Smulkus ir gražus paprasta užduotis iš tų, kurie tarnauja kaip gelbėjimosi priemonė plūduriuojančiam studentui, kategorijos. Gamtoje liepos vidurys, tad pats laikas su nešiojamuoju kompiuteriu įsikurti paplūdimyje. Anksti ryte pradėjo groti teorijos saulės spindulys, kad netrukus būtų galima sutelkti dėmesį į praktiką, kurioje, nepaisant deklaruojamo lengvumo, smėlyje yra stiklo šukių. Šiuo atžvilgiu rekomenduoju sąžiningai apsvarstyti kelis šio puslapio pavyzdžius. Norėdami išspręsti praktines problemas, turite mokėti rasti išvestinių ir suprasti straipsnio medžiagą Monotoniškumo intervalai ir funkcijos ekstremumai.

Pirma, trumpai apie pagrindinį dalyką. Pamokoje apie funkcijos tęstinumas Pateikiau tęstinumo taške ir tęstinumo intervale apibrėžimą. Pavyzdinis funkcijos elgesys segmente suformuluotas panašiai. Funkcija yra nepertraukiama tam tikru intervalu, jei:

1) jis yra tęstinis intervale ;
2) ištisinis taške Dešinėje ir taške paliko.

Antroje pastraipoje kalbėjome apie vadinamąjį vienpusis tęstinumas veikia taške. Yra keletas būdų, kaip jį apibrėžti, bet aš pasiliksiu prie anksčiau pradėtos linijos:

Funkcija yra nuolatinė taške Dešinėje, jei jis apibrėžtas tam tikrame taške ir jo dešinioji riba sutampa su funkcijos reikšme tam tikrame taške: . Jis yra nenutrūkstamas taške paliko, jei apibrėžta tam tikrame taške ir jo kairioji riba lygi verteiŠiuo atveju:

Įsivaizduokite, kad žali taškai yra nagai, prie kurių pritvirtinta stebuklinga elastinė juosta:

Protiškai paimkite raudoną liniją į rankas. Akivaizdu, kad ir kiek temptume grafiką aukštyn ir žemyn (išilgai ašies), funkcija vis tiek išliks ribotas– viršuje tvora, apačioje tvora, o aptvare ganosi mūsų gaminys. Taigi, funkcija, kuri tęsiasi intervale, yra ribojama. Matematinės analizės metu šis iš pažiūros paprastas faktas yra konstatuojamas ir griežtai įrodytas. Pirmoji Weierstrasso teorema....Daugelį erzina, kad matematikoje nuobodžiai pagrindžiami elementarūs teiginiai, bet tai turi svarbią reikšmę. Tarkime, tam tikras kilpinių viduramžių gyventojas ištraukė grafiką į dangų už matomumo ribos, tai buvo įterpta. Prieš išrandant teleskopą, ribota erdvė erdvėje nebuvo akivaizdi! Tikrai, kaip žinoti, kas mūsų laukia už horizonto? Juk kažkada Žemė buvo laikoma plokščia, todėl šiandien net įprasta teleportacija reikalauja įrodymų =)

Pagal Antroji Weierstrasso teorema, ištisinis segmentefunkcija pasiekia savo tiksli viršutinė riba ir tavo tikslus apatinis kraštas .

Taip pat skambinama numeriu maksimali funkcijos reikšmė segmente ir yra žymimi , o skaičius yra mažiausia funkcijos reikšmė atkarpoje pažymėtas .

Mūsų atveju:

Pastaba : teoriškai įrašai yra įprasti .

Apytiksliai kalbant, didžiausia vertė yra ten, kur daugiausia aukstas taskas grafika, o mažiausias yra ten, kur yra žemiausias taškas.

Svarbu! Kaip jau buvo pabrėžta straipsnyje apie funkcijos ekstremumai, didžiausia funkcijos vertė Ir mažiausia funkcijos reikšmė – NE TAS PATS, Ką maksimali funkcija Ir minimali funkcija. Taigi nagrinėjamame pavyzdyje skaičius yra funkcijos minimumas, bet ne mažiausia reikšmė.

Beje, kas vyksta už segmento ribų? Taip, net potvynis nagrinėjamos problemos kontekste mūsų visiškai nedomina. Užduotis apima tik dviejų skaičių paiešką Štai ir viskas!

Be to, sprendimas yra grynai analitinis nereikia daryti piešinio!

Algoritmas yra ant paviršiaus ir siūlo save iš aukščiau esančio paveikslo:

1) Raskite funkcijos reikšmes kritinius taškus, kurie priklauso šiam segmentui.

Pagauk dar vieną premiją: čia nereikia tikrinti, ar pakankama ekstremumo sąlyga, nes, kaip ką tik parodyta, ar yra minimumas arba maksimumas dar negarantuoja, kokia yra mažiausia arba didžiausia vertė. Parodomoji funkcija pasiekia maksimumą ir likimo valia toks pat skaičius yra didžiausia segmento funkcijos reikšmė. Bet, žinoma, toks sutapimas pasitaiko ne visada.

Taigi pirmuoju žingsniu greičiau ir paprasčiau apskaičiuoti funkcijos reikšmes kritiniuose segmentui priklausančiuose taškuose, nesijaudinant, ar juose yra ekstremalių, ar ne.

2) Apskaičiuojame funkcijos reikšmes segmento galuose.

3) Iš funkcijų reikšmių, rastų 1 ir 2 pastraipose, pasirinkite mažiausią ir didžiausią didelis skaičius, parašykite atsakymą.

Atsisėdame ant kranto mėlyna jūra ir kulnais trenkiame į seklią vandenį:

1 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausia vertė veikia tam tikru intervalu

Sprendimas:
1) Apskaičiuokime funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose, priklausančiuose šiam segmentui:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmę antrame kritiniame taške:

2) Apskaičiuokime funkcijos reikšmes segmento galuose:

3) „Paryškinti“ rezultatai gauti su eksponentais ir logaritmais, o tai labai apsunkina jų palyginimą. Dėl šios priežasties apsiginkluokite skaičiuotuvu arba Excel ir apskaičiuokime apytiksles reikšmes, nepamiršdami:

Dabar viskas aišku.

Atsakymas:

Dalinis-racionalus nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

6 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente

Tegul funkcija $z=f(x,y)$ yra apibrėžta ir tolydi tam tikruose ribojuose uždara zona$D$. Tegul duotoji funkcija šioje srityje turi baigtines pirmos eilės dalines išvestines (išskyrus, galbūt, baigtinį taškų skaičių). Norint rasti didžiausią ir mažiausią dviejų kintamųjų funkcijos reikšmes tam tikrame uždarame regione, reikia atlikti tris paprasto algoritmo veiksmus.

Algoritmas ieškant didžiausios ir mažiausios funkcijos $z=f(x,y)$ reikšmės uždarame domene $D$.

1. Raskite funkcijos $z=f(x,y)$, priklausančios domenui $D$, kritinius taškus. Apskaičiuokite funkcijų reikšmes kritiniuose taškuose.
2. Ištirkite funkcijos $z=f(x,y)$ elgseną ant srities $D$ ribos, surasdami galimų didžiausių ir mažiausių reikšmių taškus. Apskaičiuokite funkcijų reikšmes gautuose taškuose.
3. Iš ankstesnėse dviejose pastraipose gautų funkcijų reikšmių pasirinkite didžiausią ir mažiausią.

Kas yra kritiniai taškai? Rodyti Slėpti

Pagal kritinius taškus reiškia taškus, kuriuose abi pirmos eilės dalinės išvestinės yra lygios nuliui (t. y. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ir $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) arba bent vienos dalinės išvestinės nėra.

Dažnai vadinami taškai, kuriuose pirmosios eilės dalinės išvestinės yra lygios nuliui stacionarūs taškai. Taigi stacionarūs taškai yra kritinių taškų poaibis.

1 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos $z=x^2+2xy-y^2-4x$ reikšmes uždaroje srityje, apribotas linijomis$x=3$, $y=0$ ir $y=x+1$.

Mes vadovausimės tuo, kas išdėstyta aukščiau, bet pirmiausia užsiimsime tam tikros srities brėžiniu, kurią pažymėsime raide $D$. Mums duota lygtys iš trijų tiesios linijos, ribojančios šią sritį. Tiesė $x=3$ eina per tašką $(3;0)$ lygiagrečiai ordinačių ašiai (Oy ašiai). Tiesi linija $y=0$ yra abscisių ašies (Ox ašies) lygtis. Na, o tiesei $y=x+1$ sukonstruoti rasime du taškus, per kuriuos brėžsime šią tiesę. Žinoma, vietoj $x$ galite pakeisti keletą savavališkų verčių. Pavyzdžiui, pakeitę $x=10$, gauname: $y=x+1=10+1=11$. Mes radome tašką $(10;11)$, esantį tiesėje $y=x+1$. Tačiau geriau rasti tuos taškus, kuriuose tiesė $y=x+1$ kerta tieses $x=3$ ir $y=0$. Kodėl tai geriau? Nes vienu akmeniu užmušime porą paukščių: gausime du taškus tiesei $y=x+1$ sukonstruoti ir tuo pačiu išsiaiškinsime, kuriuose taškuose ši tiesė kerta kitas duotą plotą ribojančias linijas. Tiesė $y=x+1$ kerta tiesę $x=3$ taške $(3;4)$, o tiesė $y=0$ – taške $(-1;0)$. Kad sprendimo eiga nebūtų užgriozdinta pagalbiniais paaiškinimais, šių dviejų taškų gavimo klausimą pateiksiu pastaboje.

Kaip buvo gauti taškai $(3;4)$ ir $(-1;0)$? Rodyti Slėpti

Pradėkime nuo tiesių $y=x+1$ ir $x=3$ susikirtimo taško. Norimo taško koordinatės priklauso ir pirmai, ir antrai tiesei, todėl norint rasti nežinomas koordinates, reikia išspręsti lygčių sistemą:

$$ \left \( \begin (lygiuotas) & y=x+1;\\ & x=3. \end (lygiuotas) \right. $$

Tokios sistemos sprendimas yra trivialus: pirmoje lygtyje pakeitę $x=3$, gausime: $y=3+1=4$. Taškas $(3;4)$ yra norimas tiesių $y=x+1$ ir $x=3$ susikirtimo taškas.

Dabar suraskime tiesių $y=x+1$ ir $y=0$ susikirtimo tašką. Dar kartą sudarykime ir išspręskime lygčių sistemą:

$$ \left \( \begin (lygiuotas) & y=x+1;\\ & y=0. \end (lygiuotas) \right. $$

Pirmoje lygtyje pakeitę $y=0$, gauname: $0=x+1$, $x=-1$. Taškas $(-1;0)$ yra norimas tiesių $y=x+1$ ir $y=0$ (x ašis) susikirtimo taškas.

Viskas paruošta sukurti piešinį, kuris atrodys taip:

Klausimas dėl raštelio atrodo akivaizdus, ​​nes nuotraukoje viskas matosi. Tačiau verta atsiminti, kad piešinys negali būti įrodymas. Piešinys skirtas tik iliustracijai.

Mūsų sritis buvo apibrėžta naudojant tiesias lygtis, kurios ją riboja. Akivaizdu, kad šios linijos apibrėžia trikampį, tiesa? O gal tai nėra visiškai akivaizdu? O gal mums suteikiama kita sritis, kurią riboja tos pačios linijos:

Žinoma, sąlyga sako, kad teritorija uždara, todėl parodyta nuotrauka yra neteisinga. Tačiau norint išvengti tokių dviprasmybių, geriau regionus apibrėžti pagal nelygybę. Ar mus domina plokštumos dalis, esanti po tiese $y=x+1$? Gerai, taigi $y ≤ x+1$. Ar mūsų sritis turėtų būti virš linijos $y=0$? Puiku, tai reiškia $y ≥ 0$. Beje, paskutines dvi nelygybes galima nesunkiai sujungti į vieną: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin (lygiuotas) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end (sulygiuotas) \right. $$

Šios nelygybės apibrėžia regioną $D$ ir apibrėžia jį vienareikšmiškai, neleisdamos jokios dviprasmybės. Bet kaip tai mums padeda išspręsti pastabos pradžioje pateiktą klausimą? Taip pat padės :) Reikia patikrinti, ar taškas $M_1(1;1)$ priklauso regionui $D$. Pakeiskime $x=1$ ir $y=1$ į nelygybių sistemą, kuri apibrėžia šią sritį. Jei tenkinamos abi nelygybės, tada taškas yra regiono viduje. Jei bent viena iš nelygybių netenkinama, tai taškas nepriklauso regionui. Taigi:

$$ \left \( \begin (lygiuotas) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end (sulygiuotas) \right. \;\; \left \( \begin (sulygiuotas) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end (sulygiuotas) \right.$$

Abi nelygybės galioja. Taškas $M_1(1;1)$ priklauso regionui $D$.

Dabar atėjo laikas ištirti funkcijos elgseną prie regiono ribos, t.y. Eime . Pradėkime nuo tiesės $y=0$.

Tiesi linija $y=0$ (abscisių ašis) riboja sritį $D$ esant sąlygai $-1 ≤ x ≤ 3$. Pakeiskime $y=0$ duotoje funkcijoje $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Vieno kintamojo $x$ funkciją, gautą pakeitus, pažymime kaip $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Dabar funkcijai $f_1(x)$ turime rasti didžiausias ir mažiausias reikšmes intervale $-1 ≤ x ≤ 3$. Raskime šios funkcijos išvestinę ir prilyginkime ją nuliui:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Reikšmė $x=2$ priklauso segmentui $-1 ≤ x ≤ 3$, todėl į taškų sąrašą įtrauksime ir $M_2(2;0)$. Be to, apskaičiuokime funkcijos $z$ reikšmes atkarpos $-1 ≤ x ≤ 3$ galuose, t.y. taškuose $M_3(-1;0)$ ir $M_4(3;0)$. Beje, jei taškas $M_2$ nepriklausytų nagrinėjamam segmentui, tai, žinoma, nereikėtų skaičiuoti funkcijos $z$ reikšmės jame.

Taigi, apskaičiuokime funkcijos $z$ reikšmes taškuose $M_2$, $M_3$, $M_4$. Žinoma, galite pakeisti šių taškų koordinates į pradinę išraišką $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Pavyzdžiui, taškui $M_2$ gauname:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Tačiau skaičiavimus galima šiek tiek supaprastinti. Norėdami tai padaryti, verta atsiminti, kad segmente $M_3M_4$ turime $z(x,y)=f_1(x)$. Aš tai parašysiu išsamiai:

\begin (sulygiuotas) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\ctaškas 3=-3. \pabaiga (sulygiuota)

Žinoma, tokių detalių įrašų dažniausiai nereikia, o ateityje visus skaičiavimus surašysime trumpai:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Dabar pasukkime į tiesę $x=3$. Ši tiesi linija riboja sritį $D$ su sąlyga $0 ≤ y ≤ 4$. Pakeiskime $x=3$ duotoje funkcijoje $z$. Dėl šio pakeitimo gauname funkciją $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Funkcijos $f_2(y)$ turime rasti didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale $0 ≤ y ≤ 4$. Raskime šios funkcijos išvestinę ir prilyginkime ją nuliui:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Reikšmė $y=3$ priklauso segmentui $0 ≤ y ≤ 4$, todėl prie anksčiau rastų taškų taip pat pridėsime $M_5(3;3)$. Be to, atkarpos $0 ≤ y ≤ 4$ galuose esančiuose taškuose reikia apskaičiuoti funkcijos $z$ reikšmę, t.y. taškuose $M_4(3;0)$ ir $M_6(3;4)$. Taške $M_4(3;0)$ jau apskaičiavome $z$ reikšmę. Apskaičiuokime funkcijos $z$ reikšmę taškuose $M_5$ ir $M_6$. Leiskite jums priminti, kad segmente $M_4M_6$ turime $z(x,y)=f_2(y)$, todėl:

\begin(lygiuotas) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \pabaiga (sulygiuota)

Ir galiausiai apsvarstykite paskutinę regiono $D$ ribą, t.y. tiesi $y=x+1$. Ši tiesi linija riboja sritį $D$ pagal sąlygą $-1 ≤ x ≤ 3$. Pakeitę $y=x+1$ į funkciją $z$, turėsime:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Dar kartą turime vieno kintamojo $x$ funkciją. Ir vėl turime rasti didžiausią ir mažiausią šios funkcijos reikšmes intervale $-1 ≤ x ≤ 3$. Raskime funkcijos $f_(3)(x)$ išvestinę ir prilyginkime ją nuliui:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Reikšmė $x=1$ priklauso intervalui $-1 ≤ x ≤ 3$. Jei $x=1$, tai $y=x+1=2$. Į taškų sąrašą įtraukime $M_7(1;2)$ ir išsiaiškinkime, kokia yra funkcijos $z$ reikšmė šiuo metu. Taškai atkarpos galuose $-1 ≤ x ≤ 3$, t.y. taškai $M_3(-1;0)$ ir $M_6(3;4)$ buvo svarstomi anksčiau, juose jau radome funkcijos reikšmę.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Antrasis sprendimo žingsnis baigtas. Gavome septynias vertes:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Kreipkimės į. Iš trečioje pastraipoje gautų skaičių pasirinkę didžiausias ir mažiausias reikšmes, turėsime:

$$z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6.$$

Problema išspręsta, belieka surašyti atsakymą.

Atsakymas: $z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6$.

2 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos $z=x^2+y^2-12x+16y$ reikšmes srityje $x^2+y^2 ≤ 25$.

Pirmiausia sukurkime piešinį. Lygtis $x^2+y^2=25$ (tai yra nurodytos srities ribinė linija) apibrėžia apskritimą, kurio centras yra ištakoje (t. y. taške $(0;0)$) ir spindulys 5. Nelygybė $x^2 +y^2 ≤ $25 tenkina visus taškus, esančius minėto apskritimo viduje ir ant jo.

Mes elgsimės pagal. Raskime dalines išvestines ir išsiaiškinkime kritinius taškus.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Nėra taškų, kuriuose rastos dalinės išvestinės neegzistuotų. Išsiaiškinkime, kuriuose taškuose abi dalinės išvestinės vienu metu yra lygios nuliui, t.y. suraskime stacionarius taškus.

$$ \left \( \begin (lygiuotas) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end (sulygiuotas) \right. \;\; \left \( \begin (lygiuotas) & x =6;\\ & y=-8.\end(sulygiuotas)\right.$$

Gavome stacionarų tašką $(6;-8)$. Tačiau rastas taškas nepriklauso regionui $D$. Tai lengva parodyti net nesiimant piešimo. Patikrinkime, ar galioja nelygybė $x^2+y^2 ≤ 25$, kuri apibrėžia mūsų regioną $D$. Jei $x=6$, $y=-8$, tai $x^2+y^2=36+64=100$, t.y. nelygybė $x^2+y^2 ≤ 25$ negalioja. Išvada: taškas $(6;-8)$ nepriklauso sričiai $D$.

Taigi regione $D$ nėra kritinių taškų. Pereikime prie... Turime ištirti funkcijos elgseną tam tikro regiono ribose, t.y. apskritime $x^2+y^2=25$. Žinoma, $y$ galime išreikšti $x$, o tada gautą išraišką pakeisti funkcija $z$. Iš apskritimo lygties gauname: $y=\sqrt(25-x^2)$ arba $y=-\sqrt(25-x^2)$. Pakeisdami, pavyzdžiui, $y=\sqrt(25-x^2)$ į nurodytą funkciją, turėsime:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Tolesnis sprendimas bus visiškai identiškas funkcijos elgsenos prie regiono ribos tyrimui ankstesniame pavyzdyje Nr. Tačiau man atrodo, kad šioje situacijoje tikslingiau taikyti Lagranžo metodą. Mus domina tik pirmoji šio metodo dalis. Pritaikę pirmąją Lagranžo metodo dalį, gausime taškus, kuriuose nagrinėsime funkcijos $z$ minimalias ir didžiausias reikšmes.

Mes sudarome Lagrange funkciją:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Randame dalines Lagranžo funkcijos išvestines ir sudarome atitinkamą lygčių sistemą:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (sulygiuotas) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end (sulygiuotas) \ dešinėn. \;\; \left \( \begin (lygiuotas) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( sulygiuotas)\right.$$

Norėdami išspręsti šią sistemą, iš karto atkreipkime dėmesį, kad $\lambda\neq -1$. Kodėl $\lambda\neq -1$? Pabandykime pirmoje lygtyje pakeisti $\lambda=-1$:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Gautas prieštaravimas $0=6$ rodo, kad reikšmė $\lambda=-1$ yra nepriimtina. Išvestis: $\lambda\neq -1$. Išreikškime $x$ ir $y$ kaip $\lambda$:

\begin(lygiuotas) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \pabaiga (sulygiuota)

Manau, kad čia tampa akivaizdu, kodėl mes konkrečiai nustatėme sąlygą $\lambda\neq -1$. Tai buvo padaryta, kad išraiška $1+\lambda$ tilptų į vardiklius be trukdžių. Tai yra, įsitikinkite, kad vardiklis $1+\lambda\neq 0$.

Gautas $x$ ir $y$ išraiškas pakeisime trečiąja sistemos lygtimi, t.y. $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Iš gautos lygybės išplaukia, kad $1+\lambda=2$ arba $1+\lambda=-2$. Taigi turime dvi parametro $\lambda$ reikšmes, būtent: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Atitinkamai, gauname dvi reikšmių poras $x$ ir $y$:

\begin(lygiuotas) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \pabaiga (sulygiuota)

Taigi, gavome du galimo sąlyginio ekstremumo taškus, t.y. $M_1(3;-4)$ ir $M_2(-3;4)$. Raskime funkcijos $z$ reikšmes taškuose $M_1$ ir $M_2$:

\begin (sulygiuotas) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \pabaiga (sulygiuota)

Turėtume pasirinkti didžiausias ir mažiausias vertes iš tų, kurias gavome pirmame ir antrame žingsnyje. Bet šiuo atveju pasirinkimas mažas :) Turime:

$$ z_(min)=-75; \; z_(maks.)=125. $$

Atsakymas: $z_(min) = -75; \; z_(maks.) = 125 USD.

Praktiniu požiūriu didžiausias susidomėjimas yra naudoti išvestinę, kad būtų galima rasti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes. Su kuo tai susiję? Maksimalus pelnas, kaštų minimizavimas, optimalios įrangos apkrovos nustatymas... Kitaip tariant, daugelyje gyvenimo sričių tenka spręsti kai kurių parametrų optimizavimo problemas. Ir tai yra didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmių radimo užduotys.

Reikėtų pažymėti, kad didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės paprastai ieškomos tam tikrame intervale X, kuris yra arba visa funkcijos sritis, arba apibrėžimo srities dalis. Pats intervalas X gali būti atkarpa, atviras intervalas , begalinis intervalas.

Šiame straipsnyje mes kalbėsime apie tai, kaip aiškiai rasti didžiausias ir mažiausias vertes suteikta funkcija vienas kintamasis y=f(x) .

Puslapio naršymas.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė – apibrėžimai, iliustracijos.

Trumpai pažvelkime į pagrindinius apibrėžimus.

Didžiausia funkcijos reikšmė kad bet kam nelygybė yra tiesa.

Mažiausia funkcijos reikšmė y=f(x) intervale X vadinama tokia reikšme kad bet kam nelygybė yra tiesa.

Šie apibrėžimai yra intuityvūs: didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė yra didžiausia (mažiausia) priimtina reikšmė nagrinėjamame intervale ties abscisėmis.

Stacionarūs taškai– tai yra argumento reikšmės, kai funkcijos išvestinė tampa lygi nuliu.

Kodėl ieškant didžiausių ir mažiausių verčių reikia stacionarių taškų? Atsakymą į šį klausimą duoda Ferma teorema. Iš šios teoremos išplaukia, kad jei diferencijuojama funkcija tam tikru momentu turi ekstremumą (lokalų minimumą arba vietinį maksimumą), tai šis taškas yra stacionarus. Taigi funkcija dažnai paima didžiausią (mažiausią) reikšmę intervale X viename iš šio intervalo stacionarių taškų.

Be to, funkcija dažnai gali įgyti didžiausias ir mažiausias reikšmes taškuose, kuriuose nėra pirmosios šios funkcijos išvestinės, o pati funkcija yra apibrėžta.

Iš karto atsakykime į vieną dažniausių klausimų šia tema: „Ar visada įmanoma nustatyti didžiausią (mažiausią) funkcijos reikšmę“? Ne ne visada. Kartais intervalo X ribos sutampa su funkcijos apibrėžimo srities ribomis arba intervalas X yra begalinis. O kai kurios funkcijos begalybėje ir apibrėžimo srities ribose gali turėti ir be galo dideles, ir be galo mažas reikšmes. Tokiais atvejais nieko negalima pasakyti apie didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę.

Aiškumo dėlei pateiksime grafinę iliustraciją. Pažvelkite į nuotraukas ir daug kas taps aiškiau.

Ant segmento

Pirmame paveikslėlyje funkcija užima didžiausias (max y) ir mažiausias (min y) vertes stacionariuose taškuose, esančiuose atkarpos viduje [-6;6].

Apsvarstykite atvejį, pavaizduotą antrame paveikslėlyje. Pakeiskime segmentą į . Šiame pavyzdyje mažiausia funkcijos reikšmė pasiekiama stacionariame taške, o didžiausia – taške, kurio abscisė atitinka dešinė kraštinė intervalas.

3 paveiksle atkarpos [-3;2] ribiniai taškai yra taškų, atitinkančių didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę, abscisės.

Atviru intervalu

Ketvirtajame paveikslėlyje funkcija paima didžiausias (max y) ir mažiausias (min y) vertes stacionariuose taškuose, esančiuose atviro intervalo viduje (-6;6).

Intervale negalima daryti išvadų apie didžiausią reikšmę.

Begalybėje

Septintame paveikslėlyje pateiktame pavyzdyje funkcija įgauna didžiausią reikšmę (max y) stacionariame taške, kurio abscisė x=1, o mažiausia reikšmė (min y) pasiekiama dešinėje intervalo riboje. Esant minus begalybei, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie y=3.

Per intervalą funkcija nepasiekia nei mažiausios, nei didžiausios reikšmės. Kai x=2 artėja iš dešinės, funkcijos reikšmės linkusios į minus begalybę (tiesė x=2 yra vertikali asimptota), ir kadangi abscisė linkusi padidinti begalybę, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie y = 3. Šio pavyzdžio grafinė iliustracija parodyta 8 paveiksle.

Algoritmas, skirtas rasti didžiausią ir mažiausią ištisinės funkcijos reikšmes segmente.

Parašykime algoritmą, leidžiantį rasti didžiausią ir mažiausią segmento funkcijos reikšmes.

1. Surandame funkcijos apibrėžimo sritį ir patikriname, ar joje yra visas segmentas.
2. Randame visus taškus, kuriuose pirmoji išvestinė neegzistuoja ir kurie yra segmente (paprastai tokie taškai randami funkcijose su argumentu po modulio ženklu ir galios funkcijos su trupmeniniu-racionaliuoju rodikliu). Jei tokių taškų nėra, pereikite prie kito punkto.
3. Nustatome visus stacionarius taškus, patenkančius į atkarpą. Norėdami tai padaryti, prilyginame jį nuliui, išsprendžiame gautą lygtį ir pasirenkame tinkamas šaknis. Jei nėra stacionarių taškų arba nė vienas iš jų nepatenka į atkarpą, pereikite prie kito taško.
4. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes pasirinktuose stacionariuose taškuose (jei yra), taškuose, kuriuose nėra pirmosios išvestinės (jei yra), taip pat x=a ir x=b.
5. Iš gautų funkcijos reikšmių išrenkame didžiausią ir mažiausią – jos bus atitinkamai reikalingos didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės.

Išanalizuokime pavyzdžio sprendimo algoritmą, kad surastume didžiausias ir mažiausias segmento funkcijos reikšmes.

Pavyzdys.

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę

• ant segmento;
• atkarpoje [-4;-1] .

Sprendimas.

Funkcijos apibrėžimo sritis yra visa realiųjų skaičių rinkinys, išskyrus nulį, tai yra. Abu segmentai patenka į apibrėžimo sritį.

Raskite funkcijos išvestinę, atsižvelgiant į:

Akivaizdu, kad funkcijos išvestinė egzistuoja visuose atkarpų taškuose ir [-4;-1].

Iš lygties nustatome stacionarius taškus. Vienintelė tikroji šaknis yra x=2. Šis stacionarus taškas patenka į pirmąjį segmentą.

Pirmuoju atveju apskaičiuojame funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir stacionariame taške, ty x=1, x=2 ir x=4:

Todėl didžiausia funkcijos vertė pasiekiama, kai x=1, ir mažiausia reikšmė – ties x=2.

Antruoju atveju funkcijų reikšmes apskaičiuojame tik atkarpos [-4;-1] galuose (nes jame nėra nė vieno stacionaraus taško):

Pažiūrėkime, kaip išnagrinėti funkciją naudojant grafiką. Pasirodo, pažvelgę ​​į grafiką galime sužinoti viską, kas mus domina, būtent:

• funkcijos sritis
• funkcijų diapazonas
• funkcijos nuliai
• didėjimo ir mažėjimo intervalai
• maksimalus ir minimalus balas
• didžiausia ir mažiausia segmento funkcijos reikšmė.

Paaiškinkime terminologiją:

Abscisė yra taško horizontalioji koordinatė.
Ordinatė- vertikali koordinatė.
Abscisių ašis- horizontalioji ašis, dažniausiai vadinama ašimi.
Y ašis- vertikali ašis arba ašis.

Argumentas- nepriklausomas kintamasis, nuo kurio priklauso funkcijos reikšmės. Dažniausiai nurodoma.
Kitaip tariant, pasirenkame , pakeičiame funkcijas į formulę ir gauname .

Domenas Funkcijos - tų (ir tik tų) argumentų reikšmių, kurioms funkcija egzistuoja, rinkinys.
Nurodoma: arba .

Mūsų paveiksle funkcijos apibrėžimo sritis yra segmentas. Būtent šiame segmente nubraižytas funkcijos grafikas. Tai vienintelė vieta, kur egzistuoja ši funkcija.

Funkcijų diapazonas yra reikšmių rinkinys, kurį turi kintamasis. Mūsų paveiksle tai segmentas - nuo mažiausios iki didžiausios vertės.

Funkcijos nuliai- taškai, kuriuose funkcijos reikšmė lygi nuliui, tai yra. Mūsų paveiksle tai yra taškai ir .

Funkcijų reikšmės yra teigiamos kur . Mūsų paveiksle tai yra intervalai ir .
Funkcijų reikšmės yra neigiamos kur . Mums tai yra intervalas (arba intervalas) nuo iki .

Svarbiausios sąvokos - didina ir mažina funkciją kažkokiame rinkinyje. Kaip rinkinį galite paimti atkarpą, intervalą, intervalų sąjungą arba visą skaičių eilutę.

Funkcija dideja

Kitaip tariant, kuo daugiau, tuo daugiau, tai yra, grafikas eina į dešinę ir į viršų.

Funkcija mažėja ant rinkinio, jei bet ir priklausantis rinkiniui, nelygybė reiškia nelygybę .

Mažėjančiai funkcijai didesnę vertę atitinka mažesnę vertę. Grafikas eina į dešinę ir žemyn.

Mūsų paveiksle funkcija didėja intervale ir mažėja intervalais ir .

Apibrėžkime, kas tai yra maksimalus ir minimalus funkcijos taškai.

Maksimalus taškas- tai vidinis apibrėžimo srities taškas, kuriame funkcijos reikšmė yra didesnė nei visuose pakankamai arti jos taškuose.
Kitaip tariant, maksimalus taškas yra taškas, kuriame funkcijos reikšmė daugiau nei kaimyninėse. Tai vietinė „kalva“ diagramoje.

Mūsų paveiksle yra maksimalus taškas.

Minimalus taškas- vidinis apibrėžimo srities taškas, kuriame funkcijos reikšmė yra mažesnė nei visuose pakankamai artimuose taškuose.
Tai yra, minimalus taškas yra toks, kad funkcijos reikšmė jame yra mažesnė nei jos kaimynėse. Tai vietinė „skylė“ grafike.

Mūsų paveiksle yra minimalus taškas.

Esmė yra riba. Tai nėra vidinis apibrėžimo srities taškas ir todėl netinka maksimalaus taško apibrėžimui. Juk kairėje kaimynų ji neturi. Taip pat mūsų diagramoje negali būti minimalaus taško.

Didžiausias ir mažiausias taškai kartu vadinami funkcijos ekstremalūs taškai. Mūsų atveju tai yra ir .

Ką daryti, jei reikia rasti, pvz. minimali funkcija segmente? Šiuo atveju atsakymas yra toks:. Nes minimali funkcija yra jo vertė minimaliame taške.

Panašiai mūsų funkcijos maksimumas yra . Jis pasiekiamas taške.

Galime sakyti, kad funkcijos ekstremumai yra lygūs ir .

Kartais reikia rasti problemų didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės tam tikrame segmente. Jie nebūtinai sutampa su kraštutinumais.

Mūsų atveju mažiausia funkcijos reikšmė atkarpoje yra lygus ir sutampa su funkcijos minimumu. Tačiau didžiausia jo vertė šiame segmente yra lygi . Jis pasiekiamas kairiajame segmento gale.

Bet kokiu atveju didžiausios ir mažiausios vertės nuolatinė funkcija atkarpoje pasiekiami ekstremaliuose taškuose arba atkarpos galuose.

Kas yra funkcijos ekstremumas ir kokia būtina ekstremumo sąlyga?

Funkcijos ekstremumas yra funkcijos maksimumas ir minimumas.

Būtina sąlyga Funkcijos maksimumas ir minimumas (ekstremumas) yra tokie: jei funkcijos f(x) taške x = a yra ekstremumas, tai šiuo metu išvestinė yra arba nulis, arba begalinė, arba jos nėra.

Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė taške x = a gali eiti į nulį, begalybę arba neegzistuoti, jei funkcija šiame taške neturi ekstremumo.

Kokia yra pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga (maksimali arba mažiausia)?

Pirmoji sąlyga:

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra teigiama į kairę nuo a ir neigiama į dešinę nuo a, tai taške x = a funkcija f(x) turi maksimalus

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra neigiama kairėje nuo a ir teigiama į dešinę nuo a, tai taške x = a funkcija f(x) turi minimumas su sąlyga, kad funkcija f(x) čia yra ištisinė.

Vietoj to galite naudoti antrąją pakankamą funkcijos ekstremumo sąlygą:

Tegul taške x = a pirmoji išvestinė f?(x) išnyksta; jei antroji išvestinė f??(a) yra neigiama, tai funkcija f(x) turi maksimumą taške x = a, jei teigiama, tai turi minimumą.

Kas yra kritinis funkcijos taškas ir kaip jį rasti?

Tai funkcijos argumento reikšmė, kuriai esant funkcijai yra ekstremumas (t. y. maksimalus arba minimumas). Norėdami jį rasti, jums reikia rasti išvestinę funkcija f?(x) ir, prilyginant ją nuliui, išspręsti lygtį f?(x) = 0. Šios lygties šaknys, taip pat tie taškai, kuriuose šios funkcijos išvestinė neegzistuoja, yra kritiniai taškai, t.y. argumento reikšmės, kuriose gali būti ekstremumas. Juos nesunku atpažinti pažiūrėjus išvestinis grafikas: mus domina tos argumento reikšmės, kuriose funkcijos grafikas kerta abscisių ašį (Ox ašį), ir tos, kuriose grafikas nutrūksta.

Pavyzdžiui, suraskime parabolės ekstremumas.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funkcijos išvestinė: y?(x) = 6x + 2

Išspręskite lygtį: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Šiuo atveju kritinis taškas yra x0=-1/3. Funkcija turi šią argumento reikšmę ekstremumas. Jam rasti, pakeiskite rastą skaičių funkcijos išraiškoje vietoj „x“:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kaip nustatyti funkcijos maksimumą ir minimumą, t.y. didžiausios ir mažiausios jo vertės?

Jei išvestinės ženklas einant per kritinį tašką x0 pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“, tai x0 yra maksimalus taškas; jei išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą, tai x0 yra minimalus taškas; jei ženklas nesikeičia, tai taške x0 nėra nei maksimumo, nei minimumo.

Nagrinėjamu pavyzdžiu:

Paimkite savavališką argumento reikšmę į kairę nuo kritinis taškas: x = -1

Esant x = -1, išvestinės vertė bus y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. y. ženklas yra „minusas“).

Dabar paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško dešinėje: x = 1

Esant x = 1, išvestinės reikšmė bus y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t. y. ženklas yra „pliusas“).

Kaip matote, išvestinė ženklą iš minuso į pliusą, eidama per kritinį tašką, pakeitė. Tai reiškia, kad esant kritinei vertei x0 turime mažiausią tašką.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė ant intervalo(segmente) randami naudojant tą pačią procedūrą, tik atsižvelgiant į tai, kad galbūt ne visi kritiniai taškai bus nurodytame intervale. Tie kritiniai taškai, kurie yra už intervalo ribų, turi būti neįtraukti. Jei intervale yra tik vienas kritinis taškas, jis turės arba maksimumą, arba minimumą. Šiuo atveju, norėdami nustatyti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes, taip pat atsižvelgiame į funkcijos reikšmes intervalo galuose.

Pavyzdžiui, suraskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

y(x) = 3sin(x) – 0,5x

intervalais:

Taigi, funkcijos išvestinė yra

y?(x) = 3cos(x) – 0,5

Išsprendžiame lygtį 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arkos(0,16667) + 2πk.

Mes randame kritinius taškus intervale [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (neįtraukta į intervalą)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = Arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arckos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (neįtraukta į intervalą)

Funkcijų reikšmes randame prie kritinių argumento verčių:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Matyti, kad intervale [-9; 9] funkcija turi didžiausią reikšmę, kai x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

o mažiausias - esant x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Ant intervalo [-6; -3] turime tik vieną kritinį tašką: x = -4,88. Funkcijos reikšmė, kai x = -4,88, yra lygi y = 5,398.

Raskite funkcijos reikšmę intervalo galuose:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Ant intervalo [-6; -3] turime didžiausią funkcijos reikšmę

y = 5,398, kai x = -4,88

mažiausia vertė -

y = 1,077, kai x = -3

Kaip rasti funkcijos grafiko vingio taškus ir nustatyti išgaubtą ir įgaubtą puses?

Norėdami rasti visus tiesės y = f(x) vingio taškus, turite rasti antrąją išvestinę, prilyginti ją nuliui (išspręsti lygtį) ir išbandyti visas tas x reikšmes, kurių antroji išvestinė lygi nuliui, begalinis arba neegzistuoja. Jei, einant per vieną iš šių reikšmių, antroji išvestinė keičia ženklą, tai funkcijos grafikas šiame taške turi linksnį. Jei jis nesikeičia, tada nėra lenkimo.

Lygties f šaknys? (x) = 0, taip pat galimi funkcijos ir antrosios išvestinės nutrūkimo taškai, padalina funkcijos apibrėžimo sritį į daugybę intervalų. Išgaubtumą kiekviename jų intervale lemia antrosios išvestinės ženklas. Jei antroji išvestinė tiriamo intervalo taške yra teigiama, tai linija y = f(x) yra įgaubta aukštyn, o jei neigiama, tada žemyn.

Kaip rasti dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumą?

Norint rasti funkcijos f(x,y), diferencijuojamos jos specifikacijos srityje, kraštutinumą, reikia:

1) suraskite kritinius taškus ir tam - išspręskite lygčių sistemą

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) kiekvienam kritiniam taškui P0(a;b) ištirti, ar skirtumo ženklas išlieka nepakitęs

visuose taškuose (x;y) pakankamai arti P0. Jei skirtumas išlieka teigiamas, tai taške P0 turime minimumą, jei neigiamą, tai maksimumą. Jei skirtumas neišlaiko savo ženklo, tada taške P0 nėra ekstremumo.

Funkcijos ekstremumai nustatomi panašiai daugiau argumentai.

Apie ką animacinis filmas „Šrekas amžinai po to“?
Animacinis filmas: „Shrek Forever After“ Išleidimo metai: 2010 Premjera (Rusijos Federacija): 2010 m. gegužės 20 d. Šalis: JAV Režisierius: Michael Pitchel Scenarijus: Josh Klausner, Darren Lemke Žanras: šeimos komedija, fantastika, nuotykiai Oficiali svetainė: www.shrekforeverafter .com Mulo siužetas

Ar galima duoti kraujo menstruacijų metu?
Gydytojai nerekomenduoja duoti kraujo menstruacijų metu, nes... kraujo netekimas, nors ir nedidelis kiekis, yra kupinas hemoglobino kiekio sumažėjimo ir moters savijautos pablogėjimo. Kraujo donorystės procedūros metu jūsų sveikatos būklė gali pablogėti iki kraujavimo. Todėl moterys turėtų susilaikyti nuo kraujo davimo menstruacijų metu. Ir jau 5 dieną po jų pabaigos

Kiek kcal/val sunaudojama plaunant grindis?
Rūšys fizinė veikla Energijos sąnaudos, kcal/val. Maisto gaminimas 80 Apsirengimas 30 Vairavimas 50 Dulkių valymas 80 Valgymas 30 Sodo tvarkymas 135 Lyginimas 45 Lovos klojimas 130 Apsipirkimas 80 Sėdimas darbas 75 Malkų smulkinimas 300 Grindų plovimas 130 Seksas 100-150 Mažas intensyvumas

Ką reiškia žodis "suklys"?
Aferistas – vagis, užsiimantis smulkiomis vagystėmis, arba gudrus žmogus, linkęs į nesąžiningus triukus. Šio apibrėžimo patvirtinimas yra Krylovo etimologiniame žodyne, pagal kurį žodis „aferistas“ yra sudarytas iš žodžio „zhal“ (vagis, sukčius), susijusio su veiksmažodžiu &la.

Kaip vadinasi paskutinė brolių Strugatskių paskelbta istorija?
Arkadijaus ir Boriso Strugatskių apysaka „Kiklotacijos klausimu“ pirmą kartą buvo paskelbta 2008 m. balandžio mėn. grožinės literatūros antologijoje „Vidurdienis. XXI amžius“ (žurnalo „Aplink pasaulį“, išleisto Boriso redagavimo) priede. Strugatskis). Leidinys buvo išleistas taip, kad sutaptų su Boriso Strugatskio 75-osiomis metinėmis.

Kur galima skaityti Work And Travel USA programos dalyvių istorijas?
Work and Travel USA (darbas ir kelionės JAV) yra populiari studentų mainų programa, pagal kurią galite praleisti vasarą Amerikoje, legaliai dirbant paslaugų sektoriuje ir keliaujant. Programos „Work & Travel“ istorija įtraukta į tarpvyriausybinę mainų programą „Cultural Exchange Pro“.

Ausis. Kulinarinis ir istorinis pagrindas Jau daugiau nei du su puse šimtmečio žodis „ukha“ buvo vartojamas sriuboms ar šviežios žuvies nuovirui apibūdinti. Tačiau buvo laikas, kai šis žodis buvo aiškinamas plačiau. Tai reiškė sriubą – ne tik žuvį, bet ir mėsą, žirnius ir net saldžią. Taigi istoriniame dokumente - „

Informaciniai ir įdarbinimo portalai Superjob.ru – įdarbinimo portalas Superjob.ru Rusijos internetinėje įdarbinimo rinkoje veikia nuo 2000 m. ir yra lyderis tarp išteklių, siūlančių darbo ir personalo paiešką. Kasdien į svetainės duomenų bazę įtraukiama daugiau nei 80 000 specialistų gyvenimo aprašymų ir daugiau nei 10 000 laisvų darbo vietų.

Kas yra motyvacija
Motyvacijos apibrėžimas Motyvacija (iš lot. moveo – aš judu) – paskata veikti; dinamiškas fiziologinis ir psichologinis procesas, valdantis žmogaus elgesį, lemiantis jo kryptį, organizaciją, veiklą ir stabilumą; asmens gebėjimas darbu patenkinti savo poreikius. Motivac

Kas yra Bobas Dylanas
Bobas Dilanas (angl. Bob Dylan, tikrasis vardas – Robert Allen Zimmerman English. Robert Allen Zimmerman; g. 1941 m. gegužės 24 d.) – amerikiečių dainų autorius, kuris, remiantis žurnalo „Rolling Stone“ apklausa, yra antras (

Kaip transportuoti kambarinius augalus
Įsigijus kambarinius augalus, sodininkui iškyla užduotis, kaip nupirktas egzotiškas gėles pristatyti nepažeistas. Žinios apie pagrindines kambarinių augalų pakavimo ir transportavimo taisykles padės išspręsti šią problemą. Augalai turi būti supakuoti, kad juos būtų galima nešti ar transportuoti. Kad ir kokiu trumpu atstumu augalai būtų vežami, jie gali būti pažeisti, išdžiūti, o žiemą &m