Tällä luennolla tutustumme toisen asteen yhtälön juurien ja sen kertoimien välisiin omituisiin suhteisiin. Nämä suhteet löysi ensimmäisenä ranskalainen matemaatikko Francois Viet (1540-1603).

Esimerkiksi yhtälölle Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, etsimättä sen juuria, voit Vieta-lauseen avulla sanoa välittömästi, että juurien summa on , ja juurien tulo on
eli - 2. Ja yhtälölle x 2 - 6x + 8 = 0 päätämme: juurien summa on 6, juurten tulo on 8; muuten, ei ole vaikea arvata, mitä juuret ovat: 4 ja 2.
Todistus Vietan lauseesta. Neliöyhtälön ax 2 + bx + c \u003d 0 juuret x 1 ja x 2 löydetään kaavoilla

Missä D \u003d b 2 - 4ac on yhtälön diskriminantti. Näiden juurien laskeminen
saamme

Nyt lasketaan tulojen x 1 ja x 2 Meillä on

Toinen suhde on todistettu:
Kommentti. Vietan lause pätee myös kun toisen asteen yhtälö on yksi juuri (eli kun D = 0), tässä tapauksessa katsotaan vain, että yhtälöllä on kaksi identtistä juuria, joihin yllä olevia suhteita sovelletaan.
Todistetut suhteet pelkistetylle toisen asteen yhtälölle x 2 + px + q \u003d 0 ovat erityisen yksinkertaisessa muodossa. Tässä tapauksessa saamme:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
nuo. annetun toisen asteen yhtälön juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi.
Vieta-lauseen avulla voidaan saada myös muita suhteita toisen asteen yhtälön juurien ja kertoimien välille. Olkoon esimerkiksi x 1 ja x 2 pelkistetyn toisen asteen yhtälön x 2 + px + q = 0 juuret.

Vietan lauseen päätarkoitus ei kuitenkaan ole se, että se ilmaisee tiettyjä suhteita toisen asteen yhtälön juurien ja kertoimien välillä. Paljon tärkeämpää on se, että Vietan lauseen avulla johdetaan kaava neliötrinomin tekijöille, jota ilman emme tule toimeen tulevaisuudessa.

Todiste. Meillä on

Esimerkki 1. Kerroin neliötrinomi 3x 2 - 10x + 3.
Ratkaisu. Kun yhtälö Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 on ratkaistu, löydämme neliötrinomin Zx 2 - 10x + 3 juuret: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Lauseen 2 avulla saamme

Sen sijaan on järkevää kirjoittaa Zx - 1. Sitten lopulta saadaan Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Huomaa, että annettu neliötrinomi voidaan kertoa ilman Lauseen 2 käyttöä ryhmittelymenetelmällä:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Mutta kuten näette, tällä menetelmällä menestys riippuu siitä, löydämmekö onnistuneen ryhmittelyn vai emme, kun taas ensimmäisellä menetelmällä menestys on taattu.
Esimerkki 1. Pienennä fraktiota

Ratkaisu. Yhtälöstä 2x 2 + 5x + 2 = 0 löydämme x 1 = - 2,

Yhtälöstä x2 - 4x - 12 = 0 löydämme x 1 = 6, x 2 = -2. Siksi
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Pienennetään nyt annettua murtolukua:

Esimerkki 3. Muuta lausekkeet tekijöille:
a) x4 + 5x2 +6; b) 2x+-3
Ratkaisu a) Otetaan käyttöön uusi muuttuja y = x 2 . Tämä antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa annettu lauseke uudelleen neliötrinomin muotoon suhteessa muuttujaan y, nimittäin muotoon y 2 + bу + 6.
Ratkaistuamme yhtälön y 2 + by + 6 \u003d 0, löydämme neliötrinomin y 2 + 5y + 6 juuret: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Nyt käytämme Lauseen 2; saamme

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
On syytä muistaa, että y \u003d x 2, eli palaa annettuun lausekkeeseen. Niin,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Otetaan käyttöön uusi muuttuja y = . Näin voit kirjoittaa annetun lausekkeen uudelleen neliötrinomin muotoon suhteessa muuttujaan y, nimittäin muotoon 2y 2 + y - 3. Yhtälön ratkaistua
2y 2 + y - 3 \u003d 0, löydämme neliötrinomin 2y 2 + y - 3 juuret:
y 1 = 1, y 2 = . Lisäksi Lauseen 2 avulla saamme:

On syytä muistaa, että y \u003d, eli palaa annettuun lausekkeeseen. Niin,

Osio päättyy joihinkin huomioihin, jotka liittyvät jälleen Vieta-lauseeseen, tai pikemminkin päinvastaiseen väitteeseen:
jos luvut x 1, x 2 ovat sellaisia, että x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, niin nämä luvut ovat yhtälön juuria
Tämän lauseen avulla voit ratkaista monia toisen asteen yhtälöitä suullisesti ilman hankalia juurikaavoja ja myös muodostaa toisen asteen yhtälöitä annetuilla juurilla. Annetaan esimerkkejä.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Tässä x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. On helppo arvata, että x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Tässä x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. On helppo arvata, että x 1 = -5, x 2 = -6.
Huomaa: jos yhtälön vapaa termi on positiivinen luku, niin molemmat juuret ovat joko positiivisia tai negatiivisia; Tämä on tärkeää ottaa huomioon juuria valittaessa.

3) x 2 + x - 12 = 0. Tässä x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. On helppo arvata, että x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Huomaa: jos yhtälön vapaa termi on - negatiivinen luku, silloin juuret ovat eri merkkisiä; Tämä on tärkeää ottaa huomioon juuria valittaessa.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. On helppo nähdä, että x = 1 täyttää yhtälön, ts. x 1 \u003d 1 - yhtälön juuri. Koska x 1 x 2 \u003d - ja x 1 \u003d 1, saamme x 2 \u003d -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Tässä x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Jos kiinnität huomiota siihen, että 2830 = 283. 10 ja 293 \u003d 283 + 10, niin käy selväksi, että x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (kuvittele nyt, mitä laskelmia olisi suoritettava tämän toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi standardikaavojen avulla).

6) Muodostamme toisen asteen yhtälön siten, että sen juurina toimivat luvut x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4. Yleensä tällaisissa tapauksissa ne muodostavat pelkistetyn toisen asteen yhtälön x 2 + px + q \u003d 0.
Meillä on x 1 + x 2 \u003d -p, siis 8 - 4 \u003d -p, eli p \u003d -4. Lisäksi x 1 x 2 = q, so. 8"(-4) = q, josta saadaan q = -32. Joten p \u003d -4, q \u003d -32, mikä tarkoittaa, että halutulla toisen asteen yhtälöllä on muoto x 2 -4x-32 \u003d 0.

Vietan lause (tarkemmin sanottuna lause käänteinen lause Vieta) avulla voit lyhentää toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen kuluvaa aikaa. Sinun tarvitsee vain osata käyttää sitä. Kuinka oppia ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä Vietan lauseen avulla? Se on helppoa, jos vähän ajattelee.

Nyt puhutaan vain pelkistetyn toisen asteen yhtälön ratkaisusta Vieta-lauseen avulla.. Pelkistetty toisen asteen yhtälö on yhtälö, jossa a, eli x²:n edessä oleva kerroin, on yhtä suuri kuin yksi. Myös antamatta jätetyt neliöyhtälöt voidaan ratkaista Vieta-lauseella, mutta jo ainakin yksi juurista ei ole kokonaisluku. Niitä on vaikeampi arvata.

Lause päinvastoin kuin Vietan lause sanoo: jos luvut x1 ja x2 ovat sellaisia, että

silloin x1 ja x2 ovat toisen asteen yhtälön juuria

Kun ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö Vieta-lauseen avulla, vain 4 vaihtoehtoa on mahdollista. Jos muistat päättelyn kulkua, voit oppia löytämään kokonaisia ​​juuria hyvin nopeasti.

I. Jos q on positiivinen luku,

tämä tarkoittaa, että juuret x1 ja x2 ovat samanmerkkisiä lukuja (koska vain kertomalla lukuja samoilla etumerkeillä saadaan positiivinen luku).

I.a. Jos -p on positiivinen luku, (vastaavasti s<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Jos -p on negatiivinen luku, (vastaavasti p>0), niin molemmat juuret ovat negatiivisia lukuja (he lisäsivät samanmerkkisiä lukuja, saivat negatiivisen luvun).

II. Jos q on negatiivinen luku,

tämä tarkoittaa, että juurilla x1 ja x2 on eri etumerkit (lukuja kerrottaessa saadaan negatiivinen luku vain, kun tekijöiden etumerkit ovat erilaiset). Tässä tapauksessa x1 + x2 ei ole enää summa, vaan ero (kunhan kun lisäät numeroita erilaisia ​​merkkejä vähennämme pienemmän suuremmasta modulosta). Siksi x1 + x2 näyttää kuinka paljon juuret x1 ja x2 eroavat toisistaan, eli kuinka paljon yksi juuri on enemmän kuin toinen (modulo).

II.a. Jos -p on positiivinen luku, (eli s<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Jos -p on negatiivinen luku, (p>0), niin suurempi (modulo) juuri on negatiivinen luku.

Harkitse toisen asteen yhtälöiden ratkaisua Vietan lauseen mukaisesti esimerkkien avulla.

Ratkaise annettu toisen asteen yhtälö Vietan lauseella:

Tässä q=12>0, joten juuret x1 ja x2 ovat samanmerkkisiä lukuja. Niiden summa on -p=7>0, joten molemmat juuret ovat positiivisia lukuja. Valitsemme kokonaisluvut, joiden tulo on 12. Nämä ovat 1 ja 12, 2 ja 6, 3 ja 4. Parin 3 ja 4 summa on 7. Näin ollen 3 ja 4 ovat yhtälön juuret.

Tässä esimerkissä q=16>0, mikä tarkoittaa, että juuret x1 ja x2 ovat samanmerkkisiä lukuja. Niiden summa -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Tässä q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, niin suurempi luku on positiivinen. Joten juuret ovat 5 ja -3.

q = -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Toisen asteen yhtälöissä on useita suhteita. Tärkeimmät ovat juurien ja kertoimien väliset suhteet. Lisäksi monet suhteet toimivat toisen asteen yhtälöissä, jotka on annettu Vieta-lauseella.

Tässä aiheessa esittelemme itse Vieta-lauseen ja sen todistuksen toisen asteen yhtälölle, lauseen, joka on päinvastainen kuin Vietan lause, ja analysoimme useita esimerkkejä ongelmanratkaisusta. Kiinnitämme materiaalissa erityistä huomiota Vieta-kaavojen huomioimiseen, jotka määrittelevät yhteyden algebrallisen asteyhtälön todellisten juurien välillä. n ja sen kertoimet.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lause ja todiste Vietan lauseesta

Kaava toisen asteen yhtälön juurille a x 2 + b x + c = 0 muotoa x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a, jossa D = b 2 − 4 a c, määrittää suhteen x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a. Tämän vahvistaa Vietan lause.

Lause 1

Neliöyhtälössä a x 2 + b x + c = 0, Missä x 1 Ja x2- juuret, juurien summa on yhtä suuri kuin kertoimien suhde b Ja a, joka otettiin päinvastaisella merkillä, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin kertoimien suhde c Ja a, eli x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a.

Todiste 1

Tarjoamme sinulle seuraavan kaavion todistuksen suorittamiseen: otamme juurten kaavan, muodostamme toisen asteen yhtälön juurien summan ja tulon ja muunnamme sitten tuloksena olevat lausekkeet varmistaaksemme, että ne ovat yhtä suuret -b a Ja c a vastaavasti.

Laske juurien summa x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a. Tuodaan murtoluvut yhteiseen nimittäjään - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Avataan hakasulkeet tuloksena olevan murtoluvun osoittajassa ja annetaan samanlaiset termit: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . Pienennä murtolukua: 2 - b a \u003d - b a.

Olemme siis todistaneet Vietan lauseen ensimmäisen suhteen, joka viittaa toisen asteen yhtälön juurien summaan.

Siirrytään nyt toiseen suhteeseen.

Tätä varten meidän on muodostettava toisen asteen yhtälön juurten tulo: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.

Muista murtolukujen kertomissääntö ja kirjoita viimeinen tulo seuraavasti: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

Suoritamme hakasulkeen kertomisen murtoluvun osoittajassa olevalla hakasulkeella tai käytämme neliöiden erotuksen kaavaa tämän tuotteen muuntamiseksi nopeammin: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Suoritetaan seuraava siirtymä neliöjuuren määritelmän avulla: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Kaava D = b 2 − 4 a c vastaa toisen asteen yhtälön diskriminanttia, siksi murto-osaan sen sijaan D voidaan korvata b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Avataan sulut, annetaan samankaltaisia ​​termejä ja saadaan: 4 · a · c 4 · a 2 . Jos lyhennämme sitä 4 a, sitten c a jää. Olemme siis todistaneet Vieta-lauseen toisen suhteen juurien tulolle.

Vietan lauseen todistusaineistolla voi olla hyvin ytimekäs muoto, jos jätämme pois selitykset:

x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 a c = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Kun toisen asteen yhtälön diskriminantti on nolla, yhtälöllä on vain yksi juuri. Jotta voisimme soveltaa Vietan lausetta tällaiseen yhtälöön, voimme olettaa, että yhtälöllä, jonka diskriminantti on yhtä suuri kuin nolla, on kaksi identtistä juuria. Todellakin, klo D = 0 toisen asteen yhtälön juuri on: - b 2 a, sitten x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a ja x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2, ja koska D \u003d 0, eli b 2 - 4 a c = 0, josta b 2 = 4 a c, sitten b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Useimmiten käytännössä Vieta-lausetta sovelletaan muodon pelkistettyyn toisen asteen yhtälöön x 2 + p x + q = 0, jossa johtava kerroin a on 1. Tässä suhteessa Vietan lause on muotoiltu juuri tämän tyyppisille yhtälöille. Tämä ei rajoita yleisyyttä, koska mikä tahansa toisen asteen yhtälö voidaan korvata vastaavalla yhtälöllä. Tätä varten on tarpeen jakaa molemmat sen osat numerolla a, joka eroaa nollasta.

Esitetään vielä yksi muoto Vietan lauseesta.

Lause 2

Annetun toisen asteen yhtälön juurien summa x 2 + p x + q = 0 on yhtä suuri kuin kerroin kohdassa x, joka otetaan vastakkaisella merkillä, juurten tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi, ts. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.

Lause käänteinen Vietan lauseelle

Jos katsot tarkasti Vietan lauseen toista muotoilua, voit nähdä sen juurien osalta x 1 Ja x2 pelkistetty toisen asteen yhtälö x 2 + p x + q = 0 suhteet x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q ovat voimassa. Näistä suhteista x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q seuraa, että x 1 Ja x2 ovat toisen asteen yhtälön juuret x 2 + p x + q = 0. Siten päädymme lauseeseen, joka on Vietan lauseen käänteinen.

Nyt ehdotamme tämän väitteen virallistamista lauseeksi ja sen todistamista.

Lause 3

Jos numeroita x 1 Ja x2 ovat sellaisia x 1 + x 2 = − p Ja x 1 x 2 = q, Tuo x 1 Ja x2 ovat pelkistetyn toisen asteen yhtälön juuret x 2 + p x + q = 0.

Todiste 2

Kertoimien muutos s Ja q heidän ilmaisunsa läpi x 1 Ja x2 antaa sinun muuttaa yhtälön x 2 + p x + q = 0 vastaavassa .

Jos korvaamme luvun tuloksena olevaan yhtälöön x 1 sijasta x, niin saamme tasa-arvon x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Tämä tasa-arvo kaikille x 1 Ja x2 muuttuu todelliseksi numeeriseksi tasa-arvoksi 0 = 0 , koska x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Se tarkoittaa sitä x 1- yhtälön juuri x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Mitä sitten x 1 on myös ekvivalentin yhtälön juuri x 2 + p x + q = 0.

Yhtälön korvaaminen x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numeroita x2 x:n sijasta voit saada tasa-arvon x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Tätä tasa-arvoa voidaan pitää totta, koska x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Siitä käy ilmi x2 on yhtälön juuri x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, ja siksi yhtälöt x 2 + p x + q = 0.

Lause, joka on päinvastainen Vietan lauseen kanssa, on todistettu.

Esimerkkejä Vietan lauseen käytöstä

Jatketaan nyt aiheen tyypillisimpien esimerkkien analysointiin. Aloitetaan ongelmien analyysistä, jotka edellyttävät lauseen soveltamista, päinvastoin kuin Vietan lause. Sen avulla voidaan tarkistaa laskelmissa saaduista luvuista, ovatko ne tietyn toisen asteen yhtälön juuria. Tätä varten sinun on laskettava niiden summa ja erotus ja tarkistettava sitten suhteiden x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c oikeellisuus.

Molempien suhteiden toteutuminen osoittaa, että laskelmissa saadut luvut ovat yhtälön juuria. Jos näemme, että ainakin yksi ehdoista ei täyty, nämä luvut eivät voi olla ongelman ehdossa annetun toisen asteen yhtälön juuria.

Esimerkki 1

Mikä lukupareista 1) x 1 = - 5, x 2 = 3 vai 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 vai 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 on toisen asteen yhtälön juuripari 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Ratkaisu

Etsi toisen asteen yhtälön kertoimet 4 x 2 − 16 x + 9 = 0 . Tämä on a = 4, b = −16, c = 9. Vieta-lauseen mukaan toisen yhtälön juurien summan on oltava yhtä suuri kuin -b a, tuo on, 16 4 = 4 , ja juurien tulon tulee olla yhtä suuri kuin c a, tuo on, 9 4 .

Tarkastetaan saatuja lukuja laskemalla kolmen annetun parin lukujen summa ja tulo ja vertaamalla niitä saatuihin arvoihin.

Ensimmäisessä tapauksessa x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. Tämä arvo on eri kuin 4, joten sinun ei tarvitse jatkaa tarkistamista. Lauseen, Vietan lauseen käänteisenä, mukaan voimme heti päätellä, että ensimmäinen lukupari ei ole tämän toisen asteen yhtälön juuria.

Toisessa tapauksessa x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Näemme, että ensimmäinen ehto täyttyy. Mutta toinen ehto ei ole: x 1 x 2 \u003d 1 - 3 3 + 3 \u003d 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. Saamamme arvo on erilainen kuin 9 4 . Tämä tarkoittaa, että toinen lukupari ei ole toisen asteen yhtälön juuria.

Siirrytään kolmanteen pariin. Tässä x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 ja x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Molemmat ehdot täyttyvät, mikä tarkoittaa sitä x 1 Ja x2 ovat annetun toisen asteen yhtälön juuret.

Vastaus: x 1 \u003d 2 + 7 2, x 2 \u003d 2 - 7 2

Voimme myös käyttää Vietan lauseen käänteistä toisen asteen yhtälön juurten löytämiseen. Helpoin tapa on valita annettujen toisen asteen yhtälöiden kokonaislukujuuret kokonaislukukertoimilla. Myös muita vaihtoehtoja voidaan harkita. Mutta tämä voi vaikeuttaa laskelmia huomattavasti.

Juurien valitsemiseksi käytämme sitä tosiasiaa, että jos kahden luvun summa on yhtä suuri kuin miinusmerkillä otettu toisen asteen yhtälön kerroin ja näiden lukujen tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi, niin nämä luvut ovat tämän toisen asteen yhtälön juuret.

Esimerkki 2

Esimerkkinä käytämme toisen asteen yhtälöä x 2 − 5 x + 6 = 0. Numerot x 1 Ja x2 voi olla tämän yhtälön juuret, jos kaksi yhtälöä täyttyvät x1 + x2 = 5 Ja x 1 x 2 = 6. Poimitaanpa ne numerot. Nämä ovat numerot 2 ja 3, koska 2 + 3 = 5 Ja 2 3 = 6. Osoittautuu, että 2 ja 3 ovat tämän toisen asteen yhtälön juuret.

Vietan lauseen käänteistä voidaan käyttää toisen juuren löytämiseen, kun ensimmäinen on tiedossa tai ilmeinen. Tätä varten voidaan käyttää suhteita x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .

Esimerkki 3

Harkitse toisen asteen yhtälöä 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. Meidän on löydettävä tämän yhtälön juuret.

Ratkaisu

Yhtälön ensimmäinen juuri on 1, koska tämän toisen asteen yhtälön kertoimien summa on nolla. Siitä käy ilmi x 1 = 1.

Etsitään nyt toinen juuri. Voit tehdä tämän käyttämällä suhdetta x 1 x 2 = c a. Siitä käy ilmi 1 x 2 = −3 512, missä x 2 \u003d - 3 512.

Vastaus: tehtävän ehdossa määritellyn toisen asteen yhtälön juuret 1 Ja - 3 512 .

Vain yksinkertaisissa tapauksissa on mahdollista valita juuria käyttämällä lausetta päinvastoin kuin Vietan lause. Muissa tapauksissa on parempi etsiä käyttämällä toisen asteen yhtälön juurten kaavaa diskriminantin kautta.

Vietan käänteisen lauseen ansiosta voimme muodostaa myös toisen asteen yhtälöitä juurilla x 1 Ja x2. Tätä varten meidän on laskettava juurien summa, joka antaa kertoimen at x pelkistetyn toisen asteen yhtälön vastakkaisella merkillä ja juurien tulolla, joka antaa vapaan termin.

Esimerkki 4

Kirjoita toisen asteen yhtälö, jonka juuret ovat numeroita − 11 Ja 23 .

Ratkaisu

Hyväksytään se x 1 = −11 Ja x2 = 23. Näiden lukujen summa ja tulo ovat yhtä suuria kuin: x1 + x2 = 12 Ja x 1 x 2 = − 253. Tämä tarkoittaa, että toinen kerroin on 12, vapaa termi − 253.

Teemme yhtälön: x 2 - 12 x - 253 = 0.

Vastaus: x 2 - 12 x - 253 = 0 .

Voimme käyttää Vieta-lausetta ratkaisemaan tehtäviä, jotka liittyvät toisen asteen yhtälöiden juurien etumerkkeihin. Vietan lauseen välinen yhteys liittyy pelkistetyn toisen asteen yhtälön juurien merkkeihin x 2 + p x + q = 0 seuraavalla tavalla:

• jos toisen asteen yhtälöllä on todelliset juuret ja jos vapaa termi q on positiivinen luku, niin näillä juurilla on sama merkki "+" tai "-";
• jos toisen asteen yhtälöllä on juuret ja jos vapaa termi q on negatiivinen luku, niin yksi juuri on "+" ja toinen "-".

Molemmat väitteet ovat seurausta kaavasta x 1 x 2 = q ja kertolaskusäännöt positiivisille ja negatiivisille luvuille sekä lukuille, joilla on eri etumerkit.

Esimerkki 5

Ovat toisen asteen yhtälön juuret x 2 - 64 x - 21 = 0 positiivinen?

Ratkaisu

Vietan lauseen mukaan tämän yhtälön juuret eivät voi molemmat olla positiivisia, koska niiden on täytettävä yhtäläisyys x 1 x 2 = −21. Tämä ei ole mahdollista positiivisella x 1 Ja x2.

Vastaus: Ei

Esimerkki 6

Millä parametrin arvoilla r toisen asteen yhtälö x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 sillä on kaksi todellista juurta eri merkeillä.

Ratkaisu

Aloitetaan etsimällä minkä arvot r, jolle yhtälöllä on kaksi juuria. Etsitään syrjivä tekijä ja katsotaan mitä varten r se vaatii positiivisia arvoja. D = (r + 2) 2 - 4 1 (r - 1) = r 2 + 4 r + 4 - 4 r + 4 = r 2 + 8. Lausekkeen arvo r2 + 8 positiivista mihinkään todellisuuteen r, siksi diskriminantti on suurempi kuin nolla mille tahansa reaaliarvolle r. Tämä tarkoittaa, että alkuperäisellä toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria kaikille parametrin todellisille arvoille r.

Katsotaan nyt, milloin juurilla on erilaiset merkit. Tämä on mahdollista, jos heidän tuotteensa on negatiivinen. Vieta-lauseen mukaan pelkistetyn toisen asteen yhtälön juurten tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi. Oikea ratkaisu on siis nämä arvot r, jolle vapaa termi r − 1 on negatiivinen. Ratkaisemme lineaarisen epäyhtälön r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Vastaus: osoitteessa r< 1 .

Vieta kaavat

On olemassa useita kaavoja, joita voidaan soveltaa operaatioiden suorittamiseen ei vain neliö-, vaan myös kuutio- ja muun tyyppisten yhtälöiden juurilla ja kertoimilla. Niitä kutsutaan Vieta-kaavoiksi.

Algebrallinen asteyhtälö n muotoa a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 yhtälön katsotaan olevan n todelliset juuret x 1 , x 2 , … , x n, joka voi sisältää seuraavat:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4+. . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 x 2 x 3. . . x n = (- 1) n a n a 0

Määritelmä 1

Hanki Vieta-kaavat auttamaan meitä:

• lause polynomin hajottamisesta lineaarisiin tekijöihin;
• yhtäläisten polynomien määrittely kaikkien niitä vastaavien kertoimien yhtäläisyyden kautta.

Joten polynomi a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n ja sen laajennus lineaarisiksi tekijöiksi muotoa a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) ovat yhtä suuret.

Jos avaamme viimeisessä tulossa olevat sulut ja yhtäläisimme vastaavat kertoimet, saamme Vieta-kaavat. Ottamalla n \u003d 2, voimme saada Vieta-kaavan toisen asteen yhtälölle: x 1 + x 2 \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.

Määritelmä 2

Vietan kaava kuutioyhtälölle:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Vieta-kaavojen vasen puoli sisältää ns. alkeissymmetriset polynomit.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tämän tekniikan ydin on löytää juuret ilman erottelijan apua. Muotoa x2 + bx + c = 0 olevalle yhtälölle, jossa on kaksi erilaista todellista juuria, kaksi lausetta on tosi.

Ensimmäinen lause sanoo, että tämän yhtälön juurien summa on yhtä suuri kuin muuttujan x kertoimen arvo (tässä tapauksessa se on b), mutta päinvastaisella etumerkillä. Visuaalisesti se näyttää tältä: x1 + x2 = −b.

Toinen lause ei enää liity summaan, vaan samojen kahden juuren tuloon. Tämä tuote rinnastetaan vapaaseen kertoimeen, ts. c. Tai x1 * x2 = c. Molemmat esimerkit on ratkaistu järjestelmässä.

Vietan lause yksinkertaistaa suuresti ratkaisua, mutta sillä on yksi rajoitus. Neliöyhtälö, jonka juuret voidaan löytää tällä tekniikalla, on vähennettävä. Yllä olevassa yhtälössä kertoimelle a yksi ennen x2 on yhtä suuri kuin yksi. Mikä tahansa yhtälö voidaan pelkistää samanlaiseen muotoon jakamalla lauseke ensimmäisellä kertoimella, mutta tämä operaatio ei aina ole rationaalinen.

Todistus lauseesta

Aluksi meidän tulee muistaa, kuinka perinteen mukaan on tapana etsiä toisen asteen yhtälön juuria. Ensimmäinen ja toinen juuri löytyy, nimittäin: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Yleensä jaollinen luvulla 2a, mutta kuten jo mainittiin, lausetta voidaan soveltaa vain, kun a=1.

Vietan lauseesta tiedetään, että juurien summa on yhtä suuri kuin toinen miinusmerkkinen kerroin. Tämä tarkoittaa, että x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

Sama pätee tuntemattomien juurien tuloon: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. D = b2-4c puolestaan ​​(taas a = 1). Osoittautuu, että tulos on: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Yllä olevasta yksinkertaisesta todistuksesta voidaan tehdä vain yksi johtopäätös: Vietan lause on täysin vahvistettu.

Toinen muotoilu ja todiste

Vietan lauseella on toinen tulkinta. Tarkemmin sanottuna se ei ole tulkinta, vaan sanamuoto. Tosiasia on, että jos samat ehdot täyttyvät kuin ensimmäisessä tapauksessa: on kaksi erilaista todellista juuria, niin lause voidaan kirjoittaa eri kaavassa.

Tämä yhtälö näyttää tältä: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Jos funktio P(x) leikkaa kaksi pistettä x1 ja x2, niin se voidaan kirjoittaa muodossa P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Siinä tapauksessa, että P:llä on toinen aste, ja tältä alkuperäinen lauseke näyttää täsmälleen, niin R on alkuluku, nimittäin 1. Tämä väite on totta siitä syystä, että muuten yhtälö ei päde. Hakasulkeet avattaessa kerroin x2 ei saa olla suurempi kuin yksi, ja lausekkeen tulee pysyä neliön muotoisena.

Yksi menetelmistä toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi on sovellus VIETA-kaavat, joka on nimetty FRANCOIS VIETEN mukaan.

Hän oli kuuluisa lakimies ja palveli 1500-luvulla Ranskan kuninkaan kanssa. Vapaa-ajallaan hän opiskeli tähtitiedettä ja matematiikkaa. Hän loi yhteyden toisen asteen yhtälön juurien ja kertoimien välille.

Kaavan edut:

1 . Kaavaa soveltamalla löydät nopeasti ratkaisun. Koska sinun ei tarvitse syöttää toista kerrointa neliöön, sitten vähennä siitä 4ac, etsi diskriminantti, korvaa sen arvo kaavassa juurien löytämiseksi.

2 . Ilman ratkaisua voit määrittää juurien merkit, poimia juurien arvot.

3 . Kahden tietueen järjestelmän ratkeamisen jälkeen ei ole vaikeaa löytää itse juuret. Yllä olevassa toisen asteen yhtälössä juurien summa on yhtä suuri kuin toisen kertoimen arvo, jossa on miinusmerkki. Yllä olevan toisen asteen yhtälön juurien tulo on yhtä suuri kuin kolmannen kertoimen arvo.

4 . Kirjoita annettujen juurien mukaan toisen asteen yhtälö, eli ratkaise käänteistehtävä. Tätä menetelmää käytetään esimerkiksi teoreettisen mekaniikan ongelmien ratkaisussa.

5 . Kaavaa on kätevää soveltaa, kun johtava kerroin on yhtä suuri kuin yksi.

Virheet:

1 . Kaava ei ole universaali.

Vietan lause luokka 8

Kaava
Jos x 1 ja x 2 ovat annetun toisen asteen yhtälön juuret x 2 + px + q \u003d 0, niin:

Esimerkkejä
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - yhtälön juuret x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Käänteinen lause

Kaava
Jos luvut x 1 , x 2 , p, q yhdistetään ehdoilla:

Tällöin x 1 ja x 2 ovat yhtälön x 2 + px + q = 0 juuria.

Esimerkki
Tehdään toisen asteen yhtälö sen juurien perusteella:

X 1 \u003d 2 -? 3 ja x 2 \u003d 2 +? 3.

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Haluttu yhtälö on muotoa: x 2 - 4x + 1 = 0.