namai

Pitagoro teoremos įrodinėjimo metodai.

G. Glaseris,
Rusijos švietimo akademijos akademikas, Maskva

Apie Pitagoro teoremą ir jos įrodinėjimo būdus

Kvadrato, pastatyto ant stačiojo trikampio hipotenuzos, plotas lygus kvadratų, pastatytų ant jo kojų, plotų sumai...

Tai viena garsiausių senovės geometrinių teoremų, vadinama Pitagoro teorema. Beveik visi, kas kada nors studijavo planimetriją, ją žino ir dabar. Man atrodo, kad jei norime jums pranešti nežemiškos civilizacijos apie protingos gyvybės egzistavimą Žemėje, tada Pitagoro figūros atvaizdas turėtų būti išsiųstas į kosmosą. Manau, kad jei mąstančios būtybės gali priimti šią informaciją, tai be sudėtingo signalo dekodavimo supras, kad Žemėje yra pakankamai išsivysčiusi civilizacija.

Žymus graikų filosofas ir matematikas Pitagoras iš Samoso, kurio vardu pavadinta teorema, gyveno maždaug prieš 2,5 tūkst. Mus pasiekusi biografinė informacija apie Pitagorą yra fragmentiška ir toli gražu nepatikima. Su jo vardu siejama daugybė legendų. Patikimai žinoma, kad Pitagoras daug keliavo po Rytų šalis, lankydamas Egiptą ir Babiloną. Vienoje iš Graikijos kolonijų Pietų Italija jis įkūrė garsiąją „Pitagoro mokyklą“, suvaidinusią svarbų vaidmenį mokslinėje ir politinis gyvenimas Senovės Graikija. Tai Pitagoras, kuris įrodė garsiąją geometrinę teoremą. Remiantis garsių matematikų (Proklo, Plutarcho ir kt.) skleidžiamomis legendomis, ilgas laikas Buvo manoma, kad ši teorema nebuvo žinoma iki Pitagoro, todėl ir pavadinimas – Pitagoro teorema.

Tačiau neabejotina, kad ši teorema buvo žinoma daug metų anksčiau nei Pitagoras. Taigi 1500 metų prieš Pitagorą senovės egiptiečiai žinojo, kad trikampis su 3, 4 ir 5 kraštinėmis yra stačiakampis, ir naudojo šią savybę (t.y. teorema teoremos atvirkščiai Pitagoras) statant stačius kampus planavimo metu žemės sklypai ir statybines konstrukcijas. Dar ir šiandien kaimo statybininkai ir staliai, klodami trobelės pamatą ir gamindami jos dalis, brėžia šį trikampį, kad gautų stačią kampą. Tas pats buvo padaryta prieš tūkstančius metų statant nuostabias šventyklas Egipte, Babilone, Kinijoje ir tikriausiai Meksikoje. Seniausiame Kinijos matematiniame ir astronominiame darbe, kurį pasiekėme, Zhou Bi, parašytame maždaug 600 metų prieš Pitagorą, be kitų pasiūlymų, susijusių su stačiu trikampiu, yra Pitagoro teorema. Dar anksčiau ši teorema buvo žinoma induistams. Taigi Pitagoras šios stačiakampio trikampio savybės neatrado, jis bene pirmasis ją apibendrino ir įrodė, tuo perkeldamas iš praktikos srities į mokslo sritį. Mes nežinome, kaip jis tai padarė. Kai kurie matematikos istorikai daro prielaidą, kad Pitagoro įrodymas nebuvo esminis, o tik patvirtinimas, šios savybės išbandymas su tam tikrais trikampių tipais, pradedant lygiašoniu stačiakampiu trikampiu, o tai akivaizdžiai išplaukia iš Fig. 1.

SU Nuo seniausių laikų matematikai randa vis naujų Pitagoro teoremos įrodymų, vis naujų idėjų jos įrodymui. Tokių įrodymų – daugiau ar mažiau griežtų, daugiau ar mažiau vaizdinių – žinoma daugiau nei šimtas penkiasdešimt, tačiau noras jų skaičių didinti išliko. Manau, kad nepriklausomas Pitagoro teoremos įrodymų „atradimas“ bus naudingas šiuolaikiniams moksleiviams.

Pažvelkime į keletą įrodymų, galinčių pasiūlyti tokių paieškų kryptį, pavyzdžius.

Pitagoro įrodymas

"Kvadratas, pastatytas ant stačiojo trikampio hipotenuzės, yra lygus kvadratų, pastatytų ant jo kojų, sumai." Paprasčiausias teoremos įrodymas gaunamas paprasčiausiu lygiašonio stačiojo trikampio atveju. Tikriausiai čia ir prasidėjo teorema. Tiesą sakant, pakanka tik pažvelgti į lygiašonių stačiakampių trikampių mozaiką, kad įsitikintumėte teoremos pagrįstumu. Pavyzdžiui, DABC: kvadratas, pastatytas ant hipotenuzės kintamoji srovė, yra 4 originalūs trikampiai ir kvadratai, pastatyti ant dviejų kojų. Teorema įrodyta.

Įrodymai, pagrįsti vienodo dydžio figūrų sąvokos vartojimu.

Šiuo atveju galime laikyti įrodymus, kad kvadratas, pastatytas ant nurodyto stačiojo trikampio hipotenuzės, yra „sudarytas“ iš tų pačių figūrų, kaip ir kvadratai, pastatyti iš šonų. Taip pat galime apsvarstyti įrodymus, kuriuose naudojami figūrų suminių pertvarkymai ir atsižvelgiama į daugybę naujų idėjų.

Fig. 2 pavaizduoti du vienodi kvadratai. Kiekvieno kvadrato kraštinių ilgis yra a + b. Kiekvienas kvadratas yra padalintas į dalis, sudarytas iš kvadratų ir stačiųjų trikampių. Akivaizdu, kad jei iš kvadrato ploto atimsime stačiakampio trikampio su kojelėmis a, b plotą keturis kartus, tada mums liks lygių plotų, ty c 2 = a 2 + b 2 . Tačiau senovės induistai, kuriems priklauso šis samprotavimas, dažniausiai jo neužsirašydavo, o palydėdavo piešinį tik vienu žodžiu: „žiūrėk! Visai įmanoma, kad Pitagoras pateikė tą patį įrodymą.

Papildomi įrodymai.

Šie įrodymai yra pagrįsti kvadratų, pastatytų ant kojų, išskaidymu į figūras, iš kurių galima pridėti kvadratą, pastatytą ant hipotenuzės.

Čia: ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Nepriklausomai įrodykite trikampių porinę lygybę, gautą padalinus kvadratus, pastatytus ant kojų ir hipotenuzės.

Įrodykite teoremą naudodami šią skaidinį.

 Remiantis al-Nayriziyah įrodymu, buvo atliktas dar vienas kvadratų išskaidymas į porines lygias figūras (5 pav., čia ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C).

 Kitas įrodymas, naudojant kvadratų skaidymo į lygias dalis metodą, vadinamas „ratu su ašmenimis“, parodytas pav. 6. Čia: ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C; O yra kvadrato, pastatyto iš didelės kraštinės, centras; punktyrinės linijos, einančios per tašką O, yra statmenos arba lygiagrečios hipotenusei.

 Šis kvadratų išskaidymas įdomus tuo, kad jo poromis lygūs keturkampiai gali būti susieti vienas su kitu lygiagrečiuoju vertimu. Daugelį kitų Pitagoro teoremos įrodymų galima pasiūlyti naudojant kvadratų skaidymą į figūras.

Įrodymai užpildymo būdu.

Šio metodo esmė yra ta, kad į kvadratus, pastatytus ant kojų, ir į kvadratą, pastatytą ant hipotenuzės, pridedamos lygios skaičiai taip, kad būtų gautos vienodos figūros.

Pitagoro teoremos galiojimas išplaukia iš vienodo šešiakampių AEDFPB ir ACBNMQ dydžio. Čia CEP, tiesė EP padalija šešiakampį AEDFPB į du lygius keturkampius, tiesė CM padalija šešiakampį ACBNMQ į du lygius keturkampius; Pasukus plokštumą 90° aplink centrą A, keturkampis AEPB susiejamas su keturkampiu ACMQ.

Fig. 8 Pitagoro figūra užbaigiama iki stačiakampio, kurio kraštinės lygiagrečios su atitinkamomis šonuose pastatytų kvadratų kraštinėmis. Padalinkime šį stačiakampį į trikampius ir stačiakampius. Iš gauto stačiakampio pirmiausia atimame visus daugiakampius 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, palikdami ant hipotenuzos pastatytą kvadratą. Tada iš to paties stačiakampio atimame stačiakampius 5, 6, 7 ir nuspalvintus stačiakampius, gauname kvadratus, pastatytus ant kojų.

Dabar įrodykime, kad skaičiai, atimti pirmuoju atveju, yra lygūs skaičiams, atimtiems antruoju atveju.

KLOA = ACPF = ACED = a 2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2;

taigi c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;

CBML = CBNQ = a 2;

OBMP = ABMF = c 2;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

Algebrinis įrodinėjimo būdas.

	Ryžiai. 12 iliustruoja didžiojo indų matematiko Bhaskari (garsaus autoriaus Lilavati, X. II amžiuje). Piešinį lydėjo tik vienas žodis: PAŽIŪRĖK! Tarp Pitagoro teoremos įrodymų algebrinis metodas Pirmąją vietą (galbūt seniausią) užima įrodymas naudojant panašumą.
	Šiuolaikiniame pristatyme pateiksime vieną iš šių Pitagoro įrodymų.

N ir pav. 13 ABC – stačiakampis, C – stačiakampis, CMAB, b 1 – kojos b projekcija į hipotenuzą, a 1 – kojos a projekcija į hipotenuzę, h – trikampio, nubrėžto į hipotenuzą, aukštis.

Iš to, kad ABC yra panašus į ACM, išplaukia

b2 = cb1; (1)

iš to, kad ABC yra panašus į BCM, išplaukia

a 2 = maždaug 1. (2)

Sudėjus (1) ir (2) lygybes po dėmens, gauname a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Jei Pitagoras pateikė tokį įrodymą, jis taip pat buvo susipažinęs su daugybe svarbių geometrinių teoremų, kurias šiuolaikiniai matematikos istorikai paprastai priskiria Euklidui.

Moehlmanno įrodymas (14 pav.). Viena vertus, duoto stačiojo trikampio plotas yra lygus kitai, kur p yra trikampio pusiau perimetras, r yra į jį įrašyto apskritimo spindulys Mes turime:

iš kur išplaukia, kad c 2 =a 2 +b 2.

antrajame

Sulyginę šias išraiškas, gauname Pitagoro teoremą.

Kombinuotas metodas

Trikampių lygybė

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

Palyginę (3) ir (4) ryšius, gauname, kad

c 1 2 = c 2 arba c 1 = c.

Taigi trikampiai - pateikti ir sudaryti - yra lygūs, nes jie turi atitinkamai tris lygios pusės. Kampas C 1 yra tiesus, taigi šio trikampio kampas C taip pat yra teisingas.

Senovės Indijos įrodymai.

Senovės Indijos matematikai pastebėjo, kad Pitagoro teoremai įrodyti pakanka naudoti vidinė dalis senovės kinų piešinys. Traktate „Siddhanta Shiromani“ („Žinių karūna“), kurį ant palmių lapų parašė didžiausias XIX amžiaus Indijos matematikas. Bha-skaros dedamos į brėžinį (4 pav.)

Indijos įrodymams būdingas žodis „žiūrėk! Kaip matote, čia išdėstyti stačiakampiai trikampiai su hipotenuze į išorę ir kvadratu Su 2 perkeltas į "nuotakos kėdę" Su 2 -b 2 . Atkreipkite dėmesį, kad ypatingi Pitagoro teoremos atvejai (pavyzdžiui, kvadrato, kurio plotas yra dvigubai didesnis, sukūrimas 4 pav tam tikro kvadrato plotas) yra senovės Indijos traktate „Sulva“

Išsprendėme stačiakampį trikampį ir ant jo kojų pastatytus kvadratus, arba, kitaip tariant, figūras, sudarytas iš 16 vienodų lygiašonių stačiakampių trikampių, todėl telpančias į kvadratą. Tokia yra lelija. nedidelė dalis turtų, slypinčių senovės matematikos perle – Pitagoro teoremoje.

Senovės Kinijos įrodymai.

Matematiniai traktatai Senovės Kinija atėjo pas mus P.V. leidime. pr. Kr. Faktas yra tas, kad 213 m.pr.Kr. Kinijos imperatorius Shi Huang Di, bandydamas panaikinti ankstesnes tradicijas, įsakė sudeginti visas senovines knygas. P amžiuje pr. Kr. Kinijoje buvo išrastas popierius ir tuo pačiu pradėtas senovinių knygų rekonstrukcija.Svarbiausia iš išlikusių astronominių darbų yra knyga „Matematika“, kurioje yra Pitagoro teoremą įrodantis piešinys (2 pav., a). Raktą į šį įrodymą nesunku rasti. Tiesą sakant, senovės kinų piešinyje yra keturi vienodi stačiakampiai trikampiai su kraštinėmis a, b ir hipotenuze Su sukrauti G) kad jų išorinis kontūras sudarytų 2 pav. kvadratą su kraštine a+b, o vidinis – kvadratas su kraštine c, pastatytas ant hipotenuzos (2 pav., b). Jei išpjaunamas kvadratas su c kraštine ir likę 4 nuspalvinti trikampiai dedami į du stačiakampius (2 pav., V), tada aišku, kad gauta tuštuma, viena vertus, yra lygi SU 2 , o kita vertus - Su 2 +b 2 , tie. c 2=  2 +b 2 . Teorema įrodyta. Atkreipkite dėmesį, kad su šiuo įrodymu kvadrato viduje esančios konstrukcijos ant hipotenuzos, kurias matome senovės kinų brėžinyje (2 pav., a), nenaudojamos. Matyt, senovės kinų matematikai turėjo kitokį įrodymą. Būtent, jei kvadrate su šonine Su du nuspalvinti trikampiai (2 pav., b) nupjaukite ir pritvirtinkite hipotenusas prie kitų dviejų hipotenų (2 pav., G), tada lengva tai atrasti

Gauta figūra, kartais vadinama „nuotakos kėde“, susideda iš dviejų kvadratų su šonais A Ir b, tie. c 2 == a 2 +b 2 .

N o 3 paveiksle pavaizduotas brėžinys iš traktato „Džou-bi...“. Čia Pitagoro teorema nagrinėjama Egipto trikampiui su 3, 4 kojomis ir 5 matavimo vienetų hipotenuze. Kvadrate ant hipotenuzės yra 25 ląstelės, o kvadrate, įrašytame ant didesnės kojos, yra 16. Aišku, kad likusioje dalyje yra 9 ląstelės. Tai bus kvadratas mažesnėje pusėje.

Kūrybiškumo potencialas dažniausiai priskiriamas humanitariniai mokslai, natūraliai mokslinis, paliekant analizę, praktinį požiūrį ir sausą formulių ir skaičių kalbą. Matematika į humanitariniai dalykai Jūs niekaip negalite su tuo susieti. Tačiau be kūrybiškumo „visų mokslų karaliene“ toli nenueisi – žmonės tai žinojo jau seniai. Pavyzdžiui, nuo Pitagoro laikų.

Mokykliniuose vadovėliuose, deja, dažniausiai nepaaiškinama, kad matematikoje svarbu ne tik prigrūsti teoremas, aksiomas ir formules. Svarbu suprasti ir pajusti pagrindinius jos principus. Ir tuo pačiu pasistenkite išlaisvinti savo mintis nuo klišių ir elementarių tiesų – tik tokiomis sąlygomis gimsta visi didieji atradimai.

Tokie atradimai apima tai, ką šiandien žinome kaip Pitagoro teoremą. Jos pagalba bandysime parodyti, kad matematika ne tik gali, bet ir turėtų jaudinti. Ir kad šis nuotykis tiktų ne tik vėplai su storais akiniais, bet visiems, kas stipriu protu ir stipria dvasia.

Iš problemos istorijos

Griežtai kalbant, nors teorema vadinama „Pitagoro teorema“, pats Pitagoras jos neatrado. Stačiakampis trikampis ir jo ypatingos savybės buvo tiriamos gerokai prieš jį. Šiuo klausimu yra du poliariniai požiūriai. Remiantis viena versija, Pitagoras pirmasis rado išsamų teoremos įrodymą. Kito teigimu, įrodymas nepriklauso Pitagoro autorystei.

Šiandien nebegalite patikrinti, kas teisus, o kas neteisus. Yra žinoma, kad Pitagoro įrodymas, jei jis kada nors egzistavo, neišliko. Tačiau yra pasiūlymų, kad garsusis įrodymas iš Euklido elementų gali priklausyti Pitagorui, o Euklidas jį tik užfiksavo.

Šiandien taip pat žinoma, kad stačiojo trikampio problemos randamos Egipto šaltiniuose nuo faraono Amenemhato I laikų, Babilono molio lentelėse iš karaliaus Hamurabio valdymo laikų, senovės Indijos traktate „Sulva Sutra“ ir senovės kinų veikale „ Zhou-bi Suan Jin“.

Kaip matote, Pitagoro teorema užėmė matematikų protus nuo seniausių laikų. Tai patvirtina apie 367 skirtingi šiandien egzistuojantys įrodymai. Šiuo atveju jokia kita teorema negali su ja konkuruoti. Iš žymių įrodinėjimo autorių galime prisiminti Leonardo da Vinci ir dvidešimtąjį JAV prezidentą Jamesą Garfieldą. Visa tai byloja apie nepaprastą šios teoremos svarbą matematikai: dauguma geometrijos teoremų yra išvestos iš jos arba kaip nors su ja susijusios.

Pitagoro teoremos įrodymai

Mokykliniuose vadovėliuose dažniausiai pateikiami algebriniai įrodymai. Tačiau teoremos esmė yra geometrijoje, todėl pirmiausia apsvarstykime tuos garsiosios teoremos įrodymus, kurie yra pagrįsti šiuo mokslu.

1 įrodymas

Paprasčiausiam Pitagoro teoremos stačiajam trikampiui įrodymui reikia nustatyti idealios sąlygos: tegul trikampis būna ne tik stačiakampis, bet ir lygiašonis. Yra pagrindo manyti, kad senovės matematikai iš pradžių svarstė būtent tokį trikampį.

pareiškimas „Kvadratas, pastatytas ant stačiojo trikampio hipotenuzės, yra lygus kvadratų, pastatytų ant jo kojų, sumai“ galima iliustruoti tokiu piešiniu:

Pažvelkite į lygiašonį stačiakampį trikampis ABC: hipotenuzėje AC galite sukurti kvadratą, sudarytą iš keturių trikampių, lygių pradiniam ABC. O kraštinėse AB ir BC pastatytas kvadratas, kurių kiekviename yra du panašūs trikampiai.

Beje, šis piešinys buvo daugelio anekdotų ir animacinių filmų, skirtų Pitagoro teoremai, pagrindas. Garsiausias turbūt "Pitagoro kelnės yra vienodos visomis kryptimis":

2 įrodymas

Šis metodas sujungia algebrą ir geometriją ir gali būti laikomas senovės Indijos matematiko Bhaskari įrodymo variantu.

Sukurkite stačiakampį trikampį su kraštinėmis a, b ir c(1 pav.). Tada sukurkite du kvadratus, kurių kraštinės yra lygios dviejų kojų ilgių sumai - (a+b). Kiekviename iš kvadratų padarykite konstrukcijas, kaip parodyta 2 ir 3 paveiksluose.

Pirmajame kvadrate pastatykite keturis trikampius, panašius į 1 paveiksle. Gaunate du kvadratus: vienas su kraštine a, antras su kraštine. b.

Antrajame kvadrate keturi panašūs trikampiai sudaro kvadratą su kraštine lygus hipotenuzei c.

Sukonstruotų kvadratų plotų suma 2 pav. yra lygi kvadrato, kurį sukonstravome su kraštine c 3 pav., plotui. Tai galima lengvai patikrinti apskaičiuojant kvadratų plotą pav. 2 pagal formulę. Ir įbrėžto kvadrato plotas 3 paveiksle, atimant keturių lygių stačiųjų trikampių, įrašytų į kvadratą, plotus iš didelio kvadrato su kraštine ploto (a+b).

Užrašę visa tai, turime: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Atidarykite skliaustus, atlikite visus reikiamus algebrinius skaičiavimus ir gaukite a 2 +b 2 = a 2 +b 2. Šiuo atveju plotas, įrašytas 3 pav. kvadratas taip pat gali būti apskaičiuojamas naudojant tradicinę formulę S=c 2. Tie. a 2 +b 2 =c 2– įrodėte Pitagoro teoremą.

3 įrodymas

Pats senovės Indijos įrodymas buvo aprašytas XII amžiuje traktate „Žinių karūna“ („Siddhanta Shiromani“) ir kaip pagrindinį argumentą autorius naudoja kreipimąsi į mokinių ir pasekėjų matematinius gabumus ir stebėjimo įgūdžius: „ Žiūrėk!"

Bet mes išanalizuosime šį įrodymą išsamiau:

Kvadrato viduje pastatykite keturis stačiuosius trikampius, kaip nurodyta brėžinyje. Pažymėkime didžiojo kvadrato, dar žinomo kaip hipotenuzė, kraštą, Su. Pavadinkime trikampio kojas A Ir b. Pagal brėžinį vidinio kvadrato pusė yra (a–b).

Naudokite kvadrato ploto formulę S=c 2 Norėdami apskaičiuoti išorinio kvadrato plotą. Ir tuo pačiu metu apskaičiuokite tą pačią vertę, pridėdami vidinio kvadrato plotą ir visų keturių stačiųjų trikampių plotus: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Apskaičiuodami kvadrato plotą galite naudoti abi parinktis, kad įsitikintumėte, jog jos duoda tą patį rezultatą. Ir tai suteikia jums teisę tai užsirašyti c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Išsprendę gausite Pitagoro teoremos formulę c 2 =a 2 + b 2. Teorema įrodyta.

4 įrodymas

Šis keistas senovės kinų įrodymas buvo vadinamas „Nuotakos kėde“ dėl į kėdę panašios figūros, kuri susidaro iš visų konstrukcijų:

Jis naudoja brėžinį, kurį jau matėme 3 pav. antrajame įrodyme. O vidinis kvadratas su kraštine c yra sukonstruotas taip pat, kaip ir aukščiau pateiktame senovės Indijos įrodyme.

Jei mintyse nupjovėte du žalius stačiuosius trikampius iš piešinio 1 pav., perkelkite juos į priešingos pusės pritvirtinkite kvadratą su kraštine c ir hipotenomis prie alyvinės spalvos trikampių hipotenų, gausite figūrą, vadinamą „nuotakos kėde“ (2 pav.). Aiškumo dėlei tą patį galite padaryti su popieriniais kvadratais ir trikampiais. Įsitikinsite, kad „nuotakos kėdę“ suformuotų du kvadratai: maži su šonu b ir didelis su šonu a.

Šios konstrukcijos leido senovės Kinijos matematikams ir mums, jomis sekantiems, prieiti prie išvados c 2 =a 2 + b 2.

5 įrodymas

Tai dar vienas būdas rasti Pitagoro teoremos sprendimą naudojant geometriją. Jis vadinamas Garfieldo metodu.

Sukurkite statųjį trikampį ABC. Turime tai įrodyti BC 2 = AC 2 + AB 2.

Norėdami tai padaryti, tęskite koją AC ir sukonstruoti segmentą CD, kuris lygus kojai AB. Nuleiskite statmeną REKLAMA linijos segmentas ED. Segmentai ED Ir AC yra lygūs. Sujunkite taškus E Ir IN, ir E Ir SU ir gaukite piešinį, kaip paveikslėlyje žemiau:

Norėdami įrodyti bokštą, vėl pasitelkiame jau išbandytą metodą: gautos figūros plotą randame dviem būdais ir išraiškas prilyginame viena kitai.

Raskite daugiakampio plotą LOVA galima padaryti sudėjus trijų jį sudarančių trikampių plotus. Ir vienas iš jų, ERU, yra ne tik stačiakampis, bet ir lygiašonis. Taip pat nepamirškime to AB = CD, AC=ED Ir BC = SE– tai leis supaprastinti įrašymą ir jo neperkrauti. Taigi, S ABED = 2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Kartu akivaizdu, kad LOVA- Tai trapecija. Todėl apskaičiuojame jo plotą pagal formulę: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Mūsų skaičiavimams patogiau ir aiškiau pavaizduoti segmentą REKLAMA kaip segmentų suma AC Ir CD.

Užrašykime abu figūros ploto skaičiavimo būdus, tarp jų padėdami lygybės ženklą: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Supaprastinimui naudojame mums jau žinomą ir aukščiau aprašytą segmentų lygybę dešinioji pusėįrašai: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Dabar atidarykime skliaustus ir pakeiskime lygybę: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Atlikę visas transformacijas, gauname būtent tai, ko mums reikia: BC 2 = AC 2 + AB 2. Įrodėme teoremą.

Žinoma, šis įrodymų sąrašas toli gražu nėra baigtas. Pitagoro teorema taip pat gali būti įrodyta naudojant vektorius, kompleksinius skaičius, diferencialines lygtis, stereometriją ir kt. Ir net fizikai: jei, pavyzdžiui, skystis pilamas į kvadratinius ir trikampius tūrius, panašius į parodytus brėžiniuose. Pildami skystį, galite įrodyti plotų lygybę ir dėl to pačią teoremą.

Keletas žodžių apie Pitagoro trynukus

Mokyklos programoje šis klausimas mažai nagrinėjamas arba visai nenagrinėjamas. Tuo tarpu jis yra labai įdomus ir turi didelę reikšmę geometrijoje. Pitagoro trigubai naudojami daugeliui matematinių uždavinių spręsti. Jų supratimas gali būti naudingas tolesniam mokymuisi.

Taigi, kas yra Pitagoro trynukai? Taip jie vadina sveikieji skaičiai, surinkti po tris, kurių dviejų kvadratų suma lygi trečiajam kvadrato skaičiui.

Pitagoro trigubai gali būti:

• primityvus (visi trys skaičiai yra santykinai pirminiai);
• ne primityvus (jei kiekvienas trigubo skaičius padauginamas iš to paties skaičiaus, gaunamas naujas trigubas, kuris nėra primityvus).

Dar prieš mūsų erą senovės egiptiečius žavėjo Pitagoro trynukų skaičiaus manija: uždaviniuose jie laikė statųjį trikampį, kurio kraštinės yra 3, 4 ir 5 vienetai. Beje, bet kuris trikampis, kurio kraštinės yra lygios skaičiams iš Pitagoro trigubo, pagal nutylėjimą yra stačiakampis.

Pitagoro trynukų pavyzdžiai: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) ir kt.

Praktinis teoremos taikymas

Pitagoro teorema naudojama ne tik matematikoje, bet ir architektūroje bei statybose, astronomijoje ir net literatūroje.

Pirma, apie konstrukciją: Pitagoro teorema plačiai naudojama sprendžiant įvairaus sudėtingumo problemas. Pavyzdžiui, pažiūrėkite į romaninį langą:

Lango plotį pažymėkime kaip b, tada didžiojo puslankio spindulį galima žymėti kaip R ir išreikšti per b: R=b/2. Mažesnių puslankių spindulys taip pat gali būti išreikštas per b: r=b/4. Šioje užduotyje mus domina lango vidinio apskritimo spindulys (vadinkime jį p).

Pitagoro teorema tiesiog naudinga skaičiuojant R. Norėdami tai padaryti, naudojame stačiakampį trikampį, kuris paveikslėlyje pažymėtas punktyrine linija. Trikampio hipotenuzė susideda iš dviejų spindulių: b/4+p. Viena koja reiškia spindulį b/4, kitas b/2-p. Naudodami Pitagoro teoremą rašome: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Toliau atidarome skliaustus ir gauname b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Paverskime šią išraišką į bp/2=b 2 /4-bp. Ir tada mes padaliname visus terminus iš b, pateikiame panašių gauti 3/2*p=b/4. Ir galų gale mes tai surandame p=b/6– ko mums ir reikėjo.

Naudodami teoremą galite apskaičiuoti dvišlaičio stogo gegnių ilgį. Nustatykite, koks yra bokšto aukštis mobiliojo ryšio signalas turi pasiekti tam tikrą atsiskaitymas. Ir netgi nuolat diegti Kalėdų eglutė miesto aikštėje. Kaip matote, ši teorema gyvena ne tik vadovėlių puslapiuose, bet dažnai praverčia ir realiame gyvenime.

Literatūroje Pitagoro teorema įkvėpė rašytojus nuo antikos laikų ir tebekelia tai mūsų laikais. Pavyzdžiui, XIX amžiaus vokiečių rašytojas Adelbertas von Chamisso buvo įkvėptas parašyti sonetą:

Tiesos šviesa greitai neišsklaidys,
Tačiau sužibėjęs vargu ar išsisklaidys
Ir, kaip ir prieš tūkstančius metų,
Tai nesukels abejonių ar ginčų.

Išmintingiausias, kai paliečia tavo žvilgsnį
Tiesos šviesa, ačiū dievams;
Ir šimtas jaučių, paskerstų, guli -
Dovana iš laimingojo Pitagoro.

Nuo tada jaučiai beviltiškai riaumoja:
Amžinai sunerimo bulių gentis
Čia paminėtas įvykis.

Jiems atrodo, kad tuoj ateis laikas,
Ir jie vėl bus paaukoti
Puiki teorema.

(vertė Viktoras Toporovas)

O XX amžiuje sovietų rašytojas Jevgenijus Veltistovas savo knygoje „Elektronikos nuotykiai“ visą skyrių paskyrė Pitagoro teoremos įrodymams. Ir dar pusė skyriaus istorijos apie dvimatį pasaulį, kuris galėtų egzistuoti, jei Pitagoro teorema taptų pagrindiniu vieno pasaulio dėsniu ir net religija. Ten gyventi būtų daug lengviau, bet ir daug nuobodžiau: pavyzdžiui, ten niekas nesupranta žodžių „apvalus“ ir „pūkas“ reikšmės.

O knygoje „Elektronikos nuotykiai“ autorius matematikos mokytojo Tarataro lūpomis sako: „Matematikoje svarbiausia yra minčių judėjimas, naujos idėjos“. Kaip tik toks kūrybinis minties polėkis ir lemia Pitagoro teoremą – ne veltui ji turi tiek daug įvairiausių įrodymų. Tai padeda peržengti pažįstamo ribas ir pažvelgti į pažįstamus dalykus naujai.

Išvada

Šis straipsnis skirtas padėti jums pažvelgti daugiau mokyklos mokymo programa matematikos ir išmokti ne tik tuos Pitagoro teoremos įrodymus, kurie pateikiami vadovėliuose „Geometrija 7-9“ (L.S. Atanasjanas, V.N. Rudenko) ir „Geometrija 7-11“ (A.V. Pogorelovas), bet ir kitų įdomių būdų įrodyti. garsioji teorema. Taip pat pažiūrėkite, kaip Pitagoro teorema gali būti taikoma kasdieniame gyvenime.

Pirma, ši informacija leis jums gauti aukštesnius balus matematikos pamokose – informacija šia tema iš papildomų šaltinių visada yra labai vertinama.

Antra, norėjome padėti jums pajusti, kaip sekasi matematika įdomus mokslas. Įsitikinkite konkrečių pavyzdžių kad jame visada yra vietos kūrybai. Tikimės, kad Pitagoro teorema ir šis straipsnis įkvėps jus savarankiškai tyrinėti ir padaryti įdomių atradimų matematikos ir kitų mokslų srityse.

Pasakykite mums komentaruose, jei jums pasirodė įdomūs straipsnyje pateikti įrodymai. Ar ši informacija jums buvo naudinga studijuojant? Parašykite mums, ką manote apie Pitagoro teoremą ir šį straipsnį – mes mielai visa tai aptarsime su jumis.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Pitagoro teorema yra svarbiausias geometrijos teiginys. Teorema suformuluota taip: kvadrato, pastatyto ant stačiojo trikampio hipotenuzės, plotas yra lygus kvadratų, pastatytų ant jo kojų, plotų sumai.

Šio teiginio atradimas dažniausiai priskiriamas senovės graikų filosofas ir matematikas Pitagoras (VI a. pr. Kr.). Tačiau Babilonijos dantiraščio lentelių ir senovės kinų rankraščių (dar senesnių rankraščių kopijų) tyrimas parodė, kad šis teiginys buvo žinomas gerokai prieš Pitagorą, gal tūkstantmetį prieš jį. Pitagoro nuopelnas buvo tas, kad jis atrado šios teoremos įrodymą.

Tikėtina, kad Pitagoro teoremoje nurodytas faktas pirmiausia buvo nustatytas lygiašoniams stačiakampiams trikampiams. Tiesiog pažiūrėkite į juodų ir šviesių trikampių mozaiką, parodytą Fig. 1, norint patikrinti trikampio teoremos pagrįstumą: ant hipotenuzos pastatytame kvadrate yra 4 trikampiai, o kvadratas, kuriame yra 2 trikampiai, pastatytas kiekvienoje pusėje. Norėdami įrodyti bendrą atvejį Senovės Indijoje, jie naudojo du būdus: kvadrate su kraštine jie pavaizdavo keturis stačiuosius trikampius su ilgio ir kojomis (2 pav., a ir 2, b), po kurių parašė vieną žodį „ Žiūrėk!" Ir iš tikrųjų, žiūrėdami į šiuos brėžinius, matome, kad kairėje yra figūra be trikampių, susidedanti iš dviejų kvadratų su kraštinėmis ir atitinkamai jos plotas yra lygus , o dešinėje yra kvadratas su kraštine - jo plotas lygus . Tai reiškia, kad tai yra Pitagoro teoremos teiginys.

Tačiau du tūkstančius metų buvo naudojamas ne šis vaizdinis įrodymas, o sudėtingesnis Euklido išrastas įrodymas, esantis jo garsiojoje knygoje „Elementai“ (žr. Euklidas ir jo „Elementai“), Euklidas sumažino aukštį. nuo viršaus stačiu kampu ant hipotenuzos ir įrodė, kad jos tęsinys padalija ant hipotenuzos pastatytą kvadratą į du stačiakampius, kurių plotai lygūs atitinkamų kvadratų, pastatytų ant kojų, plotams (3 pav.). Šiai teoremai įrodyti naudojamas piešinys juokais vadinamas „Pitagoro kelnėmis“. Ilgą laiką jis buvo laikomas vienu iš matematinio mokslo simbolių.

Šiandien žinomos kelios dešimtys skirtingų Pitagoro teoremos įrodymų. Kai kurie iš jų yra pagrįsti kvadratų pertvara, kurioje ant hipotenuzos pastatytas kvadratas susideda iš dalių, įtrauktų į kvadratų, pastatytų ant kojų, pertvaras; kiti – ant lygiaverčių skaičių papildymo; trečiasis - dėl to, kad aukštis, nuleistas nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės, padalija stačią trikampį į du panašius į jį trikampius.

Pitagoro teorema yra daugelio geometrinių skaičiavimų pagrindas. Dar Senovės Babilone juo buvo skaičiuojamas lygiašonio trikampio aukštis iš pagrindo ir kraštinės ilgių, atkarpos rodyklė iš apskritimo skersmens ir stygos ilgio bei nustatyti santykiai. tarp kai kurių taisyklingųjų daugiakampių elementų. Naudodami Pitagoro teoremą įrodome jos apibendrinimą, leidžiantį apskaičiuoti kraštinės, esančios priešais smailųjį arba bukąjį kampą, ilgį:

Iš šio apibendrinimo matyti, kad stačiojo kampo in buvimas yra ne tik pakankamas, bet ir būtina sąlyga, kad būtų įvykdyta lygybė. Iš (1) formulės seka santykis tarp lygiagretainio įstrižainių ir kraštinių ilgių, kurių pagalba iš jo kraštinių ilgių nesunku rasti trikampio medianos ilgį.

Remiantis Pitagoro teorema, išvesta formulė, išreiškianti bet kurio trikampio plotą per jo kraštinių ilgį (žr. Herono formulę). Žinoma, Pitagoro teorema buvo naudojama ir sprendžiant įvairius praktinius uždavinius.

Vietoj kvadratų galite pastatyti bet kokias panašias figūras (lygiakraščius trikampius, puslankius ir pan.) stačiojo trikampio šonuose. Šiuo atveju ant hipotenuzės pastatytos figūros plotas yra lygus ant kojų pastatytų figūrų plotų sumai. Kitas apibendrinimas siejamas su perėjimu iš plokštumos į erdvę. Jis suformuluotas taip: stačiakampio gretasienio įstrižainės ilgio kvadratas lygi sumai jo matmenų (ilgio, pločio ir aukščio) kvadratai. Panaši teorema galioja daugiamačiais ir net begaliniais atvejais.

Pitagoro teorema egzistuoja tik Euklido geometrijoje. Jo nėra nei Lobačevskio geometrijoje, nei kitose neeuklido geometrijose. Sferoje nėra Pitagoro teoremos analogo. Du dienovidiniai, sudarantys 90° kampą, ir pusiaujas suriša sferą lygiakraštį sferinį trikampį, kurio visi trys kampai yra stačiakampiai. Jam ne kaip lėktuve.

Naudodami Pitagoro teoremą, pagal formulę apskaičiuokite atstumą tarp taškų ir koordinačių plokštumos

.

Po to, kai buvo atrasta Pitagoro teorema, iškilo klausimas, kaip rasti visus natūraliųjų skaičių trejetus, kurie gali būti stačiųjų trikampių kraštinės (žr. paskutinę Ferma teoremą). Juos atrado pitagoriečiai, tačiau kai kurie bendri metodai, kaip rasti tokius skaičių trejetus, jau buvo žinomi babiloniečiams. Vienoje iš dantiraščio tablečių yra 15 tripletų. Tarp jų yra trynukų, susidedančių iš tiek daug dideli skaičiai, kad negali būti nė kalbos apie jų paiešką atrankos būdu.

Hipokrato duobė

Hipokrato lunai yra figūros, apribotos dviejų apskritimų lankais ir, be to, tokios, kad naudojant šių apskritimų bendros stygos spindulius ir ilgį, naudojant kompasą ir liniuotę, būtų galima sukonstruoti jiems vienodo dydžio kvadratus.

Iš Pitagoro teoremos apibendrinimo į puslankius išplaukia, kad kairėje esančiame paveikslėlyje parodytų rausvų gabalėlių plotų suma yra lygi mėlynojo trikampio plotui. Todėl, jei imsite lygiašonį stačiakampį trikampį, gausite dvi skyles, kurių kiekvienos plotas bus lygus pusei trikampio ploto. Bandydamas išspręsti apskritimo kvadratūros problemą (žr. Klasikinės antikos problemos), senovės graikų matematikas Hipokratas (V a. pr. Kr.) rado dar keletą skylių, kurių plotai išreiškiami tiesių figūrų plotais.

Išsamus hipomarginalinių lunulių sąrašas buvo gautas tik XIX–XX a. Galois teorijos metodų panaudojimo dėka.

Įsitikinkite, kad pateiktas trikampis yra stačiakampis, nes Pitagoro teorema taikoma tik stačiakampiams trikampiams. Stačiakampiuose trikampiuose vienas iš trijų kampų visada yra 90 laipsnių.

• Statusis kampas stačiakampiame trikampyje žymimas kvadrato piktograma, o ne kreive, kuri reiškia įstrižus kampus.

Pažymėkite trikampio kraštines. Pažymėkite kojeles „a“ ir „b“ (kojos yra kraštinės, susikertančios stačiu kampu), o hipotenuzė – „c“ (hipotenuzė yra didžiausia stačiojo trikampio kraštinė, esanti priešais stačią kampą).

Nustatykite, kurią trikampio pusę norite rasti. Pitagoro teorema leidžia rasti bet kurią stačiojo trikampio kraštinę (jei žinomos kitos dvi kraštinės). Nustatykite, kurią pusę (a, b, c) turite rasti.

• Pavyzdžiui, duota hipotenuzė lygi 5, o kojelė lygi 3. Tokiu atveju reikia rasti antrąją koją. Prie šio pavyzdžio grįšime vėliau.
• Jei kitos dvi pusės nežinomos, reikia rasti vienos iš nežinomų kraštinių ilgį, kad galėtumėte pritaikyti Pitagoro teoremą. Norėdami tai padaryti, naudokite pagrindinį trigonometrinės funkcijos(jei jums duota vieno iš pasvirųjų kampų reikšmė).

Pakeiskite jums suteiktas reikšmes (arba rastas reikšmes) į formulę a 2 + b 2 = c 2. Atminkite, kad a ir b yra kojos, o c yra hipotenuzė.

• Mūsų pavyzdyje parašykite: 3² + b² = 5².

Kiekvienos žinomos pusės kvadratas. Arba palikite galias – vėliau galėsite kvadratuoti skaičius.

• Mūsų pavyzdyje parašykite: 9 + b² = 25.

Išskirkite nežinomą pusę vienoje lygties pusėje. Norėdami tai padaryti, judėkite žinomos vertėsį kitą lygties pusę. Jei radote hipotenuzą, tai Pitagoro teoremoje ji jau yra izoliuota vienoje lygties pusėje (taigi jums nieko nereikia daryti).

• Mūsų pavyzdyje perkelkite 9 į dešinioji pusė lygtys, skirtos atskirti nežinomą b². Gausite b² = 16.

Pašalinti Kvadratinė šaknis iš abiejų lygties pusių po to, kai vienoje lygties pusėje yra nežinomasis (kvadratas), o kitoje pusėje yra laisvasis narys (skaičius).

• Mūsų pavyzdyje b² = 16. Paimkite kvadratinę šaknį iš abiejų lygties pusių ir gaukite b = 4. Taigi antroji dalis yra 4.

Naudokite Pitagoro teoremą Kasdienybė, nes jis gali būti naudojamas didelis skaičius praktines situacijas. Norėdami tai padaryti, išmokite atpažinti stačiuosius trikampius kasdieniame gyvenime – bet kurioje situacijoje, kai du objektai (arba linijos) susikerta stačiu kampu, o trečias objektas (arba linija) jungia (įstrižai) pirmųjų dviejų objektų viršūnes (arba eilutės), galite naudoti Pitagoro teoremą, kad surastumėte nežinomą pusę (jei žinomos kitos dvi pusės).

• Pavyzdys: laiptai, atremti į pastatą. Laiptų apačia yra 5 metrai nuo sienos pagrindo. Viršutinė dalis Laiptai yra 20 metrų nuo žemės (į sieną). Koks laiptų ilgis?
  • „5 metrai nuo sienos pagrindo“ reiškia, kad a = 5; „Įsikūręs 20 metrų nuo žemės“ reiškia, kad b = 20 (tai yra, jums duotos dvi stačiojo trikampio kojos, nes pastato siena ir Žemės paviršius susikerta stačiu kampu). Laiptų ilgis yra hipotenuzės ilgis, kuris nežinomas.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Taigi apytikslis laiptų ilgis – 20,6 metro.

GEOMETRINIŲ FIGŪRŲ PLOTŲ MATAVIMAS.

§ 58. 1 PITAGORO TEOREMA.

__________
1 Pitagoras – graikų mokslininkas, gyvenęs maždaug prieš 2500 metų (564–473 m. pr. Kr.).
_________

Duokime stačią trikampį, kurio kraštinės A, b Ir Su(267 brėžinys).

Jo šonuose pastatykime kvadratus. Šių kvadratų plotai yra atitinkamai lygūs A 2 , b 2 ir Su 2. Įrodykime tai Su 2 = a 2 +b 2 .

Sukonstruokime du kvadratus MKOR ir M"K"O"R" (brėžiniai 268, 269), kiekvieno iš jų kraštine paimdami atkarpą, lygią stačiojo trikampio ABC kojelių sumai.

Atlikę šiuose kvadratuose 268 ir 269 brėžiniuose pavaizduotas konstrukcijas, pamatysime, kad MCOR aikštė yra padalinta į du kvadratus su plotais A 2 ir b 2 ir keturi vienodi stačiakampiai trikampiai, kurių kiekvienas yra lygus stačiajam trikampiui ABC. Kvadratas M"K"O"R buvo padalintas į keturkampį (269 brėžinyje jis nuspalvintas) ir keturis stačiuosius trikampius, kurių kiekvienas taip pat lygus trikampiui ABC. Tamsintas keturkampis yra kvadratas, nes jo kraštinės yra lygios (kiekviena lygi trikampio ABC hipotenusei, t.y. Su), o kampai yra teisingi / 1 + / 2 = 90°, iš kur / 3 = 90°).

Taigi kvadratų, pastatytų ant kojelių, plotų suma (268 brėžinyje šie kvadratai yra nuspalvinti) yra lygi kvadrato MCOR plotui be keturių vienodų trikampių plotų sumos ir ant hipotenuzos pastatytas kvadratas (269 brėžinyje šis kvadratas taip pat užtamsintas) yra lygus kvadrato M"K"O"R plotui, lygiam MCOR kvadratui, be plotų sumos keturi panašūs trikampiai. Todėl kvadrato, pastatyto ant stačiojo trikampio hipotenuzės, plotas yra lygus kvadratų, pastatytų ant kojų, plotų sumai.

Gauname formulę Su 2 = a 2 +b 2 kur Su- hipotenuzė, A Ir b- stačiojo trikampio kojos.

Pitagoro teorema paprastai trumpai formuluojama taip:

Stačiojo trikampio hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai.

Iš formulės Su 2 = a 2 +b 2 galite gauti šias formules:

A 2 = Su 2 - b 2 ;
b 2 = Su 2 - A 2 .

Šios formulės gali būti naudojamos norint rasti nežinomą stačiojo trikampio kraštinę iš dviejų nurodytų kraštinių.
Pavyzdžiui:

a) jei duotos kojos A= 4 cm, b=3 cm, tada galite rasti hipotenuzą ( Su):
Su 2 = a 2 +b 2, t.y. Su 2 = 4 2 + 3 2; su 2 = 25, iš kur Su= √25 =5 (cm);

b) jei įdėta hipotenuzė Su= 17 cm ir koja A= 8 cm, tada galite rasti kitą koją ( b):

b 2 = Su 2 - A 2, t.y. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, iš kur b= √225 = 15 (cm).

Pasekmė: Jei du stačiakampiai trikampiai ABC ir A turi 1 B 1 C 1 hipotenuzę Su Ir Su 1 yra lygūs, ir koja b trikampis ABC ilgesnis už koją b 1 trikampis A 1 B 1 C 1,
tada koja A trikampis ABC yra mažesnis už koją A 1 trikampis A 1 B 1 C 1. (Padarykite piešinį, iliustruojantį šią pasekmę.)

Tiesą sakant, remiantis Pitagoro teorema, gauname:

A 2 = Su 2 - b 2 ,
A 1 2 = Su 1 2 - b 1 2

Rašytinėse formulėse minuendai yra lygūs, o pirmosios formulės poskyris yra didesnis nei antrosios formulės dalinys, todėl pirmasis skirtumas yra mažesnis už antrąjį,
t.y. A 2 < A 12 . Kur A< A 1 .

Pratimai.

1. Naudodamiesi brėžiniu 270, įrodykite lygiašonio stačiojo trikampio Pitagoro teoremą.

2. Stačiojo trikampio viena kojelė 12 cm, kita 5 cm Apskaičiuokite šio trikampio hipotenuzos ilgį.

3. Stačiojo trikampio hipotenuzė lygi 10 cm, viena iš kojelių 8 cm Apskaičiuokite kitos šio trikampio kojelės ilgį.

4. Stačiojo trikampio hipotenuzė yra 37 cm, viena jo kraštinė 35 cm Apskaičiuokite kitos šio trikampio kojos ilgį.

5. Sukurkite kvadratą, kurio plotas dvigubai didesnis už duotąjį.

6. Sukurkite kvadratą, kurio plotas perpus mažesnis už duotąjį. Pastaba.Šiame kvadrate nubrėžkite įstrižaines. Kvadratai, sukonstruoti ant šių įstrižainių pusių, bus tie, kurių mes ieškome.

7. Stačiojo trikampio kojos yra atitinkamai 12 cm ir 15 cm Apskaičiuokite šio trikampio hipotenuzos ilgį 0,1 cm tikslumu.

8. Stačiojo trikampio hipotenuzė lygi 20 cm, viena jo kojelė 15 cm Apskaičiuokite kitos kojos ilgį 0,1 cm tikslumu.

9. Kokio ilgio turi būti kopėčios, kad jas būtų galima pastatyti prie lango, esančio 6 m aukštyje, jei apatinis kopėčių galas turi būti 2,5 m atstumu nuo pastato? (271 diagrama.)