذا كنت تحل معادلة في اختبار أو امتحان.

ويبقى السؤال كيف نحدد ما يجب فعله بالمعادلة في الخطوة التالية؟ كيف بالضبط لتحويله؟ تقسيم على شيء؟ أو طرح؟ وما الذي يجب أن أطرحه بالضبط؟ تقسيم على ماذا؟

الجواب بسيط:

هدفك هو تحويل المعادلة إلى الشكل \(x=[number]\)، أي على اليسار يوجد x بدون معاملات وأرقام، وعلى اليمين يوجد فقط رقم بدون متغيرات. لذلك انظر إلى ما يمنعك و تفعل عكس ما يفعله المكون المتداخل.

لفهم ذلك بشكل أفضل، دعونا نلقي نظرة على حل المعادلة الخطية \(x+3=13-4x\) خطوة بخطوة.

لنفكر: كيف تختلف هذه المعادلة عن \(x=[number]\)؟ ما الذي يمنعنا؟ ما هو الخطأ؟

حسنًا، أولاً، يتدخل الثلاثة، لأنه على اليسار يجب أن يكون هناك علامة X وحيدة فقط، بدون أرقام. ماذا "تفعل" الترويكا؟ تمت الإضافةإلى X. لذا، لإزالته - طرح او خصمنفس الثلاثة. لكن إذا طرحنا ثلاثة من اليسار، فيجب أن نطرحها من اليمين حتى لا تنتهك المساواة.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(س+3-3=13-4س-3\)
\(س=10-4س\)

بخير. الآن ما الذي يمنعك؟ \(4x\) على اليمين، لأنه يجب أن يكون هناك أرقام فقط. \(4x\) خصم- نزيل بإضافة.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(س+4x=10-4x+4x\)

والآن نقدم مصطلحات مماثلة على اليسار واليمين.

انها جاهزة تقريبا. كل ما تبقى هو إزالة الخمسة الموجودة على اليسار. ماذا تفعل هي"؟ يتضاعفعلى العاشر. لذلك دعونا إزالته قسم.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(س=2\)

اكتمل الحل، وجذر المعادلة هو اثنان. يمكنك التحقق عن طريق الاستبدال.

لاحظ أن في أغلب الأحيان يكون هناك جذر واحد فقط في المعادلات الخطية. ومع ذلك، قد تحدث حالتان خاصتان.

الحالة الخاصة 1 - لا توجد جذور في المعادلة الخطية.

مثال . حل المعادلة \(3x-1=2(x+3)+x\)

حل :

إجابة : لا جذور.

في الواقع، حقيقة أننا سنصل إلى مثل هذه النتيجة كانت واضحة سابقًا، حتى عندما تلقينا \(3x-1=3x+6\). فكر في الأمر: كيف يمكن أن يكون \(3x\) الذي طرحنا منه \(1\) و\(3x\) الذي أضفنا إليه \(6\) متساويين؟ من الواضح أن هذا مستحيل، لأنهم فعلوا أشياء مختلفة بنفس الشيء! ومن الواضح أن النتائج سوف تختلف.

الحالة الخاصة 2 - المعادلة الخطية لها عدد لا نهائي من الجذور.

مثال . حل المعادلة الخطية \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

حل :

إجابة : أي رقم.

وهذا، بالمناسبة، كان ملحوظا حتى في وقت سابق، في المرحلة: \(8x+12=8x+12\). في الواقع، اليسار واليمين هما نفس التعبيرات. مهما كانت X التي تستبدلها، سيكون نفس الرقم هناك وهناك.

معادلات خطية أكثر تعقيدا.

المعادلة الأصلية لا تبدو دائماً خطية على الفور، بل في بعض الأحيان تكون "مقنعة" كأخرى، وأكثر من ذلك معادلات معقدة. ومع ذلك، في عملية التحول، يختفي التنكر.

مثال . أوجد جذر المعادلة \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

حل :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		يبدو أن هناك مربع x هنا - هذه ليست معادلة خطية! ولكن لا تتعجل. دعونا نطبق
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		لماذا تكون نتيجة التوسيع \((x-4)^(2)\) بين قوسين، ولكن النتيجة \((3+x)^(2)\) ليست كذلك؟ لأن هناك علامة ناقص أمام المربع الأول، مما سيغير كل العلامات. ولكي لا ننسى هذا، نأخذ النتيجة بين قوسين، والتي نفتحها الآن.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		نقدم مصطلحات مماثلة
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		نقدم مماثلة مرة أخرى.
		مثله. اتضح أن المعادلة الأصلية خطية تمامًا، ومربع X ليس أكثر من مجرد شاشة لإرباكنا. :) نكمل الحل بقسمة المعادلة على \(2\) ونحصل على الجواب.

إجابة : \(س=5\)

مثال . حل المعادلة الخطية \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

حل :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		المعادلة لا تبدو خطية، إنها نوع من الكسور... ومع ذلك، دعونا نتخلص من المقامات عن طريق ضرب طرفي المعادلة في القاسم المشترك للجميع – ستة
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		قم بتوسيع القوس على اليسار
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		الآن دعونا نقلل القواسم
\(3(س+2)-2=9+7x\)		الآن يبدو وكأنه خطي منتظم! دعونا ننتهي من ذلك.
		من خلال الترجمة من خلال قيم متساوية، نقوم بجمع علامات X على اليمين والأرقام على اليسار
		حسنًا، بتقسيم الجانبين الأيمن والأيسر على \(-4\)، نحصل على الإجابة

إجابة : \(س=-1.25\)