ההצהרה הראשונה אומרת שסכום השורשים של משוואה זו שווה לערך המקדם של המשתנה x (במקרה זה הוא b), אך עם הסימן ההפוך. מבחינה ויזואלית, זה נראה כך: x1 + x2 = −b.
האמירה השנייה כבר לא קשורה לסכום, אלא למכפלה של אותם שני שורשים. מוצר זה משווה למקדם חופשי, כלומר. ג. או, x1 * x2 = c. שתי הדוגמאות הללו נפתרות במערכת.
משפט וייטה מפשט מאוד את הפתרון, אבל יש לו מגבלה אחת. יש לצמצם משוואה ריבועית שניתן למצוא את שורשיה באמצעות טכניקה זו. במשוואה לעיל עבור מקדם a, זה שלפני x2 שווה לאחד. ניתן לצמצם כל משוואה לצורה דומה על ידי חלוקת הביטוי במקדם הראשון, אך פעולה זו אינה תמיד רציונלית.
הוכחה למשפט
ראשית, עלינו לזכור כיצד, לפי המסורת, נהוג לחפש את השורשים של משוואה ריבועית. השורש הראשון והשני נמצאים, כלומר: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. בדרך כלל מתחלק ב-2a, אבל, כפי שכבר הוזכר, ניתן ליישם את המשפט רק כאשר a=1.ידוע ממשפט וייטה שסכום השורשים שווה למקדם השני עם סימן מינוס. זה אומר ש-x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
הדבר נכון גם למכפלת שורשים לא ידועים: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. בתורו, D = b2-4c (שוב, עם a=1). מסתבר שהתוצאה היא: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
מההוכחה הפשוטה לעיל, ניתן להסיק רק מסקנה אחת: משפט וייטה מאושש לחלוטין.
ניסוח שני והוכחה
למשפט וייטה יש פרשנות נוספת. ליתר דיוק, זה לא פרשנות, אלא ניסוח. העובדה היא שאם מתקיימים אותם תנאים כמו במקרה הראשון: ישנם שני שורשים אמיתיים שונים, אז ניתן לכתוב את המשפט בנוסחה אחרת.השוויון הזה נראה כך: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). אם הפונקציה P(x) חותכת בשתי נקודות x1 ו-x2, אז ניתן לכתוב אותה כ-P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). במקרה שבו ל-P יש מדרגה שנייה, וכך בדיוק נראה הביטוי המקורי, אז R הוא מספר ראשוני, כלומר 1. קביעה זו נכונה מהסיבה שאם לא כן, השוויון לא יתקיים. מקדם x2 בעת פתיחת סוגריים לא צריך להיות יותר מאחד, והביטוי צריך להישאר מרובע.
שלב ראשון
משוואות ריבועיות. מדריך מקיף (2019)
במונח "משוואה ריבועית" מילת המפתח היא "ריבועית". המשמעות היא שהמשוואה חייבת להכיל בהכרח משתנה (אותו X) בריבוע, ובמקביל לא צריכים להיות איקסים במעלה השלישית (או יותר).
הפתרון של משוואות רבות מצטמצם לפתרון של משוואות ריבועיות.
בואו נלמד לקבוע שיש לנו משוואה ריבועית, ולא אחרת.
דוגמה 1
היפטרו מהמכנה והכפילו כל איבר של המשוואה ב
נזיז הכל לצד שמאל ונסדר את האיברים בסדר יורד של חזקות x
כעת אנו יכולים לומר בביטחון שהמשוואה הזו היא ריבועית!
דוגמה 2
הכפל את הצד השמאלי והימין ב:
המשוואה הזו, למרות שהיא הייתה בתוכה במקור, היא לא ריבוע!
דוגמה 3
בואו נכפיל הכל ב:
מַפְחִיד? המעלות הרביעית והשנייה... עם זאת, אם נעשה החלפה, נראה שיש לנו משוואה ריבועית פשוטה:
דוגמה 4
נראה שכן, אבל בואו נסתכל מקרוב. בואו נעביר הכל לצד שמאל:
אתה מבין, זה הצטמק - ועכשיו זו משוואה ליניארית פשוטה!
כעת נסו לקבוע בעצמכם אילו מהמשוואות הבאות הן ריבועיות ואילו לא:
דוגמאות:
תשובות:
- כיכר;
- כיכר;
- לא מרובע;
- לא מרובע;
- לא מרובע;
- כיכר;
- לא מרובע;
- כיכר.
מתמטיקאים מחלקים באופן מותנה את כל המשוואות הריבועיות לסוגים הבאים:
- השלם משוואות ריבועיות- משוואות שבהן המקדמים וכמו כן האיבר החופשי c אינם שווים לאפס (כמו בדוגמה). בנוסף, בין המשוואות הריבועיות השלמות, יש נָתוּןהן משוואות שבהן המקדם (המשוואה מדוגמה ראשונה לא רק מלאה, אלא גם מוקטנת!)
- משוואות ריבועיות לא שלמות- משוואות שבהן המקדם ו/או האיבר החופשי c שווים לאפס:
הם לא שלמים כי חסר להם אלמנט כלשהו. אבל המשוואה חייבת תמיד להכיל x בריבוע !!! אחרת, זה כבר לא יהיה ריבועי, אלא משוואה אחרת.
למה הם המציאו חלוקה כזו? נראה שיש איקס בריבוע, וזה בסדר. חלוקה כזו נובעת משיטות הפתרון. הבה נשקול כל אחד מהם ביתר פירוט.
פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות
ראשית, בואו נתמקד בפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות – הן הרבה יותר פשוטות!
משוואות ריבועיות לא שלמות הן מסוגים:
- , במשוואה זו המקדם שווה.
- , במשוואה זו האיבר החופשי שווה ל.
- , במשוואה זו המקדם והאיבר החופשי שווים.
1. אני. מכיוון שאנו יודעים לקחת את השורש הריבועי, בואו נבטא מהמשוואה הזו
הביטוי יכול להיות שלילי או חיובי. מספר בריבוע לא יכול להיות שלילי, כי כשמכפילים שני מספרים שליליים או שניים חיוביים, התוצאה תמיד תהיה מספר חיובי, אז: אם, אז למשוואה אין פתרונות.
ואם, אז נקבל שני שורשים. אין צורך לשנן את הנוסחאות הללו. העיקר שתמיד תדעו ותזכרו שזה לא יכול להיות פחות.
בואו ננסה לפתור כמה דוגמאות.
דוגמה 5:
פתור את המשוואה
כעת נותר לחלץ את השורש מהחלק השמאלי והימני. אחרי הכל, אתה זוכר איך לחלץ את השורשים?
תשובה:
לעולם אל תשכח שורשים עם סימן שלילי!!!
דוגמה 6:
פתור את המשוואה
תשובה:
דוגמה 7:
פתור את המשוואה
הו! הריבוע של מספר לא יכול להיות שלילי, כלומר המשוואה
ללא שורשים!
עבור משוואות כאלה שאין בהן שורשים, המתמטיקאים המציאו אייקון מיוחד - (סט ריק). ואת התשובה אפשר לכתוב כך:
תשובה:
לפיכך, למשוואה הריבועית הזו יש שני שורשים. אין כאן הגבלות, כי לא חילצנו את השורש.
דוגמה 8:
פתור את המשוואה
הבה נוציא את הגורם המשותף מסוגריים:
לכן,
למשוואה זו יש שני שורשים.
תשובה:
הסוג הפשוט ביותר של משוואות ריבועיות לא שלמות (למרות שכולן פשוטות, נכון?). ברור שלמשוואה זו יש תמיד רק שורש אחד:
כאן נעשה בלי דוגמאות.
פתרון משוואות ריבועיות שלמות
אנו מזכירים לכם שהמשוואה הריבועית השלמה היא משוואה של משוואת הצורה שבה
פתרון משוואות ריבועיות מלאות הוא קצת יותר מסובך (רק קצת) מאלה שניתנו.
זכור, ניתן לפתור כל משוואה ריבועית באמצעות המבחין! אפילו לא שלם.
שאר השיטות יעזרו לך לעשות את זה מהר יותר, אבל אם יש לך בעיות עם משוואות ריבועיות, תחילה שלטו בפתרון באמצעות המבחין.
1. פתרון משוואות ריבועיות באמצעות המבחין.
פתרון משוואות ריבועיות בדרך זו הוא פשוט מאוד, העיקר הוא לזכור את רצף הפעולות וכמה נוסחאות.
אם, אז למשוואה יש שורש. יש להקדיש תשומת לב מיוחדת לצעד. המבחין () אומר לנו את מספר השורשים של המשוואה.
- אם, אז הנוסחה בשלב תצטמצם ל. לפיכך, למשוואה יהיה רק שורש.
- אם, אז לא נוכל לחלץ את שורש המבחין במדרגה. זה מצביע על כך שלמשוואה אין שורשים.
נחזור למשוואות שלנו ונסתכל על כמה דוגמאות.
דוגמה 9:
פתור את המשוואה
שלב 1לדלג.
שלב 2
מציאת המבדיל:
אז למשוואה יש שני שורשים.
שלב 3
תשובה:
דוגמה 10:
פתור את המשוואה
המשוואה היא בצורה סטנדרטית, אז שלב 1לדלג.
שלב 2
מציאת המבדיל:
אז למשוואה יש שורש אחד.
תשובה:
דוגמה 11:
פתור את המשוואה
המשוואה היא בצורה סטנדרטית, אז שלב 1לדלג.
שלב 2
מציאת המבדיל:
המשמעות היא שלא נוכל לחלץ את השורש מהמבדיל. אין שורשים של המשוואה.
עכשיו אנחנו יודעים איך לרשום תשובות כאלה בצורה נכונה.
תשובה:ללא שורשים
2. פתרון משוואות ריבועיות באמצעות משפט וייטה.
אם אתה זוכר, אז יש סוג כזה של משוואות שנקראות מופחתות (כאשר מקדם a שווה ל):
קל מאוד לפתור משוואות כאלה באמצעות משפט וייטה:
סכום השורשים נָתוּןהמשוואה הריבועית שווה, ומכפלת השורשים שווה.
דוגמה 12:
פתור את המשוואה
משוואה זו מתאימה לפתרון באמצעות משפט Vieta, כי .
סכום שורשי המשוואה הוא, כלומר. נקבל את המשוואה הראשונה:
והמוצר הוא:
בואו ניצור ונפתור את המערכת:
- ו. הסכום הוא;
- ו. הסכום הוא;
- ו. הכמות שווה.
והם הפתרון של המערכת:
תשובה: ; .
דוגמה 13:
פתור את המשוואה
תשובה:
דוגמה 14:
פתור את המשוואה
המשוואה מצטמצמת, כלומר:
תשובה:
משוואות ריבועיות. רמה ממוצעת
מהי משוואה ריבועית?
במילים אחרות, משוואה ריבועית היא משוואה של הצורה, שבה - לא ידוע, - מספרים מסוימים, יתר על כן.
המספר נקרא הגבוה ביותר או מקדם ראשוןמשוואה ריבועית, - מקדם שני, א - חבר חינם.
למה? כי אם, המשוואה תהפוך מיד ללינארית, כי ייעלם.
במקרה זה, והוא יכול להיות שווה לאפס. בצואה זו משוואת הצואה נקראת לא שלמה. אם כל המונחים קיימים, כלומר, המשוואה הושלמה.
פתרונות לסוגים שונים של משוואות ריבועיות
שיטות לפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות:
ראשית, ננתח את השיטות לפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות - הן פשוטות יותר.
ניתן להבחין בין סוגי המשוואות הבאים:
I. , במשוואה זו המקדם והאיבר החופשי שווים.
II. , במשוואה זו המקדם שווה.
III. , במשוואה זו האיבר החופשי שווה ל.
כעת שקול את הפתרון של כל אחד מתתי הסוגים הללו.
ברור שלמשוואה זו יש תמיד רק שורש אחד:
מספר בריבוע לא יכול להיות שלילי, כי כאשר מכפילים שני מספרים שליליים או שניים חיוביים, התוצאה תמיד תהיה מספר חיובי. זו הסיבה:
אם, אז למשוואה אין פתרונות;
אם יש לנו שני שורשים
אין צורך לשנן את הנוסחאות הללו. הדבר העיקרי שיש לזכור הוא שזה לא יכול להיות פחות.
דוגמאות:
פתרונות:
תשובה:
לעולם אל תשכח שורשים עם סימן שלילי!
הריבוע של מספר לא יכול להיות שלילי, כלומר המשוואה
ללא שורשים.
כדי לכתוב בקצרה שלבעיה אין פתרונות, אנו משתמשים בסמל הסט הריק.
תשובה:
אז, למשוואה הזו יש שני שורשים: ו.
תשובה:
הבה נוציא את הגורם המשותף מסוגריים:
המכפלה שווה לאפס אם לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס. זה אומר שלמשוואה יש פתרון כאשר:
אז, למשוואה הריבועית הזו יש שני שורשים: ו.
דוגמא:
פתור את המשוואה.
פִּתָרוֹן:
אנו מפרקים את הצד השמאלי של המשוואה ומוצאים את השורשים:
תשובה:
שיטות לפתרון משוואות ריבועיות שלמות:
1. מפלה
פתרון משוואות ריבועיות בדרך זו הוא קל, העיקר לזכור את רצף הפעולות וכמה נוסחאות. זכור, ניתן לפתור כל משוואה ריבועית באמצעות המבחין! אפילו לא שלם.
שמתם לב לשורש המבחין בנוסחת השורש? אבל המאבחן יכול להיות שלילי. מה לעשות? עלינו לשים לב במיוחד לשלב 2. המבחין אומר לנו את מספר השורשים של המשוואה.
- אם, אז למשוואה יש שורש:
- אם, אז למשוואה יש אותו שורש, אבל למעשה, שורש אחד:
שורשים כאלה נקראים שורשים כפולים.
- אם, אזי שורש המבחין לא נשלף. זה מצביע על כך שלמשוואה אין שורשים.
מדוע יש מספר שונה של שורשים? הבה נפנה למשמעות הגאומטרית של המשוואה הריבועית. הגרף של הפונקציה הוא פרבולה:
במקרה מסוים, שהוא משוואה ריבועית,. וזה אומר ששורשי המשוואה הריבועית הם נקודות החיתוך עם ציר ה-x (ציר). ייתכן שהפרבולה לא תחצה את הציר כלל, או שהיא עלולה לחצות אותו באחת (כאשר החלק העליון של הפרבולה שוכב על הציר) או בשתי נקודות.
בנוסף, המקדם אחראי על כיוון ענפי הפרבולה. אם, אז ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה, ואם - אז מטה.
דוגמאות:
פתרונות:
תשובה:
תשובה: .
תשובה:
זה אומר שאין פתרונות.
תשובה: .
2. משפט וייטה
השימוש במשפט Vieta קל מאוד: אתה רק צריך לבחור זוג מספרים שהמכפלה שלהם שווה לאיבר החופשי של המשוואה, והסכום שווה למקדם השני, בסימן ההפוך.
חשוב לזכור שניתן ליישם את המשפט של וייטה רק עליו נתון משוואות ריבועיות ().
בואו נסתכל על כמה דוגמאות:
דוגמה מס' 1:
פתור את המשוואה.
פִּתָרוֹן:
משוואה זו מתאימה לפתרון באמצעות משפט Vieta, כי . מקדמים אחרים: ; .
סכום שורשי המשוואה הוא:
והמוצר הוא:
בוא נבחר זוגות מספרים כאלה, שהמכפלה שלהם שווה, ונבדוק אם הסכום שלהם שווה:
- ו. הסכום הוא;
- ו. הסכום הוא;
- ו. הכמות שווה.
והם הפתרון של המערכת:
כך, והם שורשי המשוואה שלנו.
תשובה: ; .
דוגמה מס' 2:
פִּתָרוֹן:
אנו בוחרים זוגות מספרים כאלה שנותנים במכפלה, ואז בודקים אם הסכום שלהם שווה:
ו: לתת בסך הכל.
ו: לתת בסך הכל. כדי להשיג את זה, אתה רק צריך לשנות את הסימנים של השורשים לכאורה: ואחרי הכל, את העבודה.
תשובה:
דוגמה מס' 3:
פִּתָרוֹן:
האיבר החופשי של המשוואה הוא שלילי, ומכאן שמכפלת השורשים היא מספר שלילי. זה אפשרי רק אם אחד השורשים שלילי והשני חיובי. אז סכום השורשים הוא הבדלים של המודולים שלהם.
אנו בוחרים זוגות מספרים כאלה שנותנים במוצר, וההפרש ביניהם שווה ל:
וכן: ההבדל ביניהם הוא - אינו מתאים;
וכן: - לא מתאים;
וכן: - לא מתאים;
ו: - מתאים. נותר רק לזכור שאחד השורשים הוא שלילי. מכיוון שהסכום שלהם חייב להיות שווה, אז השורש, שהוא קטן יותר בערכו המוחלט, חייב להיות שלילי:. אנחנו בודקים:
תשובה:
דוגמה מס' 4:
פתור את המשוואה.
פִּתָרוֹן:
המשוואה מצטמצמת, כלומר:
המונח החופשי הוא שלילי, ומכאן שמכפלת השורשים היא שלילית. וזה אפשרי רק כאשר שורש אחד של המשוואה שלילי והשני חיובי.
אנו בוחרים זוגות מספרים כאלה שהמכפלה שלהם שווה, ואז קובעים לאילו שורשים יש סימן שלילי:
ברור, רק שורשים ומתאימים למצב הראשון:
תשובה:
דוגמה מס' 5:
פתור את המשוואה.
פִּתָרוֹן:
המשוואה מצטמצמת, כלומר:
סכום השורשים הוא שלילי, כלומר שלפחות אחד מהשורשים הוא שלילי. אבל מכיוון שהמוצר שלהם חיובי, זה אומר ששני השורשים הם מינוס.
אנו בוחרים זוגות מספרים כאלה, שהמכפלה שלהם שווה ל:
ברור שהשורשים הם המספרים ו.
תשובה:
מסכים, זה מאוד נוח - להמציא שורשים בעל פה, במקום לספור את המבחין המגעיל הזה. נסו להשתמש במשפט של וייטה לעתים קרובות ככל האפשר.
אבל יש צורך במשפט Vieta כדי להקל ולהאיץ את מציאת השורשים. כדי לעשות שימוש רווחי עבורך, עליך להביא את הפעולות לאוטומטיזם. ולשם כך פתרו עוד חמש דוגמאות. אבל אל תרמות: אתה לא יכול להשתמש באבחון! רק משפט וייטה:
פתרונות למשימות לעבודה עצמאית:
משימה 1. ((x)^(2))-8x+12=0
לפי משפט וייטה:
כרגיל, אנו מתחילים את הבחירה עם המוצר:
לא מתאים בגלל הכמות;
: הכמות היא מה שאתה צריך.
תשובה: ; .
משימה 2.
ושוב, משפט ה-Vieta האהוב עלינו: הסכום אמור להסתדר, אבל המכפלה שווה.
אבל כיון שלא צריך להיות אלא, משנים את סימני השורשים: ו (בסך הכל).
תשובה: ; .
משימה 3.
הממ... איפה זה?
יש צורך להעביר את כל התנאים לחלק אחד:
סכום השורשים שווה למוצר.
כן, תפסיק! המשוואה לא ניתנת. אבל המשפט של Vieta ישים רק במשוואות הנתונות. אז קודם כל צריך להביא את המשוואה. אם אתה לא יכול להעלות את זה, עזוב את הרעיון הזה ופתור אותו בדרך אחרת (למשל, דרך המאבחן). הרשו לי להזכיר לכם שלהבא משוואה ריבועית פירושו להפוך את המקדם המוביל שווה ל:
גדול. אז סכום השורשים שווה, והמכפלה.
יותר קל לקלוט כאן: אחרי הכל - מספר ראשוני (סליחה על הטאוטולוגיה).
תשובה: ; .
משימה 4.
המונח החופשי הוא שלילי. מה כל כך מיוחד בו? והעובדה שהשורשים יהיו מסימנים שונים. ועכשיו, במהלך הבחירה, אנו בודקים לא את סכום השורשים, אלא את ההבדל בין המודולים שלהם: ההבדל הזה שווה, אלא את המוצר.
אז, השורשים שווים, אבל אחד מהם הוא עם מינוס. משפט וייטה אומר לנו שסכום השורשים שווה למקדם השני עם הסימן ההפוך, כלומר. זה אומר שלשורש הקטן יותר יהיה מינוס: ו, מאז.
תשובה: ; .
משימה 5.
מה צריך לעשות קודם? נכון, תן את המשוואה:
שוב: אנו בוחרים את הגורמים של המספר, וההבדל שלהם צריך להיות שווה ל:
השורשים שווים ו, אבל אחד מהם הוא מינוס. איזה? הסכום שלהם חייב להיות שווה, מה שאומר שעם מינוס יהיה שורש גדול יותר.
תשובה: ; .
תן לי לסכם:
- משפט וייטה משמש רק במשוואות הריבועיות הנתונות.
- באמצעות משפט Vieta, אתה יכול למצוא את השורשים לפי בחירה, בעל פה.
- אם המשוואה לא ניתנת או שלא נמצא צמד גורמים מתאים של האיבר החופשי, אז אין שורשים שלמים, ואתה צריך לפתור את זה בדרך אחרת (למשל, דרך המבחין).
3. שיטת בחירת ריבוע מלאה
אם כל האיברים המכילים את הלא נודע מיוצגים כמונחים מנוסחאות הכפל המקוצר - ריבוע הסכום או ההפרש - אז לאחר שינוי המשתנים, ניתן לייצג את המשוואה כמשוואה ריבועית לא שלמה מהסוג.
לדוגמה:
דוגמה 1:
פתור את המשוואה: .
פִּתָרוֹן:
תשובה:
דוגמה 2:
פתור את המשוואה: .
פִּתָרוֹן:
תשובה:
באופן כללי, השינוי ייראה כך:
זה מרמז: .
זה לא מזכיר לך משהו? זה המאבחן! כך בדיוק התקבלה נוסחת ההבחנה.
משוואות ריבועיות. בקצרה על העיקר
משוואה ריבועיתהוא משוואה של הצורה, איפה הוא הלא ידוע, הם המקדמים של המשוואה הריבועית, הוא האיבר החופשי.
שלם משוואה ריבועית- משוואה שבה המקדמים אינם שווים לאפס.
משוואה ריבועית מופחתת- משוואה שבה המקדם, כלומר: .
משוואה ריבועית לא שלמה- משוואה שבה המקדם או האיבר החופשי c שווים לאפס:
- אם המקדם, למשוואה יש את הצורה: ,
- אם מונח חופשי, למשוואה יש את הצורה: ,
- אם וכן, למשוואה יש את הצורה: .
1. אלגוריתם לפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות
1.1. משוואה ריבועית לא שלמה של הצורה, שבה, :
1) הביעו את הלא נודע: ,
2) בדוק את הסימן של הביטוי:
- אם, אז למשוואה אין פתרונות,
- אם, אז למשוואה יש שני שורשים.
1.2. משוואה ריבועית לא שלמה של הצורה, שבה, :
1) בואו נוציא את הגורם המשותף מסוגריים: ,
2) המכפלה שווה לאפס אם לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס. לכן, למשוואה יש שני שורשים:
1.3. משוואה ריבועית לא שלמה של הצורה, שבה:
למשוואה הזו יש תמיד רק שורש אחד: .
2. אלגוריתם לפתרון משוואות ריבועיות שלמות של הצורה איפה
2.1. פתרון באמצעות המבחין
1) בואו נביא את המשוואה לצורה הסטנדרטית: ,
2) חשב את המבחין באמצעות הנוסחה: , המציינת את מספר השורשים של המשוואה:
3) מצא את שורשי המשוואה:
- אם, אז למשוואה יש שורש, שנמצא על ידי הנוסחה:
- אם, אז למשוואה יש שורש, שנמצא על ידי הנוסחה:
- אם, אז למשוואה אין שורשים.
2.2. פתרון באמצעות משפט וייטה
סכום השורשים של המשוואה הריבועית המוקטנת (משוואה של הצורה, שבו) שווה, ומכפלת השורשים שווה, כלומר. , א.
2.3. פתרון מרובע מלא
ראשית, בואו ננסח את המשפט עצמו: נניח שיש לנו משוואה ריבועית מופחתת בצורה x^2+b*x + c = 0. נניח שמשוואה זו מכילה שורשים x1 ו-x2. לאחר מכן, לפי המשפט, ההצהרות הבאות קבילות:
1) סכום השורשים x1 ו-x2 יהיה שווה לערך השלילי של מקדם b.
2) המכפלה של השורשים האלה בדיוק תיתן לנו את מקדם c.
אבל מהי המשוואה לעיל?
משוואה ריבועית מופחתת היא משוואה ריבועית, מקדם המדרגה הגבוהה ביותר, השווה לאחד, כלומר. זוהי משוואה בצורה x^2 + b*x + c = 0. (והמשוואה a*x^2 + b*x + c = 0 אינה מופחתת). במילים אחרות, כדי לצמצם את המשוואה לצורה המוקטנת, עלינו לחלק את המשוואה הזו במקדם המדרגה הגבוהה ביותר (א). המשימה היא להביא את המשוואה הזו לצורה המוקטנת:
3*x^2 12*x + 18 = 0;
−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;
1.5*x^2 + 7.5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.
נחלק כל משוואה במקדם המדרגה הגבוהה ביותר, נקבל:
X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;
X^2 + 3.5*x - 5.5 = 0.
כפי שניתן לראות מהדוגמאות, ניתן לצמצם אפילו משוואות המכילות שברים לצורה המוקטנת.
שימוש במשפט וייטה
X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;
נקבל את השורשים: x1 = 2; x2 = 3;
X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;
כתוצאה מכך, אנו מקבלים את השורשים: x1 = -2; x2 = -4;
X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;
נקבל את השורשים: x1 = −1; x2 = −4.
המשמעות של משפט וייטה
משפט וייטה מאפשר לנו לפתור כל משוואה ריבועית נתונה בכמעט שניות. במבט ראשון, זה נראה כמו משימה קשה למדי, אבל אחרי 5 10 משוואות, אתה יכול ללמוד לראות את השורשים מיד.
מהדוגמאות לעיל, ובאמצעות המשפט, ניתן לראות כיצד ניתן לפשט באופן משמעותי את פתרון משוואות ריבועיות, כי באמצעות משפט זה, ניתן לפתור משוואה ריבועית עם מעט או ללא חישובים מורכבים וחישוב המבחין, וכידוע. , ככל שפחות חישובים, כך קשה יותר לטעות, וזה חשוב.
בכל הדוגמאות, השתמשנו בכלל זה על סמך שתי הנחות חשובות:
המשוואה לעיל, כלומר. המקדם בדרגה הגבוהה ביותר שווה לאחד (קל להימנע מתנאי זה. אתה יכול להשתמש בצורה הלא מופחתת של המשוואה, ואז ההצהרות הבאות x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a יהיו תקף, אבל בדרך כלל קשה יותר לפתור :))
כאשר למשוואה יהיו שני שורשים שונים. אנו מניחים שהאי-שוויון נכון והמבחין הוא בהחלט גדול מאפס.
לכן, נוכל להרכיב אלגוריתם פתרון כללי באמצעות משפט Vieta.
אלגוריתם פתרון כללי לפי משפט Vieta
נביא את המשוואה הריבועית לצורה המוקטנת אם המשוואה ניתנת לנו בצורה הלא מוקטנת. כאשר המקדמים במשוואה הריבועית, שהצגנו בעבר כמוקטנים, התבררו כשברים (לא עשרוניים), אז במקרה זה יש לפתור את המשוואה שלנו באמצעות המבחין.
ישנם גם מקרים בהם חזרה למשוואה המקורית מאפשרת לנו לעבוד עם מספרים "נוחים".
בין השורשים והמקדמים של המשוואה הריבועית, בנוסף לנוסחאות השורש, ישנם קשרים שימושיים נוספים הניתנים על ידי משפט וייטה. במאמר זה ניתן ניסוח והוכחה למשפט וייטה עבור משוואה ריבועית. לאחר מכן, נבחן משפט הפוכה למשפט של וייטה. לאחר מכן, ננתח את הפתרונות של הדוגמאות האופייניות ביותר. לבסוף, אנו רושמים את נוסחאות ה-Vieta שמגדירות את הקשר בין השורשים האמיתיים משוואה אלגבריתתואר n והמקדמים שלה.
ניווט בדף.
משפט וייטה, ניסוח, הוכחה
מהנוסחאות של שורשי המשוואה הריבועית a x 2 +b x+c=0 של הצורה , כאשר D=b 2 −4 a c , היחסים x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . תוצאות אלו מאושרות משפט וייטה:
מִשׁפָּט.
אם x 1 ו-x 2 הם השורשים של המשוואה הריבועית a x 2 +b x+c=0, ואז סכום השורשים שווה ליחס בין המקדמים b ו-a, שנלקחו עם הסימן ההפוך, והמכפלה של השורשים שווים ליחס בין המקדמים c ו-a, כלומר,.
הוכחה.
נוכיח את משפט וייטה לפי הסכמה הבאה: נרכיב את הסכום והמכפלה של שורשי המשוואה הריבועית באמצעות נוסחאות השורש המוכרות, לאחר מכן נמיר את הביטויים המתקבלים ונוודא שהם שווים ל-b /a ו-c/a, בהתאמה.
נתחיל מסכום השורשים, נחבר אותו. עכשיו אנחנו מביאים את השברים למכנה משותף, יש לנו. במונה של השבר המתקבל , שלאחריו : . לבסוף, אחרי 2, אנחנו מקבלים . זה מוכיח את הקשר הראשון של משפט וייטה לסכום השורשים של משוואה ריבועית. נעבור לשני.
אנו מרכיבים את המכפלה של שורשי המשוואה הריבועית:. על פי כלל הכפל של שברים, ניתן לכתוב את המכפלה האחרונה בתור. כעת אנו מכפילים את הסוגר בסוגר במונה, אך מהר יותר לכווץ את המוצר הזה על ידי נוסחת הבדל של ריבועים, כך . לאחר מכן, לזכור, אנו מבצעים את המעבר הבא. ומכיוון שהנוסחה D=b 2 −4 a·c מתאימה לאבחנה של המשוואה הריבועית, אז ניתן להחליף את b 2 −4·a·c לשבר האחרון במקום D, נקבל . לאחר פתיחת הסוגריים והפחתת מונחים דומים, אנו מגיעים לשבר, והקטנתו ב-4·a נותנת . זה מוכיח את היחס השני של משפט וייטה למכפלת השורשים.
אם נשמיט את ההסברים, אזי ההוכחה למשפט וייטה תקבל צורה תמציתית:
,
.
נותר רק לציין שכאשר המבחין שווה לאפס, למשוואה הריבועית יש שורש אחד. עם זאת, אם נניח שלמשוואה במקרה זה יש שני שורשים זהים, אזי גם השוויון ממשפט וייטה מתקיים. ואכן, עבור D=0 השורש של המשוואה הריבועית הוא , אז ו , ומכיוון D=0 , כלומר, b 2 −4·a·c=0 , מכאן b 2 =4·a·c , אז .
בפועל, משפט וייטה משמש לרוב ביחס למשוואה הריבועית המופחתת (עם המקדם הגבוה ביותר שווה ל-1) של הצורה x 2 +p·x+q=0 . לפעמים הוא מנוסח למשוואות ריבועיות בדיוק מהסוג הזה, מה שלא מגביל את הכלליות, שכן ניתן להחליף כל משוואה ריבועית במשוואה שוות ערך על ידי חלוקת שני חלקיה במספר אפס שאינו אפס. הנה הניסוח המקביל של משפט וייטה:
מִשׁפָּט.
סכום השורשים של המשוואה הריבועית המופחתת x 2 + p x + q \u003d 0 שווה למקדם ב-x, נלקח עם הסימן ההפוך, ומכפלת השורשים היא איבר חופשי, כלומר, x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .
משפט הפוך למשפט של וייטה
הניסוח השני של משפט Vieta, שניתן בפסקה הקודמת, מציין שאם x 1 ו-x 2 הם השורשים של המשוואה הריבועית המופחתת x 2 +p x+q=0, אז היחסים x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2=q. מצד שני, מהיחסים הכתובים x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, יוצא ש-x 1 ו-x 2 הם השורשים של המשוואה הריבועית x 2 +p x+q=0. במילים אחרות, הקביעה הפוכה למשפט וייטה היא נכונה. אנחנו מנסחים את זה בצורה של משפט, ומוכיחים את זה.
מִשׁפָּט.
אם המספרים x 1 ו-x 2 הם כאלה ש-x 1 +x 2 =−p ו-x 1 x 2 =q, אז x 1 ו-x 2 הם השורשים של המשוואה הריבועית המופחתת x 2 +p x+q=0 .
הוכחה.
לאחר החלפת המקדמים p ו-q במשוואה x 2 +p x+q=0 של הביטוי שלהם דרך x 1 ו-x 2, הוא מומר למשוואה שווה ערך.
נחליף את המספר x 1 במקום x במשוואה המתקבלת, יש לנו את השוויון x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, אשר עבור כל x 1 ו-x 2 הוא השוויון המספרי הנכון 0=0, שכן x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. לכן, x 1 הוא שורש המשוואה x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, כלומר x 1 הוא השורש של המשוואה המקבילה x 2 +p x+q=0 .
אם במשוואה x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0החלף את המספר x 2 במקום x, ואז נקבל את השוויון x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. זו המשוואה הנכונה כי x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. לכן, x 2 הוא גם שורש המשוואה x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, ומכאן המשוואות x 2 +p x+q=0 .
זה משלים את הוכחת המשפט בהשוואה למשפט של וייטה.
דוגמאות לשימוש במשפט וייטה
הגיע הזמן לדבר על היישום המעשי של משפט וייטה והמשפט ההפוך שלו. בתת-סעיף זה, ננתח את הפתרונות של כמה מהדוגמאות האופייניות ביותר.
אנו מתחילים ביישום משפט הפוך למשפט של וייטה. נוח להשתמש בו כדי לבדוק אם שני המספרים הנתונים הם השורשים של משוואה ריבועית נתונה. במקרה זה, הסכום וההפרש שלהם מחושבים, ולאחר מכן בודקים את תקפות היחסים. אם שני היחסים הללו מתקיימים, אזי, מתוקף המשפט המנוגד למשפט וייטה, מגיעים למסקנה שמספרים אלו הם שורשי המשוואה. אם לפחות אחד מהקשרים אינו מרוצה, אז המספרים הללו אינם שורשי המשוואה הריבועית. ניתן להשתמש בגישה זו בעת פתרון משוואות ריבועיות כדי לבדוק את השורשים שנמצאו.
דוגמא.
איזה מצמדי המספרים 1) x 1 =−5, x 2 =3, או 2), או 3) הוא זוג שורשים של המשוואה הריבועית 4 x 2 −16 x+9=0?
פִּתָרוֹן.
המקדמים של המשוואה הריבועית הנתונה 4 x 2 −16 x+9=0 הם a=4 , b=−16 , c=9 . לפי משפט וייטה, סכום השורשים של המשוואה הריבועית חייב להיות שווה ל--b/a, כלומר 16/4=4, ומכפלת השורשים חייבת להיות שווה ל-c/a, כלומר 9. /4.
כעת נחשב את הסכום והמכפלה של המספרים בכל אחד משלושת הזוגות הנתונים, ונשווה אותם עם הערכים שהתקבלו זה עתה.
במקרה הראשון, יש לנו x 1 +x 2 =−5+3=−2 . הערך המתקבל שונה מ-4, לכן, לא ניתן לבצע אימות נוסף, אך לפי המשפט, היפוך של משפט וייטה, אנו יכולים מיד להסיק שזוג המספרים הראשון אינו זוג שורשים של הריבוע הנתון משוואה.
נעבור למקרה השני. כאן, כלומר, מתקיים התנאי הראשון. אנו בודקים את התנאי השני: , הערך המתקבל שונה מ-9/4 . לכן, זוג המספרים השני אינו זוג שורשים של משוואה ריבועית.
המקרה האחרון נשאר. כאן ו . שני התנאים מתקיימים, ולכן המספרים האלה x 1 ו- x 2 הם השורשים של המשוואה הריבועית הנתונה.
תשובה:
המשפט, ההפך ממשפט וייטה, יכול לשמש בפועל לבחירת השורשים של משוואה ריבועית. בדרך כלל, נבחרים שורשים שלמים של המשוואות הריבועיות הנתונות עם מקדמים שלמים, מכיוון שבמקרים אחרים זה די קשה לבצע. במקביל, הם משתמשים בעובדה שאם סכום שני מספרים שווה למקדם השני של המשוואה הריבועית, נלקח עם סימן מינוס, והמכפלה של המספרים האלה שווה לאיבר החופשי, אז המספרים האלה הם השורשים של המשוואה הריבועית הזו. בוא נתמודד עם זה עם דוגמה.
ניקח את המשוואה הריבועית x 2 −5 x+6=0 . כדי שהמספרים x 1 ו-x 2 יהיו השורשים של המשוואה הזו, יש לעמוד בשתי שווים x 1 +x 2 \u003d 5 ו-x 1 x 2 \u003d 6. נותר לבחור מספרים כאלה. במקרה זה, זה די פשוט לעשות: מספרים כאלה הם 2 ו-3, שכן 2+3=5 ו-2 3=6. לפיכך, 2 ו-3 הם השורשים של המשוואה הריבועית הזו.
המשפט, ההפך ממשפט וייטה, נוח במיוחד ליישום למציאת השורש השני של המשוואה הריבועית המוקטנת, כאשר אחד השורשים כבר ידוע או ברור. במקרה זה, השורש השני נמצא מכל אחד מהיחסים.
לדוגמה, ניקח את המשוואה הריבועית 512 x 2 −509 x−3=0 . כאן קל לראות שהיחידה היא שורש המשוואה, שכן סכום המקדמים של המשוואה הריבועית הזו הוא אפס. אז x 1 = 1. ניתן למצוא את השורש השני x 2, למשל, מהיחס x 1 x 2 =c/a. יש לנו 1 x 2 =−3/512, ומכאן x 2 =−3/512. אז הגדרנו את שני השורשים של המשוואה הריבועית: 1 ו-3/512.
ברור שבחירת השורשים מועילה רק במקרים הפשוטים ביותר. במקרים אחרים, כדי למצוא את השורשים, ניתן ליישם את הנוסחאות של השורשים של המשוואה הריבועית דרך המבחין.
יישום מעשי נוסף של המשפט, ההיפוך של משפט וייטה, הוא הידור של משוואות ריבועיות עבור שורשים נתונים x 1 ו-x 2. כדי לעשות זאת, מספיק לחשב את סכום השורשים, שנותן את מקדם x עם הסימן ההפוך של המשוואה הריבועית הנתונה, ואת מכפלת השורשים, שנותנת את האיבר החופשי.
דוגמא.
כתבו משוואה ריבועית ששורשיה הם המספרים −11 ו-23.
פִּתָרוֹן.
סמן x 1 =−11 ו-x 2 =23. אנו מחשבים את הסכום והמכפלה של המספרים האלה: x 1 + x 2 \u003d 12 ו x 1 x 2 \u003d -253. לכן, המספרים הללו הם השורשים של המשוואה הריבועית הנתונה עם המקדם השני -12 והאיבר החופשי -253. כלומר, x 2 −12·x−253=0 היא המשוואה הרצויה.
תשובה:
x 2 −12 x−253=0 .
משפט וייטה משמש לעתים קרובות מאוד בפתרון משימות הקשורות לסימני השורשים של משוואות ריבועיות. כיצד משפט וייטה קשור לסימני השורשים של המשוואה הריבועית המופחתת x 2 +p x+q=0 ? להלן שתי הצהרות רלוונטיות:
- אם האיבר החופשי q הוא מספר חיובי ואם למשוואה הריבועית יש שורשים ממשיים, אז או ששניהם חיוביים או שניהם שליליים.
- אם האיבר החופשי q הוא מספר שלילי ואם למשוואה הריבועית יש שורשים ממשיים, אז הסימנים שלהם שונים, במילים אחרות, שורש אחד חיובי והשני שלילי.
הצהרות אלו נובעות מהנוסחה x 1 x 2 =q, כמו גם מהכללים להכפלת מספרים חיוביים, שליליים ומספרים עם סימנים שונים. שקול דוגמאות ליישום שלהם.
דוגמא.
R חיובי. לפי נוסחת ההבחנה, נמצא D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , הערך של הביטוי r 2 +8 הוא חיובי עבור כל r אמיתי, ולכן D>0 עבור כל r אמיתי. לכן, למשוואה הריבועית המקורית יש שני שורשים לכל ערכים אמיתיים של הפרמטר r.
עכשיו בואו לגלות מתי לשורשים יש סימנים שונים. אם הסימנים של השורשים שונים, אז המכפלה שלהם שלילית, ולפי משפט Vieta, מכפלת השורשים של המשוואה הריבועית הנתונה שווה לאיבר החופשי. לכן, אנו מעוניינים באותם ערכים של r שעבורם האיבר החופשי r−1 שלילי. לפיכך, כדי למצוא את הערכים של r שמעניינים אותנו, אנחנו צריכים לפתור אי שוויון ליניארי r−1<0 , откуда находим r<1 .
תשובה:
ב-r<1 .
נוסחאות וייטה
למעלה, דיברנו על משפט וייטה למשוואה ריבועית וניתחנו את היחסים שהוא קובע. אבל יש נוסחאות שמחברות את השורשים והמקדמים האמיתיים לא רק של משוואות ריבועיות, אלא גם של משוואות מעוקבות, משוואות מרובע, ובכלל, משוואות אלגבריותתואר נ. הם נקראים נוסחאות וייטה.
אנו כותבים את נוסחאות ה-Vieta עבור משוואה אלגברית בדרגה n של הצורה, בעוד שאנו מניחים שיש לה n שורשים ממשיים x 1, x 2, ..., x n (ביניהם עשויים להיות זהים): 
קבל נוסחאות Vieta מאפשר משפט הפירוק של פולינום, וכן הגדרת פולינומים שווים באמצעות שוויון כל המקדמים התואמים להם. אז הפולינום והתפשטותו לגורמים ליניאריים של הצורה שווים. פתיחת הסוגריים במוצר האחרון והשוואת המקדמים המתאימים, נקבל את נוסחאות ה-Vieta.
בפרט, עבור n=2 יש לנו כבר נוסחאות Vieta מוכרות עבור המשוואה הריבועית.
עבור משוואה מעוקבת, לנוסחאות Vieta יש את הצורה 
נותר רק לציין שבצד שמאל של נוסחאות ה-Vieta יש את מה שנקרא יסודי פולינומים סימטריים.
בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.
- אַלגֶבּרָה:ספר לימוד עבור 8 תאים. חינוך כללי מוסדות / [יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. ש"א טליקובסקי. - מהדורה 16. - מ' : חינוך, 2008. - 271 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- מורדקוביץ' א.ג.אַלגֶבּרָה. כיתה ח'. בשעה 14:00 חלק 1. ספר לימוד לתלמידי מוסדות חינוך / א.ג. מורדקוביץ'. - מהדורה 11, נמחקה. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 עמ': ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
- אַלגֶבּרָהותחילתו של ניתוח מתמטי. כיתה י': ספר לימוד. לחינוך כללי מוסדות: בסיסי ופרופיל. רמות / [יו. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. א.ב ז'יז'צ'נקו. - מהדורה שלישית. - מ.: נאורות, 2010.- 368 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-022771-1.
I. משפט וייטהעבור המשוואה הריבועית המוקטנת.
סכום השורשים של המשוואה הריבועית המוקטנת x 2 +px+q=0שווה למקדם השני, בסימן ההפוך, ומכפלת השורשים שווה לאיבר החופשי:
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d ש.
מצא את השורשים של המשוואה הריבועית הנתונה באמצעות משפט וייטה.
דוגמה 1) x 2 -x-30=0.זוהי המשוואה הריבועית המוקטנת ( x 2 +px+q=0), המקדם השני p=-1, והטווח החופשי q=-30.ראשית, ודא שלמשוואה הנתונה יש שורשים, ושהשורשים (אם יש כאלה) יבואו לידי ביטוי כמספרים שלמים. לשם כך, די שהמבחן יהיה הריבוע המלא של מספר שלם.
מציאת המאבחן ד=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
כעת, לפי משפט וייטה, סכום השורשים חייב להיות שווה למקדם השני, שנלקח עם הסימן ההפוך, כלומר. ( -עמ'), והמוצר שווה למונח החופשי, כלומר. ( ש). לאחר מכן:
x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30.אנחנו צריכים לבחור שני מספרים כאלה כדי שהתוצר שלהם יהיה שווה ל -30 , והסכום הוא יחידה. אלו המספרים -5 ו 6 . תשובה: -5; 6.
דוגמה 2) x 2 +6x+8=0.יש לנו את המשוואה הריבועית המוקטנת עם המקדם השני p=6וחבר חינם q=8. ודא שיש שורשים שלמים. בוא נמצא את המפלה ד1 ד1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . המבחין D 1 הוא הריבוע המושלם של המספר 1 , כך ששורשי המשוואה הזו הם מספרים שלמים. אנו בוחרים את השורשים לפי משפט וייטה: סכום השורשים שווה ל –p=-6, והתוצר של השורשים הוא q=8. אלו המספרים -4 ו -2 .
למעשה: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. תשובה: -4; -2.
דוגמה 3) x 2 +2x-4=0. במשוואה ריבועית מופחתת זו, המקדם השני p=2, והטווח החופשי q=-4. בוא נמצא את המפלה ד1, שכן המקדם השני הוא מספר זוגי. ד1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. המבחין אינו ריבוע מושלם של מספר, אז אנחנו עושים זאת סיכום: השורשים של משוואה זו אינם מספרים שלמים ולא ניתן למצוא אותם באמצעות משפט וייטה.אז, אנחנו פותרים את המשוואה הזו, כרגיל, לפי הנוסחאות (במקרה זה, לפי הנוסחאות). אנחנו מקבלים:
דוגמה 4).כתוב משוואה ריבועית באמצעות השורשים שלה if x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
פִּתָרוֹן.המשוואה הרצויה תיכתב בצורה: x 2 +px+q=0יתר על כן, מבוסס על משפט וייטה –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . לאחר מכן המשוואה תקבל את הצורה: x2 +3x-28=0.
דוגמה 5).כתוב משוואה ריבועית באמצעות השורשים שלה אם:
II. משפט וייטהעבור המשוואה הריבועית השלמה ax2+bx+c=0.
סכום השורשים הוא מינוס במחולק ב א, תוצר השורשים הוא עםמחולק ב א:
x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.
