Su šia paslauga galite Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę vienas kintamasis f(x) su Word formatu suformatuotu sprendimu. Jei duota funkcija f(x,y), tai reikia rasti dviejų kintamųjų funkcijos ekstremumą. Taip pat galite rasti funkcijų didinimo ir mažėjimo intervalus.

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę

y =

segmente [ ;]

Įtraukti teoriją

Funkcijų įvedimo taisyklės:

Vieno kintamojo funkcijos ekstremumo būtina sąlyga

Lygtis f" 0 (x *) = 0 yra būtina sąlyga vieno kintamojo funkcijos ekstremumas, t.y. taške x * pirmoji funkcijos išvestinė turi išnykti. Jis nustato stacionarius taškus x c, kuriuose funkcija nedidėja arba nemažėja.

Pakankama vieno kintamojo funkcijos ekstremumo sąlyga

Tegu f 0 (x) yra du kartus diferencijuojamas aibei D priklausančio x atžvilgiu. Jei taške x * įvykdoma sąlyga:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Tada taškas x * yra lokalus (pasaulinis) funkcijos minimumas.

Jei taške x * įvykdoma sąlyga:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Tada taškas x * yra vietinis (pasaulinis) maksimumas.

1 pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes: segmente.
Sprendimas.

Kritinis taškas yra vienas x 1 = 2 (f’(x)=0). Šis taškas priklauso segmentui. (Taškas x=0 nėra kritinis, nes 0∉).
Apskaičiuojame funkcijos reikšmes segmento galuose ir kritiniame taške.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Atsakymas: f min = 5/2, kai x=2; f max = 9 ties x = 1

2 pavyzdys. Naudodami aukštesnės eilės išvestines, raskite funkcijos y=x-2sin(x) ekstremumą.
Sprendimas.
Raskite funkcijos išvestinę: y’=1-2cos(x) . Raskime kritinius taškus: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Randame y’’=2sin(x), apskaičiuojame , o tai reiškia, kad x= π / 3 +2πk, k∈Z yra funkcijos minimalūs taškai; , o tai reiškia, kad x=- π / 3 +2πk, k∈Z yra didžiausi funkcijos taškai.

3 pavyzdys. Ištirkite ekstremumo funkciją taško x=0 aplinkoje.
Sprendimas. Čia reikia rasti funkcijos kraštutinumą. Jei ekstremumas x=0, tada išsiaiškinkite jo tipą (minimalus arba maksimalus). Jei tarp rastų taškų nėra x = 0, tada apskaičiuokite funkcijos f(x=0) reikšmę.
Pažymėtina, kad kai išvestinė kiekvienoje duoto taško pusėje nekeičia savo ženklo, galimos situacijos nėra išnaudotos net diferencijuojamoms funkcijoms: gali atsitikti taip, kad savavališkai mažai kaimynystėje vienoje taško pusėje x 0 arba abiejose pusėse išvestinės keičiasi ženklas. Šiuose taškuose būtina naudoti kitus metodus, kad būtų galima ištirti ekstremumo funkcijas.

Standartinis tokių uždavinių sprendimo algoritmas apima, suradus funkcijos nulius, nustatomi išvestinės intervaluose ženklai. Tada apskaičiuojamos reikšmės rastuose maksimaliuose (arba mažiausiuose) taškuose ir intervalo ribose, priklausomai nuo to, koks klausimas yra sąlygoje.

Patariu viską daryti kiek kitaip. Kodėl? Aš rašiau apie tai.

Tokias problemas siūlau spręsti taip:

1. Raskite išvestinę.
2. Raskite išvestinės nulius.
3. Nustatykite, kurie iš jų priklauso šiam intervalui.
4. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes 3 žingsnio intervalo ir taškų ribose.
5. Padarome išvadą (atsakome į pateiktą klausimą).

Sprendžiant pateiktus pavyzdžius sprendimas nebuvo detaliai svarstomas kvadratines lygtis, jūs turite sugebėti tai padaryti. Jie taip pat turėtų žinoti.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

77422. Raskite didžiausią funkcijos y=x reikšmę 3 –3x+4 atkarpoje [–2;0].

Raskime išvestinės nulius:

Taškas x = –1 priklauso sąlygoje nurodytam intervalui.

Apskaičiuojame funkcijos reikšmes taškuose –2, –1 ir 0:

Didžiausia funkcijos reikšmė yra 6.

Atsakymas: 6

77425. Raskite atkarpoje mažiausią funkcijos y = x 3 – 3x 2 + 2 reikšmę.

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius:

Taškas x = 2 priklauso sąlygoje nurodytam intervalui.

Apskaičiuojame funkcijos reikšmes 1, 2 ir 4 taškuose:

Mažiausia funkcijos reikšmė –2.

Atsakymas: -2

77426. Raskite atkarpoje [–3;3] didžiausią funkcijos y = x 3 – 6x 2 reikšmę.

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius:

Sąlygoje nurodytame intervale yra taškas x = 0.

Apskaičiuojame funkcijos reikšmes taškuose –3, 0 ir 3:

Mažiausia funkcijos reikšmė yra 0.

Atsakymas: 0

77429. Raskite atkarpoje mažiausią funkcijos y = x 3 – 2x 2 + x +3 reikšmę.

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Gauname šaknis: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Sąlygoje nurodytame intervale yra tik x = 1.

Raskime funkcijos reikšmes 1 ir 4 taškuose:

Mes nustatėme, kad mažiausia funkcijos reikšmė yra 3.

Atsakymas: 3

77430. Raskite didžiausią funkcijos y = x 3 + 2x 2 + x + 3 reikšmę atkarpoje [– 4; -1].

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius ir išspręskime kvadratinę lygtį:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Paimkime šaknis:

Sąlygoje nurodytame intervale yra šaknis x = –1.

Funkcijos reikšmes randame taškuose –4, –1, –1/3 ir 1:

Mes nustatėme, kad didžiausia funkcijos reikšmė yra 3.

Atsakymas: 3

77433. Raskite atkarpoje mažiausią funkcijos y = x 3 – x 2 – 40x +3 reikšmę.

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius ir išspręskime kvadratinę lygtį:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Paimkime šaknis:

Sąlygoje nurodytame intervale yra šaknis x = 4.

Raskite funkcijų reikšmes taškuose 0 ir 4:

Nustatėme, kad mažiausia funkcijos reikšmė yra –109.

Atsakymas: –109

Panagrinėkime metodą, kaip nustatyti didžiausią ir mažiausia vertė funkcijos be išvestinės. Šis metodas gali būti naudojamas, jei turite didelių problemų. Principas paprastas - visas sveikųjų skaičių reikšmes iš intervalo pakeičiame į funkciją (faktas yra tas, kad visuose tokiuose prototipuose atsakymas yra sveikasis skaičius).

77437. Raskite atkarpoje [–2;2] mažiausią funkcijos y=7+12x–x 3 reikšmę.

Pakeiskite taškus nuo –2 iki 2: Žiūrėti sprendimą

77434. Raskite atkarpoje [–2;0] didžiausią funkcijos y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 reikšmę.

Tai viskas. Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente?

Už tai vadovaujamės gerai žinomu algoritmu:

1 . ODZ funkcijų paieška.

2 . Funkcijos išvestinės radimas

3 . Išvestinės prilyginimas nuliui

4 . Randame intervalus, per kuriuos išvestinė išlaiko savo ženklą, ir iš jų nustatome funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus:

Jei I intervale funkcijos išvestinė yra 0" title="f^(pirminis)(x)>0">, то функция !} per šį intervalą didėja.

Jei intervale I funkcijos išvestinė , tai funkcija per šį intervalą mažėja.

5 . Mes randame maksimalus ir minimalus funkcijos taškai.

IN maksimaliame funkcijos taške išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „-“.

IN minimalus funkcijos taškasišvestinė keičia ženklą iš „-“ į „+“.

6 . Funkcijos reikšmę randame segmento galuose,

• tada lyginame funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir maksimaliuose taškuose, ir pasirinkite didžiausią iš jų, jei reikia rasti didžiausią funkcijos reikšmę
• arba palyginkite funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir minimaliuose taškuose, ir pasirinkite mažiausią iš jų, jei reikia rasti mažiausią funkcijos reikšmę

Tačiau priklausomai nuo to, kaip funkcija veikia segmente, šis algoritmas gali būti žymiai sumažintas.

Apsvarstykite funkciją . Šios funkcijos grafikas atrodo taip:

Pažvelkime į keletą „Open Task Bank for“ problemų sprendimo pavyzdžių

1 . Užduotis B15 (Nr. 26695)

Ant segmento.

1. Funkcija apibrėžta visoms tikrosioms x reikšmėms

Akivaizdu, kad ši lygtis neturi sprendinių, o išvestinė yra teigiama visoms x reikšmėms. Vadinasi, funkcija didėja ir įgauna didžiausią reikšmę dešiniajame intervalo gale, ty esant x=0.

Atsakymas: 5.

2 . Užduotis B15 (Nr. 26702)

Raskite didžiausią funkcijos reikšmę segmente.

1. ODZ funkcijos title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Išvestinė yra lygi nuliui ties , tačiau šiuose taškuose ji nekeičia ženklo:

Todėl title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} padidėja ir įgauna didžiausią reikšmę dešinėje intervalo pabaigoje, ties .

Kad būtų akivaizdu, kodėl išvestinė nekeičia ženklo, išvestinės išraišką transformuojame taip:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Atsakymas: 5.

3. Užduotis B15 (Nr. 26708)

Raskite mažiausią funkcijos reikšmę segmente.

1. ODZ funkcijos: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Padėkime šios lygties šaknis ant trigonometrinio apskritimo.

Intervalą sudaro du skaičiai: ir

Pastatykime ženklus. Norėdami tai padaryti, nustatome išvestinės ženklą taške x=0: . Einant per taškus ir, išvestinė keičia ženklą.

Pavaizduokime funkcijos išvestinės ženklų kitimą koordinačių tiesėje:

Akivaizdu, kad taškas yra minimalus taškas (kuriame išvestinė keičia ženklą iš „-“ į „+“), o norėdami rasti mažiausią funkcijos reikšmę segmente, turite palyginti funkcijos reikšmes minimalus taškas ir kairiajame atkarpos gale, .

Šiame straipsnyje kalbėsiu apie didžiausios ir mažiausios reikšmės paieškos algoritmas funkcijos, minimalūs ir didžiausi taškai.

Teoriškai tai mums tikrai bus naudinga išvestinė lentelė Ir diferenciacijos taisyklės. Viskas šioje plokštelėje:

Algoritmas ieškant didžiausios ir mažiausios reikšmės.

Man patogiau paaiškinti konkretus pavyzdys. Apsvarstykite:

Pavyzdys: Raskite didžiausią funkcijos y=x^5+20x^3–65x reikšmę atkarpoje [–4;0].

1 žingsnis. Imame išvestinę.

Y" = (x^5 + 20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

2 žingsnis. Ekstremalumo taškų paieška.

Ekstremalus taškas vadiname tuos taškus, kuriuose funkcija pasiekia didžiausią arba mažiausią reikšmę.

Norėdami rasti ekstremumo taškus, funkcijos išvestinę turite prilyginti nuliui (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Dabar išsprendžiame šią bikvadratinę lygtį, o rastos šaknys yra mūsų ekstremumo taškai.

Tokias lygtis išsprendžiu pakeisdamas t = x^2, tada 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Sumažinkime lygtį 5, gausime: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 – 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + kvadratas (196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - kvadratas (196)) / 2 = (-12 - 14) / 2 = -13

Atliekame atvirkštinį pakeitimą x^2 = t:

X_(1 ir 2) = ± kvadratas (1) = ±1
x_(3 ir 4) = ±sqrt(-13) (atmetame, negali būti neigiami skaičiai, nebent, žinoma, kalbame apie kompleksinius skaičius)

Iš viso: x_(1) = 1 ir x_(2) = -1 – tai mūsų ekstremumo taškai.

3 veiksmas. Nustatykite didžiausią ir mažiausią vertę.

Pakeitimo metodas.

Esant sąlygai, mums buvo suteiktas segmentas [b][–4;0]. Taškas x=1 į šį segmentą neįtrauktas. Taigi mes to nesvarstome. Bet be taško x=-1, turime atsižvelgti ir į kairę ir dešinė kraštinė mūsų atkarpos, tai yra taškai -4 ir 0. Norėdami tai padaryti, visus šiuos tris taškus pakeičiame pradine funkcija. Atkreipkite dėmesį, kad pirminis yra tas, kuris pateiktas sąlygoje (y=x^5+20x^3–65x), kai kurie žmonės pradeda jį pakeisti išvestiniu...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024-1280 + 260 = -2044

Tai reiškia, kad didžiausia funkcijos reikšmė yra [b]44 ir ji pasiekiama taške [b]-1, kuris vadinamas maksimaliu funkcijos tašku atkarpoje [-4; 0].

Nusprendėme ir gavome atsakymą, mes puikūs, galite atsipalaiduoti. Bet sustok! Ar nemanote, kad apskaičiuoti y(-4) yra kažkaip per sunku? Riboto laiko sąlygomis geriau naudoti kitą metodą, aš jį vadinu taip:

Per ženklų pastovumo intervalus.

Šie intervalai randami funkcijos išvestinei, tai yra mūsų bikvadratinei lygčiai.

Aš tai darau taip. Nupiešiu nukreiptą segmentą. Aš dedu taškus: -4, -1, 0, 1. Nepaisant to, kad 1 nėra įtrauktas į pateiktą segmentą, vis tiek reikia įsidėmėti, kad būtų galima teisingai nustatyti ženklo pastovumo intervalus. Paimkime kokį nors skaičių, daug kartų didesnį už 1, tarkime 100, ir mintyse pakeiskime jį į mūsų bikvadratinę lygtį 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Net ir nieko neskaičiuojant tampa akivaizdu, kad 100 taške funkcija turi pliuso ženklą. Tai reiškia, kad intervalams nuo 1 iki 100 jis turi pliuso ženklą. Eidami per 1 (einame iš dešinės į kairę), funkcija pakeis ženklą į minusą. Einant per tašką 0, funkcija išsaugos savo ženklą, nes tai tik atkarpos riba, o ne lygties šaknis. Perėjus per -1, funkcija vėl pakeis ženklą į pliusą.

Iš teorijos žinome, kad kur yra funkcijos išvestinė (ir mes tai nubrėžėme būtent jai) pakeičia ženklą iš pliuso į minusą (mūsų atveju taškas -1) funkcija pasiekia jo vietinis maksimumas (y(-1) = 44, kaip apskaičiuota anksčiau)šiame segmente (logiškai labai suprantama, funkcija nustojo didėti, nes pasiekė maksimumą ir pradėjo mažėti).

Atitinkamai, kur funkcijos išvestinė pakeičia ženklą iš minuso į pliusą, pasiektas funkcijos lokalus minimumas. Taip, taip, mes taip pat nustatėme, kad vietinis minimalus taškas yra 1, o y(1) yra mažiausia funkcijos reikšmė atkarpoje, tarkime, nuo -1 iki +∞. Atminkite, kad tai tik VIETINIS MINIMALUMAS, ty minimumas tam tikrame segmente. Kadangi realusis (pasaulinis) funkcijos minimumas pasieks kažkur ten, ties -∞.

Mano nuomone, pirmasis metodas yra paprastesnis teoriškai, o antrasis – paprastesnis aritmetinių operacijų požiūriu, bet daug sudėtingesnis teorijos požiūriu. Juk kartais pasitaiko atvejų, kai eidama pro lygties šaknį funkcija nekeičia ženklo ir apskritai gali susipainioti su šiomis lokalinėmis, globaliomis maksimumomis ir minimumais, nors vis tiek teks tai gerai įsisavinti, jei planuoji stoti į technikos universitetą (o kam dar laikyti profilinį vieningą valstybinį egzaminą ir išspręsti šią užduotį). Tačiau praktika ir tik praktika išmokys tokias problemas išspręsti kartą ir visiems laikams. Ir jūs galite treniruotis mūsų svetainėje. čia .

Jei turite klausimų ar kažkas neaišku, būtinai klauskite. Mielai jums atsakysiu ir pakeisiu bei papildysiu straipsnį. Atminkite, kad šią svetainę kuriame kartu!

Dažnai fizikoje ir matematikoje reikia rasti mažiausią funkcijos reikšmę. Dabar mes jums pasakysime, kaip tai padaryti.

Kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę: instrukcijos

1. Norėdami apskaičiuoti mažiausią vertę nuolatinė funkcija tam tikrame segmente turite vadovautis šiuo algoritmu:
2. Raskite funkcijos išvestinę.
3. Raskite tam tikroje atkarpoje taškus, kuriuose išvestinė yra lygi nuliui, taip pat visus kritinius taškus. Tada sužinokite funkcijos reikšmes šiuose taškuose, tai yra, išspręskite lygtį, kur x yra lygus nuliui. Sužinokite, kuri vertė yra mažiausia.
4. Nustatykite, kokią reikšmę turi funkcija galiniuose taškuose. Nustatykite mažiausią funkcijos reikšmę šiuose taškuose.
5. Palyginkite gautus duomenis su mažiausia verte. Mažiausias iš gautų skaičių bus mažiausia funkcijos reikšmė.

Atminkite, kad jei segmento funkcija neturi mažiausius taškus, tai reiškia, kad tam tikrame segmente jis didėja arba mažėja. Todėl mažiausia reikšmė turėtų būti apskaičiuojama baigtiniuose funkcijos segmentuose.

Visais kitais atvejais funkcijos reikšmė apskaičiuojama pagal nurodytą algoritmą. Kiekviename algoritmo taške turėsite išspręsti paprastą tiesinė lygtis su viena šaknimi. Išspręskite lygtį naudodami paveikslėlį, kad išvengtumėte klaidų.

Kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę pusiau atvirame segmente? Funkcijos pusiau atvirame arba atvirame periode mažiausią reikšmę reikia rasti taip. Funkcijos reikšmės galiniuose taškuose apskaičiuokite funkcijos vienpusę ribą. Kitaip tariant, išspręskite lygtį, kurioje krypties taškai pateikiami reikšmėmis a+0 ir b+0, kur a ir b yra pavadinimai kritinius taškus.

Dabar žinote, kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę. Svarbiausia yra atlikti visus skaičiavimus teisingai, tiksliai ir be klaidų.