صغيرة وجميلة مهمة بسيطةمن فئة من هم بمثابة المنقذ لحياة الطالب العائم. إنها الطبيعة في منتصف شهر يوليو، لذا فقد حان الوقت للاستقرار مع الكمبيوتر المحمول الخاص بك على الشاطئ. في الصباح الباكر، بدأ شعاع شمس النظرية يعزف، من أجل التركيز قريباً على الممارسة، التي، على الرغم من السهولة المعلنة، تحتوي على شظايا الزجاج في الرمال. وفي هذا الصدد، أوصي بأن تنظر بضمير حي في الأمثلة القليلة لهذه الصفحة. لحل المشكلات العملية يجب أن تكون قادرًا على ذلك العثور على المشتقاتوفهم مادة المقال فترات الرتابة والحدود القصوى للوظيفة.

أولا، لفترة وجيزة عن الشيء الرئيسي. في الدرس حول استمرارية الوظيفةلقد قدمت تعريف الاستمرارية عند نقطة والاستمرارية عند فترة زمنية. تتم صياغة السلوك المثالي للدالة على المقطع بطريقة مماثلة. تكون الدالة مستمرة على فترة إذا:

1) أنها مستمرة على الفترة .
2) مستمرة عند نقطة ما على اليمينوعند هذه النقطة غادر.

وفي الفقرة الثانية تحدثنا عن ما يسمى الاستمرارية من جانب واحدوظائف عند نقطة ما. هناك عدة طرق لتعريفه، لكنني سألتزم بالسطر الذي بدأته سابقًا:

الدالة مستمرة عند النقطة على اليمين، إذا تم تعريفها عند نقطة معينة وكان حدها الأيمن يتزامن مع قيمة الدالة عند نقطة معينة: . وهو مستمر عند هذه النقطة غادر، إذا تم تعريفها عند نقطة معينة وحدها الأيسر يساوي القيمةعند هذه النقطة:

تخيل أن النقاط الخضراء عبارة عن مسامير متصلة بها شريط مطاطي سحري:

خذ عقليا الخط الأحمر في يديك. من الواضح أنه بغض النظر عن مدى تمديد الرسم البياني لأعلى ولأسفل (على طول المحور)، ستظل الوظيفة قائمة محدود- سياج في الأعلى، وسياج في الأسفل، ومنتجاتنا ترعى في المرعى. هكذا، دالة مستمرة على فترة محددة بها. في سياق التحليل الرياضي، يتم ذكر هذه الحقيقة التي تبدو بسيطة وإثباتها بدقة. نظرية فايرستراس الأولى....ينزعج الكثير من الناس من أن العبارات الأولية يتم إثباتها بشكل مضجر في الرياضيات، لكن هذا له معنى مهم. لنفترض أن أحد سكان العصور الوسطى تيري قام بسحب رسم بياني إلى السماء خارج نطاق الرؤية، فقد تم إدراجه. قبل اختراع التلسكوب، لم تكن وظيفته المحدودة في الفضاء واضحة على الإطلاق! حقاً، كيف تعرف ما ينتظرنا في الأفق؟ بعد كل شيء، كانت الأرض تعتبر ذات يوم مسطحة، لذلك حتى النقل الآني العادي يتطلب إثباتًا =)

وفق نظرية فايرستراس الثانية, مستمر على قطعةتصل الدالة إلى الحد الأعلى الدقيقوما تملكه الحافة السفلية بالضبط .

ويسمى الرقم أيضا الحد الأقصى لقيمة الدالة على المقطعويشار إليها بـ ، والرقم هو الحد الأدنى لقيمة الدالة على المقطعتم وضع علامة .

في حالتنا هذه:

ملحوظة : من الناحية النظرية، التسجيلات شائعة .

تحدث تقريبا، أعلى قيمةيقع حيث أكثر نقطة عاليةالرسومات، والأصغر هو حيث أدنى نقطة.

مهم!كما تم التأكيد عليه بالفعل في المقال حول الحد الأقصى للوظيفة, أعظم قيمة وظيفةو أصغر قيمة دالة – ليس هو نفسه، ماذا أقصى وظيفةو وظيفة الحد الأدنى. لذلك، في المثال قيد النظر، الرقم هو الحد الأدنى للدالة، ولكن ليس الحد الأدنى للقيمة.

بالمناسبة ماذا يحدث خارج القطاع؟ نعم، حتى الفيضان، في سياق المشكلة قيد النظر، لا يهمنا على الإطلاق. تتضمن المهمة فقط العثور على رقمين وهذا كل شيء!

علاوة على ذلك، فإن الحل تحليلي بحت لا حاجة لعمل رسم!

تقع الخوارزمية على السطح وتقترح نفسها من الشكل أعلاه:

1) ابحث عن قيم الوظيفة في نقاط حرجة, التي تنتمي إلى هذه الشريحة.

احصل على مكافأة أخرى: هنا ليست هناك حاجة للتحقق من الحالة الكافية للحد الأقصى، لأنه، كما هو موضح للتو، وجود الحد الأدنى أو الحد الأقصى لا يضمن بعد، ما هي القيمة الدنيا أو القصوى. تصل وظيفة العرض التوضيحي إلى الحد الأقصى، وبإرادة القدر، يكون نفس الرقم هو أكبر قيمة للدالة في المقطع. ولكن، بطبيعة الحال، لا تحدث مثل هذه الصدفة دائما.

لذلك، في الخطوة الأولى، يكون من الأسرع والأسهل حساب قيم الدالة عند النقاط الحرجة التابعة للقطعة، دون الحاجة إلى الاهتمام بما إذا كانت هناك نقاط متطرفة فيها أم لا.

2) نحسب قيم الدالة في نهايات القطعة.

3) من بين قيم الوظائف الموجودة في الفقرتين الأولى والثانية، حدد الأصغر والأكثر رقم ضخم، اكتب الجواب.

نجلس على الشاطئ بحر ازرقونضرب المياه الضحلة بأعقابنا:

مثال 1

العثور على أعظم و أصغر قيمةوظائف على فترات

حل:
1) لنحسب قيم الدالة عند النقاط الحرجة التابعة لهذا المقطع:

لنحسب قيمة الدالة عند النقطة الحرجة الثانية:

2) لنحسب قيم الدالة في نهايات المقطع:

3) تم الحصول على نتائج "غامقة" باستخدام الأسس واللوغاريتمات، مما يعقد مقارنتها بشكل كبير. لهذا السبب، دعونا نتسلح بالآلة الحاسبة أو برنامج Excel ونحسب القيم التقريبية، دون أن ننسى ما يلي:

الآن كل شيء واضح.

إجابة:

مثال كسري عقلاني للحل المستقل:

مثال 6

ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدالة على القطعة

أكبر وأصغر قيمة للدالة

القيمة الكبرى للدالة هي الأكبر، والقيمة الأصغر هي الأصغر بين جميع قيمها.

يمكن أن تحتوي الدالة على قيمة واحدة أكبر وقيمة أصغر واحدة فقط، أو قد لا تحتوي على أي قيمة على الإطلاق. العثور على أكبر وأصغر القيم وظائف مستمرةيعتمد على الخصائص التالية لهذه الوظائف:

1) إذا كانت الدالة y=f(x) في فترة معينة (محدودة أو لا نهائية) متصلة ولها حد أقصى واحد فقط وإذا كانت هذه قيمة عظمى (أدنى) فستكون أكبر (أصغر) قيمة للدالة في هذه الفترة.

2) إذا كانت الدالة f(x) متصلة على مقطع معين، فمن الضروري أن يكون لها القيم الأكبر والأصغر على هذا المقطع. يتم الوصول إلى هذه القيم إما عند النقاط القصوى الموجودة داخل المقطع أو عند حدود هذا المقطع.

للعثور على أكبر وأصغر القيم في المقطع، يوصى باستخدام المخطط التالي:

1. أوجد المشتقة.

2. ابحث عن النقاط الحرجة للدالة التي تكون عندها =0 أو غير موجودة.

3. أوجد قيم الدالة عند النقاط الحرجة وفي نهايات القطعة وحدد منها أكبر f max وأصغر f max.

عند حل المشكلات التطبيقية، ولا سيما تلك المتعلقة بالتحسين، تعتبر مشكلات العثور على أكبر وأصغر القيم (الحد الأقصى العالمي والحد الأدنى العالمي) للدالة في الفاصل الزمني X أمرًا مهمًا. لحل مثل هذه المشكلات، ينبغي للمرء، بناءً على الشرط واختيار متغير مستقل والتعبير عن القيمة محل الدراسة من خلال هذا المتغير. ثم ابحث عن القيمة الأكبر أو الأصغر المطلوبة للدالة الناتجة. في هذه الحالة، يتم أيضًا تحديد الفاصل الزمني لتغير المتغير المستقل، والذي يمكن أن يكون محدودًا أو لا نهائيًا، من خلال شروط المشكلة.

مثال.الخزان، الذي له شكل مستطيل مفتوح من الأعلى ومتوازي السطوح وقاع مربع، يجب أن يكون معلبًا من الداخل بالقصدير. ما هي أبعاد الخزان إذا كانت سعته 108 لتر؟ الماء بحيث تكون تكلفة التعليب ضئيلة؟

حل.ستكون تكلفة طلاء الخزان بالقصدير ضئيلة إذا كانت مساحة سطحه ضئيلة بالنسبة لسعة معينة. دعونا نشير بواسطة dm إلى جانب القاعدة، b dm إلى ارتفاع الخزان. إذن مساحة سطحه S تساوي

و

تحدد العلاقة الناتجة العلاقة بين مساحة سطح الخزان S (الوظيفة) وجانب القاعدة (الوسيطة). دعونا نتفحص الدالة S لمعرفة الحد الأقصى. لنجد المشتقة الأولى ونساويها بالصفر ونحل المعادلة الناتجة:

وبالتالي أ = 6. (أ) > 0 لـ أ > 6، (أ)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

مثال. العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على الفاصل الزمني.

حل: وظيفة محددةمستمرة على خط الأعداد بأكمله. مشتق من وظيفة

مشتق ل و ل. لنحسب قيم الدالة في هذه النقاط:

.

قيم الدالة في نهايات الفترة المحددة متساوية. ولذلك، فإن أكبر قيمة للدالة تساوي at، وأصغر قيمة للدالة تساوي at.

أسئلة الاختبار الذاتي

1. قم بصياغة قاعدة L'Hopital للكشف عن أوجه عدم اليقين في النموذج. اذكر الأنواع المختلفة من حالات عدم اليقين التي يمكن استخدام قاعدة L'Hopital لحلها.

2. صياغة علامات الزيادة والنقصان الدالة.

3. تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة.

4. صياغة شرط ضروريوجود الحد الأقصى.

5. ما هي قيم الوسيطة (أي النقاط) التي تسمى حرجة؟ كيف تجد هذه النقاط؟

6. ما هي العلامات الكافية لوجود أقصى الدالة؟ الخطوط العريضة لخطة لدراسة الدالة في أقصى الحدود باستخدام المشتقة الأولى.

7. الخطوط العريضة لمخطط لدراسة وظيفة في أقصى الحدود باستخدام المشتق الثاني.

8. تعريف التحدب وتقعر المنحنى.

9. ما يسمى نقطة انعطاف الرسم البياني للدالة؟ أشر إلى طريقة العثور على هذه النقاط.

10. صياغة العلامات الضرورية والكافية للتحدب وتقعر المنحنى على مقطع معين.

11. تحديد الخط المقارب للمنحنى. كيفية العثور على الخطوط المقاربة الرأسية والأفقية والمائلة للرسم البياني للدالة؟

12. الخطوط العريضة المخطط العامالبحث عن وظيفة وبناء الرسم البياني لها.

13. قم بصياغة قاعدة للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة في فترة زمنية معينة.

إن عملية البحث عن أصغر وأكبر قيم دالة على مقطع ما تذكرنا برحلة رائعة حول جسم ما (رسم بياني للدالة) في طائرة هليكوبتر، وإطلاق النار في نقاط معينة من مدفع بعيد المدى واختيار غاية نقاط خاصة من هذه النقاط للتحكم في اللقطات. يتم اختيار النقاط بطريقة معينة ووفقا ل قواعد معينة. بأي قواعد؟ سنتحدث عن هذا أكثر.

إذا كانت الوظيفة ذ = F(س) مستمرة على الفترة [ أ, ب]، ثم يصل إلى هذا الجزء الأقل و أعلى القيم . يمكن أن يحدث هذا إما في النقاط القصوىأو في نهاية المقطع. لذلك، للعثور على الأقل و أكبر قيم الوظيفة ، مستمر على الفاصل الزمني [ أ, ب] ، تحتاج إلى حساب قيمه في الكل نقاط حرجةوفي نهايات القطعة، ثم اختر منها الأصغر والأكبر.

لنفترض، على سبيل المثال، أنك تريد تحديد أكبر قيمة للدالة F(س) على الجزء [ أ, ب] . للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على جميع النقاط الحرجة ملقاة على [ أ, ب] .

نقطة حرجة تسمى النقطة التي وظيفة محددة، وهي المشتقإما يساوي الصفر أو غير موجود. ثم يجب عليك حساب قيم الوظيفة عند النقاط الحرجة. وأخيرًا، يجب مقارنة قيم الدالة عند النقاط الحرجة وفي نهايات القطعة ( F(أ) و F(ب)). أكبر هذه الأرقام سيكون أكبر قيمة للدالة في المقطع [أ, ب] .

مشاكل في العثور على أصغر قيم الدالة .

نبحث عن أصغر وأكبر قيم الدالة معًا

مثال 1. ابحث عن أصغر وأكبر قيم للدالة على الجزء [-1, 2] .

حل. أوجد مشتقة هذه الدالة. دعونا نساوي المشتقة بالصفر () ونحصل على نقطتين حرجتين: و . للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة على مقطع معين، يكفي حساب قيمها عند نهايات المقطع وعند النقطة، حيث أن النقطة لا تنتمي إلى المقطع [-1، 2]. قيم الوظائف هذه هي: , . إنه يتبع هذا أصغر قيمة دالة(المشار إليها باللون الأحمر على الرسم البياني أدناه)، والتي تساوي -7، يتم تحقيقها في الطرف الأيمن من المقطع - عند النقطة ، و أعظم(باللون الأحمر أيضًا على الرسم البياني)، يساوي 9، - عند النقطة الحرجة.

إذا كانت الدالة متصلة في فترة زمنية معينة وهذه الفترة ليست قطعة (ولكنها، على سبيل المثال، فترة؛ الفرق بين الفترة والقطعة: لا يتم تضمين النقاط الحدودية للفاصل في الفترة، ولكن يتم تضمين نقاط حدود المقطع في المقطع)، فمن بين قيم الدالة قد لا تكون الأصغر والأكبر. على سبيل المثال، الدالة الموضحة في الشكل أدناه متصلة على ]-∞، +∞[ وليس لها القيمة الأكبر.

ومع ذلك، بالنسبة لأي فترة زمنية (مغلقة أو مفتوحة أو لا نهائية)، تكون الخاصية التالية للدوال المستمرة صحيحة.

مثال 4. ابحث عن أصغر وأكبر قيم للدالة على الجزء [-1, 3] .

حل. نجد مشتق هذه الدالة كمشتق حاصل القسمة:

.

نحن نساوي المشتقة بالصفر، وهو ما يعطينا واحدًا نقطة حرجة: . إنه ينتمي إلى الجزء [-1، 3] . للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة على مقطع معين، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

دعونا نقارن هذه القيم. الاستنتاج: يساوي -5/13 عند النقطة و أعلى قيمةيساوي 1 عند النقطة .

نواصل البحث عن القيم الأصغر والأكبر للدالة معًا

هناك مدرسون، فيما يتعلق بموضوع إيجاد أصغر وأكبر قيم للدالة، لا يعطوا الطلاب أمثلة لحلها تكون أكثر تعقيدًا من تلك التي تمت مناقشتها للتو، أي تلك التي تكون فيها الدالة كثيرة الحدود أو دالة الكسر الذي بسطه ومقامه كثيرات الحدود. لكننا لن نقتصر على مثل هذه الأمثلة، لأنه من بين المعلمين هناك من يحب إجبار الطلاب على التفكير بالكامل (جدول المشتقات). ولذلك، سيتم استخدام الدالة اللوغاريتمية والدالة المثلثية.

مثال 6. ابحث عن أصغر وأكبر قيم للدالة على الجزء .

حل. نجد مشتقة هذه الوظيفة كما مشتق من المنتج :

نحن نساوي المشتقة بالصفر، وهو ما يعطي نقطة حرجة واحدة: . إنه ينتمي إلى هذا الجزء. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة على مقطع معين، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

نتيجة جميع الإجراءات: تصل الدالة إلى الحد الأدنى من قيمتها، يساوي 0، عند النقطة وعند النقطة و أعلى قيمة، متساوي ه²، عند هذه النقطة.

مثال 7. ابحث عن أصغر وأكبر قيم للدالة على الجزء .

حل. أوجد مشتقة هذه الدالة:

نحن نساوي المشتقة بالصفر:

النقطة الحرجة الوحيدة تنتمي إلى هذا القطاع. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة على مقطع معين، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

خاتمة: تصل الدالة إلى الحد الأدنى من قيمتها، يساوي ، عند النقطة و أعلى قيمة, على قدم المساواة , عند هذه النقطة .

في المسائل المتطرفة المطبقة، عادةً ما يكون العثور على القيم الأصغر (القصوى) للدالة بمثابة إيجاد الحد الأدنى (الحد الأقصى). ولكن ليس الحد الأدنى أو الحد الأقصى في حد ذاته هو الذي له أهمية عملية أكبر، ولكن قيم الحجة التي يتم تحقيقها من خلالها. عند حل المهام التطبيقية، تنشأ صعوبة إضافية - تكوين وظائف تصف الظاهرة أو العملية قيد النظر.

مثال 8.يجب أن يكون الخزان بسعة 4، على شكل متوازي السطوح وقاعدة مربعة ومفتوح من الأعلى، معلبًا. ما هو الحجم الذي يجب أن يكون عليه الخزان بحيث يتم استخدام أقل كمية من المواد لتغطيته؟

حل. يترك س- الجانب الأساسي، ح- ارتفاع الخزان، س- مساحة سطحه بدون غطاء، الخامس- حجمه. يتم التعبير عن مساحة سطح الخزان بالصيغة، أي. هي دالة لمتغيرين. للتعبير سكدالة لمتغير واحد، نستخدم حقيقة أنه من أين . استبدال التعبير الموجود حفي الصيغة ل س:

دعونا نفحص هذه الوظيفة إلى أقصى الحدود. يتم تعريفه وتمييزه في كل مكان في ]0 و +∞[ و

.

نحن نساوي المشتقة بالصفر () ونجد النقطة الحرجة. بالإضافة إلى ذلك، عندما لا يكون المشتق موجودًا، ولكن هذه القيمة لا تدخل في مجال التعريف وبالتالي لا يمكن أن تكون نقطة متطرفة. لذلك، هذه هي النقطة الحرجة الوحيدة. دعونا نتحقق من وجود الحد الأقصى باستخدام علامة الكافية الثانية. دعونا نجد المشتق الثاني. عندما يكون المشتق الثاني أكبر من الصفر (). وهذا يعني أنه عندما تصل الدالة إلى الحد الأدنى . منذ هذا الحد الأدنى هو الحد الأقصى الوحيد لهذه الدالة، وهو أصغر قيمة لها. لذلك يجب أن يكون طول ضلع قاعدة الخزان 2 متر وارتفاعه .

مثال 9.من النقطة أتقع على خط السكة الحديد، إلى هذه النقطة مع، وتقع على مسافة منه ل، يجب نقل البضائع. تكلفة نقل وحدة وزن لكل وحدة مسافة بالسكك الحديدية تساوي وعبر الطريق السريع تساوي . إلى أي نقطة مخطوط سكة حديديةيجب بناء طريق سريع لنقل البضائع منها أالخامس معكان الأكثر اقتصادا (القسم أ.بمن المفترض أن تكون السكك الحديدية مستقيمة)؟

كيفية العثور على أكبر وأصغر قيم دالة على قطعة؟

لهذا نحن نتبع خوارزمية معروفة:

1 . العثور على وظائف ODZ.

2 . إيجاد مشتقة الدالة

3 . معادلة المشتقة بالصفر

4 . نجد الفترات التي يحتفظ خلالها المشتق بإشارته، ومنها نحدد فترات الزيادة والنقصان للدالة:

إذا كان مشتق الدالة في الفترة I هو 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} يزيد خلال هذه الفترة.

إذا كنت مشتقًا للدالة في الفترة، فستكون الدالة يتناقص خلال هذه الفترة.

5 . نجد الحد الأقصى والحد الأدنى من نقاط الوظيفة.

في عند النقطة القصوى للدالة، تشير تغييرات المشتقة من "+" إلى "-".

في النقطة الدنيا للوظيفةعلامة التغييرات المشتقة من "-" إلى "+".

6 . نجد قيمة الدالة في نهايات القطعة،

• ثم نقارن قيمة الدالة في نهايات المقطع وعند النقاط القصوى و اختر أكبرها إذا كنت تريد العثور على أكبر قيمة للدالة
• أو قارن قيمة الدالة في نهايات المقطع وفي الحد الأدنى من النقاط و اختر أصغرها إذا كنت تريد العثور على أصغر قيمة للدالة

ومع ذلك، اعتمادًا على كيفية تصرف الوظيفة على المقطع، يمكن تقليل هذه الخوارزمية بشكل كبير.

النظر في الوظيفة . يبدو الرسم البياني لهذه الوظيفة كما يلي:

دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لحل المشكلات من بنك المهام المفتوح لـ

1 . المهمة ب15 (رقم 26695)

على الجزء.

1. يتم تعريف الدالة لجميع القيم الحقيقية لـ x

من الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول، والمشتقة موجبة لجميع قيم x. وبالتالي، تزيد الدالة وتأخذ القيمة الأكبر عند الطرف الأيمن من الفترة، أي عند x=0.

الجواب: 5.

2 . المهمة ب15 (رقم 26702)

أوجد أكبر قيمة للدالة على الجزء.

1. وظائف ODZ عنوان = "x(pi)/2+(pi)k، k(in)(bbZ)">!}

المشتق يساوي الصفر عند ، ومع ذلك، عند هذه النقاط لا يتغير الإشارة:

لذلك، العنوان = "3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} يزيد ويأخذ القيمة الأكبر في الطرف الأيمن من الفاصل الزمني، عند .

لتوضيح سبب عدم تغير إشارة المشتقة، نقوم بتحويل التعبير الخاص بالمشتقة كما يلي:

Title="y^(رئيسي)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

الجواب: 5.

3. المهمة ب15 (رقم 26708)

أوجد أصغر قيمة للدالة في القطعة.

1. وظائف ODZ: العنوان = "x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

لنضع جذور هذه المعادلة على الدائرة المثلثية.

يحتوي الفاصل الزمني على رقمين: و

دعونا نضع لافتات. للقيام بذلك، نحدد إشارة المشتقة عند النقطة x=0: . عند المرور عبر النقاط و، علامة التغييرات المشتقة.

دعونا نصور التغير في علامات مشتق الدالة على خط الإحداثيات:

من الواضح أن النقطة هي نقطة الحد الأدنى (التي تشير عندها التغييرات المشتقة من "-" إلى "+")، وللعثور على أصغر قيمة للدالة على المقطع، تحتاج إلى مقارنة قيم الدالة عند الحد الأدنى للنقطة وفي الطرف الأيسر من المقطع، .

تتضمن الخوارزمية القياسية لحل مثل هذه المشكلات، بعد العثور على أصفار الدالة، تحديد علامات المشتق على الفواصل الزمنية. ثم يتم حساب القيم عند النقاط القصوى (أو الدنيا) الموجودة وعند حدود الفاصل الزمني، اعتمادًا على السؤال الموجود في الحالة.

أنصحك أن تفعل الأشياء بشكل مختلف قليلاً. لماذا؟ لقد كتبت عن هذا.

أقترح حل مثل هذه المشاكل على النحو التالي:

1. أوجد المشتقة.
2. أوجد أصفار المشتقة.
3. تحديد أي منهم ينتمي إلى هذه الفترة.
4. نحسب قيم الدالة عند حدود الفاصل ونقاط الخطوة 3.
5. نستنتج (الإجابة على السؤال المطروح).

أثناء حل الأمثلة المقدمة، لم يتم النظر في الحل بالتفصيل المعادلات التربيعية، يجب أن تكون قادرًا على القيام بذلك. وينبغي أن يعرفوا أيضا.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

77422. أوجد أكبر قيمة للدالة y=x 3 –3x+4 على المقطع [–2;0].

دعونا نجد أصفار المشتقة:

تنتمي النقطة x = –1 إلى الفاصل الزمني المحدد في الشرط.

نحسب قيم الدالة عند النقاط -2 و -1 و0:

أكبر قيمة للدالة هي 6.

الجواب: 6

77425. أوجد أصغر قيمة للدالة y = x 3 – 3x 2 + 2 على القطعة.

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

دعونا نجد أصفار المشتقة:

النقطة x = 2 تنتمي إلى الفاصل الزمني المحدد في الشرط.

نحسب قيم الدالة عند النقاط 1 و 2 و 4:

أصغر قيمة للدالة هي -2.

الجواب: -2

77426. أوجد أكبر قيمة للدالة y = x 3 – 6x 2 على القطعة [–3;3].

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

دعونا نجد أصفار المشتقة:

الفاصل الزمني المحدد في الشرط يحتوي على النقطة x = 0.

نحسب قيم الدالة عند النقاط –3 و0 و3:

أصغر قيمة للدالة هي 0.

الجواب: 0

77429. أوجد أصغر قيمة للدالة y = x 3 – 2x 2 + x +3 على القطعة.

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

3س 2 - 4س + 1 = 0

نحصل على الجذور: × 1 = 1 × 1 = 1/3.

الفاصل الزمني المحدد في الشرط يحتوي فقط على x = 1.

لنجد قيم الوظيفة عند النقطتين 1 و 4:

لقد وجدنا أن أصغر قيمة للدالة هي 3.

الجواب: 3

77430. أوجد أكبر قيمة للدالة y = x 3 + 2x 2 + x + 3 في القطعة [- 4; -1].

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

دعونا نجد أصفار المشتقة ونحل المعادلة التربيعية:

3س 2 + 4س + 1 = 0

دعونا نحصل على الجذور:

يحتوي الفاصل الزمني المحدد في الشرط على الجذر x = –1.

نجد قيم الدالة عند النقاط –4، –1، –1/3، و1:

لقد وجدنا أن أكبر قيمة للدالة هي 3.

الجواب: 3

77433. أوجد أصغر قيمة للدالة y = x 3 – x 2 – 40x +3 على القطعة.

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

دعونا نجد أصفار المشتقة ونحل المعادلة التربيعية:

3س2 – 2س – 40 = 0

دعونا نحصل على الجذور:

الفاصل الزمني المحدد في الشرط يحتوي على الجذر x = 4.

ابحث عن قيم الوظيفة عند النقطتين 0 و 4:

لقد وجدنا أن أصغر قيمة للدالة هي -109.

الجواب: -109

دعونا نفكر في طريقة لتحديد أكبر وأصغر قيم للوظائف بدون مشتق. يمكن استخدام هذا النهج إذا كان لديك مشاكل كبيرة. المبدأ بسيط - نحن نستبدل جميع القيم الصحيحة من الفاصل الزمني في الدالة (الحقيقة هي أن الإجابة في جميع هذه النماذج الأولية هي عدد صحيح).

77437. أوجد أصغر قيمة للدالة y=7+12x–x 3 على القطعة [–2;2].

استبدال النقاط من -2 إلى 2: عرض الحل

77434. أوجد أكبر قيمة للدالة y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 في القطعة [–2;0].

هذا كل شئ. كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.