Prikazane su glavne vrste nejednakosti, uključujući Bernoullijevu, Cauchy-Bunyakovskyjevu, Minkowskijevu, Chebyshevljevu nejednakost. Razmatraju se svojstva nejednadžbi i djelovanja na njih. Date su osnovne metode rješavanja nejednadžbi.

Formule za osnovne nejednadžbe

Formule za univerzalne nejednakosti

Univerzalne nejednakosti su zadovoljene za sve vrijednosti veličina koje su u njima uključene. Glavne vrste univerzalnih nejednakosti navedene su u nastavku.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Jednakost se javlja samo kada je a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Cauchy-Bunyakovsky nejednakost

Jednakost vrijedi ako i samo ako je α a k = β b k za sve k = 1, 2, ..., n i neke α, β, |α| + |β| > 0 .

5) Minkowskijeva nejednakost, za p ≥ 1

Formule zadovoljivih nejednakosti

Zadovoljive nejednakosti su zadovoljene kada određene vrijednosti količine koje su u njima uključene.

1) Bernoullijeva nejednakost:
.
U više opći pogled:
,
gdje su , brojevi istog predznaka i veći od -1 : .
Bernoullijeva lema:
.
Vidi "Dokazi nejednakosti i Bernoullijeva lema".

2)
za a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Čebiševljeva nejednakost
na 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n I 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Na 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n I b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Generalizirane Čebiševljeve nejednakosti
na 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n I 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n i k prirodno
.
Na 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n I b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Svojstva nejednadžbi

Svojstva nejednakosti su skup pravila koja se zadovoljavaju prilikom njihove transformacije. Ispod su svojstva nejednakosti. Podrazumijeva se da su izvorne nejednakosti zadovoljene za vrijednosti x i (i = 1, 2, 3, 4) koje pripadaju nekom unaprijed određenom intervalu.

1) Kada se redoslijed stranica promijeni, znak nejednakosti se mijenja u suprotan.
Ako je x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Ako je x 1 ≤ x 2, tada je x 2 ≥ x 1.
Ako je x 1 ≥ x 2, tada je x 2 ≤ x 1.
Ako je x 1 > x 2 onda je x 2< x 1 .

2) Jedna jednakost je ekvivalentna dvjema slabim nejednakostima drugačiji znak.
Ako je x 1 = x 2, onda je x 1 ≤ x 2 i x 1 ≥ x 2.
Ako je x 1 ≤ x 2 i x 1 ≥ x 2, onda je x 1 = x 2.

3) Svojstvo tranzitivnosti
Ako je x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Ako je x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Ako je x 1 ≤ x 2 i x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Ako je x 1 ≤ x 2 i x 2 ≤ x 3, tada je x 1 ≤ x 3.

4) Objema stranama nejednadžbe može se dodati (oduzeti) isti broj.
Ako je x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Ako je x 1 ≤ x 2, onda je x 1 + A ≤ x 2 + A.
Ako je x 1 ≥ x 2, onda je x 1 + A ≥ x 2 + A.
Ako je x 1 > x 2, tada je x 1 + A > x 2 + A.

5) Ako postoje dvije ili više nejednadžbi s predznakom istog smjera, tada se mogu zbrajati njihova lijeva i desna strana.
Ako je x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ako je x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ako je x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ako je x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, tada je x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Slični izrazi vrijede i za znakove ≥, >.
Ako izvorne nejednakosti sadrže predznake nestroge nejednakosti i barem jednu strogu nejednakost (ali svi predznaci imaju isti smjer), tada zbrajanje rezultira strogom nejednakošću.

6) Obje strane nejednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) pozitivnim brojem.
Ako je x 1< x 2 и A >0, zatim A x 1< A · x 2 .
Ako je x 1 ≤ x 2 i A > 0, tada je A x 1 ≤ A x 2.
Ako je x 1 ≥ x 2 i A > 0, onda je A x 1 ≥ A x 2.
Ako je x 1 > x 2 i A > 0, onda je A · x 1 > A · x 2.

7) Obje strane nejednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) sa negativan broj. U tom slučaju, znak nejednakosti će se promijeniti u suprotno.
Ako je x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Ako je x 1 ≤ x 2 i A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Ako je x 1 ≥ x 2 i A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Ako je x 1 > x 2 i A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Ako postoje dvije ili više nejednadžbi s pozitivnim članovima, s predznakom istog smjera, tada se njihova lijeva i desna strana mogu međusobno pomnožiti.
Ako je x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 zatim x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ako je x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 zatim x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ako je x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 zatim x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ako je x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 tada je x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Slični izrazi vrijede i za znakove ≥, >.
Ako izvorne nejednakosti sadrže predznake nestroge nejednakosti i barem jednu strogu nejednakost (ali svi predznaci imaju isti smjer), tada množenje rezultira strogom nejednakošću.

9) Neka je f(x) monotono rastuća funkcija. To jest, za bilo koji x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). Tada se ova funkcija može primijeniti na obje strane nejednadžbe, što neće promijeniti predznak nejednadžbe.
Ako je x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Ako je x 1 ≤ x 2 tada je f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ako je x 1 ≥ x 2 tada je f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ako je x 1 > x 2, tada je f(x 1) > f(x 2).

10) Neka je f(x) monotono opadajuća funkcija, tj. za bilo koji x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Ako je x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
Ako je x 1 ≤ x 2 tada je f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ako je x 1 ≥ x 2 tada je f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ako je x 1 > x 2 tada je f(x 1)< f(x 2) .

Metode rješavanja nejednadžbi

Rješavanje nejednadžbi metodom intervala

Metoda intervala primjenjiva je ako nejednadžba uključuje jednu varijablu koju označavamo s x i ima oblik:
f(x) > 0
gdje je f(x) - kontinuirana funkcija, koja ima konačan broj točaka diskontinuiteta. Znak nejednakosti može biti bilo što: >, ≥,<, ≤ .

Metoda intervala je sljedeća.

1) Odredite područje definicije funkcije f(x) i označite ga intervalima na brojevnoj osi.

2) Odredite točke diskontinuiteta funkcije f(x). Na primjer, ako je ovo razlomak, tada nalazimo točke u kojima nazivnik postaje nula. Te točke označimo na brojevnoj osi.

3) Riješite jednadžbu
f(x) = 0 .
Korijene ove jednadžbe označimo na brojevnoj osi.

4) Kao rezultat toga, brojčana će os biti podijeljena u intervale (segmente) točkama. Unutar svakog intervala koji je uključen u domenu definicije, odabiremo bilo koju točku iu toj točki izračunavamo vrijednost funkcije. Ako je ta vrijednost veća od nule, tada stavljamo znak “+” iznad segmenta (intervala). Ako je ova vrijednost manja od nule, tada stavljamo znak "-" iznad segmenta (intervala).

5) Ako nejednakost ima oblik: f(x) > 0, tada intervale označimo znakom “+”. Rješenje nejednakosti je kombiniranje ovih intervala koji ne uključuju svoje granice.
Ako nejednadžba ima oblik: f(x) ≥ 0, tada rješenju dodamo točke u kojima je f(x) = 0. To jest, neki intervali mogu imati zatvorene granice (granica pripada intervalu). drugi dio može imati otvorene granice (granica ne pripada intervalu).
Slično, ako nejednakost ima oblik: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Ako nejednadžba ima oblik: f(x) ≤ 0, tada rješenju dodamo točke u kojima je f(x) = 0.

Rješavanje nejednadžbi korištenjem njihovih svojstava

Ova metoda je primjenjiva na nejednakosti bilo koje složenosti. Sastoji se od primjene svojstava (gore prikazanih) kako bi se nejednadžbe svele na jednostavniji oblik i dobilo rješenje. Vrlo je moguće da će to rezultirati ne samo jednom, već sustavom nejednakosti. Ovo je univerzalna metoda. Primjenjuje se na sve nejednakosti.

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.

Jedna od tema koja od učenika zahtijeva maksimalnu pažnju i upornost je rješavanje nejednačina. Tako sličan jednadžbama, a u isto vrijeme vrlo različit od njih. Jer njihovo rješavanje zahtijeva poseban pristup.

Svojstva koja će biti potrebna da se pronađe odgovor

Svi se oni koriste za zamjenu postojećeg unosa s ekvivalentnim. Većina ih je slična onima u jednadžbama. Ali postoje i razlike.

• Funkcija koja je definirana u ODZ-u, ili bilo koji broj, može se dodati objema stranama izvorne nejednakosti.
• Isto tako, množenje je moguće, ali samo pozitivnom funkcijom ili brojem.
• Ako se ova radnja izvodi s negativnom funkcijom ili brojem, tada se znak nejednakosti mora zamijeniti suprotnim.
• Funkcije koje nisu negativne mogu se podići na pozitivnu potenciju.

Ponekad je rješavanje nejednakosti popraćeno radnjama koje daju nepotrebne odgovore. Njih je potrebno isključiti usporedbom ODZ područja i mnoga rješenja.

Korištenje metode intervala

Njegova je bit svesti nejednadžbu na jednadžbu u kojoj se s desne strane nalazi nula.

1. Odredite područje u kojem se nalaze dopuštene vrijednosti varijabli, odnosno ODZ.
2. Pretvorite nejednadžbu matematičkim operacijama tako da desna strana ima nulu.
3. Zamijenite znak nejednakosti sa “=” i riješite odgovarajuću jednadžbu.
4. Na brojčanoj osi označite sve odgovore dobivene tijekom rješavanja, kao i OD intervale. U slučaju stroge nejednakosti, točke moraju biti nacrtane kao punktirane. Ako postoji znak jednakosti, onda ih treba prebojati.
5. Odredite predznak izvorne funkcije na svakom intervalu dobivenom iz točaka ODZ i odgovora koji ga dijele. Ako se predznak funkcije ne promijeni pri prolasku kroz točku, tada se ona uključuje u odgovor. U protivnom je isključeno.
6. Granične točke za ODZ potrebno je dodatno provjeriti i tek onda uključiti ili ne uključiti u odgovor.
7. Rezultirajući odgovor mora biti napisan u obliku kombiniranih skupova.

Malo o dvostrukim nejednakostima

Koriste dva znaka nejednakosti odjednom. To jest, neka je funkcija ograničena uvjetima dvaput odjednom. Takve se nejednadžbe rješavaju kao sustav od dva, kada je izvornik podijeljen na dijelove. A u metodi intervala navedeni su odgovori iz rješavanja obje jednadžbe.

Za njihovo rješavanje također je dopušteno koristiti gore navedena svojstva. Uz njihovu pomoć, prikladno je smanjiti nejednakost na nulu.

Što je s nejednadžbama koje imaju modul?

U ovom slučaju, rješenje nejednakosti koristi sljedeća svojstva, a ona vrijede za pozitivnu vrijednost "a".

Ako "x" uzima algebarski izraz, tada vrijede sljedeće zamjene:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a do x< -a или х >a.

Ako nejednakosti nisu stroge, onda su i formule ispravne, samo što se u njima, osim znaka veće ili manje, pojavljuje i “=”.

Kako se rješava sustav nejednadžbi?

Ovo znanje bit će potrebno u slučajevima kada je takav zadatak zadan ili postoji zapis dvostruke nejednakosti ili se u zapisu pojavljuje modul. U takvoj situaciji rješenje će biti vrijednosti varijabli koje bi zadovoljile sve nejednakosti u zapisu. Ako takvih brojeva nema, sustav nema rješenja.

Plan prema kojem se provodi rješavanje sustava nejednadžbi:

• rješavati svaki od njih posebno;
• prikazati sve intervale na brojevnoj osi i odrediti njihova sjecišta;
• zapišite odgovor sustava, koji će biti kombinacija onoga što se dogodilo u drugom odlomku.

Što učiniti s razlomačkim nejednakostima?

Budući da njihovo rješavanje može zahtijevati promjenu znaka nejednakosti, morate vrlo pažljivo i pažljivo pratiti sve točke plana. U suprotnom, možete dobiti suprotan odgovor.

Rješavanje razlomačkih nejednadžbi također koristi metodu intervala. A akcijski plan će biti ovakav:

• Koristeći opisana svojstva, daj razlomku takav oblik da desno od predznaka ostane samo nula.
• Zamijenite nejednadžbu s “=” i odredite točke u kojima će funkcija biti jednaka nuli.
• Označite ih na koordinatnoj osi. U tom će slučaju brojevi dobiveni kao rezultat izračuna u nazivniku uvijek biti izbušeni. Svi ostali temelje se na uvjetu nejednakosti.
• Odredite intervale konstantnosti predznaka.
• Kao odgovor napiši uniju onih intervala čiji predznak odgovara onom u izvornoj nejednadžbi.

Situacije kada se iracionalnost pojavljuje u nejednakosti

Drugim riječima, u notaciji postoji matematički korijen. Budući da je u školskom tečaju algebre većina zadaci su za kvadratni korijen, onda će se ovo uzeti u obzir.

Riješenje iracionalne nejednakosti svodi se na dobivanje sustava od dva ili tri koji će biti ekvivalentan izvornom.

Izvorna nejednakost	stanje	ekvivalentni sustav
√ n(x)< m(х)	m(x) manji ili jednak 0	nema rješenja
	m(x) veći od 0	n(x) je veći ili jednak 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) je veći ili jednak 0 n(x) > (m(x)) 2
		n(x) je veći ili jednak 0 m(x) manji od 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) manji od 0	nema rješenja
	m(x) je veći ili jednak 0	n(x) je veći ili jednak 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) je veći ili jednak 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) je veći ili jednak 0 m(x) manji od 0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) je veći ili jednak 0 n(x) manje od m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) veći od 0 m(x) manji od 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) veći od 0 m(x) veći od 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) veći od 0
		n(x) je jednako 0 m(x) - bilo koji
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) veći od 0
		n(x) je jednako 0 m(x) - bilo koji

Primjeri rješavanja različitih vrsta nejednadžbi

Kako bismo dodali jasnoću teoriji o rješavanju nejednakosti, u nastavku su navedeni primjeri.

Prvi primjer. 2x - 4 > 1 + x

Rješenje: Da biste odredili ADI, sve što trebate učiniti je pažljivo pogledati nejednakost. Nastaje od linearne funkcije, dakle definiran za sve vrijednosti varijable.

Sada trebate oduzeti (1 + x) s obje strane nejednakosti. Ispada: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Nakon otvaranja zagrada i zadavanja sličnih članova, nejednadžba će poprimiti sljedeći oblik: x - 5 > 0.

Izjednačujući ga s nulom, lako je pronaći njegovo rješenje: x = 5.

Sada ovu točku s brojem 5 treba označiti na koordinatnoj zraci. Zatim provjerite znakove izvorne funkcije. Na prvom intervalu od minus beskonačno do 5 možete uzeti broj 0 i zamijeniti ga u nejednadžbi dobivenoj nakon transformacija. Nakon izračuna ispada -7 >0. ispod luka intervala morate potpisati znak minus.

Na sljedećem intervalu od 5 do beskonačnosti možete odabrati broj 6. Tada se ispostavlja da je 1 > 0. Ispod luka nalazi se znak “+”. Ovaj drugi interval će biti odgovor na nejednakost.

Odgovor: x leži u intervalu (5; ∞).

Drugi primjer. Potrebno je riješiti sustav od dvije jednadžbe: 3x + 3 ≤ 2x + 1 i 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Riješenje. VA ovih nejednakosti također leži u području bilo kojeg broja, budući da su zadane linearne funkcije.

Druga nejednadžba će imati oblik sljedeće jednadžbe: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Nakon transformacije: -x - 4 =0. Ovo proizvodi vrijednost za varijablu jednaku -4.

Ova dva broja potrebno je označiti na osi, prikazujući intervale. Budući da nejednakost nije stroga, sve točke moraju biti osjenčane. Prvi interval je od minus beskonačno do -4. Neka je odabran broj -5. Prva nejednakost će dati vrijednost -3, a druga 1. To znači da taj interval nije uključen u odgovor.

Drugi interval je od -4 do -2. Možete odabrati broj -3 i zamijeniti ga u obje nejednadžbe. U prvom i drugom, vrijednost je -1. To znači da ispod luka "-".

U zadnjem intervalu od -2 do beskonačnosti, najbolji broj je nula. Morate ga zamijeniti i pronaći vrijednosti nejednakosti. Prvi od njih daje pozitivan broj, a drugi nulu. Ova praznina također mora biti isključena iz odgovora.

Od tri intervala samo je jedan rješenje nejednadžbe.

Odgovor: x pripada [-4; -2].

Treći primjer. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Riješenje. Prvi korak je odrediti točke u kojima funkcije nestaju. Za lijevu će taj broj biti 2, za desnu - 1. Potrebno ih je označiti na gredi i odrediti intervale konstantnosti znaka.

Na prvom intervalu, od minus beskonačno do 1, funkcija na lijevoj strani nejednadžbe poprima pozitivne vrijednosti, a funkcija na desnoj strani negativne vrijednosti. Ispod luka trebate napisati dva znaka "+" i "-" jedan pored drugog.

Sljedeći interval je od 1 do 2. Na njemu obje funkcije poprimaju pozitivne vrijednosti. To znači da postoje dva plusa ispod luka.

Treći interval od 2 do beskonačnosti dat će sljedeći rezultat: lijeva funkcija- negativno, desno - pozitivno.

Uzimajući u obzir dobivene znakove, morate izračunati vrijednosti nejednakosti za sve intervale.

Prva daje sljedeću nejednakost: 2 - x > - 2 (x - 1). Minus ispred dva u drugoj nejednadžbi je zbog činjenice da je ova funkcija negativna.

Nakon transformacije, nejednadžba izgleda ovako: x > 0. Odmah daje vrijednosti varijable. Odnosno, iz ovog intervala samo će se odgovoriti na interval od 0 do 1.

Na drugom: 2 - x > 2 (x - 1). Transformacije će dati sljedeću nejednakost: -3x + 4 je veće od nule. Njegova nula će biti x = 4/3. Uzimajući u obzir znak nejednakosti, ispada da x mora biti manji od ovog broja. To znači da se taj interval svodi na interval od 1 do 4/3.

Ovo posljednje daje sljedeću nejednakost: - (2 - x) > 2 (x - 1). Njena transformacija dovodi do sljedećeg: -x > 0. To jest, jednadžba je istinita kada je x manji od nule. To znači da na traženom intervalu nejednadžba ne daje rješenja.

U prva dva intervala granični broj se pokazao 1. Potrebno ga je posebno provjeriti. Odnosno, zamijenite ga u izvornu nejednakost. Ispada: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Brojanje pokazuje da je 1 veći od 0. Ovo je točna tvrdnja, pa je jedan uključen u odgovor.

Odgovor: x leži u intervalu (0; 4/3).

Od davnina je pri rješavanju praktičnih problema bilo potrebno uspoređivati ​​količine i količine. Istodobno su se pojavile riječi kao što su više i manje, više i niže, lakše i teže, tiše i glasnije, jeftinije i skuplje itd., koje označavaju rezultate uspoređivanja homogenih veličina.

Pojmovi više i manje nastali su u vezi s brojanjem predmeta, mjerenjem i uspoređivanjem količina. Na primjer, matematičari stare Grčke znali su da je stranica svakog trokuta manja od zbroja druge dvije stranice i da veća stranica trokuta leži nasuprot većem kutu. Arhimed je pri izračunavanju opsega utvrdio da je opseg svakog kruga jednak trostrukom promjeru s viškom manjim od sedmine promjera, ali većim od deset sedamdeset promjera.

Znakovima > i b simbolički napiši odnose između brojeva i količina. Zapisi u kojima su dva broja povezana jednim od znakova: > (veće od), Naišli ste i na brojčane nejednakosti u mlađi razredi. Znate da nejednakosti mogu biti istinite, ali mogu biti lažne. Na primjer, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) je točna brojčana nejednakost, 0,23 > 0,235 je netočna numerička nejednakost.

Nejednakosti koje uključuju nepoznanice mogu biti istinite za neke vrijednosti nepoznanica, a lažne za druge. Na primjer, nejednakost 2x+1>5 je istinita kada je x = 3, ali nije istinita kada je x = -3. Za nejednadžbu s jednom nepoznanicom možete postaviti zadatak: riješiti nejednadžbu. Problemi rješavanja nejednadžbi u praksi se postavljaju i rješavaju ništa rjeđe nego problemi rješavanja jednadžbi. Na primjer, mnogi ekonomski problemi svode se na proučavanje i rješavanje sustava linearne nejednakosti. U mnogim granama matematike nejednakosti su češće od jednadžbi.

Neke nejednakosti služe kao jedine pomoćni, omogućujući vam da dokažete ili opovrgnete postojanje određenog objekta, na primjer, korijena jednadžbe.

Brojčane nejednakosti

Možete li usporediti cijele brojeve? decimale. Znate li pravila usporedbe? obični razlomci s istim nazivnicima, ali različitim brojnicima; s istim brojnicima, ali različite nazivnike. Ovdje ćete naučiti kako usporediti bilo koja dva broja pronalaženjem predznaka njihove razlike.

Usporedba brojeva široko se koristi u praksi. Na primjer, ekonomist uspoređuje planirane pokazatelje sa stvarnim, liječnik uspoređuje temperaturu pacijenta s normalnom, tokar uspoređuje dimenzije obrađenog dijela sa standardom. U svim takvim slučajevima uspoređuju se neki brojevi. Kao rezultat uspoređivanja brojeva nastaju brojčane nejednakosti.

Definicija. Broj a više broja b, ako razlika a-b pozitivan. Broj a manji broj b, ako je razlika a-b negativna.

Ako je a veće od b, tada se piše: a > b; ako je a manje od b, onda pišu: a Dakle, nejednakost a > b znači da je razlika a - b pozitivna, tj. a - b > 0. Nejednakost a Za bilo koja dva broja a i b iz sljedeće tri relacije a > b, a = b, a Usporediti brojeve a i b znači saznati koji od predznaka >, = odn. Teorema. Ako je a > b i b > c, tada je a > c.

Teorema. Ako objema stranama nejednadžbe dodate isti broj, predznak nejednadžbe se neće promijeniti.
Posljedica. Bilo koji član se može premjestiti iz jednog dijela nejednadžbe u drugi promjenom predznaka tog člana u suprotan.

Teorema. Ako obje strane nejednadžbe pomnožimo s istim pozitivnim brojem, tada se predznak nejednadžbe ne mijenja. Ako obje strane nejednadžbe pomnožimo s istim negativnim brojem, tada će se predznak nejednadžbe promijeniti u suprotan.
Posljedica. Ako obje strane nejednadžbe podijelimo s istim pozitivnim brojem, tada se predznak nejednadžbe neće promijeniti. Ako obje strane nejednadžbe podijelimo s istim negativnim brojem, tada će se predznak nejednadžbe promijeniti u suprotan.

Znate da se brojčane jednakosti mogu zbrajati i množiti član po član. Zatim ćete naučiti kako izvoditi slične radnje s nejednakostima. Sposobnost zbrajanja i množenja nejednakosti član po član često se koristi u praksi. Ove radnje pomažu u rješavanju problema vrednovanja i uspoređivanja značenja izraza.

Pri rješavanju raznih problema često je potrebno zbrajati ili množiti lijevu i desnu stranu nejednakosti član po član. Istodobno, ponekad se kaže da se nejednakosti zbrajaju ili množe. Na primjer, ako je turist prvi dan propješačio više od 20 km, a drugi više od 25 km, onda možemo reći da je u dva dana propješačio više od 45 km. Slično, ako je duljina pravokutnika manja od 13 cm, a širina manja od 5 cm, tada možemo reći da je površina tog pravokutnika manja od 65 cm2.

Prilikom razmatranja ovih primjera korišteno je sljedeće: teoremi o zbrajanju i množenju nejednakosti:

Teorema. Pri zbrajanju nejednakosti istog predznaka dobiva se nejednadžba istog predznaka: ako je a > b i c > d, tada je a + c > b + d.

Teorema. Pri množenju nejednakosti istog predznaka, čija su lijeva i desna strana pozitivne, dobiva se nejednadžba istog predznaka: ako su a > b, c > d i a, b, c, d pozitivni brojevi, tada je ac > bd.

Nejednakosti sa predznakom > (veće od) i 1/2, 3/4 b, c Uz predznake strogih nejednakosti > i Na isti način nejednakost \(a \geq b \) znači da je broj a veći ili jednak b, tj. .i ne manji od b.

Nejednadžbe koje sadrže predznak \(\geq \) ili \(\leq \) nazivaju se nestriktnim. Na primjer, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nisu stroge nejednakosti.

Sva svojstva strogih nejednakosti vrijede i za nestroge nejednadžbe. Štoviše, ako se za stroge nejednakosti predznaci > smatraju suprotnim i znate da za rješavanje niza primijenjenih problema morate stvoriti matematički model u obliku jednadžbe ili sustava jednadžbi. Dalje ćete saznati da matematički modeli Za rješavanje mnogih problema postoje nejednadžbe s nepoznanicama. Upoznat će se koncept rješavanja nejednadžbe i pokazati kako testirati je li zadani broj rješenje određene nejednadžbe.

Nejednakosti oblika
\(ax > b, \quad ax u kojem su a i b zadani brojevi, a x je nepoznanica, nazivaju se linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom.

Definicija. Rješenje nejednadžbe s jednom nepoznanicom je vrijednost nepoznanice pri kojoj ta nejednadžba postaje prava brojčana nejednadžba. Rješavanje nejednadžbe znači pronaći sva njezina rješenja ili utvrditi da ih nema.

Jednadžbe ste riješili svodeći ih na najjednostavnije jednadžbe. Slično, pri rješavanju nejednadžbi nastoji se pomoću svojstava svesti na oblik jednostavnih nejednadžbi.

Rješavanje nejednadžbi drugog stupnja s jednom varijablom

Nejednakosti oblika
\(ax^2+bx+c >0 \) i \(ax^2+bx+c gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi i \(a \neq 0 \), tzv. nejednakosti drugog stupnja s jednom varijablom.

Rješenje nejednakosti
\(ax^2+bx+c >0 \) ili \(ax^2+bx+c može se smatrati pronalaženjem intervala u kojima funkcija \(y= ax^2+bx+c \) uzima pozitivne ili negativne vrijednosti vrijednosti Za to je dovoljno analizirati kako se graf funkcije \(y= ax^2+bx+c\) nalazi u koordinatnoj ravnini: kamo su usmjerene grane parabole - gore ili dolje, jesu li parabola siječe os x i ako siječe onda u kojim točkama.

Algoritam za rješavanje nejednakosti drugog stupnja s jednom varijablom:
1) pronaći diskriminant kvadratnog trinoma \(ax^2+bx+c\) i utvrditi ima li trinom korijene;
2) ako trinom ima korijene, označite ih na x-osi i kroz označene točke nacrtajte shematsku parabolu čiji su ogranci usmjereni prema gore za a > 0 ili prema dolje za a 0 ili prema dolje za a 3) pronaći intervale na x-osi za koje se točkaste parabole nalaze iznad x-osi (ako rješavaju nejednadžbu \(ax^2+bx+c >0\)) ili ispod x-osi (ako rješavaju nejednakost
\(ax^2+bx+c Rješavanje nejednadžbi metodom intervala

Razmotrite funkciju
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domena ove funkcije je skup svih brojeva. Nule funkcije su brojevi -2, 3, 5. Oni dijele domenu definiranja funkcije na intervale \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) i \( (5; +\infty)\)

Otkrijmo koji su predznaci te funkcije u svakom od navedenih intervala.

Izraz (x + 2)(x - 3)(x - 5) je umnožak tri faktora. Znak svakog od ovih faktora u intervalima koji se razmatraju naveden je u tablici:

Općenito, neka je funkcija dana formulom
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
gdje je x varijabla, a x 1, x 2, ..., x n brojevi koji međusobno nisu jednaki. Brojevi x 1 , x 2 , ..., x n su nule funkcije. U svakom od intervala na koje je domena definicije podijeljena nulama funkcije, predznak funkcije ostaje sačuvan, a prolaskom kroz nulu mijenja se predznak funkcije.

Ovo se svojstvo koristi za rješavanje nejednakosti oblika
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) gdje su x 1, x 2, ..., x n brojevi koji nisu međusobno jednaki

Razmatrana metoda rješavanje nejednadžbi naziva se intervalna metoda.

Navedimo primjere rješavanja nejednadžbi metodom intervala.

Riješite nejednadžbu:

\(x(0,5-x)(x+4) Očito, nulte točke funkcije f(x) = x(0,5-x)(x+4) su točke \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , x=-4 \)

Na brojevnoj osi crtamo nule funkcije i izračunavamo predznak na svakom intervalu:

Odaberemo one intervale u kojima je funkcija manja ili jednaka nuli i zapišemo odgovor.

Odgovor:
\(x \in \lijevo(-\infty; \; 1 \desno) \čaša \lijevo[ 4; \; +\infty \desno) \)

Što trebate znati o ikonama nejednakosti? Nejednakosti s ikonom više (> ), ili manje (< ) se zovu strog. Sa ikonama više ili jednako (≥ ), manje ili jednako (≤ ) se zovu nije stroga. Ikona nejednak (≠ ) stoji odvojeno, ali također morate stalno rješavati primjere s ovom ikonom. A mi ćemo odlučiti.)

Sama ikona nema puno utjecaja na proces rješenja. Ali na kraju odluke, pri odabiru konačnog odgovora, značenje ikone pojavljuje se u punoj snazi! To je ono što ćemo vidjeti u nastavku u primjerima. Ima tu nekih šala...

Nejednakosti, kao i jednakosti, postoje vjerni i nevjerni. Ovdje je sve jednostavno, bez trikova. Recimo 5 > 2 je prava nejednakost. 5 < 2 - netočno.

Ova priprema djeluje kod nejednakosti bilo koje vrste i jednostavno do užasa.) Trebate samo ispravno izvesti dvije (samo dvije!) elementarne radnje. Ove akcije su svima poznate. Ali, što je karakteristično, greške u tim radnjama su glavna greška u rješavanju nejednadžbi, da... Dakle, te se radnje moraju ponavljati. Te se radnje nazivaju na sljedeći način:

Identične transformacije nejednadžbi.

Identične transformacije nejednadžbi vrlo su slične identičnim transformacijama jednadžbi. Zapravo, to je glavni problem. Razlike vam idu preko glave i... eto vam.) Stoga ću te razlike posebno istaknuti. Dakle, prva identična transformacija nejednakosti:

1. Isti broj ili izraz možemo dodati (oduzeti) objema stranama nejednadžbe. Bilo koje. Ovo neće promijeniti znak nejednakosti.

U praksi se ovo pravilo koristi kao prijenos članova s ​​lijeve strane nejednadžbe na desnu (i obrnuto) uz promjenu predznaka. S promjenom predznaka pojma, a ne nejednakosti! Pravilo jedan na jedan isto je kao pravilo za jednadžbe. Ali sljedeće identične transformacije u nejednadžbama bitno se razlikuju od onih u jednadžbama. Stoga ih ističem crvenom bojom:

2. Obje strane nejednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) istom stvaripozitivanbroj. Za bilo kojepozitivan Neće se promijeniti.

3. Obje strane nejednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) istom stvarinegativan broj. Za bilo kojenegativanbroj. Znak nejednakosti iz ovogapromijenit će se u suprotno.

Sjećate se (nadam se...) da se jednadžba može pomnožiti/podijeliti bilo čime. I za bilo koji broj, i za izraz sa X. Samo da nije nula. To ga čini, jednadžbu, ni vrućim ni hladnim.) Ne mijenja se. Ali nejednakosti su osjetljivije na množenje/dijeljenje.

Čist primjer za dugo pamćenje. Napišimo nejednakost upitno:

5 > 2

Pomnožite obje strane s +3, dobivamo:

15 > 6

Ima li prigovora? Nema prigovora.) A ako obje strane izvorne nejednakosti pomnožimo s -3, dobivamo:

15 > -6

A ovo je čista laž.) Potpuna laž! Obmana naroda! Ali čim promijenite znak nejednakosti u suprotan, sve dolazi na svoje mjesto:

15 < -6

Ne kunem se samo zbog laži i prijevara.) "Zaboravio sam promijeniti znak jednakosti..."- Ovo Dom greška u rješavanju nejednadžbi. Ovo trivijalno i jednostavno pravilo povrijedilo je toliko ljudi! Što su zaboravili...) Dakle, psujem. Možda se sjetim...)

Osobito pažljivi ljudi primijetit će da se nejednakost ne može množiti izrazom s X-om. Poštovanje onima koji su pažljivi!) Zašto ne? Odgovor je jednostavan. Ne znamo znak ovog izraza sa X. Može biti pozitivan, negativan... Dakle, ne znamo koji znak nejednakosti staviti nakon množenja. Trebam li ga promijeniti ili ne? Nepoznato. Naravno, ovo se ograničenje (zabrana množenja/dijeljenja nejednakosti izrazom s x) može zaobići. Ako ti stvarno treba. Ali ovo je tema za druge lekcije.

To su sve identične transformacije nejednakosti. Dopustite mi da vas još jednom podsjetim da oni rade za bilo koji nejednakosti Sada možete prijeći na određene vrste.

Linearne nejednadžbe. Rješenje, primjeri.

Linearne nejednadžbe su nejednadžbe u kojima je x na prvoj potenciji i nema dijeljenja s x. Tip:

x+3 > 5x-5

Kako se takve nejednakosti rješavaju? Vrlo ih je lako riješiti! Naime: uz pomoć smanjujemo najzbunjujuću linearnu nejednadžbu ravno do odgovora. To je rješenje. Istaknut ću glavne točke odluke. Da biste izbjegli glupe pogreške.)

Riješimo ovu nejednadžbu:

x+3 > 5x-5

Rješavamo je na potpuno isti način kao i linearnu jednadžbu. S jedinom razlikom:

Pažljivo pratimo znak nejednakosti!

Prvi korak je najčešći. S X-ovima - lijevo, bez X-ova - desno... Ovo je prva identična transformacija, jednostavna i bez problema.) Samo ne zaboravite promijeniti predznake prenesenih članova.

Znak nejednakosti ostaje:

x-5x > -5-3

Evo sličnih.

Znak nejednakosti ostaje:

4x > -8

Ostaje primijeniti posljednju identičnu transformaciju: obje strane podijeliti s -4.

Podijelite po negativan broj.

Znak nejednakosti će se promijeniti u suprotan:

x < 2

Ovo je odgovor.

Ovako se rješavaju sve linearne nejednadžbe.

Pažnja! Točka 2 nacrtana je bijelo, tj. neobojen. Prazan iznutra. To znači da ona nije uključena u odgovor! Namjerno sam je nacrtao tako zdravu. Takva točka (prazna, nije zdrava!)) u matematici se zove probušena točka.

Preostale brojeve na osi moguće je označiti, ali nije potrebno. Suvišni brojevi koji nisu povezani s našom nejednakošću mogu biti zbunjujući, da... Samo trebate zapamtiti da se brojevi povećavaju u smjeru strelice, tj. brojevi 3, 4, 5 itd. su nadesno su dvojke, a brojevi su 1, 0, -1 itd. - nalijevo.

Nejednakost x < 2 - strog. X je strogo manje od dva. Ako ste u nedoumici, provjera je jednostavna. Sumnjivi broj zamijenimo u nejednakost i pomislimo: "Dva je manje od dva, naravno!" Točno. Nejednakost 2 < 2 netočno. Dvojka kao odgovor nije dobra.

Je li jedan u redu? Sigurno. Manje... I nula je dobra, i -17, i 0,34... Da, svi brojevi manji od dva su dobri! I to čak 1,9999.... Makar malo, ali manje!

Dakle, označimo sve ove brojeve na brojevnoj osi. Kako? Ovdje postoje opcije. Opcija jedan - sjenčanje. Prijeđemo mišem preko slike (ili dodirnemo sliku na tabletu) i vidimo da je područje svih x-ova koji zadovoljavaju uvjet x osjenčano < 2 . To je sve.

Pogledajmo drugu opciju koristeći drugi primjer:

x ≥ -0,5

Nacrtaj os i označi broj -0,5. Kao ovo:

Primjećujete razliku?) Pa, da, teško je ne primijetiti ... Ova točka je crna! Prelakirano. To znači -0,5 uključeno je u odgovor. Ovdje, usput, provjera može nekoga zbuniti. Zamijenimo:

-0,5 ≥ -0,5

Kako to? -0,5 nije više od -0,5! Ima još ikona...

U redu je. U slaboj nejednakosti prikladno je sve što odgovara ikoni. I jednaki dobro i više dobro. Stoga je -0,5 uključeno u odgovor.

Dakle, na osi smo označili -0,5; preostalo je označiti sve brojeve koji su veći od -0,5. Ovaj put označavam područje odgovarajućih x vrijednosti nakloniti se(od riječi luk), umjesto sjenčanja. Lebdimo kursorom iznad crteža i vidimo ovaj luk.

Nema posebne razlike između sjenčanja i krakova. Učini kako učitelj kaže. Ako nema učitelja, nacrtajte lukove. U složenijim zadacima sjenčanje je manje vidljivo. Možete se zbuniti.

Ovako se crtaju linearne nejednadžbe na osi. Prijeđimo na sljedeću značajku nejednakosti.

Zapisivanje odgovora za nejednadžbe.

Jednadžbe su bile dobre.) Pronašli smo x i zapisali odgovor, na primjer: x=3. Postoje dva načina upisivanja odgovora u nejednačine. Jedan je u obliku konačne nejednakosti. Dobro za jednostavne slučajeve. Na primjer:

x< 2.

Ovo je potpun odgovor.

Ponekad morate napisati istu stvar, ali u drugom obliku, u brojčanim intervalima. Tada snimka počinje izgledati vrlo znanstveno):

x ∈ (-∞; 2)

Ispod ikone ∈ riječ je skrivena "pripada".

Unos glasi ovako: x pripada intervalu od minus beskonačno do dva ne uključujući. Sasvim logično. X može biti bilo koji broj od svih mogućih brojeva od minus beskonačno do dva. Ne može postojati dvostruko X, što nam riječ govori "ne uključujući".

A gdje je u odgovoru jasno da "ne uključujući"? Ova činjenica je navedena u odgovoru krug zagrada odmah iza dva. Da su to dvoje uključeni, zagrada bi bila kvadrat. Evo ga:]. Sljedeći primjer koristi takvu zagradu.

Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 u intervalima:

x ∈ [-0,5; +∞)

glasi: x pripada intervalu od minus 0,5, uključujući, do plus beskonačno.

Infinity se nikada ne može uključiti. To nije broj, to je simbol. Stoga je u takvim zapisima beskonačnost uvijek uz zagradu.

Ovaj oblik bilježenja pogodan je za složene odgovore koji se sastoje od više razmaka. Ali – samo za konačne odgovore. U međurezultatima, gdje se očekuje daljnje rješenje, bolje je koristiti uobičajeni oblik, u obliku jednostavne nejednadžbe. O tome ćemo se pozabaviti u relevantnim temama.

Popularni zadaci s nejednakostima.

Same linearne nejednadžbe su jednostavne. Stoga zadaci često postaju teži. Trebalo je dakle razmisliti. Ovo, ako niste navikli, nije baš ugodno.) Ali je korisno. Pokazat ću primjere takvih zadataka. Nije da ih ti učiš, nepotrebno je. I da se ne bi bojali pri susretu s takvim primjerima. Samo malo razmislite - i jednostavno je!)

1. Pronađite bilo koja dva rješenja nejednadžbe 3x - 3< 0

Ako vam nije baš jasno što učiniti, sjetite se glavnog pravila matematike:

Ako ne znate što trebate, učinite što možete!)

x < 1

I što? Ništa posebno. Što nas pitaju? Od nas se traži da pronađemo dva konkretna broja koji su rješenje nejednadžbe. Oni. odgovarati odgovoru. Dva bilo koji brojevima. Zapravo, ovo je zbunjujuće.) Nekoliko 0 i 0,5 su prikladni. Par -3 i -8. Beskonačno je mnogo tih parova! Koji je odgovor točan?!

Odgovaram: sve! Bilo koji par brojeva, od kojih je svaki manji od jedan, bit će točan odgovor. Napiši koju želiš. Idemo dalje.

2. Riješite nejednadžbu:

4x - 3 ≠ 0

Zadaci u ovom obliku su rijetki. No, kao pomoćne nejednakosti, kod nalaženja ODZ, na primjer, ili kod nalaženja domene definicije funkcije, pojavljuju se stalno. Takva linearna nejednadžba može se riješiti kao obična linearna jednadžba. Samo svugdje osim znaka "=" ( jednaki) stavi znak " ≠ " (nejednak). Ovako pristupate odgovoru, sa znakom nejednakosti:

x ≠ 0,75

U više složeni primjeri, bolje je raditi stvari drugačije. Od jednakosti napraviti nejednakost. Kao ovo:

4x - 3 = 0

Mirno ga riješite kako je naučeno i dobijte odgovor:

x = 0,75

Najvažnije je, na samom kraju, kada zapisujete konačni odgovor, ne zaboravite da smo pronašli x, što daje jednakost. I trebamo - nejednakost. Stoga nam zapravo ne treba ovaj X.) I moramo ga zapisati ispravnim simbolom:

x ≠ 0,75

Ovaj pristup dovodi do manje grešaka. Oni koji automatski rješavaju jednadžbe. A onima koji ne rješavaju jednadžbe, nejednakosti, zapravo, nemaju koristi...) Još jedan primjer popularnog zadatka:

3. Pronađite najmanje cjelobrojno rješenje nejednadžbe:

3(x - 1) < 5x + 9

Prvo jednostavno riješimo nejednadžbu. Otvaramo zagrade, premještamo ih, donosimo slične... Dobivamo:

x > - 6

Zar nije tako ispalo!? Jeste li pratili znakove!? I iza znakova članova, i iza znaka nejednakosti...

Razmislimo još jednom. Moramo pronaći određeni broj koji odgovara i odgovoru i uvjetu "najmanji cijeli broj". Ako vam ne sine odmah, možete uzeti bilo koji broj i smisliti ga. Dva na minus šest? Sigurno! Postoji li odgovarajući manji broj? Naravno. Na primjer, nula je veća od -6. I još manje? Treba nam najmanja moguća stvar! Minus tri je više od minus šest! Već možete uhvatiti obrazac i prestati glupo prolaziti kroz brojeve, zar ne?)

Uzmimo broj bliži -6. Na primjer, -5. Odgovor je ispunjen, -5 > - 6. Je li moguće pronaći neki drugi broj manji od -5, ali veći od -6? Možete, na primjer, -5,5... Stanite! Rečeno nam je cijeli riješenje! Ne kotrlja -5,5! Što je s minus šest? Uh-uh! Nejednakost je stroga, minus 6 ni na koji način nije manji od minus 6!

Dakle, točan odgovor je -5.

Nadamo se s izborom vrijednosti iz opće rješenje sve jasno. Još jedan primjer:

4. Riješite nejednadžbu:

7 < 3x+1 < 13

Wow! Ovaj izraz se zove trostruka nejednakost. Strogo govoreći, ovo je skraćeni oblik sustava nejednakosti. Ali takve trostruke nejednadžbe ipak treba rješavati u nekim zadacima... Može se to riješiti i bez ikakvih sustava. Prema istim identičnim transformacijama.

Moramo pojednostaviti, ovu nejednakost dovesti do čistog X. Ali... Što treba kamo prebaciti?! Ovdje je vrijeme da zapamtite da je kretanje lijevo i desno kratki oblik prva transformacija identiteta.

A cijela forma zvuči ovako: Bilo koji broj ili izraz može se dodati/oduzeti objema stranama jednadžbe (nejednakosti).

Ovdje postoje tri dijela. Dakle, primijenit ćemo identične transformacije na sva tri dijela!

Dakle, riješimo se onoga u srednjem dijelu nejednakosti. Oduzmimo jedan od cijelog središnjeg dijela. Da se nejednadžba ne mijenja, od preostala dva dijela oduzimamo jedan. Kao ovo:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

To je bolje, zar ne?) Ostaje samo podijeliti sva tri dijela na tri:

2 < x < 4

To je sve. Ovo je odgovor. X može biti bilo koji broj od dva (ne uključujući) do četiri (ne uključujući). Ovaj odgovor je također napisan u intervalima; takvi će unosi biti u kvadratnim nejednadžbama. Tamo su najčešća stvar.

Na kraju lekcije ponovit ću ono najvažnije. Uspjeh u rješavanju linearnih nejednadžbi ovisi o sposobnosti transformacije i pojednostavljenja linearnih jednadžbi. Ako u isto vrijeme pazi na znak nejednakosti, neće biti nikakvih problema. To je ono što ti želim. Nema problema.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Koncept matematičke nejednakosti nastao je u davna vremena. To se dogodilo kada je primitivni čovjek počeo imati potrebu uspoređivati ​​njihovu količinu i veličinu prilikom brojanja i rukovanja raznim predmetima. Od davnina su Arhimed, Euklid i drugi poznati znanstvenici: matematičari, astronomi, dizajneri i filozofi koristili nejednakosti u svojim razmišljanjima.

Ali oni su, u pravilu, koristili verbalnu terminologiju u svojim djelima. U Engleskoj su po prvi put izmišljeni i korišteni moderni znakovi za označavanje pojmova „više“ i „manje“ u obliku u kojem ih danas poznaje svaki školarac. Takvu je uslugu svojim potomcima pružio matematičar Thomas Harriot. A to se dogodilo prije otprilike četiri stoljeća.

Postoje mnoge vrste poznatih nejednakosti. Među njima su jednostavni, koji sadrže jednu, dvije ili više varijabli, kvadratni, frakcijski, složeni omjeri, pa čak i oni predstavljeni sustavom izraza. Najbolji način da shvatite kako riješiti nejednadžbe je korištenje različitih primjera.

Ne propustite vlak

Za početak, zamislimo da stanovnik ruralnog područja žuri na željezničku stanicu koja se nalazi 20 km od njegovog sela. Kako ne bi propustio vlak koji kreće u 11 sati, mora na vrijeme izaći iz kuće. U koje vrijeme to treba učiniti ako je njegova brzina 5 km/h? Rješenje za ovo praktični problem svodi se na ispunjavanje uvjeta izraza: 5 (11 - X) ≥ 20, gdje je X vrijeme polaska.

To je razumljivo, jer udaljenost koju seljanin treba prijeći do postaje jednaka je brzini kretanja pomnoženoj s brojem sati na putu. Čovjek može doći ranije, ali ne može zakasniti. Znajući kako riješiti nejednadžbe i primjenjujući svoje vještine u praksi, završit ćete s X ≤ 7, što je odgovor. To znači da bi seljanin trebao otići na željezničku stanicu u sedam ujutro ili nešto ranije.

Brojčani intervali na koordinatnoj liniji

Sada saznajmo kako preslikati opisane relacije na gore dobivenu nejednakost nije stroga. To znači da varijabla može poprimiti vrijednosti manje od 7, ili može biti jednaka ovom broju. Navedimo druge primjere. Da biste to učinili, pažljivo razmotrite četiri slike prikazane u nastavku.

Na prvom se vidi grafička slika razmak [-7; 7]. Sastoji se od niza brojeva smještenih na koordinatnoj liniji između -7 i 7, uključujući granice. U ovom slučaju, točke na grafikonu prikazane su kao ispunjeni krugovi, a interval se bilježi pomoću

Druga slika je grafički prikaz stroge nejednakosti. U ovom slučaju, granični brojevi -7 i 7, prikazani izbušenim (neispunjenim) točkama, nisu uključeni u navedeni skup. I sam interval je napisan u zagradama na sljedeći način: (-7; 7).

Odnosno, nakon što smo shvatili kako riješiti nejednadžbe ovog tipa i dobili sličan odgovor, možemo zaključiti da se sastoji od brojeva koji se nalaze između dotičnih granica, osim -7 i 7. Sljedeća dva slučaja moraju se procijeniti u sličan način. Treća slika prikazuje slike intervala (-∞; -7] U)