A. Pateikiamos dvi tiesės Šios tiesės, kaip nurodyta 1 skyriuje, sudaro įvairius teigiamus ir neigiamus kampus, kurie gali būti smailūs arba bukūs. Žinodami vieną iš šių kampų, galime lengvai rasti bet kurį kitą.

Beje, visiems šiems kampams liestinės skaitinė reikšmė yra vienoda, skirtumas gali būti tik ženkle

Tiesių lygtys. Skaičiai yra pirmosios ir antrosios tiesių krypties vektorių projekcijos.Kampas tarp šių vektorių lygus vienam iš tiesių suformuotų kampų. Todėl uždavinys yra nustatyti kampą tarp vektorių

Paprastumo dėlei galime sutikti, kad kampas tarp dviejų tiesių yra smailusis teigiamas kampas (kaip, pavyzdžiui, 53 pav.).

Tada šio kampo liestinė visada bus teigiama. Taigi, jei (1) formulės dešinėje yra minuso ženklas, turime jį atmesti, ty išsaugoti tik absoliučią reikšmę.

Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp tiesių

Pagal (1) formulę turime

Su. Jei nurodyta, kuri iš kampo kraštinių yra jo pradžia, o kuri pabaiga, tai visada skaičiuojant kampo kryptį prieš laikrodžio rodyklę, iš (1) formulės galime išgauti dar ką nors. Kaip nesunku matyti iš fig. 53, dešinėje (1) formulės pusėje gautas ženklas parodys, kokį kampą – smailų ar bukąjį – sudaro antroji tiesė su pirmąja.

(Iš tiesų, iš 53 pav. matome, kad kampas tarp pirmojo ir antrojo krypties vektorių yra arba lygus norimam kampui tarp tiesių, arba skiriasi nuo jo ±180°.)

d. Jei tiesės lygiagrečios, tai jų krypties vektoriai lygiagretūs Taikydami dviejų vektorių lygiagretumo sąlygą, gauname!

Tai būtina ir pakankama dviejų tiesių lygiagretumo sąlyga.

Pavyzdys. Tiesioginis

yra lygiagrečios, nes

e. Jei tiesės yra statmenos, tada jų krypties vektoriai taip pat yra statmeni. Taikydami dviejų vektorių statmenumo sąlygą, gauname dviejų tiesių statmenumo sąlygą, t.

Pavyzdys. Tiesioginis

yra statmenos dėl to, kad

Atsižvelgdami į lygiagretumo ir statmenumo sąlygas, išspręsime šiuos du uždavinius.

f. Nubrėžkite liniją per tašką, lygiagrečią nurodytai linijai

Sprendimas atliekamas taip. Kadangi norima tiesė yra lygiagreti šiai, tai jos krypties vektoriui galime paimti tą patį, kaip ir duotosios tiesės, t.y. vektorių su projekcijomis A ir B. Tada bus įrašyta norimos tiesės lygtis forma (§ 1)

Pavyzdys. Tiesės, einančios per tašką (1; 3), lygiagrečiai tiesei, lygtis

bus kitas!

g. Nubrėžkite liniją per tašką, statmeną nurodytai linijai

Čia nebetinka vektoriaus su projekcijomis A ir kaip kreipiamąjį vektorių, bet reikia imti statmeną jam vektorių. Todėl šio vektoriaus projekcijos turi būti parenkamos pagal abiejų vektorių statmenumo sąlygą, t.y. pagal sąlygą

Šią sąlygą galima įvykdyti daugybe būdų, nes čia yra viena lygtis su dviem nežinomaisiais, bet lengviausias būdas yra imti arba Tada norimos eilutės lygtis bus parašyta forma

Pavyzdys. Tiesės, einančios per tašką (-7; 2) statmenoje tiesėje, lygtis

bus taip (pagal antrą formulę)!

h. Tuo atveju, kai eilutės pateikiamos formos lygtimis

Kiekvienam mokiniui, besiruošiančiam vieningam valstybiniam matematikos egzaminui, pravers pakartoti temą „Kampo tarp tiesių radimas“. Kaip rodo statistika, išlaikant sertifikavimo testą, užduotys šioje stereometrijos dalyje sukelia sunkumų didelis kiekis studentai. Tuo pačiu metu užduotys, kurioms reikia rasti kampą tarp tiesių, yra vieningame valstybiniame egzamine tiek pagrindiniame, tiek specializuotame lygyje. Tai reiškia, kad kiekvienas turėtų sugebėti jas išspręsti.

Pagrindiniai momentai

Yra 4 santykinių linijų padėties erdvėje tipai. Jos gali sutapti, susikirsti, būti lygiagrečios arba susikertančios. Kampas tarp jų gali būti ūmus arba tiesus.

Norėdami rasti kampą tarp linijų vieningame valstybiniame egzamine arba, pavyzdžiui, sprendžiant, Maskvos ir kitų miestų moksleiviai gali naudoti kelis šios stereometrijos skyriaus uždavinių sprendimo būdus. Galite atlikti užduotį naudodami klasikines konstrukcijas. Norėdami tai padaryti, verta išmokti pagrindines stereometrijos aksiomas ir teoremas. Studentas turi mokėti logiškai samprotauti ir kurti brėžinius, kad užduotį paverstų planimetrine problema.

Taip pat galite naudoti koordinačių vektoriaus metodą naudodami paprastas formules, taisykles ir algoritmus. Svarbiausia šiuo atveju yra teisingai atlikti visus skaičiavimus. Švietimo projektas „Shkolkovo“ padės patobulinti stereometrijos ir kitų mokyklos kurso dalių problemų sprendimo įgūdžius.

Oi-oi-oi... na, sunku, lyg sau sakinį skaitytų =) Tačiau vėliau padės atsipalaidavimas, juolab kad šiandien nusipirkau atitinkamus aksesuarus. Todėl pereikime prie pirmosios dalies, tikiuosi, kad iki straipsnio pabaigos išlaikysiu linksmą nuotaiką.

Santykinė dviejų tiesių padėtis

Taip būna, kai publika dainuoja kartu choru. Dvi tiesios linijos gali:

1) rungtynės;

2) būti lygiagrečiai: ;

3) arba susikerta viename taške: .

Pagalba manekenams : prašau prisiminti matematinis ženklas sankryžose, tai įvyks labai dažnai. Žymėjimas reiškia, kad tiesė kertasi su linija taške .

Kaip nustatyti santykinę dviejų linijų padėtį?

Pradėkime nuo pirmojo atvejo:

Dvi tiesės sutampa tada ir tik tada, kai jų atitinkami koeficientai yra proporcingi, tai yra, yra skaičius „lambda“, kad lygybės būtų patenkintos

Panagrinėkime tiesias linijas ir iš atitinkamų koeficientų sukurkime tris lygtis: . Iš kiekvienos lygties išplaukia, kad šios linijos sutampa.

Iš tiesų, jei visi lygties koeficientai padauginkite iš –1 (pokyčio ženklai), ir visus lygties koeficientus supjaustę 2, gausite tą pačią lygtį: .

Antrasis atvejis, kai linijos lygiagrečios:

Dvi tiesės yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų kintamųjų koeficientai yra proporcingi: , Bet.

Kaip pavyzdį apsvarstykite dvi tiesias linijas. Mes patikriname atitinkamų kintamųjų koeficientų proporcingumą:

Tačiau visiškai akivaizdu, kad.

Ir trečias atvejis, kai linijos susikerta:

Dvi tiesės susikerta tada ir tik tada, kai jų kintamųjų koeficientai NĖRA proporcingi, tai yra, NĖRA tokios „lambda“ reikšmės, kad būtų tenkinamos lygybės

Taigi tiesioms linijoms sukursime sistemą:

Iš pirmosios lygties išplaukia, kad , o iš antrosios lygties: , tai reiškia sistema nenuosekli(sprendimų nėra). Taigi kintamųjų koeficientai nėra proporcingi.

Išvada: linijos susikerta

IN praktines problemas galite naudoti ką tik aptartą sprendimo schemą. Beje, tai labai primena vektorių kolineariškumo tikrinimo algoritmą, kurį žiūrėjome klasėje Vektorių tiesinės (ne)priklausomybės samprata. Vektorių pagrindas. Tačiau yra labiau civilizuota pakuotė:

1 pavyzdys

Sužinokite santykinę linijų padėtį:

Sprendimas remiantis tiesių linijų nukreipimo vektorių tyrimu:

a) Iš lygčių randame tiesių krypties vektorius: .

, o tai reiškia, kad vektoriai nėra kolinearūs ir linijos susikerta.

Tik tuo atveju, aš pastatysiu akmenį su ženklais sankryžoje:

Likusieji šokinėja per akmenį ir seka toliau, tiesiai į Kaščejų Nemirtingąjį =)

b) Raskite tiesių krypties vektorius:

Linijos turi tą patį krypties vektorių, o tai reiškia, kad jos yra lygiagrečios arba sutampa. Determinanto čia skaičiuoti nereikia.

Akivaizdu, kad nežinomųjų koeficientai yra proporcingi ir .

Išsiaiškinkime, ar lygybė yra tiesa:

Taigi,

c) Raskite tiesių krypties vektorius:

Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš šių vektorių koordinačių:
, todėl krypties vektoriai yra kolineariniai. Linijos yra lygiagrečios arba sutampa.

Proporcingumo koeficientą „lambda“ lengva pamatyti tiesiai iš kolinearinių krypties vektorių santykio. Tačiau jį taip pat galima rasti pagal pačių lygčių koeficientus: .

Dabar išsiaiškinkime, ar lygybė yra tiesa. Abi nemokamos sąlygos yra nulinės, todėl:

Gauta reikšmė tenkina šią lygtį (apskritai bet koks skaičius ją tenkina).

Taigi, linijos sutampa.

Atsakymas:

Labai greitai išmoksite (ar net jau išmokote) išspręsti žodžiu aptartą problemą pažodžiui per kelias sekundes. Šiuo atžvilgiu nematau prasmės ką nors siūlyti savarankiškam sprendimui, geriau į geometrinį pamatą pakloti kitą svarbią plytą:

Kaip sukurti tiesę, lygiagrečią duotai?

Už šios paprasčiausios užduoties nežinojimą Lakštingala Plėšikas griežtai nubaudžia.

2 pavyzdys

Tiesi linija nurodoma lygtimi. Parašykite lygiagrečios tiesės, einančios per tašką, lygtį.

Sprendimas: Pažymėkime nežinomą eilutę raide . Ką apie ją sako būklė? Tiesi linija eina per tašką. O jei tiesės lygiagrečios, tai akivaizdu, kad tiesės krypties vektorius „tse“ tinka ir tiesei „de“ statyti.

Iš lygties išimame krypties vektorių:

Atsakymas:

Geometrijos pavyzdys atrodo paprastas:

Analitinis bandymas susideda iš šių etapų:

1) Patikriname, ar tiesės turi vienodą krypties vektorių (jei tiesės lygtis nėra tinkamai supaprastinta, vektoriai bus kolineariniai).

2) Patikrinkite, ar taškas tenkina gautą lygtį.

Daugeliu atvejų analitinį testavimą galima nesunkiai atlikti žodžiu. Pažvelkite į dvi lygtis ir daugelis iš jūsų greitai nustatys linijų lygiagretumą be jokio piešinio.

Nepriklausomų sprendimų pavyzdžiai šiandien bus kūrybingi. Nes dar teks konkuruoti su Baba Yaga, o ji, žinai, yra įvairiausių mįslių mėgėja.

3 pavyzdys

Parašykite tiesės, einančios per tašką, lygiagrečią tiesei, lygtį

Yra racionalus ir ne toks racionalus būdas tai išspręsti. Dauguma trumpesnis kelias- pamokos pabaigoje.

Šiek tiek dirbome su lygiagrečiomis linijomis ir prie jų grįšime vėliau. Sutampančių linijų atvejis mažai domina, todėl panagrinėkime jums pažįstamą problemą mokyklos mokymo programa:

Kaip rasti dviejų linijų susikirtimo tašką?

Jei tiesiai susikerta taške , tada jo koordinatės yra sprendimas tiesinių lygčių sistemos

Kaip rasti linijų susikirtimo tašką? Išspręskite sistemą.

Štai jums geometrine prasme sistemos iš dviejų tiesines lygtis su dviem nežinomaisiais- tai dvi susikertančios (dažniausiai) linijos plokštumoje.

4 pavyzdys

Raskite tiesių susikirtimo tašką

Sprendimas: Yra du sprendimo būdai – grafinis ir analitinis.

Grafinis metodas yra tiesiog nubrėžti nurodytas linijas ir sužinoti susikirtimo tašką tiesiai iš brėžinio:

Štai mūsų mintis: . Norėdami patikrinti, turėtumėte pakeisti jos koordinates į kiekvieną linijos lygtį, jos turėtų tilpti ir ten, ir ten. Kitaip tariant, taško koordinatės yra sistemos sprendimas. Iš esmės mes žiūrėjome į grafinį sprendimą tiesinių lygčių sistemos su dviem lygtimis, dviem nežinomaisiais.

Grafinis metodas, žinoma, nėra blogas, tačiau yra pastebimų trūkumų. Ne, esmė ne ta, kad taip nusprendžia septintokai, esmė ta, kad prireiks laiko sukurti teisingą ir TIKSLIĄ piešinį. Be to, kai kurias tieses nėra taip paprasta nutiesti, o pats susikirtimo taškas gali būti kažkur trisdešimtoje karalystėje už užrašų knygelės lapo.

Todėl tikslingiau ieškoti susikirtimo taško analitinis metodas. Išspręskime sistemą:

Sistemai išspręsti taikytas lygčių terminų sudėjimo metodas. Norėdami lavinti atitinkamus įgūdžius, eikite į pamoką Kaip išspręsti lygčių sistemą?

Atsakymas:

Patikrinimas yra trivialus – susikirtimo taško koordinatės turi tenkinti kiekvieną sistemos lygtį.

5 pavyzdys

Raskite tiesių susikirtimo tašką, jei jos susikerta.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Patogu užduotį skaidyti į kelis etapus. Būklės analizė rodo, kad būtina:
1) Užrašykite tiesės lygtį.
2) Užrašykite tiesės lygtį.
3) Išsiaiškinkite santykinę linijų padėtį.
4) Jei linijos susikerta, raskite susikirtimo tašką.

Veiksmų algoritmo kūrimas būdingas daugeliui geometrinių uždavinių, ir aš ne kartą sutelksiu dėmesį į tai.

Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje:

Net pora batų nebuvo nusidėvėję, kol patekome į antrąją pamokos dalį:

Statmenos linijos. Atstumas nuo taško iki linijos.
Kampas tarp tiesių linijų

Pradėkime nuo tipiškos ir labai svarbios užduoties. Pirmoje dalyje išmokome nutiesti tiesią liniją, lygiagrečią šiai, o dabar namelis ant vištienos kojų pasisuks 90 laipsnių:

Kaip sukurti tiesę, statmeną duotai?

6 pavyzdys

Tiesi linija nurodoma lygtimi. Parašykite lygtį, statmeną tiesei, einančia per tašką.

Sprendimas: Pagal sąlygą žinoma, kad . Būtų malonu rasti linijos nukreipimo vektorių. Kadangi linijos yra statmenos, gudrybė paprasta:

Iš lygties „pašaliname“ normalųjį vektorių: , kuris bus tiesės krypties vektorius.

Sudarykime tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių:

Atsakymas:

Išplėskime geometrinį eskizą:

Hmm... Oranžinis dangus, oranžinė jūra, oranžinis kupranugaris.

Analitinis tirpalo patikrinimas:

1) Iš lygčių išimame krypties vektorius ir su pagalba vektorių skaliarinė sandauga darome išvadą, kad tiesės iš tiesų yra statmenos: .

Beje, galite naudoti įprastus vektorius, tai dar lengviau.

2) Patikrinkite, ar taškas tenkina gautą lygtį .

Testą, vėlgi, lengva atlikti žodžiu.

7 pavyzdys

Raskite statmenų tiesių susikirtimo tašką, jei lygtis žinoma ir laikotarpis.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Uždavinyje yra keli veiksmai, todėl sprendimą patogu formuluoti taškas po taško.

Mūsų įdomi kelionė tęsiasi:

Atstumas nuo taško iki linijos

Prieš mus yra tiesi upės juosta ir mūsų užduotis yra iki jos patekti trumpiausiu keliu. Kliūčių nėra, o optimaliausias maršrutas bus judėti statmenai. Tai reiškia, kad atstumas nuo taško iki linijos yra statmenos atkarpos ilgis.

Atstumas geometrijoje tradiciškai žymimas graikiška raide „rho“, pavyzdžiui: – atstumas nuo taško „em“ iki tiesės „de“.

Atstumas nuo taško iki linijos išreikšta formule

8 pavyzdys

Raskite atstumą nuo taško iki linijos

Sprendimas: viskas, ką jums reikia padaryti, tai atsargiai pakeisti skaičius į formulę ir atlikti skaičiavimus:

Atsakymas:

Padarykime piešinį:

Rastas atstumas nuo taško iki linijos yra tiksliai raudonos atkarpos ilgis. Jei piešiate piešinį ant languoto popieriaus 1 vieneto masteliu. = 1 cm (2 langeliai), tada atstumą galima išmatuoti įprasta liniuote.

Apsvarstykime kitą užduotį, pagrįstą tuo pačiu piešiniu:

Užduotis – rasti taško, kuris yra simetriškas taškui tiesės atžvilgiu, koordinates . Siūlau veiksmus atlikti pačiam, bet pateiksiu sprendimo algoritmą su tarpiniais rezultatais:

1) Raskite tiesę, kuri yra statmena tiesei.

2) Raskite linijų susikirtimo tašką: .

Abu veiksmai išsamiai aptariami šioje pamokoje.

3) Taškas yra atkarpos vidurio taškas. Žinome vidurio ir vieno galo koordinates. Autorius atkarpos vidurio taško koordinačių formulės mes randame .

Būtų gerai patikrinti, ar atstumas taip pat yra 2,2 vnt.

Skaičiuojant čia gali kilti sunkumų, tačiau bokšte puikiai padeda mikroskaičiuotuvas, leidžiantis skaičiuoti bendrosios trupmenos. Jau daug kartų jums patariau ir rekomenduosiu dar ne kartą.

Kaip rasti atstumą tarp dviejų lygiagrečių linijų?

9 pavyzdys

Raskite atstumą tarp dviejų lygiagrečių tiesių

Tai dar vienas pavyzdys, kurį galite nuspręsti patys. Duosiu jums nedidelę užuominą: yra be galo daug būdų tai išspręsti. Aptarimas pamokos pabaigoje, bet geriau pabandyti atspėti patiems, manau, kad tavo išradingumas buvo gerai išvystytas.

Kampas tarp dviejų tiesių linijų

Kiekvienas kampas yra stakta:


Geometrijoje kampas tarp dviejų tiesių laikomas MAŽESNIU kampu, iš kurio automatiškai išplaukia, kad jis negali būti bukas. Paveiksle raudonu lanku nurodytas kampas nelaikomas kampu tarp susikertančių linijų. Ir jo „žaliasis“ kaimynas arba priešingos krypties"aviečių" kampelis.

Jei linijos yra statmenos, bet kuris iš 4 kampų gali būti laikomas kampu tarp jų.

Kuo skiriasi kampai? Orientacija. Pirma, iš esmės svarbi kryptis, kuria kampas yra „slenkamas“. Antra, neigiamai orientuotas kampas rašomas minuso ženklu, pavyzdžiui, jei .

Kodėl aš tau tai sakiau? Atrodo, kad galime apsieiti su įprasta kampo koncepcija. Faktas yra tas, kad formulės, pagal kurias rasime kampus, gali lengvai sukelti neigiamą rezultatą, ir tai neturėtų jūsų nustebinti. Kampas su minuso ženklu nėra blogesnis ir turi labai specifinę geometrinę reikšmę. Brėžinyje, norėdami pamatyti neigiamą kampą, būtinai nurodykite jo orientaciją rodykle (pagal laikrodžio rodyklę).

Kaip rasti kampą tarp dviejų tiesių? Yra dvi darbo formulės:

10 pavyzdys

Raskite kampą tarp eilučių

Sprendimas Ir Pirmasis metodas

Apsvarstykite dvi tieses, pateiktas lygčių in bendras vaizdas:

Jei tiesiai ne statmenai, Tai orientuotas Kampą tarp jų galima apskaičiuoti pagal formulę:

Atkreipkime dėmesį į vardiklį – būtent taip skaliarinis produktas tiesių linijų nukreipimo vektoriai:

Jei , tada formulės vardiklis tampa lygus nuliui, o vektoriai bus stačiakampiai, o linijos – statmenos. Štai kodėl formuluotėje buvo padaryta išlyga dėl tiesių linijų nestatumo.

Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, patogu sprendimą formalizuoti dviem etapais:

1) Apskaičiuokime tiesių krypties vektorių skaliarinę sandaugą:
, o tai reiškia, kad linijos nėra statmenos.

2) Raskite kampą tarp tiesių naudodami formulę:

Naudojant atvirkštinė funkcija Lengva rasti patį kampą. Šiuo atveju naudojame arctangento nelygumą (žr. Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės):

Atsakymas:

Atsakyme nurodome tiksli vertė, taip pat apytikslę reikšmę (geriausia ir laipsniais, ir radianais), apskaičiuotą naudojant skaičiuotuvą.

Na, minusas, minusas, nieko tokio. Čia yra geometrinė iliustracija:

Nenuostabu, kad kampas pasirodė neigiamos orientacijos, nes uždavinio teiginyje pirmasis skaičius yra tiesi linija ir kampo „atsukimas“ prasidėjo būtent nuo jo.

Jei tikrai norite gauti teigiamą kampą, turite sukeisti eilutes, tai yra, paimti koeficientus iš antrosios lygties , ir paimkite koeficientus iš pirmosios lygties. Trumpai tariant, reikia pradėti nuo tiesioginio .

Apibrėžimas. Jei dvi eilutės pateiktos y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada aštrus kampas tarp šių tiesių bus apibrėžta kaip

Dvi tiesės yra lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi tiesės yra statmenos, jei k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Tiesės Ax + Bу + C = 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai A 1 = λA, B 1 = λB yra proporcingi. Jei taip pat C 1 = λC, tai tiesės sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Einančios tiesės lygtis šį tašką

Statmena nurodytai tiesei

Apibrėžimas. Tiesi linija, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmena tiesei y = kx + b, pavaizduota lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos

Teorema. Jei duotas taškas M(x 0, y 0), tai atstumas iki tiesės Ax + Bу + C = 0 nustatomas kaip

.

Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1) yra statmens, nuleistos iš taško M į nurodytą tiesę, pagrindas. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:

(1)

Koordinates x 1 ir y 1 galima rasti išsprendus lygčių sistemą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios pro ją, lygtis duotas taškas M 0 yra statmena nurodytai tiesei. Jei transformuosime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Iš 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.

Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp tiesių: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Pavyzdys. Parodykite, kad tiesės 3x – 5y + 7 = 0 ir 10x + 6y – 3 = 0 yra statmenos.

Sprendimas. Randame: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, vadinasi, tiesės yra statmenos.

Pavyzdys. Duotos trikampio A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) viršūnės. Raskite aukščio lygtį, nubrėžtą iš viršūnės C.

Sprendimas. Randame kraštinės AB lygtį: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Reikalinga aukščio lygtis yra tokia: Ax + By + C = 0 arba y = kx + b. k = . Tada y = . Nes aukštis eina per tašką C, tada jo koordinatės tenkina šią lygtį: iš kur b = 17. Iš viso: .

Atsakymas: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką tam tikra kryptimi, lygtis. Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis. Kampas tarp dviejų tiesių. Dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlyga. Dviejų tiesių susikirtimo taško nustatymas

1. Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis A(x 1 , y 1) tam tikra kryptimi, nulemta nuolydžio k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ši lygtis apibrėžia linijų, einančių per tašką, pieštuką A(x 1 , y 1), kuris vadinamas spindulio centru.

2. Tiesės, einančios per du taškus, lygtis: A(x 1 , y 1) ir B(x 2 , y 2), parašyta taip:

Tiesės, einančios per du duotus taškus, kampinis koeficientas nustatomas pagal formulę

3. Kampas tarp tiesių linijų A Ir B yra kampas, kuriuo turi būti pasukta pirmoji tiesi linija A aplink šių linijų susikirtimo tašką prieš laikrodžio rodyklę, kol jis sutampa su antrąja linija B. Jei dvi tiesės pateiktos lygtimis su nuolydžiu

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

tada kampas tarp jų nustatomas pagal formulę

Pažymėtina, kad trupmenos skaitiklyje pirmosios eilutės nuolydis atimamas iš antrosios eilutės nuolydžio.

Jei tiesės lygtys pateiktos bendra forma

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

kampas tarp jų nustatomas pagal formulę

4. Dviejų linijų lygiagretumo sąlygos:

a) Jei tiesės pateiktos lygtimis (4) su kampiniu koeficientu, tai būtina ir pakankama jų lygiagretumo sąlyga yra jų kampinių koeficientų lygybė:

k 1 = k 2 . (8)

b) Tuo atveju, kai tiesės pateiktos bendrosios formos (6) lygtimis, būtina ir pakankama jų lygiagretumo sąlyga yra ta, kad koeficientai atitinkamoms srovės koordinatėms jų lygtyse būtų proporcingi, t.y.

5. Dviejų tiesių statmenumo sąlygos:

a) Tuo atveju, kai tiesės pateiktos lygtimis (4) su kampiniu koeficientu, būtina ir pakankama jų statmenumo sąlyga yra ta, kad jos šlaitai yra atvirkštiniai pagal dydį ir priešingi pagal ženklą, t.y.

Šią sąlygą taip pat galima įrašyti formoje

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Jei tiesių lygtys pateiktos bendrąja forma (6), tai jų statmenumo sąlyga (būtina ir pakankama) yra tenkinti lygybę

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos sprendžiant (6) lygčių sistemą. Linijos (6) susikerta tada ir tik tada

1. Parašykite lygtis tiesių, einančių per tašką M, kurių viena lygiagreti, o kita statmena duotai tiesei l.

Instrukcijos

pastaba

Laikotarpis trigonometrinė funkcija Liestinė yra lygi 180 laipsnių, o tai reiškia, kad tiesių linijų nuolydžio kampai absoliučia verte negali viršyti šios vertės.

Naudingas patarimas

Jei kampiniai koeficientai yra lygūs vienas kitam, tada kampas tarp tokių tiesių yra 0, nes tokios tiesės arba sutampa, arba yra lygiagrečios.

Norint nustatyti kampo tarp susikertančių tiesių reikšmę, būtina abi tieses (arba vieną iš jų) perkelti į naują padėtį, naudojant lygiagrečiojo vertimo metodą, kol jos susikerta. Po to turėtumėte rasti kampą tarp susikertančių linijų.

Jums reikės

• Valdovas, taisyklingas trikampis, pieštukas, transporteris.

Instrukcijos

Taigi, vektorius V = (a, b, c) ir plokštuma A x + B y + C z = 0, kur A, B ir C yra normaliosios N koordinatės. Tada kampo kosinusas α tarp vektorių V ir N yra lygus: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Norint apskaičiuoti kampą laipsniais arba radianais, iš gautos išraiškos reikia apskaičiuoti atvirkštinę kosinuso funkciją, t.y. arkosinas:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Pavyzdys: rasti kampas tarp vektorius(5, -3, 8) ir lėktuvas, duota bendroji lygtis 2 x – 5 y + 3 z = 0. Sprendimas: užrašykite plokštumos N = (2, -5, 3) normaliojo vektoriaus koordinates. Pakeiskite viską žinomos vertėsį pateiktą formulę: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video tema

Tiesi linija, kurios apskritimas yra toks pat kaip bendras taškas, yra apskritimo liestinė. Kita liestinės ypatybė yra ta, kad ji visada yra statmena spinduliui, nubrėžtam į sąlyčio tašką, tai yra, liestinė ir spindulys sudaro tiesią liniją kampas. Jei iš vieno taško A nubrėžiamos dvi apskritimo AB ir AC liestinės, tai jos visada yra lygios viena kitai. Kampo tarp liestinių nustatymas ( kampas ABC) yra padaryta naudojant Pitagoro teoremą.

Instrukcijos

Norint nustatyti kampą, reikia žinoti apskritimo spindulį OB ir OS bei liestinės pradžios taško atstumą nuo apskritimo centro - O. Taigi, kampai ABO ir ACO yra lygūs, spindulys OB yra, pavyzdžiui, 10 cm, o atstumas iki apskritimo centro AO yra 15 cm. Liestinės ilgį nustatykite pagal formulę pagal Pitagoro teoremą: AB = Kvadratinė šaknis nuo AO2 – OB2 arba 152 – 102 = 225 – 100 = 125;