Pamoka ir pristatymas tema: „Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimas“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Vadovai ir treniruokliai „Integral“ internetinėje parduotuvėje 10 klasei nuo 1C
Geometrijos uždavinių sprendimas. Interaktyvios užduotys kuriant erdvėje
Programinės įrangos aplinka "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Ką mes studijuosime:
1. Kas yra trigonometrinės lygtys?

3. Du pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.
4. Homogeninės trigonometrinės lygtys.
5. Pavyzdžiai.

Kas yra trigonometrinės lygtys?

Vaikinai, mes jau ištyrėme arcsinusą, arkosinusą, arctangentą ir arkotangentą. Dabar pažvelkime į trigonometrines lygtis apskritai.

Trigonometrinės lygtys– lygtis, kurioje kintamasis yra po trigonometrinės funkcijos ženklu.

Pakartokime paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formą:

1)Jei |a|≤ 1, tai lygtis cos(x) = a turi sprendimą:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jei |a|≤ 1, tai lygtis sin(x) = a turi sprendimą:

3) Jei |a| > 1, tada lygtis sin(x) = a ir cos(x) = a neturi sprendinių 4) Lygtis tg(x)=a turi sprendimą: x=arctg(a)+ πk

5) Lygtis ctg(x)=a turi sprendimą: x=arcctg(a)+ πk

Visų formulių k yra sveikas skaičius

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys turi tokią formą: T(kx+m)=a, T yra kokia nors trigonometrinė funkcija.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtis: a) sin(3x)= √3/2

Sprendimas:

A) Pažymime 3x=t, tada perrašysime savo lygtį į formą:

Šios lygties sprendimas bus toks: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Iš verčių lentelės gauname: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Grįžkime prie kintamojo: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Atsakymas: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kur n yra sveikas skaičius. (-1)^n – atėmus vieną iki n laipsnio.

Daugiau trigonometrinių lygčių pavyzdžių.

Išspręskite lygtis: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Sprendimas:

A) Šį kartą pereikime tiesiai prie lygties šaknų skaičiavimo:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada x/5= πk => x=5πk

Atsakymas: x=5πk, kur k yra sveikas skaičius.

B) Rašome tokia forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Žinome, kad: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Atsakymas: x=2π/9 + πk/3, kur k yra sveikas skaičius.

Išspręskite lygtis: cos(4x)= √2/2. Ir raskite visas šaknis segmente.

Sprendimas:

Mes nuspręsime bendras vaizdas mūsų lygtis: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x = ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Dabar pažiūrėkime, kokios šaknys patenka į mūsų segmentą. Ties k Kai k=0, x= π/16, esame duotame atkarpoje.
Kai k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, pataikome dar kartą.
Jei k=2, x= π/16+ π=17π/16, bet čia nepataikėme, vadinasi, esant dideliam k, taip pat akivaizdžiai nepataikėme.

Atsakymas: x= π/16, x= 9π/16

Du pagrindiniai sprendimo būdai.

Mes pažvelgėme į paprasčiausias trigonometrines lygtis, tačiau yra ir sudėtingesnių. Jiems išspręsti naudojamas naujo kintamojo įvedimo ir faktorizavimo metodas. Pažiūrėkime į pavyzdžius.

Išspręskime lygtį:

Sprendimas:
Norėdami išspręsti mūsų lygtį, naudosime naujo kintamojo įvedimo metodą, žymėdami: t=tg(x).

Dėl pakeitimo gauname: t 2 + 2t -1 = 0

Raskime kvadratinės lygties šaknis: t=-1 ir t=1/3

Tada tg(x)=-1 ir tg(x)=1/3, gauname paprasčiausią trigonometrinę lygtį, suraskime jos šaknis.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Atsakymas: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Lygties sprendimo pavyzdys

Išspręskite lygtis: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Sprendimas:

Naudokime tapatybę: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Mūsų lygtis bus tokia: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Įveskime pakeitimą t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Mūsų kvadratinės lygties sprendimas yra šaknys: t=2 ir t=-1/2

Tada cos(x)=2 ir cos(x)=-1/2.

Nes kosinusas negali būti didesnis už vieną, tada cos(x)=2 neturi šaknų.

Jei cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Atsakymas: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeninės trigonometrinės lygtys.

Apibrėžimas: a sin(x)+b cos(x) formos lygtys vadinamos pirmojo laipsnio vienarūšėmis trigonometrinėmis lygtimis.

Formos lygtys

antrojo laipsnio vienarūšės trigonometrinės lygtys.

Norėdami išspręsti homogeninę pirmojo laipsnio trigonometrinę lygtį, padalinkite ją iš cos (x): Negalite dalyti iš kosinuso, jei jis lygus nuliui, įsitikinkime, kad taip nėra:
Tegu cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, bet sinusas ir kosinusas nėra lygūs nuliui vienu metu, gauname prieštaravimą, todėl galime drąsiai dalyti nuliu.

Išspręskite lygtį:
Pavyzdys: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Sprendimas:

Išimkime bendrą koeficientą: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Tada turime išspręsti dvi lygtis:

Cos(x)=0 ir cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, kai x= π/2 + πk;

Apsvarstykite lygtį cos(x)+sin(x)=0 Padalinkite mūsų lygtį iš cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Atsakymas: x= π/2 + πk ir x= -π/4+πk

Kaip išspręsti vienarūšes antrojo laipsnio trigonometrines lygtis?
Vaikinai, visada laikykitės šių taisyklių!

1. Pažiūrėkite ką koeficientas lygus ir jei a = 0, mūsų lygtis bus tokia forma cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), kurios sprendimo pavyzdys pateiktas ankstesnėje skaidrėje

2. Jei a≠0, tuomet reikia padalyti abi lygties puses iš kosinuso kvadrato, gauname:

Keičiame kintamąjį t=tg(x) ir gauname lygtį:

Išspręskite pavyzdį Nr.:3

Išspręskite lygtį:
Sprendimas:

Abi lygties puses padalinkime iš kosinuso kvadrato:

Keičiame kintamąjį t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Raskime kvadratinės lygties šaknis: t=-3 ir t=1

Tada: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Atsakymas: x=-arctg(3) + πk ir x= π/4+ πk

Išspręskite pavyzdį Nr.:4

Išspręskite lygtį:

Sprendimas:
Pakeiskime savo išraišką:

Galime išspręsti tokias lygtis: x= - π/4 + 2πk ir x=5π/4 + 2πk

Atsakymas: x= - π/4 + 2πk ir x=5π/4 + 2πk

Išspręskite pavyzdį Nr.:5

Išspręskite lygtį:

Sprendimas:
Pakeiskime savo išraišką:

Įveskime pakaitalą tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Mūsų kvadratinės lygties sprendimas bus šaknys: t=-2 ir t=1/2

Tada gauname: tg(2x)=-2 ir tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Atsakymas: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ir x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Savarankiško sprendimo problemos.

1) Išspręskite lygtį

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Išspręskite lygtis: sin(3x)= √3/2. Ir suraskite visas šaknis atkarpoje [π/2; π].

3) Išspręskite lygtį: 2 lovelė (x) + 2 lovytė (x) + 1 =0

4) Išspręskite lygtį: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Išspręskite lygtį: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Išspręskite lygtį: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Sprendžiant daugelį matematines problemas, ypač tų, kurie įvyksta iki 10 klasės, aiškiai apibrėžta atliekamų veiksmų, kurie leis pasiekti tikslą, tvarka. Tokios problemos apima, pavyzdžiui, linijinius ir kvadratines lygtis, linijinis ir kvadratinės nelygybės, trupmenines lygtis ir lygtys, kurios redukuoja į kvadratines. Kiekvienos iš paminėtų problemų sėkmingo sprendimo principas yra toks: reikia nustatyti, kokio tipo problemą sprendžiate, prisiminti reikiamą veiksmų seką, kuri leis pasiekti norimą rezultatą, t.y. atsakykite ir atlikite šiuos veiksmus.

Akivaizdu, kad sėkmė ar nesėkmė sprendžiant konkrečią problemą daugiausia priklauso nuo to, kaip teisingai nustatytas sprendžiamos lygties tipas, kaip teisingai atkurta visų jos sprendimo etapų seka. Žinoma, tokiu atveju būtina turėti įgūdžių atlikti identiškas transformacijas ir skaičiavimus.

Situacija kitokia su trigonometrines lygtis. Visiškai nesunku nustatyti, kad lygtis yra trigonometrinė. Sunkumai iškyla nustatant veiksmų seką, kuri leistų gauti teisingą atsakymą.

Autorius išvaizda lygtį kartais sunku nustatyti jos tipą. O nežinant lygties tipo iš kelių dešimčių trigonometrinių formulių išsirinkti tinkamą beveik neįmanoma.

Norėdami išspręsti trigonometrinę lygtį, turite pabandyti:

1. visas į lygtį įtrauktas funkcijas nukreipkite į „tuo pačiu kampu“;
2. suvesti lygtį į „identiškas funkcijas“;
3. atsiskleisti kairė pusė faktoringo lygtys ir kt.

Pasvarstykime pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo metodai.

I. Redukcija į paprasčiausias trigonometrines lygtis

Sprendimo schema

1 žingsnis. Išreikškite trigonometrinę funkciją žinomais komponentais.

2 žingsnis. Raskite funkcijos argumentą naudodami formules:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

įdegis x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

3 veiksmas. Raskite nežinomą kintamąjį.

Pavyzdys.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Sprendimas.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Atsakymas: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Kintamasis pakeitimas

Sprendimo schema

1 žingsnis. Sumažinkite lygtį iki algebrinės formos vienos iš trigonometrinių funkcijų atžvilgiu.

2 žingsnis. Gautą funkciją pažymėkite kintamuoju t (jei reikia, įveskite t apribojimus).

3 veiksmas. Užsirašykite ir išspręskite rezultatą algebrinė lygtis.

4 veiksmas. Atlikite atvirkštinį pakeitimą.

5 veiksmas. Išspręskite paprasčiausią trigonometrinę lygtį.

Pavyzdys.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Sprendimas.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Tegul sin (x/2) = t, kur |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 arba e = -3/2, netenkina sąlygos |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Atsakymas: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Lygčių eilės mažinimo metodas

Sprendimo schema

1 žingsnis. Pakeiskite šią lygtį tiesine, naudodami laipsnio mažinimo formulę:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2 žingsnis. Išspręskite gautą lygtį naudodami I ir II metodus.

Pavyzdys.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Sprendimas.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Atsakymas: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeninės lygtys

Sprendimo schema

1 žingsnis. Sumažinkite šią lygtį iki formos

a) a sin x + b cos x = 0 ( vienalytė lygtis Pirmas laipsnis)

arba į vaizdą

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogeninė antrojo laipsnio lygtis).

2 žingsnis. Padalinkite abi lygties puses iš

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ir gaukite tan x lygtį:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

3 veiksmas. Išspręskite lygtį žinomais metodais.

Pavyzdys.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Sprendimas.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Tada tegul tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 arba t = -4, o tai reiškia

tg x = 1 arba tg x = -4.

Iš pirmosios lygties x = π/4 + πn, n Є Z; iš antrosios lygties x = -arctg 4 + πk, kЄZ.

Atsakymas: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Lygties transformavimo naudojant trigonometrines formules metodas

Sprendimo schema

1 žingsnis. Naudodami visas įmanomas trigonometrines formules, sumažinkite šią lygtį iki lygties, išspręstos I, II, III, IV metodais.

2 žingsnis. Išspręskite gautą lygtį žinomais metodais.

Pavyzdys.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Sprendimas.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 arba 2cos x + 1 = 0;

Iš pirmosios lygties 2x = π/2 + πn, n Є Z; iš antrosios lygties cos x = -1/2.

Turime x = π/4 + πn/2, n Є Z; iš antrosios lygties x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Dėl to x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Atsakymas: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Gebėjimas ir įgūdžiai spręsti trigonometrines lygtis yra labai svarbu, jų kūrimas reikalauja didelių pastangų tiek iš mokinio, tiek iš dėstytojo pusės.

Daugelis stereometrijos, fizikos ir kt. uždavinių yra susiję su trigonometrinių lygčių sprendimu. Tokių uždavinių sprendimo procesas įkūnija daugybę žinių ir įgūdžių, įgyjamų studijuojant trigonometrijos elementus.

Trigonometrinės lygtys imtis svarbi vieta matematikos mokymo ir apskritai asmenybės ugdymo procese.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip išspręsti trigonometrines lygtis?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
Pirma pamoka nemokama!

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Integruoto žinių taikymo pamoka.

Pamokos tikslai.

1. Apsvarstykite įvairių metodų trigonometrinių lygčių sprendimas.
2. Plėtra kūrybiškumas mokiniai spręsdami lygtis.
3. Mokinių skatinimas savikontrolei, savikontrolei, ugdomosios veiklos savianalizei.

Įranga: ekranas, projektorius, informacinė medžiaga.

Per užsiėmimus

Įžanginis pokalbis.

Pagrindinis trigonometrinių lygčių sprendimo būdas – jas redukuoti į paprasčiausią formą. Šiuo atveju naudojami įprasti metodai, pavyzdžiui, faktorizavimas, taip pat metodai, naudojami tik trigonometrinėms lygtims spręsti. Šių technikų yra gana daug, pavyzdžiui, įvairūs trigonometriniai pakaitalai, kampinės transformacijos, trigonometrinių funkcijų transformacijos. Beatodairiškas bet kokių trigonometrinių transformacijų taikymas paprastai lygties nesupaprastina, o katastrofiškai apsunkina. Norėdami sportuoti bendras kontūras suplanuokite lygtį, nubrėžkite būdą, kaip sumažinti lygtį iki paprasčiausio, pirmiausia turite išanalizuoti kampus - į lygtį įtrauktų trigonometrinių funkcijų argumentus.

Šiandien kalbėsime apie trigonometrinių lygčių sprendimo būdus. Teisingai pasirinktas metodas dažnai gali žymiai supaprastinti sprendimą, todėl visada reikia turėti omenyje visus mūsų išnagrinėtus metodus, kad trigonometrines lygtis būtų galima išspręsti tinkamiausiu metodu.

II. (Naudodami projektorių, pakartojame lygčių sprendimo būdus.)

1. Trigonometrinės lygties redukavimo į algebrinę būdas.

Viską reikia išreikšti trigonometrinės funkcijos per vieną, su tuo pačiu argumentu. Tai galima padaryti naudojant pagrindinę trigonometrinę tapatybę ir jos pasekmes. Gauname lygtį su viena trigonometrine funkcija. Laikydami jį kaip naują nežinomąjį, gauname algebrinę lygtį. Surandame jo šaknis ir grįžtame į seną nežinomybę, išspręsdami paprasčiausias trigonometrines lygtis.

2. Faktorizacijos metodas.

Norint pakeisti kampus, dažnai praverčia argumentų mažinimo, sumos ir skirtumo formulės, taip pat trigonometrinių funkcijų sumos (skirtumo) pavertimo sandauga ir atvirkščiai formulės.

sin x + nuodėmė 3x = nuodėmė 2x + sin4x

3. Papildomo kampo įvedimo būdas.

4. Universalaus pakeitimo panaudojimo būdas.

Formos F(sinx, cosx, tanx) = 0 lygtys sumažinamos iki algebrinės, naudojant universalų trigonometrinį pakaitalą

Išreiškiant sinusą, kosinusą ir liestinę pusės kampo liestine. Ši technika gali lemti aukštesnės eilės lygtį. Kurio sprendimas yra sunkus.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami identifikuoti tam tikras asmuo arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Ne paslaptis, kad sėkmė ar nesėkmė sprendžiant beveik bet kurią problemą daugiausia priklauso nuo teisingo tam tikros lygties tipo nustatymo, taip pat nuo teisingo visų jos sprendimo etapų sekos atkūrimo. Tačiau trigonometrinių lygčių atveju nustatyti, kad lygtis yra trigonometrinė, visai nėra sunku. Tačiau nustatydami veiksmų seką, kuri turėtų lemti teisingą atsakymą, galime susidurti su tam tikrais sunkumais. Išsiaiškinkime, kaip teisingai išspręsti trigonometrines lygtis nuo pat pradžių.

Trigonometrinių lygčių sprendimas

Norėdami išspręsti trigonometrinę lygtį, turite išbandyti šiuos dalykus:

• Visas į mūsų lygtį įtrauktas funkcijas sumažiname iki „identiškų kampų“;
• Būtina pateikti pateiktą lygtį į „identiškas funkcijas“;
• Pateiktos lygties kairę pusę išskaidome į veiksnius ar kitus būtinus komponentus.

Metodai

1 metodas. Tokios lygtys turi būti sprendžiamos dviem etapais. Pirma, mes transformuojame lygtį, kad gautume paprasčiausią (supaprastintą) formą. Lygtis: Cosx = a, Sinx = a ir panašios vadinamos paprasčiausiomis trigonometrinėmis lygtimis. Antrasis etapas yra paprasčiausios gautos lygties sprendimas. Reikia pažymėti, kad galima išspręsti paprasčiausią lygtį algebrinis metodas, kuri mums gerai žinoma iš mokyklinio algebros kurso. Jis taip pat vadinamas pakeitimo ir kintamojo pakeitimo metodu. Naudodami redukcijos formules pirmiausia turite transformuoti, tada atlikti pakeitimą ir rasti šaknis.

Toliau turime suskirstyti savo lygtį į galimus veiksnius, kad tai padarytume, visus terminus perkelti į kairę ir tada galime jį suskaidyti. Dabar turime suvesti šią lygtį į vienalytę, kurioje visi nariai yra vienodi, o kosinusas ir sinusas turi tą patį kampą.

Prieš spręsdami trigonometrines lygtis, turite perkelti jos narius į kairę pusę, paimdami juos iš dešinės, o tada iš skliaustų išdėliokite visus bendruosius vardiklius. Savo skliaustus ir koeficientus prilyginame nuliui. Mūsų sulyginti skliaustai reiškia homogeninę lygtį su sumažintu laipsniu, kurią reikia padalyti iš sin (cos) iki aukščiausio laipsnio. Dabar išsprendžiame algebrinę lygtį, kuri buvo gauta atsižvelgiant į įdegį.

2 metodas. Kitas metodas, kuriuo galite išspręsti trigonometrinę lygtį, yra perėjimas prie pusės kampo. Pavyzdžiui, išsprendžiame lygtį: 3sinx-5cosx=7.

Turime pereiti prie pusės kampo, mūsų atveju tai yra: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+ 7cos²(x /2).Ir po to mes sumažiname visus terminus į vieną dalį (patogumui geriau pasirinkti tinkamą) ir pereiname prie lygties sprendimo.

Jei reikia, galite įvesti pagalbinį kampą. Tai daroma tuo atveju, kai reikia pakeisti sveikojo skaičiaus reikšmę sin (a) arba cos (a), o ženklas „a“ veikia tik kaip pagalbinis kampas.

Produkto suma

Kaip išspręsti trigonometrines lygtis su sandauga? Tokioms lygtims išspręsti taip pat gali būti naudojamas metodas, žinomas kaip produkto konvertavimas į sumą. Šiuo atveju būtina naudoti lygtį atitinkančias formules.

Pavyzdžiui, turime lygtį: 2sinx * sin3x= сos4x

Turime išspręsti šią problemą, paversdami kairę pusę į sumą, būtent:

сos 4x – cos8x = cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Jei minėti metodai netinka, o jūs vis dar nežinote, kaip išspręsti paprasčiausias trigonometrines lygtis, galite naudoti kitą metodą – universalųjį pakeitimą. Jis gali būti naudojamas išraiškai transformuoti ir pakeisti. Pavyzdžiui: Cos(x/2)=u. Dabar galite išspręsti lygtį su esamu parametru u. Ir gavę norimą rezultatą, nepamirškite konvertuoti šios vertės į priešingą.

Daugelis „patyrusių“ studentų pataria prašyti žmonių išspręsti lygtis internete. Klausiate, kaip išspręsti trigonometrinę lygtį internete. Dėl internetiniai sprendimai užduotis, galite eiti į forumus atitinkamomis temomis, kur jie gali jums padėti patarimais ar išspręsti problemą. Bet geriausia pabandyti tai padaryti patiems.

Trigonometrinių lygčių sprendimo įgūdžiai ir gebėjimai yra labai svarbūs ir naudingi. Jų kūrimas pareikalaus iš jūsų didelių pastangų. Daugelis fizikos, stereometrijos ir kt. uždavinių yra susiję su tokių lygčių sprendimu. O pats tokių problemų sprendimo procesas suponuoja įgūdžių ir žinių, kurias galima įgyti studijuojant trigonometrijos elementus, buvimą.

Trigonometrinių formulių mokymasis

Sprendžiant lygtį gali tekti naudoti bet kurią trigonometrijos formulę. Žinoma, galite pradėti jo ieškoti savo vadovėliuose ir apgaulės lapuose. Ir jei šios formulės bus saugomos jūsų galvoje, jūs ne tik sutaupysite savo nervus, bet ir labai palengvinsite savo užduotį, negaišdami laiko paieškoms reikalinga informacija. Taigi turėsite galimybę apgalvoti racionaliausią problemos sprendimo būdą.