Raskite kiekvienos 2x2 matricos apibrėžimą. Kiekvienas bet kurios matricos elementas, įskaitant perkeltą, yra susietas su atitinkama 2x2 matrica. Norėdami rasti 2x2 matricą, atitinkančią konkretų elementą, perbraukite eilutę ir stulpelį, kuriuose yra nurodytas elementas, tai yra, turite išbraukti penkis pradinės 3x3 matricos elementus. Keturi elementai liks nesukryžiuoti, kurie yra atitinkamos 2x2 matricos elementai.

• Pavyzdžiui, norėdami rasti 2x2 matricą elementui, esančiam antros eilutės ir pirmojo stulpelio sankirtoje, išbraukite penkis elementus, esančius antroje eilutėje ir pirmame stulpelyje. Likę keturi elementai yra atitinkamos 2x2 matricos elementai.
• Raskite kiekvienos 2x2 matricos determinantą. Norėdami tai padaryti, atimkite antrinės įstrižainės elementų sandaugą iš pagrindinės įstrižainės elementų sandaugos (žr. pav.).
• Išsamią informaciją apie 2x2 matricas, atitinkančias konkrečius 3x3 matricos elementus, galite rasti internete.

Sukurkite kofaktorių matricą. Anksčiau gautus rezultatus parašykite naujos kofaktorių matricos forma. Norėdami tai padaryti, parašykite rastą kiekvienos 2x2 matricos determinantą, kur buvo atitinkamas 3x3 matricos elementas. Pavyzdžiui, jei svarstote apie 2x2 matricą elementui (1,1), parašykite jo determinantą (1,1) padėtyje. Tada pakeiskite atitinkamų elementų ženklus pagal tam tikrą schemą, kuri parodyta paveikslėlyje.

• Ženklų keitimo schema: pirmos eilutės pirmojo elemento ženklas nesikeičia; pirmosios eilutės antrojo elemento ženklas yra apverstas; pirmos eilutės trečiojo elemento ženklas nesikeičia ir taip eilutė po eilutės. Atkreipkite dėmesį, kad „+“ ir „-“ ženklai, kurie rodomi diagramoje (žr. pav.), nereiškia, kad atitinkamas elementas bus teigiamas ar neigiamas. Šiuo atveju „+“ ženklas rodo, kad elemento ženklas nesikeičia, o „-“ ženklas rodo elemento ženklo pasikeitimą.
• Išsamią informaciją apie kofaktorių matricas galima rasti internete.
• Tokiu būdu rasite pradinės matricos adjungtinę matricą. Kartais ji vadinama sudėtinga konjuguota matrica. Tokia matrica žymima kaip adj(M).

Kiekvieną adjungtinės matricos elementą padalinkite iš jo determinanto. Tam patikrinti pačioje pradžioje buvo apskaičiuotas matricos M determinantas atvirkštinė matrica egzistuoja. Dabar padalykite kiekvieną adjungtinės matricos elementą šiuo determinantu. Parašykite kiekvienos padalijimo operacijos, kurioje yra atitinkamas elementas, rezultatą. Tokiu būdu matricą rasite atvirkštinę pradinei.

• Paveiksle parodytos matricos determinantas yra 1. Taigi čia adjunktinė matrica yra atvirkštinė (nes bet kurį skaičių padalijus iš 1, jis nesikeičia).
• Kai kuriuose šaltiniuose dalybos operacija pakeičiama daugybos iš 1/det(M) operacija. Tačiau galutinis rezultatas nesikeičia.

Parašykite atvirkštinę matricą. Elementus, esančius dešinėje didelės matricos pusėje, parašykite kaip atskirą matricą, kuri yra atvirkštinė matrica.

Įveskite originalią matricą į skaičiuotuvo atmintį. Norėdami tai padaryti, spustelėkite mygtuką Matrica, jei yra. „Texas Instruments“ skaičiuoklei gali tekti paspausti 2 ir Matrix mygtukus.

Pasirinkite meniu Redaguoti. Atlikite tai naudodami rodyklių mygtukus arba atitinkamą funkcijų mygtuką, esantį skaičiuotuvo klaviatūros viršuje (mygtuko vieta skiriasi priklausomai nuo skaičiuotuvo modelio).

Įveskite matricos žymėjimą. Dauguma grafinių skaičiuotuvų gali dirbti su 3–10 matricų, kurias galima priskirti raidės A-J. Paprastai tiesiog pasirinkite [A], kad nurodytumėte pradinę matricą. Tada paspauskite Enter mygtuką.

Įveskite matricos dydį.Šiame straipsnyje kalbama apie 3x3 matricas. Tačiau grafiniai skaičiuotuvai gali dirbti su matricomis dideli dydžiai. Įveskite eilučių skaičių, paspauskite Enter, tada įveskite stulpelių skaičių ir dar kartą paspauskite Enter.

Įveskite kiekvieną matricos elementą. Skaičiuotuvo ekrane bus rodoma matrica. Jei anksčiau į skaičiuotuvą įvedėte matricą, ji pasirodys ekrane. Žymeklis paryškins pirmąjį matricos elementą. Įveskite pirmojo elemento reikšmę ir paspauskite Enter. Žymeklis automatiškai pereis prie kito matricos elemento.

1 apibrėžimas: matrica vadinama vienaskaita, jei jos determinantas yra nulis.

2 apibrėžimas: matrica vadinama ne vienaskaita, jei jos determinantas nėra lygus nuliui.

Matrica „A“ vadinama atvirkštinė matrica, jei tenkinama sąlyga A*A-1 = A-1 *A = E (vieneto matrica).

Kvadratinė matrica yra apverčiama tik tuo atveju, jei ji nėra vienaskaita.

Atvirkštinės matricos skaičiavimo schema:

1) Apskaičiuokite matricos "A" determinantą, jei ∆ A = 0, tada atvirkštinė matrica neegzistuoja.

2) Raskite visus matricos "A" algebrinius papildinius.

3) Sukurkite algebrinių priedų matricą (Aij)

4) Transponuokite algebrinių komplementų matricą (Aij )T

5) Padauginkite perkeltą matricą iš šios matricos determinanto atvirkštinės vertės.

6) Atlikite patikrinimą:

Iš pirmo žvilgsnio tai gali atrodyti sudėtinga, bet iš tikrųjų viskas yra labai paprasta. Visi sprendimai pagrįsti paprastais aritmetiniais veiksmais, sprendžiant svarbiausia nesusipainioti su „-“ ir „+“ ženklais ir jų nepamesti.

Dabar kartu išspręskime praktinę užduotį apskaičiuodami atvirkštinę matricą.

Užduotis: suraskite atvirkštinę matricą „A“, parodytą paveikslėlyje žemiau:

1. Pirmas dalykas, kurį reikia padaryti, yra rasti matricos "A" determinantą:

Paaiškinimas:

Supaprastinome determinantą naudodami pagrindines jo funkcijas. Pirmiausia į 2 ir 3 eilutes įtraukėme pirmosios eilutės elementus, padaugintus iš vieno skaičiaus.

Antra, pakeitėme determinanto 2 ir 3 stulpelius, o pagal jo savybes pakeitėme ženklą prieš jį.

Trečia, išėmėme bendrąjį antrosios eilutės koeficientą (-1), taip vėl pakeisdami ženklą, ir jis tapo teigiamas. Mes taip pat supaprastinome 3 eilutę taip pat, kaip ir pačioje pavyzdžio pradžioje.

Turime trikampį determinantą, kurio elementai žemiau įstrižainės yra lygūs nuliui, o pagal savybę 7 lygus įstrižainių elementų sandaugai. Galų gale gavome ∆ A = 26, todėl atvirkštinė matrica egzistuoja.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Kitas žingsnis yra sudaryti matricą iš gautų priedų:

5. Padauginkite šią matricą iš determinanto atvirkštinės vertės, ty iš 1/26:

6. Dabar tereikia patikrinti:

Testo metu gavome tapatybės matricą, todėl sprendimas buvo atliktas visiškai teisingai.

2 būdas apskaičiuoti atvirkštinę matricą.

1. Elementariosios matricos transformacija

2. Atvirkštinė matrica per elementarųjį keitiklį.

Elementarioji matricos transformacija apima:

1. Eilutės padauginimas iš skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui.

2. Į bet kurią eilutę įtraukiant kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus.

3. Sukeiskite matricos eilutes.

4. Taikydami elementariųjų transformacijų grandinę gauname kitą matricą.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * A = E

Pažiūrėkime į tai praktinis pavyzdys su realiais skaičiais.

Pratimas: Raskite atvirkštinę matricą.

Sprendimas:

Patikrinkime:

Šiek tiek paaiškinimo apie sprendimą:

Pirmiausia pertvarkėme 1 ir 2 matricos eilutes, tada pirmąją eilutę padauginome iš (-1).

Po to pirmąją eilutę padauginome iš (-2) ir sudėjome su antrąja matricos eilute. Tada 2 eilutę padauginome iš 1/4.

Paskutinis transformacijos etapas buvo antrosios eilutės padauginimas iš 2 ir pridėjimas prie pirmosios. Dėl to mes turime tapatybės matricą kairėje, todėl atvirkštinė matrica yra dešinėje.

Patikrinę įsitikinome, kad sprendimas buvo teisingas.

Kaip matote, atvirkštinės matricos apskaičiavimas yra labai paprastas.

Šios paskaitos pabaigoje taip pat norėčiau skirti šiek tiek laiko tokios matricos savybėms.

Tam tikros matricos atvirkštinė matrica yra tokia matrica, padauginus pradinę, iš kurios gaunama tapatumo matrica: Privaloma ir pakankama atvirkštinės matricos buvimo sąlyga yra ta, kad pradinės matricos determinantas yra nelygu nuliui (o tai savo ruožtu reiškia, kad matrica turi būti kvadratinė). Jei matricos determinantas yra lygus nuliui, tada jis vadinamas vienaskaita ir tokia matrica neturi atvirkštinės reikšmės. IN aukštoji matematika Atvirkštinės matricos yra svarbios ir naudojamos sprendžiant daugybę problemų. Pavyzdžiui, ant rasti atvirkštinę matricą buvo sukonstruotas matricinis lygčių sistemų sprendimo metodas. Mūsų paslaugų svetainė leidžia Apskaičiuokite atvirkštinę matricą internete du metodai: Gauso-Jordano metodas ir naudojant algebrinių priedų matricą. Pertraukimas reiškia didelis skaičius elementariosios transformacijos matricos viduje, antrasis – visų elementų determinanto ir algebrinių priedų apskaičiavimas. Norėdami apskaičiuoti matricos determinantą internete, galite pasinaudoti kita mūsų paslauga - Matricos determinanto skaičiavimas internetu

Raskite atvirkštinę svetainės matricą

Interneto svetainė leidžia rasti atvirkštinė matrica internete greitai ir nemokamai. Svetainėje atliekami skaičiavimai, naudojant mūsų paslaugą, o rezultatas pateikiamas kartu su išsamiu paieškos sprendimu atvirkštinė matrica. Serveris visada pateikia tik tikslų ir teisingą atsakymą. Užduotyse pagal apibrėžimą atvirkštinė matrica internete, būtina, kad determinantas matricos buvo ne nulis, kitaip Interneto svetainė praneš, kad atvirkštinės matricos rasti neįmanoma dėl to, kad pradinės matricos determinantas yra lygus nuliui. Užduotis surasti atvirkštinė matrica randama daugelyje matematikos šakų, yra viena iš pagrindinių algebros sąvokų ir matematinė taikomųjų problemų priemonė. Nepriklausomas atvirkštinės matricos apibrėžimas reikalauja didelių pastangų, daug laiko, skaičiavimų ir didelio kruopštumo, kad būtų išvengta rašybos klaidų ar smulkių klaidų skaičiavimuose. Todėl mūsų paslauga rasti atvirkštinę matricą internetežymiai palengvins jūsų užduotį ir taps nepakeičiamu įrankiu sprendžiant matematinius uždavinius. Net jei tu rasti atvirkštinę matricą patys, rekomenduojame patikrinti sprendimą mūsų serveryje. Įveskite savo pradinę matricą mūsų svetainėje Apskaičiuokite atvirkštinę matricą internete ir patikrinkite savo atsakymą. Mūsų sistema niekada nedaro klaidų ir neranda atvirkštinė matrica duotas matmuo režimu prisijungęs iš karto! Svetainėje Interneto svetainė simbolių įrašai leidžiami elementuose matricos, tokiu atveju atvirkštinė matrica internete bus pateikta bendra simboline forma.

Daugeliu savybių panašus į atvirkštinį.

Enciklopedinis „YouTube“.

1 / 5

✪ Kaip rasti atvirkštinę matricos vertę - bezbotvy

✪ Atvirkštinė matrica (2 būdai rasti)

✪ Atvirkštinė matrica Nr. 1

✪ 2015-01-28. Atvirkštinė 3x3 matrica

✪ 2015-01-27. Atvirkštinė matrica 2x2

Subtitrai

Atvirkštinės matricos savybės

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Kur det (\displaystyle \\det )žymi determinantą.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) dviem kvadratinėms apverčiamoms matricoms A (\displaystyle A) Ir B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Kur (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))žymi transponuotą matricą.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) bet kokiam koeficientui k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Jei reikia išspręsti tiesinių lygčių sistemą, (b yra nulinis vektorius), kur x (\displaystyle x) yra norimas vektorius, o jei A − 1 (\displaystyle A^(-1)) tada egzistuoja x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Priešingu atveju arba sprendinių erdvės matmuo yra didesnis už nulį, arba sprendinių visai nėra.

Atvirkštinės matricos radimo metodai

Jei matrica yra apverčiama, tada norėdami rasti atvirkštinę matricą, galite naudoti vieną iš šių metodų:

Tikslieji (tiesioginiai) metodai

Gauss-Jordan metodas

Paimkime dvi matricas: the A ir vienišas E. Pateikiame matricą A tapatybės matricai naudojant Gauss-Jordan metodą, taikant transformacijas išilgai eilučių (taip pat galite taikyti transformacijas išilgai stulpelių, bet ne maišyti). Pritaikę kiekvieną operaciją pirmajai matricai, taikykite tą pačią operaciją antrajai. Kai bus baigtas pirmosios matricos redukavimas į vieneto formą, antroji matrica bus lygi A–1.

Naudojant Gauso metodą, pirmoji matrica kairėje bus padauginta iš vienos iš elementariųjų matricų Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvekcinė arba įstrižainė matrica su vienetais pagrindinėje įstrižainėje, išskyrus vieną padėtį):

Antroji matrica pritaikius visas operacijas bus lygi Λ (\displaystyle\Lambda), tai yra, jis bus norimas. Algoritmo sudėtingumas - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Naudojant algebrinę komplemento matricą

Matrica atvirkštinė matrica A (\displaystyle A), gali būti pavaizduotas formoje

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Kur adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- adjungtinė matrica;

Algoritmo sudėtingumas priklauso nuo determinanto O det skaičiavimo algoritmo sudėtingumo ir yra lygus O(n²)·O det.

Naudojant LU/LUP skaidymą

Matricinė lygtis A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) atvirkštinei matricai X (\displaystyle X) galima laikyti kolekcija n (\displaystyle n) formos sistemos A x = b (\displaystyle Ax=b). Pažymėkime i (\displaystyle i) matricos stulpelis X (\displaystyle X) per X i (\displaystyle X_(i)); Tada A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),nes i (\displaystyle i) matricos stulpelis I n (\displaystyle I_(n)) yra vieneto vektorius e i (\displaystyle e_(i)). kitaip tariant, norint rasti atvirkštinę matricą, reikia išspręsti n lygčių su ta pačia matrica ir skirtingomis dešiniosiomis pusėmis. Atlikus LUP skaidymą (O(n³) laikas), kiekvienai iš n lygčių išspręsti reikia O(n²) laiko, taigi ir šiai darbo daliai reikia O(n³) laiko.

Jei matrica A yra ne vienaskaita, tada jai galima apskaičiuoti LUP skaidymą P A = L U (\displaystyle PA = LU). Leisti P A = B (\displaystyle PA = B), B – 1 = D (\displaystyle B^(-1) = D). Tada iš atvirkštinės matricos savybių galime parašyti: D = U – 1 L – 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Jei šią lygybę padauginsite iš U ir L, galite gauti dvi formos lygybes U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Ir D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Pirmoji iš šių lygybių reiškia n² sistemą tiesines lygtis Dėl n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) iš kurių žinomos dešinės pusės (iš trikampių matricų savybių). Antrasis taip pat reiškia n² tiesinių lygčių sistemą n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) iš kurių žinomos dešinės pusės (taip pat iš trikampių matricų savybių). Kartu jie sudaro n² lygybių sistemą. Naudodami šias lygybes galime rekursyviai nustatyti visus n² matricos D elementus. Tada iš lygybės (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. gauname lygybę A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1) = DP).

Naudojant LU dekompoziciją, matricos D stulpelių permutacija nereikalinga, tačiau sprendimas gali skirtis, net jei matrica A yra ne vienaskaita.

Algoritmo sudėtingumas yra O(n³).

Iteraciniai metodai

Schultzo metodai

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),),\\U_() k+1)=U_(k)\suma _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\pabaiga(atvejai)))

Klaidos įvertinimas

Pradinio aproksimavimo pasirinkimas

Pradinės aproksimacijos pasirinkimo problema čia nagrinėjamuose iteraciniuose matricos inversijos procesuose neleidžia jų traktuoti kaip nepriklausomų universalių metodų, konkuruojančių su tiesioginės inversijos metodais, pagrįstais, pavyzdžiui, matricų LU skaidymu. Yra keletas rekomendacijų, kaip pasirinkti U 0 (\displaystyle U_(0)), užtikrinančios sąlygos įvykdymą ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (matricos spektrinis spindulys yra mažesnis už vienetą), kuris yra būtinas ir pakankamas proceso konvergencijai. Tačiau šiuo atveju pirmiausia reikia iš viršaus žinoti apverčiamosios matricos A arba matricos spektro įvertinimą. A A T (\displaystyle AA^(T))(būtent jei A yra simetriška teigiama apibrėžtoji matrica ir ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), tada galite pasiimti U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), kur; jei A yra savavališka nevienetinė matrica ir ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), tada jie tiki U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), kur taip pat α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Žinoma, galite supaprastinti situaciją ir pasinaudoti tuo ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), įdėti U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Antra, tokiu būdu nurodant pradinę matricą, nėra garantijos, kad ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) bus mažas (gal net pasirodys ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), o aukštas konvergencijos rodiklis nebus atskleistas iš karto.

Pavyzdžiai

Matrica 2x2

2x2 matricos inversija galima tik su sąlyga, kad a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).