Instrukcijos

Jei duotas trikampis yra lygiašonis arba taisyklingas, tada jis turi
dvi ar trys kraštinės, tada jos bisektorius, atsižvelgiant į savybę trikampis, taip pat bus mediana. Ir todėl priešinga bus padalinta pusiau iš pusiausvyros.

Išmatuokite priešingą pusę liniuote trikampis, kur bus linkęs bisektorius. Padalinkite šią pusę per pusę ir padėkite tašką šono viduryje.

Nubrėžkite tiesią liniją, einančią per pastatytą tašką ir priešingą viršūnę. Tai bus bisektorius trikampis.

Šaltiniai:

• Trikampio medianos, pusiausvyros ir aukščiai

Padalinti kampą per pusę ir apskaičiuoti linijos ilgį, nubrėžtą nuo jos viršaus iki priešingos pusės, turi mokėti pjovėjai, matininkai, montuotojai ir kai kurių kitų profesijų žmonės.

Jums reikės

• Priemonės Pieštukas Liniuotės lygintuvas Sinusų ir kosinusų lentelės Matematinės formulės ir sąvokos: Bisektoriaus apibrėžimas Sinuso ir kosinuso teoremos Bisektoriaus teorema

Instrukcijos

Sukurkite reikiamo dydžio trikampį, priklausomai nuo to, kas jums duota? dfe pusės ir kampas tarp jų, trys kraštinės arba du kampai ir tarp jų esanti pusė.

Kampų ir kraštų viršūnes pažymėkite tradicinėmis lotyniškomis raidėmis A, B ir C. Kampų viršūnės pažymėtos , o priešingos pusės – mažosiomis raidėmis. Pažymėkite kampus graikiškomis raidėmis?,? Ir?

Naudodami sinusų ir kosinusų teoremas apskaičiuokite kampus ir kraštines trikampis.

Prisiminkite bisektorius. Bisektorius – kampo dalijimas per pusę. Kampo bisektorius trikampis padalija priešingą į du segmentus, kurie yra lygūs dviejų gretimų kraštų santykiui trikampis.

Nubrėžkite kampų pusiausvyras. Pažymėkite gautus segmentus užrašytų kampų pavadinimais mažosios raidės, su indeksu l. Kraštinė c padalinta į segmentus a ir b su indeksais l.

Apskaičiuokite gautų atkarpų ilgius pagal sinusų dėsnį.

Video tema

pastaba

Atkarpos ilgis, kuris vienu metu yra trikampio, sudaryto iš vienos iš pradinio trikampio kraštinių, pusinės ir pačios atkarpos, ilgis apskaičiuojamas taikant sinusų dėsnį. Norėdami apskaičiuoti kito tos pačios kraštinės atkarpos ilgį, naudokite gautų atkarpų ir gretimų pradinio trikampio kraštinių santykį.

Naudingas patarimas

Norėdami išvengti painiavos, nubrėžkite bisektorius skirtingi kampai skirtingos spalvos.

Bisektorius kampu vadinamas spinduliu, kuris prasideda viršūnėje kampu ir padalija į dvi lygias dalis. Tie. isleisti bisektorius, reikia rasti vidurį kampu. Lengviausias būdas tai padaryti yra su kompasu. Tokiu atveju jums nereikia atlikti jokių skaičiavimų, o rezultatas nepriklauso nuo to, ar kiekis yra kampu sveikasis skaičius.

Jums reikės

• kompasas, pieštukas, liniuotė.

Instrukcijos

Palikdami tokį patį kompaso angos plotį, įdėkite adatą segmento gale vienoje iš šonų ir nubrėžkite dalį apskritimo, kad ji būtų viduje kampu. Tą patį padarykite su antruoju. Jūs gausite dvi apskritimų dalis, kurios susikirs viduje kampu- maždaug per vidurį. Apskritimų dalys gali susikirsti viename ar dviejuose taškuose.

Video tema

Naudingas patarimas

Norėdami sukurti kampo pusiausvyrą, galite naudoti transporterį, tačiau šis metodas reikalauja didesnio tikslumo. Be to, jei kampo reikšmė nėra sveikasis skaičius, didėja klaidų tikimybė konstruojant bisektorių.

Statant ar rengiant namų projektavimo projektus dažnai tenka statyti kampas, lygus tam, kas jau yra. Į pagalbą ateina šablonai ir mokyklos žinios apie geometriją.

Instrukcijos

Kampą sudaro dvi tiesios linijos, kylančios iš vieno taško. Šis taškas bus vadinamas kampo viršūne, o linijos bus kampo kraštinės.

Kampams žymėti naudokite tris: vienas viršuje, du šonuose. Skambino kampas, pradedant nuo raidės, kuri stovi vienoje pusėje, tada vadinama raidė, kuri stovi viršuje, o tada raidė kitoje pusėje. Jei norite kitaip, naudokite kitus kampams nurodyti. Kartais įvardijama tik viena raidė, kuri yra viršuje. Ir kampus galite žymėti graikiškomis raidėmis, pavyzdžiui, α, β, γ.

Būna situacijų, kai reikia kampas, kad jis būtų siauresnis už nurodytą kampą. Jei konstruojant nėra galimybės panaudoti transporterį, apsieisite tik su liniuote ir kompasu. Tarkime, tiesėje, pažymėtoje raidėmis MN, reikia statyti kampas taške K, kad jis būtų lygus kampui B. Tai yra, iš taško K reikia nubrėžti tiesią liniją su linija MN kampas, kuris bus lygus kampui B.

Pirmiausia pažymėkite tašką kiekvienoje nurodyto kampo pusėje, pavyzdžiui, taškus A ir C, tada sujunkite taškus C ir A tiesia linija. Gaukite tre kampas nik ABC.

Dabar statykite tą patį trešą tiesėje MN kampas kad jos viršūnė B būtų tiesėje taške K. Naudokite trikampio sudarymo taisyklę kampas nnik per tris. Atidėkite atkarpą KL nuo taško K. Jis turi būti lygus atkarpai BC. Gaukite L tašką.

Iš taško K nubrėžkite apskritimą, kurio spindulys lygus atkarpai BA. Iš L nubrėžkite apskritimą, kurio spindulys CA. Sujunkite gautą dviejų apskritimų susikirtimo tašką (P) su K. Gaukite tris kampas KPL, kuris bus lygus trims kampas ABC knyga. Štai kaip jūs gaunate kampas K. Jis bus lygus kampui B. Kad būtų patogiau ir greičiau, iš viršūnės B, naudodami vieną kompaso angą, nejudindami kojų, apibūdinkite vienodo spindulio apskritimą nuo taško K.

Video tema

5 patarimas: kaip sukurti trikampį naudojant dvi kraštines ir medianą

Trikampis yra paprasčiausia geometrinė figūra, turinti tris viršūnes, poromis sujungtas atkarpomis, sudarančiomis šio daugiakampio kraštines. Atkarpa, jungianti viršūnę su priešingos pusės viduriu, vadinama mediana. Žinodami dviejų kraštinių ilgius ir medianą, jungiančią vienoje iš viršūnių, galite sukurti trikampį neturėdami informacijos apie trečiosios kraštinės ilgį ar kampų dydį.

Instrukcijos

Iš taško A nubrėžkite atkarpą, kurios ilgis yra viena iš žinomų trikampio (a) kraštinių. Šios atkarpos galinį tašką pažymėkite raide B. Po to vieną iš norimo trikampio kraštinių (AB) jau galima laikyti pastatyta.

Naudodami kompasą nubrėžkite apskritimą, kurio spindulys yra du kartus didesnis už vidurio ilgį (2∗m), o centras yra taške A.

Kompasu nubrėžkite antrą apskritimą, kurio spindulys lygus žinomos kraštinės ilgiui (b), o centras yra taške B. Kompasą kuriam laikui atidėkite į šalį, bet išmatuotą palikite ant jo – jums reikės tai vėl šiek tiek vėliau.

Sukurkite linijos atkarpą, jungiančią tašką A su jūsų nubrėžtų dviejų susikirtimo tašku. Pusė šios atkarpos bus ta, kurią statote – išmatuokite šią pusę ir padėkite tašką M. Šiuo metu turite vieną norimo trikampio kraštinę (AB) ir jo medianą (AM).

Kompasu nubrėžkite apskritimą, kurio spindulys lygus antrosios žinomos kraštinės ilgiui (b) ir kurio centras yra taške A.

Nubrėžkite atkarpą, kuri turėtų prasidėti taške B, pereiti per tašką M ir baigtis tiesės susikirtimo taške su apskritimu, kurį nubrėžėte ankstesniame žingsnyje. Susikirtimo tašką pažymėkite raide C. Dabar pagal uždavinio sąlygas nežinoma kraštinė BC sukonstruota norimoje.

Gebėjimas padalyti bet kurį kampą pusiausvyra reikalinga ne tik norint gauti „A“ matematikoje. Šios žinios labai pravers statybininkams, dizaineriams, matininkams ir siuvėjams. Gyvenime reikia mokėti daug ką padalyti per pusę.

Visi mokykloje išmoko pokštą apie žiurkę, kuri laksto po kampus ir dalija kampą per pusę. Šio viklaus ir protingo graužiko vardas buvo Bisector. Nežinia, kaip žiurkė dalijo kampą, tačiau mokykliniame vadovėlyje „Geometrija“ matematikams galima pasiūlyti tokius metodus.

Naudojant transporterį

Lengviausias būdas atlikti pusiausvyrą yra naudoti prietaisą, skirtą. Turite pritvirtinti transporterį prie vienos kampo pusės, sulygiuodami atskaitos tašką su jo galiuku O. Tada išmatuokite kampą laipsniais arba radianais ir padalinkite jį iš dviejų. Naudodami tą patį transporterį, atidėkite gautus laipsnius iš vienos iš kraštų ir nubrėžkite tiesią liniją, kuri taps pusiausvyra, iki kampo O pradžios taško.

Naudojant kompasą

Turite paimti kompasą ir perkelti jį į bet kokį savavališką dydį (brėžinio ribose). Padėję antgalį kampo O pradiniame taške, nubrėžkite spindulius kertantį lanką, pažymėdami ant jų du taškus. Jie žymimi A1 ir A2. Tada pakaitomis pastatydami kompasą šiuose taškuose, turėtumėte nubrėžti du tokio paties savavališko skersmens apskritimus (brėžinio mastelyje). Jų susikirtimo taškai pažymėti C ir B. Tada per taškus O, C ir B reikia nubrėžti tiesią liniją, kuri bus norima pusiausvyra.

Naudojant liniuotę

Norint nubrėžti kampo pusiausvyrą liniuote, nuo taško O ant spindulių (šonų) reikia atidėti tokio pat ilgio atkarpas ir pažymėti jas taškais A ir B. Tada juos sujungti tiesia linija. ir, naudodami liniuotę, gautą atkarpą padalinkite per pusę, nurodydami tašką C. Bisektorius bus gautas, jei nubrėžsite tiesią liniją per taškus C ir O.

Jokių įrankių

Jei nėra matavimo priemonių, galite pasitelkti savo išradingumą. Pakanka tiesiog nubrėžti kampą ant kalkinio popieriaus arba paprasto plono popieriaus ir atsargiai sulankstyti popieriaus lapą taip, kad kampo spinduliai susilygintų. Brėžinyje lenkimo linija bus norima pusiausvyra.

Tiesus kampas

Didesnis nei 180 laipsnių kampas gali būti padalintas iš pusiausvyros naudojant tuos pačius metodus. Tik reikės padalinti ne jį, o greta esantį smailią kampą, likusį iš apskritimo. Rasto bisektoriaus tęsinys taps norima tiesia linija, išskleistą kampą dalijančia per pusę.

Kampai trikampyje

Reikėtų prisiminti, kad lygiakraštyje trikampyje bisektorius taip pat yra mediana ir aukštis. Todėl jame pusiausvyrą galima rasti tiesiog nuleidus statmeną į priešingą kampą (aukštį) esančią pusę arba padalijus šią pusę pusiau ir sujungus vidurio tašką su priešingu kampu (mediana).

Video tema

Mnemoninė taisyklė „pusiauris – tai žiurkė, kuri bėga per kampus ir dalija juos per pusę“ nusako sąvokos esmę, tačiau nepateikia rekomendacijų, kaip konstruoti pusiausvyrą. Norėdami jį nupiešti, be taisyklės, jums reikės kompaso ir liniuotės.

Instrukcijos

Tarkime, reikia statyti bisektorius kampas A. Paimkite kompasą, padėkite jo galiuką taške A (kampas) ir nubrėžkite bet kurio . Ten, kur jis susikerta su kampo kraštais, uždėkite taškus B ir C.

Išmatuokite pirmojo apskritimo spindulį. Nupieškite kitą tokiu pat spinduliu, kompasą pastatydami taške B.

Nubrėžkite kitą apskritimą (jo dydis lygus ankstesniems), kurio centras yra taške C.

Visi trys apskritimai turi susikirsti viename taške – pavadinkime jį F. Naudodami liniuotę nubrėžkite spindulį, einantį per taškus A ir F. Tai bus norima kampo A pusiausvyra.

Yra keletas taisyklių, kurios padės jums rasti. Pavyzdžiui, jis yra priešingas , lygus dviejų gretimų kraštų santykiui. Lygiašoniais

Trikampio pusiausvyra yra įprasta geometrinė sąvoka, kuri nesukelia didelių mokymosi sunkumų. Turėdami žinių apie jo savybes, galite be didelių sunkumų išspręsti daugybę problemų. Kas yra bisektorius? Pabandysime supažindinti skaitytoją su visomis šios matematinės linijos paslaptimis.

Susisiekus su

Koncepcijos esmė

Sąvokos pavadinimas kilęs iš lotyniškų žodžių, kurių reikšmė yra „bi“ - du, „sectio“ - pjaustyti. Jie konkrečiai nurodo geometrine prasme sąvokos – erdvės tarp spindulių suskaidymas į dvi lygias dalis.

Trikampio pusiausvyra yra atkarpa, kuri kyla iš figūros viršūnės, o kitas galas dedamas į priešingą pusę, tuo pačiu padalijant erdvę į dvi identiškas dalis.

Norėdami greitai asociatyviai įsiminti matematines sąvokas, daugelis mokytojų vartoja skirtingą terminiją, kuri atsispindi eilėraščiuose ar asociacijose. Žinoma, šį apibrėžimą rekomenduojama naudoti vyresniems vaikams.

Kaip pažymėta ši linija? Čia mes remiamės segmentų ar spindulių žymėjimo taisyklėmis. Jeigu mes kalbame apie apie trikampio figūros kampo bisektoriaus žymėjimą paprastai rašoma kaip atkarpa, kurios galai yra viršūnė ir susikirtimo taškas su priešinga viršūnei esančia puse. Be to, žymėjimo pradžia rašoma būtent nuo viršūnės.

Dėmesio! Kiek bisektorių turi trikampis? Atsakymas akivaizdus: kiek viršūnių – trys.

Savybės

Be apibrėžimo, mokykliniame vadovėlyje nėra daug šios geometrinės sąvokos savybių. Pirmoji trikampio pusiausvyros savybė, su kuria supažindinami moksleiviai, yra įrašytas centras, o antroji, tiesiogiai susijusi su juo, yra atkarpų proporcingumas. Esmė tokia:

1. Kad ir kokia būtų skiriamoji linija, joje yra taškų tokiu pat atstumu nuo šonų, kurie sudaro tarpą tarp spindulių.
2. Norint sutalpinti apskritimą į trikampę figūrą, būtina nustatyti tašką, kuriame šios atkarpos susikirs. Štai kas yra centrinis taškas apskritimai.
3. Trikampės geometrinės figūros kraštinės dalys, į kurias ją skiria skiriamoji linija, yra V proporcinga priklausomybė iš kampą formuojančių šonų.

Likusias savybes pasistengsime įnešti į sistemą ir pateikti papildomų faktų, kurie padės geriau suprasti šios geometrinės koncepcijos privalumus.

Ilgis

Viena iš problemų, keliančių sunkumų moksleiviams, yra trikampio kampo pusiausvyros ilgio nustatymas. Pirmajame variante, kuriame nurodytas jo ilgis, yra šie duomenys:

• tarpo tarp spindulių, iš kurių viršūnės išeina tam tikra atkarpa, kiekis;
• kraštinių, sudarančių šį kampą, ilgiai.

Norėdami išspręsti problemą naudojama formulė, kurio reikšmė yra rasti kampą sudarančių kraštinių verčių sandaugos santykį, padidintą 2 kartus, jo pusės kosinusu ir kraštinių sumą.

Pažvelkime į konkretų pavyzdį. Tarkime, kad mums duota figūra ABC, kurioje iš kampo A nubrėžta atkarpa, kuri kerta kraštinę BC taške K. A reikšmę pažymime kaip Y. Remiantis tuo, AK = (2*AB*AC*cos(Y) /2))/(AB+ AC).

Antrojoje problemos versijoje, kurioje nustatomas trikampio pusiausvyros ilgis, yra šie duomenys:

• žinomos visų figūros pusių reikšmės.

Sprendžiant tokio tipo problemą, iš pradžių nustatyti pusperimetrą. Norėdami tai padaryti, turite sudėti visų pusių reikšmes ir padalyti per pusę: p=(AB+BC+AC)/2. Toliau taikome skaičiavimo formulę, kuri buvo naudojama šio segmento ilgiui nustatyti ankstesnėje užduotyje. Reikia tik šiek tiek pakeisti formulės esmę pagal naujus parametrus. Taigi, reikia rasti kraštinių, besiribojančių su viršūne pusiau perimetru, ilgių sandaugos antrosios laipsnio dvigubos šaknies santykį ir skirtumą tarp pusperimetro ir ilgio. priešingos pusės kampą sudarančių kraštinių suma. Tai yra, AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Dėmesio! Kad būtų lengviau įsisavinti medžiagą, galite kreiptis į internete esančias komiškas pasakas, kuriose pasakojama apie šios linijos „nuotykius“.

Trikampis yra daugiakampis su trimis kraštinėmis arba uždara laužta linija su trimis grandimis, arba figūra, sudaryta iš trijų atkarpų, jungiančių tris taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje (žr. 1 pav.).

Esminiai elementai trikampis abc

Viršūnės – taškai A, B ir C;

Vakarėliai – viršūnes jungiančios atkarpos a = BC, b = AC ir c = AB;

Kampai – α, β, γ sudarytos iš trijų kraštinių porų. Kampai dažnai žymimi taip pat, kaip ir viršūnės, raidėmis A, B ir C.

Kampas, sudarytas iš trikampio kraštinių ir esantis jo vidinėje srityje, vadinamas vidiniu kampu, o esantis greta jo – gretimu trikampio kampu (2, p. 534).

Trikampio aukščiai, medianos, pusiausvyros ir vidurio linijos

Be pagrindinių trikampio elementų, taip pat atsižvelgiama į kitus segmentus su įdomiomis savybėmis: aukščius, medianas, pusiausvyras ir vidurio linijas.

Aukštis

Trikampio aukščiai- tai statmenai, nuleisti iš trikampio viršūnių į priešingas puses.

Norėdami nubrėžti aukštį, turite atlikti šiuos veiksmus:

1) nubrėžkite tiesią liniją, kurioje yra viena iš trikampio kraštinių (jei aukštis nubrėžtas nuo bukojo trikampio smailiojo kampo viršūnės);

2) iš viršūnės, esančios priešais nubrėžtą liniją, nubrėžkite atkarpą nuo taško iki šios linijos, sudarydami su ja 90 laipsnių kampą.

Taškas, kuriame aukštis kerta trikampio kraštinę, vadinamas aukščio pagrindas (žr. 2 pav.).

Trikampio aukščių savybės

Stačiakampiame trikampyje aukštis, nubrėžtas iš viršūnės stačiu kampu, padalija jį į du trikampius, panašius į pradinį trikampį.

Smailiame trikampyje jo du aukščiai atskiria panašius trikampius.

Jei trikampis yra smailus, tai visi aukščių pagrindai priklauso trikampio kraštinėms, o bukajame trikampyje du aukščiai patenka į kraštinių tęsinį.

Trys aukštumos smailiame trikampyje susikerta viename taške ir šis taškas vadinamas ortocentras trikampis.

Mediana

Medianos(iš lot. mediana – „viduris“) – tai atkarpos, jungiančios trikampio viršūnes su priešingų kraštinių vidurio taškais (žr. 3 pav.).

Norėdami sukurti medianą, turite atlikti šiuos veiksmus:

1) rasti šono vidurį;

2) tašką, kuris yra trikampio kraštinės vidurys su priešinga viršūne, sujunkite atkarpa.

Trikampio medianų savybės

Mediana padalija trikampį į du vienodo ploto trikampius.

Trikampio medianos susikerta viename taške, kuris kiekvieną iš jų dalija santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. Šis taškas vadinamas gravitacijos centras trikampis.

Visas trikampis pagal jo medianas padalintas į šešis vienodus trikampius.

Bisektorius

Bisektoriai(iš lot. bis – du kartus ir seko – pjūvis) yra tiesios linijos atkarpos, uždarytos trikampio viduje, dalijančios jo kampus (žr. 4 pav.).

Norėdami sukurti pusiausvyrą, turite atlikti šiuos veiksmus:

1) sukonstruoti spindulį, išeinantį iš kampo viršūnės ir padalijantį jį į dvi lygias dalis (kampo pusiausvyrą);

2) raskite trikampio kampo su priešinga kraštine susikirtimo tašką;

3) pasirinkite atkarpą, jungiančią trikampio viršūnę su susikirtimo tašku priešingoje pusėje.

Trikampių bisektorių savybės

Trikampio kampo bisektorius dalija priešingą kraštinę santykiu, lygiu dviejų gretimų kraštinių santykiui.

Trikampio vidinių kampų pusiausvyros susikerta viename taške. Šis taškas vadinamas įbrėžto apskritimo centru.

Vidinių ir išorinių kampų pusiausvyros yra statmenos.

Jei trikampio išorinio kampo bisektorius kerta priešingos kraštinės tęsinį, tai ADBD=ACBC.

Trikampio vieno vidinio ir dviejų išorinių kampų pusiausvyros susikerta viename taške. Šis taškas yra vieno iš trijų centras aplenkiašis trikampis.

Trikampio dviejų vidinių ir vieno išorinio kampo pusiaukampių pagrindai yra toje pačioje tiesėje, jei išorinio kampo pusiausvyra nėra lygiagreti priešingai trikampio kraštinei.

Jei trikampio išorinių kampų pusiausvyros nėra lygiagrečios priešingoms kraštinėms, tada jų pagrindai yra toje pačioje tiesėje.

Šiandien bus labai lengva pamoka. Apsvarstysime tik vieną objektą – kampo bisektorių – ir įrodysime svarbiausią jo savybę, kuri mums labai pravers ateityje.

Tik neatsipalaiduokite: kartais mokiniai, norintys gauti aukštą balą už tą patį vieningą valstybinį egzaminą ar vieningą valstybinį egzaminą, per pirmąją pamoką net negali tiksliai suformuluoti bisektoriaus apibrėžimo.

Ir užuot atlikę tikrai įdomias užduotis, švaistome laiką tokiems paprastiems dalykams. Taigi skaitykite, žiūrėkite ir priimkite. :)

Pirmiausia šiek tiek keistas klausimas: kas yra kampas? Tai tiesa: kampas yra tiesiog du spinduliai, sklindantys iš to paties taško. Pavyzdžiui:

Kampų pavyzdžiai: smailus, bukas ir dešinysis

Kaip matote iš paveikslėlio, kampai gali būti aštrūs, buki, tiesūs - dabar tai nesvarbu. Dažnai patogumo dėlei ant kiekvieno spindulio pažymimas papildomas taškas ir sakoma, kad prieš mus yra kampas $AOB$ (rašomas kaip $\kampas AOB$).

Panašu, kad Captain Obviousness užsimena, kad be spindulių $OA$ ir $OB$, iš taško $O$ visada galima nupiešti dar krūvą spindulių. Tačiau tarp jų bus vienas ypatingas - jis vadinamas bisektoriumi.

Apibrėžimas. Kampo pusiausvyra yra spindulys, kuris išeina iš to kampo viršūnės ir dalija kampą pusiau.

Pirmiau minėtų kampų pusiausvyros atrodys taip:

Smailių, bukųjų ir stačiakampių pusių pavyzdžiai

Kadangi tikruose brėžiniuose ne visada akivaizdu, kad tam tikras spindulys (mūsų atveju tai $OM$ spindulys) padalija pradinį kampą į du lygius, geometrijoje įprasta žymėti vienodi kampai tiek pat lankų (mūsų brėžinyje tai yra 1 lankas smailiam kampui, du buku kampui, trys tiesiam kampui).

Gerai, mes išsiaiškinome apibrėžimą. Dabar jūs turite suprasti, kokias savybes turi bisektorius.

Pagrindinė kampo bisektoriaus savybė

Tiesą sakant, bisektorius turi daug savybių. Ir mes būtinai pažvelgsime į juos kitoje pamokoje. Tačiau dabar turite suprasti vieną gudrybę:

Teorema. Kampo pusiausvyra yra taškų, esančių vienodu atstumu nuo nurodyto kampo kraštinių, vieta.

Išvertus iš matematikos į rusų kalbą, tai reiškia du faktus vienu metu:

1. Bet kuris taškas, esantis ant tam tikro kampo bisektoriaus, yra tokiu pat atstumu nuo šio kampo kraštinių.
2. Ir atvirkščiai: jei taškas yra vienodu atstumu nuo tam tikro kampo kraštinių, tai garantuojama, kad jis guli ant šio kampo bisektoriaus.

Prieš įrodydami šiuos teiginius, išsiaiškinkime vieną tašką: kas tiksliai vadinamas atstumu nuo taško iki kampo kraštinės? Čia mums padės senas geras atstumo nuo taško iki linijos nustatymas:

Apibrėžimas. Atstumas nuo taško iki tiesės yra statmens, nubrėžto iš nurodyto taško į šią tiesę, ilgis.

Pavyzdžiui, apsvarstykite tiesę $l$ ir tašką $A$, kuris nėra šioje tiesėje. Nubrėžkime statmeną į $AH$, kur $H\in l$. Tada šio statmens ilgis bus atstumas nuo taško $A$ iki tiesės $l$.

Grafinis atstumo nuo taško iki linijos vaizdavimas

Kadangi kampas yra tiesiog du spinduliai, o kiekvienas spindulys yra tiesios linijos dalis, lengva nustatyti atstumą nuo taško iki kampo kraštų. Tai tik du statmenai:

Nustatykite atstumą nuo taško iki kampo kraštų

Tai viskas! Dabar mes žinome, kas yra atstumas ir kas yra bisektorius. Todėl galime įrodyti pagrindinę savybę.

Kaip ir žadėjome, įrodymą padalinsime į dvi dalis:

1. Atstumai nuo taško bisektoriuje iki kampo kraštinių yra vienodi

Apsvarstykite savavališką kampą su viršūne $O$ ir pusiausvyra $OM$:

Įrodykime, kad šis taškas $M$ yra vienodu atstumu nuo kampo kraštų.

Įrodymas. Iš taško $M$ į kampo kraštines nubrėžkime statmenis. Pavadinkime juos $M((H)_(1))$ ir $M((H)_(2))$:

Nubrėžkite statmenus kampo kraštinėms

Gavau du taisyklingas trikampis: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ir $\vartriangle OM((H)_(2))$. Jie turi bendrą hipotenuzę $OM$ ir vienodus kampus:

1. $\kampas MO((H)_(1))=\kampas MO((H)_(2))$ pagal sąlygą (kadangi $OM$ yra pusiausvyra);
2. $\kampas M((H)_(1))O=\kampas M((H)_(2))O=90()^\circ $ pagal konstrukciją;
3. $\angle OM((H)_(1))=\kampas OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, nes suma aštrūs kampai stačiojo trikampio kampas visada yra 90 laipsnių.

Vadinasi, trikampių šoniniai ir du gretimi kampai yra lygūs (žr. trikampių lygybės požymius). Todėl konkrečiai $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, t.y. atstumai nuo taško $O$ iki kampo kraštinių tikrai lygūs. K.E.D. :)

2. Jei atstumai lygūs, tai taškas yra ant bisektoriaus

Dabar situacija yra atvirkštinė. Tegu nurodytas kampas $O$ ir taškas $M$ vienodu atstumu nuo šio kampo kraštų:

Įrodykime, kad spindulys $OM$ yra pusiausvyra, t.y. $\kampas MO((H)_(1))=\kampas MO((H)_(2))$.

Įrodymas. Pirmiausia nubrėžkime šį spindulį $OM$, kitaip nebus ką įrodyti:

Laida $OM$ spindulį kampo viduje

Vėlgi gauname du stačiuosius trikampius: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ir $\vartriangle OM((H)_(2))$. Akivaizdu, kad jie yra lygūs, nes:

1. Hipotenūza $OM$ – bendroji;
2. Kojos $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ pagal sąlygą (juk taškas $M$ yra vienodu atstumu nuo kampo kraštinių);
3. Likusios kojos taip pat lygios, nes pagal Pitagoro teoremą $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Todėl trikampiai $\vartriangle OM((H)_(1))$ ir $\vartriangle OM((H)_(2))$ iš trijų kraštinių. Visų pirma, jų kampai yra lygūs: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Ir tai tik reiškia, kad $OM$ yra pusiausvyra.

Norėdami baigti įrodymą, gautus vienodus kampus pažymime raudonais lankais:

Bisektorius padalina kampą $\kampas ((H)_(1))O((H)_(2))$ į du lygius

Kaip matote, nieko sudėtingo. Mes įrodėme, kad kampo pusiausvyra yra taškų, esančių vienodu atstumu nuo šio kampo kraštinių, vieta. :)

Dabar, kai daugiau ar mažiau apsisprendėme dėl terminijos, laikas pereiti į kitą lygį. Kitoje pamokoje apžvelgsime sudėtingesnes bisektoriaus savybes ir išmoksime jas pritaikyti sprendžiant tikras problemas.

Tarp daugelio vidurinės mokyklos dalykų yra vienas, pavyzdžiui, „geometrija“. Tradiciškai manoma, kad šio sisteminio mokslo pradininkai yra graikai. Šiandien graikų geometrija vadinama elementaria, nes būtent ji pradėjo tyrinėti paprasčiausias formas: plokštumas, tiesias linijas ir trikampius. Mes sutelksime dėmesį į pastarąjį, tiksliau, į šios figūros pusiausvyrą. Tiems, kurie jau pamiršo, trikampio pusiausvyra yra vieno iš trikampio kampų pusiausvyros atkarpa, dalijanti ją pusiau ir jungianti viršūnę su tašku, esančiu priešingoje pusėje.

Trikampio pusiausvyra turi keletą savybių, kurias reikia žinoti sprendžiant tam tikras problemas:

• Kampo pusiausvyra yra taškų, esančių vienodais atstumais nuo kampui gretimų kraštinių, vieta.
• Trikampio pusiausvyra padalija kampui priešingą kraštinę į segmentus, kurie yra proporcingi gretimoms kraštinėms. Pavyzdžiui, duotas trikampis MKB, kur iš kampo K išnyra bisektorius, jungiantis šio kampo viršūnę su tašku A priešingoje pusėje MB. Išanalizavę šią savybę ir mūsų trikampį, turime MA/AB=MK/KB.
• Taškas, kuriame susikerta visų trijų trikampio kampų pusės, yra apskritimo, įrašyto į tą patį trikampį, centras.
• Vieno išorinio ir dviejų vidinių kampų pusiausvyros pagrindai yra toje pačioje tiesėje, jei išorinio kampo pusiausvyra nėra lygiagreti priešingai trikampio kraštinei.
• Jei du vieno dalikliai, tada tai

Pažymėtina, kad jei pateikiami trys bisektoriniai, tada iš jų sukurti trikampį, net ir naudojant kompasą, neįmanoma.

Labai dažnai sprendžiant uždavinius trikampio pusiausvyra nežinoma, tačiau būtina nustatyti jo ilgį. Norėdami išspręsti šią užduotį, turite žinoti kampą, kurį dalija pusiausvyra ir šalia šio kampo esančios pusės. Šiuo atveju reikalingas ilgis apibrėžiamas kaip dvigubo kraštinių, besiribojančių su kampu, sandaugos ir kampo kosinuso, padalyto per pusę, santykis su kraštinių, esančių greta kampo, sumos santykis. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į tą patį trikampį MKB. Bisektorius išeina iš kampo K ir susikerta priešinga pusė MV taške A. Kampas, iš kurio iškyla bisektorius, bus pažymėtas y. Dabar užrašykite viską, kas pasakyta žodžiais, formulės forma: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Jei kampo, iš kurio išeina trikampio pusiausvyra, reikšmė nežinoma, bet žinomos visos jo kraštinės, tai pusiausvyros ilgiui apskaičiuoti naudosime papildomą kintamąjį, kurį pavadinsime pusperimetru ir žymime raidė P: P=1/2*(MK+KB+MB). Po to atliksime kai kuriuos ankstesnės formulės, pagal kurią buvo nustatytas bisektoriaus ilgis, pakeitimų, būtent trupmenos skaitiklyje įdėsime dvigubą kraštinių, besiribojančių su kampu, ilgių sandaugą per pusperimetrą. ir koeficientas, kur iš pusperimetro atimamas trečiosios kraštinės ilgis. Vardiklį paliksime nepakeistą. Formulės pavidalu ji atrodys taip: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Lygiašonio trikampio bisektorius kartu su bendromis savybėmis taip pat turi keletą savų. Prisiminkime, koks tai trikampis. Toks trikampis turi dvi lygias kraštines ir lygius kampus, besiribojančius su pagrindu. Iš to išplaukia, kad lygiašonio trikampio šoninėse kraštinėse krintančios pusės yra lygios viena kitai. Be to, iki pagrindo nuleistas bisektorius yra ir aukštis, ir mediana.