وسوف نستمر في تلميع التكنولوجيا لدينا التحولات الأوليةعلى نظام متجانس المعادلات الخطية .
بناءً على الفقرات الأولى، قد تبدو المادة مملة ومتوسطة، لكن هذا الانطباع خادع. بالإضافة إلى مزيد من التطوير للتقنيات التقنية، سيكون هناك الكثير معلومات جديدةلذا يرجى محاولة عدم إهمال الأمثلة الواردة في هذه المقالة.

ما هو نظام متجانس من المعادلات الخطية؟

الجواب يقترح نفسه. نظام المعادلات الخطية متجانس إذا كان الحد الحر الجميعمعادلة النظام هي صفر. على سبيل المثال:

ومن الواضح تماما أن النظام المتجانس دائمًا متسقأي أن لديه دائمًا حلًا. وقبل كل شيء، ما يلفت انتباهك هو ما يسمى تافهحل . التافهة، لمن لا يفهم معنى الصفة مطلقًا، تعني بدون رياء. ليس أكاديميًا بالطبع، ولكن بشكل واضح =) ... لماذا نلتف حول الأمر، دعنا نكتشف ما إذا كان لهذا النظام أي حلول أخرى:

مثال 1

حل: لحل نظام متجانس لا بد من الكتابة مصفوفة النظاموبمساعدة التحولات الأولية، قم بإحضارها إلى شكل تدريجي. يرجى ملاحظة أنه ليست هناك حاجة هنا لكتابة الشريط العمودي والعمود الصفري للمصطلحات المجانية - بعد كل شيء، بغض النظر عما تفعله بالأصفار، ستبقى أصفارًا:

(1) أضيف السطر الأول إلى السطر الثاني مضروبا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث مضروبًا في -3.

(2) أضيف السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في -1.

تقسيم السطر الثالث على 3 ليس له معنى كبير.

نتيجة للتحولات الأولية، يتم الحصول على نظام متجانس مكافئ وباستخدام معكوس الطريقة الغوسية، من السهل التحقق من أن الحل فريد.

إجابة:

دعونا صياغة معيار واضح: وجود نظام متجانس من المعادلات الخطية مجرد حل تافه، لو رتبة مصفوفة النظام(في هذه الحالة 3) يساوي عدد المتغيرات (في هذه الحالة – ​​3 قطع).

دعونا نقوم بالإحماء وضبط الراديو الخاص بنا على موجة التحولات الأولية:

مثال 2

حل نظام متجانس من المعادلات الخطية

لتوحيد الخوارزمية أخيرًا، دعنا نحلل المهمة النهائية:

مثال 7

حل نظامًا متجانسًا، واكتب الإجابة على الصورة المتجهة.

حل: دعونا نكتب مصفوفة النظام، وباستخدام التحويلات الأولية، نجعلها في شكل تدريجي:

(١) تم تغيير علامة السطر الأول. مرة أخرى، أود أن ألفت الانتباه إلى التقنية التي تمت مواجهتها عدة مرات، والتي تتيح لك تبسيط الإجراء التالي بشكل كبير.

(١) أضيف السطر الأول إلى السطرين الثاني والثالث. تمت إضافة السطر الأول مضروبًا في 2 إلى السطر الرابع.

(٣) الأسطر الثلاثة الأخيرة متناسبة، وقد حذف منها اثنان.

ونتيجة لذلك، يتم الحصول على مصفوفة الخطوة القياسية، ويستمر الحل على طول المسار المخرش:

- المتغيرات الأساسية؛
– المتغيرات الحرة .

دعونا نعبر عن المتغيرات الأساسية بدلالة المتغيرات الحرة. من المعادلة الثانية :

- عوض في المعادلة الأولى :

إذن الحل العام هو:

بما أنه يوجد في المثال قيد النظر ثلاثة متغيرات حرة، فإن النظام الأساسي يحتوي على ثلاثة متجهات.

دعونا نستبدل ثلاثية من القيم في الحل العام واحصل على متجه تلبي إحداثياته ​​كل معادلة من معادلة النظام المتجانس. ومرة أخرى، أكرر أنه من المستحسن للغاية التحقق من كل ناقل تم استلامه - لن يستغرق الأمر الكثير من الوقت، ولكنه سيحميك تمامًا من الأخطاء.

لثلاثية من القيم العثور على ناقلات

وأخيرا بالنسبة للثلاثة نحصل على المتجه الثالث:

إجابة: ، أين

أولئك الذين يرغبون في تجنب القيم الكسرية قد يفكرون في ثلاثة توائم واحصل على إجابة بصيغة مكافئة:

الحديث عن الكسور. دعونا نلقي نظرة على المصفوفة التي تم الحصول عليها في المشكلة ودعونا نسأل أنفسنا: هل من الممكن تبسيط الحل الإضافي؟ بعد كل شيء، هنا قمنا أولاً بالتعبير عن المتغير الأساسي من خلال الكسور، ثم من خلال الكسور المتغير الأساسي، ويجب أن أقول إن هذه العملية لم تكن الأبسط وليست الأكثر متعة.

الحل الثاني:

الفكرة هي المحاولة اختر متغيرات أساسية أخرى. دعونا نلقي نظرة على المصفوفة ونلاحظ وجود اثنتين منها في العمود الثالث. فلماذا لا يكون هناك صفر في الأعلى؟ لنقم بإجراء تحويل أولي آخر:

مثال 1. ابحث عن حل عام وبعض الحلول الأساسية للنظام

حلتجد باستخدام الآلة الحاسبة. خوارزمية الحل هي نفسها بالنسبة للأنظمة الخطية معادلات متجانسة.
بالعمل فقط مع الصفوف، نجد رتبة المصفوفة، قاصر الأساسية; نعلن عن المجهولات التابعة والحرة ونجد حلاً عامًا.

السطران الأول والثاني متناسبان، فلنشطب أحدهما:

.
المتغيرات التابعة – x 2, x 3, x 5, free – x 1, x 4. من المعادلة الأولى 10x5 = 0 نجد x 5 = 0 إذن
; .
الحل العام هو :

نجد نظامًا أساسيًا للحلول يتكون من حلول (n-r). في حالتنا، n=5، r=3، فإن النظام الأساسي للحلول يتكون من حلين، ويجب أن تكون هذه الحلول مستقلة خطيًا. لكي تكون الصفوف مستقلة خطيا، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة المكونة من عناصر الصفوف مساوية لعدد الصفوف، أي 2. ويكفي إعطاء المجهولات الحرة x 1 و قيم x 4 من صفوف المحدد الثاني غير الصفر، واحسب x 2 , x 3 , x 5 . أبسط محدد غير الصفر هو .
إذن الحل الأول هو: ، ثانية - .
يشكل هذان القراران نظامًا أساسيًا للقرارات. لاحظ أن النظام الأساسي ليس فريدًا (يمكنك إنشاء أي عدد تريده من المحددات غير الصفرية).

مثال 2. أوجد الحل العام والنظام الأساسي لحلول النظام
حل.



,
ويترتب على ذلك أن رتبة المصفوفة هي 3 و يساوي العددمجهول. وهذا يعني أن النظام لا يحتوي على مجاهيل مجانية، وبالتالي لديه حل فريد - حل تافه.

يمارس . استكشاف وحل نظام المعادلات الخطية.
مثال 4

يمارس . إيجاد الحلول العامة والخاصة لكل نظام.
حل.لنكتب المصفوفة الرئيسية للنظام:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
× 1	× 2	× 3	× 4	× 5

دعونا نختصر المصفوفة إلى الشكل الثلاثي. سنتعامل مع الصفوف فقط، حيث أن ضرب صف مصفوفة برقم غير الصفر وإضافته إلى صف آخر للنظام يعني ضرب المعادلة بنفس الرقم وإضافتها إلى معادلة أخرى، وهو ما لا يغير حل المعادلة. نظام.
اضرب السطر الثاني بـ (-5). دعنا نضيف السطر الثاني إلى الأول:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

دعونا نضرب السطر الثاني في (6). اضرب السطر الثالث بـ (-1). دعنا نضيف السطر الثالث إلى الثاني:
دعونا نجد رتبة المصفوفة.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
× 1	× 2	× 3	× 4	× 5

القاصر المحدد لديه أعلى ترتيب (من القاصرين المحتملين) وهو غير صفر (هو يساوي منتج العناصر على القطر العكسي)، وبالتالي رن (A) = 2.
هذا القاصر أساسي. يتضمن معاملات للمجهول x 1 , x 2 , مما يعني أن المجهولات x 1 , x 2 تابعة (أساسية) و x 3 , x 4 , x 5 مجانية.
لنقم بتحويل المصفوفة، مع ترك الأساس الثانوي فقط على اليسار.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
× 1	× 2	× 4	× 3	× 5

النظام ذو معاملات هذه المصفوفة يعادل النظام الأصلي وله الشكل:
22×2 = 14×4 - × 3 - 24×5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
باستخدام طريقة القضاء على المجهولين نجد حل غير تافهة:
حصلنا على علاقات تعبر عن المتغيرات التابعة x 1 , x 2 من خلال المتغيرات الحرة x 3 , x 4 , x 5 , أي أننا وجدنا قرار مشترك:
× 2 = 0.64×4 - 0.0455×3 - 1.09×5
× 1 = - 0.55×4 - 1.82×3 - 0.64×5
نجد نظامًا أساسيًا للحلول يتكون من حلول (n-r).
في حالتنا، n=5، r=2، فإن النظام الأساسي للحلول يتكون من 3 حلول، ويجب أن تكون هذه الحلول مستقلة خطيًا.
لكي تكون الصفوف مستقلة خطيا، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة المكونة من عناصر الصف مساوية لعدد الصفوف، أي 3.
يكفي إعطاء القيم الحرة المجهولة x 3 , x 4 , x 5 من سطور المحدد الثالث غير الصفر وحساب x 1 , x 2 .
أبسط محدد غير الصفر هو مصفوفة الهوية.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

مهمة . أوجد مجموعة أساسية من الحلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية.

المصفوفات المعطاة

البحث عن: 1) أأ - ب ب،

حل: 1) نجدها بالتسلسل باستخدام قواعد ضرب المصفوفة في عدد وإضافة المصفوفات..

2. ابحث عن A*B إذا

حل: نستخدم قاعدة ضرب المصفوفات

إجابة:

3. لمصفوفة معينة، أوجد الصغرى M 31 واحسب المحدد.

حل: Minor M 31 هو محدد المصفوفة التي يتم الحصول عليها من A

بعد شطب السطر 3 والعمود 1. نجد

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

لنقم بتحويل المصفوفة A دون تغيير محددها (لنضع أصفارًا في الصف 1)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

الآن نحسب محدد المصفوفة A عن طريق التوسع على طول الصف 1

الجواب: م 31 = 0، ديتا = 0

حل باستخدام طريقة غاوس وطريقة كرامر.

2س 1 + س 2 + س 3 = 2

× 1 + × 2 + 3 × 3 = 6

2س 1 + س 2 + 2 س 3 = 5

حل: دعونا تحقق

يمكنك استخدام طريقة كريمر

حل النظام: x 1 = D 1 / D = 2، x 2 = D 2 / D = -5، x 3 = D 3 / D = 3

دعونا نطبق الطريقة الغوسية.

دعونا نختصر المصفوفة الموسعة للنظام إلى الشكل الثلاثي.

لسهولة الحساب، دعونا نبدل الأسطر:

اضرب السطر الثاني في (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) وأضف إلى الثالث:

	1 / 2		7 / 2

اضرب السطر الأول بـ (k = -2 / 2 = -1 ) وأضف إلى الثاني:

الآن يمكن كتابة النظام الأصلي على النحو التالي:

× 1 = 1 - (1/2 × 2 + 1/2 × 3)

× 2 = 13 - (6×3)

من السطر الثاني نعبر

من السطر الأول نعبر

الحل هو نفسه.

الجواب: (2؛ -5؛ 3)

أوجد الحل العام للنظام وFSR

13×1 – 4×2 – × 3 – 4× 4 – 6× 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + س 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

حل: دعونا نطبق الطريقة الغوسية. دعونا نختصر المصفوفة الموسعة للنظام إلى الشكل الثلاثي.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
× 1	× 2	× 3	× 4	× 5

اضرب السطر الأول بـ (-11). اضرب السطر الثاني في (13). دعنا نضيف السطر الثاني إلى الأول:

	-2		-2	-3

اضرب السطر الثاني بـ (-5). دعونا نضرب السطر الثالث في (11). دعنا نضيف السطر الثالث إلى الثاني:

اضرب السطر الثالث بـ (-7). دعونا نضرب السطر الرابع في (5). دعنا نضيف السطر الرابع إلى الثالث:

المعادلة الثانية هي مزيج خطي من الآخرين

دعونا نجد رتبة المصفوفة.

	-18	-24	-18	-27
× 1	× 2	× 3	× 4	× 5

القاصر المحدد لديه أعلى ترتيب (من القاصرين المحتملين) وهو غير صفر (هو يساوي منتج العناصر على القطر العكسي)، وبالتالي رن (A) = 2.

هذا القاصر أساسي. يتضمن معاملات للمجهول x 1 , x 2 , مما يعني أن المجهولات x 1 , x 2 تابعة (أساسية) و x 3 , x 4 , x 5 مجانية.

النظام ذو معاملات هذه المصفوفة يعادل النظام الأصلي وله الشكل:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

باستخدام طريقة القضاء على المجهولين نجد قرار مشترك:

س 2 = - 4 / 3 × 3 - س 4 - 3 / 2 × 5

× 1 = - 1 / 3 × 3

نجد نظام الحلول الأساسي (FSD) والذي يتكون من حلول (n-r). في حالتنا، n=5، r=2، فإن النظام الأساسي للحلول يتكون من 3 حلول، ويجب أن تكون هذه الحلول مستقلة خطيًا.

لكي تكون الصفوف مستقلة خطيا، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة المكونة من عناصر الصف مساوية لعدد الصفوف، أي 3.

يكفي إعطاء القيم الحرة المجهولة x 3 , x 4 , x 5 من سطور المحدد الثالث غير الصفر وحساب x 1 , x 2 .

أبسط محدد غير الصفر هو مصفوفة الهوية.

لكن الأمر أكثر ملاءمة لأخذه هنا

نجد باستخدام الحل العام :

أ) × 3 = 6، × 4 = 0، × 5 = 0 Þ × 1 = - 1 / 3 × 3 = -2، × 2 = - 4 / 3 × 3 - × 4 - 3 / 2 × 5 = - 4 ص

قرار FSR: (-2; -4; 6; 0;0)

ب) × 3 = 0، × 4 = 6، × 5 = 0 Þ × 1 = - 1 / 3 × 3 = 0، × 2 = - 4 / 3 × 3 - × 4 - 3 / 2 × 5 = - 6 ذ

حل FSR الثاني: (0; -6; 0; 6;0)

ج) × 3 = 0، × 4 = 0، × 5 = 6 Þ × 1 = - 1/3 × 3 = 0، × 2 = - 4/3 × 3 - × 4 - 3/2 × 5 = -9 ذ

القرار الثالث لـ FSR: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. معطى: z 1 = -4 + 5i، z 2 = 2 – 4i. أوجد: أ) ض 1 – 2 ض 2 ب) ض 1 ض 2 ج) ض 1 /ض 2

حل: أ) ض 1 - 2ض 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

ب) ض 1 ض 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

الإجابة: أ) -3i ب) 12+26i ج) -1.4 - 0.3i

تسمى المعادلة الخطية متجانسإذا كان حده الحر يساوي صفراً، وغير متجانس فيما عدا ذلك. النظام الذي يتكون من معادلات متجانسة يسمى متجانس وله الشكل العام:

ومن الواضح أن كل نظام متجانس ثابت وله حل صفر (تافه). لذلك، عند تطبيقها على أنظمة متجانسة من المعادلات الخطية، غالبًا ما يتعين على المرء البحث عن إجابة لسؤال وجود حلول غير صفرية. يمكن صياغة الإجابة على هذا السؤال على النحو التالي النظرية.

نظرية . نظام متجانس من المعادلات الخطية يكون حله غير صفري إذا وفقط إذا كانت رتبته عدد أقلمجهول .

دليل: لنفترض أن النظام الذي رتبته متساوية له حل غير الصفر. ومن الواضح أنه لا يتجاوز. في حالة أن النظام لديه حل فريد. بما أن نظام المعادلات الخطية المتجانسة دائمًا ما يكون حله صفرًا، فإن الحل الصفري سيكون هذا الحل الفريد. وبالتالي، فإن الحلول غير الصفرية ممكنة فقط لـ .

النتيجة الطبيعية 1 : نظام المعادلات المتجانس، الذي يكون فيه عدد المعادلات أقل من عدد المجهول، يكون حله دائمًا غير الصفر.

دليل: إذا كان هناك نظام من المعادلات فإن رتبة النظام لا تتجاوز عدد المعادلات، أي. . وبذلك يكون الشرط قد تحقق، وبالتالي يكون للنظام حل غير الصفر.

النتيجة الطبيعية 2 : نظام متجانس من المعادلات ذات المجهولات يكون حله غير صفري إذا وفقط إذا كان محدده صفرًا.

دليل: لنفترض أن نظام المعادلات الخطية المتجانسة، الذي تحتوي مصفوفته مع المحدد، على حل غير صفري. ثم حسب النظرية المثبتة، وهذا يعني أن المصفوفة مفردة، أي. .

نظرية كرونيكر-كابيلي: تكون SLU متسقة إذا وفقط إذا كانت رتبة مصفوفة النظام مساوية لرتبة المصفوفة الموسعة لهذا النظام. يسمى النظام الخاص بك متسقًا إذا كان لديه حل واحد على الأقل.

نظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية.

يسمى نظام المعادلات الخطية m مع المتغيرات n نظام المعادلات الخطية المتجانسة إذا كانت جميع الحدود الحرة تساوي 0. نظام المعادلات الخطية المتجانسة يكون دائمًا متسقًا، لأن لديها دائما على الأقل، الحل صفر. نظام المعادلات الخطية المتجانسة يكون حله غير صفري إذا وفقط إذا كانت رتبة مصفوفة معاملاته للمتغيرات أقل من عدد المتغيرات، أي. للرتبة أ (ن. أي مجموعة خطية

حلول نظام لين متجانس. ur-ii هو أيضًا حل لهذا النظام.

نظام من الحلول الخطية المستقلة e1, e2,...,еk يسمى أساسي إذا كان كل حل في النظام عبارة عن مجموعة خطية من الحلول. النظرية: إذا كانت رتبة r لمصفوفة المعاملات لمتغيرات نظام المعادلات المتجانسة الخطية أقل من عدد المتغيرات n، فإن كل نظام أساسي من الحلول للنظام يتكون من حلول n-r. وبالتالي الحل العام للنظام الخطي. يوم واحد ur-th له الشكل: c1e1+c2e2+...+skek، حيث e1، e2،...، ek هو أي نظام أساسي للحلول، c1، c2،...،ck أرقام عشوائية و k=n-r. الحل العام لنظام المعادلات الخطية m مع المتغيرات n يساوي المجموع

الحل العامالنظام المقابل متجانس. المعادلات الخطية والحل الخاص التعسفي لهذا النظام.

7. المساحات الخطية. الفضاءات الجزئية. الأساس، البعد. قذيفة خطية. يسمى الفضاء الخطي ن الأبعاد، إذا كان يحتوي على نظام من المتجهات المستقلة خطيًا، وأي نظام يحتوي على عدد أكبر من المتجهات يعتمد خطيًا. الرقم يسمى البعد (عدد الأبعاد)الفضاء الخطي ويشار إليه بـ . بمعنى آخر، بُعد الفضاء هو الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا لهذا الفضاء. إذا كان هذا الرقم موجودا، فإن الفضاء يسمى الفضاء محدود الأبعاد. إذا لأي شخص عدد طبيعييوجد في الفضاء نظام يتكون من نواقل مستقلة خطيًا، ثم يُسمى هذا الفضاء بأبعاد لا نهائية (مكتوب: ). في ما يلي، ما لم ينص على خلاف ذلك، سيتم النظر في المساحات محدودة الأبعاد.

أساس الفضاء الخطي ذو الأبعاد n هو مجموعة مرتبة من المتجهات المستقلة خطيًا ( ناقلات الأساس).

النظرية 8.1 حول توسيع المتجه من حيث الأساس. إذا كان هو أساس الفضاء الخطي ذو الأبعاد n، فيمكن تمثيل أي متجه كمجموعة خطية من المتجهات الأساسية:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
علاوة على ذلك، بالطريقة الوحيدة، أي. يتم تحديد المعاملات بشكل فريد.بمعنى آخر، يمكن توسيع أي متجه للفضاء إلى أساس، وعلاوة على ذلك، بطريقة فريدة من نوعها.

في الواقع، البعد المكاني هو . نظام المتجهات مستقل خطياً (وهذا هو الأساس). بعد إضافة أي متجه إلى الأساس، نحصل على نظام يعتمد خطيًا (نظرًا لأن هذا النظام يتكون من متجهات ذات أبعاد n). باستخدام خاصية 7 ناقلات تعتمد خطيا ومستقلة خطيا، نحصل على نتيجة النظرية.

نظام متجانس من المعادلات الخطية على المجال

تعريف. يسمى النظام الأساسي للحلول لنظام المعادلات (1) بالخطي غير الفارغ نظام مستقلحلوله التي يتطابق مداها الخطي مع مجموعة حلول النظام (1).

لاحظ أن النظام المتجانس من المعادلات الخطية الذي له حل صفري فقط لا يحتوي على نظام أساسي من الحلول.

الاقتراح 3.11. أي نظامين أساسيين من الحلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية يتكونان من نفس عدد الحلول.

دليل. في الواقع، أي نظامين أساسيين من حلول نظام المعادلات المتجانس (1) متكافئان ومستقلان خطيًا. لذلك، بموجب الاقتراح 1.12، فإن رتبهم متساوية. وبالتالي فإن عدد الحلول المتضمنة في نظام أساسي واحد يساوي عدد الحلول المتضمنة في أي نظام أساسي آخر من الحلول.

إذا كانت المصفوفة الرئيسية A لنظام المعادلات المتجانس (1) تساوي صفرًا، فإن أي متجه منها هو حل للنظام (1)؛ في هذه الحالة، أي مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا تمثل نظامًا أساسيًا للحلول. إذا كانت رتبة عمود المصفوفة A تساوي، فإن النظام (1) له حل واحد فقط - صفر؛ ولذلك، في هذه الحالة، لا يحتوي نظام المعادلات (1) على نظام أساسي من الحلول.

النظرية 3.12. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية لنظام متجانس من المعادلات الخطية (1) أقل من عدد المتغيرات، فإن النظام (1) لديه نظام حل أساسي يتكون من حلول.

دليل. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية A للنظام المتجانس (1) تساوي صفر أو فقد تبين أعلاه أن النظرية صحيحة. لذلك، من المفترض أدناه أنه بافتراض أننا سنفترض أن الأعمدة الأولى من المصفوفة A مستقلة خطيًا. في هذه الحالة، تكون المصفوفة A مكافئة للمصفوفة المتدرجة المخفضة، والنظام (1) يعادل المصفوفة المختزلة التالية نظام الخطوةالمعادلات:

من السهل التحقق من أن أي نظام لقيم المتغيرات الحرة للنظام (2) يتوافق مع حل واحد فقط للنظام (2) وبالتالي النظام (1). على وجه الخصوص، الحل الصفري للنظام (2) والنظام (1) فقط هو الذي يتوافق مع نظام ذي قيم صفرية.

في النظام (2) سوف نقوم بتخصيص واحدة من المجانية قيمة المتغيرات، يساوي 1، والمتغيرات المتبقية لها قيم صفر. وبالنتيجة نحصل على حلول نظام المعادلات (2) الذي نكتبه على شكل صفوف من المصفوفة C التالية:

نظام الصف لهذه المصفوفة مستقل خطياً. في الواقع، لأي العددية من المساواة

يلي ذلك المساواة

وبالتالي المساواة

دعونا نثبت أن الامتداد الخطي لنظام صفوف المصفوفة C يتزامن مع مجموعة جميع الحلول للنظام (1).

الحل التعسفي للنظام (1). ثم المتجه

هو أيضا حل للنظام (1)، و