دع نظام المعادلات الخطية يحتوي على عدد من المعادلات يساوي عدد المتغيرات المستقلة، أي. يشبه

مثل هذه الأنظمة المعادلات الخطيةتسمى مربعة. ويسمى المحدد المكون من معاملات المتغيرات المستقلة للنظام (1.5) بالمحدد الرئيسي للنظام. وسوف نشير إليها بالحرف اليوناني D. وهكذا،

. (1.6)

إذا كان المحدد الرئيسي يحتوي على تعسفي ( يث) ، استبدله بعمود شروط النظام المجانية (1.5) ، ثم يمكنك الحصول عليه نالتصفيات المساعدة:

(ي = 1, 2, …, ن). (1.7)

حكم كريمرحل الأنظمة التربيعية للمعادلات الخطية هو كما يلي. إذا كان المحدد الرئيسي D للنظام (1.5) مختلفًا عن الصفر، فإن النظام لديه حل فريد يمكن إيجاده باستخدام الصيغ:

(1.8)

مثال 1.5.حل نظام المعادلات باستخدام طريقة كرامر

.

دعونا نحسب المحدد الرئيسي للنظام:

منذ D¹0، أصبح لدى النظام حل فريد، والذي يمكن العثور عليه باستخدام الصيغ (1.8):

هكذا،

الإجراءات على المصفوفات

1. ضرب مصفوفة بعدد.يتم تعريف عملية ضرب المصفوفة برقم على النحو التالي.

2. لضرب مصفوفة في رقم، عليك أن تضرب جميع عناصرها في هذا الرقم. إنه

. (1.9)

مثال 1.6. .

إضافة مصفوفة.

يتم تقديم هذه العملية فقط للمصفوفات ذات الترتيب نفسه.

من أجل إضافة مصفوفتين، من الضروري إضافة العناصر المقابلة لمصفوفة أخرى إلى عناصر مصفوفة واحدة:

(1.10)
عملية إضافة المصفوفة لها خصائص الترابط والإبدال.

مثال 1.7. .

ضرب المصفوفة.

إذا كان عدد أعمدة المصفوفة أيتزامن مع عدد صفوف المصفوفة في، ثم يتم تقديم عملية الضرب لمثل هذه المصفوفات:

2

وهكذا، عند ضرب المصفوفة أأبعاد م´ نإلى المصفوفة فيأبعاد ن´ كنحصل على مصفوفة معأبعاد م´ ك. في هذه الحالة، عناصر المصفوفة معيتم حسابها باستخدام الصيغ التالية:

المشكلة 1.8.أوجد حاصل ضرب المصفوفات إن أمكن أ.بو بكالوريوس.:

حل. 1) من أجل العثور على عمل أ.ب، أنت بحاجة إلى صفوف المصفوفة أاضرب بأعمدة المصفوفة ب:

2) العمل بكالوريوس.غير موجود، وذلك لأن عدد أعمدة المصفوفة بلا يتطابق مع عدد صفوف المصفوفة أ.

مصفوفة معكوسة. حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طريقة المصفوفة

مصفوفة أ- 1 يسمى معكوس المصفوفة المربعة أ، إذا تم استيفاء المساواة:

حيث من خلال أنايشير إلى مصفوفة الهوية بنفس ترتيب المصفوفة أ:

.

لكي يكون للمصفوفة المربعة معكوس، من الضروري والكافي أن يكون محددها مختلفا عن الصفر. تم العثور على المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة:

, (1.13)

أين ا ج- الإضافات الجبرية للعناصر آي جيالمصفوفات أ(لاحظ أن الإضافات الجبرية إلى صفوف المصفوفة أتقع في المصفوفة العكسية على شكل أعمدة مقابلة).

مثال 1.9.أوجد المصفوفة العكسية أ- 1 إلى المصفوفة

.

نجد المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة (1.13)، والتي لهذه الحالة ن= 3 له النموذج:

.

دعونا نجد ديت أ = | أ| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. بما أن محدد المصفوفة الأصلية غير صفر، فإن المصفوفة العكسية موجودة.

1) البحث عن المكملات الجبرية ا ج:

لسهولة تحديد الموقع مصفوفة معكوسة، قمنا بوضع الإضافات الجبرية لصفوف المصفوفة الأصلية في الأعمدة المقابلة.

من الإضافات الجبرية التي تم الحصول عليها نقوم بتكوين مصفوفة جديدة ونقسمها على المحدد المحدد أ. وهكذا نحصل على المصفوفة العكسية:

يمكن حل الأنظمة التربيعية للمعادلات الخطية ذات المحدد الرئيسي غير الصفري باستخدام المصفوفة العكسية. للقيام بذلك، يتم كتابة النظام (1.5) في شكل مصفوفة:

أين

ضرب طرفي المساواة (1.14) من اليسار ب أ- 1- نحصل على حل النظام:

، أين

وبالتالي، من أجل إيجاد حل لنظام مربع، تحتاج إلى العثور على المصفوفة العكسية للمصفوفة الرئيسية للنظام وضربها على اليمين في مصفوفة الأعمدة ذات الحدود الحرة.

المشكلة 1.10.حل نظام المعادلات الخطية

باستخدام المصفوفة العكسية.

حل.لنكتب النظام على شكل مصفوفة : ,

أين - المصفوفة الرئيسية للنظام، - عمود المجهول و - عمود المصطلحات الحرة. منذ المحدد الرئيسي للنظام ثم المصفوفة الرئيسية للنظام ألديه مصفوفة معكوسة أ-1 . للعثور على المصفوفة العكسية أ-1 نحسب المكملات الجبرية لجميع عناصر المصفوفة أ:

من الأرقام التي تم الحصول عليها سنقوم بتكوين مصفوفة (وإضافات جبرية إلى صفوف المصفوفة أاكتبه في الأعمدة المناسبة) وقسمه على المحدد D. وبذلك نكون قد وجدنا المصفوفة العكسية:

نجد حل النظام باستخدام الصيغة (1.15):

هكذا،

حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طريقة الحذف الأردنية العادية

دعونا نعطي نظامًا تعسفيًا (ليس بالضرورة تربيعيًا) من المعادلات الخطية:

(1.16)

مطلوب إيجاد حل للنظام، أي. مثل هذه المجموعة من المتغيرات التي تحقق جميع مساواة النظام (1.16). في الحالة العامة، لا يمكن أن يحتوي النظام (1.16) على حل واحد فحسب، بل أيضًا على عدد لا يحصى من الحلول. وقد لا يكون لها حلول على الإطلاق.

عند حل مثل هذه المسائل يتم استخدام طريقة الدورة المدرسية المعروفة لإزالة المجهول، والتي تسمى أيضًا طريقة القضاء الأردنية العادية. جوهر هذه الطريقة هو أنه في إحدى معادلات النظام (1.16) يتم التعبير عن أحد المتغيرات بدلالة المتغيرات الأخرى. ثم يتم استبدال هذا المتغير بمعادلات أخرى في النظام. والنتيجة هي نظام يحتوي على معادلة واحدة ومتغير واحد أقل من النظام الأصلي. يتم تذكر المعادلة التي تم التعبير عن المتغير منها.

تتكرر هذه العملية حتى تبقى معادلة أخيرة في النظام. من خلال عملية حذف المجهولات، قد تصبح بعض المعادلات هويات حقيقية، على سبيل المثال. يتم استبعاد مثل هذه المعادلات من النظام لأنها تتحقق لأي قيم للمتغيرات وبالتالي لا تؤثر على حل النظام. إذا أصبحت معادلة واحدة على الأقل، أثناء عملية حذف المجهولات، مساواة لا يمكن تحقيقها لأي قيم للمتغيرات (على سبيل المثال)، فإننا نستنتج أن النظام ليس له حل.

إذا لم تنشأ معادلات متناقضة أثناء الحل، فيوجد أحد المتغيرات المتبقية فيه من المعادلة الأخيرة. إذا كان هناك متغير واحد فقط متبقي في المعادلة الأخيرة، فسيتم التعبير عنه كرقم. إذا بقيت متغيرات أخرى في المعادلة الأخيرة، فإنها تعتبر معلمات، والمتغير المعبر عنه من خلالها سيكون دالة لهذه المعلمات. ثم يحدث ما يسمى بـ "الحركة العكسية". يتم استبدال المتغير الموجود في آخر معادلة متذكرة ويتم العثور على المتغير الثاني. ثم يتم استبدال المتغيرين الموجودين في المعادلة المحفوظة قبل الأخيرة ويتم إيجاد المتغير الثالث وهكذا حتى المعادلة المحفوظة الأولى.

ونتيجة لذلك، نحصل على حل للنظام. سيكون هذا الحل فريدًا إذا كانت المتغيرات الموجودة عبارة عن أرقام. إذا تم العثور على المتغير الأول، ثم جميع المتغيرات الأخرى، اعتمادًا على المعلمات، فسيكون لدى النظام عدد لا حصر له من الحلول (كل مجموعة من المعلمات تتوافق مع حل جديد). تسمى الصيغ التي تسمح لك بإيجاد حل لنظام ما اعتمادًا على مجموعة معينة من المعلمات بالحل العام للنظام.

مثال 1.11.

س

بعد حفظ المعادلة الأولى وبإحضار مصطلحات مماثلة في المعادلتين الثانية والثالثة نصل إلى النظام:

دعونا نعرب ذمن المعادلة الثانية ونعوض بها في المعادلة الأولى:

ولنتذكر المعادلة الثانية ومن الأولى نجدها ض:

وبالعمل إلى الوراء، نجد باستمرار ذو ض. للقيام بذلك، نعوض أولًا في المعادلة الأخيرة التي تذكرناها، حيث نجدها ذ:

.

ثم نعوض به في المعادلة الأولى المحفوظة حيث يمكننا العثور عليه س:

المشكلة 1.12.حل نظام المعادلات الخطية عن طريق حذف المجهولات:

. (1.17)

حل.دعونا نعبر عن المتغير من المعادلة الأولى سونعوض به في المعادلتين الثانية والثالثة:

.

دعونا نتذكر المعادلة الأولى

في هذا النظام تتعارض المعادلتان الأولى والثانية مع بعضهما البعض. بالفعل معربا ذ فنحصل على 14 = 17. وهذه المساواة لا تنطبق على أي قيم للمتغيرات س, ذ، و ض. وبالتالي فإن النظام (1.17) غير متناسق، أي. ليس لديه حل.

ونحن ندعو القراء إلى التحقق بأنفسهم من أن المحدد الرئيسي للنظام الأصلي (1.17) يساوي الصفر.

ولننظر إلى نظام يختلف عن النظام (1.17) بمدة حرة واحدة فقط.

المشكلة 1.13.حل نظام المعادلات الخطية عن طريق حذف المجهولات:

. (1.18)

حل.كما في السابق، نعبر عن المتغير من المعادلة الأولى سونعوض به في المعادلتين الثانية والثالثة:

.

دعونا نتذكر المعادلة الأولى وتقديم مصطلحات مماثلة في المعادلتين الثانية والثالثة. وصلنا للنظام:

تعبير ذمن المعادلة الأولى وتعويضها في المعادلة الثانية ، نحصل على الهوية 14 = 14، والتي لا تؤثر على حل النظام، وبالتالي يمكن استبعادها من النظام.

في المساواة الأخيرة التي تم تذكرها، المتغير ضسوف نعتبرها معلمة. نعتقد. ثم

دعونا نستبدل ذو ضفي أول المساواة وتذكرها والعثور عليها س:

.

وبالتالي فإن النظام (1.18) لديه عدد لا نهائي من الحلول، وأي حل يمكن إيجاده باستخدام الصيغ (1.19)، واختيار قيمة اختيارية للمعلمة ر:

(1.19)
لذا فإن حلول النظام، على سبيل المثال، هي مجموعات المتغيرات التالية (1؛ 2؛ 0)، (2؛ 26؛ 14)، إلخ. الصيغ (1.19) تعبر عن الحل العام (أي) للنظام (1.18) ).

في حالة أن النظام الأصلي (1.16) لديه ما يكفي عدد كبير منالمعادلات والمجاهيل، فإن الطريقة المشار إليها للتخلص من الأردن العادي تبدو مرهقة. ومع ذلك، فهو ليس كذلك. يكفي استخلاص خوارزمية لإعادة حساب معاملات النظام في خطوة واحدة منظر عاموصياغة حل المشكلة على شكل جداول خاصة بالأردن.

دعونا نعطي نظام الأشكال الخطية (المعادلات):

, (1.20)
أين س ي- المتغيرات المستقلة (المطلوبة)، آي جي- معاملات ثابتة
(أنا = 1, 2,…, م; ي = 1, 2,…, ن). الأجزاء الصحيحة من النظام ذ ط (أنا = 1, 2,…, م) يمكن أن تكون إما متغيرات (تابعة) أو ثوابت. والمطلوب إيجاد حلول لهذا النظام من خلال إزالة المجهول.

دعونا ننظر في العملية التالية، والتي تسمى من الآن فصاعدا "خطوة واحدة من عمليات التصفية العادية للأردن". من التعسفي ( صث) المساواة نعبر عن متغير تعسفي ( xs) واستبدالها في جميع المساواة الأخرى. وبطبيعة الحال، هذا ممكن فقط إذا روبية¹ 0. المعامل روبيةيُطلق عليه عنصر الحل (أحيانًا التوجيهي أو الرئيسي).

سوف نحصل على النظام التالي :

. (1.21)

من س- مساواة النظام (1.21) ونجد بعد ذلك المتغير xs(بعد العثور على المتغيرات المتبقية). سيتم تذكر السطر -th ثم استبعاده من النظام. سيحتوي النظام المتبقي على معادلة واحدة ومتغير واحد أقل استقلالية من النظام الأصلي.

فلنحسب معاملات النظام الناتج (1.21) من خلال معاملات النظام الأصلي (1.20). دعنا نبدء ب صالمعادلة الرابعة والتي بعد التعبير عن المتغير xsومن خلال المتغيرات المتبقية سيبدو كما يلي:

وبالتالي فإن المعاملات الجديدة صيتم حساب المعادلات باستخدام الصيغ التالية:

(1.23)
دعونا الآن نحسب المعاملات الجديدة ب ي(أنا¹ ص) من معادلة تعسفية. للقيام بذلك، دعونا نعوض بالمتغير المعبر عنه بـ (1.22) xsالخامس أناالمعادلة الرابعة للنظام (1.20):

وبعد جلب المصطلحات المتشابهة نحصل على:

(1.24)
ومن المساواة (1.24) نحصل على صيغ يتم من خلالها حساب المعاملات المتبقية للنظام (1.21) (باستثناء صالمعادلة الرابعة):

(1.25)
يتم عرض تحويل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة الحذف الأردني العادي على شكل جداول (مصفوفات). تسمى هذه الجداول "جداول الأردن".

وبذلك ترتبط المشكلة (1.20) بجدول الأردن التالي:

الجدول 1.1

	س 1	س 2	…	س ي	…	xs	…	س ن
ذ 1 =	أ 11	أ 12		أ 1ي		أ 1س		أ 1ن
…………………………………………………………………..
ذ ط=	أ 1	أ 2		آي جي		هو		في
…………………………………………………………………..
ص ص=	ص 1	ص 2		آر جي		روبية		آرن
………………………………………………………………….
ذ ن=	أكون 1	أكون 2		مللي جي		مللي		دقيقة

يحتوي جدول الأردن 1.1 على عمود رأسي أيسر تكتب فيه الأجزاء اليمنى من النظام (1.20) وصف رأس علوي تكتب فيه المتغيرات المستقلة.

تشكل العناصر المتبقية من الجدول المصفوفة الرئيسية لمعاملات النظام (1.20). إذا قمت بضرب المصفوفة أإلى المصفوفة التي تتكون من عناصر صف العنوان العلوي، تحصل على مصفوفة تتكون من عناصر عمود العنوان الأيسر. أي أن جدول الأردن هو في الأساس شكل مصفوفة لكتابة نظام من المعادلات الخطية: . النظام (1.21) يتوافق مع جدول الأردن التالي:

الجدول 1.2

	س 1	س 2	…	س ي	…	ص ص	…	س ن
ذ 1 =	ب 11	ب 12		ب 1 ي		ب 1 س		ب 1 ن
…………………………………………………………………..
ذ أنا =	ب ط 1	ب ط 2		ب ي		ب هو		سلة مهملات
…………………………………………………………………..
س س =	ب ر 1	ب ر 2		ب آر جي		ب روبية		brn
………………………………………………………………….
ص ن =	بي ام 1	بي ام 2		ب مج		bms		ب مليون

العنصر المسموح روبية وسوف نسلط الضوء عليها بالخط العريض. تذكر أنه لتنفيذ خطوة واحدة من إزالة الأردن، يجب أن يكون عنصر الحل غير صفر. يسمى صف الجدول الذي يحتوي على عنصر التمكين بصف التمكين. يسمى العمود الذي يحتوي على عنصر التمكين عمود التمكين. عند الانتقال من جدول معين إلى الجدول التالي، متغير واحد ( xs) من صف الرأس العلوي للجدول يتم نقله إلى عمود الرأس الأيسر، وعلى العكس من ذلك، يتم نقل أحد الأعضاء الأحرار في النظام ( ص ص) ينتقل من عمود الرأس الأيسر للجدول إلى صف الرأس العلوي.

دعونا نصف خوارزمية إعادة حساب المعاملات عند الانتقال من جدول الأردن (1.1) إلى الجدول (1.2) الذي يتبع الصيغتين (1.23) و (1.25).

1. يتم استبدال عنصر الحل بالرقم العكسي:

2. يتم تقسيم العناصر المتبقية من سلسلة الحل إلى عنصر الحل وتغيير الإشارة إلى العكس:

3. يتم تقسيم العناصر المتبقية من عمود الدقة إلى عنصر الدقة:

4. تتم إعادة حساب العناصر غير المضمنة في صف السماح وعمود السماح باستخدام الصيغ:

من السهل تذكر الصيغة الأخيرة إذا لاحظت أن العناصر التي يتكون منها الكسر ، عند التقاطع أنا-أوه و صالخطوط ال و يعشر و سالأعمدة (حل الصف، وحل العمود، والصف والعمود عند التقاطع الذي يقع فيه العنصر المعاد حسابه). بتعبير أدق، عند حفظ الصيغة يمكنك استخدام الرسم البياني التالي:

-21 -26 -13 -37

عند تنفيذ الخطوة الأولى من استثناءات الأردن، يمكنك تحديد أي عنصر من عناصر الجدول 1.3 الموجود في الأعمدة كعنصر حل س 1 ,…, س 5 (جميع العناصر المحددة ليست صفراً). فقط لا تحدد عنصر التمكين في العمود الأخير، لأنه تحتاج إلى العثور على متغيرات مستقلة س 1 ,…, س 5 . على سبيل المثال، نختار المعامل 1 مع متغير س 3 في السطر الثالث من الجدول 1.3 (يظهر عنصر التمكين بالخط العريض). عند الانتقال إلى الجدول 1.4، المتغير سيتم تبديل الرقم 3 من صف الرأس العلوي بالثابت 0 من عمود الرأس الأيسر (الصف الثالث). في هذه الحالة المتغير سيتم التعبير عن 3 من خلال المتغيرات المتبقية.

خيط س 3 (الجدول 1.4) يمكن استبعادها من الجدول 1.4 بعد التذكر المسبق. يتم أيضًا استبعاد العمود الثالث الذي يحتوي على صفر في سطر العنوان العلوي من الجدول 1.4. النقطة المهمة هي أنه بغض النظر عن معاملات عمود معين ب ط 3 جميع الحدود المقابلة لكل معادلة 0 ب ط 3 أنظمة ستكون تساوي الصفر. ولذلك، لا يلزم حساب هذه المعاملات. القضاء على متغير واحد س 3 وبتذكر إحدى المعادلات، نصل إلى النظام المقابل للجدول 1.4 (مع شطب الخط س 3). الاختيار في الجدول 1.4 كعنصر حل ب 14 = -5، اذهب إلى الجدول 1.5. في الجدول 1.5، تذكر الصف الأول واستبعده من الجدول مع العمود الرابع (مع وجود صفر في الأعلى).

الجدول 1.5 الجدول 1.6

ومن الجدول الأخير 1.7 نجد: س 1 = - 3 + 2س 5 .

باستبدال المتغيرات الموجودة بالفعل في الأسطر التي تم تذكرها باستمرار، نجد المتغيرات المتبقية:

وبالتالي فإن النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول. عامل س 5، يمكن تعيين قيم تعسفية. يعمل هذا المتغير كمعلمة س 5 = ر. لقد أثبتنا توافق النظام ووجدناه قرار مشترك:

س 1 = - 3 + 2ر

س 2 = - 1 - 3ر

س 3 = - 2 + 4ر . (1.27)
س 4 = 4 + 5ر

س 5 = ر

إعطاء المعلمة ر معان مختلفةفسنحصل على عدد لا نهائي من الحلول للنظام الأصلي. لذلك، على سبيل المثال، حل النظام هو مجموعة المتغيرات التالية (- 3؛ - 1؛ - 2؛ 4؛ 0).

طُرق كرامرو غاوس- إحدى طرق الحل الأكثر شعبية SLAU. بالإضافة إلى ذلك، يُنصح في بعض الحالات باستخدام طرق محددة. لقد انتهت الجلسة، والآن هو الوقت المناسب لتكرارها أو إتقانها من البداية. اليوم سنلقي نظرة على الحل باستخدام طريقة كريمر. بعد كل شيء، يعد حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة كرامر مهارة مفيدة للغاية.

أنظمة المعادلات الجبرية الخطية

النظام الخطي المعادلات الجبرية– نظام المعادلات من النموذج:

مجموعة القيمة س والتي تتحول فيها معادلات النظام إلى متطابقات، ويسمى حل النظام، أ و ب هي معاملات حقيقية. يمكن حل نظام بسيط يتكون من معادلتين بمجهولين في رأسك أو عن طريق التعبير عن متغير واحد بدلالة الآخر. ولكن من الممكن أن يكون هناك أكثر من متغيرين (xes) في SLAE، وهنا لا تكون التلاعبات المدرسية البسيطة كافية. ما يجب القيام به؟ على سبيل المثال، قم بحل SLAEs باستخدام طريقة Cramer!

لذا، دع النظام يتكون من ن المعادلات مع ن مجهول.

يمكن إعادة كتابة مثل هذا النظام في شكل مصفوفة

هنا أ - المصفوفة الرئيسية للنظام، X و ب على التوالي، مصفوفات الأعمدة ذات المتغيرات غير المعروفة والمصطلحات الحرة.

حل SLAEs باستخدام طريقة كرامر

إذا كان محدد المصفوفة الرئيسية لا يساوي الصفر (المصفوفة غير مفردة)، فيمكن حل النظام باستخدام طريقة كرامر.

وفقا لطريقة كريمر، تم إيجاد الحل باستخدام الصيغ:

هنا دلتا هو المحدد للمصفوفة الرئيسية، و دلتا س ن - المحدد الذي يتم الحصول عليه من محدد المصفوفة الرئيسية عن طريق استبدال العمود ن بعمود المصطلحات الحرة.

هذا هو جوهر طريقة كريمر. استبدال القيم الموجودة باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه س في النظام المطلوب، نحن مقتنعون بصحة (أو العكس) حلنا. ولمساعدتك على فهم الجوهر بسرعة، نقدم أدناه مثالاً لحل تفصيلي لـ SLAE باستخدام طريقة Cramer:

حتى لو لم تنجح في المرة الأولى، فلا تثبط عزيمتك! مع القليل من الممارسة، سوف تبدأ في كسر وحدات SLAU مثل المكسرات. علاوة على ذلك، الآن ليس من الضروري على الإطلاق التنقيب في دفتر الملاحظات، وحل الحسابات المرهقة وكتابة النواة. يمكنك بسهولة حل SLAEs باستخدام طريقة Cramer عبر الإنترنت، فقط عن طريق استبدال المعاملات في النموذج النهائي. جربها آلة حاسبة على الانترنتيمكن العثور على الحلول باستخدام طريقة كرامر، على سبيل المثال، على هذا الموقع.

وإذا تبين أن النظام عنيد ولا يستسلم، فيمكنك دائما الاتصال بمؤلفينا للحصول على المساعدة، على سبيل المثال،. إذا كان هناك ما لا يقل عن 100 مجهول في النظام، فسنقوم بالتأكيد بحلها بشكل صحيح وفي الوقت المحدد!

تناولنا في الجزء الأول بعض المواد النظرية، وطريقة التعويض، بالإضافة إلى طريقة جمع معادلات النظام حداً تلو الآخر. وأوصي كل من دخل الموقع من خلال هذه الصفحة بقراءة الجزء الأول. ربما يجد بعض الزوار أن المادة بسيطة للغاية، ولكن في عملية حل أنظمة المعادلات الخطية، قدمت عددًا من التعليقات والاستنتاجات المهمة جدًا فيما يتعلق بحل المشكلات الرياضية بشكل عام.

سنقوم الآن بتحليل قاعدة كرامر، وكذلك حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام المصفوفة العكسية (طريقة المصفوفة). يتم تقديم جميع المواد ببساطة وتفصيل ووضوح، وسيتمكن جميع القراء تقريبًا من تعلم كيفية حل الأنظمة باستخدام الطرق المذكورة أعلاه.

أولاً، سوف نلقي نظرة فاحصة على قاعدة كرامر لنظام مكون من معادلتين خطيتين في مجهولين. لماذا؟ - بعد كل ذلك أبسط نظاميمكن حلها باستخدام الطريقة المدرسية، طريقة إضافة مصطلح على حدة!

والحقيقة هي أنه، وإن كان في بعض الأحيان، تحدث مثل هذه المهمة - لحل نظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين باستخدام صيغ كريمر. ثانيًا، سيساعدك مثال أبسط على فهم كيفية استخدام قاعدة كرامر في حالة أكثر تعقيدًا - نظام من ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل.

بالإضافة إلى ذلك، هناك أنظمة معادلات خطية ذات متغيرين، والتي يُنصح بحلها باستخدام قاعدة كرامر!

النظر في نظام المعادلات

في الخطوة الأولى، نحسب المحدد، ويسمى المحدد الرئيسي للنظام.

طريقة غاوس.

إذا، فإن النظام لديه حل فريد، ولإيجاد الجذور يجب علينا حساب محددين آخرين:
و

ومن الناحية العملية، يمكن أيضًا الإشارة إلى التصفيات المذكورة أعلاه حرف لاتيني.

نجد جذور المعادلة باستخدام الصيغ:
,

مثال 7

حل نظام المعادلات الخطية

حل: نرى أن معاملات المعادلة كبيرة جدًا، وعلى الجانب الأيمن يوجد الكسور العشريةمع فاصلة. الفاصلة هي ضيف نادر إلى حد ما في المهام العملية في الرياضيات، لقد أخذت هذا النظام من مشكلة الاقتصاد القياسي.

كيفية حل مثل هذا النظام؟ يمكنك محاولة التعبير عن متغير واحد بدلالة متغير آخر، ولكن في هذه الحالة، من المحتمل أن ينتهي بك الأمر إلى الحصول على كسور رهيبة غير مريحة للغاية للعمل معها، وسيبدو تصميم الحل فظيعًا بكل بساطة. يمكنك ضرب المعادلة الثانية في 6 وطرح حد تلو الآخر، لكن نفس الكسور ستظهر هنا أيضًا.

ما يجب القيام به؟ في مثل هذه الحالات، تأتي صيغ كريمر للإنقاذ.

;

;

إجابة: ,

كلا الجذرين لهما ذيول لا نهائية ويوجدان بشكل تقريبي، وهو أمر مقبول تمامًا (وحتى شائع) لمسائل الاقتصاد القياسي.

ليست هناك حاجة للتعليقات هنا، حيث يتم حل المهمة باستخدام الصيغ الجاهزة، ولكن هناك تحذير واحد. متى يجب استخدام هذه الطريقة, إلزاميجزء من تصميم المهمة هو الجزء التالي: "وهذا يعني أن النظام لديه حل فريد". وإلا فقد يعاقبك المراجع بسبب عدم احترام نظرية كرامر.

لن يكون من غير الضروري التحقق مما هو مناسب لتنفيذه على الآلة الحاسبة: فنحن نستبدل القيم التقريبية في الجهه اليسرىكل معادلة للنظام. ونتيجة لذلك، مع وجود خطأ بسيط، يجب أن تحصل على الأرقام الموجودة على الجانبين الأيمن.

مثال 8

قدّم الإجابة في صورة كسور عادية غير حقيقية. قم بالفحص.

وهذا مثال عليك حله بنفسك (مثال للتصميم النهائي والإجابة في نهاية الدرس).

دعنا ننتقل إلى النظر في قاعدة كرامر لنظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجهولين:

نجد المحدد الرئيسي للنظام:

إذا كان النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول أو أنه غير متناسق (ليس لديه حلول). في هذه الحالة، لن تساعد قاعدة كرامر، فأنت بحاجة إلى استخدام طريقة غاوس.

إذا، فإن النظام لديه حل فريد ولإيجاد الجذور يجب علينا حساب ثلاثة محددات أخرى:
, ,

وأخيرًا، يتم حساب الإجابة باستخدام الصيغ:

كما ترون، فإن حالة "ثلاثة في ثلاثة" لا تختلف بشكل أساسي عن حالة "اثنان في اثنين"، حيث "يسير" عمود المصطلحات الحرة بالتتابع من اليسار إلى اليمين على طول أعمدة المحدد الرئيسي.

مثال 9

حل النظام باستخدام صيغ كرامر.

حل: دعونا نحل النظام باستخدام صيغ كرامر.

مما يعني أن النظام لديه حل فريد.

إجابة: .

في الواقع، هنا مرة أخرى لا يوجد شيء خاص للتعليق عليه، نظرًا لأن الحل يتبع الصيغ الجاهزة. ولكن هناك بضعة تعليقات.

يحدث أنه نتيجة للحسابات يتم الحصول على كسور "سيئة" غير قابلة للاختزال، على سبيل المثال: .
أوصي بخوارزمية "العلاج" التالية. إذا لم يكن لديك جهاز كمبيوتر في متناول اليد، فافعل ما يلي:

1) قد يكون هناك خطأ في الحسابات. بمجرد أن تواجه جزءًا "سيئًا"، عليك التحقق على الفور هل تمت إعادة كتابة الشرط بشكل صحيح؟. إذا تمت إعادة كتابة الشرط دون أخطاء، فأنت بحاجة إلى إعادة حساب المحددات باستخدام التوسع في صف آخر (عمود).

2) إذا لم يتم تحديد أي أخطاء نتيجة للتدقيق، فمن المرجح أن يكون هناك خطأ مطبعي في شروط المهمة. في هذه الحالة، بهدوء وحذر، قم بتنفيذ المهمة حتى النهاية، وبعد ذلك تأكد من التحققونخرجها بشباك نظيفة بعد القرار. بالطبع، يعد التحقق من الإجابة الكسرية مهمة غير سارة، ولكنها ستكون حجة مقنعة للمعلم، الذي يحب حقًا إعطاء علامة ناقص لأي هراء مثل . كيفية التعامل مع الكسور موصوفة بالتفصيل في إجابة المثال 8.

إذا كان لديك جهاز كمبيوتر في متناول اليد، فاستخدم برنامجا آليا للتحقق، والذي يمكن تنزيله مجانا في بداية الدرس. بالمناسبة، من الأكثر ربحية استخدام البرنامج على الفور (حتى قبل بدء الحل)، وسترى على الفور الخطوة الوسيطة التي ارتكبت فيها خطأ! تقوم نفس الآلة الحاسبة تلقائيًا بحساب حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة.

الملاحظة الثانية. بين الحين والآخر توجد أنظمة في المعادلات تفتقد بعض المتغيرات، على سبيل المثال:

هنا في المعادلة الأولى لا يوجد متغير، وفي الثانية لا يوجد متغير. في مثل هذه الحالات، من المهم جدًا كتابة المحدد الرئيسي بشكل صحيح وبعناية:
– يتم وضع الأصفار بدلاً من المتغيرات المفقودة.
بالمناسبة، من المنطقي فتح المحددات بالأصفار وفقًا للصف (العمود) الذي يوجد فيه الصفر، نظرًا لوجود عدد أقل بشكل ملحوظ من الحسابات.

مثال 10

حل النظام باستخدام صيغ كرامر.

وهذا مثال لحل مستقل (عينة من التصميم النهائي والإجابة في نهاية الدرس).

في حالة وجود نظام من 4 معادلات مع 4 صيغ غير معروفةتتم كتابة سجلات كرامر وفقًا لمبادئ مماثلة. يمكنك مشاهدة مثال حي في الدرس خصائص المحددات. تقليل ترتيب المحدد - خمسة محددات من الدرجة الرابعة قابلة للحل تمامًا. على الرغم من أن المهمة تذكرنا بالفعل بحذاء الأستاذ على صدر طالب محظوظ.

حل النظام باستخدام مصفوفة معكوسة

طريقة المصفوفة العكسية هي في الأساس حالة خاصة معادلة المصفوفة(أنظر المثال رقم 3 من الدرس المخصص).

لدراسة هذا القسم، يجب أن تكون قادرًا على توسيع المحددات، وإيجاد معكوس المصفوفة، وإجراء ضرب المصفوفات. سيتم توفير الروابط ذات الصلة مع تقدم التوضيحات.

مثال 11

حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة

حل: لنكتب النظام في شكل مصفوفة:
، أين

يرجى إلقاء نظرة على نظام المعادلات والمصفوفات. أعتقد أن الجميع يفهم المبدأ الذي نكتب به العناصر في المصفوفات. التعليق الوحيد: إذا كانت بعض المتغيرات مفقودة من المعادلات، فيجب وضع الأصفار في الأماكن المقابلة في المصفوفة.

نجد المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة:
، أين المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

أولا، دعونا ننظر إلى المحدد:

هنا يتم توسيع المحدد في السطر الأول.

انتباه! إذا كانت المصفوفة العكسية غير موجودة، ومن المستحيل حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة. في هذه الحالة يتم حل النظام بطريقة حذف المجهولات (طريقة غاوس).

نحن الآن بحاجة إلى حساب 9 قاصرين وكتابتهم في مصفوفة القصر

مرجع:من المفيد معرفة معنى الحروف المزدوجة في الجبر الخطي. الرقم الأول هو رقم السطر الذي يقع فيه العنصر. الرقم الثاني هو رقم العمود الذي يقع فيه العنصر:

أي أن الحرف المزدوج يشير إلى أن العنصر موجود في الصف الأول والعمود الثالث، وعلى سبيل المثال، العنصر موجود في 3 صفوف وعمودين

مع نفس عدد المعادلات مثل عدد المجهولين مع المحدد الرئيسي للمصفوفة، والذي لا يساوي الصفر، معاملات النظام (لمثل هذه المعادلات يوجد حل وهناك واحد فقط).

نظرية كريمر.

عندما تكون محدد مصفوفة النظام المربع غير صفر فهذا يعني أن النظام متسق وله حل واحد ويمكن إيجاده عن طريق صيغ كريمر:

حيث Δ - محدد مصفوفة النظام,

Δ أناهو المحدد لمصفوفة النظام، حيث بدلا من أنايحتوي العمود الرابع على عمود الجوانب اليمنى.

عندما يكون محدد النظام صفراً، فهذا يعني أن النظام يمكن أن يصبح متعاوناً أو غير متوافق.

تُستخدم هذه الطريقة عادةً للأنظمة الصغيرة ذات الحسابات الشاملة وإذا كان من الضروري تحديد أحد العناصر المجهولة. تعقيد الطريقة هو أنه يجب حساب العديد من المحددات.

وصف طريقة كرامر.

هناك نظام المعادلات:

يمكن حل نظام من ثلاث معادلات باستخدام طريقة كرامر، والتي تمت مناقشتها أعلاه لنظام من معادلتين.

نؤلف محددًا من معاملات المجهول:

سيكون ذلك محدد النظام. متى د≠0مما يعني أن النظام متسق. لنقم الآن بإنشاء 3 محددات إضافية:

,,

نحن نحل النظام عن طريق صيغ كريمر:

أمثلة على حل أنظمة المعادلات باستخدام طريقة كرامر.

مثال 1.

النظام المعطى:

دعونا نحلها باستخدام طريقة كريمر.

تحتاج أولاً إلى حساب محدد مصفوفة النظام:

لأن Δ≠0، مما يعني أنه من نظرية كرامر يكون النظام متسقًا وله حل واحد. نحسب محددات إضافية. يتم الحصول على المحدد Δ 1 من المحدد Δ عن طريق استبدال عموده الأول بعمود من المعاملات الحرة. نحن نحصل:

بنفس الطريقة، نحصل على محدد Δ 2 من محدد مصفوفة النظام عن طريق استبدال العمود الثاني بعمود من المعاملات الحرة: