>>رتبة المصفوفة

رتبة المصفوفة

تحديد رتبة المصفوفة

النظر في مصفوفة مستطيلة. إذا اخترنا بشكل تعسفي في هذه المصفوفة كخطوط و كالأعمدة، فإن العناصر الموجودة عند تقاطع الصفوف والأعمدة المحددة تشكل مصفوفة مربعة بالترتيب k. يسمى محدد هذه المصفوفة قاصر من الترتيب kالمصفوفة A. من الواضح أن المصفوفة A بها عناصر ثانوية من أي ترتيب من 1 إلى أصغر الأرقام m وn. من بين جميع العناصر الثانوية غير الصفرية في المصفوفة A يوجد واحد على الأقلقاصر واحد يكون ترتيبه أعظم. تسمى أكبر الطلبات الثانوية غير الصفرية لمصفوفة معينة رتبةالمصفوفات. إذا كانت رتبة المصفوفة A هي ص، هذا يعني أن المصفوفة A لها ترتيب ثانوي غير الصفر صبل كل قاصر من أجل أكبر من ص، يساوي الصفر. يُشار إلى رتبة المصفوفة A بالرمز r(A). من الواضح أن العلاقة قائمة

حساب رتبة المصفوفة باستخدام القاصرين

يتم العثور على رتبة المصفوفة إما بطريقة الحدود الثانوية أو بطريقة التحويلات الأولية. عند حساب رتبة مصفوفة باستخدام الطريقة الأولى، يجب عليك الانتقال من الترتيب الثانوي إلى المستوى الأعلى. إذا تم بالفعل العثور على قاصر D من الرتبة k للمصفوفة A، يختلف عن الصفر، فإن الرتب الثانوية (k+1) المتاخمة للمصفوفة D الثانوية فقط هي التي تتطلب الحساب، أي. تحتوي على أنها قاصر. وإذا كانت جميعها تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي ك.

مثال 1.أوجد رتبة المصفوفة باستخدام طريقة الحدود الصغرى

.

حل.نبدأ بالقاصرين من الدرجة الأولى، أي. من عناصر المصفوفة A. دعونا نختار، على سبيل المثال، (عنصر) ثانوي M 1 = 1، الموجود في الصف الأول والعمود الأول. الحدود بمساعدة الصف الثاني والعمود الثالث نحصل على قاصر M 2 = يختلف عن الصفر. ننتقل الآن إلى القاصرين من الدرجة الثالثة المتاخمين لـ M2. يوجد اثنان منهم فقط (يمكنك إضافة عمود ثانٍ أو رابع). دعونا نحسبهم: = 0. وبالتالي، تبين أن جميع القاصرين المتاخمين من الدرجة الثالثة يساوي الصفر. رتبة المصفوفة A هي اثنان.

حساب رتبة المصفوفة باستخدام التحويلات الأولية

ابتدائيتسمى تحويلات المصفوفة التالية:

1) التقليب من أي صفين (أو أعمدة)،

2) ضرب صف (أو عمود) برقم غير الصفر،

3) إضافة صف (أو عمود) إلى صف (أو عمود) آخر (أو عمود) مضروبًا في رقم معين.

يتم استدعاء المصفوفتين مقابلإذا تم الحصول على أحدهما من الآخر باستخدام مجموعة محدودة من التحويلات الأولية.

المصفوفات المتكافئة ليست متساوية بشكل عام، لكن رتبها متساوية. إذا كانت المصفوفتان A و B متكافئتين، فسيتم كتابتهما على النحو التالي: A~ ب.

العنوان الأساسيالمصفوفة هي مصفوفة يوجد فيها في بداية القطر الرئيسي عدة مصفوفات متتالية (يمكن أن يكون عددها صفرًا)، وجميع العناصر الأخرى تساوي الصفر، على سبيل المثال،

.

باستخدام التحويلات الأولية للصفوف والأعمدة، يمكن اختزال أي مصفوفة إلى مصفوفة أساسية. رتبة المصفوفة الأساسية يساوي العددالوحدات على قطرها الرئيسي.

مثال 2أوجد رتبة المصفوفة

أ=

وإحضاره إلى الشكل القانوني.

حل.من السطر الثاني اطرح الأول وأعد ترتيب هذه الأسطر:

.

الآن من السطرين الثاني والثالث نطرح الأول مضروبًا في 2 و 5 على التوالي:

;

اطرح الأول من السطر الثالث؛ نحصل على مصفوفة

ب = ,

وهو ما يعادل المصفوفة A، حيث يتم الحصول عليها منها باستخدام مجموعة محدودة من التحولات الأولية. من الواضح أن رتبة المصفوفة B هي 2، وبالتالي r(A)=2. يمكن بسهولة اختزال المصفوفة B إلى المستوى الأساسي. وبطرح العمود الأول مضروبا بالأرقام المناسبة من جميع العناصر اللاحقة، ننتقل إلى الصفر جميع عناصر الصف الأول، باستثناء الأول، ولا تتغير عناصر الصفوف المتبقية. بعد ذلك، بطرح العمود الثاني، مضروبًا بالأرقام المناسبة، من جميع العناصر اللاحقة، ننتقل إلى الصفر لجميع عناصر الصف الثاني، باستثناء الثاني، ونحصل على المصفوفة الأساسية:

.

للعمل مع مفهوم رتبة المصفوفة، سنحتاج إلى معلومات من موضوع "المكملات الجبرية والصغرى. أنواع التكاملات الصغرى والجبرية." بداية، يتعلق هذا بمصطلح "المصفوفة الصغرى"، حيث أننا سنحدد رتبة المصفوفة بدقة من خلال المصفوفة الثانوية.

رتبة المصفوفةهو الحد الأقصى لرتبة صغرها، والتي يوجد منها على الأقل واحد لا يساوي الصفر.

المصفوفات المكافئة- المصفوفات التي تتساوى رتبها مع بعضها البعض.

دعونا نشرح بمزيد من التفصيل. لنفترض أنه من بين القاصرين من الدرجة الثانية يوجد على الأقل واحد يختلف عن الصفر. وجميع الصغار الذين ترتيبهم أعلى من اثنين يساوي صفرًا. الخلاصة: رتبة المصفوفة هي 2. أو مثلا يوجد بين صغرى الرتبة العاشرة واحد على الأقل لا يساوي الصفر. وجميع الصغار الذين ترتيبهم أعلى من ١٠ يساوي صفرًا. الخلاصة: رتبة المصفوفة هي 10.

تتم الإشارة إلى رتبة المصفوفة $A$ على النحو التالي: $\rang A$ أو $r(A)$. من المفترض أن تكون رتبة المصفوفة الصفرية $O$ صفرًا، $\rang O=0$. اسمحوا لي أن أذكرك أنه لتشكيل مصفوفة ثانوية، يجب عليك شطب الصفوف والأعمدة، ولكن من المستحيل شطب عدد أكبر من الصفوف والأعمدة مما تحتويه المصفوفة نفسها. على سبيل المثال، إذا كانت المصفوفة $F$ لها حجم $5\times 4$ (أي تحتوي على 5 صفوف و4 أعمدة)، فإن الحد الأقصى لترتيب فروعها هو أربعة. لن يكون من الممكن تشكيل قاصرين من الدرجة الخامسة، لأنهم سيحتاجون إلى 5 أعمدة (ولدينا 4 فقط). وهذا يعني أن رتبة المصفوفة $F$ لا يمكن أن تكون أكثر من أربعة، أي. $\رانج F ≥4$.

في المزيد الشكل العامما ورد أعلاه يعني أنه إذا كانت المصفوفة تحتوي على صفوف $m$ وأعمدة $n$، فلا يمكن أن يتجاوز ترتيبها أصغر $m$ و $n$، أي. $\رانج A≥\min(m,n)$.

من حيث المبدأ، من تعريف الرتبة، يتبع طريقة العثور عليها. يمكن تمثيل عملية العثور على رتبة المصفوفة، حسب التعريف، بشكل تخطيطي على النحو التالي:

اسمحوا لي أن أشرح هذا المخطط بمزيد من التفصيل. لنبدأ بالتفكير من البداية، أي. من الدرجة الأولى الثانوية لبعض المصفوفة $A$.

1. إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الأولى (أي عناصر المصفوفة $A$) تساوي الصفر، فإن $\rang A=0$. إذا كان هناك على الأقل من بين القاصرين من الدرجة الأولى واحد لا يساوي الصفر، فإن $\rang A≥ 1$. دعنا ننتقل إلى التحقق من القاصرين من الدرجة الثانية.
2. إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية تساوي الصفر، فإن $\rang A=1$. إذا كان هناك واحد على الأقل من بين القاصرين من الدرجة الثانية لا يساوي الصفر، فإن $\rang A≥ 2$. دعنا ننتقل إلى التحقق من القاصرين من الدرجة الثالثة.
3. إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة تساوي الصفر، فإن $\rang A=2$. إذا كان من بين القاصرين من الدرجة الثالثة هناك واحد على الأقل لا يساوي الصفر، فإن $\rang A≥ 3$. دعنا ننتقل إلى فحص القاصرين من الدرجة الرابعة.
4. إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الرابعة تساوي الصفر، فإن $\rang A=3$. إذا كان هناك واحد على الأقل من بين الصغار من الدرجة الرابعة لا يساوي الصفر، فإن $\rang A≥ 4$. ننتقل إلى فحص القاصرين من الدرجة الخامسة وما إلى ذلك.

ما الذي ينتظرنا في نهاية هذا الإجراء؟ من الممكن أن يكون هناك على الأقل واحد من بين الرتب الثانوية k يختلف عن الصفر، وجميع الرتب الثانوية (k+1) ستكون مساوية للصفر. وهذا يعني أن k هو الحد الأقصى لترتيب القاصرين، ومن بينهم على الأقل واحد لا يساوي الصفر، أي. ستكون الرتبة مساوية لـ k. قد يكون هناك موقف مختلف: من بين الرتب الثانوية k سيكون هناك على الأقل رتبة ثانوية لا تساوي الصفر، ولكن لن يكون من الممكن بعد الآن تكوين رتبة ثانوية (k+1). في هذه الحالة، رتبة المصفوفة تساوي أيضًا k. باختصار، ترتيب آخر ثانوي غير صفري سيكون مساويًا لرتبة المصفوفة.

دعنا ننتقل إلى الأمثلة التي سيتم فيها توضيح عملية العثور على رتبة المصفوفة، حسب التعريف، بوضوح. اسمحوا لي أن أؤكد مرة أخرى أنه في أمثلة هذا الموضوع سنبدأ في العثور على رتبة المصفوفات باستخدام تعريف الرتبة فقط. وتناقش الطرق الأخرى (حساب رتبة المصفوفة باستخدام طريقة تجاور القاصرين، وحساب رتبة المصفوفة باستخدام طريقة التحويلات الأولية) في المواضيع التالية.

وبالمناسبة، ليس من الضروري على الإطلاق البدء بإجراءات العثور على الرتبة مع القاصرين من الترتيب الأصغر، كما حدث في المثالين رقم 1 ورقم 2. يمكنك الانتقال فورًا إلى القاصرين ذوي الرتب الأعلى (انظر المثال رقم 3).

المثال رقم 1

أوجد رتبة المصفوفة $A=\left(\begin(array)(cccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

حجم هذه المصفوفة $3\×5$، أي. يحتوي على ثلاثة صفوف وخمسة أعمدة. من بين الرقمين 3 و5، الحد الأدنى هو 3، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة $A$ لا تزيد عن 3، أي. $\رانج A 3$. وهذا عدم المساواة واضح، لأننا لن نتمكن بعد الآن من تكوين صفوف ثانوية من الدرجة الرابعة - فهي تتطلب 4 صفوف، ولدينا 3 صفوف فقط. دعنا ننتقل مباشرة إلى عملية العثور على رتبة مصفوفة معينة.

من بين العناصر الثانوية من الدرجة الأولى (أي من بين عناصر المصفوفة $A$) هناك عناصر غير صفرية. على سبيل المثال، 5، -3، 2، 7. بشكل عام، نحن لسنا مهتمين المجموععناصر غير صفرية يوجد على الأقل عنصر واحد غير الصفر، وهذا يكفي. نظرًا لوجود ما لا يقل عن صفر واحد بين العناصر الثانوية من الدرجة الأولى، فإننا نستنتج أن $\rang A≥ 1$ وننتقل إلى التحقق من العناصر الثانوية من الدرجة الثانية.

لنبدأ باستكشاف القاصرين من الدرجة الثانية. على سبيل المثال، عند تقاطع الصفوف رقم 1 ورقم 2 والأعمدة رقم 1 ورقم 4 توجد عناصر من العناصر الثانوية التالية: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right| $. بالنسبة لهذا المحدد، فإن جميع عناصر العمود الثاني تساوي صفرًا، وبالتالي فإن المحدد نفسه يساوي صفرًا، أي. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (انظر الخاصية رقم 3 في موضوع خصائص المحددات). أو يمكنك ببساطة حساب هذا المحدد باستخدام الصيغة رقم 1 من القسم الخاص بحساب المحددات من الدرجة الثانية والثالثة:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

وتبين أن أول درجة ثانوية اختبرناها تساوي صفرًا. ماذا يعني هذا؟ حول الحاجة إلى مزيد من الفحص للقاصرين من الدرجة الثانية. إما أن يكونوا جميعًا صفرًا (ومن ثم سيكون الرتبة 1)، أو سيكون هناك قاصر واحد على الأقل يختلف عن الصفر. دعونا نحاول الاختيار الأفضل من خلال كتابة ثانوية من الدرجة الثانية، والتي تقع عناصرها عند تقاطع الصفوف رقم 1 ورقم 2 والعمودين رقم 1 ورقم 5: $\left|\begin( array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|$. دعونا نجد قيمة هذا القاصر من الدرجة الثانية:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

وهذا القاصر لا يساوي الصفر. الخلاصة: من بين قاصري الدرجة الثانية هناك على الأقل واحد غير صفر. لذلك $\rang A≥ 2$. نحن بحاجة إلى الانتقال إلى دراسة القاصرين من الدرجة الثالثة.

إذا اخترنا العمود رقم 2 أو العمود رقم 4 لتكوين ثانوية من الدرجة الثالثة، فإن هذه الثانوية ستكون مساوية للصفر (حيث إنها ستحتوي على عمود صفر). يبقى التحقق من قاصر واحد فقط من الدرجة الثالثة، وتقع عناصره عند تقاطع الأعمدة رقم 1، رقم 3، رقم 5 والصفوف رقم 1، رقم 2، رقم 3. لنكتب هذا القاصر ونجد قيمته:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

إذن، جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة تساوي صفرًا. آخر جزء صغير غير الصفر قمنا بتجميعه كان من الدرجة الثانية. الخلاصة: الحد الأقصى لترتيب العناصر الثانوية، التي يوجد من بينها على الأقل واحد غير صفر، هو 2. وبالتالي، $\rang A=2$.

إجابة: $\رانج أ=2$.

المثال رقم 2

أوجد رتبة المصفوفة $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

لدينا مصفوفة مربعة من الدرجة الرابعة. ولنلاحظ على الفور أن رتبة هذه المصفوفة لا تتجاوز 4، أي. $\رانج A 4$. لنبدأ في العثور على رتبة المصفوفة.

من بين العناصر الثانوية من الدرجة الأولى (أي، من بين عناصر المصفوفة $A$) هناك عنصر واحد على الأقل لا يساوي الصفر، وبالتالي $\rang A≥ 1$. دعنا ننتقل إلى التحقق من القاصرين من الدرجة الثانية. على سبيل المثال، عند تقاطع الصفوف رقم 2 ورقم 3 والعمودين رقم 1 ورقم 2، نحصل على الترتيب الثانوي التالي: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. دعونا نحسبها:

$$\اليسار| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

من بين القاصرين من الدرجة الثانية هناك على الأقل واحد لا يساوي الصفر، لذلك $\rang A≥ 2$.

دعنا ننتقل إلى القاصرين من الدرجة الثالثة. لنجد مثلا قاصراً تقع عناصره عند تقاطع الصفوف رقم 1 ورقم 3 ورقم 4 والأعمدة رقم 1 ورقم 2 ورقم 4:

$$\اليسار | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

وبما أن هذا القاصر من الدرجة الثالثة تبين أنه يساوي الصفر، فمن الضروري التحقيق في قاصر آخر من الدرجة الثالثة. إما أن تكون جميعها تساوي صفراً (حينها ستكون الرتبة تساوي 2)، أو يكون بينهم واحد على الأقل لا يساوي صفراً (ثم نبدأ بدراسة صغرى الدرجة الرابعة). لنفكر في ثانوي من الدرجة الثالثة، تقع عناصره عند تقاطع الصفوف رقم 2، رقم 3، رقم 4 والأعمدة رقم 2، رقم 3، رقم 4:

$$\اليسار| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

من بين القاصرين من الدرجة الثالثة يوجد على الأقل واحد غير صفري، لذلك $\rang A≥ 3$. دعنا ننتقل إلى فحص القاصرين من الدرجة الرابعة.

يقع أي فرع ثانوي من الدرجة الرابعة عند تقاطع أربعة صفوف وأربعة أعمدة من المصفوفة $A$. بمعنى آخر، الترتيب الثانوي الرابع هو محدد المصفوفة $A$، منذ ذلك الحين مصفوفة معينةيحتوي فقط على 4 صفوف و4 أعمدة. تم حساب محدد هذه المصفوفة في المثال رقم 2 لموضوع "تقليل ترتيب المحدد. تحليل المحدد في صف (عمود)"، فلنأخذ النتيجة النهائية فقط:

$$\اليسار| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (صفيف)\يمين|=86. $$

إذن، الدرجة الرابعة الصغرى لا تساوي صفرًا. لم يعد بإمكاننا تكوين قاصرين من الدرجة الخامسة. الخلاصة: أعلى ترتيب للصغرى، والذي يوجد من بينها على الأقل واحد غير الصفر، هو 4. النتيجة: $\rang A=4$.

إجابة: $\رانج أ=4$.

المثال رقم 3

أوجد رتبة المصفوفة $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end(مصفوفة) \يمين)$.

دعونا نلاحظ على الفور أن هذه المصفوفة تحتوي على 3 صفوف و4 أعمدة، لذا فإن $\rang A≥ 3$. في الأمثلة السابقة، بدأنا عملية إيجاد الرتبة من خلال النظر في القاصرين من الرتبة الأصغر (الأولى). سنحاول هنا فحص القاصرين على أعلى مستوى ممكن على الفور. بالنسبة للمصفوفة $A$، هذه هي العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة. لنفكر في ثانوي من الدرجة الثالثة، تقع عناصره عند تقاطع الصفوف رقم 1، رقم 2، رقم 3 والأعمدة رقم 2، رقم 3، رقم 4:

$$\اليسار| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

لذا، فإن أعلى ترتيب للصغرى، والذي يوجد من بينها على الأقل واحد لا يساوي الصفر، هو 3. وبالتالي، فإن رتبة المصفوفة هي 3، أي. $\رانج أ=3$.

إجابة: $\رانج أ=3$.

بشكل عام، يعد العثور على رتبة مصفوفة حسب التعريف، في الحالة العامة، مهمة كثيفة العمالة إلى حد ما. على سبيل المثال، تحتوي المصفوفة الصغيرة نسبيًا ذات الحجم $5\times 4$ على 60 مصفوفة ثانوية من الدرجة الثانية. وحتى لو كان 59 منهم يساوي الصفر، فقد يكون القاصر الستين غير صفر. ثم سيتعين عليك دراسة القاصرين من الدرجة الثالثة، والتي تحتوي هذه المصفوفة على 40 قطعة. عادةً ما يحاولون استخدام أساليب أقل تعقيدًا، مثل طريقة تجاور القاصرين أو طريقة التحويلات المكافئة.

تعريف. رتبة المصفوفةهو الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا التي تعتبر متجهات.

النظرية 1 على رتبة المصفوفة. رتبة المصفوفةيسمى الحد الأقصى لرتبة ثانوية غير صفرية للمصفوفة.

لقد سبق أن ناقشنا مفهوم القاصر في درس المحددات، والآن سنقوم بتعميمه. لنأخذ عددًا معينًا من الصفوف وعددًا معينًا من الأعمدة في المصفوفة، وهذا "كم" يجب أن يكون عدد أقلصفوف وأعمدة المصفوفة، وبالنسبة للصفوف والأعمدة، يجب أن يكون "الكم" هو نفس الرقم. وبعد ذلك، عند تقاطع عدد الصفوف وعدد الأعمدة، ستكون هناك مصفوفة ذات رتبة أقل من المصفوفة الأصلية. المحدد عبارة عن مصفوفة وسيكون ثانويًا من الترتيب k إذا تمت الإشارة إلى "البعض" المذكور (عدد الصفوف والأعمدة) بالرمز k.

تعريف.صغير ( ص+1) الترتيب الذي يقع ضمنه القاصر المختار ص-يسمى الترتيب الحدودي لقاصر معين.

الطريقتان الأكثر استخدامًا هما العثور على رتبة المصفوفة. هذا طريقة الحدود مع القاصرينو طريقة التحولات الأولية(طريقة غاوس).

عند استخدام طريقة الحدود الثانوية، يتم استخدام النظرية التالية.

النظرية 2 على رتبة المصفوفة.إذا كان يمكن أن يتكون قاصر من عناصر المصفوفة صالترتيب الرابع لا يساوي الصفر، فرتبة المصفوفة تساوي ص.

عند استخدام طريقة التحويل الأولية، يتم استخدام الخاصية التالية:

إذا تم الحصول، من خلال التحويلات الأولية، على مصفوفة شبه منحرفة تعادل المصفوفة الأصلية، إذن رتبة هذه المصفوفةهو عدد الأسطر فيه غير الأسطر المكونة بالكامل من الأصفار.

إيجاد رتبة مصفوفة باستخدام طريقة الحدود الصغرى

القاصر المُرفق هو قاصر ذو رتبة أعلى بالنسبة إلى القاصر المُعطى إذا كان هذا القاصر ذو الرتبة الأعلى يحتوي على القاصر المُعطى.

على سبيل المثال، نظرا للمصفوفة

دعونا نأخذ قاصر

سيكون القاصرون المجاورون هم:

خوارزمية للعثور على رتبة المصفوفةالتالي.

1. ابحث عن القاصرين من الدرجة الثانية الذين لا يساويون الصفر. إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة ستكون تساوي واحدًا ( ص =1 ).

2. إذا كان هناك على الأقل صغرى واحدة من الرتبة الثانية لا تساوي صفراً، فإننا نؤلف الصغرى المجاورة من الرتبة الثالثة. إذا كانت جميع الحدود الثانوية من الدرجة الثالثة تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي اثنين ( ص =2 ).

3. إذا كان واحد على الأقل من القاصرين المجاورين من الدرجة الثالثة لا يساوي الصفر، فإننا نؤلف القاصرين المجاورين. إذا كانت جميع العناصر الثانوية المجاورة من الرتبة الرابعة تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي ثلاثة ( ص =2 ).

4. استمر بهذه الطريقة طالما أن حجم المصفوفة يسمح بذلك.

مثال 1.أوجد رتبة المصفوفة

.

حل. الصغرى من الدرجة الثانية .

دعونا الحدود عليه. سيكون هناك أربعة قاصرين مجاورين:

,

,

وبالتالي فإن جميع الحدود الثانوية من الرتبة الثالثة تساوي صفراً، وبالتالي فإن رتبة هذه المصفوفة تساوي اثنين ( ص =2 ).

مثال 2.أوجد رتبة المصفوفة

حل. رتبة هذه المصفوفة تساوي 1 حيث أن جميع صغريات الرتبة الثانية لهذه المصفوفة تساوي صفر (وفي هذا كما في حالات القاصرين المتاخمين في المثالين التاليين ندعوكم عزيزي الطلاب للتحقق من ذلك) أنفسهم، ربما باستخدام قواعد حساب المحددات)، ومن بين العناصر الثانوية من الدرجة الأولى، أي من بين عناصر المصفوفة، هناك عناصر غير صفرية.

مثال 3.أوجد رتبة المصفوفة

حل. الرتبة الثانية الثانوية لهذه المصفوفة هي، وجميع الرتبة الثالثة الثانوية لهذه المصفوفة تساوي صفرًا. ولذلك فإن رتبة هذه المصفوفة هي اثنان.

مثال 4.أوجد رتبة المصفوفة

حل. رتبة هذه المصفوفة هي 3، حيث أن الرتبة الثالثة الوحيدة لهذه المصفوفة هي 3.

إيجاد رتبة مصفوفة باستخدام طريقة التحويلات الأولية (طريقة غاوس)

بالفعل في المثال 1، من الواضح أن مهمة تحديد رتبة المصفوفة باستخدام طريقة الحد من القاصرين تتطلب الحساب عدد كبيرالمحددات. ومع ذلك، هناك طريقة لتقليل مقدار الحساب إلى الحد الأدنى. تعتمد هذه الطريقة على استخدام تحويلات المصفوفات الأولية وتسمى أيضًا طريقة غاوس.

تُفهم العمليات التالية على أنها تحويلات مصفوفة أولية:

1) ضرب أي صف أو عمود في المصفوفة برقم غير الصفر؛

2) إضافة إلى عناصر أي صف أو عمود من المصفوفة العناصر المقابلة لصف أو عمود آخر، مضروبة في نفس العدد؛

3) تبديل صفين أو عمودين من المصفوفة؛

4) إزالة الصفوف "الخالية"، أي تلك التي تساوي جميع عناصرها الصفر؛

5) حذف جميع الخطوط المتناسبة ما عدا خط واحد.

نظرية.أثناء التحويل الأولي، لا تتغير رتبة المصفوفة. بمعنى آخر، إذا استخدمنا التحويلات الأولية من المصفوفة أذهب إلى المصفوفة ب، الذي - التي .

في هذا الموضوع سنحتاج إلى مفاهيم مثل المصفوفة الثانوية والحدود الثانوية. وموضوع "الإضافات الجبرية والقاصرات. أنواع القاصرات والإضافات الجبرية" يحتوي على شرح مفصل لهذه المفاهيم.

$$ \left|\begin(array)(cc) -1 & 2 \\ -3 & 0 \end(array) \right|=-1\cdot 0-2\cdot (-3)=6. $$

لذلك، هناك ثانوية من الدرجة الثانية لا تساوي الصفر، مما يعني أن $\rang A≥ 2$. دعونا نفكر في القاصرين من الدرجة الثالثة المتاخمين لقاصر من الدرجة الثانية. كيفية تكوين قاصر المجاورة؟ للقيام بذلك، إلى مجموعة الصفوف والأعمدة عند التقاطع الذي تقع فيه العناصر الثانوية من الدرجة الثانية، تحتاج إلى إضافة صف آخر وعمود آخر. ونذكر أن عناصر الدرجة الثانية الصغرى التي قمنا بتدوينها تقع عند تقاطع الصفوف رقم 1، رقم 2 والأعمدة رقم 1، رقم 2. دعونا نضيف السطر الآخر رقم 3 إلى الصفوف، والعمود رقم 3 إلى الأعمدة. نحصل على ثانوية من الدرجة الثالثة، عناصرها (كما هي موضحة باللون الأزرق في الشكل) تقع عند تقاطع الصفوف رقم 1، رقم 2، رقم 3 والأعمدة رقم 1، رقم 2، لا .3.

لنجد قيمة هذا القاصر باستخدام الصيغة رقم 2 من موضوع حول:

$$ \left|\begin(array)(ccc) -1 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & 5 \\ -5 & 4 & 7 \end(array) \right|=0. $$

الحافة الصغرى هي صفر. ماذا يعني هذا؟ يشير هذا إلى أننا بحاجة إلى مواصلة العثور على القاصرين المجاورين. إما أن تكون جميعها تساوي صفرًا (وبالتالي ستكون الرتبة 2)، أو أن هناك واحدًا على الأقل يختلف عن الصفر.

عناصر الحد الثاني الثانوي تقع عند تقاطع الصفوف رقم 1، رقم 2، رقم 3 والأعمدة رقم 1، رقم 2، رقم 4. ويبين الشكل أعلاه عناصر هذا القاصر أخضر. لنحسب هذا القاصر باستخدام نفس الصيغة رقم 2 من موضوع حساب محددات الرتبة الثانية والثالثة:

$$ \left|\begin(array)(ccc) -1 & 2 & 3 \\ -3 & 0 & 4 \\ -5 & 4 & 10 \end(array) \right|=0. $$

وهذا الحد الصغير المجاور يساوي صفرًا. لا يوجد قاصرون آخرون على الحدود. ولذلك، فإن جميع القاصرين المتاخمين يساوي الصفر. وترتيب آخر ثانوي غير صفر مؤلف هو 2. الخلاصة: المرتبة 2، أي. $\رانج أ=2$.

إجابة: $\رانج أ=2$.

المثال رقم 2

أوجد رتبة المصفوفة $A=\left(\begin(array)(cccc) 1 & 2 & 0 & 4 & 5\\ 3 & 6 & -2 & -1 & -3\\ -2 & -4 & 2 & ​​5 & ​​7\\ -1 & -2 & 2 & 9 & 11 \end(array) \right)$ بطريقة تجاور القاصرين.

مرة أخرى، كما في المثال السابق، نبدأ الحل باختيار رقم ثانوي لا يساوي صفرًا. على سبيل المثال، عند تقاطع الصفوف رقم 1 ورقم 2 والأعمدة رقم 1 ورقم 2 توجد عناصر فرعية $\left|\begin(array)(cc) 1 & 2 \\ 3 & 6 \end(array) \right|$، وهو أمر سهل الحساب باستخدام الصيغة رقم 1 من موضوع حساب المحددات من الدرجة الثانية والثالثة:

$$ \left|\begin(array)(cc) 1 & 2 \\ 3 & 6 \end(array) \right|=1\cdot 6-2\cdot 3=0. $$

هذا القاصر من الدرجة الثانية يساوي الصفر، أي. الاختيار غير ناجح. لنأخذ قاصرًا آخر من الدرجة الثانية. على سبيل المثال الذي تقع عناصره عند تقاطع الصفوف رقم 1 ورقم 2 والأعمدة رقم 2 ورقم 3:

$$ \left|\begin(array)(cc) 2 & 0 \\ 6 & -2 \end(array) \right|=-4. $$

لذلك، يوجد رقم ثانوي غير صفري، لذلك $\rang A≥ 2$. دعنا نشير إلى هذا القاصر بـ $M_2$ ونبدأ في تحديد حدوده مع القاصرين من الدرجة الثالثة. على سبيل المثال، دعونا نضيف إلى الصفوف والأعمدة التي يقع عليها العنصر $M_2$، صف آخر رقم 3 وعمود رقم 1. أولئك. لنبحث عن ثانوي من الدرجة الثالثة تكون عناصره عند تقاطع الصفوف رقم 1 ورقم 2 ورقم 3 والأعمدة رقم 1 ورقم 2 ورقم 3. ولهذا نستخدم الصيغة رقم 2 من موضوع حساب محددات الرتبة الثانية والثالثة. لن أقوم بحسابات تفصيلية، بل سنكتب الإجابة فقط:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 1 & 2 & 0 \\ 3 & 6 & -2 \\ -2 & -4 & 2 \end(array) \right|=0. $$

لنفكر في ثانوي من الدرجة الثالثة، تقع عناصره عند تقاطع الصفوف رقم 1، رقم 2، رقم 3 والأعمدة رقم 2، رقم 3، رقم 4. هذا القاصر أيضًا يحد $M_2$:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 2 & 0 & 4 \\ 6 & -2 & -1 \\ -4 & 2 & 5 \end(array) \right|=0. $$

ومرة أخرى، فإن الحد الثانوي من الدرجة الثالثة الذي يحد $M_2$ يساوي الصفر. هذا يعني أننا ننتقل إلى قاصر آخر من الدرجة الثالثة. لنأخذ ثانوية من الدرجة الثالثة، تقع عناصرها عند تقاطع الصفوف رقم 1، رقم 2، رقم 3 والأعمدة رقم 2، رقم 3، رقم 5. هذا القاصر أيضًا يحد $M_2$:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 2 & 0 & 5 \\ 6 & -2 & -3 \\ -4 & 2 & 7 \end(array) \right|=4. $$

لذلك، من بين العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة التي تحد $M_2$، هناك قاصر لا يساوي الصفر، وهو ما يعني $\rang A≥ 3$. دعونا نشير إلى هذا القاصر غير الصفري بـ $M_3$. عناصر $M_3$ الثانوية تقع عند تقاطع الصفوف رقم 1، رقم 2، رقم 3 والأعمدة رقم 2، رقم 3، رقم 5. سنضع الحدود بين القاصر $M_3$ والقاصرين من الدرجة الرابعة. في البداية، لنأخذ ثانوية من الدرجة الرابعة، تقع عناصرها عند تقاطع الصفوف رقم 1، رقم 2، رقم 3، رقم 4 والأعمدة رقم 1، رقم 2، رقم 3 ، رقم 5. هذه الحدود الثانوية $M_3$. من السهل العثور على قيمته إذا كنت تستخدم، على سبيل المثال، توسيع الصف أو العمود:

$$ \left|\begin(array)(cccc) 1 & 2 & 0 & 5\\ 3 & 6 & -2 & -3\\ -2 & -4 & 2 & 7\\ -1 & -2 & 2 & 11 \end(array) \right|=0. $$

وكذلك بالنسبة للصغرى من الدرجة الرابعة والتي تقع عناصرها عند تقاطع الصفوف رقم 1، رقم 2، رقم 3، رقم 4 والأعمدة رقم 2، رقم 3، رقم 4، رقم 5- نحصل على:

$$ \left|\begin(array)(cccc) 2 & 0 & 4 & 5\\ 6 & -2 & -1 & -3\\ -4 & 2 & 5 & 7\\ -2 & 2 & 9 & 11 \end(array) \right|=0.$$

لا يوجد قاصرون آخرون على الحدود للقاصر $M_3$. جميع القاصرين من الدرجة الرابعة الذين يحدون $M_3$ يساويون الصفر. آخر قاصر غير الصفر، أي. $M_3$، كان الترتيب الثالث. الخلاصة: المرتبة هي 3، أي. $\رانج أ=3$.

إجابة: $\رانج أ=3$.

المثال رقم 3

أوجد رتبة المصفوفة $A=\left(\begin(array)(cccc) -1 & 3 & 2 & 4 & 1\\ 0 & -2 & 5 & 0 & -3\\ 1 & -5 & 3 & 7 & 6 \end(array) \right)$ عن طريق طريقة القاصرين الحدوديين.

نبدأ الحل مرة أخرى باختيار صغرى من الدرجة الثانية لا يساوي صفرًا. على سبيل المثال، عند تقاطع الصفوف رقم 1 ورقم 2 والأعمدة رقم 1 ورقم 2 توجد عناصر فرعية $\left|\begin(array)(cc) -1 & 3 \\ 0 & -2 \end(array) \right| $، والتي نحسبها باستخدام الصيغة رقم 1 من موضوع حساب المحددات من الدرجة الثانية والثالثة:

$$ \left|\begin(array)(cc) -1 & 3 \\ 0 & -2 \end(array) \right|=2. $$

هذا القاصر (دعنا نشير إليه $M_2$) لا يساوي الصفر، وبالتالي فإن هذا القاصر هو الذي سنبدأ في الحد منه مع القاصرين من الدرجة الثالثة. على سبيل المثال، دعونا نضيف إلى الصفوف والأعمدة التي يقع عليها العنصر $M_2$، صف آخر رقم 3 وعمود رقم 3. أولئك. لنبحث عن ثانوي من الدرجة الثالثة تقع عناصره عند تقاطع الصفوف رقم 1 ورقم 2 ورقم 3 والأعمدة رقم 1 ورقم 2 ورقم 3. ولهذا نستخدم الصيغة رقم 2 من موضوع حساب محددات الأمرين الثاني والثالث:

$$ \left|\begin(array)(ccc) -1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 5 \\ 1 & -5 & 3 \end(array) \right|=0. $$

هذا القاصر يساوي صفرًا، مما يعني أننا بحاجة إلى الانتقال إلى قاصر آخر مجاور. إما أن جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة التي تحد $M_2$ تساوي الصفر، أو لا يزال هناك واحد على الأقل يختلف عن الصفر.

لنفكر في ثانوي من الدرجة الثالثة، تقع عناصره عند تقاطع الصفوف رقم 1، رقم 2، رقم 3 والأعمدة رقم 1، رقم 2، رقم 4. هذا القاصر أيضًا يحد $M_2$:

$$ \left|\begin(array)(ccc) -1 & 3 & 4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & -5 & 7 \end(array) \right|=22. $$

لذلك، من بين العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة التي تحد $M_2$، هناك على الأقل واحد لا يساوي الصفر. لم يعد بإمكاننا تكوين عناصر ثانوية من الدرجة الرابعة، لأنها تتطلب 4 صفوف، ولا يوجد سوى 3 صفوف في المصفوفة $A$. ولذلك، بما أن آخر قاصر غير الصفر كان من الدرجة الثالثة، فإن الرتبة هي 3، أي. $\رانج أ=3$.

إجابة: $\رانج أ=3$.

من أجل حساب رتبة المصفوفة، يمكنك استخدام طريقة الحدود الثانوية أو الطريقة الغوسية. لنفكر في الطريقة الغوسية أو طريقة التحويلات الأولية.

رتبة المصفوفة هي أعلى ترتيب لصغراتها، ومن بينها على الأقل واحدة لا تساوي الصفر.

رتبة نظام الصفوف (الأعمدة) هي الحد الأقصى لعدد الصفوف (الأعمدة) المستقلة خطيًا لهذا النظام.

خوارزمية إيجاد رتبة المصفوفة باستخدام طريقة الحدود الثانوية:

1. صغير م ك-ذلكالنظام ليس صفراً
2. إذا المتاخمة للقاصرين للقاصر م (ك+1) ثالترتيب، فمن المستحيل تكوينه (أي أن المصفوفة تحتوي على كخطوط أو كالأعمدة)، فإن رتبة المصفوفة تساوي ك. إذا كان هناك قاصرون مجاورون وكلهم صفر، فإن الرتبة هي k. إذا كان من بين القاصرين المجاورين واحد على الأقل لا يساوي الصفر، فإننا نحاول إنشاء قاصر جديد ك+2إلخ.

دعونا نحلل الخوارزمية بمزيد من التفاصيل. أولاً، فكر في العناصر الثانوية من الترتيب الأول (عناصر المصفوفة) للمصفوفة أ. إذا كانت جميعها تساوي صفرًا، إذن الرتبة أ = 0. إذا كان هناك عناصر ثانوية من الدرجة الأولى (عناصر المصفوفة) لا تساوي الصفر م 1 ≠ 0، ثم الرتبة رتبة أ ≥ 1.

م 1. إذا كان هناك مثل هؤلاء القاصرين، فسيكونون قاصرين من الدرجة الثانية. إذا كان جميع القاصرين على حدود قاصر م 1تساوي الصفر، إذن الرتبة أ = 1. إذا كان هناك على الأقل قاصر واحد من الدرجة الثانية لا يساوي صفراً م2 ≠ 0، ثم الرتبة المرتبة أ ≥ 2.

دعونا نتحقق مما إذا كان هناك قاصرين مجاورين للقاصر م 2. إذا كان هناك مثل هؤلاء القاصرين، فسيكونون قاصرين من الدرجة الثالثة. إذا كان جميع القاصرين على حدود قاصر م 2تساوي الصفر، إذن الرتبة أ = 2. إذا كان هناك على الأقل واحد صغير من الدرجة الثالثة لا يساوي الصفر م 3 ≠ 0، ثم الرتبة المرتبة أ ≥ 3.

دعونا نتحقق مما إذا كان هناك قاصرين مجاورين للقاصر م 3. إذا كان هناك مثل هؤلاء القاصرين، فسيكونون قاصرين من الدرجة الرابعة. إذا كان جميع القاصرين على حدود قاصر م 3تساوي الصفر، إذن الرتبة أ = 3. إذا كان هناك على الأقل قاصر واحد من الدرجة الرابعة لا يساوي صفراً م4 ≠ 0، ثم الرتبة المرتبة أ ≥ 4.

التحقق من وجود قاصر مجاور للقاصر م 4، وما إلى ذلك وهلم جرا. تتوقف الخوارزمية إذا كانت القيم الثانوية المجاورة مساوية للصفر في مرحلة ما أو لا يمكن الحصول على الثانوية المجاورة (نفاد الصفوف أو الأعمدة في المصفوفة). سيكون ترتيب القاصر غير الصفري الذي تم إنشاؤه هو رتبة المصفوفة.

مثال

دعونا نفكر هذه الطريقةعلى سبيل المثال. بالنظر إلى مصفوفة 4x5:

لا يمكن أن تحتوي هذه المصفوفة على رتبة أكبر من 4. كما أن هذه المصفوفة تحتوي على عناصر غير الصفر (أصغر من الرتبة الأولى)، مما يعني أن رتبة المصفوفة هي ≥ 1.

دعونا نؤلف قاصر الثانيطلب. لنبدأ من الزاوية.

إذن المحدد يساوي صفر، فلنقم بإنشاء قيمة ثانوية أخرى.

دعونا نجد محدد هذا القاصر.

تحديد قاصر معين يساوي -2 . وبالتالي فإن رتبة المصفوفة ≥ 2 .

إذا كان هذا القاصر يساوي 0، فسيتم تشكيل القاصرين الآخرين. حتى النهاية كانوا سيؤلفون جميع القصر في السطرين الأول والثاني. ثم السطر 1 و 3، السطر 2 و 3، السطر 2 و 4، حتى تجد قاصراً لا يساوي 0، على سبيل المثال:

إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية 0، فإن رتبة المصفوفة ستكون 1. ويمكن إيقاف الحل.

الثالثطلب.

تبين أن القاصر ليس صفراً. يعني رتبة المصفوفة ≥ 3 .

فإذا كان هذا القاصر صفراً، لزم تأليف بقية القاصرين. على سبيل المثال:

إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الدرجة الثالثة 0، فإن رتبة المصفوفة ستكون 2. ويمكن إيقاف الحل.

لنواصل البحث عن رتبة المصفوفة. دعونا نؤلف قاصر الرابعطلب.

دعونا نجد محدد هذا القاصر.

وتبين أن محدد القاصر يساوي 0 . دعونا نبني قاصر آخر.

دعونا نجد محدد هذا القاصر.

تبين أن القاصر متساوٍ 0 .

بناء قاصر الخامسلن يعمل الترتيب، لا يوجد صف لهذا في هذه المصفوفة. القاصر الأخير لم يكن يساوي الصفر الثالثالترتيب، وهو ما يعني أن رتبة المصفوفة تساوي 3 .