Mažiausios ir didžiausios funkcijos reikšmių paieškos atkarpoje procesas primena įspūdingą skrydį aplink objektą (funkcijos grafikas) sraigtasparniu, šaudant į tam tikrus taškus iš tolimojo pabūklo ir pasirenkant labai specialūs taškai iš šių taškų kontroliniams šūviams. Taškai parenkami tam tikru būdu ir pagal tam tikros taisyklės. Pagal kokias taisykles? Apie tai kalbėsime toliau.

Jei funkcija y = f(x) yra nuolatinis intervale [ a, b] , tada jis pasiekia šį segmentą mažiausiai Ir aukščiausios vertės . Tai gali įvykti tiek ekstremalūs taškai, arba segmento galuose. Todėl norint rasti mažiausiai Ir didžiausios funkcijos reikšmės , nuolatinis intervale [ a, b], turite apskaičiuoti jo reikšmes kritinius taškus ir segmento galuose, o tada iš jų pasirinkite mažiausią ir didžiausią.

Leiskite, pavyzdžiui, jums nustatyti didžiausia vertė funkcijas f(x) segmente [ a, b] . Norėdami tai padaryti, turite viską rasti kritinius taškus, Guli ant [ a, b] .

Kritinis taškas vadinamas tašku, kuriame apibrėžta funkcija, ir ji išvestinė arba lygus nuliui, arba neegzistuoja. Tada turėtumėte apskaičiuoti funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose. Ir galiausiai, reikėtų palyginti funkcijos reikšmę kritiniuose taškuose ir segmento galuose ( f(a) Ir f(b)). Didžiausias iš šių skaičių bus didžiausia segmento funkcijos reikšmė [a, b] .

Suradimo problemos mažiausios funkcijos reikšmės .

Kartu ieškome mažiausios ir didžiausios funkcijos reikšmių

1 pavyzdys. Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes segmente [-1, 2] .

Sprendimas. Raskite šios funkcijos išvestinę. Prilyginkime išvestinę nuliui () ir gausime du kritinius taškus: ir . Norint rasti mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes tam tikrame segmente, pakanka apskaičiuoti jos reikšmes atkarpos galuose ir taške, nes taškas nepriklauso atkarpai [-1, 2]. Šios funkcijos reikšmės yra: , , . Tai seka mažiausia vertė funkcijas(žemiau esančioje diagramoje pažymėta raudonai), lygus -7, pasiekiamas dešiniajame atkarpos gale - taške ir didžiausias(taip pat raudona grafike), lygi 9, - kritiniame taške.

Jei funkcija tam tikrame intervale yra ištisinė ir šis intervalas nėra atkarpa (bet yra, pavyzdžiui, intervalas; skirtumas tarp intervalo ir atkarpos: intervalo ribiniai taškai neįtraukiami į intervalą, o atkarpos ribiniai taškai įtraukiami į atkarpą), tada tarp funkcijos reikšmių gali nebūti mažiausio ir didžiausio. Taigi, pavyzdžiui, toliau esančiame paveikslėlyje parodyta funkcija yra nuolatinė ]-∞, +∞[ ir neturi didžiausios reikšmės.

Tačiau bet kokiam intervalui (uždarajam, atviram ar begaliniam) yra teisinga tokia nuolatinių funkcijų savybė.

4 pavyzdys. Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes segmente [-1, 3] .

Sprendimas. Šios funkcijos išvestinę randame kaip koeficiento išvestinę:

.

Išvestinę prilyginame nuliui, o tai suteikia mums vieną kritinį tašką: . Jis priklauso segmentui [-1, 3] . Norėdami rasti mažiausią ir didžiausią tam tikro segmento funkcijos reikšmes, randame jos reikšmes segmento galuose ir rastame kritiniame taške:

Palyginkime šias vertes. Išvada: lygi -5/13, taške ir didžiausia vertė lygus 1 taške .

Mes ir toliau kartu ieškome mažiausios ir didžiausios funkcijos reikšmių

Yra dėstytojų, kurie, siekdami rasti mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes, nepateikia studentams sudėtingesnių nei ką tik aptartų pavyzdžių, ty tų, kurių funkcija yra daugianario ar trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai. Tačiau tokiais pavyzdžiais neapsiribosime, nes tarp mokytojų yra tokių, kurie mėgsta priversti mokinius mąstyti visapusiškai (išvestinių lentelė). Todėl bus naudojamas logaritmas ir trigonometrinė funkcija.

6 pavyzdys. Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes segmente .

Sprendimas. Šios funkcijos išvestinę randame kaip produkto darinys :

Išvestinę prilyginame nuliui, kuri suteikia vieną kritinį tašką: . Tai priklauso segmentui. Norėdami rasti mažiausią ir didžiausią tam tikro segmento funkcijos reikšmes, randame jos reikšmes segmento galuose ir rastame kritiniame taške:

Visų veiksmų rezultatas: funkcija pasiekia mažiausią reikšmę, lygus 0, taške ir taške ir didžiausia vertė, lygus e², taške.

7 pavyzdys. Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes segmente .

Sprendimas. Raskite šios funkcijos išvestinę:

Išvestinę prilyginame nuliui:

Vienintelis kritinis taškas priklauso segmentui. Norėdami rasti mažiausią ir didžiausią tam tikro segmento funkcijos reikšmes, randame jos reikšmes segmento galuose ir rastame kritiniame taške:

Išvada: funkcija pasiekia mažiausią reikšmę, lygus , taške ir didžiausia vertė, lygus , taške .

Taikomose ekstremaliose problemose, ieškant mažiausių (maksimalių) funkcijos reikšmių, paprastai reikia rasti minimumą (maksimumą). Bet ne patys minimumai ar maksimumai yra labiau praktiški įdomūs, o tos argumento vertės, kuriomis jos pasiekiamos. Sprendžiant taikomąsias problemas, iškyla papildomas sunkumas – funkcijų, apibūdinančių nagrinėjamą reiškinį ar procesą, sudarymas.

8 pavyzdys. 4 talpos bakas, gretasienio formos su kvadratiniu pagrindu ir atviras viršuje, turi būti skarduotas. Kokio dydžio turi būti bakas, kad jai uždengti būtų sunaudojama kuo mažiau medžiagos?

Sprendimas. Leisti x- pagrindo pusė, h- bako aukštis, S- jo paviršiaus plotas be dangos, V- jo tūris. Bako paviršiaus plotas išreiškiamas formule, t.y. yra dviejų kintamųjų funkcija. Išreikšti S kaip vieno kintamojo funkciją, mes naudojame tai, kad , iš kur . Rastos išraiškos pakeitimas hį formulę S:

Panagrinėkime šią funkciją iki jos kraštutinumo. Jis visur apibrėžiamas ir diferencijuojamas ]0, +∞[ ir

.

Išvestinę prilyginame nuliui () ir randame kritinį tašką. Be to, kai išvestinė neegzistuoja, bet ši reikšmė nėra įtraukta į apibrėžimo sritį ir todėl negali būti ekstremumo taškas. Taigi, tai yra vienintelis kritinis taškas. Patikrinkime, ar nėra ekstremumo, naudodami antrąjį pakankamo ženklą. Raskime antrąją išvestinę. Kai antroji išvestinė didesnė už nulį (). Tai reiškia, kad funkcijai pasiekus minimumą . Nuo šio minimumas yra vienintelis šios funkcijos ekstremumas, tai yra mažiausia jos reikšmė. Taigi, bako pagrindo šonas turi būti 2 m, o jo aukštis - .

9 pavyzdys. Iš taško A esantis prie geležinkelio linijos, iki taško SU, esantis atokiau nuo jo l, krovinys turi būti vežamas. Svorio vieneto gabenimo atstumo vienetui kaina geležinkeliu lygi , o greitkeliu lygi . Iki kokio taško M linijos geležinkelis reikėtų nutiesti greitkelį kroviniams gabenti A V SU buvo ekonomiškiausias (skyrius AB Manoma, kad geležinkelis yra tiesus)?

Dažnai fizikoje ir matematikoje reikia rasti mažiausią funkcijos reikšmę. Dabar mes jums pasakysime, kaip tai padaryti.

Kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę: instrukcijos

1. Norėdami apskaičiuoti mažiausią vertę nuolatinė funkcija tam tikrame segmente turite vadovautis šiuo algoritmu:
2. Raskite funkcijos išvestinę.
3. Raskite tam tikroje atkarpoje taškus, kuriuose išvestinė lygi nuliui, taip pat visus kritinius taškus. Tada sužinokite funkcijos reikšmes šiuose taškuose, tai yra, išspręskite lygtį, kur x yra lygus nuliui. Sužinokite, kuri vertė yra mažiausia.
4. Nustatykite, kokią reikšmę turi funkcija galiniuose taškuose. Nustatykite mažiausią funkcijos reikšmę šiuose taškuose.
5. Palyginkite gautus duomenis su mažiausia verte. Mažiausias iš gautų skaičių bus mažiausia funkcijos reikšmė.

Atminkite, kad jei segmento funkcija neturi mažiausius taškus, tai reiškia, kad tam tikrame segmente jis didėja arba mažėja. Todėl mažiausia reikšmė turėtų būti apskaičiuojama baigtiniuose funkcijos segmentuose.

Visais kitais atvejais funkcijos reikšmė apskaičiuojama pagal nurodytą algoritmą. Kiekviename algoritmo taške turėsite išspręsti paprastą tiesinė lygtis su viena šaknimi. Išspręskite lygtį naudodami paveikslėlį, kad išvengtumėte klaidų.

Kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę pusiau atvirame segmente? Funkcijos pusiau atvirame arba atvirame periode mažiausią reikšmę reikia rasti taip. Funkcijos reikšmės galiniuose taškuose apskaičiuokite funkcijos vienpusę ribą. Kitaip tariant, išspręskite lygtį, kurioje tendencijos taškai pateikiami reikšmėmis a+0 ir b+0, kur a ir b yra kritinių taškų pavadinimai.

Dabar žinote, kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę. Svarbiausia yra atlikti visus skaičiavimus teisingai, tiksliai ir be klaidų.

Šiame straipsnyje kalbėsiu apie didžiausios ir mažiausios reikšmės paieškos algoritmas funkcija, minimalūs ir didžiausi taškai.

Teoriškai tai mums tikrai bus naudinga išvestinė lentelė Ir diferenciacijos taisyklės. Viskas šioje plokštelėje:

Algoritmas ieškant didžiausios ir mažiausios reikšmės.

Man patogiau paaiškinti konkretus pavyzdys. Apsvarstykite:

Pavyzdys: Raskite didžiausią funkcijos y=x^5+20x^3–65x reikšmę atkarpoje [–4;0].

1 žingsnis. Imame išvestinę.

Y" = (x^5 + 20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

2 žingsnis. Ekstremalumo taškų paieška.

Ekstremalus taškas vadiname tuos taškus, kuriuose funkcija pasiekia didžiausią arba mažiausią reikšmę.

Norėdami rasti ekstremumo taškus, funkcijos išvestinę turite prilyginti nuliui (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Dabar išsprendžiame šią bikvadratinę lygtį ir rastos šaknys yra mūsų ekstremumo taškai.

Tokias lygtis išsprendžiu pakeisdamas t = x^2, tada 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Sumažinkime lygtį 5, gausime: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 – 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + kvadratas (196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - kvadratas (196)) / 2 = (-12 - 14) / 2 = -13

Atliekame atvirkštinį pakeitimą x^2 = t:

X_(1 ir 2) = ± kvadratas (1) = ±1
x_(3 ir 4) = ±sqrt(-13) (atmetame, negali būti neigiamus skaičius, nebent, žinoma, kalbame apie kompleksinius skaičius)

Iš viso: x_(1) = 1 ir x_(2) = -1 – tai mūsų ekstremumo taškai.

3 veiksmas. Nustatykite didžiausią ir mažiausią vertę.

Pakeitimo metodas.

Esant sąlygai, mums buvo suteiktas segmentas [b][–4;0]. Taškas x=1 į šį segmentą neįtrauktas. Taigi mes to nesvarstome. Bet be taško x=-1, turime atsižvelgti ir į kairę ir dešinė kraštinė mūsų atkarpos, tai yra taškai -4 ir 0. Norėdami tai padaryti, visus šiuos tris taškus pakeičiame pradine funkcija. Atkreipkite dėmesį, kad pirminis yra tas, kuris pateiktas sąlygoje (y=x^5+20x^3–65x), kai kurie žmonės pradeda jį pakeisti išvestine...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024-1280 + 260 = -2044

Tai reiškia, kad didžiausia funkcijos reikšmė yra [b]44 ir ji pasiekiama taške [b]-1, kuris vadinamas maksimaliu funkcijos tašku atkarpoje [-4; 0].

Nusprendėme ir gavome atsakymą, mes puikūs, galite atsipalaiduoti. Bet sustok! Ar nemanote, kad apskaičiuoti y(-4) yra kažkaip per sunku? Riboto laiko sąlygomis geriau naudoti kitą metodą, aš jį vadinu taip:

Per ženklų pastovumo intervalus.

Šie intervalai randami funkcijos išvestinei, tai yra mūsų bikvadratinei lygčiai.

Aš tai darau taip. Nupiešiu nukreiptą segmentą. Aš dedu taškus: -4, -1, 0, 1. Nepaisant to, kad 1 nėra įtrauktas į pateiktą segmentą, vis tiek reikia įsidėmėti, kad būtų galima teisingai nustatyti ženklo pastovumo intervalus. Paimkime kokį nors skaičių, daug kartų didesnį už 1, tarkime 100, ir mintyse pakeiskime jį į mūsų bikvadratinę lygtį 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Net ir nieko neskaičiuojant tampa akivaizdu, kad 100 taške funkcija turi pliuso ženklą. Tai reiškia, kad intervalams nuo 1 iki 100 jis turi pliuso ženklą. Eidami per 1 (einame iš dešinės į kairę), funkcija pakeis ženklą į minusą. Pereidama per tašką 0, funkcija išsaugos savo ženklą, nes tai tik atkarpos riba, o ne lygties šaknis. Perėjus per -1, funkcija vėl pakeis ženklą į pliusą.

Iš teorijos žinome, kad kur yra funkcijos išvestinė (ir mes tai nubrėžėme būtent jai) pakeičia ženklą iš pliuso į minusą (mūsų atveju taškas -1) funkcija pasiekia jo vietinis maksimumas (y(-1) = 44, kaip apskaičiuota anksčiau)šiame segmente (logiškai labai suprantama, funkcija nustojo didėti, nes pasiekė maksimumą ir pradėjo mažėti).

Atitinkamai, kur funkcijos išvestinė pakeičia ženklą iš minuso į pliusą, pasiektas funkcijos lokalus minimumas. Taip, taip, mes taip pat nustatėme, kad vietinis minimalus taškas yra 1, o y(1) yra mažiausia funkcijos reikšmė atkarpoje, tarkime, nuo -1 iki +∞. Atminkite, kad tai tik VIETINIS MINIMALUMAS, ty minimumas tam tikrame segmente. Kadangi realusis (pasaulinis) funkcijos minimumas pasieks kažkur ten, ties -∞.

Mano nuomone, pirmasis metodas yra paprastesnis teoriškai, o antrasis – paprastesnis aritmetinių operacijų požiūriu, bet daug sudėtingesnis teorijos požiūriu. Juk kartais pasitaiko atvejų, kai eidama pro lygties šaknį funkcija nekeičia ženklo ir apskritai gali susipainioti su šiomis vietinėmis, globaliomis maksimumomis ir minimumais, nors vis tiek teks tai gerai įsisavinti, jei planuoji stoti į technikos universitetą (o kam dar laikyti profilinį vieningą valstybinį egzaminą ir išspręsti šią užduotį). Tačiau praktika ir tik praktika išmokys tokias problemas išspręsti kartą ir visiems laikams. Ir jūs galite treniruotis mūsų svetainėje. čia .

Jei turite klausimų ar kažkas neaišku, būtinai klauskite. Mielai jums atsakysiu ir pakeisiu bei papildysiu straipsnį. Atminkite, kad šią svetainę kuriame kartu!

Pažiūrėkime, kaip išnagrinėti funkciją naudojant grafiką. Pasirodo, kad pažvelgę ​​į grafiką galime sužinoti viską, kas mus domina, būtent:

• funkcijos sritis
• funkcijų diapazonas
• funkcijos nuliai
• didėjimo ir mažėjimo intervalai
• maksimalus ir minimalus balas
• didžiausia ir mažiausia segmento funkcijos reikšmė.

Paaiškinkime terminologiją:

Abscisė yra taško horizontalioji koordinatė.
Ordinatė- vertikali koordinatė.
Abscisių ašis- horizontalioji ašis, dažniausiai vadinama ašimi.
Y ašis- vertikali ašis arba ašis.

Argumentas- nepriklausomas kintamasis, nuo kurio priklauso funkcijos reikšmės. Dažniausiai nurodoma.
Kitaip tariant, pasirenkame , pakeičiame funkcijas į formulę ir gauname .

Domenas Funkcijos - tų (ir tik tų) argumentų reikšmių, kurioms funkcija egzistuoja, rinkinys.
Nurodoma: arba .

Mūsų paveiksle funkcijos apibrėžimo sritis yra segmentas. Būtent šiame segmente nubraižytas funkcijos grafikas. Tai vienintelė vieta, kur egzistuoja ši funkcija.

Funkcijų diapazonas yra reikšmių rinkinys, kurį turi kintamasis. Mūsų paveiksle tai yra segmentas - nuo mažiausios iki didžiausios vertės.

Funkcijos nuliai- taškai, kuriuose funkcijos reikšmė lygi nuliui, tai yra. Mūsų paveiksle tai yra taškai ir .

Funkcijų reikšmės yra teigiamos kur . Mūsų paveiksle tai yra intervalai ir .
Funkcijų reikšmės yra neigiamos kur . Mums tai yra intervalas (arba intervalas) nuo iki .

Svarbiausios sąvokos - didina ir mažina funkciją kažkokiame rinkinyje. Kaip rinkinį galite paimti atkarpą, intervalą, intervalų junginį arba visą skaičių eilutę.

Funkcija dideja

Kitaip tariant, kuo daugiau , tuo daugiau , tai yra, grafikas eina į dešinę ir į viršų.

Funkcija mažėja ant rinkinio, jei bet ir priklausantis rinkiniui, nelygybė reiškia nelygybę .

Dėl mažėjančios funkcijos didesnę vertę atitinka mažesnę vertę. Grafikas eina į dešinę ir žemyn.

Mūsų paveiksle funkcija didėja intervale ir mažėja intervalais ir .

Apibrėžkime, kas tai yra maksimalus ir minimalus funkcijos taškai.

Maksimalus taškas- tai vidinis apibrėžimo srities taškas, kuriame funkcijos reikšmė yra didesnė nei visuose pakankamai arti jo esančiuose taškuose.
Kitaip tariant, maksimalus taškas yra taškas, kuriame funkcijos reikšmė daugiau nei kaimyninėse. Tai vietinė „kalva“ diagramoje.

Mūsų paveiksle yra maksimalus taškas.

Minimalus taškas- vidinis apibrėžimo srities taškas, kuriame funkcijos reikšmė yra mažesnė nei visuose pakankamai artimuose taškuose.
Tai yra, minimalus taškas yra toks, kad funkcijos reikšmė jame yra mažesnė nei jos kaimynėse. Tai vietinė „skylė“ grafike.

Mūsų paveiksle yra minimalus taškas.

Esmė yra riba. Tai nėra vidinis apibrėžimo srities taškas ir todėl netinka maksimalaus taško apibrėžimui. Juk kairėje kaimynų ji neturi. Lygiai taip pat mūsų diagramoje negali būti minimalaus taško.

Didžiausias ir mažiausias taškai kartu vadinami funkcijos ekstremalūs taškai. Mūsų atveju tai yra ir .

Ką daryti, jei reikia rasti, pvz. minimali funkcija segmente? Šiuo atveju atsakymas yra toks:. Nes minimali funkcija yra jo vertė minimaliame taške.

Panašiai mūsų funkcijos maksimumas yra . Jis pasiekiamas taške.

Galime sakyti, kad funkcijos ekstremumai yra lygūs ir .

Kartais reikia rasti problemų didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės tam tikrame segmente. Jie nebūtinai sutampa su kraštutinumais.

Mūsų atveju mažiausia funkcijos reikšmė atkarpoje yra lygus ir sutampa su funkcijos minimumu. Tačiau didžiausia jo vertė šiame segmente yra lygi . Jis pasiekiamas kairiajame segmento gale.

Bet kokiu atveju didžiausios ir mažiausios ištisinės funkcijos reikšmės segmente pasiekiamos ekstremaliuose taškuose arba atkarpos galuose.

Su šia paslauga galite Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę vienas kintamasis f(x) su Word formatu suformatuotu sprendimu. Jei duota funkcija f(x,y), tai reikia rasti dviejų kintamųjų funkcijos ekstremumą. Taip pat galite rasti funkcijų didinimo ir mažėjimo intervalus.

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę

y=

segmente [ ;]

Įtraukti teoriją

Funkcijų įvedimo taisyklės:

Vieno kintamojo funkcijos ekstremumo būtina sąlyga

Lygtis f" 0 (x *) = 0 yra būtina sąlyga vieno kintamojo funkcijos ekstremumas, t.y. taške x * pirmoji funkcijos išvestinė turi išnykti. Jis nustato stacionarius taškus x c, kuriuose funkcija nedidėja arba nemažėja.

Pakankama vieno kintamojo funkcijos ekstremumo sąlyga

Tegu f 0 (x) yra du kartus diferencijuojamas aibei D priklausančio x atžvilgiu. Jei taške x * įvykdoma sąlyga:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Tada taškas x * yra funkcijos lokalaus (pasaulio) minimumo taškas.

Jei taške x * įvykdoma sąlyga:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Tada taškas x * yra vietinis (pasaulinis) maksimumas.

1 pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes: segmente.
Sprendimas.

Kritinis taškas yra vienas x 1 = 2 (f’(x)=0). Šis taškas priklauso segmentui. (Taškas x=0 nėra kritinis, nes 0∉).
Apskaičiuojame funkcijos reikšmes segmento galuose ir kritiniame taške.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Atsakymas: f min = 5/2, kai x=2; f max = 9 ties x = 1

2 pavyzdys. Naudodami aukštesnės eilės išvestines, raskite funkcijos y=x-2sin(x) ekstremumą.
Sprendimas.
Raskite funkcijos išvestinę: y’=1-2cos(x) . Raskime kritinius taškus: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Randame y’’=2sin(x), apskaičiuojame , o tai reiškia, kad x= π / 3 +2πk, k∈Z yra minimalūs funkcijos taškai; , o tai reiškia, kad x=- π / 3 +2πk, k∈Z yra didžiausi funkcijos taškai.

3 pavyzdys. Ištirkite ekstremumo funkciją taško x=0 aplinkoje.
Sprendimas. Čia reikia rasti funkcijos kraštutinumą. Jei ekstremumas x=0, tada išsiaiškinkite jo tipą (minimalus arba maksimalus). Jei tarp rastų taškų nėra x = 0, tada apskaičiuokite funkcijos f(x=0) reikšmę.
Pažymėtina, kad kai išvestinė kiekvienoje duoto taško pusėje nekeičia savo ženklo, galimos situacijos nėra išnaudotos net diferencijuojamoms funkcijoms: gali atsitikti taip, kad savavališkai mažai kaimynystėje vienoje taško pusėje x 0 arba abiejose pusėse išvestinės keičiasi ženklas. Šiuose taškuose būtina naudoti kitus metodus, kad būtų galima ištirti ekstremumo funkcijas.