بيت

طرق إثبات نظرية فيثاغورس.

جي جلاسر،
أكاديمي في الأكاديمية الروسية للتربية في موسكو

نبذة عن نظرية فيثاغورس وطرق إثباتها

مساحة المربع المبني على وتر المثلث القائم الزاوية تساوي مجموع مساحات المربعين المبنيين على قائميه...

هذه واحدة من أشهر النظريات الهندسية في العصور القديمة، وتسمى نظرية فيثاغورس. يعرف ذلك تقريبًا كل من درس علم القياس حتى الآن. يبدو لي أنه إذا أردنا أن نعلمك حضارات خارج كوكب الأرضحول وجود حياة ذكية على الأرض، فيجب إرسال صورة لشخصية فيثاغورس إلى الفضاء. أعتقد أنه إذا كانت الكائنات المفكرة يمكن أن تأخذ هذه المعلومات، فمن دون فك تشفير الإشارة المعقدة، فسوف يفهمون أن هناك حضارة متطورة إلى حد ما على الأرض.

عاش الفيلسوف وعالم الرياضيات اليوناني الشهير فيثاغورس ساموس، والذي سُميت النظرية باسمه، منذ حوالي 2.5 ألف عام. معلومات السيرة الذاتية التي وصلت إلينا عن فيثاغورس مجزأة وبعيدة عن الموثوقية. ترتبط العديد من الأساطير باسمه. ومن المعروف بشكل موثوق أن فيثاغورس سافر كثيرًا في بلدان الشرق وزار مصر وبابل. في إحدى المستعمرات اليونانية جنوب إيطالياأسس "مدرسة فيثاغورس" الشهيرة التي كان لها دور مهم في المجال العلمي والثقافي الحياة السياسية اليونان القديمة. يعود الفضل إلى فيثاغورس في إثبات النظرية الهندسية الشهيرة. بناءً على الأساطير التي نشرها علماء الرياضيات المشهورون (بروكلس، بلوتارخ، إلخ)، منذ وقت طويلوكان يعتقد أن هذه النظرية لم تكن معروفة قبل فيثاغورس، ومن هنا جاءت تسميتها - نظرية فيثاغورس.

ولكن ليس هناك شك في أن هذه النظرية كانت معروفة قبل فيثاغورس بسنوات عديدة. وهكذا، قبل 1500 سنة من فيثاغورس، عرف المصريون القدماء أن المثلث الذي أضلاعه 3 و4 و5 هو قائم الزاوية، واستخدموا هذه الخاصية (أي النظرية) عكس النظريةفيثاغورس) لبناء الزوايا القائمة أثناء التخطيط قطع ارضوهياكل البناء. وحتى اليوم، يقوم البناؤون والنجارون الريفيون، عند وضع أساس الكوخ وصنع أجزائه، برسم هذا المثلث للحصول على زاوية قائمة. وقد حدث نفس الشيء منذ آلاف السنين في بناء المعابد الرائعة في مصر وبابل والصين، وربما في المكسيك. أقدم عمل رياضي وفلكي صيني وصل إلينا، تشو بي، مكتوب قبل فيثاغورس بحوالي 600 عام، يحتوي، من بين مقترحات أخرى تتعلق بالمثلث القائم الزاوية، على نظرية فيثاغورس. وحتى في وقت سابق، كانت هذه النظرية معروفة لدى الهندوس. وهكذا فإن فيثاغورس لم يكتشف خاصية المثلث القائم الزاوية هذه، بل ربما كان أول من عممها وأثبتها، وبذلك نقلها من مجال الممارسة إلى مجال العلم. لا نعرف كيف فعل ذلك. يفترض بعض مؤرخي الرياضيات أن برهان فيثاغورس لم يكن أساسيًا، بل مجرد تأكيد، واختبار لهذه الخاصية على عدد من أنواع معينة من المثلثات، بدءًا من المثلث القائم متساوي الساقين، والذي يتبعه بوضوح من الشكل 1. 1.

مع منذ العصور القديمة، وجد علماء الرياضيات المزيد والمزيد من البراهين الجديدة لنظرية فيثاغورس، والمزيد والمزيد من الأفكار الجديدة لإثباتها. أكثر من مائة وخمسين من هذه الأدلة - أكثر أو أقل صرامة، أكثر أو أقل مرئية - معروفة، لكن الرغبة في زيادة عددها ظلت قائمة. أعتقد أن "الاكتشاف" المستقل لأدلة نظرية فيثاغورس سيكون مفيدًا لأطفال المدارس المعاصرين.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة على الأدلة التي يمكن أن تشير إلى اتجاه عمليات البحث هذه.

برهان فيثاغورس

"المربع المبني على وتر المثلث القائم يساوي مجموع المربعات المبنية على ساقيه."يتم الحصول على أبسط دليل على النظرية في أبسط حالة مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين. ربما هذا هو المكان الذي بدأت فيه النظرية. في الواقع، يكفي مجرد النظر إلى فسيفساء المثلثات القائمة متساوي الساقين للاقتناع بصحة النظرية. على سبيل المثال، بالنسبة لـ DABC: مربع مبني على الوتر مكيف هواء،يحتوي على 4 مثلثات أصلية، ومربعات مبنية على أرجل مكونة من اثنين. لقد تم إثبات النظرية.

البراهين المبنية على استخدام مفهوم الحجم المتساوي للأشكال.

في هذه الحالة، يمكننا النظر في الأدلة التي "يتكون" فيها المربع المبني على الوتر في مثلث قائم الزاوية من نفس الأشكال التي تتكون منها المربعات المبنية على الجوانب. يمكننا أيضًا النظر في البراهين التي تستخدم إعادة ترتيب مجموع الأرقام وتأخذ في الاعتبار عددًا من الأفكار الجديدة.

في التين. 2 يظهر مربعين متساويين. طول ضلع كل مربع هو أ + ب. وينقسم كل مربع إلى أجزاء تتكون من مربعات ومثلثات قائمة. من الواضح أننا إذا طرحنا أربعة أضعاف مساحة مثلث قائم الزاوية ذو أرجله أ، ب من مساحة المربع، فسيتبقى لدينا مساحات متساويةأي ج 2 = أ 2 + ب 2 . ومع ذلك، فإن الهندوس القدماء، الذين ينتمي إليهم هذا المنطق، عادة لم يكتبوه، بل رافقوا الرسم بكلمة واحدة فقط: "انظر!". ومن الممكن أن يكون فيثاغورس قد قدم نفس الدليل.

الأدلة المضافة.

تعتمد هذه البراهين على تحليل المربعات المبنية على الأرجل إلى أشكال يمكن من خلالها إضافة مربع مبني على الوتر.

هنا: ABC مثلث قائم الزاوية C؛ CMN؛ CKMN; بو||مينيسوتا؛ إي إف || مينيسوتا.

أثبت بشكل مستقل المساواة الزوجية للمثلثات التي تم الحصول عليها عن طريق تقسيم المربعات المبنية على الأرجل والوتر.

إثبات النظرية باستخدام هذا القسم.

 بناءً على برهان النيرزية، تم إجراء تحليل آخر للمربعات إلى أشكال زوجية متساوية (الشكل 5، ABC هنا مثلث قائم الزاوية C).

 برهان آخر على طريقة تفكيك المربعات إلى أجزاء متساوية، يسمى "العجلة ذات الشفرات"، موضح في الشكل. 6. هنا: ABC مثلث قائم الزاوية C؛ O هو مركز مربع مبني على ضلع كبير؛ الخطوط المنقطة التي تمر عبر النقطة O تكون متعامدة أو موازية للوتر.

 يعتبر تحليل المربعات هذا مثيرًا للاهتمام لأنه يمكن رسم رباعياتها المتساوية على بعضها البعض عن طريق الترجمة المتوازية. يمكن تقديم العديد من البراهين الأخرى لنظرية فيثاغورس باستخدام تحليل المربعات إلى أرقام.

الاستدلال بطريقة الإتمام.

جوهر هذه الطريقة هو إضافة أرقام متساوية إلى المربعين المبنيين على الأرجل وإلى المربع المبني على الوتر بحيث يتم الحصول على أرقام متساوية.

صحة نظرية فيثاغورس تأتي من تساوي حجم الشكلين السداسيين AEDFPB وACBNMQ. هنا CEP، يقسم الخط EP الشكل السداسي AEDFPB إلى شكلين رباعيين متساويين، بينما يقسم الخط CM الشكل السداسي ACBNMQ إلى شكلين رباعيين متساويين؛ يؤدي تدوير المستوى 90 درجة حول المركز A إلى تعيين AEPB الرباعي إلى ACMQ الرباعي.

	في التين. 8ـ يكتمل الشكل الفيثاغوري إلى مستطيل، تكون أضلاعه موازية للأضلاع المقابلة للمربعات المبنية على الجوانب. دعونا نقسم هذا المستطيل إلى مثلثات ومستطيلات. من المستطيل الناتج، نطرح أولًا جميع المضلعات 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، ونترك مربعًا مبنيًا على الوتر. ثم من نفس المستطيل نطرح المستطيلات 5، 6، 7 والمستطيلات المظللة نحصل على مربعات مبنية على الأرجل.

والآن لنثبت أن الأرقام المطروحة في الحالة الأولى متساوية في الحجم مع الأرقام المطروحة في الحالة الثانية.

KLOA = ACPF = ACED = أ 2؛

LGBO = CBMP = CBNQ = ب 2 ;

أكغب = أكلو + إل جي بي أو = ج 2 ;

وبالتالي ج 2 = أ 2 + ب 2 .

OCLP = ACLF = ACED = ب 2 ;

CBML = CBNQ = أ 2 ;

OBMP = ABMF = ج 2 ;

OBMP = OCLP + CBML؛

ج 2 = أ 2 + ب 2 .

طريقة الإثبات الجبرية.

	أرز. 12 يوضح برهان عالم الرياضيات الهندي الكبير باسكاري (المؤلف الشهير ليلافاتي، X) القرن الثاني). كان الرسم مصحوبًا بكلمة واحدة فقط: انظر! ومن بين براهين نظرية فيثاغورس الطريقة الجبريةالمقام الأول (وربما الأقدم) يحتله الدليل باستخدام التشابه.
	ولنقدم في عرض حديث أحد هذه البراهين، يرجع إلى فيثاغورس.

ن والتين. 13 ABC - مستطيل، C - الزاوية القائمة، CMAB، b 1 - إسقاط الساق b على الوتر، a 1 - إسقاط الساق a على الوتر، h - ارتفاع المثلث المرسوم على الوتر.

ويترتب على ذلك حقيقة أن ABC يشبه ACM

ب 2 = سي بي 1 ; (1)

من حقيقة أن ABC يشبه BCM يتبع ذلك

أ 2 = كاليفورنيا 1 . (2)

بجمع المتساويات (1) و (2) حدًا تلو الآخر، نحصل على a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

إذا كان فيثاغورس قد قدم مثل هذا الدليل، فهو أيضًا على دراية بعدد من النظريات الهندسية المهمة التي ينسبها مؤرخو الرياضيات المعاصرون عادةً إلى إقليدس.

برهان مولمان (الشكل 14). مساحة مثلث قائم الزاوية من جهة تساوي المساحة الأخرى، حيث p هو نصف محيط المثلث، r هو نصف قطر الدائرة المندرجة فيه لدينا:

ومن هنا يستنتج أن ج 2 = أ 2 + ب 2.

في الثانية

وبمساواة هذه التعبيرات نحصل على نظرية فيثاغورس.

الطريقة المجمعة

مساواة المثلثات

ج 2 = أ 2 + ب 2 . (3)

وبمقارنة العلاقتين (3) و(4) نحصل على ذلك

ج 1 2 = ج 2، أو ج 1 = ج.

وعلى هذا فإن المثلثين - المعطى والمبني - متساويان، إذ أن لهما ثلاثة على التوالي جوانب متساوية. الزاوية C 1 قائمة، وبالتالي فإن الزاوية C في هذا المثلث قائمة أيضًا.

الأدلة الهندية القديمة.

لاحظ علماء الرياضيات في الهند القديمة أنه يكفي استخدامها لإثبات نظرية فيثاغورس الجزء الداخليالرسم الصيني القديم. في أطروحة "Siddhanta Shiromani" ("تاج المعرفة") المكتوبة على سعف النخيل من قبل أعظم عالم رياضيات هندي في القرن التاسع عشر. يتم وضع Bha-skaras في الرسم (الشكل 4)

من سمات الأدلة الهندية كلمة "انظر!" كما ترون، تم وضع المثلثات القائمة هنا بحيث يكون الوتر متجهًا للخارج ومربعًا مع 2 تم نقله إلى "كرسي العروس" مع 2 -ب 2 . لاحظ أن حالات خاصة من نظرية فيثاغورس (على سبيل المثال، بناء مربع تبلغ مساحته ضعف حجمه) الشكل 4مساحة مربع معين) موجودة في الأطروحة الهندية القديمة "سولفا"

لقد حللنا مثلثًا قائمًا ومربعات مبنية على أرجله، أو بعبارة أخرى، أشكالًا مكونة من 16 مثلثًا متساوي الساقين قائمًا وبالتالي تتناسب مع المربع. هكذا هي الزنبق. جزء صغير من الثروة المخبأة في لؤلؤة الرياضيات القديمة - نظرية فيثاغورس.

الأدلة الصينية القديمة.

الاطروحات الرياضية الصين القديمةجاء إلينا في طبعة P.V. قبل الميلاد. الحقيقة هي أنه في عام 213 قبل الميلاد. أمر الإمبراطور الصيني شي هوانغ دي، في محاولة للقضاء على التقاليد السابقة، بحرق جميع الكتب القديمة. في القرن P قبل الميلاد. في الصين، تم اختراع الورق وفي نفس الوقت بدأت إعادة بناء الكتب القديمة، وأهم الأعمال الفلكية الباقية هو كتاب “الرياضيات” الذي يحتوي على رسم (الشكل 2، أ) يثبت نظرية فيثاغورس. ليس من الصعب العثور على مفتاح هذا الدليل. في الواقع، في الرسم الصيني القديم هناك أربعة مثلثات متساوية قائمة الزاوية، أضلاعها أ، ب والوتر معمرصوصة ز)بحيث يشكل محيطها الخارجي الشكل 2 مربعًا ذو جانب أ+ب,والداخلي عبارة عن مربع ذو ضلع ج، مبني على الوتر (الشكل 2، ب). إذا تم قطع مربع ذو ضلع C وتم وضع المثلثات المظللة الأربعة المتبقية في مستطيلين (الشكل 2، الخامس)،فمن الواضح أن الفراغ الناتج، من ناحية، يساوي مع 2 , ومن ناحية أخرى - مع 2 +ب 2 , أولئك. ج 2=  2 +ب 2 . لقد تم إثبات النظرية. لاحظ أنه مع هذا الإثبات، لا يتم استخدام الإنشاءات الموجودة داخل المربع على الوتر، والتي نراها في الرسم الصيني القديم (الشكل 2، أ). ومن الواضح أن علماء الرياضيات الصينيين القدماء كان لديهم دليل مختلف. على وجه التحديد إذا كان في مربع مع الجانب معمثلثين مظللين (الشكل 2، ب)قم بقطع الوتر وربطه بالوترين الآخرين (الشكل 2، ز)،فمن السهل اكتشاف ذلك

ويتكون الشكل الناتج، الذي يطلق عليه أحيانًا "كرسي العروس"، من مربعين لهما جوانب أو ب،أولئك. ج 2 == أ 2 +ب 2 .

ن والشكل 3 يستنسخ رسمًا من أطروحة "Zhou-bi...". هنا يتم أخذ نظرية فيثاغورس في الاعتبار بالنسبة للمثلث المصري الذي أرجله 3، 4 ووتر 5 وحدات قياس. يحتوي المربع الموجود على الوتر على 25 خلية، والمربع المنقوش فيه على الساق الأكبر يحتوي على 16 خلية. ومن الواضح أن الجزء المتبقي يحتوي على 9 خلايا. سيكون هذا هو المربع على الجانب الأصغر.

عادة ما تُعزى القدرة على الإبداع إلى العلوم الإنسانية، علمية بطبيعتها، تاركة التحليل والمنهج العملي واللغة الجافة للصيغ والأرقام. الرياضيات ل مواضيع إنسانيةلا يمكنك الارتباط به بأي شكل من الأشكال. لكن بدون الإبداع لن تذهب بعيداً في "ملكة كل العلوم" - لقد عرف الناس ذلك منذ زمن طويل. منذ زمن فيثاغورس مثلا.

لسوء الحظ، لا تشرح الكتب المدرسية عادة أنه في الرياضيات من المهم ليس فقط حشر النظريات والبديهيات والصيغ. من المهم أن نفهم ونشعر بمبادئها الأساسية. وفي الوقت نفسه، حاول تحرير عقلك من الكليشيهات والحقائق الأولية - فقط في مثل هذه الظروف تولد جميع الاكتشافات العظيمة.

وتشمل هذه الاكتشافات ما نعرفه اليوم بنظرية فيثاغورس. وبمساعدتها، سنحاول أن نظهر أن الرياضيات لا يمكن أن تكون مثيرة فحسب، بل يجب أن تكون مثيرة أيضًا. وأن هذه المغامرة مناسبة ليس فقط للمهووسين ذوي النظارات السميكة، بل لكل شخص قوي العقل وقوي الروح.

من تاريخ القضية

بالمعنى الدقيق للكلمة، على الرغم من أن النظرية تسمى "نظرية فيثاغورس"، إلا أن فيثاغورس نفسه لم يكتشفها. تمت دراسة المثلث القائم الزاوية وخصائصه الخاصة قبل ذلك بوقت طويل. هناك وجهتا نظر قطبيتين حول هذه القضية. وفقًا لإحدى الإصدارات، كان فيثاغورس أول من وجد دليلاً كاملاً على النظرية. ووفقا لآخر، فإن الدليل لا ينتمي إلى تأليف فيثاغورس.

اليوم لم يعد بإمكانك التحقق من هو على حق ومن هو على خطأ. والمعروف أن إثبات فيثاغورس، إن كان موجودًا، لم يبق. ومع ذلك، هناك اقتراحات بأن الدليل الشهير من كتاب العناصر لإقليدس قد ينتمي إلى فيثاغورس، وقد سجله إقليدس فقط.

ومن المعروف اليوم أيضًا أن المسائل المتعلقة بالمثلث قائم الزاوية موجودة في المصادر المصرية من زمن الفرعون أمنمحات الأول، وعلى الألواح الطينية البابلية من عهد الملك حمورابي، وفي الرسالة الهندية القديمة “سولفا سوترا” والعمل الصيني القديم “. تشو بي سوان جين”.

كما ترون فإن نظرية فيثاغورس شغلت عقول علماء الرياضيات منذ القدم. وهذا ما تؤكده حوالي 367 قطعة مختلفة من الأدلة الموجودة اليوم. وفي هذا لا يمكن لأي نظرية أخرى أن تنافسها. من بين مؤلفي البراهين المشهورين يمكننا أن نتذكر ليوناردو دافنشي والرئيس الأمريكي العشرين جيمس جارفيلد. كل هذا يتحدث عن الأهمية البالغة لهذه النظرية بالنسبة للرياضيات: فمعظم نظريات الهندسة مشتقة منها أو مرتبطة بها بطريقة ما.

البراهين على نظرية فيثاغورس

تقدم الكتب المدرسية في الغالب أدلة جبرية. لكن جوهر النظرية يكمن في الهندسة، لذلك دعونا ننظر أولاً إلى أدلة النظرية الشهيرة المبنية على هذا العلم.

الدليل 1

للحصول على أبسط دليل على نظرية فيثاغورس للمثلث القائم الزاوية، تحتاج إلى ضبطه الظروف المثالية: دع المثلث لا يكون مستطيلاً فحسب، بل متساوي الساقين أيضًا. هناك سبب للاعتقاد بأن هذا النوع من المثلث بالتحديد هو الذي فكر فيه علماء الرياضيات القدماء في البداية.

إفادة "المربع المبني على وتر المثلث القائم يساوي مجموع المربعات المبنية على قائميه"ويمكن توضيح ذلك بالرسم التالي:

أنظر إلى المتوازيين متساوي الساقين المثلث ABC: على الوتر AC، يمكنك بناء مربع يتكون من أربعة مثلثات يساوي ABC الأصلي. ويبنى على الضلعين AB وBC مربع، يحتوي كل منهما على مثلثين متشابهين.

بالمناسبة، شكل هذا الرسم أساس العديد من النكات والرسوم الكاريكاتورية المخصصة لنظرية فيثاغورس. الأكثر شهرة هو على الأرجح "سراويل فيثاغورس متساوية في كل الاتجاهات":

الدليل 2

تجمع هذه الطريقة بين الجبر والهندسة ويمكن اعتبارها نوعًا مختلفًا من البرهان الهندي القديم لعالم الرياضيات بهاسكاري.

بناء مثلث قائم الزاوية مع الجانبين أ، ب، ج(رسم بياني 1). ثم قم ببناء مربعين أضلاعهما تساوي مجموع طولي الرجلين - (أ+ب). في كل مربع، قم بعمل الإنشاءات كما في الشكلين 2 و3.

في المربع الأول، قم ببناء أربعة مثلثات مشابهة لتلك الموجودة في الشكل 1. والنتيجة هي مربعين: واحد مع الجانب أ، والثاني مع الجانب ب.

في المربع الثاني، تم بناء أربعة مثلثات متشابهة لتشكل مربعًا له جانب يساوي الوتر ج.

مجموع مساحات المربعات المبنية في الشكل 2 يساوي مساحة المربع الذي أنشأناه مع الضلع c في الشكل 3. يمكن التحقق من ذلك بسهولة عن طريق حساب مساحة المربعات في الشكل. 2 حسب الصيغة. ومساحة المربع المندرج في الشكل 3. وذلك بطرح مساحات أربعة مثلثات متساوية قائمة الزاوية مدرجة في المربع من مساحة مربع كبير ذو ضلع (أ+ب).

وكتابة كل هذا، لدينا: أ 2 + ب 2 =(أ+ب) 2 – 2أ. افتح الأقواس، وقم بإجراء جميع الحسابات الجبرية اللازمة واحصل على ذلك أ 2 + ب 2 = أ 2 + ب 2. في هذه الحالة، المنطقة المبينة في الشكل 3. يمكن أيضًا حساب المربع باستخدام الصيغة التقليدية ق = ج 2. أولئك. أ 2 + ب 2 = ج 2– لقد أثبتت نظرية فيثاغورس.

الدليل 3

تم وصف الدليل الهندي القديم نفسه في القرن الثاني عشر في أطروحة “تاج المعرفة” (“Siddhanta Shiromani”) وباعتباره الحجة الرئيسية يستخدم المؤلف نداء موجهًا إلى المواهب الرياضية ومهارات الملاحظة للطلاب والأتباع: “ ينظر!"

لكننا سنقوم بتحليل هذا الدليل بمزيد من التفصيل:

داخل المربع، قم ببناء أربعة مثلثات قائمة كما هو موضح في الرسم. دعونا نشير إلى جانب المربع الكبير، المعروف أيضًا باسم الوتر، مع. دعونا نسمي أرجل المثلث أو ب. وفقا للرسم، فإن جانب المربع الداخلي هو (أ-ب).

استخدم الصيغة الخاصة بمساحة المربع ق = ج 2لحساب مساحة المربع الخارجي. وفي نفس الوقت احسب نفس القيمة عن طريق إضافة مساحة المربع الداخلي ومساحة المثلثات الأربعة القائمة: (أ-ب) 2 2+4*1\2*أ*ب.

يمكنك استخدام كلا الخيارين لحساب مساحة المربع للتأكد من أنهما يعطيان نفس النتيجة. وهذا يمنحك الحق في تدوين ذلك ج 2 =(أ-ب) 2 +4*1\2*أ*ب. ونتيجة للحل، سوف تحصل على صيغة نظرية فيثاغورس ج 2 = أ 2 + ب 2. لقد تم إثبات النظرية.

الدليل 4

هذا الدليل الصيني القديم الغريب كان يسمى "كرسي العروس" - بسبب الشكل الذي يشبه الكرسي الناتج عن جميع الإنشاءات:

ويستخدم الرسم الذي رأيناه بالفعل في الشكل 3 في البرهان الثاني. والمربع الداخلي ذو الضلع ج مبني بنفس الطريقة كما في البرهان الهندي القديم المذكور أعلاه.

إذا قمت بقطع مثلثين قائمين باللون الأخضر من الرسم الموجود في الشكل 1، فانقلهما إلى الأطراف المقابلةقم بإرفاق مربع ذو ضلع C والوتر إلى وتر المثلثات الأرجوانية، وستحصل على شكل يسمى "كرسي العروس" (الشكل 2). من أجل الوضوح، يمكنك أن تفعل الشيء نفسه مع المربعات الورقية والمثلثات. سوف تتأكد من أن "كرسي العروس" يتكون من مربعين: مربعان صغيران ذو جانب بوكبيرة مع الجانب أ.

سمحت هذه الإنشاءات لعلماء الرياضيات الصينيين القدماء ولنا، بعدهم، بالتوصل إلى استنتاج مفاده أن ج 2 = أ 2 + ب 2.

الدليل 5

هذه طريقة أخرى لإيجاد حل لنظرية فيثاغورس باستخدام الهندسة. إنها تسمى طريقة غارفيلد.

بناء مثلث قائم الزاوية اي بي سي. نحن بحاجة إلى إثبات ذلك ق 2 = أ 2 + أ ب 2.

للقيام بذلك، استمر في الساق تكييفوبناء شريحة قرص مضغوط، وهو ما يعادل الساق أ.ب. خفض عمودي إعلانالقطعة المستقيمة الضعف الجنسي. شرائح الضعف الجنسيو تكييفمتساوون. الربط بين النقاط هو في، و هو معواحصل على رسم مثل الصورة أدناه:

لإثبات البرج، نلجأ مرة أخرى إلى الطريقة التي جربناها بالفعل: نجد مساحة الشكل الناتج بطريقتين ومساواة التعبيرات مع بعضها البعض.

أوجد مساحة المضلع سريريمكن القيام بذلك عن طريق جمع مساحات المثلثات الثلاثة التي تشكلها. وواحد منهم، وحدة معالجة الطوارئ، ليس مستطيلًا فحسب، بل متساوي الساقين أيضًا. دعونا لا ننسى ذلك أيضًا أب = مؤتمر نزع السلاح, التيار المتردد = الضعف الجنسيو قبل الميلاد = جنوب شرق- سيسمح لنا ذلك بتبسيط التسجيل وعدم التحميل الزائد عليه. لذا، S ABED = 2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

وفي الوقت نفسه، فمن الواضح أن سرير- هذا شبه منحرف. ولذلك، فإننا نحسب مساحتها باستخدام الصيغة: S عابد =(DE+AB)*1/2م. بالنسبة لحساباتنا، يكون تمثيل القطاع أكثر ملاءمة ووضوحًا إعلانكمجموع الأجزاء تكييفو قرص مضغوط.

لنكتب الطريقتين لحساب مساحة الشكل، مع وضع إشارة المساواة بينهما: أب*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). نحن نستخدم مساواة الشرائح المعروفة لنا والموصوفة أعلاه للتبسيط الجانب الأيمنالإدخالات: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. الآن دعونا نفتح الأقواس ونحول المساواة: أب*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. بعد الانتهاء من جميع التحولات، نحصل على ما نحتاجه بالضبط: ق 2 = أ 2 + أ ب 2. لقد أثبتنا النظرية.

وبطبيعة الحال، فإن قائمة الأدلة هذه بعيدة عن الاكتمال. يمكن أيضًا إثبات نظرية فيثاغورس باستخدام المتجهات والأعداد المركبة والمعادلات التفاضلية والقياس المجسم وما إلى ذلك. وحتى الفيزيائيون: على سبيل المثال، إذا تم سكب السائل في أحجام مربعة ومثلثة مماثلة لتلك الموضحة في الرسومات. من خلال صب السائل، يمكنك إثبات تساوي المناطق والنظرية نفسها نتيجة لذلك.

بضع كلمات عن ثلاثة توائم فيثاغورس

هذه القضية قليلة أو لم تتم دراستها على الإطلاق في المناهج المدرسية. وفي الوقت نفسه، فهو مثير للاهتمام للغاية ولديه أهمية عظيمةفي الهندسة. تُستخدم ثلاثية فيثاغورس في حل العديد من المسائل الرياضية. قد يكون فهمها مفيدًا لك في التعليم الإضافي.

إذن ما هي ثلاثة توائم فيثاغورس؟ هذا ما يسمونه الأعداد الصحيحة، مجمعة في ثلاثات، مجموع مربعي اثنين منها يساوي الرقم الثالث في المربع.

يمكن أن تكون ثلاثية فيثاغورس:

• بدائية (جميع الأرقام الثلاثة أولية نسبيًا) ؛
• ليست بدائية (إذا تم ضرب كل رقم ثلاثي بنفس الرقم، فستحصل على ثلاثية جديدة، وهي ليست بدائية).

حتى قبل عصرنا، كان المصريون القدماء مفتونين بهوس أعداد التوائم الفيثاغورية الثلاثية: ففي المسائل كانوا يعتبرون مثلثًا قائمًا بأضلاعه 3 و4 و5 وحدات. وبالمناسبة، أي مثلث تساوي أضلاعه الأعداد الموجودة في ثلاثية فيثاغورس هو مستطيل افتراضيًا.

أمثلة على ثلاثية فيثاغورس: (3، 4، 5)، (6، 8، 10)، (5، 12، 13)، (9، 12، 15)، (8، 15، 17)، (12، 16، 20)، (15، 20، 25)، (7، 24، 25)، (10، 24، 26)، (20، 21، 29)، (18، 24، 30)، (10، 30، 34) ، (21، 28، 35)، (12، 35، 37)، (15، 36، 39)، (24، 32، 40)، (9، 40، 41)، (27، 36، 45)، ( 14، 48، 50)، (30، 40، 50)، إلخ.

التطبيق العملي للنظرية

لا تُستخدم نظرية فيثاغورس في الرياضيات فحسب، بل تُستخدم أيضًا في الهندسة المعمارية والبناء وعلم الفلك وحتى الأدب.

أولاً، فيما يتعلق بالبناء: تُستخدم نظرية فيثاغورس على نطاق واسع في حل المشكلات ذات مستويات مختلفة من التعقيد. على سبيل المثال، انظر إلى النافذة الرومانية:

دعونا نشير إلى عرض النافذة كما ب، فيمكن الإشارة إلى نصف قطر نصف الدائرة الرئيسية على أنه روالتعبير من خلال ب: ص=ب/2. يمكن أيضًا التعبير عن نصف قطر الدوائر النصفية الأصغر من خلال ب: ص=ب/4. في هذه المشكلة نحن مهتمون بنصف قطر الدائرة الداخلية للنافذة (دعنا نسميها ص).

نظرية فيثاغورس مفيدة فقط للحساب ر. للقيام بذلك، نستخدم المثلث القائم، والذي يشار إليه بخط منقط في الشكل. يتكون الوتر في المثلث من نصفي قطر: ب/4+ص. تمثل إحدى الساقين نصف القطر ب/4، آخر ب/2-ص. وباستخدام نظرية فيثاغورس نكتب: (ب/4+ع) 2 =(ب/4) 2 +(ب/2-ع) 2. بعد ذلك، نفتح الأقواس ونحصل على ب 2 /16+ ب/2+ص 2 = ب 2 /16+ب 2 /4-ب+ب 2. دعونا نحول هذا التعبير إلى bp/2=b 2 /4-bp. ثم نقسم جميع الحدود على ب، نقدم مماثلة للحصول عليها 3/2*ع=ب/4. وفي النهاية نجد ذلك ع=ب/6- وهو ما كنا بحاجة إليه.

باستخدام النظرية، يمكنك حساب طول العوارض الخشبية لسقف الجملون. تحديد مدى ارتفاع البرج الاتصالات المتنقلةيجب أن تصل الإشارة إلى مستوى معين مستعمرة. وحتى تثبيت بشكل مطرد شجرة عيد الميلادفي ساحة المدينة. كما ترون، هذه النظرية لا تعيش فقط على صفحات الكتب المدرسية، ولكنها غالبا ما تكون مفيدة في الحياة الحقيقية.

في الأدب، ألهمت نظرية فيثاغورس الكتّاب منذ العصور القديمة، وما زالت تفعل ذلك حتى يومنا هذا. على سبيل المثال، استلهم الكاتب الألماني أدلبرت فون شاميسو من القرن التاسع عشر فكرة كتابة السوناتة:

ونور الحق لن ينطفئ قريبا
ولكن بعد أن أشرق، فمن غير المرجح أن يتبدد
وكما كان الحال منذ آلاف السنين،
لن يسبب الشك أو الجدل.

الأكثر حكمة عندما يمس بصرك
نور الحق، الحمد للآلهة؛
ومائة ثور مذبوح يكذبون -
هدية عودة من فيثاغورس المحظوظ.

منذ ذلك الحين والثيران يزأرون يائسين:
انزعجت قبيلة الثور إلى الأبد
الحدث المذكور هنا

ويبدو لهم أن الوقت قد اقترب،
وسيتم التضحية بهم مرة أخرى
بعض النظرية العظيمة.

(ترجمة فيكتور توبوروف)

وفي القرن العشرين، خصص الكاتب السوفييتي إيفجيني فيلتيستوف، في كتابه «مغامرات الإلكترونيات»، فصلاً كاملاً لإثباتات نظرية فيثاغورس. ونصف فصل آخر لقصة العالم ثنائي الأبعاد الذي يمكن أن يوجد إذا أصبحت نظرية فيثاغورس قانونًا أساسيًا وحتى دينًا لعالم واحد. سيكون العيش هناك أسهل بكثير، ولكنه أيضًا أكثر مللًا: على سبيل المثال، لا أحد هناك يفهم معنى الكلمتين "مستديرة" و"رقيق".

وفي كتاب «مغامرات الإلكترونيات» يقول المؤلف على لسان مدرس الرياضيات تارتار: «الشيء الأساسي في الرياضيات هو حركة الفكر، الأفكار الجديدة». إن هذه الرحلة الفكرية الإبداعية هي التي أدت إلى ظهور نظرية فيثاغورس - فليس من قبيل الصدفة أن تحتوي على الكثير من البراهين المتنوعة. يساعدك على تجاوز حدود المألوف والنظر إلى الأشياء المألوفة بطريقة جديدة.

خاتمة

تم تصميم هذه المقالة لمساعدتك على النظر إلى ما هو أبعد من ذلك المنهج المدرسيفي الرياضيات وتعلم ليس فقط البراهين على نظرية فيثاغورس الواردة في الكتب المدرسية "الهندسة 7-9" (إل إس أتاناسيان، ف.ن. رودينكو) و"الهندسة 7-11" (أ.ف. بوجوريلوف)، ولكن أيضًا طرق أخرى مثيرة للاهتمام لإثبات ذلك النظرية الشهيرة. وشاهد أيضًا أمثلة على كيفية تطبيق نظرية فيثاغورس في الحياة اليومية.

أولاً، ستسمح لك هذه المعلومات بالتأهل للحصول على درجات أعلى في دروس الرياضيات - فالمعلومات حول هذا الموضوع من مصادر إضافية تحظى دائمًا بتقدير كبير.

ثانيًا، أردنا مساعدتك في التعرف على كيفية استخدام الرياضيات علم مثير للاهتمام. تأكد أمثلة محددةأن هناك دائمًا مكانًا للإبداع فيه. نأمل أن تلهمك نظرية فيثاغورس وهذه المقالة للاستكشاف بشكل مستقل وإجراء اكتشافات مثيرة في الرياضيات والعلوم الأخرى.

أخبرنا في التعليقات إذا وجدت الأدلة المقدمة في المقال مثيرة للاهتمام. هل وجدت هذه المعلومات مفيدة في دراستك؟ اكتب لنا رأيك في نظرية فيثاغورس وهذا المقال - وسنكون سعداء بمناقشة كل هذا معك.

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

تعتبر نظرية فيثاغورس أهم بيان في الهندسة. وتصاغ النظرية على النحو التالي: مساحة المربع المبني على وتر المثلث القائم الزاوية تساوي مجموع مساحات المربعات المبنية على ساقيه.

يُنسب عادةً اكتشاف هذا البيان إلى الفيلسوف اليوناني القديموعالم الرياضيات فيثاغورس (القرن السادس قبل الميلاد). لكن دراسة الألواح المسمارية البابلية والمخطوطات الصينية القديمة (نسخ من المخطوطات الأقدم) أظهرت أن هذا البيان كان معروفًا قبل فيثاغورس بوقت طويل، وربما قبله بألف عام. وكانت ميزة فيثاغورس أنه اكتشف إثبات هذه النظرية.

ومن المحتمل أن الحقيقة المذكورة في نظرية فيثاغورس قد تم إثباتها لأول مرة بالنسبة للمثلثات متساوية الساقين. ما عليك سوى إلقاء نظرة على فسيفساء المثلثات السوداء والخفيفة الموضحة في الشكل. 1، للتحقق من صحة نظرية المثلث: مربع مبني على الوتر يحتوي على 4 مثلثات، ومربع يحتوي على مثلثين مبني على كل ضلع. لإثبات الحالة العامة في الهند القديمة، استخدموا طريقتين: في مربع ذو جانب، قاموا بتصوير أربعة مثلثات قائمة ذات أطوال أطوال و (الشكل 2، أ و 2، ب)، وبعد ذلك كتبوا كلمة واحدة " ينظر!" وبالفعل وبالنظر إلى هذه الرسومات نرى أنه على اليسار يوجد شكل خالي من المثلثات، يتكون من مربعين لهما أضلاع، وبالتالي فإن مساحته تساوي، وعلى اليمين يوجد مربع ذو ضلع - مساحتها تساوي . وهذا يعني أن هذا يشكل بيان نظرية فيثاغورس.

ومع ذلك، لمدة ألفي سنة، لم يكن هذا الدليل البصري هو الذي تم استخدامه، بل دليل أكثر تعقيدًا اخترعه إقليدس، والذي تم وضعه في كتابه الشهير “العناصر” (انظر إقليدس وكتابه “العناصر”)، خفض إقليدس الارتفاع من الأعلى زاوية مستقيمةعلى الوتر وأثبت أن استمراره يقسم المربع المبني على الوتر إلى مستطيلين مساحاتهما تساوي مساحات المربعين المقابلين المبنيين على الأرجل (شكل 3). الرسم المستخدم لإثبات هذه النظرية يُسمى على سبيل المزاح "سراويل فيثاغورس". لفترة طويلة كان يعتبر أحد رموز العلوم الرياضية.

اليوم، هناك عشرات من البراهين المختلفة لنظرية فيثاغورس معروفة. ومنها ما يقوم على تقسيم المربعات، حيث يتكون المربع المبني على الوتر من أجزاء تدخل في أقسام المربعات المبنية على الأرجل؛ الآخرين - على تكملة الأرقام المتساوية؛ الثالث - على أن الارتفاع المنخفض من رأس الزاوية القائمة إلى الوتر يقسم المثلث القائم إلى مثلثين متشابهين.

تشكل نظرية فيثاغورس أساس معظم الحسابات الهندسية. وحتى في بابل القديمة، تم استخدامه لحساب طول ارتفاع المثلث متساوي الساقين من أطوال القاعدة والضلع، وسهم القطعة من قطر الدائرة وطول الوتر، وإقامة العلاقات بين عناصر بعض المضلعات المنتظمة. باستخدام نظرية فيثاغورس، نثبت تعميمها، مما يسمح لنا بحساب طول الجانب الذي يقع مقابل زاوية حادة أو منفرجة:

ويترتب على هذا التعميم أن وجود زاوية قائمة ليس كافيا فحسب، بل هو أيضا شرط ضروري لتحقيق المساواة. من الصيغة (1) تتبع العلاقة بين أطوال الأقطار وأضلاع متوازي الأضلاع، مما يسهل من خلاله إيجاد طول متوسط ​​المثلث من أطوال أضلاعه.

بناءً على نظرية فيثاغورس، تم اشتقاق صيغة تعبر عن مساحة أي مثلث من خلال أطوال أضلاعه (انظر صيغة هيرون). وبطبيعة الحال، تم استخدام نظرية فيثاغورس أيضا لحل المسائل العملية المختلفة.

بدلاً من المربعات، يمكنك بناء أي أشكال متشابهة (مثلثات متساوية الأضلاع، أنصاف دوائر، وما إلى ذلك) على جوانب المثلث القائم الزاوية. في هذه الحالة، مساحة الشكل المبني على الوتر تساوي مجموع مساحات الشكل المبني على الساقين. هناك تعميم آخر يرتبط بالانتقال من المستوى إلى الفضاء. ويتم صياغته على النحو التالي: مربع طول قطري متوازي مستطيل يساوي المبلغمربعات أبعادها (الطول والعرض والارتفاع). هناك نظرية مماثلة صحيحة في الحالات متعددة الأبعاد وحتى غير المحدودة الأبعاد.

نظرية فيثاغورس موجودة فقط في الهندسة الإقليدية. ولا يحدث ذلك في هندسة لوباشيفسكي أو في غيرها من الأشكال الهندسية غير الإقليدية. لا يوجد نظير لنظرية فيثاغورس على الكرة. خطا طول يشكلان زاوية قياسها 90 درجة، وخط الاستواء محاطًا على كرة بمثلث كروي متساوي الأضلاع، وزواياه الثلاث جميعها زوايا قائمة. بالنسبة له، وليس كما هو الحال على متن الطائرة.

باستخدام نظرية فيثاغورس، احسب المسافة بين النقاط والمستوى الإحداثي باستخدام الصيغة

.

بعد اكتشاف نظرية فيثاغورس، نشأ السؤال حول كيفية العثور على جميع ثلاثة توائم من الأعداد الطبيعية التي يمكن أن تكون أضلاع مثلثات قائمة (انظر نظرية فيرما الأخيرة). تم اكتشافها من قبل الفيثاغوريين، لكن بعض الطرق العامة للعثور على مثل هذه الأرقام الثلاثية كانت معروفة بالفعل لدى البابليين. يحتوي أحد الألواح المسمارية على 15 ثلاثية. من بينهم هناك ثلاثة توائم تتكون من الكثير أعداد كبيرة، أنه لا يمكن أن يكون هناك شك في العثور عليهم عن طريق الاختيار.

الحفرة أبقراط

لونات أبقراط هي أشكال محددة بأقواس من دائرتين، علاوة على ذلك، باستخدام نصف قطر وطول الوتر المشترك لهذه الدوائر، باستخدام بوصلة ومسطرة، يمكن للمرء بناء مربعات متساوية الحجم لهما.

ومن تعميم نظرية فيثاغورس على أنصاف الدوائر، يترتب على ذلك أن مجموع مساحات الكتل الوردية الموضحة في الشكل على اليسار يساوي مساحة المثلث الأزرق. لذلك، إذا أخذت مثلثًا متساوي الساقين قائمًا، فستحصل على ثقبين، مساحة كل منهما ستكون مساوية لنصف مساحة المثلث. في محاولة لحل مشكلة تربيع الدائرة (انظر المشاكل الكلاسيكية في العصور القديمة)، وجد عالم الرياضيات اليوناني القديم أبقراط (القرن الخامس قبل الميلاد) عدة ثقوب أخرى، يتم التعبير عن مناطقها من حيث مساحات الأشكال المستقيمة.

تم الحصول على قائمة كاملة بالهلالات الهامشية الوركية فقط في القرنين التاسع عشر والعشرين. وذلك بفضل استخدام أساليب نظرية جالوا.

تأكد من أن المثلث المعطى لك هو مثلث قائم الزاوية، حيث أن نظرية فيثاغورس تنطبق فقط على المثلثات القائمة. في المثلثات القائمة، تكون إحدى الزوايا الثلاث دائمًا 90 درجة.

• تتم الإشارة إلى الزاوية القائمة في المثلث القائم برمز مربع بدلاً من المنحنى الذي يمثل الزوايا المائلة.

قم بتسمية جوانب المثلث.قم بتسمية الساقين بـ "a" و"b" (الأرجل عبارة عن جوانب متقاطعة بزاوية قائمة)، والوتر بـ "c" (الوتر هو أكبر جانب في المثلث القائم، ويقع مقابل الزاوية القائمة).

حدد أي جانب من المثلث تريد العثور عليه.تسمح لك نظرية فيثاغورس بإيجاد أي جانب من أضلاع المثلث القائم الزاوية (إذا كان الجانبان الآخران معروفين). حدد الجانب (أ، ب، ج) الذي تريد إيجاده.

• على سبيل المثال، إذا كان الوتر يساوي 5، والساق يساوي 3. في هذه الحالة، من الضروري العثور على الرجل الثانية. وسنعود إلى هذا المثال لاحقًا.
• إذا كان الضلعان الآخران مجهولين، فستحتاج إلى إيجاد طول أحد الضلعين المجهولين لتتمكن من تطبيق نظرية فيثاغورس. للقيام بذلك، استخدم الأساسية الدوال المثلثية(إذا أعطيت قيمة إحدى الزوايا المائلة).

استبدل القيم المعطاة لك (أو القيم التي وجدتها) في الصيغة a 2 + b 2 = c 2.تذكر أن a وb ساقان، وc هو الوتر.

• في مثالنا، اكتب: 3² + ب² = 5².

مربع كل جانب معروف.أو اترك القوى - يمكنك تربيع الأرقام لاحقًا.

• في مثالنا، اكتب: 9 + ب² = 25.

عزل الجانب المجهول في أحد طرفي المعادلة.للقيام بذلك، تحرك القيم المعروفةإلى الجانب الآخر من المعادلة. إذا وجدت الوتر، فإنه في نظرية فيثاغورس معزول بالفعل على أحد طرفي المعادلة (لذلك ليس عليك فعل أي شيء).

• في مثالنا، انتقل 9 إلى الجانب الأيمنمعادلات لعزل المجهول b². سوف تحصل على ب² = 16.

يزيل الجذر التربيعيمن طرفي المعادلة بعد أن يكون المجهول (المربع) موجودا في أحد طرفي المعادلة والحد الحر (الرقم) موجودا في الطرف الآخر.

• في مثالنا، ب² = 16. خذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة واحصل على ب = 4. إذن، الضلع الثاني هو 4.

استخدم نظرية فيثاغورس في الحياة اليومية، لأنه يمكن استخدامه في عدد كبيرمواقف عملية. للقيام بذلك، تعلم كيفية التعرف على المثلثات القائمة في الحياة اليومية - في أي موقف يتقاطع فيه كائنان (أو خطان) بزوايا قائمة، ويربط كائن (أو خط) ثالث (قطريًا) قمم الكائنين الأولين (أو خطوط)، يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس للعثور على الجانب المجهول (إذا كان الجانبان الآخران معروفين).

• مثال: إعطاء درج متكئ على مبنى. يقع أسفل الدرج على بعد 5 أمتار من قاعدة الجدار. الجزء العلوييقع الدرج على ارتفاع 20 مترًا من الأرض (أعلى الجدار). ما هو طول الدرج؟
  • "5 أمتار من قاعدة الجدار" تعني أن أ = 5؛ "يقع على بعد 20 مترًا من الأرض" يعني أن b = 20 (أي أنه تم إعطاؤك ساقين لمثلث قائم الزاوية، نظرًا لأن جدار المبنى وسطح الأرض يتقاطعان بزوايا قائمة). طول الدرج هو طول الوتر، وهو غير معروف.
    • أ² + ب² = ج²
    • (5)² + (20)² = ج²
    • 25 + 400 = ج²
    • 425 = ج²
    • ج = √425
    • ج = 20.6. وبذلك يكون الطول التقريبي للدرج 20.6 مترًا.

قياس مساحة الأشكال الهندسية.

§ 58. نظرية فيثاغورس 1.

__________
1 فيثاغورس عالم يوناني عاش قبل حوالي 2500 سنة (564-473 قبل الميلاد).
_________

دعونا نعطي مثلثًا قائمًا أضلاعه أ, بو مع(الرسم 267).

دعونا نبني المربعات على جوانبها. مساحات هذه المربعات متساوية على التوالي أ 2 , ب 2 و مع 2. دعونا نثبت ذلك مع 2 = أ 2 + ب 2 .

لنقم ببناء مربعين MKOR وM"K"O"R" (الرسومات 268، 269)، مع أخذ جانب كل منهما قطعة تساوي مجموع أرجل المثلث القائم ABC.

وبعد الانتهاء من الإنشاءات الموضحة في الرسمين 268 و 269 في هذه المربعات، سنرى أن مربع MCOR مقسم إلى مربعين بمساحات أ 2 و ب 2 وأربعة مثلثات متساوية الزاوية، كل منها يساوي المثلث القائم ABC. تم تقسيم المربع M"K"O"R" إلى رباعي الزوايا (وهو مظلل في الرسم 269) وأربعة مثلثات قائمة، كل منها يساوي أيضًا المثلث ABC. الشكل الرباعي المظلل هو مربع، حيث أن أضلاعه متساوية (كل منها يساوي وتر المثلث ABC، أي. مع)، والزوايا قائمة / 1 + / 2 = 90 درجة، من أين / 3 = 90 درجة).

وبذلك يكون مجموع مساحات المربعات المبنية على الأرجل (في الرسم 268 هذه المربعات مظللة) يساوي مساحة المربع MCOR دون مجموع مساحات أربعة مثلثات متساوية، ومساحة ​​المربع المبني على الوتر (في الرسم 269 هذا المربع مظلل أيضًا) يساوي مساحة المربع M"K"O"R"، ويساوي مربع MCOR، بدون مجموع مساحات أربعة مثلثات متشابهة. ولذلك فإن مساحة المربع المبني على وتر المثلث القائم الزاوية تساوي مجموع مساحات المربعين المبنيين على الساقين.

نحصل على الصيغة مع 2 = أ 2 + ب 2 حيث مع- الوتر، أو ب- أرجل المثلث الأيمن.

عادة ما يتم صياغة نظرية فيثاغورس باختصار على النحو التالي:

مربع الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع مربعي الساقين.

من الصيغة مع 2 = أ 2 + ب 2 يمكنك الحصول على الصيغ التالية:

أ 2 = مع 2 - ب 2 ;
ب 2 = مع 2 - أ 2 .

يمكن استخدام هذه الصيغ للعثور على الجانب المجهول للمثلث القائم الزاوية من ضلعيه المعطىين.
على سبيل المثال:

أ) إذا أعطيت الساقين أ= 4 سم، ب= 3 سم، فيمكنك إيجاد الوتر ( مع):
مع 2 = أ 2 + ب 2، أي. مع 2 = 2 4 + 2 3 ; مع 2 = 25، حيث مع= √25 =5 (سم)؛

ب) إذا تم إعطاء الوتر مع= 17 سم والساق أ= 8 سم، ثم يمكنك العثور على ساق أخرى ( ب):

ب 2 = مع 2 - أ 2، أي. ب 2 = 17 2 - 8 2 ; ب 2 = 225، من أين ب= √225 = 15 (سم).

عاقبة: إذا كان المثلثان القائمان ABC و A لهما 1 B 1 C 1 وتر معو مع 1 متساوون، والساق بالمثلث ABC أطول من الساق ب 1 مثلث أ 1 ب 1 ج 1،
ثم الساق أالمثلث ABC أصغر من الساق أ 1 مثلث أ 1 ب 1 ج 1. (ارسم رسمًا يوضح هذه النتيجة.)

وفي الواقع، وبناء على نظرية فيثاغورس نحصل على:

أ 2 = مع 2 - ب 2 ,
أ 1 2 = مع 1 2 - ب 1 2

في الصيغ المكتوبة يكون الطرح متساويا، والمطروح في الصيغة الأولى أكبر من المطروح في الصيغة الثانية، وبالتالي يكون الفرق الأول أقل من الثاني،
أي. أ 2 < أ 12 . أين أ< أ 1 .

تمارين.

1. باستخدام الرسم 270، أثبت نظرية فيثاغورس للمثلث متساوي الساقين.

2. طول أحد أضلاع المثلث القائم الزاوية 12 سم والأخرى 5 سم، احسب طول الوتر في هذا المثلث.

3. طول الوتر في المثلث القائم الزاوية 10 سم، وطول أحد الأرجل 8 سم، احسب طول الضلع الآخر في هذا المثلث.

4. طول الوتر في المثلث القائم الزاوية 37 سم، وطول أحد ساقيه 35 سم، احسب طول الضلع الآخر في هذا المثلث.

5. أنشئ مربعًا مساحته ضعف حجم المربع المعطى.

6. أنشئ مربعًا مساحته نصف حجم المربع المعطى. ملحوظة.ارسم الأقطار في هذا المربع. المربعات المبنية على نصفي هذه الأقطار هي التي نبحث عنها.

7. طول أضلاع المثلث القائم الزاوية 12 سم و 15 سم على التوالي، احسب طول الوتر في هذا المثلث بدقة 0.1 سم.

8. طول الوتر في المثلث القائم الزاوية 20 سم، وطول أحد ساقيه 15 سم، واحسب طول الرجل الأخرى لأقرب 0.1 سم.

9. كم يجب أن يكون طول السلم حتى يمكن وضعه على نافذة تقع على ارتفاع 6 أمتار، إذا كان الطرف السفلي للسلم يجب أن يكون على بعد 2.5 متر من المبنى؟ (رسم بياني 271.)