مع هذه الخدمة يمكنك العثور على أكبر وأصغر قيمة للدالةمتغير واحد f(x) مع الحل المنسق في Word. إذا تم إعطاء الدالة f(x,y)، فمن الضروري إيجاد الحد الأقصى لدالة متغيرين. يمكنك أيضًا العثور على فترات الزيادة والنقصان في الوظائف.

أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة

ص =

على المقطع [ ;]

تشمل النظرية

قواعد لإدخال الوظائف:

شرط ضروري لأقصى دالة لمتغير واحد

المعادلة f" 0 (x *) = 0 هي شرط ضروريأقصى دالة لمتغير واحد، أي عند النقطة x * يجب أن يختفي المشتق الأول للدالة. ويحدد النقاط الثابتة x c التي لا تزيد فيها الدالة أو تنقص.

الشرط الكافي لأقصى دالة لمتغير واحد

اجعل f 0 (x) قابلاً للتمييز مرتين فيما يتعلق بـ x الذي ينتمي إلى المجموعة D. إذا تم استيفاء الشرط عند النقطة x *:

و" 0 (س *) = 0
و"" 0 (س *) > 0

ثم النقطة x * هي النقطة الدنيا المحلية (العالمية) للدالة.

إذا تم استيفاء الشرط عند النقطة x *:

و" 0 (س *) = 0
و"" 0 (س *)< 0

ثم النقطة x * هي الحد الأقصى المحلي (العالمي).

المثال رقم 1. ابحث عن أكبر وأصغر قيم للدالة: على القطعة.
حل.

النقطة الحرجة هي واحد × 1 = 2 (f'(x)=0). هذه النقطة تنتمي إلى هذا الجزء. (النقطة x=0 ليست حرجة، منذ 0∉).
نحسب قيم الدالة في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
الجواب: f min = 5 / 2 عند x=2; و ماكس = 9 في س = 1

المثال رقم 2. باستخدام المشتقات ذات الترتيب الأعلى، أوجد الحد الأقصى للدالة y=x-2sin(x) .
حل.
أوجد مشتقة الدالة: y'=1-2cos(x) . لنجد النقاط الحرجة: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. نجد y’’=2sin(x)، احسب، مما يعني أن x= π / 3 +2πk، k∈Z هي الحد الأدنى من نقاط الدالة؛ ، وهو ما يعني x=- π / 3 +2πk، k∈Z هي النقاط القصوى للدالة.

المثال رقم 3. تحقق من الدالة القصوى في محيط النقطة x=0.
حل. هنا من الضروري العثور على الحد الأقصى للوظيفة. إذا كان الحد الأقصى x = 0، فاكتشف نوعه (الحد الأدنى أو الأقصى). إذا لم يكن هناك x = 0 بين النقاط التي تم العثور عليها، فاحسب قيمة الدالة f(x=0).
تجدر الإشارة إلى أنه عندما لا يغير المشتق على كل جانب من نقطة معينة إشارته، فإن المواقف المحتملة لا يتم استنفادها حتى بالنسبة للوظائف القابلة للتفاضل: يمكن أن يحدث ذلك بالنسبة لحي صغير بشكل تعسفي على جانب واحد من النقطة x 0 أو على كلا الجانبين علامة التغييرات المشتقة. في هذه النقاط من الضروري استخدام طرق أخرى لدراسة الوظائف على أقصى الحدود.

تتضمن الخوارزمية القياسية لحل مثل هذه المشكلات، بعد العثور على أصفار الدالة، تحديد علامات المشتق على الفواصل الزمنية. ثم يتم حساب القيم عند النقاط القصوى (أو الدنيا) الموجودة وعند حدود الفاصل الزمني، اعتمادًا على السؤال الموجود في الحالة.

أنصحك أن تفعل الأشياء بشكل مختلف قليلاً. لماذا؟ لقد كتبت عن هذا.

أقترح حل مثل هذه المشاكل على النحو التالي:

1. أوجد المشتقة.
2. أوجد أصفار المشتقة.
3. تحديد أي منهم ينتمي إلى هذه الفترة.
4. نحسب قيم الدالة عند حدود الفاصل ونقاط الخطوة 3.
5. نستنتج (الإجابة على السؤال المطروح).

أثناء حل الأمثلة المقدمة، لم يتم النظر في الحل بالتفصيل المعادلات التربيعية، يجب أن تكون قادرًا على القيام بذلك. وينبغي أن يعرفوا أيضا.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

77422. أوجد أكبر قيمة للدالة y=x 3 –3x+4 على المقطع [–2;0].

دعونا نجد أصفار المشتقة:

تنتمي النقطة x = –1 إلى الفاصل الزمني المحدد في الشرط.

نحسب قيم الدالة عند النقاط -2 و -1 و0:

أكبر قيمة للدالة هي 6.

الجواب: 6

77425. أوجد أصغر قيمة للدالة y = x 3 – 3x 2 + 2 على القطعة.

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

دعونا نجد أصفار المشتقة:

النقطة x = 2 تنتمي إلى الفاصل الزمني المحدد في الشرط.

نحسب قيم الدالة عند النقاط 1 و 2 و 4:

أصغر قيمة للدالة هي -2.

الجواب: -2

77426. أوجد أكبر قيمة للدالة y = x 3 – 6x 2 على القطعة [–3;3].

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

دعونا نجد أصفار المشتقة:

الفاصل الزمني المحدد في الشرط يحتوي على النقطة x = 0.

نحسب قيم الدالة عند النقاط –3 و0 و3:

أصغر قيمة للدالة هي 0.

الجواب: 0

77429. أوجد أصغر قيمة للدالة y = x 3 – 2x 2 + x +3 على القطعة.

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

3س 2 - 4س + 1 = 0

نحصل على الجذور: × 1 = 1 × 1 = 1/3.

الفاصل الزمني المحدد في الشرط يحتوي فقط على x = 1.

لنجد قيم الوظيفة عند النقطتين 1 و 4:

لقد وجدنا أن أصغر قيمة للدالة هي 3.

الجواب: 3

77430. أوجد أكبر قيمة للدالة y = x 3 + 2x 2 + x + 3 في القطعة [- 4; -1].

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

دعونا نجد أصفار المشتقة ونحل المعادلة التربيعية:

3س 2 + 4س + 1 = 0

دعونا نحصل على الجذور:

يحتوي الفاصل الزمني المحدد في الشرط على الجذر x = –1.

نجد قيم الدالة عند النقاط –4، –1، –1/3، و1:

لقد وجدنا أن أكبر قيمة للدالة هي 3.

الجواب: 3

77433. أوجد أصغر قيمة للدالة y = x 3 – x 2 – 40x +3 على القطعة.

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

دعونا نجد أصفار المشتقة ونحل المعادلة التربيعية:

3س2 – 2س – 40 = 0

دعونا نحصل على الجذور:

الفاصل الزمني المحدد في الشرط يحتوي على الجذر x = 4.

ابحث عن قيم الوظيفة عند النقطتين 0 و 4:

لقد وجدنا أن أصغر قيمة للدالة هي -109.

الجواب: -109

دعونا نفكر في طريقة لتحديد الأكبر و أدنى قيمةوظائف دون مشتق. يمكن استخدام هذا النهج إذا كان لديك مشاكل كبيرة. المبدأ بسيط - نحن نستبدل جميع القيم الصحيحة من الفاصل الزمني في الدالة (الحقيقة هي أن الإجابة في جميع هذه النماذج الأولية هي عدد صحيح).

77437. أوجد أصغر قيمة للدالة y=7+12x–x 3 على القطعة [–2;2].

استبدال النقاط من -2 إلى 2: عرض الحل

77434. أوجد أكبر قيمة للدالة y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 في القطعة [–2;0].

هذا كل شئ. كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.

كيفية العثور على أكبر وأصغر قيم دالة على قطعة؟

لهذا نحن نتبع خوارزمية معروفة:

1 . العثور على وظائف ODZ.

2 . إيجاد مشتقة الدالة

3 . معادلة المشتقة بالصفر

4 . نجد الفترات التي يحتفظ خلالها المشتق بإشارته، ومنها نحدد فترات الزيادة والنقصان للدالة:

إذا كان مشتق الدالة في الفترة I هو 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} يزيد خلال هذه الفترة.

إذا كنت مشتقًا للدالة في الفترة، فستكون الدالة يتناقص خلال هذه الفترة.

5 . نجد الحد الأقصى والحد الأدنى من نقاط الوظيفة.

في عند النقطة القصوى للدالة، تشير تغييرات المشتقة من "+" إلى "-".

في النقطة الدنيا للوظيفةعلامة التغييرات المشتقة من "-" إلى "+".

6 . نجد قيمة الدالة في نهايات القطعة،

• ثم نقارن قيمة الدالة في نهايات المقطع وعند النقاط القصوى و اختر أكبرها إذا كنت تريد العثور على أكبر قيمة للدالة
• أو قارن قيمة الدالة في نهايات المقطع وفي الحد الأدنى من النقاط و اختر أصغرها إذا كنت تريد العثور على أصغر قيمة للدالة

ومع ذلك، اعتمادًا على كيفية تصرف الوظيفة على المقطع، يمكن تقليل هذه الخوارزمية بشكل كبير.

النظر في الوظيفة . يبدو الرسم البياني لهذه الوظيفة كما يلي:

دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لحل المشكلات من بنك المهام المفتوح لـ

1 . المهمة ب15 (رقم 26695)

على الجزء.

1. يتم تعريف الدالة لجميع القيم الحقيقية لـ x

من الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول، والمشتقة موجبة لجميع قيم x. وبالتالي، تزيد الدالة وتأخذ القيمة الأكبر عند الطرف الأيمن من الفترة، أي عند x=0.

الجواب: 5.

2 . المهمة ب15 (رقم 26702)

أوجد أكبر قيمة للدالة على الجزء.

1. وظائف ODZ عنوان = "x(pi)/2+(pi)k، k(in)(bbZ)">!}

المشتق يساوي الصفر عند ، ومع ذلك، عند هذه النقاط لا يتغير الإشارة:

لذلك، العنوان = "3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} يزيد ويأخذ القيمة الأكبر في الطرف الأيمن من الفاصل الزمني، عند .

لتوضيح سبب عدم تغير إشارة المشتقة، نقوم بتحويل التعبير الخاص بالمشتقة كما يلي:

Title="y^(رئيسي)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

الجواب: 5.

3. المهمة ب15 (رقم 26708)

أوجد أصغر قيمة للدالة في القطعة.

1. وظائف ODZ: العنوان = "x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

لنضع جذور هذه المعادلة على الدائرة المثلثية.

يحتوي الفاصل الزمني على رقمين: و

دعونا نضع لافتات. للقيام بذلك، نحدد إشارة المشتقة عند النقطة x=0: . عند المرور عبر النقاط و، علامة التغييرات المشتقة.

دعونا نصور التغير في علامات مشتق الدالة على خط الإحداثيات:

من الواضح أن النقطة هي نقطة الحد الأدنى (التي تشير عندها التغييرات المشتقة من "-" إلى "+")، وللعثور على أصغر قيمة للدالة على المقطع، تحتاج إلى مقارنة قيم الدالة عند الحد الأدنى للنقطة وفي الطرف الأيسر من المقطع، .

في هذا المقال سأتحدث عنه خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر قيمةالوظائف والحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط.

من الناحية النظرية سيكون بالتأكيد مفيدًا لنا جدول مشتقو قواعد التمايز. كل هذا على هذه اللوحة:

خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر القيم.

إنه أكثر ملاءمة بالنسبة لي أن أشرح مثال محدد. يعتبر:

مثال:أوجد أكبر قيمة للدالة y=x^5+20x^3–65x في المقطع [–4;0].

الخطوة 1.نحن نأخذ المشتقة.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

الخطوة 2.العثور على النقاط القصوى.

النقطة القصوىنسمي تلك النقاط التي تصل عندها الدالة إلى قيمتها الكبرى أو الصغرى.

للعثور على النقاط القصوى، عليك مساواة مشتقة الدالة بالصفر (y" = 0)

5س^4 + 60س^2 - 65 = 0

الآن نحل هذه المعادلة التربيعية والجذور الموجودة هي نقاطنا القصوى.

أقوم بحل هذه المعادلات عن طريق استبدال t = x^2، ثم 5t^2 + 60t - 65 = 0.

دعونا نختصر المعادلة بمقدار 5، نحصل على: t^2 + 12t - 13 = 0

د = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + جذر(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - جذر(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

نقوم بإجراء التغيير العكسي x^2 = t:

X_(1 و 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 و 4) = ±sqrt(-13) (نستبعد أنه لا يمكن أن يكون هناك أرقام سلبية، ما لم نتحدث بالطبع عن الأعداد المركبة)

الإجمالي: x_(1) = 1 وx_(2) = -1 - هذه هي نقاطنا القصوى.

الخطوه 3.تحديد القيمة الأكبر والأصغر.

طريقة الاستبدال.

في هذه الحالة، تم إعطاؤنا القطعة [b] [-4;0]. النقطة x=1 غير متضمنة في هذا الجزء. لذلك نحن لا نفكر في ذلك. ولكن بالإضافة إلى النقطة x=-1، نحتاج أيضًا إلى النظر في اليسار و الحدود اليمنىالجزء الخاص بنا، أي النقطتين -4 و0. وللقيام بذلك، نستبدل كل هذه النقاط الثلاث في الدالة الأصلية. لاحظ أن الأصل هو الموجود في الشرط (y=x^5+20x^3–65x)، ويبدأ بعض الأشخاص باستبداله في المشتق...

ص(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [ب]44
ص(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
ص(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

وهذا يعني أن القيمة الكبرى للدالة هي [b]44 وتتحقق عند النقطة [b]-1، والتي تسمى النقطة القصوى للدالة على المقطع [-4؛ 0].

قررنا وحصلنا على إجابة، نحن رائعون، يمكنك الاسترخاء. لكن توقف! ألا تعتقد أن حساب y(-4) أمر صعب للغاية إلى حد ما؟ في ظروف الوقت المحدود، من الأفضل استخدام طريقة أخرى، أسميها هذا:

من خلال فترات ثبات الإشارة.

تم العثور على هذه الفترات لمشتقة الدالة، أي لمعادلتنا التربيعية.

أفعل ذلك مثل هذا. أرسم شريحة موجهة. أضع النقاط: -4، -1، 0، 1. على الرغم من عدم تضمين 1 في المقطع المحدد، إلا أنه لا يزال من الضروري الإشارة إليه من أجل تحديد فترات ثبات الإشارة بشكل صحيح. لنأخذ عددًا أكبر من 1 عدة مرات، مثل 100، ونعوضه ذهنيًا في المعادلة التربيعية 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. حتى بدون حساب أي شيء، يصبح من الواضح أنه عند النقطة 100 الدالة لديها علامة زائد. وهذا يعني أنه للفترات من 1 إلى 100 يكون لها علامة زائد. عند المرور بالرقم 1 (ننتقل من اليمين إلى اليسار)، ستغير الدالة الإشارة إلى ناقص. عند المرور عبر النقطة 0، ستحتفظ الدالة بعلامتها، لأن هذه ليست سوى حدود المقطع، وليس جذر المعادلة. عند المرور عبر -1، ستغير الدالة الإشارة مرة أخرى إلى علامة الجمع.

من الناحية النظرية نعلم أنه حيث يوجد مشتق الدالة (وقد رسمنا هذا بالضبط لها) تغير الإشارة من زائد إلى ناقص (النقطة -1 في حالتنا)تصل الوظيفة الحد الأقصى المحلي له (ص(-1)=44، كما تم حسابه سابقًا)على هذا المقطع (وهذا أمر مفهوم جدًا منطقيًا، فقد توقفت الدالة عن الزيادة لأنها وصلت إلى الحد الأقصى وبدأت في الانخفاض).

وبناء على ذلك، حيث مشتق الدالة تغيير الإشارة من ناقص إلى زائد، يتحقق الحد الأدنى المحلي للدالة. نعم، نعم، وجدنا أيضًا أن الحد الأدنى المحلي للنقطة هو 1، وy(1) هو الحد الأدنى لقيمة الدالة في المقطع، على سبيل المثال من -1 إلى +∞. يرجى ملاحظة أن هذا ليس سوى الحد الأدنى المحلي، أي الحد الأدنى لشريحة معينة. نظرًا لأن الحد الأدنى الحقيقي (العالمي) للدالة سيصل إلى مكان ما هناك، عند -∞.

في رأيي الطريقة الأولى أبسط من الناحية النظرية، والثانية أبسط من وجهة نظر العمليات الحسابية، ولكنها أكثر تعقيدًا من وجهة نظر النظرية. بعد كل شيء، في بعض الأحيان توجد حالات عندما لا تغير الدالة الإشارة عند المرور عبر جذر المعادلة، وبشكل عام يمكنك الخلط بين هذه الحدود القصوى والدنيا المحلية والعالمية، على الرغم من أنه سيتعين عليك إتقان هذا جيدًا على أي حال إذا كنت تخطط لدخول إحدى الجامعات التقنية (ولسبب آخر، قم بإجراء امتحان الدولة الموحدة للملف الشخصي وحل هذه المهمة). لكن الممارسة والممارسة الوحيدة ستعلمك حل مثل هذه المشكلات مرة واحدة وإلى الأبد. ويمكنك التدريب على موقعنا. هنا .

إذا كان لديك أي أسئلة أو شيء غير واضح، تأكد من طرحه. يسعدني الرد عليك وإجراء التغييرات والإضافات على المقالة. تذكر أننا نصنع هذا الموقع معًا!

في كثير من الأحيان في الفيزياء والرياضيات يكون مطلوبا العثور على أصغر قيمة للدالة. سنخبرك الآن بكيفية القيام بذلك.

كيفية العثور على أصغر قيمة للدالة: التعليمات

1. لحساب أصغر قيمة وظيفة مستمرةفي جزء معين، عليك اتباع الخوارزمية التالية:
2. العثور على مشتق من وظيفة.
3. أوجد على قطعة معينة النقاط التي يكون عندها المشتق صفرًا، وكذلك جميع النقاط الحرجة. ثم اكتشف قيم الدالة عند هذه النقاط، أي حل المعادلة حيث x تساوي صفراً. تعرف على القيمة الأصغر.
4. تحديد القيمة التي تمتلكها الدالة على نقاط النهاية. حدد أصغر قيمة للدالة عند هذه النقاط.
5. قارن البيانات التي تم الحصول عليها بأقل قيمة. أصغر الأرقام الناتجة ستكون أصغر قيمة للدالة.

لاحظ أنه إذا لم يكن هناك وظيفة على قطعة أصغر النقاطوهذا يعني أنه في شريحة معينة يزيد أو ينقص. ولذلك، ينبغي حساب أصغر قيمة على الأجزاء المحدودة من الدالة.

وفي جميع الحالات الأخرى، يتم حساب قيمة الدالة وفقًا لخوارزمية معينة. في كل نقطة من الخوارزمية سوف تحتاج إلى حل مشكلة بسيطة معادلة خط مستقيممع جذر واحد. حل المعادلة باستخدام الصورة لتجنب الأخطاء.

كيفية العثور على أصغر قيمة للدالة في مقطع نصف مفتوح؟ في فترة نصف مفتوحة أو مفتوحة للدالة، يجب العثور على أصغر قيمة على النحو التالي. عند نقاط نهاية قيمة الدالة، احسب الحد من جانب واحد للدالة. بمعنى آخر، حل معادلة تكون فيها نقاط الميل معطاة بالقيمتين a+0 وb+0، حيث a وb هما الاسمان نقاط حرجة.

الآن أنت تعرف كيفية العثور على أصغر قيمة للدالة. الشيء الرئيسي هو إجراء جميع الحسابات بشكل صحيح ودقيق وبدون أخطاء.