أكبر وأصغر قيمة للدالة

القيمة الكبرى للدالة هي الأكبر، والقيمة الأصغر هي الأصغر بين جميع قيمها.

يمكن أن تحتوي الدالة على قيمة واحدة أكبر وقيمة أصغر واحدة فقط، أو قد لا تحتوي على أي قيمة على الإطلاق. يعتمد العثور على القيم الأكبر والأصغر للدوال المستمرة على الخصائص التالية لهذه الدوال:

1) إذا كانت الدالة y=f(x) في فترة معينة (محدودة أو لا نهائية) متصلة ولها حد أقصى واحد فقط وإذا كانت هذه قيمة عظمى (أدنى) فستكون أكبر (أصغر) قيمة للدالة في هذه الفترة.

2) إذا كانت الدالة f(x) متصلة في فترة ما، فمن الضروري أن يكون لها أكبر و أصغر قيمة. يتم الوصول إلى هذه القيم إما عند النقاط القصوى الموجودة داخل المقطع أو عند حدود هذا المقطع.

للعثور على أكبر وأصغر القيم في المقطع، يوصى باستخدام المخطط التالي:

1. أوجد المشتقة.

2. ابحث عن النقاط الحرجة للدالة التي تكون عندها =0 أو غير موجودة.

3. أوجد قيم الدالة عند النقاط الحرجة وفي نهايات القطعة وحدد منها أكبر f max وأصغر f max.

عند حل المشكلات التطبيقية، ولا سيما تلك المتعلقة بالتحسين، تعتبر مشكلات العثور على أكبر وأصغر القيم (الحد الأقصى العالمي والحد الأدنى العالمي) للدالة في الفاصل الزمني X أمرًا مهمًا. لحل مثل هذه المشكلات، ينبغي للمرء، بناءً على الشرط واختيار متغير مستقل والتعبير عن القيمة محل الدراسة من خلال هذا المتغير. ثم ابحث عن القيمة الأكبر أو الأصغر المطلوبة للدالة الناتجة. في هذه الحالة، يتم أيضًا تحديد الفاصل الزمني لتغير المتغير المستقل، والذي يمكن أن يكون محدودًا أو لا نهائيًا، من خلال شروط المشكلة.

مثال.الخزان، الذي له شكل مستطيل مفتوح من الأعلى ومتوازي السطوح وقاع مربع، يجب أن يكون معلبًا من الداخل بالقصدير. ما هي أبعاد الخزان إذا كانت سعته 108 لتر؟ الماء بحيث تكون تكلفة التعليب ضئيلة؟

حل.ستكون تكلفة طلاء الخزان بالقصدير ضئيلة إذا كانت مساحة سطحه ضئيلة بالنسبة لسعة معينة. دعونا نشير بواسطة dm إلى جانب القاعدة، b dm إلى ارتفاع الخزان. إذن مساحة سطحه S تساوي

و

تحدد العلاقة الناتجة العلاقة بين مساحة سطح الخزان S (الوظيفة) وجانب القاعدة (الوسيطة). دعونا نتفحص الدالة S لمعرفة الحد الأقصى. لنجد المشتقة الأولى ونساويها بالصفر ونحل المعادلة الناتجة:

وبالتالي أ = 6. (أ) > 0 لـ أ > 6، (أ)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

مثال. العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على الفاصل الزمني.

حل: الدالة المعطاة متصلة على طول خط الأعداد بأكمله. مشتق من وظيفة

مشتق ل و ل. لنحسب قيم الدالة في هذه النقاط:

.

قيم الدالة في نهايات الفترة المحددة متساوية. ولذلك، فإن أكبر قيمة للدالة تساوي at، وأصغر قيمة للدالة تساوي at.

أسئلة الاختبار الذاتي

1. قم بصياغة قاعدة L'Hopital للكشف عن أوجه عدم اليقين في النموذج. اذكر الأنواع المختلفة من حالات عدم اليقين التي يمكن استخدام قاعدة L'Hopital لحلها.

2. صياغة علامات الزيادة والنقصان الدالة.

3. تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة.

4. صياغة الشرط الضروري لوجود الحد الأقصى.

5. ما هي قيم الوسيطة (أي النقاط) التي تسمى حرجة؟ كيف تجد هذه النقاط؟

6. ما هي العلامات الكافية لوجود أقصى الدالة؟ الخطوط العريضة لخطة لدراسة الدالة في أقصى الحدود باستخدام المشتقة الأولى.

7. الخطوط العريضة لمخطط لدراسة وظيفة في أقصى الحدود باستخدام المشتق الثاني.

8. تعريف التحدب وتقعر المنحنى.

9. ما يسمى نقطة انعطاف الرسم البياني للدالة؟ أشر إلى طريقة العثور على هذه النقاط.

10. صياغة العلامات الضرورية والكافية للتحدب وتقعر المنحنى على مقطع معين.

11. تحديد الخط المقارب للمنحنى. كيفية العثور على الخطوط المقاربة الرأسية والأفقية والمائلة للرسم البياني للدالة؟

12. الخطوط العريضة المخطط العامالبحث عن وظيفة وبناء الرسم البياني لها.

13. قم بصياغة قاعدة للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة في فترة زمنية معينة.

من الناحية العملية، الفائدة الأكبر هي استخدام المشتق للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة. ما علاقة هذا؟ تعظيم الأرباح وتقليل التكاليف وتحديد الحمل الأمثل للمعدات... بمعنى آخر، يتعين علينا في العديد من مجالات الحياة حل مشكلات تحسين بعض المعلمات. وهذه هي مهام إيجاد القيم الأكبر والأصغر للدالة.

تجدر الإشارة إلى أنه عادة ما يتم البحث عن القيم الأكبر والأصغر للدالة في فترة معينة X، وهي إما مجال الدالة بالكامل أو جزء من مجال التعريف. الفاصل الزمني X نفسه يمكن أن يكون قطعة، فاصل زمني مفتوح ، فاصل لا نهائي.

سنتحدث في هذه المقالة عن إيجاد القيم الأكبر والأصغر بشكل صريح وظيفة معينةمتغير واحد y=f(x) .

التنقل في الصفحة.

أكبر وأصغر قيمة للدالة - التعريفات والرسوم التوضيحية.

دعونا نلقي نظرة سريعة على التعاريف الرئيسية.

أكبر قيمة للدالة ذلك لأي شخص عدم المساواة صحيح.

أصغر قيمة للدالة y=f(x) على الفاصل الزمني X تسمى هذه القيمة ذلك لأي شخص عدم المساواة صحيح.

هذه التعريفات بديهية: القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة هي أكبر (أصغر) قيمة مقبولة في الفترة قيد النظر عند الإحداثي السيني.

نقاط ثابتة– هذه هي قيم الوسيطة التي يصبح عندها مشتق الدالة صفراً.

لماذا نحتاج إلى نقاط ثابتة عند إيجاد القيم الأكبر والأصغر؟ الجواب على هذا السؤال يأتي من نظرية فيرما. ويترتب على هذه النظرية أنه إذا كانت الدالة القابلة للتفاضل لها حد أقصى (حد أدنى محلي أو حد أقصى محلي) في مرحلة ما، فإن هذه النقطة تكون ثابتة. وبالتالي، فإن الدالة غالبًا ما تأخذ أكبر (أصغر) قيمة لها على الفاصل الزمني X عند إحدى النقاط الثابتة من هذا الفاصل الزمني.

كما أن الدالة يمكن أن تأخذ قيمها الأكبر والأصغر في كثير من الأحيان عند نقاط لا يوجد فيها المشتق الأول لهذه الدالة، ويتم تعريف الدالة نفسها.

دعنا نجيب على الفور على أحد الأسئلة الأكثر شيوعًا حول هذا الموضوع: "هل من الممكن دائمًا تحديد القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة"؟ لا، ليس دائما. في بعض الأحيان تتطابق حدود الفاصل الزمني X مع حدود مجال تعريف الدالة، أو يكون الفاصل الزمني X لانهائيًا. وبعض الدوال عند اللانهاية وعند حدود مجال التعريف يمكن أن تأخذ قيمًا كبيرة بلا حدود وقيمًا صغيرة بلا حدود. في هذه الحالات، لا يمكن قول أي شيء عن القيمة الأكبر والأصغر للدالة.

من أجل الوضوح، سنقدم رسما توضيحيا. انظر إلى الصور وسيصبح الكثير أكثر وضوحًا.

على الجزء

في الشكل الأول، تأخذ الدالة القيم الأكبر (max y) والأصغر (min y) عند نقاط ثابتة تقع داخل المقطع [-6;6].

النظر في الحالة المبينة في الشكل الثاني. دعونا نغير المقطع إلى . في هذا المثال، يتم تحقيق أصغر قيمة للدالة عند نقطة ثابتة، والقيمة الأكبر عند النقطة التي يقابلها الإحداثي المحوري الحدود اليمنىفاصلة.

في الشكل 3، النقاط الحدودية للمقطع [-3;2] هي حدود النقاط المقابلة لأكبر وأصغر قيمة للدالة.

على فاصل زمني مفتوح

في الشكل الرابع، تأخذ الدالة القيم الأكبر (max y) والأصغر (min y) عند نقاط ثابتة تقع داخل الفترة المفتوحة (-6;6).

في الفترة، لا يمكن استخلاص أي استنتاجات حول القيمة الأكبر.

في اللانهاية

في المثال الموضح في الشكل السابع، تأخذ الدالة القيمة الأكبر (max y) عند نقطة ثابتة مع الإحداثي السيني x=1، ويتم تحقيق أصغر قيمة (min y) على الحد الأيمن للفاصل الزمني. عند علامة ناقص اللانهاية، تقترب قيم الدالة بشكل مقارب من y=3.

خلال الفترة، لا تصل الدالة إلى القيمة الأصغر أو الأكبر. مع اقتراب x=2 من اليمين، تميل قيم الدالة إلى ناقص ما لا نهاية (الخط المستقيم x=2 هو الخط المقارب الرأسي) ، وبما أن الإحداثي السيني يميل إلى ما لا نهاية، فإن قيم الدالة تقترب بشكل مقارب من y=3. يظهر الرسم التوضيحي لهذا المثال في الشكل 8.

خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة على القطعة.

دعونا نكتب خوارزمية تسمح لنا بالعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على القطعة.

1. نجد مجال تعريف الوظيفة ونتحقق مما إذا كانت تحتوي على المقطع بأكمله.
2. نجد جميع النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول والموجودة في القطعة (عادةً ما توجد هذه النقاط في الدوال ذات الوسيطة تحت علامة المعامل وفي وظائف الطاقةمع الأس الكسرى). إذا لم تكن هناك مثل هذه النقاط، فانتقل إلى النقطة التالية.
3. نحدد جميع النقاط الثابتة التي تقع ضمن المقطع. للقيام بذلك، نساويه بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة ونختار الجذور المناسبة. إذا لم تكن هناك نقاط ثابتة أو لم يقع أي منها في المقطع، فانتقل إلى النقطة التالية.
4. نحسب قيم الدالة عند نقاط ثابتة محددة (إن وجدت)، عند النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول (إن وجد)، وكذلك عند x=a وx=b.
5. من قيم الوظيفة التي تم الحصول عليها، نختار الأكبر والأصغر - ستكون القيم الأكبر والأصغر المطلوبة للوظيفة، على التوالي.

دعونا نحلل الخوارزمية لحل مثال للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على القطعة.

مثال.

أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة

• على المقطع؛
• على المقطع [-4;-1] .

حل.

مجال تعريف الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها، باستثناء الصفر. كلا القطاعين يقعان ضمن مجال التعريف.

أوجد مشتقة الدالة بالنسبة إلى:

من الواضح أن مشتق الدالة موجود في جميع نقاط القطع و [-4;-1].

نحدد النقاط الثابتة من المعادلة. الجذر الحقيقي الوحيد هو x=2 تقع هذه النقطة الثابتة في الجزء الأول.

في الحالة الأولى، نحسب قيم الدالة عند نهايات المقطع وعند النقطة الثابتة، أي بالنسبة لـ x=1 وx=2 وx=4:

وبالتالي فإن القيمة الأكبر للدالة يتم تحقيقه عند x=1، وأصغر قيمة – عند س=2.

في الحالة الثانية، نحسب قيم الدالة فقط في نهايات المقطع [-4;-1] (نظرًا لأنه لا يحتوي على نقطة ثابتة واحدة):

في بعض الأحيان توجد في المشكلات B15 وظائف "سيئة" يصعب العثور على مشتق لها. في السابق، كان هذا يحدث فقط أثناء اختبارات العينات، ولكن الآن أصبحت هذه المهام شائعة جدًا بحيث لم يعد من الممكن تجاهلها عند التحضير لامتحان الدولة الموحدة الحقيقي.

في هذه الحالة، تعمل تقنيات أخرى، واحدة منها روتيني.

يُقال إن الدالة f (x) تتزايد بشكل رتيب على المقطع إذا كان لأي نقطة x 1 و x 2 من هذا المقطع ما يلي:

× 1< x 2 ⇒ f (× 1) < f (× 2).

يقال إن الدالة f (x) تتناقص بشكل رتيب على المقطع إذا كان لأي نقطة x 1 و x 2 من هذا المقطع ما يلي:

× 1< x 2 ⇒ f (× 1) > و ( × 2).

بمعنى آخر، بالنسبة للدالة المتزايدة، كلما كانت x أكبر، كلما زاد حجم f(x). بالنسبة للدالة التناقصية، فإن العكس هو الصحيح: كلما كانت x أكبر، فإن أقلو (خ).

على سبيل المثال، يزداد اللوغاريتم بشكل رتيب إذا كان الأساس a > 1، ويتناقص بشكل رتيب إذا كان 0< a < 1. Не забывайте про область القيم المقبولةاللوغاريتم: س > 0.

و (س) = سجل أ س (أ > 0؛ أ ≠ 1؛ س > 0)

يزداد الجذر التربيعي الحسابي (وليس المربع فقط) بشكل رتيب على نطاق التعريف بأكمله:

تتصرف الدالة الأسية بشكل مشابه للوغاريتم: فهي تزيد بمقدار > 1 وتتناقص بمقدار 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, وظيفة الأسيةمحددة لجميع الأرقام، وليس فقط x > 0:

و (س) = أ س (أ > 0)

وأخيرًا، الدرجات ذات الأس السالب. يمكنك كتابتها في صورة كسر. لديهم نقطة استراحة حيث يتم كسر الرتابة.

كل هذه الوظائف لم يتم العثور عليها أبدًا شكل نقي. يضيفون كثيرات الحدود والكسور وغيرها من الهراء، مما يجعل من الصعب حساب المشتق. دعونا ننظر إلى ما يحدث في هذه الحالة.

إحداثيات قمة القطع المكافئ

في أغلب الأحيان يتم استبدال وسيطة الوظيفة بـ ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةمن النموذج y = ax 2 + bx + c. الرسم البياني الخاص به عبارة عن قطع مكافئ قياسي يهمنا:

1. يمكن لفروع القطع المكافئ أن ترتفع (لـ > 0) أو للأسفل (أ< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. قمة القطع المكافئ هي النقطة القصوى للدالة التربيعية التي تأخذ فيها هذه الدالة الحد الأدنى (لـ a > 0) أو الحد الأقصى (a< 0) значение.

أعظم الفائدة هو قمة القطع المكافئ، يتم حساب الإحداثي بالصيغة:

وبذلك نكون قد أوجدنا النقطة القصوى للدالة التربيعية. أما إذا كانت الدالة الأصلية رتيبة، فإن النقطة x 0 ستكون لها أيضًا نقطة متطرفة. وبالتالي، دعونا صياغة القاعدة الأساسية:

النقاط القصوى لثلاثية الحدود التربيعية و وظيفة معقدة، الذي تم تضمينه فيه، يتزامن. لذلك، يمكنك البحث عن x 0 لثلاثية حدود من الدرجة الثانية، ونسيان الدالة.

من المنطق أعلاه، لا يزال من غير الواضح ما هي النقطة التي نحصل عليها: الحد الأقصى أو الحد الأدنى. ومع ذلك، تم تصميم المهام خصيصًا بحيث لا يهم هذا الأمر. أحكم لنفسك:

1. لا يوجد أي مقطع في بيان المشكلة. ولذلك، ليست هناك حاجة لحساب f(a) وf(b). يبقى أن ننظر فقط إلى النقاط القصوى؛
2. ولكن هناك نقطة واحدة فقط من هذا القبيل - وهي قمة القطع المكافئ x 0، والتي يتم حساب إحداثياتها حرفيًا شفهيًا وبدون أي مشتقات.

وبالتالي، فإن حل المشكلة يتم تبسيطه إلى حد كبير ويتلخص في خطوتين فقط:

1. اكتب معادلة القطع المكافئ y = ax 2 + bx + c وأوجد رأسه باستخدام الصيغة: x 0 = −b /2a ;
2. أوجد قيمة الدالة الأصلية عند هذه النقطة: f (x 0). إذا لم تكن هناك شروط إضافية، فسيكون هذا هو الجواب.

للوهلة الأولى، قد تبدو هذه الخوارزمية ومبرراتها معقدة. أنا لا أنشر عمدا مخطط حل "عاري"، لأن التطبيق الطائش لهذه القواعد محفوف بالأخطاء.

دعونا نلقي نظرة على المشاكل الحقيقية من امتحان الدولة الموحد التجريبيفي الرياضيات - هذا هو المكان الذي توجد فيه هذه التقنية في أغلب الأحيان. وفي الوقت نفسه، سوف نتأكد من أن العديد من مشاكل B15 تصبح بهذه الطريقة شفهية تقريبًا.

تحت الجذر يقف وظيفة من الدرجة الثانية y = x 2 + 6x + 13. الرسم البياني لهذه الدالة عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى، لأن المعامل a = 1 > 0.

قمة القطع المكافئ:

x 0 = −ب /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

بما أن فروع القطع المكافئ موجهة نحو الأعلى، عند النقطة x 0 = −3 فإن الدالة y = x 2 + 6x + 13 تأخذ قيمتها الدنيا.

يزداد الجذر بشكل رتيب، مما يعني أن x 0 هي النقطة الدنيا للدالة بأكملها. لدينا:

مهمة. أوجد أصغر قيمة للدالة:

ص = سجل 2 (س 2 + 2س + 9)

تحت اللوغاريتم توجد مرة أخرى دالة تربيعية: y = x 2 + 2x + 9. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى، لأن أ = 1 > 0.

قمة القطع المكافئ:

x 0 = −ب /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

لذا، عند النقطة x 0 = −1، تأخذ الدالة التربيعية قيمتها الدنيا. لكن الدالة y = log 2 x رتيبة، لذلك:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

يحتوي الأس على الدالة التربيعية y = 1 − 4x − x 2 . لنعيد كتابتها بالشكل الطبيعي: y = −x 2 − 4x + 1.

من الواضح أن الرسم البياني لهذه الدالة عبارة عن قطع مكافئ متفرع للأسفل (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

الدالة الأصلية أسية، وهي رتيبة، وبالتالي فإن القيمة الأكبر ستكون عند النقطة التي تم العثور عليها x 0 = −2:

من المحتمل أن يلاحظ القارئ اليقظ أننا لم نكتب نطاق القيم المسموح بها للجذر واللوغاريتم. لكن هذا لم يكن مطلوبًا: يوجد بالداخل وظائف تكون قيمها إيجابية دائمًا.

النتائج الطبيعية من مجال الوظيفة

في بعض الأحيان، لا يكون مجرد العثور على قمة القطع المكافئ كافيًا لحل المشكلة B15. القيمة التي تبحث عنها قد تكذب في نهاية الجزء، وليس على الإطلاق في أقصى نقطة. إذا كانت المشكلة لا تشير إلى شريحة على الإطلاق، فابحث نطاق القيم المقبولةالوظيفة الأصلية. يسمى:

يرجى ملاحظة مرة أخرى: قد يكون الصفر تحت الجذر، ولكن ليس في لوغاريتم أو مقام الكسر. دعونا نرى كيف يعمل هذا مع أمثلة محددة:

مهمة. أوجد أكبر قيمة للدالة:

تحت الجذر مرة أخرى توجد دالة تربيعية: y = 3 − 2x − x 2 . الرسم البياني الخاص به عبارة عن قطع مكافئ، ولكنه يتفرع للأسفل لأن a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический الجذر التربيعيمن رقم سلبي غير موجود.

نكتب نطاق القيم المسموح بها (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≥ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≥ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

الآن لنجد رأس القطع المكافئ:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

النقطة x 0 = −1 تنتمي إلى مقطع ODZ - وهذا أمر جيد. الآن نحسب قيمة الدالة عند النقطة x 0، وكذلك عند نهايات ODZ:

ص(−3) = ص(1) = 0

إذن، حصلنا على الرقمين 2 و0. ويُطلب منا إيجاد الرقم الأكبر - وهذا هو الرقم 2.

مهمة. أوجد أصغر قيمة للدالة:

ص = سجل 0.5 (6س - س 2 - 5)

يوجد داخل اللوغاريتم دالة تربيعية y = 6x − x 2 − 5. هذا قطع مكافئ له فروع للأسفل، لكن في اللوغاريتم لا يمكن أن يكون هناك أرقام سلبيةلذلك نكتب ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

يرجى ملاحظة: عدم المساواة صارمة، وبالتالي فإن الغايات لا تنتمي إلى ODZ. وهذا يختلف اللوغاريتم عن الجذر، حيث تناسبنا نهايات القطعة جيدًا.

نحن نبحث عن قمة القطع المكافئ:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

تتناسب قمة القطع المكافئ وفقًا لـ ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). لكن بما أننا لسنا مهتمين بنهايات المقطع، فإننا نحسب قيمة الدالة عند النقطة x 0 فقط:

y min = y (3) = log 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0.5 (18 − 9 − 5) = log 0.5 4 = −2

صغيرة وجميلة مهمة بسيطةمن فئة من هم بمثابة المنقذ لحياة الطالب العائم. إنها الطبيعة في منتصف شهر يوليو، لذا فقد حان الوقت للاستقرار مع الكمبيوتر المحمول الخاص بك على الشاطئ. في الصباح الباكر، بدأ شعاع شمس النظرية يعزف، من أجل التركيز قريباً على الممارسة، التي، على الرغم من السهولة المعلنة، تحتوي على شظايا الزجاج في الرمال. وفي هذا الصدد، أوصي بأن تنظر بضمير حي في الأمثلة القليلة لهذه الصفحة. لحل المشكلات العملية يجب أن تكون قادرًا على ذلك العثور على المشتقاتوفهم مادة المقال فترات الرتابة والحدود القصوى للوظيفة.

أولا، لفترة وجيزة عن الشيء الرئيسي. في الدرس حول استمرارية الوظيفةلقد قدمت تعريف الاستمرارية عند نقطة والاستمرارية عند فترة زمنية. تتم صياغة السلوك المثالي للدالة على المقطع بطريقة مماثلة. تكون الدالة مستمرة على فترة إذا:

1) أنها مستمرة على الفترة .
2) مستمرة عند نقطة ما على اليمينوعند هذه النقطة غادر.

وفي الفقرة الثانية تحدثنا عن ما يسمى الاستمرارية من جانب واحدوظائف عند نقطة ما. هناك عدة طرق لتعريفه، لكنني سألتزم بالسطر الذي بدأته سابقًا:

الدالة مستمرة عند النقطة على اليمين، إذا تم تعريفها عند نقطة معينة وكان حدها الأيمن يتزامن مع قيمة الدالة عند نقطة معينة: . وهو مستمر عند هذه النقطة غادر، إذا تم تعريفها عند نقطة معينة وحدها الأيسر يساوي القيمةعند هذه النقطة:

تخيل أن النقاط الخضراء عبارة عن مسامير متصلة بها شريط مطاطي سحري:

خذ عقليا الخط الأحمر في يديك. من الواضح أنه بغض النظر عن مدى تمديد الرسم البياني لأعلى ولأسفل (على طول المحور)، ستظل الوظيفة قائمة محدود- سياج في الأعلى، وسياج في الأسفل، ومنتجاتنا ترعى في المرعى. هكذا، دالة مستمرة على فترة محددة بها. في سياق التحليل الرياضي، يتم ذكر هذه الحقيقة التي تبدو بسيطة وإثباتها بدقة. نظرية فايرستراس الأولى....ينزعج الكثير من الناس من أن العبارات الأولية يتم إثباتها بشكل مضجر في الرياضيات، لكن هذا له معنى مهم. لنفترض أن أحد سكان العصور الوسطى تيري قام بسحب رسم بياني إلى السماء خارج نطاق الرؤية، فقد تم إدراجه. قبل اختراع التلسكوب، لم تكن وظيفته المحدودة في الفضاء واضحة على الإطلاق! حقاً، كيف تعرف ما ينتظرنا في الأفق؟ بعد كل شيء، كانت الأرض تعتبر ذات يوم مسطحة، لذلك حتى النقل الآني العادي يتطلب إثباتًا =)

وفق نظرية فايرستراس الثانية, مستمر على قطعةتصل الدالة إلى الحد الأعلى الدقيقوما تملكه الحافة السفلية بالضبط .

ويسمى الرقم أيضا الحد الأقصى لقيمة الدالة على المقطعويشار إليها بـ ، والرقم هو الحد الأدنى لقيمة الدالة على المقطعتم وضع علامة .

في حالتنا هذه:

ملحوظة : من الناحية النظرية، التسجيلات شائعة .

بشكل تقريبي، القيمة الأكبر هي حيثما تكون الأكثر نقطة عاليةالرسومات، والأصغر هو حيث أدنى نقطة.

مهم!كما تم التأكيد عليه بالفعل في المقال حول الحد الأقصى للوظيفة, أعظم قيمة وظيفةو أصغر قيمة دالة – ليس هو نفسه، ماذا أقصى وظيفةو وظيفة الحد الأدنى. لذلك، في المثال قيد النظر، الرقم هو الحد الأدنى للدالة، ولكن ليس الحد الأدنى للقيمة.

بالمناسبة ماذا يحدث خارج القطاع؟ نعم، حتى الفيضان، في سياق المشكلة قيد النظر، لا يهمنا على الإطلاق. تتضمن المهمة فقط العثور على رقمين وهذا كل شيء!

علاوة على ذلك، فإن الحل تحليلي بحت لا حاجة لعمل رسم!

تقع الخوارزمية على السطح وتقترح نفسها من الشكل أعلاه:

1) ابحث عن قيم الوظيفة في نقاط حرجة, التي تنتمي إلى هذه الشريحة.

احصل على مكافأة أخرى: هنا ليست هناك حاجة للتحقق من الحالة الكافية للحد الأقصى، لأنه، كما هو موضح للتو، وجود الحد الأدنى أو الحد الأقصى لا يضمن بعد، ما هي القيمة الدنيا أو القصوى. تصل وظيفة العرض التوضيحي إلى الحد الأقصى، وبإرادة القدر، يكون نفس الرقم هو أكبر قيمة للدالة في المقطع. ولكن، بطبيعة الحال، لا تحدث مثل هذه الصدفة دائما.

لذلك، في الخطوة الأولى، يكون من الأسرع والأسهل حساب قيم الدالة عند النقاط الحرجة التابعة للقطعة، دون الحاجة إلى الاهتمام بما إذا كانت هناك نقاط متطرفة فيها أم لا.

2) نحسب قيم الدالة في نهايات القطعة.

3) من بين قيم الوظائف الموجودة في الفقرتين الأولى والثانية، حدد الأصغر والأكثر رقم ضخم، اكتب الجواب.

نجلس على الشاطئ بحر ازرقونضرب المياه الضحلة بأعقابنا:

مثال 1

ابحث عن أكبر وأصغر قيم للدالة على قطعة ما

حل:
1) لنحسب قيم الدالة عند النقاط الحرجة التابعة لهذا المقطع:

لنحسب قيمة الدالة عند النقطة الحرجة الثانية:

2) لنحسب قيم الدالة في نهايات المقطع:

3) تم الحصول على نتائج "غامقة" باستخدام الأسس واللوغاريتمات، مما يعقد مقارنتها بشكل كبير. لهذا السبب، دعونا نتسلح بالآلة الحاسبة أو برنامج Excel ونحسب القيم التقريبية، دون أن ننسى ما يلي:

الآن كل شيء واضح.

إجابة:

مثال كسري عقلاني للحل المستقل:

مثال 6

ابحث عن القيم القصوى والدنيا للدالة على القطعة

ما هو الحد الأقصى للدالة وما هو الشرط الضروري لوجود الحد الأقصى؟

الحد الأقصى للدالة هو الحد الأقصى والأصغر للدالة.

المتطلبات المسبقةالحد الأقصى والأدنى (الأقصى) للدالة هما كما يلي: إذا كانت الدالة f(x) لها حد أقصى عند النقطة x = a، عند هذه النقطة يكون المشتق إما صفرًا أو لا نهائيًا أو غير موجود.

وهذا الشرط ضروري ولكنه غير كاف. المشتق عند النقطة x = a يمكن أن يصل إلى الصفر أو اللانهاية أو لا يوجد بدون أن يكون للدالة حد أقصى عند هذه النقطة.

ما هو الشرط الكافي للحد الأقصى للدالة (الحد الأقصى أو الأدنى)؟

الشرط الأول:

إذا كان المشتق f?(x) على مقربة كافية من النقطة x = a موجبًا على يسار a وسالبًا على يمين a، فعند النقطة x = a تكون الدالة f(x) أقصى

إذا كان المشتق f?(x) على مقربة كافية من النقطة x = a سالبًا على يسار a وموجبًا على يمين a، فعند النقطة x = a تكون الدالة f(x) الحد الأدنىبشرط أن تكون الدالة f(x) هنا مستمرة.

بدلًا من ذلك، يمكنك استخدام الشرط الكافي الثاني للحد الأقصى للدالة:

دع عند النقطة x = a المشتق الأول f?(x) يختفي؛ إذا كانت المشتقة الثانية f??(a) سالبة، فإن الدالة f(x) لها قيمة عظمى عند النقطة x = a، وإذا كانت موجبة، فإن لها قيمة صغرى.

ما هي النقطة الحرجة للدالة وكيفية العثور عليها؟

هذه هي قيمة وسيطة الدالة التي يكون للدالة عندها حد أقصى (أي الحد الأقصى أو الحد الأدنى). للعثور عليه تحتاج العثور على المشتقةالدالة f?(x) وتساويها بالصفر، حل المعادلة f?(x) = 0. جذور هذه المعادلة، وكذلك تلك النقاط التي لا يوجد عندها مشتق هذه الوظيفة، هي نقاط حرجة، أي قيم الوسيطة التي يمكن أن يكون هناك حد متطرف. يمكن التعرف عليهم بسهولة من خلال النظر الرسم البياني المشتق: نحن مهتمون بقيم الوسيطة التي يتقاطع عندها الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثي السيني (محور الثور) وتلك التي يعاني فيها الرسم البياني من انقطاعات.

على سبيل المثال، دعونا نجد أقصى القطع المكافئ.

الدالة ص(س) = 3x2 + 2x - 50.

مشتقة الدالة: y?(x) = 6x + 2

حل المعادلة: ص؟(س) = 0

6س + 2 = 0، 6س = -2، س = -2/6 = -1/3

في هذه الحالة، النقطة الحرجة هي x0=-1/3. مع قيمة الوسيطة هذه تمتلك الوظيفة أقصى. له يجد، استبدل الرقم الموجود في تعبير الدالة بدلاً من "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

كيفية تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة، أي. أكبر وأصغر قيمها؟

إذا تغيرت إشارة المشتقة عند المرور بالنقطة الحرجة x0 من "زائد" إلى "ناقص" فإن x0 تكون النقطة القصوى; إذا تغيرت إشارة المشتقة من ناقص إلى زائد، فإن x0 تكون نقطة الحد الأدنى; إذا لم تتغير الإشارة، فعند النقطة x0 لا يوجد حد أقصى ولا حد أدنى.

على سبيل المثال يعتبر:

خذ قيمة وسيطة تعسفية إلى يسار نقطة حرجة: س = -1

عند x = -1، قيمة المشتق ستكون y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (أي الإشارة "ناقص").

الآن نأخذ قيمة عشوائية للوسيطة الموجودة على يمين النقطة الحرجة: x = 1

عند x = 1، ستكون قيمة المشتقة y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (أي الإشارة "زائد").

كما ترون، تغيرت إشارة المشتقة من ناقص إلى زائد عند المرور بالنقطة الحرجة. هذا يعني أنه عند القيمة الحرجة x0 لدينا نقطة دنيا.

أكبر وأصغر قيمة للدالة على الفاصل الزمني(على مقطع ما) تم العثور عليها باستخدام نفس الإجراء، مع الأخذ في الاعتبار فقط حقيقة أنه ربما لن تقع جميع النقاط الحرجة ضمن الفاصل الزمني المحدد. يجب استبعاد تلك النقاط الحرجة التي تقع خارج الفاصل الزمني من الاعتبار. إذا كانت هناك نقطة حرجة واحدة فقط خلال الفاصل الزمني، فسيكون لها حد أقصى أو حد أدنى. في هذه الحالة، لتحديد القيم الأكبر والأصغر للدالة، نأخذ في الاعتبار أيضًا قيم الدالة في نهايات الفترة.

على سبيل المثال، لنجد القيم الأكبر والأصغر للدالة

ص(س) = 3الخطيئة(س) - 0.5س

على فترات:

إذن مشتقة الدالة هي

ص?(س) = 3cos(x) - 0.5

نحل المعادلة 3cos(x) - 0.5 = 0

كوس (س) = 0.5/3 = 0.16667

س = ± أركوس (0.16667) + 2πك.

نجد النقاط الحرجة على الفاصل الزمني [-9؛ 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (غير متضمن في الفاصل الزمني)

س = -أركوس(0.16667) – 2π*1 = -7.687

س = أركوس (0.16667) - 2π*1 = -4.88

س = -أركوس(0.16667) + 2π*0 = -1.403

س = أركوس (0.16667) + 2π*0 = 1.403

س = -أركوس (0.16667) + 2π*1 = 4.88

س = قوس (0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (غير متضمنة في الفاصل الزمني)

نجد قيم الدالة عند القيم الحرجة للوسيطة:

ص(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

ص(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

ص(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

ص(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

ص(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

ص(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

يمكن ملاحظة ذلك في الفاصل الزمني [-9؛ 9] الدالة لها أكبر قيمة عند x = -4.88:

س = -4.88، ص = 5.398،

والأصغر - عند x = 4.88:

س = 4.88، ص = -5.398.

على الفاصل الزمني [-6؛ -3] لدينا نقطة حرجة واحدة فقط: x = -4.88. قيمة الدالة عند x = -4.88 تساوي y = 5.398.

أوجد قيمة الدالة في نهايات الفترة:

ص(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

ص(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

على الفاصل الزمني [-6؛ -3] لدينا القيمة الأكبر للدالة

ص = 5.398 عند س = -4.88

أصغر قيمة -

ص = 1.077 عند س = -3

كيفية العثور على نقاط انعطاف الرسم البياني للدالة وتحديد الجوانب المحدبة والمقعرة؟

للعثور على جميع نقاط انعطاف الخط y = f(x)، تحتاج إلى العثور على المشتق الثاني، ومساواته بالصفر (حل المعادلة) واختبار جميع قيم x التي يكون المشتق الثاني فيها صفرًا، لانهائي أو غير موجود. إذا تم تغيير المشتق الثاني عند المرور عبر إحدى هذه القيم، فإن الرسم البياني للدالة يكون له انعطاف عند هذه النقطة. إذا لم يتغير فلا يوجد انحناء.

جذور المعادلة و؟ (x) = 0، بالإضافة إلى نقاط انقطاع الدالة المحتملة والمشتق الثاني، يقسم مجال تعريف الدالة إلى عدد من الفواصل الزمنية. يتم تحديد التحدب في كل فترة من فتراتها بواسطة إشارة المشتقة الثانية. إذا كانت المشتقة الثانية عند نقطة ما على الفترة قيد الدراسة موجبة، فإن المستقيم y = f(x) مقعر لأعلى، وإذا كان سالبًا، فهو لأسفل.

كيفية العثور على الحدود القصوى لدالة من متغيرين؟

للعثور على الحدود القصوى للدالة f(x,y)، القابلة للتفاضل في مجال مواصفاتها، تحتاج إلى:

1) العثور على النقاط الحرجة، ولهذا - حل نظام المعادلات

fx؟ (س، ص) = 0، فو؟ (س، ص) = 0

2) لكل نقطة حرجة P0(a;b) تحقق مما إذا كانت إشارة الفرق تظل دون تغيير

لجميع النقاط (x;y) قريبة بدرجة كافية من P0. إذا ظل الفرق موجبًا، فعند النقطة P0 لدينا حد أدنى، وإذا كان سالبًا، فلدينا حد أقصى. إذا لم يحتفظ الفرق بإشارته، فلا يوجد حد أقصى عند النقطة P0.

يتم تحديد الحدود القصوى للوظيفة بالمثل أكثرالحجج.