Hornerio schema – daugianario dalybos metodas

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1) )+a_(2)x^(n-2)+\ltaškai+a_(n-1)x+a_n$$

ant dvejetainio $x-a$. Turėsite dirbti su lentele, kurios pirmoje eilutėje yra nurodyto daugianario koeficientai. Pirmasis antrosios eilutės elementas bus skaičius $a$, paimtas iš dvejetainio $x-a$:

N-ojo laipsnio daugianarį padalijus iš dvinario $x-a$, gauname daugianarį, kurio laipsnis vienu mažesnis už pradinį, t.y. lygus $n-1$. Tiesioginį Hornerio schemos taikymą lengviausia parodyti pavyzdžiais.

1 pavyzdys

Padalinkite $5x^4+5x^3+x^2-11$ iš $x-1$ naudodami Hornerio schemą.

Padarykime dviejų eilučių lentelę: pirmoje eilutėje užrašome daugianario $5x^4+5x^3+x^2-11$ koeficientus, išdėstytus kintamojo $x$ laipsnių mažėjimo tvarka. Atkreipkite dėmesį, kad šiame daugianario nėra $x$ iki pirmojo laipsnio, t.y. $x$ koeficientas iki pirmosios laipsnio yra 0. Kadangi dalijame iš $x-1$, antroje eilutėje rašome vieną:

Pradėkime užpildyti tuščius langelius antroje eilutėje. Antroje antrosios eilutės langelyje įrašome skaičių $5$, tiesiog perkeldami jį iš atitinkamo pirmosios eilutės langelio:

Kitą langelį užpildykime tokiu principu: $1\cdot 5+5=10$:

Taip pat užpildykime ketvirtą antros eilutės langelį: $1\cdot 10+1=11$:

Už penktą langelį gauname: $1\cdot 11+0=11$:

Ir galiausiai, paskutiniame, šeštajame langelyje, turime: $1\cdot 11+(-11)=0$:

Problema išspręsta, belieka užsirašyti atsakymą:

Kaip matote, antroje eilutėje esantys skaičiai (tarp vieno ir nulio) yra daugianario koeficientai, gauti padalijus $5x^4+5x^3+x^2-11$ iš $x-1$. Natūralu, kad pradinio daugianario $5x^4+5x^3+x^2-11$ laipsnis buvo lygus keturiems, gauto daugianario $5x^3+10x^2+11x+11$ laipsnis yra vienas mažiau, t.y. lygus trims. Paskutinis skaičius antroje eilutėje (nulis) reiškia likutį dalijant daugianarį $5x^4+5x^3+x^2-11$ iš $x-1$. Mūsų atveju liekana lygi nuliui, t.y. daugianariai dalijasi tolygiai. Šį rezultatą taip pat galima apibūdinti taip: daugianario $5x^4+5x^3+x^2-11$ reikšmė $x=1$ yra lygi nuliui.

Išvadą galima suformuluoti ir tokia forma: kadangi daugianario $5x^4+5x^3+x^2-11$ reikšmė ties $x=1$ yra lygi nuliui, tai vienybė yra daugianario šaknis. 5x^4+5x^3+ x^2-11$.

2 pavyzdys

Padalinkite daugianarį $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ iš $x+3$, naudodami Hornerio schemą.

Iš karto nustatykime, kad išraiška $x+3$ turi būti pateikta forma $x-(-3)$. Hornerio schema apims lygiai -3 USD. Kadangi pradinio daugianario $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ laipsnis yra lygus keturiems, tai dalybos rezultate gauname trečiojo laipsnio daugianarį:

Rezultatas reiškia

$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

Esant tokiai situacijai, likusi dalis padalijus $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ iš $x+3$ yra $4$. Arba, kas yra tas pats, daugianario $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ vertė $x=-3$ yra lygi $4$. Beje, tai nesunku dar kartą patikrinti, tiesiogiai pakeičiant $x=-3$ į nurodytą daugianarį:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \ctaškas (-3)^3-5 \ctaškas (-3)-47=4.$$

Tie. Hornerio schema gali būti naudojama, jei reikia rasti polinomo reikšmę tam tikrai kintamojo reikšmei. Jei mūsų tikslas yra rasti visas daugianario šaknis, tai Hornerio schemą galima taikyti kelis kartus iš eilės, kol išnaudosime visas šaknis, kaip aptarta 3 pavyzdyje.

3 pavyzdys

Raskite visas daugianario $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ sveikąsias šaknis naudodami Hornerio schemą.

Nagrinėjamo daugianario koeficientai yra sveikieji skaičiai, o didžiausios kintamojo laipsnio koeficientas (t.y. $x^6$) lygus vienetui. Šiuo atveju tarp laisvojo nario daliklių reikia ieškoti sveikųjų daugianario šaknų, t.y. tarp skaičiaus 45 daliklių. Tam tikro daugianario tokios šaknys gali būti skaičiai $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 USD ir -45 USD; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1 $. Patikrinkime, pavyzdžiui, skaičių $1$:

Kaip matote, daugianario $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ vertė su $x=1$ yra lygi $192$ (paskutinis skaičius antroje eilutėje), o ne $0 $, todėl vienybė nėra šio daugianario šaknis. Kadangi vieno patikrinimas nepavyko, patikrinkime reikšmę $x=-1$. Tam naujos lentelės nekursime, bet toliau naudosime lentelę. Nr. 1, pridedant prie jo naują (trečią) eilutę. Antroji eilutė, kurioje buvo pažymėta 1 USD vertė, bus paryškinta raudonai ir nebus naudojama tolesnėse diskusijose.

Žinoma, lentelę galite tiesiog perrašyti dar kartą, tačiau jos pildymas rankiniu būdu užtruks daug laiko. Be to, gali būti keli skaičiai, kurių patikrinimas nepavyks, ir kiekvieną kartą sunku parašyti naują lentelę. Skaičiuojant „ant popieriaus“, raudonas linijas galima tiesiog perbraukti.

Taigi, daugianario $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ reikšmė ties $x=-1$ lygi nuliui, t.y. skaičius $-1$ yra šio daugianario šaknis. Padalijus daugianarį $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ iš dvinario $x-(-1)=x+1$, gauname daugianarį $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, kurių koeficientai paimti iš trečios lentelės eilės. Nr. 2 (žr. pavyzdį Nr. 1). Skaičiavimų rezultatas taip pat gali būti pateiktas tokia forma:

\begin(lygtis)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\pabaiga (lygtis)

Tęskime sveikųjų skaičių šaknų paiešką. Dabar reikia ieškoti daugianario $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ šaknų. Vėlgi, sveikųjų šio daugianario šaknų ieškoma tarp jo laisvojo termino daliklių, skaičių $45$. Pabandykime dar kartą patikrinti skaičių $-1$. Mes nekursime naujos lentelės, bet toliau naudosime ankstesnę lentelę. Nr.2, t.y. Pridėkime prie jo dar vieną eilutę:

Taigi skaičius $-1$ yra daugianario $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ šaknis. Rezultatą galima parašyti taip:

\begin(lygtis)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(lygtis)

Atsižvelgiant į lygybę (2), lygybė (1) gali būti perrašyta tokia forma:

\begin (lygtis)\begin (lygiuotas) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4–22x^2+24x+45)\pabaiga (sulygiuota)\pabaiga (lygtis)

Dabar reikia ieškoti daugianario $x^4-22x^2+24x+45$ šaknų – natūralu, tarp jo laisvojo nario daliklių (skaičiai $45$). Dar kartą patikrinkime skaičių $-1$:

Skaičius $-1$ yra daugianario $x^4-22x^2+24x+45$ šaknis. Rezultatą galima parašyti taip:

\begin(lygtis)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(lygtis)

Atsižvelgdami į lygybę (4), lygybę (3) perrašome tokia forma:

\begin (lygtis)\begin (lygiuotas) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2–21x+45)\pabaiga (sulygiuota)\pabaiga (lygtis)

Dabar ieškome daugianario $x^3-x^2-21x+45$ šaknų. Dar kartą patikrinkime skaičių $-1$:

Patikrinimas baigėsi nesėkmingai. Pažymėkime šeštąją eilutę raudonai ir pabandykime patikrinti kitą skaičių, pavyzdžiui, skaičių $3$:

Likutis lygus nuliui, todėl skaičius $3$ yra aptariamo daugianario šaknis. Taigi, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Dabar lygybę (5) galima perrašyti taip.

3 skaidrė

Horner Williams George (1786-1837 9 22) – anglų matematikas. Gimė Bristolyje. Ten jis mokėsi ir dirbo, vėliau – Bato mokyklose. Pagrindiniai algebros darbai. 1819 metais paskelbė daugianario realiųjų šaknų apytikrio apskaičiavimo metodą, kuris dabar vadinamas Ruffini-Horner metodu (šis metodas kinams buvo žinomas dar XIII a.) Polinomo padalijimo iš binomo x-a schema pavadinta. po Hornerio.

4 skaidrė

HORNERIO SCHEMA

Padalijimo metodas n-asis daugianario tiesinio dvinario laipsnis - a, remiantis tuo, kad nepilnojo dalinio ir liekanos koeficientai yra susieti su dalijamojo daugianario koeficientais ir su formulėmis:

5 skaidrė

Skaičiavimai pagal Hornerio schemą pateikiami lentelėje:

Pavyzdys 1. Padalinimas Dalinis koeficientas yra x3-x2+3x - 13, o likusioji dalis yra 42=f(-3).

6 skaidrė

Pagrindinis šio metodo privalumas yra žymėjimo kompaktiškumas ir galimybė greitai padalinti daugianarį į dvinarį. Tiesą sakant, Hornerio schema yra dar viena grupavimo metodo įrašymo forma, nors, skirtingai nei pastarasis, ji yra visiškai nevaizdi. Atsakymas (faktorizavimas) čia gaunamas savaime, o jo gavimo proceso nematome. Mes nesiimsime į griežtą Hornerio schemos pagrindimą, o tik parodysime, kaip ji veikia.

7 skaidrė

2 pavyzdys.

Įrodykime, kad daugianomas P(x)=x4-6x3+7x-392 dalijasi iš x-7, ir raskime dalybos koeficientą. Sprendimas. Naudodami Hornerio schemą randame P(7): Iš čia gauname P(7)=0, t.y. dalijant daugianarį iš x-7 likusioji dalis yra lygi nuliui, todėl polinomas P(x) yra (x-7) kartotinis. Be to, antroje lentelės eilutėje esantys skaičiai yra skaitiklio koeficientai. P(x) dalinys, padalytas iš (x-7), todėl P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

8 skaidrė

Padalinkite daugianario koeficientą x3 – 5x2 – 2x + 16.

Šis daugianomas turi sveikųjų skaičių koeficientus. Jei sveikasis skaičius yra šio daugianario šaknis, tai jis yra skaičiaus 16 daliklis. Taigi, jei duotasis daugianomas turi sveikųjų skaičių šaknis, tai gali būti tik skaičiai ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Tiesioginiu patikrinimu įsitikiname, kad skaičius 2 yra šio daugianario šaknis, tai yra x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), kur Q(x) yra antrojo laipsnio daugianario

9 skaidrė

Gauti skaičiai 1, −3, −8 yra daugianario koeficientai, gaunami pradinį daugianarį padalijus iš x – 2. Tai reiškia, kad padalijimo rezultatas yra: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Dauginamo laipsnis, gautas padalijus, visada yra 1 mažesnis už pradinio laipsnį. Taigi: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2) (x2 – 3x – 8).

Atgal į priekį

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jeigu tu susidomėjai Šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Pamokos tipas: Pirminių žinių įsisavinimo ir įtvirtinimo pamoka.

Pamokos tikslas:

• Supažindinkite mokinius su daugianario šaknų samprata ir išmokykite juos rasti. Tobulinkite įgūdžius naudojant Hornerio schemą, skirtą daugianario išplėtimo laipsniais ir daugianario padalijimui iš dvejetainio.
• Išmokite rasti lygties šaknis naudodami Hornerio schemą.
• Ugdykite abstraktų mąstymą.
• Puoselėti kompiuterių kultūrą.
• Tarpdisciplininių ryšių plėtra.

Per užsiėmimus

1. Organizacinis momentas.

Informuokite pamokos temą, suformuluokite tikslus.

2. Namų darbų tikrinimas.

3. Naujos medžiagos studijavimas.

Tegul Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - n laipsnio daugianario x, kur a 0, a 1,...,a n yra pateikti skaičiai, o a 0 nėra lygus 0. Jei daugianarį F n (x) padaliname su likučiu iš dvinario x-a, tada dalinys (neužbaigtas koeficientas) yra n-1 laipsnio daugianomas Q n-1 (x), likusioji dalis R yra skaičius, o lygybė yra teisinga F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. Dauginamas F n (x) dalijasi iš dvinaro (x-a) tik tuo atveju, kai R=0.

Bezout teorema: Likutis R dalijant daugianarį F n (x) iš dvejetainio (x-a) lygi vertei daugianario F n (x), kai x=a, t.y. R = Pn(a).

Šiek tiek istorijos. Bezouto teorema, nepaisant akivaizdaus paprastumo ir akivaizdumo, yra viena iš pagrindinių daugianario teorijos teoremų. Ši teorema sieja daugianario algebrines savybes (kurios leidžia daugianarius traktuoti kaip sveikuosius skaičius) su jų funkcinėmis savybėmis (kurios leidžia daugianario traktuoti kaip funkcijas). Vienas iš būdų išspręsti aukštesnio laipsnio lygtis yra kairėje lygties pusėje esantį polinomą. Dauginamo ir liekanos koeficientų apskaičiavimas parašytas lentelės forma, vadinama Hornerio schema.

Hornerio schema yra daugianarių dalijimo algoritmas, parašytas ypatingam atvejui, kai koeficientas yra lygus dvinariui x–a.

Horneris Viljamas Džordžas (1786–1837), anglų matematikas. Pagrindiniai tyrimai yra susiję su teorija algebrines lygtis. Sukūrė bet kokio laipsnio lygčių apytikslio sprendimo metodą. 1819 m. jis pristatė svarbų algebros metodą, dalijantį daugianarį iš dvejetainio x - a (Hornerio schema).

Hornerio schemos bendrosios formulės išvedimas.

Padalijus polinomą f(x) su liekana iš dvejetainio (x-c) reiškia, kad reikia rasti daugianarį q(x) ir skaičių r, kad f(x)=(x-c)q(x)+r

Parašykime šią lygybę išsamiai:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n = (x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

Sulyginkime koeficientus tais pačiais laipsniais:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 – c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 – c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

Hornerio grandinės demonstravimas naudojant pavyzdį.

1 pratimas. Naudodami Hornerio schemą, daugianarį f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 su likusia dalijame iš dvejetainio x-2.

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6) -4, kur g(x) = (x 2 -3x-6), r = -4 liekana.

Daugiakalnio plėtimas dvinario laipsniais.

Naudodami Hornerio schemą, daugianario f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 išplečiame dvinario (x+2) laipsniais.

Dėl to turėtume gauti išplėtimą f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2) ((x-1) )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2) 2 -2(x+2)+12

Hornerio schema dažnai naudojama sprendžiant trečiojo, ketvirto ir aukštesnio laipsnio lygtis, kai patogu daugianarį išplėsti į dvinarį x-a. Skaičius a paskambino daugianario šaknis F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, jei x=a daugianario F n (x) reikšmė lygi nuliui: F n (a)=0, t.y. jei daugianaris dalijasi iš binomo x-a.

Pavyzdžiui, skaičius 2 yra daugianario F 3 (x)=3x 3 -2x-20 šaknis, nes F 3 (2)=0. tai reiškia. Kad šio daugianario faktorizacija turi koeficientą x-2.

F 3 (x) = 3x 3 -2x-20 = (x-2) (3x 2 +6x+10).

Bet koks F n(x) laipsnio daugianomas n 1 negali turėti daugiau n tikrosios šaknys.

Bet kuri sveikoji lygties šaknis su sveikųjų skaičių koeficientais yra jos laisvojo nario daliklis.

Jei pirminis lygties koeficientas yra 1, tada visi racionalios šaknys lygtys, jei jos egzistuoja, yra sveikieji skaičiai.

Studijuotos medžiagos konsolidavimas.

Naujai medžiagai įtvirtinti mokiniai kviečiami pildyti skaičius iš vadovėlio 2.41 ir 2.42 (p. 65).

(2 mokiniai sprendžia prie lentos, o likusieji, apsisprendę, pasitikrina užduotis sąsiuvinyje su atsakymais lentoje).

Apibendrinant.

Suvokus Hornerio schemos sandarą ir veikimo principą, ji gali būti naudojama ir informatikos pamokose, kai svarstomas sveikųjų skaičių konvertavimas iš dešimtainės skaičių sistemos į dvejetainę sistemą ir atvirkščiai. Perėjimo iš vienos skaičių sistemos į kitą pagrindas yra tokia bendroji teorema

Teorema. Norėdami konvertuoti sveiką skaičių Ap iš p-arinė skaičių sistema į bazinę skaičių sistemą d būtina Ap nuosekliai padalykite su likusia dalimi iš skaičiaus d, parašyta tame pačiame p-arinė sistema, kol gautas koeficientas tampa lygus nuliui. Likusios dalybos bus d- skaitiniai skaitmenys Reklama, pradedant nuo jauniausios kategorijos iki vyriausios. Visi veiksmai turi būti atlikti p-arinė skaičių sistema. Vyrui šią taisyklę patogu tik tada, kai p= 10, t.y. verčiant iš dešimtainė sistema. Kalbant apie kompiuterį, priešingai, jam „patogiau“ atlikti skaičiavimus dvejetainė sistema. Todėl norint konvertuoti „2“ į 10, dvejetainėje sistemoje naudojamas nuoseklus padalijimas iš dešimties, o „10 į 2“ yra dešimties laipsnių pridėjimas. Norint optimizuoti „10 in 2“ procedūros skaičiavimus, kompiuteris naudoja Hornerio ekonomiško skaičiavimo schemą.

Namų darbai. Siūloma atlikti dvi užduotis.

1-oji Naudodami Hornerio schemą, padalinkite daugianarį f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 iš dvejetainio (x-3).

2-oji. Raskite daugianario f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 sveikąsias šaknis (atsižvelgiant į tai, kad bet kuri sveikoji lygties šaknis su sveikųjų skaičių koeficientais yra jos laisvojo nario daliklis)

Literatūra.

1. Kurosh A.G. „Aukštosios algebros kursas“.
2. Nikolskis S.M., Potapovas M.K. ir kt.10 klasė „Algebra ir matematinės analizės pradžia“.
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.

Sprendžiant lygtis ir nelygybes, dažnai reikia koeficientuoti daugianarį, kurio laipsnis yra trys ar didesnis. Šiame straipsnyje apžvelgsime paprasčiausią būdą tai padaryti.

Kaip įprasta, pagalbos ieškokime teorijos.

Bezouto teorema teigia, kad liekana dalijant daugianarį iš dvejetainio yra .

Bet mums svarbi ne pati teorema, o iš to išplaukia:

Jei skaičius yra daugianario šaknis, tai daugianomas dalijasi iš dvejetainio be liekanos.

Mes susiduriame su užduotimi kažkaip rasti bent vieną daugianario šaknį, tada padalinti daugianarį iš , kur yra daugianario šaknis. Dėl to gauname daugianarį, kurio laipsnis yra vienu mažesnis už pradinio laipsnį. Ir tada, jei reikia, galite pakartoti procesą.

Ši užduotis suskirstyta į dvi dalis: kaip rasti daugianario šaknį ir kaip padalyti daugianarį iš dvejetainio.

Pažvelkime į šiuos dalykus atidžiau.

1. Kaip rasti daugianario šaknį.

Pirmiausia patikriname, ar skaičiai 1 ir -1 yra daugianario šaknys.

Čia mums padės šie faktai:

Jei visų daugianario koeficientų suma lygi nuliui, tai skaičius yra daugianario šaknis.

Pavyzdžiui, daugianario koeficientų suma lygi nuliui: . Nesunku patikrinti, kas yra daugianario šaknis.

Jei lyginių laipsnių daugianario koeficientų suma yra lygi nelyginių laipsnių koeficientų sumai, tai skaičius yra daugianario šaknis. Laisvasis terminas laikomas lyginio laipsnio koeficientu, nes , a yra lyginis skaičius.

Pavyzdžiui, daugianario lyginių laipsnių koeficientų suma yra: , o nelyginių laipsnių koeficientų suma yra: . Nesunku patikrinti, kas yra daugianario šaknis.

Jei nei 1, nei -1 nėra daugianario šaknys, tada judame toliau.

Sumažėjusiam laipsnio polinomui (ty polinomui, kurio pagrindinis koeficientas - koeficientas at - yra lygus vienetui), galioja Vietos formulė:

Kur yra daugianario šaknys.

Taip pat yra Vieta formulių, susijusių su likusiais daugianario koeficientais, bet mus domina ši.

Iš šios Vietos formulės išplaukia, kad jei daugianario šaknys yra sveikieji skaičiai, tai jos yra jo laisvojo nario, kuris taip pat yra sveikasis skaičius, dalikliai.

Remiantis tuo, turime suskaidyti laisvąjį daugianario narį į veiksnius ir nuosekliai, nuo mažiausio iki didžiausio, patikrinti, kuris iš veiksnių yra daugianario šaknis.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, daugianarį

Laisvojo termino dalikliai: ; ; ;

Visų daugianario koeficientų suma yra lygi , todėl skaičius 1 nėra daugianario šaknis.

Lyginių galių koeficientų suma:

Nelyginių laipsnių koeficientų suma:

Todėl skaičius -1 taip pat nėra daugianario šaknis.

Patikrinkime, ar skaičius 2 yra daugianario šaknis: vadinasi, skaičius 2 yra daugianario šaknis. Tai reiškia, kad pagal Bezouto teoremą daugianaris dalijasi iš binomo be liekanos.

2. Kaip padalinti daugianarį į dvinarį.

Polinomą į dvinarį galima padalyti stulpeliu.

Padalinkite daugianarį iš dvejetainio naudodami stulpelį:

Yra ir kitas būdas padalyti daugianarį iš dvejetainio – Hornerio schema.

Norėdami suprasti, žiūrėkite šį vaizdo įrašą kaip padalinti daugianarį iš dvejetainio su stulpeliu ir naudojant Hornerio diagramą.

Atkreipiu dėmesį, kad jei dalijant iš stulpelio pradiniame daugianario trūksta tam tikro laipsnio nežinomybės, jo vietoje rašome 0 - taip pat, kaip ir sudarydami Hornerio schemos lentelę.

Taigi, jei mums reikia padalyti daugianarį iš binomo ir dėl padalijimo gauname daugianarį, tada galime rasti daugianario koeficientus naudodami Hornerio schemą:

Taip pat galime naudoti Hornerio schema norint patikrinti, ar duotas skaičius yra daugianario šaknis: jei skaičius yra daugianario šaknis, tai liekana, padalijant daugianarį iš yra lygi nuliui, tai yra antrosios eilutės paskutiniame stulpelyje. Hornerio diagramoje gauname 0.

Naudodami Hornerio schemą „nužudome du paukščius vienu akmeniu“: vienu metu patikriname, ar skaičius yra daugianario šaknis, ir padalijame šį daugianarį iš binomo.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį:

1. Užrašykime laisvojo nario daliklius ir tarp laisvojo nario daliklių ieškokime daugianario šaknų.

Dalikliai iš 24:

2. Patikrinkime, ar skaičius 1 yra daugianario šaknis.

Dauginamo koeficientų suma, todėl skaičius 1 yra daugianario šaknis.

3. Padalinkite pradinį daugianarį į dvinarį pagal Hornerio schemą.

A) Pirmoje lentelės eilutėje užrašykime pradinio daugianario koeficientus.

Kadangi trūksta turinčiojo termino, lentelės stulpelyje, kuriame turėtų būti rašomas koeficientas, rašome 0. Kairėje rašome rastą šaknį: skaičių 1.

B) Užpildykite pirmąją lentelės eilutę.

Paskutiniame stulpelyje, kaip ir tikėtasi, gavome nulį; pradinį daugianarį padalinome iš dvejetainio be liekanos. Dauginamo, gauto padalijus, koeficientai antroje lentelės eilutėje rodomi mėlyna spalva:

Nesunku patikrinti, ar skaičiai 1 ir -1 nėra daugianario šaknys

B) Tęskime lentelę. Patikrinkime, ar skaičius 2 yra daugianario šaknis:

Taigi daugianario laipsnis, gaunamas padalijus iš vieneto mažesnis laipsnis pradinio daugianario, todėl koeficientų skaičius ir stulpelių skaičius yra vienu mažiau.

Paskutiniame stulpelyje gavome -40 - skaičių, kuris nėra lygus nuliui, todėl daugianaris dalijasi iš dvinalio su liekana, o skaičius 2 nėra daugianario šaknis.

C) Patikrinkime, ar skaičius -2 yra daugianario šaknis. Kadangi ankstesnis bandymas nepavyko, kad nebūtų painiavos su koeficientais, ištrinsiu eilutę, atitinkančią šį bandymą:

Puiku! Kaip liekaną gavome nulį, todėl daugianomas buvo padalintas į dvinarį be liekanos, todėl skaičius -2 yra daugianario šaknis. Daugianaro, gauto padalijus daugianarį iš dvejetainio, koeficientai lentelėje rodomi žaliai.

Dėl padalijimo gauname kvadratinį trinarį , kurio šaknis galima lengvai rasti naudojant Vietos teoremą:

Taigi pradinės lygties šaknys yra šios:

{}

Atsakymas:( }

Pamokos tikslai:

• mokyti mokinius spręsti lygtis aukštesni laipsniai naudojant Hornerio schemą;
• ugdyti gebėjimą dirbti poromis;
• kartu su pagrindinėmis kurso dalimis sukurti studentų gebėjimų ugdymo pagrindą;
• padėti mokiniui įvertinti savo potencialą, ugdyti domėjimąsi matematika, gebėjimą mąstyti ir kalbėti šia tema.

Įranga: atvirutės grupiniam darbui, plakatas su Hornerio diagrama.

Mokymo metodas: paskaita, pasakojimas, paaiškinimas, lavinamųjų pratimų atlikimas.

Kontrolės forma: savarankiškų problemų sprendimo tikrinimas, savarankiškas darbas.

Per užsiėmimus

1. Organizacinis momentas

2. Mokinių žinių atnaujinimas

Kokia teorema leidžia nustatyti, ar skaičius yra duotosios lygties šaknis (suformuluoti teoremą)?

Bezouto teorema. Polinomo P(x) dalybos iš dvinaro liekana x-c yra lygus P(c), skaičius c vadinamas daugianario P(x) šaknimi, jei P(c)=0. Teorema leidžia neatliekant padalijimo operacijos nustatyti, ar duotas skaičius yra daugianario šaknis.

Kokie teiginiai padeda lengviau rasti šaknis?

a) Jei daugianario pirmaujantis koeficientas lygus vienetui, tai daugianario šaknų reikia ieškoti tarp laisvojo nario daliklių.

b) Jei daugianario koeficientų suma lygi 0, tai viena iš šaknų lygi 1.

c) Jei koeficientų suma lyginėse vietose yra lygi nelyginių vietų koeficientų sumai, tai viena iš šaknų lygi -1.

d) Jei visi koeficientai yra teigiami, tai daugianario šaknys yra neigiami skaičiai.

e) Nelyginio laipsnio daugianario turi bent vieną tikrąją šaknį.

3. Naujos medžiagos mokymasis

Spręsdami visas algebrines lygtis, turite rasti daugianario šaknų reikšmes. Šią operaciją galima žymiai supaprastinti, jei skaičiavimai atliekami naudojant specialų algoritmą, vadinamą Hornerio schema. Ši grandinė pavadinta anglų mokslininko Williamo George'o Hornerio vardu. Hornerio schema yra daugianario P(x) dalijimo iš x-c koeficiento ir liekanos skaičiavimo algoritmas. Trumpai kaip tai veikia.

Tegu pateiktas savavališkas daugianomas P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Padalijus šį daugianarį iš x-c, gaunamas jo vaizdas P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Dalinis g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1, kur 0 =a 0, n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Likutis r(x)= st n-1 +a n. Šis skaičiavimo metodas vadinamas Hornerio schema. Algoritmo pavadinime esantis žodis „schema“ yra dėl to, kad jo įgyvendinimas dažniausiai suformatuojamas taip. Pirmiausia nubraižykite lentelę 2(n+2). Apatiniame kairiajame langelyje parašykite skaičių c, o viršutinėje eilutėje – daugianario P(x) koeficientus. Šiuo atveju viršutinis kairysis langelis paliekamas tuščias.

	0 =a 0	1 =st 1 +a 1	2 = sv 1 + A 2		n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

Skaičius, kuris, įvykdžius algoritmą, pasirodo, parašytas apatiniame dešiniajame langelyje, yra polinomo P(x) dalybos iš x-c liekana. Kiti skaičiai 0, 1, 2,... apatinėje eilutėje yra dalinio koeficientai.

Pavyzdžiui: polinomą P(x)= x 3 -2x+3 padalinkite iš x-2.

Gauname, kad x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Studijuotos medžiagos konsolidavimas

1 pavyzdys: Padalinkite daugianarį P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 į veiksnius su sveikųjų skaičių koeficientais.

Ištisų šaknų ieškome tarp laisvojo termino daliklių -1: 1; -1. Padarykime lentelę:

X = -1 – šaknis

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

Patikrinkim 1/2.

					X=1/2 – šaknis

Todėl polinomas P(x) gali būti pavaizduotas forma

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

2 pavyzdys: Išspręskite lygtį 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Kadangi kairėje lygties pusėje užrašyto daugianario koeficientų suma lygi nuliui, tai viena iš šaknų yra 1. Pasinaudokime Hornerio schema:

						X=1 – šaknis

Gauname P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Šaknų ieškosime tarp laisvojo termino 2 daliklių.

Sužinojome, kad sveikų šaknų nebėra. Patikrinkim 1/2; -1/2.

					X= -1/2 - šaknis

Atsakymas: 1; -1/2.

3 pavyzdys: Išspręskite lygtį 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Šios lygties šaknų ieškosime tarp laisvojo termino 5 daliklių: 1;-1;5;-5. x=1 yra lygties šaknis, nes koeficientų suma lygi nuliui. Naudokime Hornerio schemą:

Pateikime lygtį kaip trijų veiksnių sandaugą: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Sprendžiant kvadratinė lygtis 5x 2 -7x+5=0, gavome D=49-100=-51, šaknų nėra.

1 kortelė

1. Dauginamojo koeficiento koeficientas: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Išspręskite lygtį: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

2 kortelė

1. Dauginamojo koeficiento koeficientas: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Išspręskite lygtį: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

3 kortelė

1. Koeficientas į: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Išspręskite lygtį: x 3 -2x 2 +4x-8=0

4 kortelė

1. Koeficientas: 5x3 -46x2 +79x-14
2. Išspręskite lygtį: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Apibendrinant

Žinių tikrinimas sprendžiant poromis atliekamas klasėje atpažįstant veiksmo būdą ir atsakymo pavadinimą.

Namų darbai:

Išspręskite lygtis:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x4 -36x3 +62x2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

Literatūra

1. N.Ya. Vilenkin ir kt., Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė ( giluminis tyrimas Matematika): Švietimas, 2005 m.
2. U.I. Sacharčiukas, L.S. Sagatelova, Aukštesnių laipsnių lygčių sprendimas: Volgogradas, 2007 m.
3. S.B. Gashkov, Skaičių sistemos ir jų taikymas.