Sinusas aštrus kampas Stačiojo trikampio α yra santykis priešingas koja iki hipotenuzės.
Jis žymimas taip: sin α.
Kosinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas α yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.
Jis žymimas taip: cos α.
Tangentas smailusis kampas α yra priešingos pusės ir gretimos pusės santykis.
Jis žymimas taip: tg α.
Kotangentas smailusis kampas α yra gretimos ir priešingos pusės santykis.
Jis žymimas taip: ctg α.
Kampo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas priklauso tik nuo kampo dydžio.
Taisyklės:
Pagrindinės trigonometrinės tapatybės stačiakampiame trikampyje:
(α – smailus kampas, priešingas kojai b ir greta kojos a . Šoninė Su – hipotenuzė. β – antrasis smailusis kampas).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
sin α |
Didėjant smailiam kampuisin α irįdegio α padidėjimas, ircos α mažėja.
Bet kuriam smailiam kampui α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Pavyzdys-paaiškinimas:
Įtraukite stačiakampį trikampį ABC
AB = 6,
BC = 3,
kampas A = 30º.
Išsiaiškinkime kampo A sinusą ir kampo B kosinusą.
Sprendimas.
1) Pirmiausia randame kampo B reikšmę. Čia viskas paprasta: kadangi stačiakampio trikampio smailiųjų kampų suma yra 90º, tada kampas B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Apskaičiuokime nuodėmę A. Žinome, kad sinusas lygus priešingos pusės ir hipotenuzės santykiui. Kampui A priešinga pusė yra kraštinė BC. Taigi:
BC 31
sin A = -- = - = -
AB 6 2
3) Dabar apskaičiuokime cos B. Žinome, kad kosinusas yra lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui. Kampui B gretima kojelė yra ta pati pusė BC. Tai reiškia, kad vėl turime padalyti BC iš AB - tai yra, atlikti tuos pačius veiksmus, kaip ir skaičiuojant kampo A sinusą:
BC 31
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Rezultatas yra:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Iš to išplaukia, kad stačiakampiame trikampyje vieno smailiojo kampo sinusas yra lygus kosinusui kitas smailus kampas – ir atvirkščiai. Būtent tai reiškia mūsų dvi formulės:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Dar kartą tuo įsitikinkime:
1) Tegul α = 60º. Pakeitę α reikšmę į sinuso formulę, gauname:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Tegul α = 30º. Pakeitę α reikšmę kosinuso formulėje, gauname:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(Daugiau informacijos apie trigonometriją rasite skyriuje Algebra)
Kai buvo svarstomos stačiojo trikampio sprendimo problemos, pažadėjau pateikti sinuso ir kosinuso apibrėžimų įsiminimo techniką. Naudodamiesi juo, visada greitai prisiminsite, kuri pusė priklauso hipotenuzei (greta ar priešinga). Nusprendžiau ilgai neatidėlioti, reikiama medžiaga žemiau, paskaitykite 😉
Faktas yra tas, kad aš ne kartą pastebėjau, kaip 10–11 klasių mokiniams sunku prisiminti šiuos apibrėžimus. Jie labai gerai prisimena, kad koja nurodo hipotenuzą, bet kurią- jie pamiršta ir sutrikęs. Klaidos kaina, kaip žinote per egzaminą, yra prarastas taškas.
Informacija, kurią pateiksiu tiesiogiai, neturi nieko bendra su matematika. Ji yra susijusi su vaizduotės mąstymas, ir verbalinės-loginės komunikacijos metodais. Kaip tik taip ir prisimenu, kartą ir visiems laikamsapibrėžimo duomenis. Jei pamiršite juos, visada galėsite lengvai juos prisiminti naudodami pateiktus metodus.
Leiskite man priminti sinuso ir kosinuso apibrėžimus stačiakampiame trikampyje:
Kosinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:
Sinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis:
Taigi, kokios asociacijos jums kyla su žodžiu kosinusas?
Turbūt kiekvienas turi savo 😉Prisiminkite nuorodą:
Taigi išraiška iškart atsiras jūsų atmintyje -
«… GRĮTINĖS kojos ir hipotenuzės santykis».
Kosinuso nustatymo problema išspręsta.
Jei reikia atsiminti sinuso apibrėžimą stačiakampiame trikampyje, prisiminę kosinuso apibrėžimą, galite lengvai nustatyti, kad stačiakampio trikampio smailaus kampo sinusas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis. Juk yra tik dvi kojos, jei gretimą koją „užima“ kosinusas, tai sinusui lieka tik priešinga.
O tangentas ir kotangentas? Sumišimas tas pats. Mokiniai žino, kad tai yra kojų santykis, tačiau problema yra atsiminti, kuri iš jų nurodo – ar priešinga gretimai, ar atvirkščiai.
Apibrėžimai:
Tangentas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis:
Kotangentas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra gretimos kraštinės ir priešingos pusės santykis:
Kaip atsiminti? Yra du būdai. Vienas taip pat naudoja žodinį-loginį ryšį, kitas – matematinį.
MATEMATINIS METODAS
Yra toks apibrėžimas - smailaus kampo liestinė yra kampo sinuso ir jo kosinuso santykis:
*Išmokę formulę atmintinai, visada galite nustatyti, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis.
Taip pat.Smailiojo kampo kotangentas yra kampo kosinuso ir jo sinuso santykis:
Taigi! Prisimindami šias formules visada galite nustatyti, kad:
- stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos santykis
— stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentas yra gretimos kraštinės ir priešingos kraštinės santykis.
ŽODŽIO-LOGINIS METODAS
Apie tangentą. Prisiminkite nuorodą:
Tai yra, jei jums reikia prisiminti liestinės apibrėžimą, naudodami šį loginį ryšį, galite lengvai prisiminti, kas tai yra
„... priešingos pusės ir gretimos pusės santykis“
Jei mes kalbame apie kotangentą, tada prisimindami liestinės apibrėžimą galite lengvai išsakyti kotangento apibrėžimą -
„... gretimos pusės ir priešingos pusės santykis“
Svetainėje yra įdomus triukas, kaip prisiminti tangentą ir kotangentą " Matematinis tandemas " , žiūrėk.
UNIVERSALUS METODAS
Galite tiesiog įsiminti.Tačiau, kaip rodo praktika, žodinių-loginių ryšių dėka žmogus ilgą laiką atsimena informaciją, o ne tik matematinę.
Tikiuosi, kad medžiaga jums buvo naudinga.
Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas
P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.
Sinusas yra viena iš pagrindinių trigonometrinių funkcijų, kurios naudojimas neapsiriboja vien geometrija. Trigonometrinių funkcijų skaičiavimo lentelės, kaip ir inžineriniai skaičiuotuvai, ne visada yra po ranka, o sinuso skaičiavimas kartais reikalingas sprendžiant įvairias problemas. Apskritai sinuso apskaičiavimas padės įtvirtinti piešimo įgūdžius ir žinias apie trigonometrines tapatybes.
Žaidimai su liniuote ir pieštuku
Paprasta užduotis: kaip rasti ant popieriaus nupiešto kampo sinusą? Norėdami išspręsti, jums reikės įprastos liniuotės, trikampio (arba kompaso) ir pieštuko. Paprasčiausias būdas apskaičiuoti kampo sinusą yra padalijus tolimąją trikampio koją su stačiu kampu iš ilgosios kraštinės - hipotenuzos. Taigi, pirmiausia turite užbaigti smailųjį kampą iki stačiojo trikampio formos, nubrėždami liniją, statmeną vienam iš spindulių savavališku atstumu nuo kampo viršūnės. Mums reikės išlaikyti lygiai 90 ° kampą, tam mums reikia kanceliarinio trikampio.
Kompaso naudojimas yra šiek tiek tikslesnis, tačiau užtruks daugiau laiko. Viename iš spindulių reikia pažymėti 2 taškus tam tikru atstumu, nustatyti kompaso spindulį, maždaug lygų atstumui tarp taškų, ir nubrėžti puslankius su centrais šiuose taškuose, kol bus gautos šių linijų sankirtos. Sujungę savo apskritimų susikirtimo taškus vienas su kitu, gauname griežtą statmeną savo kampo spinduliui; belieka pratęsti liniją, kol ji susikirs su kitu spinduliu.
Gautame trikampyje liniuote reikia išmatuoti kampui priešingą pusę ir ilgąją vieno iš spindulių kraštą. Pirmojo ir antrojo matmens santykis bus norima smailiojo kampo sinuso vertė.
Raskite sinusą didesniam nei 90° kampui
Buku kampu užduotis nėra daug sunkesnė. Reikia nubrėžti spindulį nuo viršūnės iki priešinga pusė liniuote suformuojant tiesią liniją su vienu iš mus dominančio kampo spindulių. Susidariusį smailų kampą reikia apdoroti taip, kaip aprašyta aukščiau, sinusais gretimų kampų, kartu sudaro 180° atvirkštinį kampą, yra lygūs.
Sinuso skaičiavimas naudojant kitas trigonometrines funkcijas
Taip pat apskaičiuoti sinusą galima, jei žinomos kitų kampo trigonometrinių funkcijų reikšmės arba bent trikampio kraštinių ilgiai. Trigonometrinės tapatybės mums tai padės. Pažvelkime į bendrus pavyzdžius.
Kaip rasti sinusą su žinomu kampo kosinusu? Pirmoji trigonometrinė tapatybė, pagrįsta Pitagoro teorema, teigia, kad to paties kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra lygi vienetui.
Kaip rasti sinusą su žinoma kampo liestinė? Liestinė gaunama dalijant tolimąją pusę iš artimosios arba sinusą dalijant iš kosinuso. Taigi sinusas bus kosinuso ir liestinės sandauga, o sinuso kvadratas bus šios sandaugos kvadratas. Kvadratinį kosinusą pakeičiame skirtumu tarp vieno ir kvadratinio sinuso pagal pirmąjį trigonometrinė tapatybė ir paprastomis manipuliacijomis lygtį sumažiname iki kvadratinio sinuso apskaičiavimo per liestinę; atitinkamai, norėdami apskaičiuoti sinusą, turėsite išgauti gauto rezultato šaknį.
Kaip rasti sinusą su žinomu kampo kotangentu? Kotangento reikšmę galima apskaičiuoti padalijus arčiausiai kampo esančios kojos ilgį iš tolimosios ilgio, taip pat padalijus kosinusą iš sinuso, tai yra, kotangentas yra funkcija, atvirkštinė liestinės santykinei. į skaičių 1. Norėdami apskaičiuoti sinusą, tangentą galite apskaičiuoti naudodami formulę tg α = 1 / ctg α ir naudoti antrojo varianto formulę. Taip pat galite gauti tiesioginę formulę pagal analogiją su tangentu, kuri atrodys taip.
Kaip rasti trijų trikampio kraštinių sinusą
Yra formulė, pagal kurią galima rasti bet kurio trikampio, o ne tik stačiakampio, nežinomos kraštinės ilgį iš dviejų žinomų kraštinių, naudojant priešingo kampo kosinuso trigonometrinę funkciją. Ji atrodo taip.
Kas yra kampo sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas, padės suprasti statųjį trikampį.
Kaip vadinamos stačiojo trikampio kraštinės? Teisingai, hipotenuzė ir kojos: hipotenuzė yra pusė, esanti priešais stačią kampą (mūsų pavyzdyje tai yra pusė \(AC\)); kojos yra dvi likusios pusės \(AB\) ir \(BC\) (gretimos stačiu kampu), ir, jei atsižvelgsime į kojas kampo \(BC\) atžvilgiu, tada kojelė \(AB\) yra gretima, o kojelė \(BC\) yra priešinga. Taigi, dabar atsakykime į klausimą: kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas?
Kampo sinusas– tai priešingos (tolimos) kojos ir hipotenuzės santykis.
Mūsų trikampyje:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Kampo kosinusas– tai gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.
Mūsų trikampyje:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Kampo liestinė– tai priešingos (tolimos) pusės ir gretimos (artimos) santykis.
Mūsų trikampyje:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Kampo kotangentas– tai gretimos (artimos) kojos ir priešingos (toli) santykis.
Mūsų trikampyje:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Šie apibrėžimai yra būtini Prisiminti! Kad būtų lengviau atsiminti, kurią koją į ką padalyti, turite tai aiškiai suprasti liestinė Ir kotangentas sėdi tik kojos, o hipotenuzė atsiranda tik viduje sinusas Ir kosinusas. Ir tada jūs galite sugalvoti asociacijų grandinę. Pavyzdžiui, šis:
Kosinusas→lietimas→lietimas→gretima;
Kotangentas→lietimas→lietimas→gretima.
Visų pirma, reikia atsiminti, kad sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, nes trikampio kraštinių santykiai nepriklauso nuo šių kraštinių ilgių (tuo pačiu kampu). Netikiu? Tada įsitikinkite, žiūrėdami į paveikslėlį:
Apsvarstykite, pavyzdžiui, kampo \(\beta \) kosinusą. Pagal apibrėžimą iš trikampio \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), bet kampo \(\beta \) kosinusą galime apskaičiuoti iš trikampio \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Matote, kraštinių ilgiai skirtingi, bet vieno kampo kosinuso reikšmė vienoda. Taigi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės priklauso tik nuo kampo dydžio.
Jei suprantate apibrėžimus, eikite į priekį ir sutvirtinkite juos!
Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytą trikampį \(ABC \) randame \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(masyvas)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(masyvas) \)
Na, ar gavai? Tada pabandykite patys: apskaičiuokite tą patį kampui \(\beta \) .
Atsakymai: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Vienetinis (trigonometrinis) apskritimas
Suprasdami laipsnių ir radianų sąvokas, laikėme apskritimą, kurio spindulys lygus \(1\) . Toks ratas vadinamas vienišas. Tai bus labai naudinga studijuojant trigonometriją. Todėl pažvelkime į tai šiek tiek išsamiau.
Kaip matote, šis apskritimas sudarytas Dekarto koordinačių sistemoje. Apskritimo spindulys lygus vienetui, o apskritimo centras yra koordinačių pradžioje, pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra fiksuota teigiama \(x\) ašies kryptimi (mūsų pavyzdyje tai yra spindulys \(AB\)).
Kiekvienas apskritimo taškas atitinka du skaičius: koordinatę išilgai \(x\) ašies ir koordinatę išilgai \(y\) ašies. Kas yra šie koordinačių skaičiai? Ir apskritai, ką jie turi bendro su nagrinėjama tema? Norėdami tai padaryti, turime atsiminti apie svarstomą stačiakampį trikampį. Viršuje esančiame paveikslėlyje galite pamatyti du ištisus stačiuosius trikampius. Apsvarstykite trikampį \(ACG\) . Jis yra stačiakampis, nes \(CG\) yra statmena \(x\) ašiai.
Kas yra \(\cos \ \alpha \) iš trikampio \(ACG \)? Teisingai \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Be to, žinome, kad \(AC\) yra vienetinio apskritimo spindulys, o tai reiškia \(AC=1\) . Pakeiskime šią reikšmę kosinuso formulėje. Štai kas nutinka:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Kam lygi \(\sin \ \alpha \) iš trikampio \(ACG \)? Na žinoma, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Pakeiskite spindulio reikšmę \(AC\) į šią formulę ir gaukite:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Taigi, ar galite pasakyti, kokias koordinates turi apskritimui priklausantis taškas \(C\)? Na, niekaip? Ką daryti, jei suprasite, kad \(\cos \ \alpha \) ir \(\sin \alpha \) yra tik skaičiai? Kokią koordinatę atitinka \(\cos \alpha \)? Na, žinoma, koordinatė \(x\)! O kokią koordinatę atitinka \(\sin \alpha \)? Teisingai, koordinuokite \(y\)! Taigi esmė \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Kam tada yra lygūs \(tg \alpha \) ir \(ctg \alpha \)? Teisingai, naudokime atitinkamus liestinės ir kotangento apibrėžimus ir gaukime tai \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
O jei kampas didesnis? Pavyzdžiui, kaip šiame paveikslėlyje:
Kas pasikeitė šiame pavyzdyje? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, vėl pasukite į stačiakampį trikampį. Apsvarstykite statųjį trikampį \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kampas (kaip greta kampo \(\beta \) ). Kokia yra kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento reikšmė \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Taip, mes laikomės atitinkamų trigonometrinių funkcijų apibrėžimų:
\(\begin(masyvas)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kampas ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kampas ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(masyvas) \)
Na, kaip matote, kampo sinuso reikšmė vis tiek atitinka koordinatę \(y\) ; kampo kosinuso reikšmė - koordinatė \(x\) ; ir atitinkamų santykių liestinės ir kotangento reikšmės. Taigi šie santykiai taikomi bet kokiam spindulio vektoriaus pasukimui.
Jau buvo minėta, kad pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra išilgai teigiamos \(x\) ašies krypties. Iki šiol mes sukome šį vektorių prieš laikrodžio rodyklę, bet kas atsitiks, jei pasuksime jį pagal laikrodžio rodyklę? Nieko nepaprasto, taip pat gausite tam tikros vertės kampą, bet tik jis bus neigiamas. Taigi, sukdami spindulio vektorių prieš laikrodžio rodyklę, gauname teigiami kampai, o sukant pagal laikrodžio rodyklę – neigiamas.
Taigi, mes žinome, kad visas spindulio vektoriaus apsisukimas aplink apskritimą yra \(360()^\circ \) arba \(2\pi \) . Ar galima pasukti spindulio vektorių \(390()^\circ \) arba \(-1140()^\circ \)? Na, žinoma, galite! Pirmuoju atveju \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), taigi spindulio vektorius padarys vieną pilną apsisukimą ir sustos padėtyje \(30()^\circ \) arba \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Antruoju atveju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), tai yra, spindulio vektorius padarys tris pilnus apsisukimus ir sustos padėtyje \(-60()^\circ \) arba \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Taigi iš aukščiau pateiktų pavyzdžių galime daryti išvadą, kad kampai, kurie skiriasi \(360()^\circ \cdot m \) arba \(2\pi \cdot m \) (kur \(m \) yra bet koks sveikasis skaičius ), atitinka tą pačią spindulio vektoriaus padėtį.
Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas kampas \(\beta =-60()^\circ \) . Tas pats vaizdas atitinka kampą \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) ir tt Šį sąrašą galima tęsti neribotą laiką. Visi šie kampai gali būti užrašyti pagal bendrą formulę \(\beta +360()^\circ \cdot m\) arba \(\beta +2\pi \cdot m \) (kur \(m \) yra bet koks sveikasis skaičius)
\(\begin(masyvas)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(masyvas) \)
Dabar, žinant pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimus ir naudojant vieneto ratas, pabandykite atsakyti, kokios yra reikšmės:
\(\begin(masyvas)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(masyvas) \)
Štai vieneto ratas, kuris jums padės:
Turite sunkumų? Tada išsiaiškinkime. Taigi mes žinome, kad:
\(\begin(masyvas)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(masyvas)\)
Iš čia nustatome taškų koordinates, atitinkančias tam tikrus kampo matmenis. Na, pradėkime iš eilės: kampas į vidų \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) atitinka tašką, kurio koordinatės \(\left(0;1 \right) \) , todėl:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\RightArrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- neegzistuoja;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Be to, laikydamiesi tos pačios logikos, mes sužinome, kad kampai yra viduje \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) atitinka taškus su koordinatėmis \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \dešinė) \), atitinkamai. Tai žinant, nesunku nustatyti trigonometrinių funkcijų reikšmes atitinkamuose taškuose. Pirmiausia išbandykite patys, o tada patikrinkite atsakymus.
Atsakymai:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(ctg)\ \pi \)- neegzistuoja
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(tg)\ 270()^\circ \)- neegzistuoja
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(ctg)\ 2\pi \)- neegzistuoja
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(tg)\ 450()^\circ \)- neegzistuoja
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Taigi galime sudaryti tokią lentelę:
Nereikia atsiminti visų šių vertybių. Pakanka prisiminti vienetinio apskritimo taškų koordinačių ir trigonometrinių funkcijų verčių atitikimą:
\(\left. \begin(masyvas)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(masyvas) \right\)\ \text(Turite atsiminti arba mokėti tai parodyti!! \) !}
Tačiau kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės ir \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) pateiktą toliau pateiktoje lentelėje, turite atsiminti:
Nebijokite, dabar parodysime vieną gana paprasto atitinkamų reikšmių įsiminimo pavyzdį:
Norint naudoti šį metodą, labai svarbu atsiminti visų trijų kampo matmenų sinusines vertes ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), taip pat kampo liestinės reikšmę \(30()^\circ \) . Žinant šias \(4\) reikšmes, gana paprasta atkurti visą lentelę - kosinuso reikšmės perkeliamos pagal rodykles, tai yra:
\(\begin(masyvas)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(masyvas) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), tai žinodami, galite atkurti reikšmes \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Skaitiklis „\(1 \)“ atitiks \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), o vardiklis „\(\sqrt(\text(3)) \)“ – \(\tekstas (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangentinės vertės perkeliamos pagal paveikslėlyje nurodytas rodykles. Jei tai suprasite ir atsimenate diagramą su rodyklėmis, tada užteks atsiminti tik \(4\) reikšmes iš lentelės.
Apskritimo taško koordinatės
Ar galima rasti apskritimo tašką (jo koordinates), žinant apskritimo centro koordinates, spindulį ir sukimosi kampą? Na, žinoma, galite! Išveskime bendrą formulę taško koordinatėms rasti. Pavyzdžiui, priešais mus yra apskritimas:
Mums suteiktas tas taškas \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- apskritimo centras. Apskritimo spindulys yra \(1,5\) . Reikia rasti taško \(P\) koordinates, gautas sukant tašką \(O\) \(\delta \) laipsniais.
Kaip matyti iš paveikslo, taško \(P\) koordinatė \(x\) atitinka atkarpos \(TP=UQ=UK+KQ\) ilgį. Atkarpos \(UK\) ilgis atitinka apskritimo centro koordinatę \(x\), tai yra, lygus \(3\) . Atkarpos \(KQ\) ilgį galima išreikšti naudojant kosinuso apibrėžimą:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Tada turime taško \(P\) koordinatę \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Naudodami tą pačią logiką randame taško \(P\) y koordinatės reikšmę. Taigi,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Taigi, į bendras vaizdas Taškų koordinatės nustatomos pagal formules:
\(\begin(masyvas)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(masyvas) \), Kur
\(((x)_(0)),(y)_(0)) \) - apskritimo centro koordinatės,
\(r\) – apskritimo spindulys,
\(\delta \) - vektoriaus spindulio sukimosi kampas.
Kaip matote, mūsų svarstomo vieneto apskritimo formulės yra žymiai sumažintos, nes centro koordinatės yra lygios nuliui, o spindulys yra lygus vienetui:
\(\begin(masyvas)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(masyvas) \)
„Javascript“ jūsų naršyklėje išjungtas.Norėdami atlikti skaičiavimus, turite įjungti ActiveX valdiklius!
Sinuso (), kosinuso (), liestinės (), kotangento () sąvokos yra neatsiejamai susijusios su kampo sąvoka. Norėdami tai gerai suprasti, iš pirmo žvilgsnio, sudėtingos sąvokos(kurie sukelia siaubą daugeliui moksleivių), ir norėdami įsitikinti, kad „velnias nėra toks baisus, kaip jis nupieštas“, pradėkime nuo pat pradžių ir supraskime kampo sąvoką.
Kampo samprata: radianas, laipsnis
Pažiūrėkime į paveikslėlį. Vektorius tam tikru dydžiu „pasuko“ taško atžvilgiu. Taigi šio sukimosi matas pradinės padėties atžvilgiu bus kampas.
Ką dar reikia žinoti apie kampo sąvoką? Na, žinoma, kampo vienetai!
Kampas tiek geometrijoje, tiek trigonometrijoje gali būti matuojamas laipsniais ir radianais.
Vadinamas (vieno laipsnio) kampas centrinis kampas apskritime, remiantis apskritimo lanku, lygiu apskritimo daliai. Taigi visas apskritimas susideda iš apskritimo lankų „gabalų“ arba apskritimo aprašytas kampas yra lygus.
Tai yra, aukščiau pateiktame paveikslėlyje parodytas kampas, lygus, tai yra, šis kampas remiasi apskritimo lanku, kurio dydis yra apskritimas.
Kampas radianais yra centrinis apskritimo kampas, sudarytas iš apskritimo lanko, kurio ilgis lygus apskritimo spinduliui. Na, ar sugalvojai? Jei ne, tada išsiaiškinkime tai iš piešinio.
Taigi paveiksle parodytas kampas, lygus radianui, tai yra, šis kampas remiasi apskritimo lanku, kurio ilgis lygus apskritimo spinduliui (ilgis lygus ilgiui arba spindulys lygus lanko ilgis). Taigi, lanko ilgis apskaičiuojamas pagal formulę:
Kur yra centrinis kampas radianais.
Na, žinodamas tai, ar galite atsakyti, kiek radianų yra apskritimo aprašytame kampe? Taip, tam reikia atsiminti apskritimo formulę. Štai ji:
Na, dabar suderinkime šias dvi formules ir išsiaiškinkime, kad apskritimu aprašytas kampas yra lygus. Tai yra, koreliuodami vertę laipsniais ir radianais, mes tai gauname. Atitinkamai,. Kaip matote, skirtingai nei "laipsniai", žodis "radianas" yra praleistas, nes matavimo vienetas paprastai yra aiškus iš konteksto.
Kiek yra radianų? Teisingai!
Supratau? Tada eikite į priekį ir pataisykite:
Turite sunkumų? Tada žiūrėk atsakymai:
Statusis trikampis: sinusas, kosinusas, liestinė, kampo kotangentas
Taigi, mes išsiaiškinome kampo sąvoką. Bet kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, mums padės stačiakampis trikampis.
Kaip vadinamos stačiojo trikampio kraštinės? Teisingai, hipotenuzė ir kojos: hipotenuzė yra pusė, esanti priešais stačią kampą (mūsų pavyzdyje tai yra pusė); kojos yra dvi likusios pusės ir (tos, esančios greta stačiojo kampo), o jei kojas svarstysime kampo atžvilgiu, tada koja yra gretima koja, o koja yra priešinga. Taigi, dabar atsakykime į klausimą: kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas?
Kampo sinusas- tai yra priešingos (tolimos) kojos ir hipotenuzės santykis.
Mūsų trikampyje.
Kampo kosinusas- tai yra gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.
Mūsų trikampyje.
Kampo liestinė- tai priešingos (tolimos) pusės ir gretimos (artimos) santykis.
Mūsų trikampyje.
Kampo kotangentas- tai gretimos (artimos) kojos ir priešingos (toli) santykis.
Mūsų trikampyje.
Šie apibrėžimai yra būtini Prisiminti! Kad būtų lengviau atsiminti, kurią koją į ką padalyti, turite tai aiškiai suprasti liestinė Ir kotangentas sėdi tik kojos, o hipotenuzė atsiranda tik viduje sinusas Ir kosinusas. Ir tada jūs galite sugalvoti asociacijų grandinę. Pavyzdžiui, šis:
Kosinusas→lietimas→lietimas→gretima;
Kotangentas→lietimas→lietimas→gretima.
Visų pirma, reikia atsiminti, kad sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, nes trikampio kraštinių santykiai nepriklauso nuo šių kraštinių ilgių (tuo pačiu kampu). Netikiu? Tada įsitikinkite, žiūrėdami į paveikslėlį:
Apsvarstykite, pavyzdžiui, kampo kosinusą. Pagal apibrėžimą iš trikampio: , bet kampo kosinusą galime apskaičiuoti iš trikampio: . Matote, kraštinių ilgiai skirtingi, bet vieno kampo kosinuso reikšmė vienoda. Taigi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės priklauso tik nuo kampo dydžio.
Jei suprantate apibrėžimus, eikite į priekį ir sutvirtinkite juos!
Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytam trikampiui randame.
Na, ar gavai? Tada pabandykite patys: apskaičiuokite tą patį kampą.
Vienetinis (trigonometrinis) apskritimas
Suprasdami laipsnių ir radianų sąvokas, laikėme apskritimą, kurio spindulys lygus. Toks ratas vadinamas vienišas. Tai bus labai naudinga studijuojant trigonometriją. Todėl pažvelkime į tai šiek tiek išsamiau.
Kaip matote, šis apskritimas sudarytas Dekarto koordinačių sistemoje. Apskritimo spindulys lygus vienetui, o apskritimo centras yra koordinačių pradžioje, spindulio vektoriaus pradinė padėtis fiksuojama išilgai teigiamos ašies krypties (mūsų pavyzdyje tai yra spindulys).
Kiekvienas apskritimo taškas atitinka du skaičius: ašies koordinatę ir ašies koordinatę. Kas yra šie koordinačių skaičiai? Ir apskritai, ką jie turi bendro su nagrinėjama tema? Norėdami tai padaryti, turime atsiminti apie svarstomą stačiakampį trikampį. Viršuje esančiame paveikslėlyje galite pamatyti du ištisus stačiuosius trikampius. Apsvarstykite trikampį. Jis yra stačiakampis, nes yra statmenas ašiai.
Kam lygus trikampis? Teisingai. Be to, mes žinome, kad yra vieneto apskritimo spindulys, o tai reiškia . Pakeiskime šią reikšmę kosinuso formulėje. Štai kas nutinka:
Kam lygus trikampis? Na žinoma, ! Pakeiskite spindulio reikšmę į šią formulę ir gaukite:
Taigi, ar galite pasakyti, kokias koordinates turi apskritimui priklausantis taškas? Na, niekaip? Ką daryti, jei jūs tai suprantate ir esate tik skaičiai? Kurią koordinatę ji atitinka? Na, žinoma, koordinatės! O kokią koordinatę tai atitinka? Teisingai, koordinatės! Taigi, taškas.
Kas tada yra ir yra lygūs? Teisingai, naudokime atitinkamus liestinės ir kotangento apibrėžimus ir gaukime, kad a.
O jei kampas didesnis? Pavyzdžiui, kaip šiame paveikslėlyje:
Kas pasikeitė šiame pavyzdyje? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, vėl pasukite į stačiakampį trikampį. Apsvarstykite statųjį trikampį: kampas (kaip greta kampo). Kokios yra kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento reikšmės? Taip, mes laikomės atitinkamų trigonometrinių funkcijų apibrėžimų:
Na, kaip matote, kampo sinuso reikšmė vis tiek atitinka koordinatę; kampo kosinuso reikšmė – koordinatė; ir atitinkamų santykių liestinės ir kotangento reikšmės. Taigi šie santykiai taikomi bet kokiam spindulio vektoriaus pasukimui.
Jau buvo minėta, kad pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra išilgai teigiamos ašies krypties. Iki šiol mes sukome šį vektorių prieš laikrodžio rodyklę, bet kas atsitiks, jei pasuksime jį pagal laikrodžio rodyklę? Nieko nepaprasto, taip pat gausite tam tikros vertės kampą, bet tik jis bus neigiamas. Taigi, sukdami spindulio vektorių prieš laikrodžio rodyklę, gauname teigiami kampai, o sukant pagal laikrodžio rodyklę - neigiamas.
Taigi, mes žinome, kad visas spindulio vektoriaus apsisukimas aplink apskritimą yra arba. Ar galima pasukti spindulio vektorių į arba į? Na, žinoma, galite! Todėl pirmuoju atveju spindulio vektorius padarys vieną pilną apsisukimą ir sustos padėtyje arba.
Antruoju atveju, tai yra, spindulio vektorius padarys tris pilnus apsisukimus ir sustos padėtyje arba.
Taigi, iš aukščiau pateiktų pavyzdžių galime daryti išvadą, kad kampai, kurie skiriasi arba (kur yra bet koks sveikas skaičius), atitinka tą pačią spindulio vektoriaus padėtį.
Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas kampas. Tas pats vaizdas atitinka kampą ir pan. Šį sąrašą galima tęsti neribotą laiką. Visi šie kampai gali būti parašyti pagal bendrą formulę arba (kur yra bet koks sveikasis skaičius)
Dabar, žinodami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimus ir naudodami vieneto apskritimą, pabandykite atsakyti, kokios yra reikšmės:
Štai vieneto ratas, kuris jums padės:
Turite sunkumų? Tada išsiaiškinkime. Taigi mes žinome, kad:
Iš čia nustatome taškų koordinates, atitinkančias tam tikrus kampo matmenis. Na, pradėkime iš eilės: kampas ties atitinka tašką su koordinatėmis, todėl:
Neegzistuoja;
Be to, laikydamiesi tos pačios logikos, sužinome, kad kampai atitinka atitinkamai taškus su koordinatėmis. Tai žinant, nesunku nustatyti trigonometrinių funkcijų reikšmes atitinkamuose taškuose. Pirmiausia išbandykite patys, o tada patikrinkite atsakymus.
Atsakymai:
Neegzistuoja
Neegzistuoja
Neegzistuoja
Neegzistuoja
Taigi galime sudaryti tokią lentelę:
Nereikia atsiminti visų šių vertybių. Pakanka prisiminti vienetinio apskritimo taškų koordinačių ir trigonometrinių funkcijų verčių atitikimą:
Tačiau kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės ir, pateiktos toliau esančioje lentelėje, reikia atsiminti:
Nebijokite, dabar parodysime vieną pavyzdį gana paprasta atsiminti atitinkamas reikšmes:
Norint naudoti šį metodą, labai svarbu atsiminti visų trijų kampo matmenų sinuso reikšmes (), taip pat kampo liestinės reikšmę. Žinant šias vertes, gana paprasta atkurti visą lentelę - kosinuso reikšmės perkeliamos pagal rodykles, tai yra:
Žinodami tai, galite atkurti reikšmes. Skaitiklis „ “ atitiks, o vardiklis „ “. Kotangentinės vertės perkeliamos pagal paveikslėlyje nurodytas rodykles. Jei tai suprasite ir atsimenate diagramą su rodyklėmis, pakaks atsiminti visas lentelės reikšmes.
Apskritimo taško koordinatės
Ar įmanoma apskritime rasti tašką (jo koordinates), žinant apskritimo centro koordinates, jo spindulį ir sukimosi kampą?
Na, žinoma, galite! Išmeskime bendroji taško koordinačių radimo formulė.
Pavyzdžiui, priešais mus yra apskritimas:
Mums duota, kad taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys lygus. Reikia rasti taško koordinates, gautas sukant tašką laipsniais.
Kaip matyti iš paveikslo, taško koordinatė atitinka atkarpos ilgį. Atkarpos ilgis atitinka apskritimo centro koordinatę, tai yra lygus. Atkarpos ilgį galima išreikšti naudojant kosinuso apibrėžimą:
Tada mes turime tai taško koordinatei.
Naudodami tą pačią logiką randame taško y koordinatės reikšmę. Taigi,
Taigi, apskritai taškų koordinatės nustatomos pagal formules:
Apskritimo centro koordinatės,
Apskritimo spindulys,
Vektoriaus spindulio sukimosi kampas.
Kaip matote, mūsų svarstomo vieneto apskritimo formulės yra žymiai sumažintos, nes centro koordinatės yra lygios nuliui, o spindulys yra lygus vienetui:
Na, pabandykime šias formules praktikuodami surasti taškus apskritime?
1. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautas sukant tašką į.
2. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautas sukant tašką į.
3. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautas sukant tašką į.
4. Taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys lygus. Reikia rasti taško, gauto pasukus pradinį spindulio vektorių, koordinates.
5. Taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys lygus. Reikia rasti taško, gauto pasukus pradinį spindulio vektorių, koordinates.
Sunku rasti apskritimo taško koordinates?
Išspręskite šiuos penkis pavyzdžius (arba išmokite juos išspręsti) ir išmoksite juos rasti!
1.
Galite tai pastebėti. Bet mes žinome, kas atitinka visišką pradinio taško revoliuciją. Taigi norimas taškas bus toje pačioje padėtyje kaip ir sukant. Tai žinodami randame reikiamas taško koordinates:
2. Vieneto apskritimo centras yra taške, o tai reiškia, kad galime naudoti supaprastintas formules:
Galite tai pastebėti. Mes žinome, kas atitinka du pilnus pradinio taško apsisukimus. Taigi norimas taškas bus toje pačioje padėtyje kaip ir sukant. Tai žinodami randame reikiamas taško koordinates:
Sinusas ir kosinusas yra lentelės reikšmės. Prisimename jų reikšmes ir gauname:
Taigi norimas taškas turi koordinates.
3. Vieneto apskritimo centras yra taške, o tai reiškia, kad galime naudoti supaprastintas formules:
Galite tai pastebėti. Pavaizduokime nagrinėjamą pavyzdį paveikslėlyje:
Spindulys sudaro kampus, lygius ašiai ir su ja. Žinodami, kad kosinuso ir sinuso lentelės reikšmės yra lygios, ir nustatę, kad kosinusas čia turi neigiamą reikšmę, o sinusas – teigiamą, turime:
Tokie pavyzdžiai išsamiau aptariami temoje tiriant trigonometrinių funkcijų mažinimo formules.
Taigi norimas taškas turi koordinates.
4.
Vektoriaus spindulio sukimosi kampas (pagal sąlygą)
Norėdami nustatyti atitinkamus sinuso ir kosinuso ženklus, sudarome vienetinį apskritimą ir kampą:
Kaip matote, vertė, tai yra, yra teigiama, o vertė, tai yra, yra neigiama. Žinodami atitinkamų trigonometrinių funkcijų lentelių reikšmes, gauname, kad:
Pakeiskime gautas reikšmes į savo formulę ir suraskime koordinates:
Taigi norimas taškas turi koordinates.
5. Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame formules bendra forma, kur
Apskritimo centro koordinatės (mūsų pavyzdyje
Apskritimo spindulys (pagal sąlygą)
Vektoriaus spindulio sukimosi kampas (pagal sąlygą).
Pakeiskime visas reikšmes į formulę ir gaukime:
ir - lentelės reikšmės. Prisiminkime ir pakeiskime juos į formulę:
Taigi norimas taškas turi koordinates.
SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS
Kampo sinusas yra priešingos (tolimosios) kojos ir hipotenuzės santykis.
Kampo kosinusas yra gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.
Kampo liestinė yra priešingos (tolimosios) pusės ir gretimos (artimos) pusės santykis.
Kampo kotangentas yra gretimos (artimos) pusės ir priešingos (tolimosios) pusės santykis.
