صغيرة وجميلة مهمة بسيطةمن فئة من هم بمثابة المنقذ لحياة الطالب العائم. إنها الطبيعة في منتصف شهر يوليو، لذا فقد حان الوقت للاستقرار مع الكمبيوتر المحمول الخاص بك على الشاطئ. في الصباح الباكر، بدأ شعاع شمس النظرية يعزف، من أجل التركيز قريباً على الممارسة، التي، على الرغم من السهولة المعلنة، تحتوي على شظايا الزجاج في الرمال. وفي هذا الصدد، أوصي بأن تنظر بضمير حي في الأمثلة القليلة لهذه الصفحة. لحل المشكلات العملية يجب أن تكون قادرًا على ذلك العثور على المشتقاتوفهم مادة المقال فترات الرتابة والحدود القصوى للوظيفة.

أولا، لفترة وجيزة عن الشيء الرئيسي. في الدرس حول استمرارية الوظيفةلقد قدمت تعريف الاستمرارية عند نقطة والاستمرارية عند فترة زمنية. تتم صياغة السلوك المثالي للدالة على المقطع بطريقة مماثلة. تكون الدالة مستمرة على فترة إذا:

1) أنها مستمرة على الفترة .
2) مستمرة عند نقطة ما على اليمينوعند هذه النقطة غادر.

وفي الفقرة الثانية تحدثنا عن ما يسمى الاستمرارية من جانب واحدوظائف عند نقطة ما. هناك عدة طرق لتعريفه، لكنني سألتزم بالسطر الذي بدأته سابقًا:

الدالة مستمرة عند النقطة على اليمين، إذا تم تعريفها عند نقطة معينة وكان حدها الأيمن يتزامن مع قيمة الدالة عند نقطة معينة: . وهو مستمر عند هذه النقطة غادر، إذا تم تعريفها عند نقطة معينة وحدها الأيسر يساوي القيمةعند هذه النقطة:

تخيل أن النقاط الخضراء عبارة عن مسامير متصلة بها شريط مطاطي سحري:

خذ عقليا الخط الأحمر في يديك. من الواضح أنه بغض النظر عن مدى تمديد الرسم البياني لأعلى ولأسفل (على طول المحور)، ستظل الوظيفة قائمة محدود- سياج في الأعلى، وسياج في الأسفل، ومنتجاتنا ترعى في المرعى. هكذا، دالة مستمرة على فترة محددة بها. في سياق التحليل الرياضي، يتم ذكر هذه الحقيقة التي تبدو بسيطة وإثباتها بدقة. نظرية فايرستراس الأولى....ينزعج الكثير من الناس من أن العبارات الأولية يتم إثباتها بشكل مضجر في الرياضيات، لكن هذا له معنى مهم. لنفترض أن أحد سكان العصور الوسطى تيري قام بسحب رسم بياني إلى السماء خارج نطاق الرؤية، فقد تم إدراجه. قبل اختراع التلسكوب، لم تكن وظيفته المحدودة في الفضاء واضحة على الإطلاق! حقاً، كيف تعرف ما ينتظرنا في الأفق؟ بعد كل شيء، كانت الأرض تعتبر ذات يوم مسطحة، لذلك حتى النقل الآني العادي يتطلب إثباتًا =)

وفق نظرية فايرستراس الثانية, مستمر على قطعةتصل الدالة إلى الحد الأعلى الدقيقوما تملكه الحافة السفلية بالضبط .

ويسمى الرقم أيضا الحد الأقصى لقيمة الدالة على المقطعويشار إليها بـ ، والرقم هو الحد الأدنى لقيمة الدالة على المقطعتم وضع علامة .

في حالتنا هذه:

ملحوظة : من الناحية النظرية، التسجيلات شائعة .

تحدث تقريبا، أعلى قيمةيقع حيث أكثر نقطة عاليةالرسومات، والأصغر هو حيث أدنى نقطة.

مهم!كما تم التأكيد عليه بالفعل في المقال حول الحد الأقصى للوظيفة, أعظم قيمة وظيفةو أصغر قيمة دالة – ليس هو نفسه، ماذا أقصى وظيفةو وظيفة الحد الأدنى. لذلك، في المثال قيد النظر، الرقم هو الحد الأدنى للدالة، ولكن ليس الحد الأدنى للقيمة.

بالمناسبة ماذا يحدث خارج القطاع؟ نعم، حتى الفيضان، في سياق المشكلة قيد النظر، لا يهمنا على الإطلاق. تتضمن المهمة فقط العثور على رقمين وهذا كل شيء!

علاوة على ذلك، فإن الحل تحليلي بحت لا حاجة لعمل رسم!

تقع الخوارزمية على السطح وتقترح نفسها من الشكل أعلاه:

1) ابحث عن قيم الوظيفة في نقاط حرجة, التي تنتمي إلى هذه الشريحة.

احصل على مكافأة أخرى: هنا ليست هناك حاجة للتحقق من الحالة الكافية للحد الأقصى، لأنه، كما هو موضح للتو، وجود الحد الأدنى أو الحد الأقصى لا يضمن بعد، ما هي القيمة الدنيا أو القصوى. تصل وظيفة العرض التوضيحي إلى الحد الأقصى، وبإرادة القدر، يكون نفس الرقم هو أكبر قيمة للدالة في المقطع. ولكن، بطبيعة الحال، لا تحدث مثل هذه الصدفة دائما.

لذلك، في الخطوة الأولى، يكون من الأسرع والأسهل حساب قيم الدالة عند النقاط الحرجة التابعة للقطعة، دون الحاجة إلى الاهتمام بما إذا كانت هناك نقاط متطرفة فيها أم لا.

2) نحسب قيم الدالة في نهايات القطعة.

3) من بين قيم الوظائف الموجودة في الفقرتين الأولى والثانية، حدد الأصغر والأكثر رقم ضخم، اكتب الجواب.

نجلس على الشاطئ بحر ازرقونضرب المياه الضحلة بأعقابنا:

مثال 1

العثور على أعظم و أصغر قيمةوظائف على فترات

حل:
1) لنحسب قيم الدالة عند النقاط الحرجة التابعة لهذا المقطع:

لنحسب قيمة الدالة عند النقطة الحرجة الثانية:

2) لنحسب قيم الدالة في نهايات المقطع:

3) تم الحصول على نتائج "غامقة" باستخدام الأسس واللوغاريتمات، مما يعقد مقارنتها بشكل كبير. لهذا السبب، دعونا نتسلح بالآلة الحاسبة أو برنامج Excel ونحسب القيم التقريبية، دون أن ننسى ما يلي:

الآن كل شيء واضح.

إجابة:

مثال كسري عقلاني للحل المستقل:

مثال 6

ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدالة على القطعة

دع الدالة $z=f(x,y)$ محددة ومستمرة في بعض الحدود منطقة مغلقة$د$. دع الوظيفة المعطاة في هذه المنطقة لها مشتقات جزئية محدودة من الدرجة الأولى (باستثناء، ربما، عدد محدود من النقاط). للعثور على أكبر وأصغر قيم دالة لمتغيرين في منطقة مغلقة معينة، يلزم ثلاث خطوات من خوارزمية بسيطة.

خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة $z=f(x,y)$ في مجال مغلق $D$.

1. أوجد النقاط الحرجة للدالة $z=f(x,y)$ التي تنتمي إلى المجال $D$. حساب قيم الوظيفة عند النقاط الحرجة.
2. التحقق من سلوك الدالة $z=f(x,y)$ على حدود المنطقة $D$، وإيجاد نقاط القيم القصوى والصغرى الممكنة. احسب قيم الوظيفة عند النقاط التي تم الحصول عليها.
3. من قيم الدالة التي تم الحصول عليها في الفقرتين السابقتين، حدد الأكبر والأصغر.

ما هي النقاط الحرجة؟ اظهر المخفي

تحت نقاط حرجةتشير إلى نقاط تكون عندها المشتقتان الجزئيتان من الدرجة الأولى مساوية للصفر (أي $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ و$\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) أو على الأقل لا يوجد مشتق جزئي واحد.

غالبًا ما يتم استدعاء النقاط التي تكون عندها المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى مساوية للصفر نقاط ثابتة. وبالتالي، فإن النقاط الثابتة هي مجموعة فرعية من النقاط الحرجة.

المثال رقم 1

ابحث عن القيم الأكبر والأصغر للدالة $z=x^2+2xy-y^2-4x$ في منطقة مغلقة، محدودة بالخطوط$x=3$، $y=0$ و $y=x+1$.

سوف نتبع ما سبق، ولكن أولاً سنتعامل مع رسم منطقة معينة، والتي سنشير إليها بالحرف $D$. نحن معطى معادلات من ثلاثةالخطوط المستقيمة التي تحد هذه المنطقة. يمر الخط المستقيم $x=3$ عبر النقطة $(3;0)$ بالتوازي مع المحور الإحداثي (محور Oy). الخط المستقيم $y=0$ هو معادلة محور الإحداثي السيني (محور الثور). حسنًا، لبناء الخط $y=x+1$، سنجد نقطتين سنرسم من خلالهما هذا الخط. يمكنك بالطبع استبدال قيمتين عشوائيتين بدلاً من $x$. على سبيل المثال، بالتعويض $x=10$، نحصل على: $y=x+1=10+1=11$. لقد وجدنا النقطة $(10;11)$ الواقعة على السطر $y=x+1$. ومع ذلك، فمن الأفضل العثور على تلك النقاط التي يتقاطع عندها الخط المستقيم $y=x+1$ مع الخطين $x=3$ و$y=0$. لماذا هذا أفضل؟ لأننا سنقتل عصفورين بحجر واحد: سنحصل على نقطتين لبناء الخط المستقيم $y=x+1$ وفي نفس الوقت نكتشف عند أي نقاط يتقاطع هذا الخط المستقيم مع الخطوط الأخرى التي تحد المنطقة المحددة. يتقاطع السطر $y=x+1$ مع السطر $x=3$ عند النقطة $(3;4)$، ويتقاطع السطر $y=0$ عند النقطة $(-1;0)$. وحتى لا تشوش سير الحل بالتفسيرات المساعدة، سأضع مسألة الحصول على هاتين النقطتين في ملاحظة.

كيف تم الحصول على النقاط $(3;4)$ و$(-1;0)$؟ اظهر المخفي

لنبدأ من نقطة تقاطع الخطين $y=x+1$ و$x=3$. تنتمي إحداثيات النقطة المطلوبة إلى كل من الخطين المستقيمين الأول والثاني، لذلك للعثور على الإحداثيات المجهولة، عليك حل نظام المعادلات:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

الحل لمثل هذا النظام تافه: بالتعويض $x=3$ في المعادلة الأولى التي سنحصل عليها: $y=3+1=4$. النقطة $(3;4)$ هي نقطة التقاطع المطلوبة للخطين $y=x+1$ و$x=3$.

الآن دعونا نجد نقطة تقاطع الخطين $y=x+1$ و$y=0$. دعونا مرة أخرى نؤلف ونحل نظام المعادلات:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

بالتعويض $y=0$ في المعادلة الأولى، نحصل على: $0=x+1$، $x=-1$. النقطة $(-1;0)$ هي نقطة التقاطع المطلوبة للخطين $y=x+1$ و$y=0$ (المحور x).

كل شيء جاهز لبناء رسم سيبدو كما يلي:

سؤال المذكرة يبدو واضحا، لأن كل شيء واضح في الصورة. ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن الرسم لا يمكن أن يكون بمثابة دليل. الرسم لأغراض توضيحية فقط.

تم تعريف منطقتنا باستخدام معادلات الخط المستقيم التي تربطها. من الواضح أن هذه الخطوط تحدد المثلث، أليس كذلك؟ أم أنها ليست واضحة تماما؟ أو ربما تم إعطاؤنا مساحة مختلفة، يحدها نفس الخطوط:

طبعا الشرط يقول أن المنطقة مغلقة وبالتالي الصورة المعروضة غير صحيحة. ولكن لتجنب مثل هذا الغموض، فمن الأفضل تعريف المناطق على أساس عدم المساواة. هل نحن مهتمون بجزء المستوى الواقع تحت الخط المستقيم $y=x+1$؟ حسنًا، $y ≥ x+1$. هل يجب أن تقع منطقتنا فوق الخط $y=0$؟ عظيم، وهذا يعني $y ≥ 0$. بالمناسبة، يمكن بسهولة دمج المتباينتين الأخيرتين في متباينة واحدة: $0 ≥ y ≥ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≥ y ≥ x+1;\\ & x ≥ 3. \end(aligned) \right. $$

تحدد أوجه عدم المساواة هذه المنطقة $D$، وتحددها بشكل لا لبس فيه، دون السماح بأي غموض. ولكن كيف يساعدنا هذا في الإجابة على السؤال المذكور في بداية المذكرة؟ سيساعد ذلك أيضًا :) نحتاج إلى التحقق مما إذا كانت النقطة $M_1(1;1)$ تنتمي إلى المنطقة $D$. دعونا نستبدل $x=1$ و$y=1$ في نظام المتباينات الذي يحدد هذه المنطقة. إذا تحققت المتباينتان، فإن النقطة تقع داخل المنطقة. إذا لم يتم استيفاء إحدى المتباينات على الأقل، فإن النقطة لا تنتمي إلى المنطقة. لذا:

$$ \left \( \begin(محاذاة) & 0 ≥ 1 ≥ 1+1;\\ & 1 ≥ 3. \end(محاذاة) \right. \;\; \left \( \begin(محاذاة) & 0 ≥ 1 ≥ 2;\\ & 1 ≥ 3. \end(محاذاة) \right.$$

كلا عدم المساواة صحيحة. النقطة $M_1(1;1)$ تنتمي إلى المنطقة $D$.

والآن حان الوقت لدراسة سلوك الدالة عند حدود المنطقة، أي. لنذهب إلى . لنبدأ بالخط المستقيم $y=0$.

يحد الخط المستقيم $y=0$ (محور الإحداثي السيني) المنطقة $D$ تحت الشرط $-1 ≥ x ≥ 3$. دعونا نستبدل $y=0$ في الدالة المعطاة $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. نشير إلى دالة متغير واحد $x$ تم الحصول عليه نتيجة الاستبدال كـ $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

الآن بالنسبة للدالة $f_1(x)$، نحتاج إلى العثور على أكبر وأصغر القيم في الفترة $-1 ≥ x ≥ 3$. لنجد مشتقة هذه الدالة ونساويها بالصفر:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

تنتمي القيمة $x=2$ إلى المقطع $-1 ≥ x ≥ 3$، لذلك سنضيف أيضًا $M_2(2;0)$ إلى قائمة النقاط. بالإضافة إلى ذلك، دعونا نحسب قيم الدالة $z$ في نهايات المقطع $-1 ≥ x ≥ 3$، أي. عند النقطتين $M_3(-1;0)$ و$M_4(3;0)$. بالمناسبة، إذا كانت النقطة $M_2$ لا تنتمي إلى المقطع قيد النظر، فلن تكون هناك حاجة بالطبع لحساب قيمة الدالة $z$ فيها.

لذلك، دعونا نحسب قيم الدالة $z$ عند النقاط $M_2$، $M_3$، $M_4$. يمكنك بالطبع استبدال إحداثيات هذه النقاط في التعبير الأصلي $z=x^2+2xy-y^2-4x$. على سبيل المثال، بالنسبة للنقطة $M_2$ نحصل على:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

ومع ذلك، يمكن تبسيط الحسابات قليلا. للقيام بذلك، يجدر بنا أن نتذكر أنه في المقطع $M_3M_4$ لدينا $z(x,y)=f_1(x)$. سأكتب هذا بالتفصيل:

\begin(محاذاة) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(محاذاة)

بالطبع، عادة لا تكون هناك حاجة لمثل هذه السجلات التفصيلية، وفي المستقبل سنكتب جميع الحسابات بإيجاز:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

والآن دعونا ننتقل إلى الخط المستقيم $x=3$. يحد هذا الخط المستقيم المنطقة $D$ تحت الشرط $0 ≥ y ≥ 4$. لنستبدل $x=3$ في الدالة المعطاة $z$. نتيجة لهذا الاستبدال نحصل على الدالة $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

بالنسبة للدالة $f_2(y)$ نحتاج إلى العثور على أكبر وأصغر القيم في الفاصل الزمني $0 ≥ y ≥ 4$. لنجد مشتقة هذه الدالة ونساويها بالصفر:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

تنتمي القيمة $y=3$ إلى المقطع $0 ≥ y ≥ 4$، لذلك سنضيف أيضًا $M_5(3;3)$ إلى النقاط التي تم العثور عليها مسبقًا. بالإضافة إلى ذلك، من الضروري حساب قيمة الدالة $z$ عند النقاط الموجودة في نهايات المقطع $0 ≥ y ≥ 4$، أي. عند النقطتين $M_4(3;0)$ و$M_6(3;4)$. عند النقطة $M_4(3;0)$ قمنا بالفعل بحساب قيمة $z$. دعونا نحسب قيمة الدالة $z$ عند النقطتين $M_5$ و$M_6$. دعني أذكرك أنه في المقطع $M_4M_6$ لدينا $z(x,y)=f_2(y)$، وبالتالي:

\begin(محاذاة) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(محاذاة)

وأخيرًا، ضع في اعتبارك الحد الأخير للمنطقة $D$، أي. خط مستقيم $y=x+1$. يحد هذا الخط المستقيم المنطقة $D$ تحت الشرط $-1 ≥ x ≥ 3$. بالتعويض $y=x+1$ في الدالة $z$، سيكون لدينا:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

مرة أخرى لدينا دالة ذات متغير واحد $x$. ومرة أخرى نحتاج إلى إيجاد أكبر وأصغر قيم لهذه الدالة على الفترة $-1 ≥ x ≥ 3$. دعونا نوجد مشتقة الدالة $f_(3)(x)$ ونساويها بالصفر:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

تنتمي القيمة $x=1$ إلى الفاصل الزمني $-1 ≥ x ≥ 3$. إذا كان $x=1$، فإن $y=x+1=2$. دعونا نضيف $M_7(1;2)$ إلى قائمة النقاط ونكتشف قيمة الدالة $z$ في هذه المرحلة. النقاط في نهايات المقطع $-1 ≥ x ≥ 3$، أي. تم أخذ النقطتين $M_3(-1;0)$ و$M_6(3;4)$ في الاعتبار سابقًا، وقد وجدنا بالفعل قيمة الدالة فيهما.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

اكتملت الخطوة الثانية من الحل. لقد حصلنا على سبع قيم:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

دعونا ننتقل إلى. باختيار القيم الأكبر والأصغر من الأرقام التي تم الحصول عليها في الفقرة الثالثة سيكون لدينا:

$$z_(دقيقة)=-4; \; z_(الحد الأقصى)=6.$$

تم حل المشكلة، كل ما تبقى هو كتابة الجواب.

إجابة: $z_(دقيقة)=-4; \; z_(الحد الأقصى)=6$.

المثال رقم 2

ابحث عن القيم الأكبر والأصغر للدالة $z=x^2+y^2-12x+16y$ في المنطقة $x^2+y^2 ≥ 25$.

أولا، دعونا نبني الرسم. تحدد المعادلة $x^2+y^2=25$ (هذا هو الخط الحدودي لمنطقة معينة) دائرة مركزها عند نقطة الأصل (أي عند النقطة $(0;0)$) ونصف قطرها 5. إن المتراجحة $x^2 +y^2 ≥ $25 تحقق جميع النقاط الموجودة داخل الدائرة المذكورة وعلى متنها.

سوف نتصرف وفقا لذلك. دعونا نجد المشتقات الجزئية ونكتشف النقاط الحرجة.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

لا توجد نقاط لا توجد فيها المشتقات الجزئية الموجودة. دعونا نكتشف عند أي نقاط تساوي المشتقتان الجزئيتان الصفر في نفس الوقت، أي. دعونا نجد النقاط الثابتة.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(محاذاة)\right.$$

لقد حصلنا على نقطة ثابتة $(6;-8)$. ومع ذلك، فإن النقطة التي تم العثور عليها لا تنتمي إلى المنطقة $D$. من السهل إظهار ذلك دون اللجوء إلى الرسم. دعونا نتحقق مما إذا كانت المتباينة $x^2+y^2 ≥ 25$ صامدة، والتي تحدد منطقتنا $D$. إذا كان $x=6$، $y=-8$، فإن $x^2+y^2=36+64=100$، أي. عدم المساواة $x^2+y^2 ≥ 25$ لا يصمد. الخلاصة: النقطة $(6;-8)$ لا تنتمي إلى المنطقة $D$.

لذلك، لا توجد نقاط حرجة داخل المنطقة $D$. دعنا ننتقل إلى... نحن بحاجة إلى دراسة سلوك وظيفة على حدود منطقة معينة، أي. على الدائرة $x^2+y^2=25$. يمكننا بالطبع التعبير عن $y$ بدلالة $x$، ثم استبدال التعبير الناتج في الدالة $z$. من معادلة الدائرة نحصل على: $y=\sqrt(25-x^2)$ أو $y=-\sqrt(25-x^2)$. بالتعويض، على سبيل المثال، $y=\sqrt(25-x^2)$ في الدالة المحددة، سيكون لدينا:

$$ ض=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2)؛ \;\; -5×× ≥ 5.$$

وسيكون الحل الإضافي مطابقاً تماماً لدراسة سلوك الدالة عند حدود المنطقة في المثال السابق رقم 1. ومع ذلك، يبدو لي أكثر منطقية لتطبيق طريقة لاغرانج في هذه الحالة. سنكون مهتمين فقط بالجزء الأول من هذه الطريقة. بعد تطبيق الجزء الأول من طريقة لاغرانج، سنحصل على النقاط التي سنقوم عندها بفحص الدالة $z$ لمعرفة القيم الدنيا والقصوى.

نحن نؤلف وظيفة لاغرانج:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

نجد المشتقات الجزئية لدالة لاغرانج ونؤلف نظام المعادلات المقابل:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (محاذاة) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end(محاذاة) \ يمين. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( محاذاة)\يمين.$$

لحل هذا النظام، دعونا نشير على الفور إلى أن $\lambda\neq -1$. لماذا $\lambda\neq -1$؟ دعونا نحاول التعويض $\lambda=-1$ في المعادلة الأولى:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; س-س=6; \; 0=6. $$

يشير التناقض الناتج $0=6$ إلى أن القيمة $\lambda=-1$ غير مقبولة. الإخراج: $\lambda\neq -1$. لنعبر عن $x$ و$y$ بدلالة $\lambda$:

\begin(محاذاة) & x+\lambda x=6;\; x(1+\لامدا)=6;\; س=\فارك(6)(1+\لامدا). \\ & y+\lambda y=-8;\; ص(1+\لامدا)=-8;\; ص=\فارك(-8)(1+\لامدا). \end(محاذاة)

أعتقد أنه أصبح من الواضح هنا سبب اشتراطنا الشرط $\lambda\neq -1$ على وجه التحديد. وقد تم ذلك لملاءمة التعبير $1+\lambda$ في المقامات دون أي تدخل. أي للتأكد من أن المقام $1+\lambda\neq 0$.

دعونا نستبدل التعبيرات الناتجة عن $x$ و $y$ في المعادلة الثالثة للنظام، أي. في $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\لامدا)^2)+\فارك(64)((1+\لامدا)^2)=25;\\ \فارك(100)((1+\لامدا)^2)=25 ; \; (1+\لامدا)^2=4. $$

ويترتب على المساواة الناتجة أن $1+\lambda=2$ أو $1+\lambda=-2$. وبالتالي لدينا قيمتان للمعلمة $\lambda$، وهما: $\lambda_1=1$، $\lambda_2=-3$. وبناء على ذلك، نحصل على زوجين من القيم $x$ و $y$:

\begin(محاذاة) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(محاذاة)

وبذلك نكون قد حصلنا على نقطتين من أقصى الشرط الممكن، أي. $M_1(3;-4)$ و$M_2(-3;4)$. لنجد قيم الدالة $z$ عند النقطتين $M_1$ و $M_2$:

\begin(محاذاة) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(محاذاة)

يجب أن نختار القيم الأكبر والأصغر من تلك التي حصلنا عليها في الخطوتين الأولى والثانية. لكن في هذه الحالة يكون الاختيار صغيرًا :) لدينا:

$$ z_(دقيقة)=-75; \; ض_(الحد الأقصى)=125. $$

إجابة: $z_(دقيقة)=-75; \; z_(الحد الأقصى)=125 دولارًا.

من الناحية العملية، الفائدة الأكبر هي استخدام المشتق للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة. ما علاقة هذا؟ تعظيم الأرباح وتقليل التكاليف وتحديد الحمل الأمثل للمعدات... بمعنى آخر، يتعين علينا في العديد من مجالات الحياة حل مشكلات تحسين بعض المعلمات. وهذه هي مهام إيجاد القيم الأكبر والأصغر للدالة.

تجدر الإشارة إلى أنه عادة ما يتم البحث عن القيم الأكبر والأصغر للدالة في فترة معينة X، وهي إما مجال الدالة بالكامل أو جزء من مجال التعريف. الفاصل الزمني X نفسه يمكن أن يكون قطعة، فاصل زمني مفتوح ، فاصل لا نهائي.

سنتحدث في هذه المقالة عن إيجاد القيم الأكبر والأصغر بشكل صريح وظيفة معينةمتغير واحد y=f(x) .

التنقل في الصفحة.

أكبر وأصغر قيمة للدالة - التعريفات والرسوم التوضيحية.

دعونا نلقي نظرة سريعة على التعاريف الرئيسية.

أكبر قيمة للدالة ذلك لأي شخص عدم المساواة صحيح.

أصغر قيمة للدالة y=f(x) على الفاصل الزمني X تسمى هذه القيمة ذلك لأي شخص عدم المساواة صحيح.

هذه التعريفات بديهية: القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة هي أكبر (أصغر) قيمة مقبولة في الفترة قيد النظر عند الإحداثي السيني.

نقاط ثابتة– هذه هي قيم الوسيطة التي يصبح عندها مشتق الدالة صفراً.

لماذا نحتاج إلى نقاط ثابتة عند إيجاد القيم الأكبر والأصغر؟ الجواب على هذا السؤال يأتي من نظرية فيرما. ويترتب على هذه النظرية أنه إذا كانت الدالة القابلة للتفاضل لها حد أقصى (حد أدنى محلي أو حد أقصى محلي) في مرحلة ما، فإن هذه النقطة تكون ثابتة. وبالتالي، فإن الدالة غالبًا ما تأخذ أكبر (أصغر) قيمة لها على الفاصل الزمني X عند إحدى النقاط الثابتة من هذا الفاصل الزمني.

كما أن الدالة يمكن أن تأخذ قيمها الأكبر والأصغر في كثير من الأحيان عند نقاط لا يوجد فيها المشتق الأول لهذه الدالة، ويتم تعريف الدالة نفسها.

دعنا نجيب على الفور على أحد الأسئلة الأكثر شيوعًا حول هذا الموضوع: "هل من الممكن دائمًا تحديد القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة"؟ لا، ليس دائما. في بعض الأحيان تتطابق حدود الفاصل الزمني X مع حدود مجال تعريف الدالة، أو يكون الفاصل الزمني X لانهائيًا. وبعض الدوال عند اللانهاية وعند حدود مجال التعريف يمكن أن تأخذ قيمًا كبيرة بلا حدود وقيمًا صغيرة بلا حدود. في هذه الحالات، لا يمكن قول أي شيء عن القيمة الأكبر والأصغر للدالة.

من أجل الوضوح، سنقدم رسما توضيحيا. انظر إلى الصور وسيصبح الكثير أكثر وضوحًا.

على الجزء

في الشكل الأول، تأخذ الدالة القيم الأكبر (max y) والأصغر (min y) عند نقاط ثابتة تقع داخل المقطع [-6;6].

النظر في الحالة المبينة في الشكل الثاني. دعونا نغير المقطع إلى . في هذا المثال، يتم تحقيق أصغر قيمة للدالة عند نقطة ثابتة، والقيمة الأكبر عند النقطة التي يقابلها الإحداثي المحوري الحدود اليمنىفاصلة.

في الشكل 3، النقاط الحدودية للمقطع [-3;2] هي حدود النقاط المقابلة لأكبر وأصغر قيمة للدالة.

على فترة مفتوحة

في الشكل الرابع، تأخذ الدالة القيم الأكبر (max y) والأصغر (min y) عند نقاط ثابتة تقع داخل الفترة المفتوحة (-6;6).

في الفترة، لا يمكن استخلاص أي استنتاجات حول القيمة الأكبر.

في اللانهاية

في المثال المعروض في الشكل السابع، تأخذ الدالة القيمة الأكبر (max y) عند نقطة ثابتة مع الإحداثي السيني x=1، ويتم تحقيق أصغر قيمة (min y) على الحد الأيمن للفاصل الزمني. عند علامة ناقص اللانهاية، تقترب قيم الدالة بشكل مقارب من y=3.

خلال الفترة، لا تصل الدالة إلى القيمة الأصغر أو الأكبر. مع اقتراب x=2 من اليمين، تميل قيم الدالة إلى ناقص ما لا نهاية (الخط المستقيم x=2 هو الخط المقارب الرأسي) ، وبما أن الإحداثي السيني يميل إلى ما لا نهاية، فإن قيم الدالة تقترب بشكل مقارب من y=3. يظهر الرسم التوضيحي لهذا المثال في الشكل 8.

خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة على القطعة.

دعونا نكتب خوارزمية تسمح لنا بالعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على القطعة.

1. نجد مجال تعريف الوظيفة ونتحقق مما إذا كانت تحتوي على المقطع بأكمله.
2. نجد جميع النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول والموجودة في المقطع (عادةً ما توجد هذه النقاط في الدوال ذات الوسيطة تحت علامة المعامل وفي وظائف الطاقةمع الأس الكسرى). إذا لم تكن هناك مثل هذه النقاط، فانتقل إلى النقطة التالية.
3. نحدد جميع النقاط الثابتة التي تقع ضمن المقطع. للقيام بذلك، نساويه بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة ونختار الجذور المناسبة. إذا لم تكن هناك نقاط ثابتة أو لم يقع أي منها في المقطع، فانتقل إلى النقطة التالية.
4. نحسب قيم الدالة عند نقاط ثابتة محددة (إن وجدت)، عند النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول (إن وجد)، وكذلك عند x=a وx=b.
5. من قيم الوظيفة التي تم الحصول عليها، نختار الأكبر والأصغر - ستكون القيم الأكبر والأصغر المطلوبة للوظيفة، على التوالي.

دعونا نحلل الخوارزمية لحل مثال للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على القطعة.

مثال.

أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة

• على المقطع؛
• على المقطع [-4;-1] .

حل.

مجال تعريف الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها، باستثناء الصفر. كلا القطاعين يقعان ضمن مجال التعريف.

أوجد مشتقة الدالة بالنسبة إلى:

من الواضح أن مشتق الدالة موجود في جميع نقاط القطع و [-4;-1].

نحدد النقاط الثابتة من المعادلة. الجذر الحقيقي الوحيد هو x=2 تقع هذه النقطة الثابتة في الجزء الأول.

في الحالة الأولى، نحسب قيم الدالة عند نهايات المقطع وعند النقطة الثابتة، أي بالنسبة لـ x=1 وx=2 وx=4:

وبالتالي فإن القيمة الأكبر للدالة يتم تحقيقه عند x=1، وأصغر قيمة – عند س=2.

في الحالة الثانية، نحسب قيم الدالة فقط في نهايات المقطع [-4;-1] (نظرًا لأنه لا يحتوي على نقطة ثابتة واحدة):

دعونا نرى كيفية فحص دالة باستخدام الرسم البياني. اتضح أنه من خلال النظر إلى الرسم البياني، يمكننا معرفة كل ما يهمنا، وهي:

• مجال الوظيفة
• نطاق الوظيفة
• وظيفة الأصفار
• فترات الزيادة والنقصان
• الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط
• أكبر وأصغر قيمة للدالة على القطعة.

دعونا نوضح المصطلحات:

الإحداثي السينيهو الإحداثي الأفقي للنقطة.
تنسيق- الإحداثيات العمودية.
محور الإحداثي السيني- المحور الأفقي، ويسمى في أغلب الأحيان بالمحور.
المحور ص- المحور الرأسي، أو المحور.

دعوى- متغير مستقل تعتمد عليه قيم الدالة. يشار في أغلب الأحيان.
بمعنى آخر، نختار ونستبدل الوظائف في الصيغة ونحصل على .

اِختِصاصوظائف - مجموعة قيم الوسيطات (وهذه فقط) التي توجد بها الوظيفة.
تمت الإشارة إليه بواسطة: أو .

في الشكل الذي لدينا، مجال تعريف الدالة هو القطعة. في هذا الجزء يتم رسم الرسم البياني للوظيفة. هذا هو المكان الوحيد الذي توجد فيه هذه الوظيفة.

نطاق الوظيفةهي مجموعة القيم التي يأخذها المتغير. في الشكل الخاص بنا، هذا مقطع - من القيمة الأدنى إلى القيمة الأعلى.

وظيفة الأصفار- النقاط التي تكون فيها قيمة الدالة صفراً. في الشكل لدينا هذه هي النقاط و .

قيم الوظيفة إيجابيةأين . في الشكل لدينا هذه هي الفواصل الزمنية و .
قيم الوظيفة سلبيةأين . بالنسبة لنا، هذا هو الفاصل الزمني (أو الفاصل الزمني) من إلى .

أهم المفاهيم - وظيفة متزايدة ومتناقصةعلى مجموعة ما. كمجموعة، يمكنك أخذ قطعة، أو فاصل زمني، أو اتحاد فترات، أو خط الأعداد بأكمله.

وظيفة يزيد

بمعنى آخر، كلما زاد، زاد، أي أن الرسم البياني يتجه إلى اليمين وإلى الأعلى.

وظيفة يتناقصعلى مجموعة إذا كانت لأية وتنتمي إلى المجموعة، فإن عدم المساواة يعني عدم المساواة.

لوظيفة تناقصية قيمة أعلىيتوافق مع القيمة الأصغر. الرسم البياني يذهب إلى اليمين وإلى الأسفل.

في الشكل الذي لدينا، تزيد الدالة على الفترة وتتناقص على الفترات و.

دعونا نحدد ما هو عليه الحد الأقصى والحد الأدنى من نقاط الوظيفة.

النقطة القصوى- وهي نقطة داخلية من مجال التعريف، بحيث تكون قيمة الدالة فيها أكبر منها في جميع النقاط القريبة منها بدرجة كافية.
بمعنى آخر، النقطة القصوى هي النقطة التي تكون عندها قيمة الدالة أكثرمنه في الدول المجاورة. هذا "تل" محلي على الرسم البياني.

في الشكل لدينا هناك نقطة قصوى.

النقطة الدنيا- نقطة داخلية من مجال التعريف بحيث تكون قيمة الدالة فيها أقل منها في جميع النقاط القريبة منها بدرجة كافية.
أي أن النقطة الدنيا تكون بحيث تكون قيمة الدالة فيها أقل من قيمة جيرانها. هذه "ثغرة" محلية على الرسم البياني.

في الشكل لدينا هناك نقطة الحد الأدنى.

النقطة هي الحدود. إنها ليست نقطة داخلية لمجال التعريف وبالتالي لا تتناسب مع تعريف النقطة القصوى. بعد كل شيء، ليس لديها جيران على اليسار. وبنفس الطريقة، لا يمكن أن يكون هناك نقطة دنيا على الرسم البياني لدينا.

يتم استدعاء الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط معًا النقاط القصوى للوظيفة. في حالتنا هذا هو و .

ماذا تفعل إذا كنت بحاجة إلى العثور على، على سبيل المثال، وظيفة الحد الأدنىعلى الجزء؟ الجواب في هذه الحالة هو : . لأن وظيفة الحد الأدنىهي قيمته عند أدنى نقطة.

وبالمثل، فإن الحد الأقصى لوظيفتنا هو . يتم الوصول إليه عند النقطة.

يمكننا القول أن الحدود القصوى للدالة تساوي و .

في بعض الأحيان تتطلب المشاكل العثور عليها أكبر وأصغر قيم للدالةعلى شريحة معينة. أنها لا تتزامن بالضرورة مع التطرف.

في حالتنا هذه أصغر قيمة دالةعلى المقطع يساوي ويتزامن مع الحد الأدنى من الوظيفة. لكن قيمته العظمى في هذا الجزء تساوي . يتم الوصول إليه في الطرف الأيسر من الجزء.

وعلى أية حال، فإن القيم الأكبر والأصغر وظيفة مستمرةعلى مقطع يتم تحقيقه إما عند النقاط القصوى أو في نهايات المقطع.

ما هو الحد الأقصى للدالة وما هو الشرط الضروري لوجود الحد الأقصى؟

الحد الأقصى للدالة هو الحد الأقصى والأصغر للدالة.

المتطلبات المسبقةالحد الأقصى والأدنى (الأقصى) للدالة هما كما يلي: إذا كانت الدالة f(x) لها حد أقصى عند النقطة x = a، عند هذه النقطة يكون المشتق إما صفرًا أو لا نهائيًا أو غير موجود.

وهذا الشرط ضروري ولكنه غير كاف. المشتق عند النقطة x = a يمكن أن يصل إلى الصفر أو اللانهاية أو لا يوجد بدون أن يكون للدالة حد أقصى عند هذه النقطة.

ما هو الشرط الكافي لأقصى الدالة (الحد الأقصى أو الأدنى)؟

الشرط الأول:

إذا كان المشتق f?(x) على مقربة كافية من النقطة x = a موجبًا على يسار a وسالبًا على يمين a، فعند النقطة x = a تكون الدالة f(x) أقصى

إذا كان المشتق f?(x) على مقربة كافية من النقطة x = a سالبًا على يسار a وموجبًا على يمين a، فعند النقطة x = a تكون الدالة f(x) الحد الأدنىبشرط أن تكون الدالة f(x) هنا مستمرة.

بدلًا من ذلك، يمكنك استخدام الشرط الكافي الثاني للحد الأقصى للدالة:

دع عند النقطة x = a المشتق الأول f?(x) يختفي؛ إذا كانت المشتقة الثانية f??(a) سالبة، فإن الدالة f(x) لها قيمة عظمى عند النقطة x = a، وإذا كانت موجبة، فإن لها قيمة صغرى.

ما هي النقطة الحرجة للدالة وكيفية العثور عليها؟

هذه هي قيمة وسيطة الدالة التي يكون للدالة عندها حد أقصى (أي الحد الأقصى أو الحد الأدنى). للعثور عليه تحتاج العثور على المشتقةالدالة f?(x) وتساويها بالصفر، حل المعادلة f?(x) = 0. جذور هذه المعادلة، وكذلك تلك النقاط التي لا يوجد عندها مشتق هذه الوظيفة، هي نقاط حرجة، أي قيم الوسيطة التي يمكن أن يكون هناك حد متطرف. يمكن التعرف عليهم بسهولة من خلال النظر الرسم البياني المشتق: نحن مهتمون بقيم الوسيطة التي يتقاطع عندها الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثي المحوري (محور الثور) وتلك التي يعاني فيها الرسم البياني من انقطاعات.

على سبيل المثال، دعونا نجد أقصى القطع المكافئ.

الدالة ص(س) = 3x2 + 2x - 50.

مشتقة الدالة: y?(x) = 6x + 2

حل المعادلة: ص؟(س) = 0

6س + 2 = 0، 6س = -2، س = -2/6 = -1/3

في هذه الحالة، النقطة الحرجة هي x0=-1/3. مع قيمة الوسيطة هذه تمتلك الوظيفة أقصى. له يجد، استبدل الرقم الموجود في تعبير الدالة بدلاً من "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

كيفية تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة، أي. أكبر وأصغر قيمها؟

إذا تغيرت إشارة المشتقة عند المرور بالنقطة الحرجة x0 من "زائد" إلى "ناقص" فإن x0 تكون النقطة القصوى; إذا تغيرت إشارة المشتقة من ناقص إلى زائد، فإن x0 تكون نقطة الحد الأدنى; إذا لم تتغير الإشارة، فعند النقطة x0 لا يوجد حد أقصى ولا حد أدنى.

على سبيل المثال يعتبر:

خذ قيمة وسيطة تعسفية إلى يسار نقطة حرجة: س = -1

عند x = -1، قيمة المشتق ستكون y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (أي الإشارة "ناقص").

الآن نأخذ قيمة عشوائية للوسيطة الموجودة على يمين النقطة الحرجة: x = 1

عند x = 1، ستكون قيمة المشتقة y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (أي الإشارة "زائد").

كما ترون، تغيرت إشارة المشتقة من ناقص إلى زائد عند المرور بالنقطة الحرجة. هذا يعني أنه عند القيمة الحرجة x0 لدينا نقطة دنيا.

أكبر وأصغر قيمة للدالة على الفاصل الزمني(على مقطع) تم العثور عليها باستخدام نفس الإجراء، مع الأخذ في الاعتبار فقط حقيقة أنه ربما لن تقع جميع النقاط الحرجة ضمن الفاصل الزمني المحدد. يجب استبعاد تلك النقاط الحرجة التي تقع خارج الفاصل الزمني من الاعتبار. إذا كانت هناك نقطة حرجة واحدة فقط خلال الفاصل الزمني، فسيكون لها حد أقصى أو حد أدنى. في هذه الحالة، لتحديد القيم الأكبر والأصغر للدالة، نأخذ في الاعتبار أيضًا قيم الدالة في نهايات الفترة.

على سبيل المثال، لنجد القيم الأكبر والأصغر للدالة

ص(س) = 3الخطيئة(س) - 0.5س

على فترات:

إذن مشتقة الدالة هي

ص?(س) = 3cos(x) - 0.5

نحل المعادلة 3cos(x) - 0.5 = 0

كوس (س) = 0.5/3 = 0.16667

س = ± أركوس (0.16667) + 2πك.

نجد النقاط الحرجة على الفاصل الزمني [-9؛ 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (غير متضمن في الفاصل الزمني)

س = -أركوس(0.16667) – 2π*1 = -7.687

س = أركوس (0.16667) - 2π*1 = -4.88

س = -أركوس(0.16667) + 2π*0 = -1.403

س = أركوس (0.16667) + 2π*0 = 1.403

س = -أركوس (0.16667) + 2π*1 = 4.88

س = قوس (0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (غير متضمنة في الفاصل الزمني)

نجد قيم الدالة عند القيم الحرجة للوسيطة:

ص(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

ص(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

ص(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

ص(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

ص(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

ص(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

يمكن ملاحظة ذلك في الفاصل الزمني [-9؛ 9] الدالة لها أكبر قيمة عند x = -4.88:

س = -4.88، ص = 5.398،

والأصغر - عند x = 4.88:

س = 4.88، ص = -5.398.

على الفاصل الزمني [-6؛ -3] لدينا نقطة حرجة واحدة فقط: x = -4.88. قيمة الدالة عند x = -4.88 تساوي y = 5.398.

أوجد قيمة الدالة في نهايات الفترة:

ص(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

ص(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

على الفاصل الزمني [-6؛ -3] لدينا القيمة الأكبر للدالة

ص = 5.398 عند س = -4.88

أصغر قيمة -

ص = 1.077 عند س = -3

كيفية العثور على نقاط انعطاف الرسم البياني للدالة وتحديد الجوانب المحدبة والمقعرة؟

للعثور على جميع نقاط انعطاف الخط y = f(x)، تحتاج إلى العثور على المشتق الثاني، ومساواته بالصفر (حل المعادلة) واختبار جميع قيم x التي يكون المشتق الثاني فيها صفرًا، لانهائي أو غير موجود. إذا تم تغيير المشتق الثاني عند المرور عبر إحدى هذه القيم، فإن الرسم البياني للدالة يكون له انعطاف عند هذه النقطة. إذا لم يتغير فلا يوجد انحناء.

جذور المعادلة و؟ (x) = 0، بالإضافة إلى نقاط انقطاع الدالة المحتملة والمشتق الثاني، يقسم مجال تعريف الدالة إلى عدد من الفواصل الزمنية. يتم تحديد التحدب في كل فترة من فتراتها بواسطة إشارة المشتقة الثانية. إذا كانت المشتقة الثانية عند نقطة ما على الفترة قيد الدراسة موجبة، فإن المستقيم y = f(x) مقعر لأعلى، وإذا كان سالبًا، فهو لأسفل.

كيفية العثور على الحدود القصوى لدالة من متغيرين؟

للعثور على الحدود القصوى للدالة f(x,y)، القابلة للتفاضل في مجال مواصفاتها، تحتاج إلى:

1) العثور على النقاط الحرجة، ولهذا - حل نظام المعادلات

fx؟ (س، ص) = 0، فو؟ (س، ص) = 0

2) لكل نقطة حرجة P0(a;b) تحقق مما إذا كانت إشارة الفرق تظل دون تغيير

لجميع النقاط (x;y) قريبة بدرجة كافية من P0. إذا ظل الفرق موجبًا، فعند النقطة P0 لدينا حد أدنى، وإذا كان سالبًا، فلدينا حد أقصى. إذا لم يحتفظ الفرق بإشارته، فلا يوجد حد أقصى عند النقطة P0.

يتم تحديد الحدود القصوى للوظيفة بالمثل أكثرالحجج.

ما هو موضوع الرسوم المتحركة "Shrek Forever After"؟
الرسوم المتحركة: "Shrek Forever After" سنة الإصدار: 2010 العرض الأول (الاتحاد الروسي): 20 مايو 2010 الدولة: الولايات المتحدة الأمريكية المخرج: مايكل بيتشل السيناريو: جوش كلاوسنر، دارين ليمكي النوع: كوميديا ​​عائلية، خيال، مغامرة الموقع الرسمي: www.shrekforeverafter .com مؤامرة بغل

هل من الممكن التبرع بالدم أثناء الحيض؟
لا ينصح الأطباء بالتبرع بالدم أثناء فترة الحيض، لأنه... إن فقدان الدم، وإن لم يكن بكميات كبيرة، محفوف بانخفاض مستويات الهيموجلوبين وتدهور صحة المرأة. أثناء إجراء التبرع بالدم، قد تتفاقم الحالة الصحية حتى يحدث النزيف. لذلك يجب على المرأة الامتناع عن التبرع بالدم أثناء فترة الحيض. وبالفعل في اليوم الخامس بعد الانتهاء منها

ما هو عدد السعرات الحرارية/الساعة التي يتم استهلاكها عند غسل الأرضيات؟
أنواع النشاط البدنياستهلاك الطاقة، سعر حراري/ساعة الطبخ 80 ارتداء الملابس 30 القيادة 50 إزالة الغبار 80 الأكل 30 البستنة 135 الكي 45 ترتيب السرير 130 التسوق 80 العمل المستقر 75 تقطيع الخشب 300 غسل الأرضيات 130 الجنس 100-150 الرقص الهوائي منخفض الكثافة

ماذا تعني كلمة "المحتال"؟
المحتال هو لص يقوم بالسرقة البسيطة، أو شخص ماكر عرضة للحيل الاحتيالية. تأكيد هذا التعريف موجود في قاموس كريلوف الاشتقاقي، والذي بموجبه يتم تشكيل كلمة "المحتال" من كلمة "zhal" (لص، محتال) المرتبطة بالفعل &la

ما اسم آخر قصة منشورة للأخوين ستروغاتسكي؟
نُشرت القصة القصيرة التي كتبها أركادي وبوريس ستروغاتسكي "حول مسألة التدوير" لأول مرة في أبريل 2008 في مختارات روائية "ظهيرة. القرن الحادي والعشرون" (ملحق لمجلة "حول العالم"، التي نُشرت تحت رئاسة تحرير بوريس ستروغاتسكي). تم توقيت النشر ليتزامن مع الذكرى الخامسة والسبعين لبوريس ستروغاتسكي.

أين يمكنك قراءة القصص من المشاركين في برنامج Work And Travel USA؟
يعد برنامج Work and Travel USA (العمل والسفر في الولايات المتحدة الأمريكية) برنامجًا شائعًا لتبادل الطلاب يمكنك من خلاله قضاء الصيف في أمريكا والعمل بشكل قانوني في قطاع الخدمات والسفر. تم تضمين تاريخ برنامج العمل والسفر في برنامج التبادل الحكومي الدولي تبادل ثقافي برو

أذن. خلفية الطهي والتاريخية لأكثر من قرنين ونصف القرن، تم استخدام كلمة "أوخا" للإشارة إلى الحساء أو مغلي الأسماك الطازجة. ولكن كان هناك وقت تم فيه تفسير هذه الكلمة على نطاق أوسع. كان يعني الحساء - ليس فقط الأسماك، ولكن أيضا اللحوم والبازلاء وحتى الحلو. هكذا في الوثيقة التاريخية - "

بوابات المعلومات والتوظيف Superjob.ru - تعمل بوابة التوظيف Superjob.ru في سوق التوظيف الروسي عبر الإنترنت منذ عام 2000 وهي رائدة بين الموارد التي تقدم البحث عن الوظائف والموظفين. يتم كل يوم إضافة أكثر من 80.000 سيرة ذاتية للمتخصصين وأكثر من 10.000 وظيفة شاغرة إلى قاعدة بيانات الموقع.

ما هو الدافع
تعريف الدافع الدافع (من الحركة اللاتينية - أتحرك) - حافز للعمل؛ عملية فسيولوجية ونفسية ديناميكية تتحكم في سلوك الإنسان، وتحدد اتجاهه وتنظيمه ونشاطه واستقراره؛ قدرة الإنسان على إشباع حاجاته من خلال العمل. موتيفاك

من هو بوب ديلان
بوب ديلان (إنجليزي بوب ديلان، الاسم الحقيقي - روبرت ألين زيمرمان إنجليزي. روبرت ألين زيمرمان؛ من مواليد 24 مايو 1941) هو كاتب أغاني أمريكي، وفقًا لاستطلاع أجرته مجلة رولينج ستون، هو الثاني (

كيفية نقل النباتات الداخلية
بعد شراء النباتات الداخلية، يواجه البستاني مهمة كيفية تسليم الزهور الغريبة المشتراة دون أن يصاب بأذى. معرفة القواعد الأساسية لتعبئة ونقل النباتات الداخلية ستساعد في حل هذه المشكلة. يجب تعبئة النباتات حتى يتم حملها أو نقلها. بغض النظر عن مدى قصر المسافة التي يتم نقل النباتات إليها، فإنها يمكن أن تتضرر، وتجف، وفي الشتاء