Tegu duota kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0.
Taikykime kvadratiniam trinariui ax 2 + bx + c tas pačias transformacijas, kurias atlikome § 13, kai įrodėme teoremą, kad funkcijos y = ax 2 + bx + c grafikas yra parabolė.
Mes turime

Paprastai išraiška b 2 - 4ac žymima raide D ir vadinama diskriminantu kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0 (arba kvadratinio trinalio ax + bx + c diskriminantas).

Taigi

Tai reiškia, kad kvadratinė lygtis ax 2 + jie + c = O gali būti perrašyta forma

Bet kurią kvadratinę lygtį galima paversti forma (1), o tai patogu, kaip dabar matysime, norint nustatyti kvadratinės lygties šaknų skaičių ir rasti šias šaknis.

Įrodymas. Jeigu D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Sprendimas. Čia a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Kadangi D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Įrodymas. Jei D = 0, tada (1) lygtis įgauna formą

yra vienintelė lygties šaknis.

1 pastaba. Ar prisimenate, kad x = - yra parabolės viršūnės abscisė, kuri yra funkcijos y = ax 2 + jie + c grafikas? Kodėl tai
reikšmė pasirodė esanti vienintelė kvadratinės lygties šaknis ax 2 + jie + c - 0? „Karstas“ atsidaro paprastai: jei D yra 0, tada, kaip nustatėme anksčiau,

Tos pačios funkcijos grafikas yra parabolė, kurios viršūnė yra taške (žr., pavyzdžiui, 98 pav.). Tai reiškia, kad parabolės viršūnės abscisė ir vienintelė kvadratinės lygties šaknis, kai D = 0, yra tas pats skaičius.

2 pavyzdys. Išspręskite lygtį 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Sprendimas. Čia a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

Kadangi D = 0, tai pagal 2 teoremą ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį. Ši šaknis randama pagal formulę

Atsakymas: 2.5.

Užrašas 2. Atminkite, kad 4x 2 - 20x +25 yra tobulas kvadratas: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Jei būtume tai pastebėję iš karto, lygtį būtume išsprendę taip: (2x - 5) 2 = 0, vadinasi, 2x - 5 = 0, iš kurios gauname x = 2,5. Apskritai, jei D = 0, tada

ax 2 + bx + c = – tai pažymėjome anksčiau 1 pastaboje.
Jei D > 0, tai kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0 turi dvi šaknis, kurios randamos pagal formules

Įrodymas. Perrašykime kvadratinę lygtį ax 2 + b x + c = 0 į formą (1)

Padėkime
Pagal sąlygą D > 0, o tai reiškia, kad dešinioji lygties pusė yra teigiamas skaičius. Tada iš (2) lygties gauname tai

Taigi duota kvadratinė lygtis turi dvi šaknis:

3 pastaba. Matematikoje retai pasitaiko, kad įvestas terminas neturi, vaizdžiai tariant, kasdieninio fono. Imkimės kažko naujo
sąvoka – diskriminuojanti. Prisiminkite žodį „diskriminacija“. Ką tai reiškia? Tai reiškia vienų pažeminimą, o kitų – išaukštinimą, t.y. kitoks požiūris
įvairiems žmonėms. Abu žodžiai (diskriminuojantis ir diskriminuojantis) kilę iš lotyniško žodžio discriminan – „diskriminuojantis“. Diskriminantas išskiria kvadratines lygtis pagal šaknų skaičių.

3 pavyzdys. Išspręskite lygtį 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Sprendimas. Čia a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Kadangi D > 0, tai pagal 3 teoremą ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Šios šaknys randamos pagal (3) formules.

Tiesą sakant, mes sukūrėme tokią taisyklę:

Lygties sprendimo taisyklė
ax 2 + bx + c = 0

Ši taisyklė yra universali, ji taikoma tiek pilnoms, tiek nepilnoms kvadratinėms lygtims. Tačiau nepilnos kvadratinės lygtys paprastai nėra išsprendžiamos naudojant šią taisyklę, patogiau jas išspręsti, kaip darėme ankstesnėje pastraipoje.

4 pavyzdys. Išspręskite lygtis:

a) x 2 + 3x - 5 = 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Sprendimas. a) Čia a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Kadangi D > 0, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Šias šaknis randame naudodami formules (3)

B) Kaip rodo patirtis, patogiau nagrinėti kvadratines lygtis, kuriose pirmaujantis koeficientas yra teigiamas. Todėl pirmiausia abi lygties puses padauginame iš -1, gauname

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Čia a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Kadangi D = 0, ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį. Ši šaknis randama pagal formulę x = -. Reiškia,

Šią lygtį būtų galima išspręsti kitaip: kadangi
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, tada gauname lygtį (Зх - I) 2 = 0, iš kur randame Зх - 1 = 0, t.y. x = .

c) Čia a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3,5 = 1 - 28 = - 27. Kadangi D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matematikai – praktiški, ekonomiški žmonės. Kodėl, sakoma, kvadratinei lygčiai išspręsti naudojama tokia ilga taisyklė, geriau iš karto parašyti bendrą formulę:

Jei paaiškėja, kad diskriminantas D = b 2 - 4ac yra neigiamas skaičius, tada parašyta formulė neturi prasmės (po ženklu kvadratinė šaknis yra neigiamas skaičius), o tai reiškia, kad nėra šaknų. Jei paaiškėja, kad diskriminantas yra lygus nuliui, tada gauname

Tai yra, viena šaknis (jie taip pat sako, kad kvadratinė lygtis šiuo atveju turi dvi identiškas šaknis:

Galiausiai, jei paaiškėja, kad b 2 - 4ac > 0, tada gauname dvi šaknis x 1 ir x 2, kurios apskaičiuojamos naudojant tas pačias formules (3), kaip nurodyta aukščiau.

Pats skaičius šiuo atveju yra teigiamas (kaip ir bet kuri kvadratinė šaknis iš teigiamo skaičiaus), o prieš jį esantis dvigubas ženklas reiškia, kad vienu atveju (kai randama x 1) šis teigiamas skaičius pridedamas prie skaičiaus - b, ir kitu atveju (kai randama x 2) tai yra teigiamas skaičius
skaityti iš skaičiaus - b.

Jūs turite pasirinkimo laisvę. Ar norite išsamiai išspręsti kvadratinę lygtį naudodami aukščiau suformuluotą taisyklę; Jei norite, iš karto užsirašykite (4) formulę ir naudokite ją, kad padarytumėte reikiamas išvadas.

5 pavyzdys. Išspręskite lygtis:

Sprendimas, a) Žinoma, galite naudoti (4) arba (3) formules, atsižvelgiant į tai, kad šiuo atveju Bet kam daryti dalykus su trupmenomis, kai lengviau ir, svarbiausia, maloniau tvarkyti sveikuosius skaičius? Atsikratykime vardiklių. Norėdami tai padaryti, turite padauginti abi lygties puses iš 12, tai yra, iš mažiausio bendrųjų trupmenų, kurie naudojami kaip lygties koeficientai, vardiklio. Mes gauname

iš kur 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Dabar naudokime formulę (4)

B) Vėl turime lygtį su trupmeniniais koeficientais: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Padauginkime abi lygties puses iš 100, tada gausime lygtį su sveikųjų skaičių koeficientais:
300 x 2 – 20 x + 277 = 0.
Tada naudojame formulę (4):

Paprastas skaičiavimas rodo, kad diskriminantas (radikalioji išraiška) yra neigiamas skaičius. Tai reiškia, kad lygtis neturi šaknų.

6 pavyzdys. Išspręskite lygtį
Sprendimas. Čia, skirtingai nei ankstesniame pavyzdyje, geriau veikti pagal taisyklę, o ne pagal sutrumpintą formulę (4).

Turime a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Kadangi D > 0, kvadratinė lygtis turi dvi šaknis, kurių ieškosime naudodami formules (3)

7 pavyzdys. Išspręskite lygtį
x 2 – (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

Sprendimas. Ši kvadratinė lygtis skiriasi nuo visų iki šiol nagrinėtų kvadratinių lygčių tuo, kad koeficientai nėra konkretūs skaičiai, o pažodiniai posakiai. Tokios lygtys vadinamos lygtimis su raidžių koeficientais arba lygtimis su parametrais. Šiuo atveju parametras (raidė) p įtraukiamas į antrąjį koeficientą ir laisvąjį lygties narį.
Raskime diskriminantą:

8 pavyzdys. Išspręskite lygtį px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Sprendimas. Tai taip pat lygtis su parametru p, tačiau, skirtingai nei ankstesniame pavyzdyje, jos negalima iš karto išspręsti naudojant (4) arba (3) formules. Faktas yra tas, kad nurodytos formulės yra taikomos kvadratinėms lygtims, tačiau mes dar negalime to pasakyti apie pateiktą lygtį. Iš tiesų, kas, jei p = 0? Tada
lygtis bus 0 formos. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, t.y. x - 1 = 0, iš kurio gauname x = 1. Dabar, jei tikrai žinote, kad , tuomet galite pritaikyti kvadrato šaknų formules lygtis:

Pirmas lygis

Kvadratinės lygtys. Išsamus vadovas (2019)

Sąvokoje „kvadratinė lygtis“ pagrindinis žodis yra „kvadratinė“. Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti kintamasis (tas pats x) kvadratu, o trečiosios (ar didesnės) laipsnio x neturėtų būti.

Daugelio lygčių sprendimas yra kvadratinių lygčių sprendimas.

Išmokime nustatyti, kad tai yra kvadratinė lygtis, o ne kokia nors kita lygtis.

1 pavyzdys.

Atsikratykime vardiklio ir kiekvieną lygties narį padauginkime iš

Viską perkelkime į kairė pusė ir išdėstykite terminus mažėjančia x laipsnių tvarka

Dabar galime drąsiai teigti, kad ši lygtis yra kvadratinė!

2 pavyzdys.

Padauginkime kairę ir dešinioji pusė ant:

Ši lygtis, nors ir iš pradžių joje buvo, nėra kvadratinė!

3 pavyzdys.

Padauginkime viską iš:

Baugus? Ketvirtasis ir antrasis laipsniai... Tačiau jei pakeisime, pamatysime, kad turime paprastą kvadratinę lygtį:

4 pavyzdys.

Atrodo, kad ten yra, bet pažiūrėkime atidžiau. Viską perkelkime į kairę pusę:

Matote, susitraukė – ir dabar viskas paprasta tiesinė lygtis!

Dabar pabandykite patys nustatyti, kurios iš šių lygčių yra kvadratinės, o kurios ne:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

1. kvadratas;
2. kvadratas;
3. ne kvadratas;
4. ne kvadratas;
5. ne kvadratas;
6. kvadratas;
7. ne kvadratas;
8. kvadratas.

Matematikai visas kvadratines lygtis paprastai skirsto į šiuos tipus:

• Užbaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientai ir, kaip ir laisvasis terminas c, nėra lygūs nuliui (kaip pavyzdyje). Be to, tarp pilnųjų kvadratinių lygčių yra duota- tai lygtys, kuriose koeficientas (lygtis iš pirmojo pavyzdžio yra ne tik baigta, bet ir sumažinta!)

• Nebaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

  Jie yra neišsamūs, nes trūksta kažkokio elemento. Bet lygtyje visada turi būti x kvadratas!!! Priešingu atveju tai bus nebe kvadratinė lygtis, o kažkokia kita lygtis.

Kodėl jie sugalvojo tokį skirstymą? Atrodytų, kad yra X kvadratas, ir gerai. Šis skirstymas nustatomas sprendimo metodais. Pažvelkime į kiekvieną iš jų išsamiau.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Pirma, sutelkime dėmesį į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimą – jos daug paprastesnės!

Yra neišsamių kvadratinių lygčių tipai:

1. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.
2. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.
3. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

1. i. Kadangi žinome, kaip paimti kvadratinę šaknį, išreikškime iš šios lygties

Išraiška gali būti neigiama arba teigiama. Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius visada bus teigiamas skaičius, taigi: jei, tai lygtis neturi sprendinių.

Ir jei, tada mes gauname dvi šaknis. Šių formulių įsiminti nereikia. Svarbiausia, kad jūs turite žinoti ir visada atsiminti, kad tai negali būti mažiau.

Pabandykime išspręsti keletą pavyzdžių.

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Dabar belieka ištraukti šaknį iš kairės ir dešinės pusės. Juk prisimeni, kaip išgauti šaknis?

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!!!

6 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

7 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Oi! Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų!

Tokioms lygtims, kurios neturi šaknų, matematikai sugalvojo specialią piktogramą - (tuščias rinkinys). O atsakymą galima parašyti taip:

Atsakymas:

Taigi ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Čia nėra jokių apribojimų, nes mes neištraukėme šaknies.
8 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Taigi,

Ši lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Paprasčiausias nepilnų kvadratinių lygčių tipas (nors visos jos paprastos, tiesa?). Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Čia atsisakysime pavyzdžių.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas

Primename, kad visa kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur

Išspręsti visas kvadratines lygtis yra šiek tiek sunkiau (tik šiek tiek) nei šias.

Prisiminti, Bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Kiti metodai padės tai padaryti greičiau, bet jei kyla problemų dėl kvadratinių lygčių, pirmiausia įvaldykite sprendimą naudodami diskriminantą.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant diskriminantą.

Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant šį metodą yra labai paprastas, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių.

Jei, tada lygtis turi šaknį. Ypatingas dėmesysžengti žingsnį. Diskriminantas () nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada žingsnio formulė bus sumažinta iki. Taigi lygtis turės tik šaknį.
• Jei, tada veiksme negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Grįžkime prie savo lygčių ir pažvelkime į keletą pavyzdžių.

9 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

1 žingsnis mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad lygtis turi dvi šaknis.

3 veiksmas.

Atsakymas:

10 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 žingsnis mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad lygtis turi vieną šaknį.

Atsakymas:

11 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 žingsnis mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Lygties šaknų nėra.

Dabar mes žinome, kaip teisingai užrašyti tokius atsakymus.

Atsakymas: jokių šaknų

2. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Jei prisimenate, yra lygties tipas, kuris vadinamas sumažinta (kai koeficientas a yra lygus):

Tokias lygtis labai lengva išspręsti naudojant Vietos teoremą:

Šaknų suma duota kvadratinė lygtis yra lygi, o šaknų sandauga yra lygi.

12 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Šią lygtį galima išspręsti naudojant Vietos teoremą, nes .

Lygties šaknų suma lygi, t.y. gauname pirmąją lygtį:

Ir produktas yra lygus:

Sudarykime ir išspręskime sistemą:

• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Atsakymas: ; .

13 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

14 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Atsakymas:

Kvadratinės LYGTYBĖS. VIDUTINIS LYGIS

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur - nežinomasis, - kai kurie skaičiai ir.

Skaičius vadinamas didžiausiu arba pirmasis koeficientas kvadratinė lygtis, - antrasis koeficientas, A - laisvas narys.

Kodėl? Nes jei lygtis iš karto tampa tiesinė, nes išnyks.

Šiuo atveju ir gali būti lygus nuliui. Šioje kėdės lygtis vadinama nepilna. Jei visi terminai yra vietoje, tai yra, lygtis baigta.

Įvairių tipų kvadratinių lygčių sprendimai

Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

Pirmiausia pažvelkime į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdus – jie paprastesni.

Galime išskirti šiuos lygčių tipus:

I., šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

II. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.

III. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.

Dabar pažvelkime į kiekvieno iš šių potipių sprendimą.

Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius, rezultatas visada bus teigiamas. Štai kodėl:

jei, tai lygtis neturi sprendinių;

jei turime dvi šaknis

Šių formulių įsiminti nereikia. Svarbiausia atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!

Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų.

Norėdami trumpai užrašyti, kad problema neturi sprendimų, naudojame tuščio rinkinio piktogramą.

Atsakymas:

Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir.

Atsakymas:

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Produktas yra lygus nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai:

Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir.

Pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Paskaičiuokime kairę lygties pusę ir raskime šaknis:

Atsakymas:

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

1. Diskriminuojantis

Tokiu būdu kvadratines lygtis išspręsti lengva, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių. Atminkite, kad bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Ar pastebėjote šaknį iš diskriminanto šaknų formulėje? Tačiau diskriminantas gali būti neigiamas. Ką daryti? Ypatingą dėmesį turime skirti 2 žingsniui. Diskriminantas nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada lygtis turi šaknis:
• Jei, tada lygtis turi tas pačias šaknis, o iš tikrųjų vieną šaknį:

  Tokios šaknys vadinamos dvigubomis šaknimis.

• Jei, tada diskriminanto šaknis nėra išgaunama. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Kodėl galimas skirtingas šaknų skaičius? Kreipkimės į geometrine prasme kvadratinė lygtis. Funkcijos grafikas yra parabolė:

Ypatingu atveju, kuris yra kvadratinė lygtis, . Tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra susikirtimo su abscisių ašimi (ašiu) taškai. Parabolė gali išvis nesikirsti su ašimi arba gali susikirsti viename (kai parabolės viršūnė yra ant ašies) arba dviejuose taškuose.

Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolės šakų kryptį. Jei, tada parabolės šakos nukreiptos aukštyn, o jei, tada žemyn.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Atsakymas:.

Atsakymas:

Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Atsakymas:.

2. Vietos teorema

Naudoti Vietos teoremą labai paprasta: tereikia pasirinkti skaičių porą, kurios sandauga būtų lygi laisvajam lygties nariui, o suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu.

Svarbu atsiminti, kad Vietos teorema gali būti taikoma tik sumažintos kvadratinės lygtys ().

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Šią lygtį galima išspręsti naudojant Vietos teoremą, nes . Kiti koeficientai: ; .

Lygties šaknų suma yra tokia:

Ir produktas yra lygus:

Išsirinkime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir patikrinkime, ar jų suma lygi:

• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi;
• Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Taigi ir yra mūsų lygties šaknys.

Atsakymas: ; .

2 pavyzdys:

Sprendimas:

Išsirinkime skaičių poras, kurios pateikia sandaugą, ir patikrinkime, ar jų suma yra lygi:

ir: jie duoda iš viso.

ir: jie duoda iš viso. Norint gauti, pakanka tiesiog pakeisti tariamų šaknų požymius: ir, galų gale, produktą.

Atsakymas:

3 pavyzdys:

Sprendimas:

Laisvasis lygties narys yra neigiamas, todėl šaknų sandauga yra neigiamas skaičius. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei viena iš šaknų yra neigiama, o kita - teigiama. Todėl šaknų suma yra lygi jų modulių skirtumai.

Parinkime skaičių poras, kurios pateikia sandaugą ir kurių skirtumas yra lygus:

ir: jų skirtumas lygus – netinka;

ir: - netinka;

ir: - netinka;

ir: - tinka. Belieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turi būti lygi, šaknis su mažesniu moduliu turi būti neigiama: . Mes tikriname:

Atsakymas:

4 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Laisvasis terminas yra neigiamas, todėl šaknų sandauga yra neigiama. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena lygties šaknis yra neigiama, o kita – teigiama.

Pažymime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir tada nustatykime, kurios šaknys turi turėti neigiamą ženklą:

Akivaizdu, kad tik šaknys tinka pirmajai sąlygai:

Atsakymas:

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Šaknų suma yra neigiama, o tai reiškia, kad pagal bent jau, viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų produktas yra teigiamas, tai reiškia, kad abi šaknys turi minuso ženklą.

Parinkime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi:

Akivaizdu, kad šaknys yra skaičiai ir.

Atsakymas:

Sutikite, labai patogu sugalvoti šaknis žodžiu, o ne skaičiuoti šį bjaurų diskriminantą. Stenkitės kuo dažniau naudoti Vietos teoremą.

Tačiau Vietos teorema reikalinga, kad būtų lengviau ir greičiau rasti šaknis. Kad naudotumėte jį, turite atlikti veiksmus automatiškai. Ir tam išspręskite dar penkis pavyzdžius. Tačiau neapgaudinėkite: jūs negalite naudoti diskriminanto! Tik Vietos teorema:

Savarankiško darbo užduočių sprendimai:

Užduotis 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Pagal Vietos teoremą:

Kaip įprasta, atranką pradedame nuo kūrinio:

Netinka, nes kiekis;

: suma yra tokia, kokios jums reikia.

Atsakymas: ; .

2 užduotis.

Ir vėl mūsų mėgstamiausia Vieta teorema: suma turi būti lygi, o sandauga turi būti lygi.

Bet kadangi turi būti ne, o, keičiame šaknų ženklus: ir (iš viso).

Atsakymas: ; .

3 užduotis.

Hmm... Kur tai?

Turite perkelti visas sąlygas į vieną dalį:

Šaknų suma lygi sandaugai.

Gerai, sustok! Lygtis nepateikta. Tačiau Vietos teorema taikoma tik pateiktose lygtyse. Taigi pirmiausia turite pateikti lygtį. Jei negalite vadovauti, atsisakykite šios idėjos ir išspręskite ją kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą). Leiskite jums priminti, kad pateikti kvadratinę lygtį reiškia, kad pagrindinis koeficientas būtų lygus:

Puiku. Tada šaknų suma lygi ir sandaugai.

Čia pasirinkti taip pat paprasta, kaip kriaušes gliaudyti: juk tai pirminis skaičius (atsiprašau už tautologiją).

Atsakymas: ; .

4 užduotis.

Laisvas narys yra neigiamas. Kuo tai ypatinga? Ir faktas yra tas, kad šaknys turės skirtingus ženklus. O dabar atrankos metu tikriname ne šaknų sumą, o jų modulių skirtumą: šis skirtumas lygus, o produktas.

Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Vietos teorema sako, kad šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, ty. Tai reiškia, kad mažesnė šaknis turės minusą: ir, kadangi.

Atsakymas: ; .

5 užduotis.

Ką daryti pirmiausia? Teisingai, pateikite lygtį:

Vėlgi: pasirenkame skaičiaus veiksnius, o jų skirtumas turėtų būti lygus:

Šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Kuris? Jų suma turėtų būti lygi, o tai reiškia, kad minuso šaknis bus didesnė.

Atsakymas: ; .

Leiskite man apibendrinti:

1. Vietos teorema naudojama tik pateiktose kvadratinėse lygtyse.
2. Naudojant Vietos teoremą, galima rasti šaknis pagal atranką, žodžiu.
3. Jei lygtis nepateikta arba nerandama tinkama laisvojo nario veiksnių pora, tada nėra sveikų šaknų ir ją reikia išspręsti kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą).

3. Viso kvadrato parinkimo būdas

Jei visi terminai, kuriuose yra nežinomasis, yra pavaizduoti terminų forma iš sutrumpintų daugybos formulių - sumos arba skirtumo kvadratu, tada pakeitus kintamuosius lygtis gali būti pateikta nepilnos kvadratinės lygties forma.

Pavyzdžiui:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Atsakymas:

2 pavyzdys:

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Atsakymas:

IN bendras vaizdas transformacija atrodys taip:

Tai reiškia:.

Ar tau nieko neprimena? Tai yra diskriminacinis dalykas! Būtent taip mes gavome diskriminuojančios formulę.

Kvadratinės LYGTYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Kvadratinė lygtis- tai formos lygtis, kur - nežinomasis, - kvadratinės lygties koeficientai, - laisvasis narys.

Pilna kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientai nėra lygūs nuliui.

Sumažinta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas, tai yra: .

Nebaigta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

• jei koeficientas, lygtis atrodo taip: ,
• jei yra laisvasis terminas, lygtis turi tokią formą: ,
• jei ir, lygtis atrodo taip: .

1. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas

1.1. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išreikškime nežinomybę: ,

2) Patikrinkite išraiškos ženklą:

• jei, tada lygtis neturi sprendinių,
• jei, tai lygtis turi dvi šaknis.

1.2. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų: ,

2) sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Todėl lygtis turi dvi šaknis:

1.3. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį: .

2. Algoritmas sprendžiant pilnąsias kvadratines lygtis formos kur

2.1. Sprendimas naudojant diskriminantą

1) Perkelkime lygtį į standartinę formą: ,

2) Apskaičiuokime diskriminantą pagal formulę: , kuri nurodo lygties šaknų skaičių:

3) Raskite lygties šaknis:

• jei, tada lygtis turi šaknis, kurios randamos pagal formulę:
• jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
• jei, tai lygtis neturi šaknų.

2.2. Sprendimas naudojant Vietos teoremą

Sumažintos kvadratinės lygties (formos kur lygtis) šaknų suma lygi, o šaknų sandauga lygi, t.y. , A.

2.3. Sprendimas pasirenkant pilną kvadratą

Jei formos kvadratinė lygtis turi šaknis, tada ją galima parašyti tokia forma: .

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingą išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą, stojant į koledžą su biudžetu ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje - 299 rubliai.
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - 499 rubliai.

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Ši tema iš pradžių gali pasirodyti sudėtinga dėl daugybės ne tokių paprastų formulių. Ne tik pačios kvadratinės lygtys turi ilgus žymėjimus, bet ir šaknys randamos per diskriminantą. Iš viso gaunamos trys naujos formulės. Nelabai lengva prisiminti. Tai įmanoma tik dažnai sprendžiant tokias lygtis. Tada visos formulės įsimins pačios.

Bendras kvadratinės lygties vaizdas

Čia mes siūlome jų aiškų įrašymą, kai pirmiausia rašomas didžiausias laipsnis, o tada mažėjančia tvarka. Dažnai pasitaiko situacijų, kai sąlygos yra nesuderinamos. Tada geriau perrašyti lygtį kintamojo laipsnio mažėjimo tvarka.

Leiskite pristatyti kai kuriuos užrašus. Jie pateikiami toliau esančioje lentelėje.

Jei priimsime šiuos žymėjimus, visos kvadratinės lygtys bus sumažintos iki tokio žymėjimo.

Be to, koeficientas a ≠ 0. Ši formulė bus pažymėta numeriu vienas.

Kai pateikiama lygtis, neaišku, kiek šaknų bus atsakyme. Kadangi visada galimas vienas iš trijų variantų:

• tirpalas turės dvi šaknis;
• atsakymas bus vienas skaičius;
• lygtis iš viso neturės šaknų.

O kol sprendimas nėra galutinai priimtas, sunku suprasti, koks variantas atsiras konkrečiu atveju.

Kvadratinių lygčių įrašų tipai

Užduotyse gali būti skirtingų įrašų. Jie ne visada atrodys kaip bendrosios kvadratinės lygties formulė. Kartais trūksta kai kurių terminų. Tai, kas buvo parašyta aukščiau, yra visa lygtis. Jei pašalinsite antrą ar trečią terminą, gausite ką nors kita. Šie įrašai dar vadinami kvadratinėmis lygtimis, tik nepilnais.

Be to, gali išnykti tik terminai su koeficientais „b“ ir „c“. Skaičius „a“ jokiomis aplinkybėmis negali būti lygus nuliui. Nes tokiu atveju formulė virsta tiesine lygtimi. Neišsamios lygčių formos formulės bus tokios:

Taigi, yra tik du tipai; be pilnųjų, yra ir nepilnų kvadratinių lygčių. Tegul pirmoji formulė yra du, o antroji - trys.

Diskriminantas ir šaknų skaičiaus priklausomybė nuo jo vertės

Norėdami apskaičiuoti lygties šaknis, turite žinoti šį skaičių. Jį visada galima apskaičiuoti, nesvarbu, kokia būtų kvadratinės lygties formulė. Norėdami apskaičiuoti diskriminantą, turite naudoti žemiau parašytą lygybę, kurios skaičius bus ketvirtas.

Pakeitę koeficientų reikšmes į šią formulę, galite gauti skaičius skirtingi ženklai. Jei atsakymas yra teigiamas, atsakymas į lygtį bus dvi skirtingos šaknys. Jei skaičius neigiamas, kvadratinės lygties šaknų nebus. Jei jis lygus nuliui, bus tik vienas atsakymas.

Kaip išspręsti pilną kvadratinę lygtį?

Tiesą sakant, šis klausimas jau pradėtas svarstyti. Nes pirmiausia reikia rasti diskriminantą. Nustačius, kad yra kvadratinės lygties šaknys ir žinomas jų skaičius, reikia naudoti kintamųjų formules. Jei yra dvi šaknys, tuomet reikia taikyti šią formulę.

Kadangi jame yra ženklas „±“, bus dvi reikšmės. Po kvadratinės šaknies ženklu esanti išraiška yra diskriminantas. Todėl formulę galima perrašyti kitaip.

Penkta formulė. Iš to paties įrašo aišku, kad jei diskriminantas yra lygus nuliui, tada abi šaknys įgis tas pačias reikšmes.

Jei kvadratinių lygčių sprendimas dar neišspręstas, prieš taikant diskriminacines ir kintamąsias formules geriau užsirašyti visų koeficientų reikšmes. Vėliau šis momentas nesukels sunkumų. Tačiau pačioje pradžioje kyla sumaištis.

Kaip išspręsti nepilną kvadratinę lygtį?

Čia viskas daug paprasčiau. Net nereikia papildomos formulės. O tų, kurie jau buvo užrašyti diskriminantui ir nežinomam, neprireiks.

Pirmiausia pasvarstykime nepilna lygtis antroje vietoje. Šioje lygybėje reikia iš skliaustų išimti nežinomą kiekį ir išspręsti tiesinę lygtį, kuri liks skliausteliuose. Atsakymas turės dvi šaknis. Pirmasis būtinai lygus nuliui, nes yra daugiklis, susidedantis iš paties kintamojo. Antrasis bus gautas sprendžiant tiesinę lygtį.

Neišsami lygtis numeris trys išsprendžiamas perkeliant skaičių iš kairės lygybės pusės į dešinę. Tada reikia padalyti iš koeficiento, nukreipto į nežinomybę. Belieka ištraukti kvadratinę šaknį ir nepamiršti du kartus užsirašyti priešingais ženklais.

Žemiau pateikiami keli žingsniai, kurie padės išmokti išspręsti visų rūšių lygybes, kurios virsta kvadratinėmis lygtimis. Jie padės mokiniui išvengti klaidų dėl neatidumo. Šie trūkumai gali lemti prastus pažymius studijuojant plačią temą „Kvadratinės lygtys (8 klasė). Vėliau šių veiksmų nereikės atlikti nuolat. Nes atsiras stabilus įgūdis.

• Pirmiausia turite parašyti lygtį standartine forma. Tai yra, pirmiausia terminas su didžiausiu kintamojo laipsniu, o tada - be laipsnio, o paskutinis - tik skaičius.

• Jei prieš koeficientą „a“ atsiranda minusas, pradedančiajam, studijuojančiam kvadratines lygtis, tai gali apsunkinti darbą. Geriau jo atsikratyti. Šiuo tikslu visa lygybė turi būti padauginta iš „-1“. Tai reiškia, kad visi terminai pakeis ženklą į priešingą.

• Taip pat rekomenduojama atsikratyti frakcijų. Tiesiog padauginkite lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad vardikliai panaikintų.

Pavyzdžiai

Būtina išspręsti šias kvadratines lygtis:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmoji lygtis: x 2 − 7x = 0. Ji yra nepilna, todėl išspręsta taip, kaip aprašyta formulėje numeris antroji.

Išėmus jį iš skliaustų, paaiškėja: x (x - 7) = 0.

Pirmoji šaknis įgauna reikšmę: x 1 = 0. Antroji bus rasta iš tiesinės lygties: x - 7 = 0. Nesunku pastebėti, kad x 2 = 7.

Antroji lygtis: 5x 2 + 30 = 0. Vėlgi nepilna. Tik ji išspręsta taip, kaip aprašyta trečiojoje formulėje.

Perkėlus 30 į dešinę lygties pusę: 5x 2 = 30. Dabar reikia padalyti iš 5. Pasirodo: x 2 = 6. Atsakymai bus skaičiai: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Trečioji lygtis: 15 − 2x − x 2 = 0. Čia ir toliau kvadratinių lygčių sprendimas prasidės perrašant jas standartine forma: − x 2 − 2x + 15 = 0. Dabar atėjo laikas naudoti antrąją naudingų patarimų ir padauginkite viską iš minus vieno. Pasirodo x 2 + 2x - 15 = 0. Naudojant ketvirtąją formulę reikia apskaičiuoti diskriminantą: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Tai teigiamas skaičius. Iš to, kas pasakyta aukščiau, paaiškėja, kad lygtis turi dvi šaknis. Juos reikia apskaičiuoti naudojant penktąją formulę. Pasirodo, x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada x 1 = 3, x 2 = - 5.

Ketvirtoji lygtis x 2 + 8 + 3x = 0 paverčiama taip: x 2 + 3x + 8 = 0. Jos diskriminantas lygus šiai reikšmei: -23. Kadangi šis skaičius yra neigiamas, atsakymas į šią užduotį bus toks: „Šaknų nėra“.

Penktąją lygtį 12x + x 2 + 36 = 0 reikia perrašyti taip: x 2 + 12x + 36 = 0. Pritaikius diskriminanto formulę, gaunamas skaičius nulis. Tai reiškia, kad jis turės vieną šaknį, būtent: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Šeštoji lygtis (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) reikalauja transformacijų, kurios susideda iš to, kad reikia pateikti panašius terminus, pirmiausia atidarant skliaustus. Vietoj pirmosios bus tokia išraiška: x 2 + 2x + 1. Po lygybės pasirodys šis įrašas: x 2 + 3x + 2. Suskaičiavus panašius narius, lygtis bus tokia: x 2 - x = 0. Jis tapo nepilnas . Kažkas panašaus jau buvo aptarta šiek tiek aukščiau. To šaknys bus skaičiai 0 ir 1.

Tęsiant temą „Lygčių sprendimas“, šio straipsnio medžiaga supažindins su kvadratinėmis lygtimis.

Pažvelkime į viską išsamiai: kvadratinės lygties esmę ir įrašymą, apibrėžkime susijusius terminus, išanalizuokime schemą, kaip išspręsti nepilnus ir pilnas lygtis, susipažinsime su šaknų ir diskriminanto formule, nustatysime ryšius tarp šaknų ir koeficientų ir, žinoma, pateiksime vaizdinį praktinių pavyzdžių sprendimą.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratinė lygtis, jos tipai

1 apibrėžimas

Kvadratinė lygtis yra lygtis, parašyta kaip a x 2 + b x + c = 0, Kur x– kintamasis, a , b ir c– kai kurie skaičiai, tuo tarpu a nėra nulis.

Dažnai kvadratinės lygtys taip pat vadinamos antrojo laipsnio lygtimis, nes iš esmės kvadratinė lygtis yra algebrinė lygtis antrasis laipsnis.

Pateikiame pavyzdį, iliustruojantį pateiktą apibrėžimą: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 ir kt. Tai yra kvadratinės lygtys.

2 apibrėžimas

Skaičiai a, b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai a x 2 + b x + c = 0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba vyresniuoju, arba koeficientu x 2, b – antruoju koeficientu, arba koeficientu at x, A c vadinamas laisvuoju nariu.

Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 pirmaujantis koeficientas yra 6, antrasis koeficientas yra − 2 , o laisvasis terminas lygus − 11 . Atkreipkime dėmesį į tai, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami, tada naudokite Trumpa formaįrašai kaip 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, bet ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Išsiaiškinkime ir šį aspektą: jei koeficientai a ir/arba b lygus 1 arba − 1 , tada jie gali nedalyvauti rašant kvadratinę lygtį, o tai paaiškinama nurodytų skaitinių koeficientų rašymo ypatumais. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 − y + 7 = 0 pirmaujantis koeficientas yra 1, o antrasis koeficientas yra − 1 .

Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys

Remiantis pirmojo koeficiento reikšme, kvadratinės lygtys skirstomos į redukuotas ir neredukuotas.

3 apibrėžimas

Sumažinta kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurios pagrindinis koeficientas yra 1. Kitoms pirmaujančio koeficiento reikšmėms kvadratinė lygtis nesumažinama.

Pateikiame pavyzdžius: kvadratinės lygtys x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 sumažinamos, kurių kiekvienoje pirmaujantis koeficientas yra 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- nesumažintą kvadratinę lygtį, kur pirmasis koeficientas skiriasi nuo 1 .

Bet kurią nesumažintą kvadratinę lygtį galima paversti redukuota lygtimi, padalijus abi puses iš pirmojo koeficiento (ekvivalentinė transformacija). Transformuota lygtis turės tokias pačias šaknis kaip ir duota neredukuota lygtis arba neturės šaknų.

Svarstymas konkretus pavyzdys leis mums aiškiai parodyti perėjimą nuo neredukuotos kvadratinės lygties prie redukuotos.

1 pavyzdys

Duota lygtis 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Būtina paversti pradinę lygtį į sumažintą formą.

Sprendimas

Pagal aukščiau pateiktą schemą abi pradinės lygties puses padalijame iš pirmaujančio koeficiento 6. Tada gauname: (6 x 2 + 18 x – 7) : 3 = 0:3, ir tai yra tas pats, kas: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ir toliau: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Iš čia: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Taigi gaunama lygtis, lygiavertė duotajai.

Atsakymas: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys

Pereikime prie kvadratinės lygties apibrėžimo. Jame mes tai nurodėme a ≠ 0. Panaši sąlyga yra būtina lygčiai a x 2 + b x + c = 0 buvo būtent kvadratas, nes val a = 0 ji iš esmės virsta tiesine lygtimi b x + c = 0.

Tuo atveju, kai koeficientai b Ir c yra lygūs nuliui (tai įmanoma tiek atskirai, tiek kartu), kvadratinė lygtis vadinama nepilna.

4 apibrėžimas

Nebaigta kvadratinė lygtis- tokia kvadratinė lygtis a x 2 + b x + c = 0, kur bent vienas iš koeficientų b Ir c(arba abu) yra nulis.

Pilna kvadratinė lygtis– kvadratinė lygtis, kurioje visi skaitiniai koeficientai nėra lygūs nuliui.

Aptarkime, kodėl kvadratinių lygčių tipams suteikiami būtent tokie pavadinimai.

Kai b = 0, kvadratinė lygtis įgauna formą a x 2 + 0 x + c = 0, kuri yra tokia pati kaip a x 2 + c = 0. At c = 0 kvadratinė lygtis parašyta kaip a x 2 + b x + 0 = 0, kuris yra lygiavertis a x 2 + b x = 0. At b = 0 Ir c = 0 lygtis įgaus formą a x 2 = 0. Mūsų gautos lygtys skiriasi nuo pilnosios kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo termino, nei abiejų. Tiesą sakant, šis faktas davė pavadinimą tokio tipo lygtims - neišsami.

Pavyzdžiui, x 2 + 3 x + 4 = 0 ir − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 yra pilnos kvadratinės lygtys; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Aukščiau pateiktas apibrėžimas leidžia atskirti šiuos nepilnų kvadratinių lygčių tipus:

• a x 2 = 0, ši lygtis atitinka koeficientus b = 0 ir c = 0;
• a · x 2 + c = 0, kai b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0, kai c = 0.

Panagrinėkime nuosekliai kiekvienos rūšies nepilnos kvadratinės lygties sprendinį.

Lygties a x 2 =0 sprendimas

Kaip minėta aukščiau, ši lygtis atitinka koeficientus b Ir c, lygus nuliui. Lygtis a x 2 = 0 galima konvertuoti į lygiavertę lygtį x 2 = 0, kurį gauname padalydami abi pradinės lygties puses iš skaičiaus a, nelygu nuliui. Akivaizdus faktas yra tai, kad lygties šaknis x 2 = 0 tai yra nulis, nes 0 2 = 0 . Ši lygtis neturi kitų šaknų, tai galima paaiškinti laipsnio savybėmis: bet kuriam skaičiui p, nelygus nuliui, nelygybė yra tiesa p 2 > 0, iš ko išplaukia, kad kada p ≠ 0 lygybė p 2 = 0 niekada nebus pasiektas.

5 apibrėžimas

Taigi nepilnai kvadratinei lygčiai a x 2 = 0 yra viena šaknis x = 0.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, išspręskime nepilną kvadratinę lygtį − 3 x 2 = 0. Tai yra lygiavertė lygčiai x 2 = 0, vienintelė jo šaknis yra x = 0, tada pradinė lygtis turi vieną šaknį – nulį.

Trumpai tariant, sprendimas parašytas taip:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Išspręskite lygtį a x 2 + c = 0

Toliau eilėje yra nepilnų kvadratinių lygčių sprendimas, kur b = 0, c ≠ 0, ty formos lygtys a x 2 + c = 0. Transformuokime šią lygtį, perkeldami terminą iš vienos lygties pusės į kitą, pakeisdami ženklą į priešingą ir padalydami abi lygties puses iš skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui:

• perkėlimas cį dešinę pusę, kuri suteikia lygtį a x 2 = − c;
• padalykite abi lygties puses iš a, gauname x = - c a .

Mūsų transformacijos yra lygiavertės, atitinkamai gauta lygtis taip pat yra lygiavertė pradinei, ir šis faktas leidžia daryti išvadas apie lygties šaknis. Iš to, kokios yra vertybės a Ir c išraiškos reikšmė - c priklauso: ji gali turėti minuso ženklą (pavyzdžiui, jei a = 1 Ir c = 2, tada - c a = - 2 1 = - 2) arba pliuso ženklas (pavyzdžiui, jei a = – 2 Ir c = 6, tada - c a = - 6 - 2 = 3); tai nėra nulis, nes c ≠ 0. Išsamiau pakalbėkime apie situacijas, kai - c a< 0 и - c a > 0 .

Tuo atveju, kai - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p lygybė p 2 = - c a negali būti teisinga.

Viskas yra kitaip, kai - c a > 0: prisiminkite kvadratinę šaknį ir taps akivaizdu, kad lygties x 2 = - c a šaknis bus skaičius - c a, nes - c a 2 = - c a. Nesunku suprasti, kad skaičius - - c a yra ir lygties x 2 = - c a šaknis: iš tiesų, - - c a 2 = - c a.

Lygtis neturės kitų šaknų. Tai galime įrodyti naudodami prieštaravimo metodą. Pirmiausia apibrėžkime aukščiau rastų šaknų žymes kaip x 1 Ir − x 1. Tarkime, kad lygtis x 2 = - c a taip pat turi šaknį x 2, kuris skiriasi nuo šaknų x 1 Ir − x 1. Mes tai žinome pakeisdami į lygtį x jos šaknis, lygtį paverčiame teisinga skaitine lygybe.

Dėl x 1 Ir − x 1 rašome: x 1 2 = - c a , o už x 2- x 2 2 = - c a . Remdamiesi skaitinių lygybių savybėmis, vieną teisingą lygybės narį atimame iš kito, kas duos: x 1 2 − x 2 2 = 0. Naudojame operacijų su skaičiais savybes, kad perrašytume paskutinę lygybę kaip (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Yra žinoma, kad dviejų skaičių sandauga yra nulis tada ir tik tada, kai bent vienas iš skaičių yra lygus nuliui. Iš to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia, kad x 1 − x 2 = 0 ir/arba x 1 + x 2 = 0, kuris yra tas pats x 2 = x 1 ir/arba x 2 = − x 1. Iškilo akivaizdus prieštaravimas, nes iš pradžių buvo sutarta, kad lygties šaknis x 2 skiriasi nuo x 1 Ir − x 1. Taigi, mes įrodėme, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus x = - c a ir x = - - c a.

Apibendrinkime visus aukščiau pateiktus argumentus.

6 apibrėžimas

Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 + c = 0 yra lygiavertis lygčiai x 2 = - c a, kuri:

• neturės šaknų ties - c a< 0 ;
• turės dvi šaknis x = - c a ir x = - - c a, kai - c a > 0.

Pateiksime lygčių sprendimo pavyzdžių a x 2 + c = 0.

3 pavyzdys

Duota kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0. Būtina rasti sprendimą.

Sprendimas

Perkelkime laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę, tada lygtis įgaus formą 9 x 2 = – 7.
Abi gautos lygties puses padalinkime iš 9 , gauname x 2 = - 7 9 . Dešinėje pusėje matome skaičių su minuso ženklu, o tai reiškia: duotoji lygtis neturi šaknų. Tada pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturės šaknų.

Atsakymas: lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturi šaknų.

4 pavyzdys

Reikia išspręsti lygtį − x 2 + 36 = 0.

Sprendimas

Perkelkime 36 į dešinę pusę: − x 2 = − 36.
Abi dalis padalinkime iš − 1 , mes gauname x 2 = 36. Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio galime tai padaryti x = 36 arba x = - 36 .
Išskirkime šaknį ir užrašykime galutinį rezultatą: nepilną kvadratinę lygtį − x 2 + 36 = 0 turi dvi šaknis x=6 arba x = – 6.

Atsakymas: x=6 arba x = – 6.

Lygties a x 2 +b x=0 sprendimas

Panagrinėkime trečiojo tipo nepilnas kvadratines lygtis, kai c = 0. Rasti nepilnos kvadratinės lygties sprendimą a x 2 + b x = 0, naudosime faktorizavimo metodą. Paskaičiuokime daugianarį, esantį kairėje lygties pusėje, išimdami bendrą koeficientą iš skliaustų x. Šis žingsnis leis originalią nepilną kvadratinę lygtį paversti jos ekvivalentu x (a x + b) = 0. Ir ši lygtis, savo ruožtu, yra lygiavertė lygčių rinkiniui x = 0 Ir a x + b = 0. Lygtis a x + b = 0 linijinis, o jo šaknis: x = − b a.

7 apibrėžimas

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a x 2 + b x = 0 turės dvi šaknis x = 0 Ir x = − b a.

Sustiprinkime medžiagą pavyzdžiu.

5 pavyzdys

Būtina rasti lygties 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 sprendinį.

Sprendimas

Išimsime x už skliaustų gauname lygtį x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ši lygtis yra lygiavertė lygtims x = 0 ir 2 3 x - 2 2 7 = 0. Dabar turėtumėte išspręsti gautą tiesinę lygtį: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Trumpai parašykite lygties sprendimą taip:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 arba 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 arba x = 3 3 7

Atsakymas: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Norėdami rasti kvadratinių lygčių sprendimus, yra šaknies formulė:

8 apibrėžimas

x = - b ± D 2 · a, kur D = b 2 − 4 a c– vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas.

Rašymas x = - b ± D 2 · a iš esmės reiškia, kad x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Būtų naudinga suprasti, kaip ši formulė buvo gauta ir kaip ją pritaikyti.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Susidurkime su užduotimi išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0. Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

• padalykite abi lygties puses iš skaičiaus a, skirtingą nuo nulio, gauname tokią kvadratinę lygtį: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Pažymime visą kvadratą gautos lygties kairėje pusėje:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Po to lygtis bus tokia: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Dabar galima perkelti paskutinius du narius į dešinę pusę, keičiant ženklą į priešingą, po kurio gauname: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Galiausiai transformuojame paskutinės lygybės dešinėje parašytą išraišką:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Taigi gauname lygtį x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , lygiavertę pradinei lygčiai a x 2 + b x + c = 0.

Tokių lygčių sprendimą nagrinėjome ankstesnėse pastraipose (sprendžiant nepilnas kvadratines lygtis). Jau įgyta patirtis leidžia daryti išvadą apie lygties x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 šaknis:

• su b 2 – 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kai b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, lygtis yra x + b 2 · a 2 = 0, tada x + b 2 · a = 0.

Iš čia vienintelė šaknis x = - b 2 · a yra akivaizdi;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, bus teisinga: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 arba x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , kuris yra toks pat kaip x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 arba x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, t.y. lygtis turi dvi šaknis.

Galima daryti išvadą, kad lygties x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (taigi ir pradinė lygtis) šaknų buvimas ar nebuvimas priklauso nuo išraiškos b ženklo. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 parašytas dešinėje pusėje. O šios išraiškos ženklą suteikia skaitiklio ženklas (vardiklis 4 ir 2 visada bus teigiamas), tai yra išraiškos ženklas b 2 − 4 a c. Ši išraiška b 2 − 4 a c pateikiamas pavadinimas - kvadratinės lygties diskriminantas ir raidė D apibrėžiama kaip jo žymėjimas. Čia galite užrašyti diskriminanto esmę – pagal jo reikšmę ir ženklą jie gali padaryti išvadą, ar kvadratinė lygtis turės realias šaknis, o jei taip, koks yra šaknų skaičius – viena ar dvi.

Grįžkime prie lygties x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Perrašykime jį diskriminantiniu žymėjimu: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Dar kartą suformuluosime išvadas:

9 apibrėžimas

• adresu D< 0 lygtis neturi realių šaknų;
• adresu D=0 lygtis turi vieną šaknį x = - b 2 · a ;
• adresu D > 0 lygtis turi dvi šaknis: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 arba x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Remiantis radikalų savybėmis, šias šaknis galima užrašyti tokia forma: x = - b 2 · a + D 2 · a arba - b 2 · a - D 2 · a. Ir, kai atidarome modulius ir suvedame trupmenas į bendrą vardiklį, gauname: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Taigi, mūsų samprotavimų rezultatas buvo kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D = b 2 − 4 a c.

Šios formulės leidžia nustatyti abi tikrąsias šaknis, kai diskriminantas yra didesnis už nulį. Kai diskriminantas lygus nuliui, taikant abi formules bus gauta ta pati šaknis kaip vienintelis kvadratinės lygties sprendimas. Tuo atveju, kai diskriminantas yra neigiamas, jei bandysime panaudoti kvadratinės lygties šaknies formulę, susidursime su būtinybe išgauti kvadratinę šaknį neigiamas skaičius, kuris nuves mus už realių skaičių. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturės realių šaknų, tačiau yra įmanoma sudėtingų konjuguotų šaknų pora, nustatoma pagal tas pačias šaknų formules, kurias gavome.

Kvadratinių lygčių sprendimo naudojant šaknies formules algoritmas

Kvadratinę lygtį galima išspręsti iš karto naudojant šaknies formulę, tačiau tai paprastai daroma, kai reikia rasti sudėtingas šaknis.

Daugeliu atvejų tai reiškia, kad reikia ieškoti ne sudėtingų, o realių kvadratinės lygties šaknų. Tada optimalu, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, pirmiausia nustatyti diskriminantą ir įsitikinti, kad jis nėra neigiamas (kitaip padarysime išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), o tada pradėti skaičiuoti šaknų vertė.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia suformuluoti kvadratinės lygties sprendimo algoritmą.

10 apibrėžimas

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0, būtina:

• pagal formulę D = b 2 − 4 a c rasti diskriminacinę reikšmę;
• pas D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• jei D = 0, raskite vienintelę lygties šaknį naudodami formulę x = - b 2 · a ;
• jei D > 0, nustatykite dvi realiąsias kvadratinės lygties šaknis, naudodami formulę x = - b ± D 2 · a.

Atkreipkite dėmesį, kad kai diskriminantas lygus nuliui, galite naudoti formulę x = - b ± D 2 · a, ji duos tokį patį rezultatą kaip ir formulė x = - b 2 · a.

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Pateiksime pavyzdžių sprendimą skirtingos reikšmės diskriminuojantis.

6 pavyzdys

Turime rasti lygties šaknis x 2 + 2 x − 6 = 0.

Sprendimas

Užrašykime kvadratinės lygties skaitinius koeficientus: a = 1, b = 2 ir c = – 6. Toliau einame pagal algoritmą, t.y. Pradėkime skaičiuoti diskriminantą, kurį pakeisime koeficientais a, b Ir cį diskriminanto formulę: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Taigi gauname D > 0, o tai reiškia, kad pradinė lygtis turės dvi realias šaknis.
Norėdami juos rasti, naudojame šaknies formulę x = - b ± D 2 · a ir, pakeitę atitinkamas reikšmes, gauname: x = - 2 ± 28 2 · 1. Supaprastinkime gautą išraišką, išimdami koeficientą iš šaknies ženklo ir sumažindami trupmeną:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 arba x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 arba x = - 1 - 7

Atsakymas: x = -1 + 7​​​​​, x = -1 - 7.

7 pavyzdys

Reikia išspręsti kvadratinę lygtį − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Sprendimas

Apibrėžkime diskriminantą: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Esant šiai diskriminanto reikšmei, pradinė lygtis turės tik vieną šaknį, nustatytą pagal formulę x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Atsakymas: x = 3,5.

8 pavyzdys

Reikia išspręsti lygtį 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Sprendimas

Šios lygties skaitiniai koeficientai bus: a = 5, b = 6 ir c = 2. Norėdami rasti diskriminantą, naudojame šias reikšmes: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Apskaičiuotas diskriminantas yra neigiamas, todėl pradinė kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.

Tuo atveju, kai užduotis yra nurodyti sudėtingas šaknis, taikome šaknies formulę, atlikdami veiksmus su kompleksiniais skaičiais:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 arba x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i arba x = - 3 5 - 1 5 · i.

Atsakymas: nėra tikrų šaknų; kompleksinės šaknys yra tokios: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN mokyklos mokymo programa Standartinio reikalavimo ieškoti kompleksinių šaknų nėra, todėl sprendžiant diskriminantą nustačius neigiamą, iškart užrašomas atsakymas, kad tikrų šaknų nėra.

Net antrojo koeficiento šakninė formulė

Šakninė formulė x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) leidžia gauti kitą formulę, kompaktiškesnę, leidžiančią rasti kvadratinių lygčių sprendinius su lyginiu x koeficientu ( arba su 2 · n formos koeficientu, pavyzdžiui, 2 3 arba 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Parodykime, kaip gaunama ši formulė.

Susidurkime su užduotimi rasti kvadratinės lygties a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 sprendimą. Tęsiame pagal algoritmą: nustatome diskriminantą D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), tada naudojame šaknies formulę:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Tegul išraiška n 2 − a · c žymima D 1 (kartais ji žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties šaknų formulė su antruoju koeficientu 2 · n bus tokia:

x = - n ± D 1 a, kur D 1 = n 2 − a · c.

Nesunku pastebėti, kad D = 4 · D 1 arba D 1 = D 4. Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtadalis diskriminanto. Akivaizdu, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas, o tai reiškia, kad D 1 ženklas taip pat gali būti kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo indikatorius.

11 apibrėžimas

Taigi, norint rasti kvadratinės lygties su antruoju 2 n koeficientu sprendimą, būtina:

• rasti D 1 = n 2 − a · c ;
• ties D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kai D 1 = 0, nustatykite vienintelę lygties šaknį naudodami formulę x = - n a;
• jei D 1 > 0, nustatykite dvi realiąsias šaknis naudodami formulę x = - n ± D 1 a.

9 pavyzdys

Būtina išspręsti kvadratinę lygtį 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Sprendimas

Antrąjį duotosios lygties koeficientą galime pavaizduoti kaip 2 · (− 3) . Tada perrašome duotą kvadratinę lygtį į 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, kur a = 5, n = − 3 ir c = − 32.

Apskaičiuokime ketvirtąją diskriminanto dalį: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Gauta reikšmė yra teigiama, o tai reiškia, kad lygtis turi dvi realias šaknis. Nustatykime juos naudodami atitinkamą šaknies formulę:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 arba x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 arba x = - 2

Galima būtų atlikti skaičiavimus naudojant įprastą kvadratinės lygties šaknų formulę, tačiau šiuo atveju sprendimas būtų sudėtingesnis.

Atsakymas: x = 3 1 5 arba x = - 2 .

Kvadratinių lygčių formos supaprastinimas

Kartais galima optimizuoti pradinės lygties formą, o tai supaprastins šaknų skaičiavimo procesą.

Pavyzdžiui, kvadratinę lygtį 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 yra aiškiai patogiau išspręsti nei 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Dažniau kvadratinės lygties formos supaprastinimas atliekamas padauginant arba padalijus abi jos puses iš tam tikro skaičiaus. Pavyzdžiui, aukščiau parodėme supaprastintą lygties 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 vaizdavimą, gautą padalijus abi puses iš 100.

Tokia transformacija galima, kai kvadratinės lygties koeficientai nėra tarpusavyje susiję pirminiai skaičiai. Tada paprastai abi lygties puses dalijame iš didžiausios bendras daliklis absoliučios jo koeficientų vertės.

Kaip pavyzdį naudojame kvadratinę lygtį 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Nustatykime jo koeficientų absoliučių verčių GCD: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Abi pradinės kvadratinės lygties puses padalinkime iš 6 ir gausime ekvivalentinę kvadratinę lygtį 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Padauginę abi kvadratinės lygties puses, paprastai atsikratysite trupmeninių koeficientų. Šiuo atveju jie dauginami iš mažiausio bendro jo koeficientų vardiklių kartotinio. Pavyzdžiui, jei kiekviena kvadratinės lygties dalis 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 padauginama iš LCM (6, 3, 1) = 6, tada ji bus parašyta paprastesne forma x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Galiausiai pažymime, kad beveik visada atsikratome minuso ties pirmuoju kvadratinės lygties koeficientu, pakeisdami kiekvieno lygties nario ženklus, o tai pasiekiama padauginus (arba padalijus) abi puses iš −1. Pavyzdžiui, iš kvadratinės lygties − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 galite pereiti prie jos supaprastintos versijos 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Ryšys tarp šaknų ir koeficientų

Mums jau žinoma kvadratinių lygčių šaknų formulė x = - b ± D 2 · a lygties šaknis išreiškia skaitiniais jos koeficientais. Remdamiesi šia formule, turime galimybę nurodyti kitas priklausomybes tarp šaknų ir koeficientų.

Garsiausios ir taikomos formulės yra Vietos teorema:

x 1 + x 2 = - b a ir x 2 = c a.

Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra antrasis koeficientas su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Pavyzdžiui, pažvelgus į kvadratinės lygties 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 formą, galima iš karto nustatyti, kad jos šaknų suma yra 7 3, o šaknų sandauga yra 22 3.

Taip pat galite rasti daugybę kitų jungčių tarp kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų suma gali būti išreikšta koeficientais:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Su šia matematikos programa galite išspręsti kvadratinę lygtį.

Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo procesą dviem būdais:
- naudojant diskriminantą
- naudojant Vietos teoremą (jei įmanoma).

Be to, atsakymas rodomas kaip tikslus, o ne apytikslis.
Pavyzdžiui, lygties \(81x^2-16x-1=0\) atsakymas rodomas tokia forma:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ir ne taip: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Ši programa gali būti naudinga aukštųjų mokyklų studentams vidurinės mokyklos ruošiantis bandymai ir egzaminus, tikrinant žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) savo mokymus. jaunesni broliai ar seserys, o išsilavinimo lygis sprendžiamų problemų srityje kyla.

Jei nesate susipažinę su kvadratinio daugianario įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.

Kvadratinio daugianario įvedimo taisyklės

Bet kuri lotyniška raidė gali veikti kaip kintamasis.
Pavyzdžiui: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) ir kt.

Skaičiai gali būti įvesti kaip sveikieji arba trupmeniniai skaičiai.
Be to, trupmeniniai skaičiai galima įvesti ne tik kaip dešimtainę, bet ir kaip paprastąją trupmeną.

Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Dešimtainėse trupmenose trupmeninė dalis gali būti atskirta nuo visos dalies tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, galite įvesti po kablelio kaip šis: 2,5x - 3,5x^2

Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas.

Įeinant skaitinė trupmena Skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas padalijimo ženklu: /
Visa dalis nuo trupmenos atskiriama ampersando ženklu: &
Įvestis: 3 ir 1/3 – 5 ir 6/5z +1/7z^2
Rezultatas: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Įvedant išraišką galite naudoti skliaustus. Šiuo atveju, sprendžiant kvadratinę lygtį, įvesta išraiška pirmiausia supaprastinama.
Pavyzdžiui: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Nuspręskite

Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Jūsų naršyklėje išjungtas JavaScript.
Kad sprendimas būtų rodomas, turite įjungti „JavaScript“.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.

Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...

Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Kvadratinė lygtis ir jos šaknys. Nebaigtos kvadratinės lygtys

Kiekviena iš lygčių
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
atrodo kaip
\(ax^2+bx+c=0, \)
kur x yra kintamasis, a, b ir c yra skaičiai.
Pirmoje lygtyje a = -1, b = 6 ir c = 1,4, antrojoje a = 8, b = -7 ir c = 0, trečiojoje a = 1, b = 0 ir c = 4/9. Tokios lygtys vadinamos kvadratines lygtis.

Apibrėžimas.
Kvadratinė lygtis vadinama ax 2 +bx+c=0 formos lygtimi, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai ir \(a \neq 0 \).

Skaičiai a, b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai. Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficientu, skaičius b yra antrasis koeficientas, o skaičius c yra laisvasis terminas.

Kiekvienoje iš ax 2 +bx+c=0 formos lygčių, kur \(a\neq 0\), didžiausia kintamojo x laipsnis yra kvadratas. Iš čia ir kilo pavadinimas: kvadratinė lygtis.

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinė lygtis taip pat vadinama antrojo laipsnio lygtimi, nes jos kairioji pusė yra antrojo laipsnio daugianario.

Vadinama kvadratinė lygtis, kurioje koeficientas x 2 lygus 1 duota kvadratinė lygtis. Pavyzdžiui, pateiktos kvadratinės lygtys yra lygtys
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jeigu kvadratinėje lygtyje ax 2 +bx+c=0 bent vienas iš koeficientų b arba c yra lygus nuliui, tai tokia lygtis vadinama nepilna kvadratinė lygtis. Taigi lygtys -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 yra nepilnos kvadratinės lygtys. Pirmajame iš jų b=0, antrajame c=0, trečiame b=0 ir c=0.

Yra trijų tipų nepilnos kvadratinės lygtys:
1) ax 2 +c=0, kur \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kur \(b \neq 0 \);
3) kirvis 2 =0.

Panagrinėkime kiekvieno iš šių tipų lygčių sprendimą.

Norėdami išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 +c=0 \(c \neq 0 \), perkelkite jos laisvąjį narį į dešinę ir padalykite abi lygties puses iš a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rodyklė dešinėn x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Kadangi \(c \neq 0 \), tada \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jei \(-\frac(c)(a)>0\), tada lygtis turi dvi šaknis.

Jei \(-\frac(c)(a) Norėdami išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 +bx=0 su \(b \neq 0 \) koeficientu, padėkite jos kairę pusę ir gaukite lygtį
\(x(ax+b)=0 \RightArrow \left\( \begin(masyvas)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(masyvas) \right. \Rightarrow \left\( \begin (masyvas)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(masyvas) \right. \)

Tai reiškia, kad nepilna kvadratinė lygtis, kurios formos ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \), visada turi dvi šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis, kurios forma yra ax 2 =0, yra lygiavertė lygčiai x 2 =0, todėl turi vieną šaknį 0.

Kvadratinės lygties šaknų formulė

Dabar panagrinėkime, kaip išspręsti kvadratines lygtis, kuriose ir nežinomųjų, ir laisvojo nario koeficientai yra nuliniai.

Išspręskime kvadratinę lygtį bendra forma ir gausime šaknų formulę. Tada ši formulė gali būti naudojama bet kuriai kvadratinei lygčiai išspręsti.

Išspręskite kvadratinę lygtį ax 2 +bx+c=0

Abi puses padalijus iš a, gauname ekvivalentinę sumažintą kvadratinę lygtį
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformuokime šią lygtį pasirinkdami dvinario kvadratą:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \rodyklė dešinėn \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 – \frac(c)(a) \Rodyklė dešinėn \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rodyklė dešinėn \kairė(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rodyklė dešinėn \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rodyklė dešinėn x = -\frac(b)(2a) + \frac(\pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rodyklė dešinėn \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radikali išraiška vadinama kvadratinės lygties diskriminantas ax 2 +bx+c=0 („diskriminantas“ lotyniškai – diskriminatorius). Jis žymimas raide D, t.y.
\(D = b^2-4ac\)

Dabar, naudodami diskriminacinį žymėjimą, perrašome kvadratinės lygties šaknų formulę:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kur \(D= b^2-4ac \)

Akivaizdu, kad:
1) Jei D>0, tai kvadratinė lygtis turi dvi šaknis.
2) Jei D=0, tai kvadratinė lygtis turi vieną šaknį \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jei D Taigi, priklausomai nuo diskriminanto reikšmės, kvadratinė lygtis gali turėti dvi šaknis (kai D > 0), vieną šaknį (kai D = 0) arba neturėti šaknų (kai D Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant š. formulę, patartina daryti taip:
1) apskaičiuokite diskriminantą ir palyginkite jį su nuliu;
2) jei diskriminantas yra teigiamas arba lygus nuliui, tada naudokite šaknies formulę; jei diskriminantas yra neigiamas, tada užrašykite, kad nėra šaknų.

Vietos teorema

Duota kvadratinė lygtis ax 2 -7x+10=0 turi šaknis 2 ir 5. Šaknų suma lygi 7, sandauga 10. Matome, kad šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingumu. ženklas, o šaknų sandauga lygi laisvajam terminui. Bet kuri sumažinta kvadratinė lygtis, turinti šaknis, turi šią savybę.

Aukščiau pateiktos kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui.

Tie. Vietos teorema teigia, kad redukuotos kvadratinės lygties x 2 +px+q=0 šaknys x 1 ir x 2 turi savybę:
\(\left\( \begin(masyvas)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(masyvas) \right. \)