Mes ir toliau tobulinsime savo technologijas elementarios transformacijosįjungta vienalytė sistema tiesines lygtis .
Remiantis pirmomis pastraipomis, medžiaga gali atrodyti nuobodi ir vidutiniška, tačiau toks įspūdis yra apgaulingas. Be tolesnio techninės technikos tobulinimo, bus daug nauja informacija, todėl stenkitės nepamiršti šiame straipsnyje pateiktų pavyzdžių.

Kas yra vienalytė tiesinių lygčių sistema?

Atsakymas rodo pats. Tiesinių lygčių sistema yra vienalytė, jei laisvasis narys Visi sistemos lygtis lygi nuliui. Pavyzdžiui:

Visiškai aišku, kad vienalytė sistema visada yra nuosekli ty visada turi sprendimą. Ir, visų pirma, į akis krenta vadinamasis trivialus sprendimas . Trivialus, tiems, kurie visiškai nesupranta būdvardžio reikšmės, reiškia be pasipuikavimo. Žinoma, ne akademiškai, o suprantamai =) ...Kam muštis, pažiūrėkime, ar ši sistema turi kitų sprendimų:

1 pavyzdys

Sprendimas: norint išspręsti vienarūšę sistemą reikia parašyti sistemos matrica ir elementariųjų transformacijų pagalba įnešti į laipsnišką formą. Atkreipkite dėmesį, kad čia nereikia rašyti vertikalios juostos ir nulinio laisvųjų terminų stulpelio – juk kad ir ką darytumėte su nuliais, jie liks nuliais:

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –3.

(2) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –1.

Trečią eilutę dalinti iš 3 nėra prasmės.

Elementariųjų transformacijų rezultate gaunama lygiavertė vienalytė sistema , ir naudojant atvirkštinį Gauso metodą, nesunku patikrinti, ar sprendimas yra unikalus.

Atsakymas:

Suformuluokime akivaizdų kriterijų: vienalytė tiesinių lygčių sistema turi tik trivialus sprendimas, Jei sistemos matricos rangas(šiuo atveju 3) yra lygus kintamųjų skaičiui (šiuo atveju – 3 vnt.).

Sušildykime ir priderinkime radiją prie elementarių transformacijų bangos:

2 pavyzdys

Išspręskite vienarūšę tiesinių lygčių sistemą

Norėdami galutinai konsoliduoti algoritmą, išanalizuokite galutinę užduotį:

7 pavyzdys

Išspręskite vienarūšę sistemą, parašykite atsakymą vektorine forma.

Sprendimas: užrašykime sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:

(1) Pirmos eilutės ženklas buvo pakeistas. Dar kartą atkreipiu dėmesį į daugybę kartų sutiktą techniką, kuri leidžia gerokai supaprastinti kitą veiksmą.

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie 2 ir 3 eilučių. Pirmoji eilutė, padauginta iš 2, buvo pridėta prie 4 eilutės.

(3) Paskutinės trys eilutės yra proporcingos, dvi iš jų pašalintos.

Dėl to gaunama standartinė žingsnių matrica, o sprendimas tęsiamas raižytu takeliu:

– pagrindiniai kintamieji;
– laisvieji kintamieji.

Išreikškime pagrindinius kintamuosius laisvaisiais kintamaisiais. Iš 2 lygties:

– pakeisti į 1 lygtį:

Taigi bendras sprendimas yra toks:

Kadangi nagrinėjamame pavyzdyje yra trys laisvieji kintamieji, pagrindinėje sistemoje yra trys vektoriai.

Pakeiskime tris vertes į bendrą sprendinį ir gauti vektorių, kurio koordinatės tenkina kiekvieną homogeninės sistemos lygtį. Ir dar kartą kartoju, kad labai patartina patikrinti kiekvieną gautą vektorių – tai neužims daug laiko, bet visiškai apsaugos nuo klaidų.

Už vertybių trigubą rasti vektorių

Ir galiausiai trims gauname trečiąjį vektorių:

Atsakymas:, Kur

Norintys vengti trupmeninių verčių, gali apsvarstyti trynukus ir gaukite atsakymą lygiaverte forma:

Kalbant apie trupmenas. Pažiūrėkime į užduotyje gautą matricą ir paklauskime savęs: ar įmanoma supaprastinti tolesnį sprendimą? Juk čia iš pradžių trupmenomis išreiškėme pagrindinį kintamąjį, paskui trupmenomis pagrindinį kintamąjį, ir, turiu pasakyti, šis procesas nebuvo pats paprasčiausias ir ne pats maloniausias.

Antras sprendimas:

Idėja yra pabandyti pasirinkti kitus bazinius kintamuosius. Pažiūrėkime į matricą ir trečiame stulpelyje pastebėkime du. Taigi kodėl gi ne nulis viršuje? Atlikime dar vieną elementarią transformaciją:

1 pavyzdys. Raskite bendrą sprendimą ir pagrindinę sistemos sprendimų sistemą

Sprendimas rasti naudojant skaičiuotuvą. Sprendimo algoritmas yra toks pat kaip ir sistemoms, kuriose nėra tiesinės vienarūšės lygtys.
Veikdami tik su eilutėmis, randame matricos rangą, pagrindinė nepilnametė; Paskelbiame priklausomus ir laisvus nežinomuosius ir randame bendrą sprendimą.

Pirmoji ir antroji eilutės yra proporcingos, vieną iš jų perbraukime:

.
Priklausomi kintamieji – x 2, x 3, x 5, laisvi – x 1, x 4. Iš pirmosios lygties 10x 5 = 0 randame x 5 = 0, tada
; .
Bendras sprendimas yra toks:

Randame fundamentalią sprendinių sistemą, kurią sudaro (n-r) sprendiniai. Mūsų atveju n=5, r=3, todėl pagrindinė sprendinių sistema susideda iš dviejų sprendinių, ir šie sprendiniai turi būti tiesiškai nepriklausomi. Kad eilutės būtų tiesiškai nepriklausomos, būtina ir pakanka, kad iš eilučių elementų sudarytos matricos rangas būtų lygus eilučių skaičiui, tai yra 2. Pakanka laisviesiems nežinomiesiems duoti x 1 ir x 4 reikšmes iš antros eilės determinanto eilučių, kurios nėra nulis, ir apskaičiuokite x 2 , x 3 , x 5 . Paprasčiausias nulinis determinantas yra .
Taigi pirmasis sprendimas yra: , antra - .
Šie du sprendimai sudaro esminę sprendimų sistemą. Atminkite, kad pagrindinė sistema nėra unikali (galite sukurti tiek nulinių determinantų, kiek norite).

2 pavyzdys. Raskite bendrą sprendinį ir pamatinę sistemos sprendinių sistemą
Sprendimas.



,
iš to išplaukia, kad matricos rangas yra 3 ir lygus skaičiui nežinomas. Tai reiškia, kad sistema neturi laisvų nežinomųjų, todėl turi unikalų sprendimą – trivialų.

Pratimas . Ištirkite ir išspręskite tiesinių lygčių sistemą.
4 pavyzdys

Pratimas . Raskite bendruosius ir konkrečius kiekvienos sistemos sprendimus.
Sprendimas. Užrašykime pagrindinę sistemos matricą:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Sumažinkime matricą į trikampę formą. Dirbsime tik su eilutėmis, nes matricos eilutę padauginus iš kito skaičiaus nei nulis ir pridėjus ją prie kitos sistemos eilutės, lygtį padauginsime iš to paties skaičiaus ir pridėsime su kita lygtimi, kuri nekeičia matricos sprendinio. sistema.
Padauginkite 2 eilutę iš (-5). Pridėkime 2-ąją eilutę prie 1-osios:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Padauginkime 2 eilutę iš (6). Padauginkite 3 eilutę iš (-1). Pridėkime 3 eilutę prie 2:
Raskime matricos rangą.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Pasirinktas minoras turi aukščiausią eilę (iš galimų mažųjų) ir yra ne nulis (ji lygi atvirkštinės įstrižainės elementų sandaugai), todėl rang(A) = 2.
Šis nepilnametis yra pagrindinis. Ji apima koeficientus nežinomiems x 1 , x 2 , o tai reiškia, kad nežinomieji x 1 , x 2 yra priklausomi (pagrindiniai), o x 3 , x 4 , x 5 yra laisvi.
Transformuokime matricą, palikdami tik bazinį minorą kairėje.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

Sistema su šios matricos koeficientais yra lygiavertė pradinei sistemai ir turi tokią formą:
22x2 = 14x4 -x3 -24x5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Naudodami nežinomųjų pašalinimo metodą, randame ne trivialus sprendimas:
Gavome ryšius, išreiškiančius priklausomus kintamuosius x 1 , x 2 per laisvuosius x 3 , x 4 , x 5 , tai yra, radome bendras sprendimas:
x 2 = 0,64 x 4 - 0,0455 x 3 - 1,09 x 5
x 1 = – 0,55 x 4 – 1,82 x 3 – 0,64 x 5
Randame fundamentalią sprendinių sistemą, kurią sudaro (n-r) sprendiniai.
Mūsų atveju n=5, r=2, todėl pagrindinė sprendinių sistema susideda iš 3 sprendinių ir šie sprendiniai turi būti tiesiškai nepriklausomi.
Kad eilutės būtų tiesiškai nepriklausomos, būtina ir pakanka, kad iš eilutės elementų sudarytos matricos rangas būtų lygus eilučių skaičiui, ty 3.
Pakanka pateikti laisvųjų nežinomųjų x 3 , x 4 , x 5 reikšmes iš 3 eilės determinanto, ne nulio, eilučių ir apskaičiuoti x 1 , x 2 .
Paprasčiausias ne nulis determinantas yra tapatybės matrica.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Užduotis . Raskite pagrindinę vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendinių rinkinį.

Duotos matricos

Raskite: 1) aA - bB,

Sprendimas: 1) Surandame jį nuosekliai, naudodamiesi matricos dauginimo iš skaičiaus ir matricų pridėjimo taisyklėmis.

2. Raskite A*B, jei

Sprendimas: Mes naudojame matricos daugybos taisyklę

Atsakymas:

3. Pateiktoje matricoje raskite mažąjį M 31 ir apskaičiuokite determinantą.

Sprendimas: Mažasis M 31 yra matricos, gautos iš A, determinantas

perbraukus 3 eilutę ir stulpelį 1. Randame

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Transformuokime matricą A nekeisdami jos determinanto (1 eilutėje padarykime nulius)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

Dabar apskaičiuojame matricos A determinantą išplėtimu išilgai 1 eilutės

Atsakymas: M 31 = 0, detA = 0

Išspręskite Gauso metodu ir Cramerio metodu.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Sprendimas: Patikrinkime

Galite naudoti Cramerio metodą

Sistemos sprendimas: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Taikykime Gauso metodą.

Sumažinkime išplėstinę sistemos matricą į trikampę formą.

Kad būtų lengviau apskaičiuoti, pakeiskime eilutes:

Padauginkite 2 eilutę iš (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) ir pridėti prie 3:

	1 / 2		7 / 2

1-ąją eilutę padauginkite iš (k = -2 / 2 = -1 ) ir prie 2 pridėkite:

Dabar pradinę sistemą galima parašyti taip:

x 1 = 1 – (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 – (6 x 3)

Iš 2 eilutės išreiškiame

Iš 1-os eilutės išreiškiame

Sprendimas yra tas pats.

Atsakymas: (2; -5; 3)

Raskite bendrą sistemos ir FSR sprendimą

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Sprendimas: Taikykime Gauso metodą. Sumažinkime išplėstinę sistemos matricą į trikampę formą.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Padauginkite 1 eilutę iš (-11). Padauginkime 2 eilutę iš (13). Pridėkime 2-ąją eilutę prie 1-osios:

	-2		-2	-3

Padauginkite 2 eilutę iš (-5). Padauginkime 3 eilutę iš (11). Pridėkime 3 eilutę prie 2:

Padauginkite 3 eilutę iš (-7). Padauginkime 4 eilutę iš (5). Pridėkime 4 eilutę prie 3:

Antroji lygtis yra tiesinis kitų derinys

Raskime matricos rangą.

	-18	-24	-18	-27
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Pasirinktas minoras turi aukščiausią eilę (iš galimų mažųjų) ir yra ne nulis (ji lygi atvirkštinės įstrižainės elementų sandaugai), todėl rang(A) = 2.

Šis nepilnametis yra pagrindinis. Ji apima koeficientus nežinomiems x 1 , x 2 , o tai reiškia, kad nežinomieji x 1 , x 2 yra priklausomi (pagrindiniai), o x 3 , x 4 , x 5 yra laisvi.

Sistema su šios matricos koeficientais yra lygiavertė pradinei sistemai ir turi tokią formą:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Naudodami nežinomųjų pašalinimo metodą, randame bendras sprendimas:

x 2 = – 4/3 x 3 – x 4 – 3/2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Randame fundamentalią sprendinių sistemą (FSD), kurią sudaro (n-r) sprendiniai. Mūsų atveju n=5, r=2, todėl pagrindinė sprendinių sistema susideda iš 3 sprendinių ir šie sprendiniai turi būti tiesiškai nepriklausomi.

Kad eilutės būtų tiesiškai nepriklausomos, būtina ir pakanka, kad iš eilutės elementų sudarytos matricos rangas būtų lygus eilučių skaičiui, ty 3.

Pakanka pateikti laisvųjų nežinomųjų x 3 , x 4 , x 5 reikšmes iš 3 eilės determinanto, ne nulio, eilučių ir apskaičiuoti x 1 , x 2 .

Paprasčiausias ne nulis determinantas yra tapatybės matrica.

Bet čia patogiau pasiimti

Mes randame naudodami bendrą sprendimą:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

I FSR sprendimas: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR tirpalas: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III FSR sprendimas: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Duota: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Raskite: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Sprendimas: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Atsakymas: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Tiesinė lygtis vadinama vienalytis, jei jo laisvasis narys lygus nuliui, o kitaip nehomogeniškas. Sistema, susidedanti iš vienarūšių lygčių, vadinama vienalyte ir turi bendra forma:

Akivaizdu, kad kiekviena vienalytė sistema yra nuosekli ir turi nulinį (trivialų) sprendimą. Todėl, pritaikius vienarūšėms tiesinių lygčių sistemoms, dažnai tenka ieškoti atsakymo į klausimą apie nulinių sprendinių egzistavimą. Atsakymas į šį klausimą gali būti suformuluotas kaip tokia teorema.

Teorema . Vienalytė tiesinių lygčių sistema turi nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai yra jo rangas mažesnis skaičius nežinomas .

Įrodymas: Tarkime, kad sistema, kurios rangas yra lygus, turi nulinį sprendimą. Akivaizdu, kad jis neviršija. Jei sistema turi unikalų sprendimą. Kadangi vienalyčių tiesinių lygčių sistema visada turi nulinį sprendimą, nulinis sprendimas bus šis unikalus sprendimas. Taigi nuliniai sprendimai galimi tik .

1 išvada : Vienalytė lygčių sistema, kurioje lygčių skaičius yra mažesnis už nežinomųjų skaičių, visada turi nulinį sprendinį.

Įrodymas: Jeigu lygčių sistema turi , tai sistemos rangas neviršija lygčių skaičiaus, t.y. . Taigi sąlyga yra įvykdyta, todėl sistema turi nulinį sprendimą.

2 išvada : Vienalytė lygčių sistema su nežinomaisiais turi nulinį sprendimą tada ir tik tada, kai jos determinantas yra nulis.

Įrodymas: Tarkime, kad tiesinių vienarūšių lygčių sistema, kurios matrica su determinantu , turi nulinį sprendinį. Tada, pagal įrodytą teoremą, ir tai reiškia, kad matrica yra vienaskaita, t.y. .

Kronecker-Capelli teorema: SLU yra nuoseklus tada ir tik tada, kai sistemos matricos rangas yra lygus šios sistemos išplėstinės matricos rangui. Sistema ur vadinama nuoseklia, jei ji turi bent vieną sprendimą.

Homogeninė tiesinių algebrinių lygčių sistema.

M tiesinių lygčių sistema su n kintamųjų vadinama tiesinių vienarūšių lygčių sistema, jei visi laisvieji nariai lygūs 0. Tiesinių vienarūšių lygčių sistema visada yra nuosekli, nes ji visada turi bent jau, nulinis sprendimas. Tiesinių vienarūšių lygčių sistema turi nulinį sprendinį tada ir tik tada, kai jos kintamųjų koeficientų matricos rangas yra mažesnis už kintamųjų skaičių, t.y. rangui A (n. Bet koks tiesinis derinys

Lin sistemos sprendimai. vienalytis. ur-ii taip pat yra šios sistemos sprendimas.

Tiesinių nepriklausomų sprendinių e1, e2,...,еk sistema vadinama fundamentalia, jeigu kiekvienas sistemos sprendinys yra tiesinis sprendinių derinys. Teorema: jei tiesinių vienarūšių lygčių sistemos kintamųjų koeficientų matricos rangas r yra mažesnis už kintamųjų skaičių n, tai kiekviena pagrindinė sistemos sprendinių sistema susideda iš n-r sprendimai. Todėl bendras tiesinės sistemos sprendimas. vieną dieną ur-th turi formą: c1e1+c2e2+...+skek, kur e1, e2,..., ek yra bet kokia pagrindinė sprendinių sistema, c1, c2,...,ck yra savavališki skaičiai ir k=n-r. M tiesinių lygčių sistemos su n kintamųjų bendras sprendinys yra lygus sumai

bendras sprendimas atitinkama sistema yra vienalytė. tiesines lygtis ir savavališką konkretų šios sistemos sprendimą.

7. Linijinės erdvės. Potarpiai. Pagrindas, matmuo. Linijinis apvalkalas. Linijinė erdvė vadinama n matmenų, jei joje yra tiesiškai nepriklausomų vektorių sistema, o bet kuri didesnio skaičiaus vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma. Skambina numeriu matmuo (matmenų skaičius) tiesinė erdvė ir žymima . Kitaip tariant, erdvės matmuo yra maksimalus šios erdvės tiesiškai nepriklausomų vektorių skaičius. Jei toks skaičius egzistuoja, tada erdvė vadinama baigtine. Jei kam natūralusis skaičius n erdvėje yra sistema, susidedanti iš tiesiškai nepriklausomų vektorių, tada tokia erdvė vadinama begalinės dimensijos (parašyta: ). Toliau, jei nenurodyta kitaip, bus nagrinėjamos baigtinių matmenų erdvės.

n-matės tiesinės erdvės pagrindas yra tvarkinga tiesiškai nepriklausomų vektorių rinkinys ( baziniai vektoriai).

8.1 teorema apie vektoriaus plėtimąsi pagrindu. Jei yra n-matės tiesinės erdvės pagrindas, tada bet kurį vektorių galima pavaizduoti kaip tiesinį bazinių vektorių derinį:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
ir, be to, vieninteliu būdu, t.y. koeficientai nustatomi vienareikšmiškai. Kitaip tariant, bet koks erdvės vektorius gali būti išplėstas į pagrindą ir, be to, unikaliu būdu.

Iš tiesų, erdvės matmuo yra . Vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma (tai yra pagrindas). Pridėjus bet kurį vektorių prie pagrindo, gauname tiesiškai priklausomą sistemą (kadangi ši sistema susideda iš n-matės erdvės vektorių). Naudodami 7 tiesiškai priklausomų ir tiesiškai nepriklausomų vektorių savybę, gauname teoremos išvadą.

Homogeninė tiesinių lygčių sistema virš lauko

APIBRĖŽIMAS. Pagrindinė lygčių sistemos (1) sprendinių sistema vadinama netuščiąja tiesine nepriklausoma sistema jos sprendiniai, kurių tiesinis intervalas sutampa su (1) sistemos visų sprendinių aibe.

Atkreipkite dėmesį, kad vienalytė tiesinių lygčių sistema, turinti tik nulinį sprendinį, neturi pagrindinės sprendinių sistemos.

PASIŪLYMAS 3.11. Bet kurios dvi pagrindinės vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendinių sistemos susideda iš to paties sprendinių skaičiaus.

Įrodymas. Tiesą sakant, bet kurios dvi pagrindinės vienalytės lygčių sistemos (1) sprendimų sistemos yra lygiavertės ir tiesiškai nepriklausomos. Todėl pagal 1.12 teiginį jų eilės yra lygios. Vadinasi, sprendinių, įtrauktų į vieną pagrindinę sistemą, skaičius yra lygus sprendinių, įtrauktų į bet kurią kitą pagrindinę sprendinių sistemą, skaičiui.

Jei vienalytės lygčių sistemos (1) pagrindinė matrica A yra lygi nuliui, tai bet kuris vektorius iš yra sistemos (1) sprendinys; šiuo atveju bet kuri tiesiškai nepriklausomų vektorių rinkinys yra pagrindinė sprendinių sistema. Jei matricos A stulpelio rangas yra lygus , tai sistema (1) turi tik vieną sprendinį – nulį; todėl šiuo atveju (1) lygčių sistema neturi fundamentalios sprendinių sistemos.

TEOREMA 3.12. Jei vienalytės tiesinių lygčių sistemos (1) pagrindinės matricos rangas yra mažesnis už kintamųjų skaičių , tai sistema (1) turi pagrindinę sprendinių sistemą, susidedančią iš sprendinių.

Įrodymas. Jei homogeninės sistemos (1) pagrindinės matricos A rangas yra lygus nuliui arba , tai aukščiau buvo parodyta, kad teorema yra teisinga. Todėl toliau daroma prielaida, kad darant prielaidą, kad pirmieji A matricos stulpeliai yra tiesiškai nepriklausomi. Šiuo atveju matrica A yra lygiavertė sumažintai laipsniškai matricai, o sistema (1) yra lygiagrečiai sekančiai sumažintai matricai žingsnių sistema lygtys:

Nesunku patikrinti, ar bet kuri sistemos (2) laisvųjų kintamųjų verčių sistema atitinka vieną ir tik vieną sistemos (2), taigi ir sistemos (1), sprendimą. Konkrečiai, tik sistemos (2) ir sistemos (1) nulinis sprendimas atitinka nulinių reikšmių sistemą.

Sistemoje (2) priskirsime vieną iš laisvųjų kintamųjų reikšmė, lygus 1, o likusių kintamųjų reikšmės yra nulis. Dėl to gauname lygčių sistemos (2) sprendinius, kuriuos užrašome šios matricos C eilučių pavidalu:

Šios matricos eilučių sistema yra tiesiškai nepriklausoma. Išties, bet kokiems skaliarams iš lygybės

seka lygybė

taigi ir lygybė

Įrodykime, kad matricos C eilučių sistemos tiesinis intervalas sutampa su visų sistemos (1) sprendinių aibe.

Savavališkas sistemos (1) sprendimas. Tada vektorius

taip pat yra sistemos (1) sprendimas ir