Funkcija vadinama lygine (nelygine), jei bet kuriai ir lygybei

.

Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu
.

Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei.

6.2 pavyzdys. Patikrinkite, ar funkcija yra lyginė ar nelyginė

1)
; 2)
; 3)
.

Sprendimas.

1) Funkcija apibrėžiama kada
. Mes rasime
.

Tie.
. Tai reiškia, kad ši funkcija yra lygi.

2) Funkcija apibrėžiama kada

Tie.
. Taigi ši funkcija yra keista.

3) funkcija apibrėžta , t.y. Dėl

,
. Todėl funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Pavadinkime tai bendrosios formos funkcija.

3. Monotoniškumo funkcijos tyrimas.

Funkcija
vadinamas didėjimu (mažėjimu) tam tikru intervalu, jei šiame intervale kiekvienas didesnę vertę argumentas atitinka didesnę (mažesnę) funkcijos reikšmę.

Funkcijos, didėjančios (mažėjančios) per tam tikrą intervalą, vadinamos monotoninėmis.

Jei funkcija
skiriasi intervalu
ir turi teigiamą (neigiamą) išvestinę
, tada funkcija
per šį intervalą didėja (sumažėja).

6.3 pavyzdys. Raskite funkcijų monotoniškumo intervalus

1)
; 3)
.

Sprendimas.

1) Ši funkcija apibrėžta visoje skaičių eilutėje. Raskime išvestinę.

Išvestinė lygi nuliui, jei
Ir
. Apibrėžimo sritis yra skaičių ašis, padalinta iš taškų
,
tarpais. Kiekviename intervale nustatykime išvestinės ženklą.

Intervale
išvestinė yra neigiama, funkcija mažėja šiame intervale.

Intervale
išvestinė yra teigiama, todėl funkcija didėja per šį intervalą.

2) Ši funkcija apibrėžiama, jei
arba

.

Kiekviename intervale nustatome kvadratinio trinalio ženklą.

Taigi funkcijos apibrėžimo sritis

Raskime išvestinę
,
, Jei
, t.y.
, Bet
. Nustatykime išvestinės ženklą intervaluose
.

Intervale
išvestinė yra neigiama, todėl funkcija intervale mažėja
. Intervale
išvestinė yra teigiama, funkcija didėja per intervalą
.

4. Ekstremo funkcijos tyrimas.

Taškas
vadinamas maksimaliu (minimaliu) funkcijos tašku
, jei yra tokia taško kaimynystė tai visiems
iš šios kaimynystės galioja nelygybė

.

Maksimalus ir minimalus funkcijos taškai yra vadinami ekstremumais.

Jei funkcija
taške turi ekstremumą, tai funkcijos išvestinė šiame taške lygi nuliui arba neegzistuoja (būtina ekstremumo egzistavimo sąlyga).

Taškai, kuriuose išvestinė yra nulis arba neegzistuoja, vadinami kritiniais.

5. Pakankamos sąlygos ekstremumui egzistuoti.

1 taisyklė. Jei perėjimo metu (iš kairės į dešinę) per kritinį tašką išvestinė
pakeičia ženklą iš „+“ į „–“, tada taške funkcija
turi maksimumą; jei nuo „–“ iki „+“, tada minimumas; Jeigu
nekeičia ženklo, tada nėra ekstremumo.

2 taisyklė. Tegul taške
pirmoji funkcijos išvestinė
lygus nuliui
, o antroji išvestinė egzistuoja ir skiriasi nuo nulio. Jeigu
, Tai – maksimalus taškas, jei
, Tai – funkcijos mažiausias taškas.

6.4 pavyzdys. Ištirkite maksimalias ir minimalias funkcijas:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Sprendimas.

1) Funkcija yra apibrėžta ir tęsiasi intervale
.

Raskime išvestinę
ir išspręskite lygtį
, t.y.
.Iš čia
– kritinius taškus.

Nustatykime išvestinės ženklą intervaluose ,
.

Pravažiuojant taškus
Ir
išvestinė keičia ženklą iš „–“ į „+“, todėl pagal 1 taisyklę
– minimalūs balai.

Kai eina per tašką
išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „–“, taigi
– maksimalus taškas.

,
.

2) Funkcija yra apibrėžta ir tęstinė intervale
. Raskime išvestinę
.

Išsprendę lygtį
, rasime
Ir
– kritiniai taškai. Jei vardiklis
, t.y.
, tada išvestinė neegzistuoja. Taigi,
– trečias kritinis taškas. Išvestinės ženklą nustatykime intervalais.

Todėl funkcija taške turi minimumą
, daugiausia taškais
Ir
.

3) Funkcija yra apibrėžta ir tolydi, jei
, t.y. adresu
.

Raskime išvestinę

.

Raskime kritinius taškus:

Taškų apylinkės
nepriklauso apibrėžimo sričiai, todėl nėra kraštutinumai. Taigi, panagrinėkime kritinius taškus
Ir
.

4) Funkcija yra apibrėžta ir tęsiasi intervale
. Naudokime taisyklę 2. Raskite išvestinę
.

Raskime kritinius taškus:

Raskime antrąją išvestinę
ir nustatyti jo ženklą taškuose

Taškuose
funkcija turi minimumą.

Taškuose
funkcija turi maksimumą.

Kaip į svetainę įterpti matematines formules?

Jei kada nors reikės pridėti vieną ar dvi matematines formules į tinklalapį, paprasčiausias būdas tai padaryti yra taip, kaip aprašyta straipsnyje: matematinės formulės lengvai įterpiamos į svetainę paveikslėlių pavidalu, kuriuos automatiškai sugeneruoja Wolfram Alpha. . Be paprastumo, tai universalus metodas padės pagerinti svetainės matomumą paieškos sistemos. Jis veikia jau seniai (ir, manau, veiks amžinai), bet jau morališkai pasenęs.

Jei savo svetainėje reguliariai naudojate matematines formules, rekomenduoju naudoti MathJax – specialią „JavaScript“ biblioteką, kuri rodo matematinius žymėjimus žiniatinklio naršyklėse naudojant MathML, LaTeX arba ASCIIMathML žymėjimą.

Yra du būdai pradėti naudotis MathJax: (1) naudodami paprastą kodą, prie savo svetainės galite greitai prijungti MathJax scenarijų, kuris tinkamu metu bus automatiškai įkeltas iš nuotolinio serverio (serverių sąrašas); (2) atsisiųskite MathJax scenarijų iš nuotolinio serverio į savo serverį ir prijunkite jį prie visų savo svetainės puslapių. Antrasis metodas – sudėtingesnis ir daug laiko reikalaujantis – pagreitins jūsų svetainės puslapių įkėlimą, o jei pagrindinis MathJax serveris dėl kokių nors priežasčių laikinai taps nepasiekiamas, tai neturės jokios įtakos jūsų svetainei. Nepaisant šių privalumų, pasirinkau pirmąjį būdą, nes jis paprastesnis, greitesnis ir nereikalaujantis techninių įgūdžių. Sekite mano pavyzdžiu ir vos per 5 minutes savo svetainėje galėsite naudotis visomis MathJax funkcijomis.

Galite prijungti MathJax bibliotekos scenarijų iš nuotolinio serverio naudodami dvi kodo parinktis, paimtas iš pagrindinės MathJax svetainės arba dokumentacijos puslapyje:

Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į savo tinklalapio kodą, pageidautina tarp žymų ir arba iškart po žymos. Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai stebi ir įkelia naujausias MathJax versijas. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įterpsite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.

Lengviausias būdas prisijungti MathJax yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją aukščiau pateikto atsisiuntimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau. į šablono pradžią (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir būsite pasirengę įterpti matematines formules į savo svetainės tinklalapius.

Bet koks fraktalas konstruojamas pagal tam tikra taisyklė, kuris taikomas nuosekliai neribotą skaičių kartų. Kiekvienas toks laikas vadinamas iteracija.

Iteratyvus Menger kempinės konstravimo algoritmas yra gana paprastas: originalus kubas su 1 kraštine plokštumos, lygiagrečios jo paviršiams, padalintas į 27 vienodus kubus. Iš jo pašalinamas vienas centrinis kubas ir 6 šalia jo esantys kubeliai. Rezultatas yra rinkinys, susidedantis iš likusių 20 mažesnių kubelių. Tą patį padarę su kiekvienu iš šių kubelių, gauname rinkinį, kurį sudaro 400 mažesnių kubelių. Tęsdami šį procesą be galo, gauname Menger kempinę.

Kintamojo y priklausomybė nuo kintamojo x, kuriame kiekviena x reikšmė atitinka vieną y reikšmę, vadinama funkcija. Pažymėjimui naudokite žymėjimą y=f(x). Kiekviena funkcija turi keletą pagrindinių savybių, tokių kaip monotoniškumas, paritetas, periodiškumas ir kt.

Atidžiau pažvelkite į pariteto savybę.

Funkcija y=f(x) iškviečiama, net jei ji tenkina šias dvi sąlygas:

2. Funkcijos reikšmė taške x, priklausanti funkcijos apibrėžimo sričiai, turi būti lygi funkcijos reikšmei taške -x. Tai reiškia, kad bet kuriam taškui x iš funkcijos apibrėžimo srities turi būti įvykdyta ši lygybė: f(x) = f(-x).

Lyginės funkcijos grafikas

Jei nubraižysite lyginės funkcijos grafiką, jis bus simetriškas Oy ašiai.

Pavyzdžiui, funkcija y=x^2 yra lyginė. Pažiūrėkime. Apibrėžimo sritis yra visa skaitmeninė ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško O atžvilgiu.

Paimkime savavališką x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Todėl f(x) = f(-x). Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra lygi. Žemiau yra funkcijos y=x^2 grafikas.

Paveikslėlyje parodyta, kad grafikas yra simetriškas Oy ašiai.

Nelyginės funkcijos grafikas

Funkcija y=f(x) vadinama nelygine, jei ji tenkina šias dvi sąlygas:

1. Duotosios funkcijos apibrėžimo sritis turi būti simetriška taško O atžvilgiu. Tai yra, jei kuris nors taškas a priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai, tai atitinkamas taškas -a taip pat turi priklausyti apibrėžimo sričiai. nurodytos funkcijos.

2. Bet kuriam taškui x iš funkcijos apibrėžimo srities turi būti tenkinama ši lygybė: f(x) = -f(x).

Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas taško O – koordinačių pradžios – atžvilgiu. Pavyzdžiui, funkcija y=x^3 yra nelyginė. Pažiūrėkime. Apibrėžimo sritis yra visa skaitmeninė ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško O atžvilgiu.

Paimkime savavališką x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Todėl f(x) = -f(x). Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra nelyginė. Žemiau yra funkcijos y=x^3 grafikas.

Paveikslėlyje aiškiai matyti, kad nelyginė funkcija y=x^3 yra simetriška kilmei.

Atgal į priekį

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Tikslai:

• formuoti funkcijos pariteto ir nelygumo sampratą, išmokyti šias savybes nustatyti ir naudoti kada funkcijų tyrimas, braižymas;
• ugdyti mokinių kūrybinę veiklą, loginis mąstymas, gebėjimas lyginti, apibendrinti;
• ugdyti sunkų darbą ir matematinę kultūrą; ugdyti bendravimo įgūdžius .

Įranga: multimedijos instaliacija, interaktyvi lenta, dalomoji medžiaga.

Darbo formos: frontalinė ir grupinė su paieškos ir tiriamosios veiklos elementais.

Informacijos šaltiniai:

1. Algebra 9 klasė A.G.Mordkovičius. Vadovėlis.
2. Algebra 9 klasė A.G.Mordkovich. Problemų knyga.
3. Algebra 9 kl. Užduotys mokinių mokymuisi ir tobulėjimui. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

UŽSIĖMIMŲ LAIKOTARPIU

1. Organizacinis momentas

Pamokos tikslų ir uždavinių nustatymas.

2. Namų darbų tikrinimas

Nr.10.17 (9 klasės užduočių knygelė. A.G. Mordkovich).

A) adresu = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 at X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcija didėja su X € [– 2; + ∞)
6. Funkcija ribojama iš apačios.
7. adresu naim = – 3, adresu naib neegzistuoja
8. Funkcija yra nuolatinė.

(Ar naudojote funkcijų tyrimo algoritmą?) Skaidrė.

2. Patikrinkime lentelę, kurios jūsų paprašė iš skaidrės.

Užpildykite lentelę
	Domenas	Funkcijos nuliai	Ženklo pastovumo intervalai		Grafo susikirtimo su Oy taškų koordinatės
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Žinių atnaujinimas

– Suteiktos funkcijos.
– Nurodykite kiekvienos funkcijos apibrėžimo apimtį.
– Palyginkite kiekvienos funkcijos reikšmę kiekvienai argumentų reikšmių porai: 1 ir – 1; 2 ir – 2.
– Kurioms iš šių funkcijų apibrėžimo srityje galioja lygybės f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (gautus duomenis įveskite į lentelę) Skaidrė

		f(1) ir f(– 1)	f(2) ir f(– 2)	grafika	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		ir neapibrėžtas

4. Nauja medžiaga

– Vykdymas Šis darbas, vaikinai, mes nustatėme dar vieną funkcijos savybę, kuri jums nepažįstama, bet ne mažiau svarbi už kitas - tai funkcijos lygumas ir nelygumas. Užrašykite pamokos temą: „Lyginės ir nelyginės funkcijos“, mūsų užduotis – išmokti nustatyti funkcijos lygumą ir nelygumą, išsiaiškinti šios savybės reikšmę funkcijų studijoms ir brėžiant grafikus.
Taigi, susiraskime apibrėžimus vadovėlyje ir skaitykime (p. 110) . Skaidrė

Def. 1 Funkcija adresu = f (X), vadinamas aibėje X net, jei už kokią nors vertę XЄ X vykdomas lygybė f(–x)= f(x). Pateikite pavyzdžių.

Def. 2 Funkcija y = f(x), apibrėžiamas aibėje X vadinamas nelyginis, jei už kokią nors vertę XЄ X galioja lygybė f(–х)= –f(х). Pateikite pavyzdžių.

Kur mes sutikome terminus „lyginis“ ir „nelyginis“?
Kaip manote, kuri iš šių funkcijų bus lygi? Kodėl? Kurie yra nelyginiai? Kodėl?
Bet kuriai formos funkcijai adresu= x n, Kur n– sveikasis skaičius, galima teigti, kad funkcija nelyginė kai n– nelyginis, o funkcija lyginė, kai n– net.
– Peržiūrėti funkcijas adresu= ir adresu = 2X– 3 nėra nei lyginiai, nei nelyginiai, nes lygybės netenkinamos f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Tyrimas, ar funkcija yra lyginė ar nelyginė, vadinamas funkcijos pariteto tyrimu. Skaidrė

1 ir 2 apibrėžimuose mes kalbėjome apie funkcijos reikšmes x ir – x, todėl daroma prielaida, kad funkcija taip pat yra apibrėžta verte X, ir – X.

Def 3. Jei skaičių aibėje kartu su kiekvienu jos elementu x yra ir priešingas elementas –x, tada aibė X vadinama simetriška aibe.

Pavyzdžiai:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) yra simetriškos aibės, o , [–5;4] yra asimetrinės.

– Ar net funkcijos turi apibrėžimo sritį, kuri yra simetriška aibė? Keistas?
– jei D( f) yra asimetrinė aibė, tai kokia yra funkcija?
– Taigi, jei funkcija adresu = f(X) – lyginis arba nelyginis, tada jo apibrėžimo sritis yra D( f) yra simetriškas rinkinys. Ar teisingas atvirkštinis teiginys: jei funkcijos apibrėžimo sritis yra simetrinė aibė, tai lyginė ar nelyginė?
– Tai reiškia, kad apibrėžimo srities simetrinės aibės buvimas yra būtina sąlyga, bet nepakankama.
– Taigi kaip išnagrinėti pariteto funkciją? Pabandykime sukurti algoritmą.

Skaidrė

Pariteto funkcijos tyrimo algoritmas

1. Nustatykite, ar funkcijos apibrėžimo sritis yra simetriška. Jei ne, tada funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Jei taip, pereikite prie 2 algoritmo veiksmo.

2. Parašykite išraišką už f(–X).

3. Palyginkite f(–X).Ir f(X):

• Jeigu f(–X).= f(X), tada funkcija lygi;
• Jeigu f(–X).= – f(X), tada funkcija yra nelyginė;
• Jeigu f(–X) ≠ f(X) Ir f(–X) ≠ –f(X), tada funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Pavyzdžiai:

Išnagrinėkite lygybės funkciją a) adresu= x 5 +; b) adresu= ; V) adresu= .

Sprendimas.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrinė aibė.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funkcija h(x) = x 5 + nelyginis.

b) y =,

adresu = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrinė aibė, o tai reiškia, kad funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2 variantas

1. Ar duotoji aibė yra simetriška: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Išnagrinėkite pariteto funkciją:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Pav. buvo sukurtas grafikas adresu = f(X), visiems X, tenkinantis sąlygą X? 0.
Nubraižykite funkciją adresu = f(X), Jei adresu = f(X) yra lygi funkcija.

3. Pav. buvo sukurtas grafikas adresu = f(X), visiems x, atitinkantiems sąlygą x? 0.
Nubraižykite funkciją adresu = f(X), Jei adresu = f(X) yra nelyginė funkcija.

Kolegų peržiūra skaidrėje.

6. Namų darbai: Nr 11.11, 11.21, 11.22;

Pariteto savybės geometrinės reikšmės įrodymas.

***(Vieningo valstybinio egzamino varianto priskyrimas).

1. Nelyginė funkcija y = f(x) yra apibrėžta visoje skaičių eilutėje. Bet kuriai neneigiamai kintamojo x vertei šios funkcijos reikšmė sutampa su funkcijos g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Raskite funkcijos h( X) = at X = 3.

7. Apibendrinimas

Funkcijų tyrimas.

1) D(y) – apibrėžimo sritis: visų tų kintamojo x reikšmių rinkinys. kuriems prasmingos algebrinės išraiškos f(x) ir g(x).

Jei funkcija pateikiama formule, tada apibrėžimo sritis susideda iš visų nepriklausomo kintamojo, kuriam formulė turi prasmę, reikšmių.

2) Funkcijos savybės: lyginis/nelyginis, periodiškumas:

Funkcijos, kurių grafikai yra simetriški argumento ženklo pokyčiams, vadinamos nelyginėmis ir lyginėmis.

Nelyginė funkcija – tai funkcija, kuri keičia savo reikšmę į priešingą, kai pasikeičia nepriklausomo kintamojo ženklas (simetriškas koordinačių centro atžvilgiu).

Lyginė funkcija – tai funkcija, kuri nekeičia savo reikšmės pasikeitus nepriklausomo kintamojo ženklui (simetriška ordinatės atžvilgiu).

Nei lyginė, nei nelyginė funkcija (funkcija bendras vaizdas) yra funkcija, kuri neturi simetrijos. Ši kategorija apima funkcijas, kurios nepatenka į 2 ankstesnes kategorijas.

Funkcijos, kurios nepriklauso nė vienai iš aukščiau išvardytų kategorijų, yra vadinamos nei lyginis, nei nelyginis(arba bendrosios funkcijos).

Nelyginės funkcijos

Nelyginė galia kur yra savavališkas sveikasis skaičius.

Netgi funkcijos

Netgi galia kur yra savavališkas sveikasis skaičius.

Periodinė funkcija yra funkcija, kuri pakartoja savo reikšmes po tam tikro reguliaraus argumento intervalo, tai yra, ji nekeičia savo vertės, kai prie argumento pridedamas koks nors fiksuotas nulinis skaičius (funkcijos laikotarpis) per visą laikotarpį. apibrėžimo sritis.

3) Funkcijos nuliai (šaknys) yra taškai, kuriuose ji tampa nuliu.

Grafiko susikirtimo su ašimi taško radimas Oy. Norėdami tai padaryti, turite apskaičiuoti vertę f(0). Taip pat raskite grafiko susikirtimo su ašimi taškus Jautis, kodėl reikia rasti lygties šaknis f(x) = 0 (arba įsitikinkite, kad nėra šaknų).

Taškai, kuriuose grafikas kerta ašį, vadinami funkcijos nuliais. Norėdami rasti funkcijos nulius, turite išspręsti lygtį, tai yra, rasti tas „x“ reikšmes, kuriose funkcija tampa lygi nuliu.

4) Ženklų pastovumo intervalai, ženklai juose.

Intervalai, kuriuose funkcija f(x) išlaiko ženklą.

Pastovaus ženklo intervalas yra intervalas, kurio kiekviename taške funkcija yra teigiama arba neigiama.

Virš x ašies.

PO ašies.

5) Tęstinumas (nutrūkimo taškai, nenuoseklumo pobūdis, asimptotės).

Nepertraukiama funkcija yra funkcija be „šuolių“, ty tokia, kurioje nedideli argumento pakeitimai lemia nedidelius funkcijos vertės pokyčius.

Nuimami lūžio taškai

Jei funkcijos riba egzistuoja, bet funkcija šiuo metu neapibrėžta arba riba nesutampa su funkcijos reikšme šiuo tašku:

,

tada taškas vadinamas nuimamas lūžio taškas funkcijos (sudėtingoje analizėje nuimamas vienaskaitos taškas).

Jei „pataisysime“ funkciją nuimamo nutrūkimo taške ir įdėsime , tada gauname funkciją, kuri yra ištisinė tam tikrame taške. Ši funkcijos operacija vadinama išplečiant funkciją iki tęstinio arba funkcijos iš naujo apibrėžimas pagal tęstinumą, kuris pateisina taško pavadinimą kaip tašką nuimamas plyšimas.

Pirmosios ir antrosios rūšies nutrūkimo taškai

Jei funkcija tam tikrame taške turi nenutrūkstamumą (tai yra, funkcijos ribos tam tikrame taške nėra arba ji nesutampa su funkcijos reikšme tam tikrame taške), tada skaitinėms funkcijoms yra du galimi variantai siejamas su skaitinių funkcijų egzistavimu vienašalės ribos:

jei abi vienpusės ribos egzistuoja ir yra baigtinės, tai toks taškas vadinamas pirmos rūšies nenutrūkstamumo tašku. Nuimami nepertraukiamumo taškai yra pirmosios rūšies nutrūkimo taškai;

jei bent viena iš vienpusių ribų neegzistuoja arba nėra baigtinė reikšmė, tai toks taškas vadinamas antrojo tipo nutrūkimo tašku.

Asimptote - tiesiai, kuri turi savybę, kad atstumas nuo kreivės taško iki š tiesiai linkęs į nulį, kai taškas tolsta išilgai šakos iki begalybės.

Vertikalus

Vertikali asimptotė – ribinė linija .

Paprastai, nustatydami vertikalią asimptotę, jie ieško ne vienos ribos, o dviejų vienpusių (kairės ir dešinės). Tai daroma siekiant nustatyti, kaip funkcija elgiasi, kai ji artėja prie vertikalios asimptotės iš skirtingų krypčių. Pavyzdžiui:

Horizontalus

Horizontali asimptota - tiesiai rūšis, priklausomai nuo egzistavimo riba

.

Pasviręs

Įstrižas asimptotas - tiesiai rūšis, priklausomai nuo egzistavimo ribos

Pastaba: funkcija gali turėti ne daugiau kaip dvi pasvirusias (horizontalias) asimptotes.

Pastaba: jei bent viena iš dviejų aukščiau paminėtų ribų neegzistuoja (arba yra lygi ), tada pasviroji asimptotė ties (arba ) neegzistuoja.

jei 2 punkte), tada , o riba randama pagal formulę horizontalioji asimptote, .

6) Monotoniškumo intervalų radimas. Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus f(x)(ty didėjimo ir mažėjimo intervalai). Tai daroma nagrinėjant išvestinės ženklą f(x). Norėdami tai padaryti, suraskite išvestinę f(x) ir išspręskite nelygybę f(x)0. Intervaluose, kur galioja ši nelygybė, funkcija f(x)dideja. Kur galioja atvirkštinė nelygybė f(x)0, funkcija f(x) mažėja.

Vietinio ekstremumo radimas. Radę monotoniškumo intervalus, galime iš karto nustatyti vietinius ekstremumo taškus, kuriuose padidėjimas pakeičiamas mažėjimu, yra lokalūs maksimumai, o kur mažėjimą keičia padidėjimas – lokalūs minimumai. Apskaičiuokite funkcijos reikšmę šiuose taškuose. Jei funkcija turi kritinių taškų, kurie nėra lokalūs ekstremumo taškai, tuomet pravartu apskaičiuoti ir funkcijos reikšmę šiuose taškuose.

Funkcijos y = f(x) didžiausios ir mažiausios reikšmių radimas atkarpoje (tęsinys)

1. Raskite funkcijos išvestinę: f(x). 2. Raskite taškus, kuriuose išvestinė lygi nuliui: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Nustatykite taškų priklausomybę X 1 ,X 2 , … segmentas [ a; b]: leisti x 1a;b, A x 2a;b .