Kampas tarp eilučių erdvėje vadinsime bet kurią iš gretimų kampų, sudarytas iš dviejų tiesių linijų, nubrėžtų per savavališką tašką, lygiagrečią duomenims.

Tegu erdvėje pateikiamos dvi eilutės:

Akivaizdu, kad kampas φ tarp tiesių gali būti laikomas kampu tarp jų krypties vektorių ir . Nuo tada, naudojant kampo tarp vektorių kosinuso formulę, gauname

Dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlygos yra lygiavertės jų krypties vektorių lygiagretumo ir statmenumo sąlygoms ir:

Du tiesiai lygiagrečiai tada ir tik tada, kai jų atitinkami koeficientai yra proporcingi, t.y. l 1 paralelė l 2 jei ir tik lygiagrečiai .

Du tiesiai statmenai tada ir tik tada, kai atitinkamų koeficientų sandaugų suma lygi nuliui: .

U tikslas tarp linijos ir plokštumos

Tegul būna tiesiai d- nestatmenas θ plokštumai;
d′− linijos projekcija dį θ plokštumą;
Mažiausias kampas tarp tiesių d Ir d"paskambinsime kampas tarp tiesės ir plokštumos.
Pažymėkime kaip φ=( d,θ)
Jeigu d⊥θ, tada ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− stačiakampė koordinačių sistema.
Plokštumos lygtis:

θ: Ax+Autorius+Cz+D=0

Darome prielaidą, kad tiesią liniją apibrėžia taškas ir krypties vektorius: d[M 0,p→]
Vektorius n→(A,B,C)⊥θ
Tada belieka išsiaiškinti kampą tarp vektorių n→ ir p→ pažymėkime kaip γ=( n→,p→).

Jei kampas γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Jei kampas yra γ>π/2, tai norimas kampas yra φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Tada kampas tarp tiesės ir plokštumos galima apskaičiuoti pagal formulę:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

29 klausimas. Kvadratinės formos samprata. Kvadratinių formų ženklo apibrėžtumas.

Kvadratinė forma j (x 1, x 2, …, x n) n realių kintamųjų x 1, x 2, …, x n vadinama formos suma
, (1)

Kur a ij – kai kurie skaičiai, vadinami koeficientais. Neprarasdami bendrumo galime manyti, kad a ij = a ji.

Kvadratinė forma vadinama galiojantis, Jeigu a ij Î GR. Kvadratinės formos matrica vadinama matrica, sudaryta iš jos koeficientų. Kvadratinė forma (1) atitinka vienintelę simetrinę matricą
Tai yra A T = A. Vadinasi, kvadratinė forma (1) gali būti įrašyta matricos forma j ( X) = x T Ah, Kur x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Ir atvirkščiai, kiekviena simetrinė matrica (2) atitinka unikalią kvadratinę formą iki kintamųjų žymėjimo.

Kvadratinės formos rangas vadinamas jos matricos rangu. Kvadratinė forma vadinama neišsigimęs, jei jo matrica yra ne vienaskaita A. (prisiminkime, kad matrica A vadinamas neišsigimusiu, jei jo determinantas nėra lygus nuliui). Priešingu atveju kvadratinė forma yra išsigimusi.

teigiamas apibrėžtas(arba griežtai teigiamas), jei

j ( X) > 0 , bet kam X = (X 1 , X 2 , …, x n), išskyrus X = (0, 0, …, 0).

Matrica A teigiama apibrėžtoji kvadratinė forma j ( X) taip pat vadinamas teigiamu apibrėžtuoju. Todėl teigiama apibrėžtoji kvadratinė forma atitinka unikalią teigiamą apibrėžtąją matricą ir atvirkščiai.

Kvadratinė forma (1) vadinama neigiamai apibrėžtas(arba griežtai neigiamas), jei

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), išskyrus X = (0, 0, …, 0).

Panašiai kaip aukščiau, neigiamos apibrėžtos kvadratinės formos matrica taip pat vadinama neigiama apibrėžtąja.

Vadinasi, teigiama (neigiama) apibrėžtoji kvadratinė forma j ( X) pasiekia mažiausią (maksimalų) reikšmę j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).

Prisimink tai dauguma kvadratinės formos nėra apibrėžiamos, tai yra, jos nėra nei teigiamos, nei neigiamos. Tokios kvadratinės formos virsta 0 ne tik koordinačių sistemos pradžioje, bet ir kituose taškuose.

Kada n> 2, kvadratinės formos ženklui patikrinti reikalingi specialūs kriterijai. Pažiūrėkime į juos.

Pagrindiniai nepilnamečiai kvadratinės formos vadinamos nepilnamečiais:

tai yra 1, 2, ... eilės nepilnamečiai, n matricos A, esantis viršutiniame kairiajame kampe, paskutinis iš jų sutampa su matricos determinantu A.

Teigiamas apibrėžtumo kriterijus (Sylvesterio kriterijus)

X) = x T Ah buvo teigiamas neabejotinas, būtina ir pakanka, kad visi pagrindiniai matricos nepilnamečiai A buvo teigiami, tai yra: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Neigiamo tikrumo kriterijus Kad kvadratinė forma j ( X) = x T Ah buvo neigiamas apibrėžtas, būtina ir pakanka, kad jo pagrindiniai porinės eilės nepilnamečiai būtų teigiami, o nelyginės – neigiami, t. M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Oi-oi-oi... na, sunku, lyg sau sakinį perskaitytų =) Tačiau vėliau padės atsipalaidavimas, juolab kad šiandien nusipirkau atitinkamus aksesuarus. Todėl pereikime prie pirmosios dalies, tikiuosi, kad iki straipsnio pabaigos išlaikysiu linksmą nuotaiką.

Santykinė dviejų linijų padėtis

Taip būna, kai publika dainuoja kartu choru. Dvi tiesios linijos gali:

1) rungtynės;

2) būti lygiagrečiai: ;

3) arba susikerta viename taške: .

Pagalba manekenams : prašau prisiminti matematinis ženklas sankryžose, tai įvyks labai dažnai. Žymėjimas reiškia, kad tiesė kertasi su linija taške .

Kaip nustatyti santykinę dviejų linijų padėtį?

Pradėkime nuo pirmojo atvejo:

Dvi tiesės sutampa tada ir tik tada, kai jų atitinkami koeficientai yra proporcingi, tai yra, yra skaičius „lambda“, kad lygybės būtų patenkintos

Panagrinėkime tiesias linijas ir iš atitinkamų koeficientų sukurkime tris lygtis: . Iš kiekvienos lygties išplaukia, kad šios linijos sutampa.

Iš tiesų, jei visi lygties koeficientai padauginkite iš –1 (pokyčio ženklai), ir visus lygties koeficientus supjaustę 2, gausite tą pačią lygtį: .

Antrasis atvejis, kai linijos lygiagrečios:

Dvi tiesės yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų kintamųjų koeficientai yra proporcingi: , Bet.

Kaip pavyzdį apsvarstykite dvi tiesias linijas. Mes patikriname atitinkamų kintamųjų koeficientų proporcingumą:

Tačiau visiškai akivaizdu, kad.

Ir trečias atvejis, kai linijos susikerta:

Dvi tiesės susikerta tada ir tik tada, kai jų kintamųjų koeficientai NĖRA proporcingi, tai yra, NĖRA tokios „lambda“ reikšmės, kad būtų tenkinamos lygybės

Taigi tiesioms linijoms sukursime sistemą:

Iš pirmosios lygties išplaukia, kad , o iš antrosios lygties: , tai reiškia sistema nenuosekli(sprendimų nėra). Taigi kintamųjų koeficientai nėra proporcingi.

Išvada: linijos susikerta

IN praktines problemas ai, galite naudoti ką tik aptartą sprendimo schemą. Beje, tai labai primena vektorių kolineariškumo tikrinimo algoritmą, kurį žiūrėjome klasėje Vektorių tiesinės (ne)priklausomybės samprata. Vektorių pagrindas. Tačiau yra labiau civilizuota pakuotė:

1 pavyzdys

Sužinokite santykines linijų padėtis:

Sprendimas remiantis tiesių linijų nukreipimo vektorių tyrimu:

a) Iš lygčių randame tiesių krypties vektorius: .

, o tai reiškia, kad vektoriai nėra kolinearūs ir linijos susikerta.

Tik tuo atveju, aš pastatysiu akmenį su ženklais sankryžoje:

Likusieji šokinėja per akmenį ir seka toliau, tiesiai į Kaščejų Nemirtingąjį =)

b) Raskite tiesių krypties vektorius:

Linijos turi tą patį krypties vektorių, o tai reiškia, kad jos yra lygiagrečios arba sutampa. Determinanto čia skaičiuoti nereikia.

Akivaizdu, kad nežinomųjų koeficientai yra proporcingi ir .

Išsiaiškinkime, ar lygybė yra tiesa:

Taigi,

c) Raskite tiesių krypties vektorius:

Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš šių vektorių koordinačių:
, todėl krypties vektoriai yra kolineariniai. Linijos yra lygiagrečios arba sutampa.

Proporcingumo koeficientą „lambda“ lengva pamatyti tiesiai iš kolinearinių krypties vektorių santykio. Tačiau jį taip pat galima rasti pagal pačių lygčių koeficientus: .

Dabar išsiaiškinkime, ar lygybė yra tiesa. Abi nemokamos sąlygos yra nulinės, todėl:

Gauta reikšmė tenkina šią lygtį (apskritai bet koks skaičius ją tenkina).

Taigi, linijos sutampa.

Atsakymas:

Labai greitai išmoksite (ar net jau išmokote) išspręsti žodžiu aptartą problemą pažodžiui per kelias sekundes. Šiuo atžvilgiu nematau prasmės ką nors pasiūlyti dėl nepriklausomo sprendimo, geriau kloti kitą svarbią plytą į geometrinį pamatą:

Kaip sukurti tiesę, lygiagrečią duotai?

Dėl to nežinojimo paprasčiausia užduotis Lakštingala Plėšikas griežtai baudžia.

2 pavyzdys

Tiesi linija nurodoma lygtimi. Parašykite lygiagrečios tiesės, einančios per tašką, lygtį.

Sprendimas: Pažymėkime nežinomą eilutę raide . Ką apie ją sako būklė? Tiesi linija eina per tašką. O jei tiesės lygiagrečios, tai akivaizdu, kad tiesės krypties vektorius „tse“ tinka ir tiesei „de“ statyti.

Iš lygties išimame krypties vektorių:

Atsakymas:

Geometrijos pavyzdys atrodo paprastas:

Analitinis bandymas susideda iš šių etapų:

1) Patikriname, ar tiesės turi vienodą krypties vektorių (jei tiesės lygtis nėra tinkamai supaprastinta, vektoriai bus kolineariniai).

2) Patikrinkite, ar taškas tenkina gautą lygtį.

Daugeliu atvejų analitinį testavimą galima nesunkiai atlikti žodžiu. Pažvelkite į dvi lygtis ir daugelis iš jūsų greitai nustatys linijų lygiagretumą be jokio piešinio.

Nepriklausomų sprendimų pavyzdžiai šiandien bus kūrybingi. Nes dar teks konkuruoti su Baba Yaga, o ji, žinai, yra įvairiausių mįslių mėgėja.

3 pavyzdys

Parašykite tiesės, einančios per tašką, lygiagrečią tiesei, lygtį

Yra racionalus ir ne toks racionalus būdas tai išspręsti. Dauguma trumpesnis kelias- pamokos pabaigoje.

Šiek tiek dirbome su lygiagrečiomis linijomis ir prie jų grįšime vėliau. Sutampančių linijų atvejis mažai domina, todėl panagrinėkime problemą, kuri jums gerai žinoma mokyklos mokymo programa:

Kaip rasti dviejų linijų susikirtimo tašką?

Jei tiesiai susikerta taške , tada jo koordinatės yra sprendimas tiesinių lygčių sistemos

Kaip rasti linijų susikirtimo tašką? Išspręskite sistemą.

Štai jums geometrine prasme sistemos iš dviejų tiesines lygtis su dviem nežinomaisiais- tai dvi susikertančios (dažniausiai) linijos plokštumoje.

4 pavyzdys

Raskite tiesių susikirtimo tašką

Sprendimas: Yra du sprendimo būdai – grafinis ir analitinis.

Grafinis metodas yra tiesiog nubrėžti nurodytas linijas ir sužinoti susikirtimo tašką tiesiai iš brėžinio:

Štai mūsų mintis: . Norėdami patikrinti, turėtumėte pakeisti jos koordinates į kiekvieną linijos lygtį, jos turėtų tilpti ir ten, ir ten. Kitaip tariant, taško koordinatės yra sistemos sprendimas. Iš esmės mes žiūrėjome į grafinį sprendimą tiesinių lygčių sistemos su dviem lygtimis, dviem nežinomaisiais.

Grafinis metodas, žinoma, nėra blogas, tačiau yra pastebimų trūkumų. Ne, esmė ne ta, kad taip nusprendžia septintokai, esmė ta, kad prireiks laiko sukurti teisingą ir TIKSLIĄ piešinį. Be to, kai kurias tiesias linijas konstruoti ne taip paprasta, o pats susikirtimo taškas gali būti kažkur trisdešimtoje karalystėje už užrašų knygelės lapo.

Todėl tikslingiau ieškoti susikirtimo taško analitinis metodas. Išspręskime sistemą:

Sistemai išspręsti taikytas lygčių terminų sudėjimo metodas. Norėdami lavinti atitinkamus įgūdžius, eikite į pamoką Kaip išspręsti lygčių sistemą?

Atsakymas:

Patikrinimas yra trivialus – susikirtimo taško koordinatės turi tenkinti kiekvieną sistemos lygtį.

5 pavyzdys

Raskite tiesių susikirtimo tašką, jei jos susikerta.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Patogu užduotį skaidyti į kelis etapus. Būklės analizė rodo, kad būtina:
1) Užrašykite tiesės lygtį.
2) Užrašykite tiesės lygtį.
3) Išsiaiškinkite santykinę linijų padėtį.
4) Jei linijos susikerta, raskite susikirtimo tašką.

Veiksmų algoritmo kūrimas būdingas daugeliui geometrinių uždavinių, ir aš ne kartą sutelksiu dėmesį į tai.

Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje:

Net pora batų nebuvo nusidėvėję, kol patekome į antrąją pamokos dalį:

Statmenos linijos. Atstumas nuo taško iki linijos.
Kampas tarp tiesių linijų

Pradėkime nuo tipiškos ir labai svarbios užduoties. Pirmoje dalyje išmokome nutiesti tiesią liniją, lygiagrečią šiai, o dabar namelis ant vištienos kojų pasisuks 90 laipsnių:

Kaip sukurti tiesę, statmeną duotai?

6 pavyzdys

Tiesi linija nurodoma lygtimi. Parašykite lygtį, statmeną tiesei, einančia per tašką.

Sprendimas: Pagal sąlygą žinoma, kad . Būtų malonu rasti linijos nukreipimo vektorių. Kadangi linijos yra statmenos, gudrybė paprasta:

Iš lygties „pašaliname“ normalųjį vektorių: , kuris bus tiesės krypties vektorius.

Sudarykime tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių:

Atsakymas:

Išplėskime geometrinį eskizą:

Hmm... Oranžinis dangus, oranžinė jūra, oranžinis kupranugaris.

Analitinis tirpalo patikrinimas:

1) Iš lygčių išimame krypties vektorius ir su pagalba vektorių skaliarinė sandauga darome išvadą, kad tiesės iš tiesų yra statmenos: .

Beje, galite naudoti įprastus vektorius, tai dar lengviau.

2) Patikrinkite, ar taškas tenkina gautą lygtį .

Testą, vėlgi, lengva atlikti žodžiu.

7 pavyzdys

Raskite statmenų tiesių susikirtimo tašką, jei lygtis žinoma ir laikotarpis.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Uždavinyje yra keli veiksmai, todėl sprendimą patogu formuluoti taškas po taško.

Mūsų įdomi kelionė tęsiasi:

Atstumas nuo taško iki linijos

Prieš mus yra tiesi upės juosta ir mūsų užduotis yra iki jos patekti trumpiausiu keliu. Kliūčių nėra, o optimaliausias maršrutas bus judėti statmenai. Tai reiškia, kad atstumas nuo taško iki linijos yra statmenos atkarpos ilgis.

Atstumas geometrijoje tradiciškai žymimas graikiška raide „rho“, pavyzdžiui: – atstumas nuo taško „em“ iki tiesės „de“.

Atstumas nuo taško iki linijos išreikšta formule

8 pavyzdys

Raskite atstumą nuo taško iki linijos

Sprendimas: viskas, ką jums reikia padaryti, tai atsargiai pakeisti skaičius į formulę ir atlikti skaičiavimus:

Atsakymas:

Padarykime piešinį:

Rastas atstumas nuo taško iki linijos yra tiksliai raudonos atkarpos ilgis. Jei piešiate piešinį ant languoto popieriaus 1 vieneto masteliu. = 1 cm (2 langeliai), tada atstumą galima išmatuoti įprasta liniuote.

Apsvarstykime kitą užduotį, pagrįstą tuo pačiu piešiniu:

Užduotis – rasti taško, kuris yra simetriškas taškui tiesės atžvilgiu, koordinates . Siūlau veiksmus atlikti pačiam, bet pateiksiu sprendimo algoritmą su tarpiniais rezultatais:

1) Raskite tiesę, kuri yra statmena tiesei.

2) Raskite linijų susikirtimo tašką: .

Abu veiksmai išsamiai aptariami šioje pamokoje.

3) Taškas yra atkarpos vidurio taškas. Žinome vidurio ir vieno galo koordinates. Autorius atkarpos vidurio taško koordinačių formulės mes randame .

Būtų gerai patikrinti, ar atstumas taip pat yra 2,2 vnt.

Čia gali kilti sunkumų atliekant skaičiavimus, tačiau bokšte puikiai padeda mikroskaičiuotuvas, leidžiantis apskaičiuoti bendrosios trupmenos. Jau daug kartų jums patariau ir rekomenduosiu dar ne kartą.

Kaip rasti atstumą tarp dviejų lygiagrečių linijų?

9 pavyzdys

Raskite atstumą tarp dviejų lygiagrečių tiesių

Tai dar vienas pavyzdys, kurį galite nuspręsti patys. Duosiu jums nedidelę užuominą: yra be galo daug būdų tai išspręsti. Aptarimas pamokos pabaigoje, bet geriau pabandyti atspėti patiems, manau, kad tavo išradingumas buvo gerai išvystytas.

Kampas tarp dviejų tiesių linijų

Kiekvienas kampas yra stakta:


Geometrijoje kampas tarp dviejų tiesių laikomas MAŽESNIU kampu, iš kurio automatiškai išplaukia, kad jis negali būti bukas. Paveiksle raudonu lanku nurodytas kampas nelaikomas kampu tarp susikertančių linijų. Ir jo „žaliasis“ kaimynas arba priešingos krypties„aviečių“ kampelis.

Jei linijos yra statmenos, bet kuris iš 4 kampų gali būti laikomas kampu tarp jų.

Kuo skiriasi kampai? Orientacija. Pirma, iš esmės svarbi kryptis, kuria kampas yra „slenkamas“. Antra, neigiamai orientuotas kampas rašomas minuso ženklu, pavyzdžiui, jei .

Kodėl aš tau tai sakiau? Atrodo, kad galime apsieiti su įprasta kampo koncepcija. Faktas yra tas, kad formulės, pagal kurias rasime kampus, gali lengvai sukelti neigiamą rezultatą, ir tai neturėtų jūsų nustebinti. Kampas su minuso ženklu nėra blogesnis ir turi labai specifinę geometrinę reikšmę. Brėžinyje, norėdami pamatyti neigiamą kampą, būtinai nurodykite jo orientaciją rodykle (pagal laikrodžio rodyklę).

Kaip rasti kampą tarp dviejų tiesių? Yra dvi darbo formulės:

10 pavyzdys

Raskite kampą tarp eilučių

Sprendimas Ir Pirmasis metodas

Apsvarstykite dvi tieses, pateiktas lygčių in bendras vaizdas:

Jei tiesiai ne statmenai, Tai orientuotas Kampą tarp jų galima apskaičiuoti pagal formulę:

Atkreipkime dėmesį į vardiklį – būtent taip skaliarinis produktas tiesių linijų nukreipimo vektoriai:

Jei , tada formulės vardiklis tampa lygus nuliui, o vektoriai bus stačiakampiai, o linijos – statmenos. Štai kodėl formuluotėje buvo padaryta išlyga dėl tiesių linijų nestatumo.

Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, patogu sprendimą formalizuoti dviem etapais:

1) Apskaičiuokime tiesių krypties vektorių skaliarinę sandaugą:
, o tai reiškia, kad linijos nėra statmenos.

2) Raskite kampą tarp tiesių naudodami formulę:

Naudojant atvirkštinė funkcija Lengva rasti patį kampą. Šiuo atveju naudojame arctangento nelygumą (žr. Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės):

Atsakymas:

Atsakyme nurodome tiksli vertė, taip pat apytikslę reikšmę (geriausia ir laipsniais, ir radianais), apskaičiuotą naudojant skaičiuotuvą.

Na, minusas, minusas, nieko tokio. Čia yra geometrinė iliustracija:

Nenuostabu, kad kampas pasirodė neigiamos orientacijos, nes uždavinio teiginyje pirmasis skaičius yra tiesi linija ir kampo „atsukimas“ prasidėjo būtent nuo jo.

Jei tikrai norite gauti teigiamą kampą, turite sukeisti eilutes, tai yra, paimti koeficientus iš antrosios lygties , ir paimkite koeficientus iš pirmosios lygties. Trumpai tariant, reikia pradėti nuo tiesioginio .

Apibrėžimas. Jei dvi eilutės pateiktos y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada aštrus kampas tarp šių tiesių bus apibrėžta kaip

Dvi tiesės yra lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi tiesės yra statmenos, jei k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Tiesės Ax + Bу + C = 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai A 1 = λA, B 1 = λB yra proporcingi. Jei taip pat C 1 = λC, tai tiesės sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Einančios tiesės lygtis šį tašką

Statmena nurodytai tiesei

Apibrėžimas. Tiesi linija, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmena tiesei y = kx + b, pavaizduota lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos

Teorema. Jei duotas taškas M(x 0, y 0), tai atstumas iki tiesės Ax + Bу + C = 0 nustatomas kaip

.

Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1) yra statmens, nuleistos iš taško M į nurodytą tiesę, pagrindas. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:

(1)

Koordinates x 1 ir y 1 galima rasti išsprendus lygčių sistemą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios pro ją, lygtis duotas taškas M 0 yra statmena nurodytai tiesei. Jei transformuosime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Iš 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.

Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp tiesių: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Pavyzdys. Parodykite, kad tiesės 3x – 5y + 7 = 0 ir 10x + 6y – 3 = 0 yra statmenos.

Sprendimas. Randame: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, vadinasi, tiesės yra statmenos.

Pavyzdys. Duotos trikampio A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) viršūnės. Raskite aukščio lygtį, nubrėžtą iš viršūnės C.

Sprendimas. Randame kraštinės AB lygtį: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Reikalinga aukščio lygtis yra tokia: Ax + By + C = 0 arba y = kx + b. k = . Tada y = . Nes aukštis eina per tašką C, tada jo koordinatės tenkina šią lygtį: iš kur b = 17. Iš viso: .

Atsakymas: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką tam tikra kryptimi, lygtis. Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis. Kampas tarp dviejų tiesių. Dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlyga. Dviejų tiesių susikirtimo taško nustatymas

1. Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis A(x 1 , y 1) tam tikra kryptimi, nulemta nuolydžio k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ši lygtis apibrėžia linijų, einančių per tašką, pieštuką A(x 1 , y 1), kuris vadinamas spindulio centru.

2. Tiesės, einančios per du taškus, lygtis: A(x 1 , y 1) ir B(x 2 , y 2), parašyta taip:

Tiesės, einančios per du duotus taškus, kampinis koeficientas nustatomas pagal formulę

3. Kampas tarp tiesių linijų A Ir B yra kampas, kuriuo turi būti pasukta pirmoji tiesi linija A aplink šių linijų susikirtimo tašką prieš laikrodžio rodyklę, kol jis sutampa su antrąja linija B. Jei dvi tiesės pateiktos lygtimis su nuolydžiu

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

tada kampas tarp jų nustatomas pagal formulę

Pažymėtina, kad trupmenos skaitiklyje pirmosios eilutės nuolydis atimamas iš antrosios eilutės nuolydžio.

Jei tiesės lygtys pateiktos bendra forma

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

kampas tarp jų nustatomas pagal formulę

4. Dviejų linijų lygiagretumo sąlygos:

a) Jei tiesės pateiktos lygtimis (4) su kampiniu koeficientu, tai būtina ir pakankama jų lygiagretumo sąlyga yra jų kampinių koeficientų lygybė:

k 1 = k 2 . (8)

b) Tuo atveju, kai tiesės pateiktos bendrosios formos (6) lygtimis, būtina ir pakankama jų lygiagretumo sąlyga yra ta, kad koeficientai atitinkamoms srovės koordinatėms jų lygtyse būtų proporcingi, t.y.

5. Dviejų tiesių statmenumo sąlygos:

a) Tuo atveju, kai tiesės pateiktos lygtimis (4) su kampiniu koeficientu, būtina ir pakankama jų statmenumo sąlyga yra ta, kad jų kampiniai koeficientai būtų atvirkštinio dydžio ir priešingi pagal ženklą, t.y.

Šią sąlygą taip pat galima įrašyti formoje

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Jei tiesių lygtys pateiktos bendrąja forma (6), tai jų statmenumo sąlyga (būtina ir pakankama) yra tenkinti lygybę

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos sprendžiant (6) lygčių sistemą. Linijos (6) susikerta tada ir tik tada

1. Parašykite lygtis tiesių, einančių per tašką M, kurių viena lygiagreti, o kita statmena duotai tiesei l.

Ši medžiaga skirta tokiai sąvokai kaip kampas tarp dviejų susikertančių linijų. Pirmoje pastraipoje paaiškinsime, kas tai yra, ir parodysime tai iliustracijomis. Tada pažiūrėsime, kokiais būdais galima rasti šio kampo sinusą, kosinusą ir patį kampą (atskirai nagrinėsime atvejus su plokštuma ir trimate erdve), pateiksime reikiamas formules ir tiksliai parodysime su pavyzdžiais kaip jie naudojami praktikoje.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Norint suprasti, koks yra kampas, susidarantis susikertant dviem linijoms, turime atsiminti patį kampo, statmenumo ir susikirtimo taško apibrėžimą.

1 apibrėžimas

Dvi tieses vadiname susikertančiomis, jei jos turi vieną bendras taškas. Šis taškas vadinamas dviejų tiesių susikirtimo tašku.

Kiekviena tiesi linija susikirtimo tašku yra padalinta į spindulius. Abi tiesios linijos sudaro 4 kampus, iš kurių du yra vertikalūs, o du yra gretimi. Jei žinome vieno iš jų matą, galime nustatyti likusius.

Tarkime, žinome, kad vienas iš kampų lygus α. Šiuo atveju kampas, kuris yra vertikalus jo atžvilgiu, taip pat bus lygus α. Norėdami rasti likusius kampus, turime apskaičiuoti skirtumą 180 ° - α. Jei α yra lygus 90 laipsnių, tada visi kampai bus stačiakampiai. Tiesės, susikertančios stačiu kampu, vadinamos statmenomis (statmens sąvokai skirtas atskiras straipsnis).

Pažvelkite į paveikslėlį:

Pereikime prie pagrindinio apibrėžimo formulavimo.

2 apibrėžimas

Kampas, sudarytas iš dviejų susikertančių linijų, yra mažesnio iš 4 kampų, sudarančių šias dvi linijas, matas.

Iš apibrėžimo reikia padaryti svarbią išvadą: kampo dydis šiuo atveju bus išreikštas bet kokiu realiu skaičiumi intervale (0, 90]. Jei tiesės yra statmenos, tai kampas tarp jų bet kokiu atveju bus lygus 90 laipsnių.

Gebėjimas rasti kampo tarp dviejų susikertančių tiesių matą yra naudingas sprendžiant daugelį praktinių problemų. Sprendimo būdą galima pasirinkti iš kelių variantų.

Pirmiausia galime imtis geometrinių metodų. Jei ką nors žinome apie papildomus kampus, galime juos susieti su mums reikalingu kampu, naudodami lygių ar panašių figūrų savybes. Pavyzdžiui, jei žinome trikampio kraštines ir reikia apskaičiuoti kampą tarp tiesių, ant kurių yra šios kraštinės, tai spręsti tinka kosinuso teorema. Jei turime sąlygą taisyklingas trikampis, tada skaičiavimams mums taip pat reikės žinių apie kampo sinusą, kosinusą ir liestinę.

Koordinačių metodas taip pat labai patogus sprendžiant tokio tipo problemas. Leiskite mums paaiškinti, kaip teisingai jį naudoti.

Turime stačiakampę (Dekarto) koordinačių sistemą O x y, kurioje pateiktos dvi tiesės. Pažymėkime juos raidėmis a ir b. Tiesias linijas galima apibūdinti naudojant kai kurias lygtis. Originalios linijos turi susikirtimo tašką M. Kaip nustatyti reikiamą kampą (pažymime α) tarp šių tiesių?

Pradėkime nuo pagrindinio kampo nustatymo tam tikromis sąlygomis principo suformulavimo.

Žinome, kad tiesės sąvoka yra glaudžiai susijusi su tokiomis sąvokomis kaip krypties vektorius ir normalusis vektorius. Jei turime tam tikros tiesės lygtį, iš jos galime paimti šių vektorių koordinates. Tai galime padaryti dviem susikertančioms linijoms vienu metu.

Kampą, kurį sudaro dvi susikertančios linijos, galima rasti naudojant:

• kampas tarp krypties vektorių;
• kampas tarp normaliųjų vektorių;
• kampas tarp vienos tiesės normaliojo vektoriaus ir kitos krypties vektoriaus.

Dabar pažvelkime į kiekvieną metodą atskirai.

1. Tarkime, kad turime tiesę a su krypties vektoriumi a → = (a x, a y) ir tiesę b su krypties vektoriumi b → (b x, b y). Dabar nubrėžkime du vektorius a → ir b → nuo susikirtimo taško. Po to pamatysime, kad kiekvienas iš jų bus savo tiesioje linijoje. Tada turime keturis jų variantus santykinė padėtis. Žiūrėkite iliustraciją:

Jei kampas tarp dviejų vektorių nėra bukas, tai bus kampas, kurio mums reikia tarp susikertančių tiesių a ir b. Jei jis bukas, tai norimas kampas bus lygus kampui, esančiam greta kampo a →, b → ^. Taigi, α = a → , b → ^, jei a → , b → ^ ≤ 90 ° , o α = 180 ° - a → , b → ^, jei a → , b → ^ > 90 ° .

Remiantis tuo, kad kosinusai vienodi kampai yra lygūs, gautas lygybes galime perrašyti taip: cos α = cos a → , b → ^ , jei a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, jei a →, b → ^ > 90 °.

Antruoju atveju buvo naudojamos redukcijos formulės. Taigi,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Paskutinę formulę parašykime žodžiais:

3 apibrėžimas

Dviejų susikertančių tiesių suformuoto kampo kosinusas bus lygus kampo tarp jo krypties vektorių kosinuso moduliui.

Bendra kampo tarp dviejų vektorių a → = (a x, a y) ir b → = (b x, b y) kosinuso formulės forma atrodo taip:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Iš jo galime išvesti kampo tarp dviejų nurodytų tiesių kosinuso formulę:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tada patį kampą galima rasti naudojant šią formulę:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Čia a → = (a x , a y) ir b → = (b x , b y) yra duotųjų tiesių krypties vektoriai.

Pateiksime problemos sprendimo pavyzdį.

1 pavyzdys

Stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje pateiktos dvi susikertančios tiesės a ir b. Jas galima apibūdinti parametrinėmis lygtimis x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ir x 5 = y - 6 - 3. Apskaičiuokite kampą tarp šių linijų.

Sprendimas

Savo sąlygoje turime parametrinę lygtį, o tai reiškia, kad šiai tiesei galime iš karto užrašyti jos krypties vektoriaus koordinates. Norėdami tai padaryti, turime paimti parametro koeficientų reikšmes, t.y. tiesė x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R turės krypties vektorių a → = (4, 1).

Antroji eilutė aprašoma naudojant kanoninę lygtį x 5 = y - 6 - 3. Čia galime paimti koordinates iš vardiklių. Taigi ši tiesė turi krypties vektorių b → = (5, - 3) .

Tada pereiname tiesiai prie kampo nustatymo. Norėdami tai padaryti, tiesiog pakeiskite esamas dviejų vektorių koordinates aukščiau pateikta formule α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Gauname šiuos dalykus:

α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Atsakymas: Šios tiesios linijos sudaro 45 laipsnių kampą.

Panašią problemą galime išspręsti radę kampą tarp normaliųjų vektorių. Jei turime tiesę a su normaliuoju vektoriumi n a → = (n a x , n a y) ir tiesę b su normaliuoju vektoriumi n b → = (n b x , n b y), tai kampas tarp jų bus lygus kampui tarp n a → ir n b → arba kampas, kuris bus greta n a → , n b → ^ . Šis metodas parodytas paveikslėlyje:

Kampo tarp susikertančių tiesių ir paties šio kampo kosinuso apskaičiavimo formulės naudojant normaliųjų vektorių koordinates atrodo taip:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n a x b 2 y 2

Čia n a → ir n b → žymi dviejų duotųjų tiesių normaliuosius vektorius.

2 pavyzdys

Stačiakampėje koordinačių sistemoje dvi tiesės pateikiamos naudojant lygtis 3 x + 5 y - 30 = 0 ir x + 4 y - 17 = 0. Raskite kampo tarp jų sinusus ir kosinusus bei paties šio kampo dydį.

Sprendimas

Pradinės linijos nurodomos naudojant normalias A x + B y + C = 0 formos linijų lygtis. Normalųjį vektorių žymime kaip n → = (A, B). Raskime vienos eilutės pirmojo normaliojo vektoriaus koordinates ir jas užrašykime: n a → = (3, 5) . Antroje eilutėje x + 4 y - 17 = 0 normalusis vektorius turės koordinates n b → = (1, 4). Dabar gautas vertes pridėkime prie formulės ir apskaičiuokime bendrą sumą:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Jei žinome kampo kosinusą, tada jo sinusą galime apskaičiuoti naudodami pagrindinį trigonometrinė tapatybė. Kadangi tiesių sudarytas kampas α nėra bukas, tai sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

Šiuo atveju α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Atsakymas: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Išanalizuokime paskutinį atvejį – kampo tarp tiesių radimą, jei žinome vienos tiesės krypties vektoriaus ir kitos normalaus vektoriaus koordinates.

Tarkime, kad tiesė a turi krypties vektorių a → = (a x , a y) , o tiesė b turi normalųjį vektorių n b → = (n b x , n b y) . Turime atidėti šiuos vektorius nuo susikirtimo taško ir apsvarstyti visas jų santykinės padėties parinktis. Žiūrėkite paveikslėlyje:

Jei kampas tarp nurodytų vektorių yra ne didesnis kaip 90 laipsnių, paaiškėja, kad jis papildys kampą tarp a ir b stačiu kampu.

a → , n b → ^ = 90 ° - α , jei a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Jei jis yra mažesnis nei 90 laipsnių, gauname:

a → , n b → ^ > 90 ° , tada a → , n b → ^ = 90 ° + α

Naudodamiesi lygių kampų kosinusų lygybės taisykle, rašome:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α, kai a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α , kai a → , n b → ^ > 90 ° .

Taigi,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Suformuluosime išvadą.

4 apibrėžimas

Norėdami rasti kampo tarp dviejų tiesių, susikertančių plokštumoje, sinusą, turite apskaičiuoti kampo tarp pirmosios linijos krypties vektoriaus ir antrosios normalaus vektoriaus kosinuso modulį.

Užsirašykime reikiamas formules. Kampo sinuso radimas:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Paties kampo radimas:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Čia a → yra pirmosios eilutės krypties vektorius, o n b → yra antrosios eilutės normalusis vektorius.

3 pavyzdys

Dvi susikertančios tiesės pateiktos lygtimis x - 5 = y - 6 3 ir x + 4 y - 17 = 0. Raskite susikirtimo kampą.

Sprendimas

Iš pateiktų lygčių paimame orientacinio ir normaliojo vektoriaus koordinates. Pasirodo, a → = (- 5, 3) ir n → b = (1, 4). Imame formulę α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 ir apskaičiuojame:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Atkreipkite dėmesį, kad lygtis paėmėme iš ankstesnio uždavinio ir gavome lygiai tą patį rezultatą, bet skirtingai.

Atsakymas:α = a r c sin 7 2 34

Pateiksime kitą būdą, kaip rasti norimą kampą, naudojant duotųjų tiesių kampinius koeficientus.

Turime tiesę a, kuri yra apibrėžta stačiakampėje koordinačių sistemoje, naudojant lygtį y = k 1 x + b 1, ir tiesę b, apibrėžtą kaip y = k 2 x + b 2. Tai tiesių linijų su nuolydžiais lygtys. Norėdami rasti susikirtimo kampą, naudojame formulę:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, kur k 1 ir k 2 yra kampo koeficientai pateiktos tiesios linijos. Šiam įrašui gauti buvo naudojamos kampo nustatymo per normaliųjų vektorių koordinates formulės.

4 pavyzdys

Plokštumoje yra dvi susikertančios tiesės, pateiktos lygtimis y = - 3 5 x + 6 ir y = - 1 4 x + 17 4. Apskaičiuokite susikirtimo kampo reikšmę.

Sprendimas

Mūsų linijų kampiniai koeficientai lygūs k 1 = - 3 5 ir k 2 = - 1 4. Sudėkime juos į formulę α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ir apskaičiuokime:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Atsakymas:α = a r c cos 23 2 34

Šios pastraipos išvadose reikia pažymėti, kad čia pateiktų kampo nustatymo formulių nereikia mokytis mintinai. Tam pakanka žinoti nurodytų tiesių kreiptuvų ir (arba) normaliųjų vektorių koordinates ir mokėti jas nustatyti pagal skirtingi tipai lygtys. Bet geriau atsiminti arba užsirašyti kampo kosinuso skaičiavimo formules.

Kaip apskaičiuoti kampą tarp susikertančių tiesių erdvėje

Tokio kampo apskaičiavimas gali būti sumažintas iki krypties vektorių koordinačių apskaičiavimo ir kampo, kurį sudaro šie vektoriai, dydžio nustatymo. Tokiems pavyzdžiams naudojamas tas pats samprotavimas, kurį pateikėme anksčiau.

Tarkime, kad turime stačiakampę koordinačių sistemą, esančią trimatėje erdvėje. Jį sudaro dvi tiesės a ir b su susikirtimo tašku M. Norėdami apskaičiuoti krypties vektorių koordinates, turime žinoti šių linijų lygtis. Pažymime krypties vektorius a → = (a x , a y , a z) ir b → = (b x , b y , b z) . Norėdami apskaičiuoti kampo tarp jų kosinusą, naudojame formulę:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Norėdami rasti patį kampą, mums reikia šios formulės:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

5 pavyzdys

Turime tiesę, apibrėžtą trimatėje erdvėje, naudojant lygtį x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Yra žinoma, kad jis susikerta su O z ašimi. Apskaičiuokite kirtimo kampą ir to kampo kosinusą.

Sprendimas

Kampą, kurį reikia apskaičiuoti, pažymėkime raide α. Užrašykime pirmosios tiesės krypties vektoriaus koordinates – a → = (1, - 3, - 2) . Taikomajai ašiai kaip orientyrą galime paimti koordinačių vektorių k → = (0, 0, 1). Gavome reikiamus duomenis ir galime pridėti prie norimos formulės:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Dėl to mes nustatėme, kad kampas, kurio mums reikia, bus lygus a r c cos 1 2 = 45 °.

Atsakymas: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Kiekvienam mokiniui, besiruošiančiam vieningam valstybiniam matematikos egzaminui, pravers pakartoti temą „Kampo tarp tiesių radimas“. Kaip rodo statistika, išlaikant sertifikavimo testą, užduotys šioje stereometrijos dalyje sukelia sunkumų didelis kiekis studentai. Tuo pačiu metu užduotys, kurioms reikia rasti kampą tarp tiesių, yra vieningame valstybiniame egzamine tiek pagrindiniame, tiek specializuotame lygyje. Tai reiškia, kad kiekvienas turėtų sugebėti jas išspręsti.

Pagrindinės akimirkos

Yra 4 santykinių linijų padėties erdvėje tipai. Jos gali sutapti, susikirsti, būti lygiagrečios arba susikertančios. Kampas tarp jų gali būti ūmus arba tiesus.

Norėdami rasti kampą tarp linijų vieningame valstybiniame egzamine arba, pavyzdžiui, sprendžiant, Maskvos ir kitų miestų moksleiviai gali naudoti kelis šios stereometrijos skyriaus uždavinių sprendimo būdus. Galite atlikti užduotį naudodami klasikines konstrukcijas. Norėdami tai padaryti, verta išmokti pagrindines stereometrijos aksiomas ir teoremas. Studentas turi mokėti logiškai samprotauti ir kurti brėžinius, kad užduotį paverstų planimetrine problema.

Taip pat galite naudoti koordinačių vektoriaus metodą naudodami paprastas formules, taisykles ir algoritmus. Svarbiausia šiuo atveju yra teisingai atlikti visus skaičiavimus. Švietimo projektas „Shkolkovo“ padės patobulinti stereometrijos ir kitų mokyklos kurso dalių problemų sprendimo įgūdžius.