Funkcijos, nurodytos parametriniu būdu, išvestinės formulė. Šios formulės taikymo įrodymas ir pavyzdžiai. Pirmos, antros ir trečios eilės išvestinių apskaičiavimo pavyzdžiai.

Tegul funkcija nurodoma parametriniu būdu:
(1)
kur yra koks nors kintamasis, vadinamas parametru. Ir tegul funkcijos turi išvestines tam tikra kintamojo verte. Be to, funkcija taip pat turi atvirkštinę funkciją tam tikroje taško kaimynystėje. Tada funkcija (1) taške turi išvestinę, kuri parametrine forma nustatoma pagal formules:
(2)

Čia ir yra funkcijų išvestiniai ir kintamojo (parametro) atžvilgiu. Jie dažnai rašomi taip:
;
.

Tada sistemą (2) galima parašyti taip:

Įrodymas

Pagal sąlygą funkcija turi atvirkštinę funkciją. Pažymėkime kaip
.
Tada pradinė funkcija gali būti pavaizduota kaip sudėtinga funkcija:
.
Raskime jo išvestinę naudodamiesi sudėtingų ir atvirkštinių funkcijų diferencijavimo taisyklėmis:
.

Taisyklė pasitvirtino.

Įrodymas antruoju būdu

Raskime išvestinę antruoju būdu, remdamiesi funkcijos išvestinės apibrėžimu taške:
.
Supažindinkime su užrašu:
.
Tada ankstesnė formulė įgauna tokią formą:
.

Pasinaudokime tuo, kad funkcija taško kaimynystėje turi atvirkštinę funkciją.
Įveskime tokį užrašą:
; ;
; .
Padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš:
.
adresu , . Tada
.

Taisyklė pasitvirtino.

Aukštesnės eilės išvestinės priemonės

Norint rasti aukštesnio laipsnio išvestinius, diferencijavimą reikia atlikti kelis kartus. Tarkime, kad reikia rasti parametriškai apibrėžtos funkcijos antros eilės išvestinę, kurios forma:
(1)

Naudodami (2) formulę randame pirmąją išvestinę, kuri taip pat nustatoma parametriškai:
(2)

Pirmąją išvestinę pažymėkime kintamuoju:
.
Tada, norėdami rasti antrąją funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu, turite rasti pirmąją funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu. Kintamojo priklausomybė nuo kintamojo taip pat nurodoma parametriniu būdu:
(3)
Palyginę (3) su (1) ir (2) formulėmis, randame:

Dabar išreikškime rezultatą per funkcijas ir . Norėdami tai padaryti, pakeiskime ir pritaikykime išvestinės trupmenos formulę:
.
Tada
.

Iš čia gauname antrąją funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu:

Jis taip pat pateikiamas parametrine forma. Atkreipkite dėmesį, kad pirmoji eilutė taip pat gali būti parašyta taip:
.

Tęsdami procesą, galite gauti funkcijų išvestinius iš trečiosios ir aukštesnės eilės kintamojo.

Atkreipkite dėmesį, kad mes neturime įvesti išvestinės žymos. Galite parašyti taip:
;
.

1 pavyzdys

Raskite parametriškai apibrėžtos funkcijos išvestinę:

Sprendimas

Mes randame išvestines .
Iš darinių lentelės randame:
;
.
Mes taikome:

.
čia .

.
čia .

Reikalinga išvestinė priemonė:
.

Atsakymas

2 pavyzdys

Raskite parametru išreikštos funkcijos išvestinę:

Sprendimas

Išplėskime skliaustus naudodami galios funkcijų ir šaknų formules:
.

Išvestinio radimas:

.

Išvestinės radimas. Norėdami tai padaryti, įvedame kintamąjį ir taikome sudėtingos funkcijos išvestinės formulę.

.

Randame norimą išvestinę:
.

Atsakymas

3 pavyzdys

Raskite 1 pavyzdyje parametriškai apibrėžtos funkcijos antros ir trečios eilės išvestines:

Sprendimas

1 pavyzdyje radome pirmos eilės išvestinę:

Leiskite mums pristatyti pavadinimą. Tada funkcija yra išvestinė . Jis nurodomas parametriškai:

Norėdami rasti antrąją išvestinę , turime rasti pirmąją išvestinę .

Atskirkime pagal.
.
1 pavyzdyje radome išvestinę:
.
Antros eilės išvestinė yra lygi pirmos eilės išvestinei, atsižvelgiant į:
.

Taigi, mes radome antros eilės išvestinę parametrinės formos atžvilgiu:

Dabar randame trečiosios eilės išvestinę. Leiskite mums pristatyti pavadinimą. Tada turime rasti pirmosios eilės funkcijos išvestinę, kuri nurodoma parametriniu būdu:

Rasti išvestinę . Norėdami tai padaryti, perrašome jį lygiaverte forma:
.
Nuo

.

Trečiosios eilės išvestinė pagal yra lygi pirmos eilės išvestinei, atsižvelgiant į:
.

komentuoti

Nereikia įvesti kintamųjų ir , kurie yra atitinkamai ir išvestiniai. Tada galite parašyti taip:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Atsakymas

Parametriniame vaizde antros eilės išvestinė turi tokią formą:

Trečios eilės išvestinė:

Netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė.
Išvestinė parametriškai suteikta funkcija

Šiame straipsnyje apžvelgsime dar dvi įprastas užduotis, kurios dažnai atliekamos bandymai Autorius aukštoji matematika. Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite mokėti rasti išvestinių bent jau vidutinio lygio. Praktiškai nuo nulio galite išmokti rasti išvestines dviejose pagrindinėse pamokose ir Sudėtingos funkcijos išvestinė. Jei jūsų diferenciacijos įgūdžiai yra tinkami, tada eikime.

Netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė

Arba, trumpai tariant, numanomos funkcijos išvestinė. Kas yra numanoma funkcija? Pirmiausia prisiminkime patį vieno kintamojo funkcijos apibrėžimą:

Vieno kintamo funkcija yra taisyklė, pagal kurią kiekviena nepriklausomo kintamojo reikšmė atitinka vieną ir tik vieną funkcijos reikšmę.

Kintamasis vadinamas nepriklausomas kintamasis arba argumentas.
Kintamasis vadinamas priklausomas kintamasis arba funkcija .

Iki šiol žiūrėjome į funkcijas, apibrėžtas aiškus forma. Ką tai reiškia? Atlikime apibendrinimą naudodami konkrečius pavyzdžius.

Apsvarstykite funkciją

Matome, kad kairėje pusėje yra vienas „žaidėjas“, o dešinėje - tik "X". Tai yra, funkcija aiškiai išreikštas nepriklausomu kintamuoju.

Pažvelkime į kitą funkciją:

Čia susimaišo kintamieji. Be to jokiu būdu neįmanoma Išreikškite „Y“ tik per „X“. Kokie tai metodai? Terminų perkėlimas iš dalies į dalį keičiant ženklą, išbraukimas iš skliaustų, koeficientų metimas pagal proporcingumo taisyklę ir pan. Perrašykite lygybę ir pabandykite aiškiai išreikšti „y“: . Galite sukti ir vartyti lygtį valandų valandas, bet jums nepavyks.

Leiskite jums pristatyti: – pavyzdys numanoma funkcija.

Matematinės analizės metu buvo įrodyta, kad numanoma funkcija egzistuoja(tačiau ne visada), jis turi grafiką (kaip ir „normali“ funkcija). Netiesioginė funkcija yra lygiai tokia pati egzistuoja pirmasis vedinys, antrasis vedinys ir kt. Kaip sakoma, gerbiamos visos seksualinių mažumų teisės.

Ir šioje pamokoje sužinosime, kaip rasti netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinę. Tai nėra taip sunku! Visos diferenciacijos taisyklės ir elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė lieka galioti. Skirtumas yra viename savotiškame momente, į kurį pažvelgsime dabar.

Taip, ir aš jums pasakysiu geras naujienas - toliau aptariamos užduotys atliekamos pagal gana griežtą ir aiškų algoritmą be akmens priešais tris takelius.

1 pavyzdys

1) Pirmajame etape prie abiejų dalių pritvirtiname potėpius:

2) Mes naudojame išvestinės tiesiškumo taisykles (pirmas dvi pamokos taisykles Kaip rasti išvestinę priemonę? Sprendimų pavyzdžiai):

3) Tiesioginė diferenciacija.
Kaip atskirti – visiškai aišku. Ką daryti ten, kur po smūgiais yra „žaidimų“?

- iki gėdos taško, funkcijos išvestinė lygi jos išvestinei: .

Kaip atskirti
Štai mes turime sudėtinga funkcija. Kodėl? Atrodo, kad po sinusu yra tik viena raidė „Y“. Tačiau faktas yra tas, kad yra tik viena raidė „y“ - PATS YRA FUNKCIJA(žr. apibrėžimą pamokos pradžioje). Taigi sinusas yra išorinė funkcija, – vidinė funkcija. Mes naudojame diferenciacijos taisyklę sudėtinga funkcija :

Prekę išskiriame pagal įprastą taisyklę :

Atkreipkite dėmesį, kad taip pat yra sudėtinga funkcija, bet koks „žaidimas su varpais ir švilpukais“ yra sudėtinga funkcija:

Pats sprendimas turėtų atrodyti maždaug taip:


Jei yra skliaustų, išplėskite juos:

4) Kairėje pusėje renkame terminus, kuriuose yra „Y“ su pirminiu skaitmeniu. IN dešinioji pusė– perkelti visa kita:

5) Kairėje pusėje iš skliaustų išimame išvestinę:

6) Ir pagal proporcingumo taisyklę įtraukiame šiuos skliaustus į dešinės pusės vardiklį:

Darinys rastas. Paruošta.

Įdomu pastebėti, kad bet kurią funkciją galima netiesiogiai perrašyti. Pavyzdžiui, funkcija galima perrašyti taip: . Ir atskirkite jį naudodami ką tik aptartą algoritmą. Tiesą sakant, frazės „numanoma funkcija“ ir „numanoma funkcija“ skiriasi vienu semantiniu niuansu. Frazė „netiesiogiai nurodyta funkcija“ yra bendresnė ir teisingesnė, – ši funkcija nurodyta netiesiogiai, tačiau čia galite išreikšti „žaidimą“ ir pateikti funkciją aiškiai. Frazė „netiesioginė funkcija“ reiškia „klasikinę“ numanomą funkciją, kai „y“ negalima išreikšti.

Antras sprendimas

Dėmesio! Su antruoju metodu galite susipažinti tik tada, kai žinote, kaip užtikrintai rasti daliniai dariniai. Prašom skaičiuoti pradedantiesiems ir manekenams neskaitykite ir praleiskite šį punktą, kitaip tavo galva bus visiška netvarka.

Antruoju metodu suraskime implicitinės funkcijos išvestinę.

Visas sąlygas perduodame į kairė pusė:

Ir apsvarstykite dviejų kintamųjų funkciją:

Tada mūsų išvestinę galima rasti naudojant formulę
Raskime dalines išvestines:

Taigi:

Antrasis sprendimas leidžia atlikti patikrinimą. Tačiau jiems nepatartina rašyti galutinio užduoties varianto, nes dalinės išvestinės yra įsisavinamos vėliau, o studentas, studijuojantis temą „Vieno kintamojo funkcijos išvestinė“, dalinių išvestinių dar neturėtų žinoti.

Pažvelkime į dar kelis pavyzdžius.

2 pavyzdys

Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę

Pridėkite potėpius prie abiejų dalių:

Mes naudojame tiesiškumo taisykles:

Išvestinių priemonių paieška:

Visų skliaustų atidarymas:

Visus terminus perkeliame į kairę, likusius į dešinę:

Galutinis atsakymas:

3 pavyzdys

Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę

Pilnas sprendimas ir projekto pavyzdys pamokos pabaigoje.

Neretai po diferenciacijos atsiranda trupmenos. Tokiais atvejais reikia atsikratyti frakcijų. Pažvelkime į dar du pavyzdžius.

4 pavyzdys

Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę

Abi dalis įtraukiame po brūkšniais ir naudojame tiesiškumo taisyklę:

Atskirkite naudodami sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę ir koeficientų diferenciacijos taisyklė :

Išplečiant skliaustus:

Dabar turime atsikratyti frakcijos. Tai galima padaryti vėliau, tačiau racionaliau tai padaryti iš karto. Trupmenos vardiklyje yra . Padauginti ant . Išsamiau tai atrodys taip:

Kartais po diferenciacijos atsiranda 2-3 frakcijos. Jeigu turėtume, pavyzdžiui, kitą trupmeną, tai operaciją reikėtų kartoti – padauginti kiekvienas kiekvienos dalies terminasįjungta

Kairėje pusėje mes jį ištraukiame iš skliaustų:

Galutinis atsakymas:

5 pavyzdys

Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Vienintelis dalykas yra tai, kad prieš atsikratydami frakcijos pirmiausia turėsite atsikratyti trijų aukštų pačios frakcijos struktūros. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Parametriškai apibrėžtos funkcijos išvestinė

Nestresuokime, viskas šioje pastraipoje taip pat gana paprasta. Galite užsirašyti bendrą parametriškai apibrėžtos funkcijos formulę, bet, kad būtų aišku, tuoj pat parašysiu konkretus pavyzdys. Parametrine forma funkcija pateikiama dviem lygtimis: . Dažnai lygtys rašomos ne po riestiniais skliaustais, o paeiliui: , .

Kintamasis vadinamas parametru ir gali paimti reikšmes nuo „minus begalybės“ iki „pliuso begalybės“. Apsvarstykite, pavyzdžiui, vertę ir pakeiskite ją į abi lygtis: . Arba žmogiškai kalbant: „jei x lygus keturiems, tai y lygus vienetui“. Galite pažymėti tašką koordinačių plokštumoje, ir šis taškas atitiks parametro reikšmę. Panašiai galite rasti tašką bet kuriai parametro „te“ reikšmei. Kaip ir naudojant „įprastą“ funkciją, Amerikos indėnai parametriškai apibrėžtos funkcijos, taip pat gerbiamos visos teisės: galite sudaryti grafiką, rasti išvestines ir pan. Beje, jei reikia nubraižyti parametriškai apibrėžtos funkcijos grafiką, galite pasinaudoti mano programa.

Paprasčiausiais atvejais funkciją galima pavaizduoti aiškiai. Išreikškime parametrą iš pirmosios lygties: – ir pakeiskite ją į antrąją lygtį: . Rezultatas yra įprasta kubinė funkcija.

„Sunkesniais“ atvejais šis triukas neveikia. Bet tai nesvarbu, nes yra formulė, kaip rasti parametrinės funkcijos išvestinę:

Randame „žaidimo kintamojo te“ išvestinę:

Visos diferenciacijos taisyklės ir išvestinių lentelė, žinoma, galioja raidei , taigi, darinių paieškos procese nėra naujovių. Tiesiog mintyse pakeiskite visus „X“ lentelėje raide „Te“.

Mes randame „x“ išvestinę kintamojo te atžvilgiu:

Dabar belieka rastus darinius pakeisti į mūsų formulę:

Paruošta. Išvestinė, kaip ir pati funkcija, taip pat priklauso nuo parametro.

Kalbant apie žymėjimą, užuot jį parašius formulėje, būtų galima tiesiog parašyti be indekso, nes tai yra „įprasta“ išvestinė „X atžvilgiu“. Bet literatūroje visada yra galimybė, todėl nuo standarto nenukrypsiu.

6 pavyzdys

Mes naudojame formulę

Tokiu atveju:

Taigi:

Ypatinga parametrinės funkcijos išvestinės radimo ypatybė yra tai, kad kiekviename žingsnyje naudinga kiek įmanoma supaprastinti rezultatą. Taigi nagrinėjamame pavyzdyje, kai jį radau, atidariau skliaustus po šaknimi (nors galbūt to nepadariau). Yra didelė tikimybė, kad pakeitus formulę daug dalykų bus gerai sumažinta. Nors, žinoma, yra pavyzdžių su nerangiais atsakymais.

7 pavyzdys

Raskite parametriškai nurodytos funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Straipsnyje Paprasčiausios tipinės problemos su išvestinėmis priemonėmis pažvelgėme į pavyzdžius, kuriuose reikėjo rasti antrąją funkcijos išvestinę. Parametrai apibrėžtai funkcijai taip pat galite rasti antrąją išvestinę, kuri randama naudojant šią formulę: . Visiškai akivaizdu, kad norėdami rasti antrą išvestinę, pirmiausia turite rasti pirmąjį išvestinį.

8 pavyzdys

Raskite parametriškai pateiktos funkcijos pirmąją ir antrąją išvestines

Pirmiausia suraskime pirmąjį išvestinį.
Mes naudojame formulę

Tokiu atveju:

Rastus darinius pakeičiame į formulę. Supaprastinimo sumetimais naudojame trigonometrinę formulę:

Apsvarstykite galimybę apibrėžti tiesę plokštumoje, kurioje kintamieji x, y yra trečiojo kintamojo t (vadinamo parametru) funkcijos:

Kiekvienai vertei t nuo tam tikro intervalo tam tikros reikšmės atitinka x Ir y, a, todėl tam tikras plokštumos taškas M (x, y). Kada t eina per visas reikšmes iš tam tikro intervalo, tada tašką M (x, y) apibūdina tam tikrą eilutę L. Lygtys (2.2) vadinamos parametrinėmis tiesių lygtimis L.

Jei funkcijos x = φ(t) atvirkštinė t = Ф(x), tai šią išraišką pakeitus lygtimi y = g(t), gauname y = g(Ф(x)), kuri nurodo y kaip funkcija x. Šiuo atveju sakome, kad lygtys (2.2) apibrėžia funkciją y parametriškai.

1 pavyzdys. Leisti M(x,y)– savavališkas taškas spindulio apskritime R ir sutelktas į ištaką. Leisti t– kampas tarp ašių Jautis ir spindulys OM(žr. 2.3 pav.). Tada x, y yra išreikšti per t:

Lygtys (2.3) yra parametrinės apskritimo lygtys. Iš (2.3) lygčių išskirsime parametrą t. Norėdami tai padaryti, kiekvieną lygtį padėkite į kvadratą ir sudėkite, gausime: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) arba x 2 + y 2 = R 2 – apskritimo lygtis Dekarto raštu. koordinačių sistema. Ji apibrėžia dvi funkcijas: Kiekviena iš šių funkcijų yra pateikta parametrinėmis lygtimis (2.3), bet pirmajai funkcijai ir antrajai funkcijai.

2 pavyzdys. Parametrinės lygtys

apibrėžkite elipsę su pusiau ašimis a, b(2.4 pav.). Iš lygčių neįtraukiant parametro t, gauname kanoninę elipsės lygtį:

3 pavyzdys. Cikloidas – tai tiesė, kurią apibūdina taškas, esantis ant apskritimo, jeigu šis apskritimas rieda neslysdamas tiesia linija (2.5 pav.). Pateikiame cikloidų parametrines lygtis. Tegul riedėjimo apskritimo spindulys yra a, taškas M, apibūdinantis cikloidą, judėjimo pradžioje sutapo su koordinačių kilme.

Nustatykime koordinates x, y taškai M apskritimui pasisukus kampu t
(2.5 pav.), t = ÐMCB. Arkos ilgis M.B. lygus atkarpos ilgiui O.B. kadangi apskritimas rieda neslysdamas, todėl

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – kaina).

Taigi gaunamos cikloidų parametrinės lygtys:

Keičiant parametrą t nuo 0 iki 2π apskritimas sukasi vieną apsisukimą, o taškas M apibūdina vieną cikloido lanką. (2.5) lygtys pateikia y kaip funkcija x. Nors funkcija x = a(t – sint) turi atvirkštinę funkciją, tačiau ji neišreiškiama elementarios funkcijos, taigi funkcija y = f(x) nėra išreikštas elementariomis funkcijomis.

Panagrinėkime funkcijos, parametriškai apibrėžtos lygtimis (2.2), diferenciaciją. Funkcija x = φ(t) tam tikrame pokyčio intervale t turi atvirkštinę funkciją t = Ф(x), Tada y = g(Ф(x)). Leisti x = φ(t), y = g(t) turi darinius ir x"t≠0. Pagal sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę y"x=y"t × t"x. Remiantis diferenciacijos taisykle atvirkštinė funkcija, Štai kodėl:

Gauta formulė (2.6) leidžia rasti parametriškai nurodytos funkcijos išvestinę.

4 pavyzdys. Tegu funkcija y, priklausomai nuo x, nurodomas parametriškai:

Sprendimas. .
5 pavyzdys. Raskite nuolydį k cikloido liestinė taške M 0, atitinkančiame parametro reikšmę.
Sprendimas. Iš cikloidinių lygčių: y" t = asint, x" t = a(1 – kaina),Štai kodėl

Nuolydžio faktorius liestinė taške M0 lygi vertei adresu t 0 = π/4:

DIFERENCINĖ FUNKCIJA

Tegul funkcija yra taške x 0 turi išvestinę. A prioritetas:
todėl pagal ribos savybes (1.8 p.), kur a– be galo mažas at Δx → 0. Iš čia

Δy = f "(x0)Δx + α × Δx. (2.7)

Kadangi Δx → 0, antrasis lygybės narys (2.7) yra aukštesnės eilės begalinis dydis, palyginti su , todėl Δy ir f " (x 0) × Δx yra lygiaverčiai, be galo maži (jei f "(x 0) ≠ 0).

Taigi funkcijos Δy prieaugis susideda iš dviejų narių, iš kurių pirmasis f "(x 0) × Δx yra Pagrindinė dalis prieaugis Δy, tiesinis Δx atžvilgiu (f "(x 0)≠ 0).

Diferencialinis funkcija f(x) taške x 0 vadinama pagrindine funkcijos prieaugio dalimi ir žymima: dy arba df(x0). Vadinasi,

df (x0) =f "(x0) × Δx. (2.8)

1 pavyzdys. Raskite funkcijos skirtumą dy ir funkcijos Δy prieaugis funkcijai y = x 2, kai:
1) savavališkas x ir Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Sprendimas

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Jei x 0 = 20, Δx = 0,1, tai Δy = 40 × 0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 × 0,1 = 4.

Lygybę (2.7) parašykime tokia forma:

Δy = dy + a × Δx. (2.9)

Prieaugis Δy skiriasi nuo diferencialo dy iki begalinio aukštesnio laipsnio, palyginti su Δx, todėl apytiksliuose skaičiavimuose naudojama apytikslė lygybė Δy ≈ dy, jei Δx yra pakankamai mažas.

Atsižvelgiant į tai, kad Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), gauname apytikslę formulę:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

2 pavyzdys. Apskaičiuokite apytiksliai.

Sprendimas. Apsvarstykite:

Naudodami formulę (2.10) gauname:

Taigi, ≈ 2,025.

Pasvarstykime geometrine prasme diferencialas df(x 0)(2.6 pav.).

Nubrėžkime funkcijos y = f(x) grafiko liestinę taške M 0 (x0, f(x 0)), tegul φ yra kampas tarp liestinės KM0 ir Ox ašies, tada f"( x 0) = tanφ. Iš ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0) × Δx = df(x 0). Bet PN yra liestinės ordinatės prieaugis, kai x keičiasi iš x 0 į x 0 + Δx.

Vadinasi, funkcijos f(x) diferencialas taške x 0 yra lygus liestinės ordinatės prieaugiui.

Raskime funkcijos skirtumą
y = x. Kadangi (x)" = 1, tai dx = 1×Δx = Δx. Laikysime, kad nepriklausomo kintamojo x diferencialas yra lygus jo prieaugiui, ty dx = Δx.

Jei x yra savavališkas skaičius, tai iš lygybės (2.8) gauname df(x) = f "(x)dx, iš kur .
Taigi funkcijos y = f(x) išvestinė yra lygi jos diferencialo ir argumento diferencialo santykiui.

Panagrinėkime funkcijos diferencialo savybes.

Jei u(x), v(x) yra diferencijuojamos funkcijos, galioja šios formulės:

Šioms formulėms įrodyti naudojamos išvestinės funkcijos sumos, sandaugos ir koeficiento formulės. Įrodykime, pavyzdžiui, formulę (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u × v" + u"×v)Δx = u × v"Δx + u"Δx×v = u × dv + v × du.

Panagrinėkime kompleksinės funkcijos diferencialą: y = f(x), x = φ(t), t.y. y = f(φ(t)).

Tada dy = y" t dt, bet y" t = y" x × x" t, taigi dy = y" x x" t dt. Atsižvelgiant į

kad x" t = dx, gauname dy = y" x dx =f "(x)dx.

Taigi, kompleksinės funkcijos diferencialas y = f(x), kur x =φ(t), turi formą dy = f "(x)dx, kaip ir tuo atveju, kai x yra nepriklausomas kintamasis. Ši savybė vadinamas diferencialo formos nekintamumas A.

Funkciją galima nurodyti keliais būdais. Tai priklauso nuo taisyklės, kuri naudojama jai nurodyti. Tiksli funkcijos nurodymo forma yra y = f (x). Būna atvejų, kai jo aprašymas neįmanomas arba nepatogus. Jei yra daug porų (x; y), kurias reikia apskaičiuoti parametrui t per intervalą (a; b). Norėdami išspręsti sistemą x = 3 cos t y = 3 sin t su 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Parametrinės funkcijos apibrėžimas

Iš čia gauname, kad x = φ (t), y = ψ (t) yra apibrėžti reikšme t ∈ (a; b) ir turi atvirkštinę funkciją t = Θ (x), kai x = φ (t), tada mes kalbame apie apie y = ψ (Θ (x)) formos funkcijos parametrinės lygties nurodymą.

Pasitaiko atvejų, kai norint ištirti funkciją, reikia ieškoti išvestinės x atžvilgiu. Panagrinėkime parametriškai apibrėžtos funkcijos y x " = ψ " (t) φ " (t) išvestinės formulę, pakalbėkime apie 2 ir n eilės išvestinę.

Parametriškai apibrėžtos funkcijos išvestinės formulės išvedimas

Turime, kad x = φ (t), y = ψ (t), apibrėžtas ir diferencijuojamas t ∈ a; b, kur x t " = φ " (t) ≠ 0 ir x = φ (t), tada yra atvirkštinė t = Θ (x) formos funkcija.

Pirmiausia turėtumėte pereiti nuo parametrinės užduoties prie aiškios užduoties. Norėdami tai padaryti, turite gauti sudėtingą funkciją, kurios formos y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), kur yra argumentas x.

Remdamiesi kompleksinės funkcijos išvestinės radimo taisykle, gauname, kad y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Tai rodo, kad t = Θ (x) ir x = φ (t) yra atvirkštinės funkcijos iš atvirkštinės funkcijos formulės Θ " (x) = 1 φ " (t), tada y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Pereikime prie kelių pavyzdžių sprendimo, naudojant išvestinių lentelę pagal diferenciacijos taisyklę.

1 pavyzdys

Raskite funkcijos x = t 2 + 1 y = t išvestinę.

Sprendimas

Pagal sąlygą gauname, kad φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, iš čia gauname, kad φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Turite naudoti išvestinę formulę ir parašyti atsakymą tokia forma:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Atsakymas: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Dirbant su funkcijos h išvestine, parametras t nurodo argumento x išraišką per tą patį parametrą t, kad neprarastų ryšio tarp išvestinės reikšmių ir parametriškai apibrėžtos funkcijos su argumentu į kurias šios vertybės atitinka.

Norėdami nustatyti parametriškai pateiktos funkcijos antros eilės išvestinę, gautoje funkcijoje turite naudoti pirmosios eilės išvestinės formulę, tada gausime, kad

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

2 pavyzdys

Raskite duotosios funkcijos x = cos (2 t) y = t 2 2 ir 2 eilės išvestines.

Sprendimas

Pagal sąlygą gauname, kad φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Tada po transformacijos

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Iš to seka, kad y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Gauname, kad 1-osios eilės išvestinės forma yra x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Norėdami išspręsti, turite pritaikyti antros eilės išvestinę formulę. Gauname formos išraišką

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 nuodėmė (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 nuodėmės 3 (2 t) = nuodėmės (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 nuodėmės 3 (2 t)

Tada nurodant 2 eilės išvestinę naudojant parametrinę funkciją

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Panašų sprendimą galima išspręsti naudojant kitą metodą. Tada

φ " t = (cos (2 t)) " = - nuodėmės (2 t) 2 t " = - 2 nuodėmės (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 nuodėmės (2 t) " = - 2 nuodėmės (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Iš čia mes tai gauname

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 nuodėmės (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 nuodėmės 2 t 3 = = nuodėmės (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Atsakymas: y "" x = sin (2 t) – 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Panašiai randamos ir aukštesnės eilės išvestinės su parametriškai apibrėžtomis funkcijomis.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Nestresuokime, viskas šioje pastraipoje taip pat gana paprasta. Galite užrašyti bendrąją parametriškai apibrėžtos funkcijos formulę, bet, kad būtų aišku, iškart parašysiu konkretų pavyzdį. Parametrine forma funkcija pateikiama dviem lygtimis: . Dažnai lygtys rašomos ne po riestiniais skliaustais, o iš eilės: , .

Kintamasis vadinamas parametru ir gali turėti reikšmes nuo „minus begalybės“ iki „pliuso begalybės“. Apsvarstykite, pavyzdžiui, vertę ir pakeiskite ją į abi lygtis: . Arba žmogiškai kalbant: „jei x lygus keturiems, tai y lygus vienetui“. Galite pažymėti tašką koordinačių plokštumoje, ir šis taškas atitiks parametro reikšmę. Panašiai galite rasti tašką bet kuriai parametro „te“ reikšmei. Kalbant apie „įprastą“ funkciją, parametriškai apibrėžtos funkcijos Amerikos indėnams taip pat gerbiamos visos teisės: galite sudaryti grafiką, rasti išvestinius ir pan. Beje, jei reikia nubraižyti parametriškai nurodytos funkcijos grafiką, atsisiųskite mano geometrinę programą puslapyje Matematinės formulės ir lentelės.

Paprasčiausiais atvejais funkciją galima pavaizduoti aiškiai. Išreikškime parametrą iš pirmosios lygties: – ir pakeiskite ją į antrąją lygtį: . Rezultatas yra įprasta kubinė funkcija.

„Sunkesniais“ atvejais šis triukas neveikia. Bet tai nesvarbu, nes yra formulė, kaip rasti parametrinės funkcijos išvestinę:

Randame „žaidimo kintamojo te“ išvestinę:

Visos diferenciacijos taisyklės ir išvestinių lentelė, žinoma, galioja raidei , taigi, darinių paieškos procese nėra naujovių. Tiesiog mintyse pakeiskite visus „X“ lentelėje raide „Te“.

Mes randame „x“ išvestinę kintamojo te atžvilgiu:

Dabar belieka rastus darinius pakeisti į mūsų formulę:

Paruošta. Išvestinė, kaip ir pati funkcija, taip pat priklauso nuo parametro.

Kalbant apie žymėjimą, užuot jį parašius formulėje, būtų galima tiesiog parašyti be indekso, nes tai yra „įprasta“ išvestinė „X atžvilgiu“. Bet literatūroje visada yra galimybė, todėl nuo standarto nenukrypsiu.

6 pavyzdys

Mes naudojame formulę

Tokiu atveju:

Taigi:

Ypatinga parametrinės funkcijos išvestinės radimo ypatybė yra tai, kad kiekviename žingsnyje naudinga kiek įmanoma supaprastinti rezultatą. Taigi nagrinėjamame pavyzdyje, kai jį radau, atidariau skliaustus po šaknimi (nors galbūt to nepadariau). Yra didelė tikimybė, kad pakeitus formulę daug dalykų bus gerai sumažinta. Nors, žinoma, yra pavyzdžių su nerangiais atsakymais.

7 pavyzdys

Raskite parametriškai nurodytos funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Straipsnyje Paprasčiausios tipinės problemos su išvestinėmis priemonėmis pažvelgėme į pavyzdžius, kuriuose reikėjo rasti antrąją funkcijos išvestinę. Parametrai apibrėžtai funkcijai taip pat galite rasti antrąją išvestinę, kuri randama naudojant šią formulę: . Visiškai akivaizdu, kad norėdami rasti antrą išvestinę, pirmiausia turite rasti pirmąjį išvestinį.

8 pavyzdys

Raskite parametriškai pateiktos funkcijos pirmąją ir antrąją išvestines

Pirmiausia suraskime pirmąjį išvestinį.
Mes naudojame formulę

Tokiu atveju:

Pakeičia rastus išvestinius į formulę. Supaprastinimo sumetimais naudojame trigonometrinę formulę:

Pastebėjau, kad sprendžiant parametrinės funkcijos išvestinės paieškos problemą, gana dažnai supaprastinimo tikslais reikia naudoti trigonometrines formules . Prisiminkite juos arba laikykite po ranka ir nepraleiskite progos supaprastinti kiekvieno tarpinio rezultato ir atsakymų. Kam? Dabar turime paimti išvestinę , ir tai yra aiškiai geriau nei rasti išvestinę iš .

Raskime antrąją išvestinę.
Mes naudojame formulę:.

Pažiūrėkime į mūsų formulę. Vardiklis jau buvo rastas ankstesniame žingsnyje. Belieka rasti skaitiklį - pirmosios išvestinės išvestinę kintamojo „te“ atžvilgiu:

Belieka naudoti formulę:

Norėdami sustiprinti medžiagą, siūlau dar porą pavyzdžių, kuriuos galite išspręsti patiems.

9 pavyzdys

10 pavyzdys

Rasti ir parametriškai nurodytai funkcijai

Linkiu sėkmės!

Tikiuosi, kad ši pamoka buvo naudinga ir dabar galite lengvai rasti netiesiogiai ir parametrinių funkcijų nurodytų funkcijų išvestinius

Sprendimai ir atsakymai:

3 pavyzdys: sprendimas:






Taigi: