Trikampiai

Trikampis yra figūra, kurią sudaro trys taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje, ir trys atkarpos, jungiančios šiuos taškus poromis. Taškai vadinami viršūnės trikampis, o atkarpos yra jo vakarėliams.

Trikampių tipai

Trikampis vadinamas lygiašonis, jei abi jo kraštinės lygios. Šios lygios pusės vadinamos šonai, o trečioji šalis vadinama pagrindu trikampis.

Vadinamas trikampis, kurio visos kraštinės lygios lygiakraštis arba teisinga.

Trikampis vadinamas stačiakampis, jei jis turi stačią kampą, tada yra 90° kampas. Stačiojo trikampio kraštinė, priešinga stačiajam kampui, vadinama hipotenuzė, kitos dvi pusės vadinamos kojos.

Trikampis vadinamas ūmus, jei visi trys jo kampai yra smailūs, tai yra mažesni nei 90°.

Trikampis vadinamas bukas, jei vienas iš jo kampų yra bukas, tai yra didesnis nei 90°.

Pagrindinės trikampio linijos

Mediana

Mediana trikampio atkarpa, jungianti trikampio viršūnę su priešingos šio trikampio kraštinės viduriu.

Trikampio medianų savybės

Mediana padalija trikampį į du vienodo ploto trikampius.

Trikampio medianos susikerta viename taške, kuris kiekvieną iš jų dalija santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. Šis taškas vadinamas gravitacijos centras trikampis.

Visas trikampis pagal jo medianas padalintas į šešis vienodus trikampius.

Bisektorius

Kampo bisektorius yra spindulys, kuris sklinda iš viršaus, eina tarp jo kraštų ir dalija tam tikrą kampą. Trikampio bisektorius vadinama trikampio kampo, jungiančio viršūnę su tašku, esančiu priešingoje šio trikampio pusėje, bisektorine atkarpa.

Trikampių bisektorių savybės

Aukštis

Aukštis trikampis yra statmuo, nubrėžtas iš trikampio viršūnės į tiesę, kurioje yra priešinga šio trikampio kraštinė.

Trikampio aukščių savybės

IN taisyklingas trikampis aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, padalija jį į du trikampius, panašus originalus.

IN aštrus trikampis nuo jo nukirsti du jo aukščiai panašus trikampiai.

Mediana statmena

Tiesi linija, einanti per jai statmenos atkarpos vidurį, vadinama statmenas bisektoriusį segmentą .

Trikampio statmenų pusiausvyros savybės

Kiekvienas atkarpos statmenosios pusės taškas yra vienodu atstumu nuo tos atkarpos galų. Taip pat yra priešingai: kiekvienas taškas, esantis vienodu atstumu nuo atkarpos galų, yra ant jai statmenos pusės.

Nubrėžtų statmenų bisektorių susikirtimo taškas trikampio kraštinės, yra centras šio trikampio apskritimas.

vidurinė linija

Vidurinė trikampio linija vadinama atkarpa, jungiančia jos dviejų kraštinių vidurio taškus.

Trikampio vidurio linijos savybė

Trikampio vidurio linija lygiagreti vienai iš jo kraštinių ir lygi pusei tos kraštinės.

Formulės ir santykiai

Trikampių lygybės ženklai

Du trikampiai yra lygūs, jei jie yra lygūs:

dvi pusės ir kampas tarp jų;

du kampai ir šalia jų esanti pusė;

tris puses.

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai

Du taisyklingas trikampis yra lygūs, jei jie yra atitinkamai lygūs:

hipotenuzė ir smailus kampas;

koja ir priešingas kampas;

koja ir gretimas kampas;

du koja;

hipotenuzė Ir koja.

Trikampių panašumas

Du trikampiai panašus jei viena iš šių sąlygų, vadinama panašumo požymiai:

du vieno trikampio kampai yra lygūs dviem kito trikampio kampams;

dvi vieno trikampio kraštinės yra proporcingos kito trikampio dviem kraštinėms, o šių kraštinių suformuoti kampai yra lygūs;

vieno trikampio trys kraštinės yra atitinkamai proporcingos kito trikampio trims kraštinėms.

Panašiuose trikampiuose atitinkamos linijos ( aukščių, medianos, bisektorius ir tt) yra proporcingi.

Sinusų teorema

Trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams, o proporcingumo koeficientas lygus skersmens apibrėžtas trikampio apskritimas:

Kosinuso teorema

Trikampio kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, atėmus dvigubą šių kraštinių sandaugą ir kampo tarp jų kosinusą:

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos

Trikampio ploto formulės

Nemokamas trikampis

a, b, c -šonai; - kampas tarp šonų a Ir b;- pusperimetras; R- apibrėžto apskritimo spindulys; r-įbrėžto apskritimo spindulys; S- kvadratas; h a - aukštis ištrauktas į šoną a.

Užduotys:

1. Supažindinkite mokinius su skirtingi tipai trikampiai priklausomai nuo kampų tipo (stačiakampio, smailaus, buko). Išmokite brėžiniuose rasti trikampius ir jų tipus. Sutvirtinti pagrindines geometrines sąvokas ir jų savybes: tiesę, atkarpą, spindulį, kampą.

2. Mąstymo, vaizduotės, matematinės kalbos ugdymas.

3. Dėmesingumo ir aktyvumo ugdymas.

Per užsiėmimus

I. Organizacinis momentas.

Kiek mums reikia, vaikinai?
Už mūsų sumanias rankas?
Nubrėžkime du kvadratus,
Ir ant jų yra didžiulis ratas.
Ir tada daugiau ratų,
Trikampis dangtelis.
Taigi išėjo labai labai
Linksmas Oddball.

II. Pamokos temos paskelbimas.

Šiandien pamokoje keliausime po Geometrijos miestą ir aplankysime Trikampių mikrorajoną (t.y. susipažinsime su skirtingais trikampių tipais priklausomai nuo jų kampų, išmoksime šiuos trikampius rasti brėžiniuose.) Vesime pamoka komandų „žaidimo-konkurso“ forma.

1 komanda – „Segmentas“.

2 komanda - „Luch“.

3 komanda – „Kampas“.

O žiuri atstovaus svečiai.

Žiuri mus ves kelyje

Ir jis nepaliks jūsų be dėmesio. (Vertinkite 5,4,3,... taškais).

Ką naudosime keliaudami po Geometrijos miestą? Prisiminkite, kokios keleivinio transporto rūšys yra mieste? Mūsų daug, kurį pasirinksime? (Autobusas).

Autobusas. Aišku, trumpai. Prasideda įlaipinimas.

Atsisėskime ir pradėkime kelionę. Komandų kapitonai gaus bilietus.

Tačiau šie bilietai nėra lengvi, o bilietai yra „užduotys“.

III. Uždengtos medžiagos kartojimas.

Pirma stotelė"Pakartokite".

Klausimas visoms komandoms.

Raskite brėžinyje tiesią liniją ir įvardykite jos savybes.

Linija tiesi, be galo ar krašto!
Pasivaikščiok juo bent šimtą metų,
Kelio galo nerasite!

• Tiesi linija neturi nei pradžios, nei pabaigos – ji yra begalinė, todėl jos negalima išmatuoti.

Pradėkime savo varžybas.

Apsaugokite savo komandų pavadinimus.

(Visos komandos perskaito pirmuosius klausimus ir diskutuoja. Komandų kapitonai paeiliui skaito klausimus, 1 komanda perskaito 1 klausimą).

1. Parodykite segmentą brėžinyje. Kas vadinama segmentu? Pavadinkite jo savybes.

• Tiesės dalis, kurią riboja du taškai, vadinama atkarpa. Atkarpa turi pradžią ir pabaigą, todėl ją galima išmatuoti naudojant liniuotę.

(2 komanda perskaito 1 klausimą).

1. Parodykite spindulį brėžinyje. Kas vadinama spinduliu. Pavadinkite jo savybes.

• Jei pažymėsite tašką ir iš jo nubrėžsite dalį tiesios linijos, gausite spindulio vaizdą. Taškas, iš kurio brėžiama linijos dalis, vadinamas spindulio pradžia.

Sija neturi galo, todėl jo negalima išmatuoti.

(3 komanda perskaito 1 klausimą).

1. Parodykite kampą brėžinyje. Kas vadinama kampu. Pavadinkite jo savybes.

• Iš vieno taško nubrėžus du spindulius, gaunama geometrinė figūra, kuri vadinama kampu. Kampas turi viršūnę, o patys spinduliai vadinami kampo kraštinėmis. Kampai matuojami laipsniais naudojant transporterį.

Kūno kultūros užsiėmimas (skambant muzikai).

IV. Pasiruošimas studijuoti naują medžiagą.

Antra stotelė"Nuostabus."

Vaikščiodamas Pieštukas susidūrė su skirtingais kampais. Norėjau su jais pasisveikinti, bet pamiršau kiekvieno vardus. Turėsime padėti Pieštukui.

(Kampai tikrinami naudojant stačiojo kampo modelį).

Priskyrimas komandoms. Skaityti klausimus Nr.2, diskutuoti.

1 komanda skaito 2 klausimą.

2. Raskite stačią kampą, pateikite apibrėžimą.

• 90° kampas vadinamas stačiu kampu.

2 komanda skaito 2 klausimą.

2. Raskite smailųjį kampą, pateikite apibrėžimą.

• Kampas, mažesnis už stačią kampą, vadinamas smailiu.

3 komanda skaito 2 klausimą.

2. Raskite bukąjį kampą, pateikite apibrėžimą.

Kampas, didesnis nei stačiu kampu, vadinamas buku kampu.

Mikrorajone, kuriame Karandašas mėgo vaikščioti, visi kampai skyrėsi nuo kitų gyventojų tuo, kad trise visada vaikščiojo, trise gėrė arbatą, trise eidavo į kiną. Ir pieštukas negalėjo suprasti, kokią geometrinę figūrą sudaro trys kampai kartu?

Ir eilėraštis bus jums užuomina.

Tu ant manęs, tu ant jo,
Pažvelk į mus visus.
Mes turime viską, turime viską,
Turime tik tris!

Kokios savybės aptariamos apie figūrą?

• Apie trikampį.

Kokia figūra vadinama trikampiu?

• Trikampis yra geometrinė figūra, turinti tris viršūnes, tris kampus ir tris kraštines.

(Mokiniai brėžinyje parodo trikampį, įvardija viršūnes, kampus ir kraštines).

Viršūnės: A, B, C (taškai)

Kampai: BAC, ABC, BCA.

Šonai: AB, BC, CA (segmentai).

V. Kūno kultūros minutė:

8 kartus spaudžiame koja,
Suplokime rankomis 9 kartus,
sėdėsime 10 kartų,
ir pasilenk 6 kartus,
mes pašoksime tiesiai į viršų
tiek daug (rodomas trikampis)
O taip, skaičiuok! Žaidimas ir nieko daugiau!

VI. Naujos medžiagos mokymasis.

Netrukus kampai susidraugavo ir tapo neatsiejami.

O dabar mikrorajoną vadinsime taip: Trikampių mikrorajonu.

Trečia stotelė „Znayka“.

Kokie šių trikampių pavadinimai?

Suteikime jiems vardus. Ir pabandykime patys suformuluoti apibrėžimą.

2. Raskite įvairių tipų trikampius

1 komanda suras ir parodys bukus trikampius.

2 komanda suras ir parodys stačiuosius trikampius.

3 komanda suras ir parodys smailius trikampius.

VIII. Kita stotelė: „Išsiaiškinkite“.

Priskyrimas visoms komandoms.

Perkeldami 6 pagaliukus, iš žibinto padarykite 4 vienodus trikampius.

Kokie kampai pasirodė trikampiai? (Ūmus kampinis).

IX. Pamokos santrauka.

Kokiame rajone lankėmės?

Su kokiais trikampių tipais susipažinote?

Paprasčiausias daugiakampis, kuris mokomas mokykloje, yra trikampis. Tai labiau suprantama studentams ir susiduriama su mažiau sunkumų. Nepaisant to, kad yra Skirtingos rūšys trikampiai, turintys ypatingų savybių.

Kokia forma vadinama trikampiu?

Sudaryta iš trijų taškų ir atkarpų. Pirmosios vadinamos viršūnėmis, antrosios – šoninėmis. Be to, visi trys segmentai turi būti sujungti taip, kad tarp jų susidarytų kampai. Iš čia ir kilo „trikampio“ figūros pavadinimas.

Vardų skirtumai kampuose

Kadangi jie gali būti aštrūs, buki ir tiesūs, trikampių tipai nustatomi pagal šiuos pavadinimus. Atitinkamai yra trys tokių figūrų grupės.

• Pirmas. Jei visi trikampio kampai yra smailieji, tada jis bus vadinamas smailiu. Viskas logiška.

• Antra. Vienas iš kampų yra bukas, o tai reiškia, kad trikampis yra bukas. Tai negali būti paprasčiau.

• Trečias. Yra kampas, lygus 90 laipsnių, kuris vadinamas stačiu kampu. Trikampis tampa stačiakampis.

Vardų skirtumai šonuose

Priklausomai nuo kraštinių savybių, išskiriami šie trikampių tipai:

bendras atvejis yra skalė, kurioje visos kraštinės yra savavališko ilgio;

lygiašoniai, kurių dvi kraštinės turi vienodas skaitines reikšmes;

lygiakraštis, visų jo kraštinių ilgiai yra vienodi.

Jei užduotyje nenurodyta konkretus tipas trikampis, tada reikia nupiešti savavališką trikampį. Kurių visi kampai yra aštrūs, o šonai yra skirtingo ilgio.

Visiems trikampiams bendros savybės

1. Jei sudėsite visus trikampio kampus, gausite skaičių, lygų 180º. Ir visai nesvarbu, koks jis tipas. Ši taisyklė galioja visada.
2. Bet kurios trikampio kraštinės skaitinė vertė yra mažesnė nei kitų dviejų sudėjus. Be to, tai didesnis nei jų skirtumas.
3. Kiekvienas išorinis kampas turi reikšmę, kuri gaunama pridedant du vidinius kampus, kurie nėra šalia jo. Be to, jis visada yra didesnis nei vidinis, esantis šalia jo.
4. Mažiausias kampas visada yra priešais mažesnę trikampio kraštinę. Ir atvirkščiai, jei pusė yra didelė, tada kampas bus didžiausias.

Šios savybės galioja visada, nesvarbu, kokie trikampių tipai nagrinėjami uždaviniuose. Visa kita išplaukia iš specifinių savybių.

Lygiašonio trikampio savybės

• Kampai, esantys greta pagrindo, yra lygūs.
• Aukštis, nubrėžtas prie pagrindo, taip pat yra mediana ir pusiausvyra.
• Trikampio šoninėse kraštinėse pastatyti aukščiai, medianos ir pusiausvyros yra atitinkamai vienodi.

Lygiakraščio trikampio savybės

Jei yra toks skaičius, tada visos šiek tiek aukščiau aprašytos savybės bus teisingos. Nes lygiakraštis visada bus lygiakraštis. Bet ne atvirkščiai; lygiašonis trikampis nebūtinai bus lygiakraštis.

• Visi jo kampai yra lygūs vienas kitam ir jų vertė yra 60º.
• Bet kuri lygiakraščio trikampio mediana yra jo aukštis ir pusiausvyra. Be to, jie visi yra lygūs vienas kitam. Norint nustatyti jų vertes, yra formulė, kurią sudaro kraštinės sandauga ir kvadratinė šaknis iš 3, padalyta iš 2.

Stačiojo trikampio savybės

• Du aštrūs kampai sudaro 90º.
• Hipotenuzės ilgis visada yra didesnis nei bet kurios kojos.
• Į hipotenuzę nubrėžtos medianos skaitinė reikšmė yra lygi jos pusei.
• Koja lygi tokiai pačiai vertei, jei ji yra priešais 30º kampą.
• Aukštis, nubrėžtas iš viršūnės, kurios vertė yra 90º, turi tam tikrą matematinę priklausomybę nuo kojų: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Čia: a, b - kojos, n - aukštis.

Problemos su įvairių tipų trikampiais

Nr. 1. Duotas lygiašonis trikampis. Jo perimetras žinomas ir lygus 90 cm.. Turime išsiaiškinti jo puses. Kaip papildoma sąlyga: šoninė pusė 1,2 karto mažesnė už pagrindą.

Perimetro vertė tiesiogiai priklauso nuo kiekių, kuriuos reikia rasti. Visų trijų kraštinių suma duos 90 cm Dabar reikia prisiminti trikampio ženklą, pagal kurį jis yra lygiašonis. Tai yra, abi pusės yra lygios. Galite sukurti lygtį su dviem nežinomaisiais: 2a + b = 90. Čia a yra kraštinė, b - bazė.

Dabar atėjo laikas papildomai sąlygai. Po jos gaunama antroji lygtis: b = 1.2a. Šią išraišką galite pakeisti pirmuoju. Pasirodo: 2a + 1.2a = 90. Po transformacijų: 3.2a = 90. Vadinasi, a = 28.125 (cm). Dabar lengva išsiaiškinti pagrindą. Tai geriausia padaryti iš antrosios sąlygos: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Norėdami patikrinti, galite pridėti tris reikšmes: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Teisingai.

Atsakymas: trikampio kraštinės yra 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

Nr. 2. Lygiakraščio trikampio kraštinė yra 12 cm, reikia apskaičiuoti jo aukštį.

Sprendimas. Norint rasti atsakymą, pakanka grįžti į momentą, kai buvo aprašytos trikampio savybės. Tai yra lygiakraščio trikampio aukščio, vidurio ir pusiausvyros nustatymo formulė.

n = a * √3 / 2, kur n yra aukštis, o a yra kraštinė.

Pakeitimas ir skaičiavimas duoda tokį rezultatą: n = 6 √3 (cm).

Šios formulės įsiminti nereikia. Pakanka prisiminti, kad aukštis padalija trikampį į du stačiakampius. Be to, pasirodo, kad tai koja, o hipotenuzė joje yra pradinės pusės, antroji koja yra pusė žinomos pusės. Dabar reikia užsirašyti Pitagoro teoremą ir išvesti aukščio formulę.

Atsakymas: aukštis 6√3 cm.

Nr. 3. Duotas MKR yra trikampis, kuriame kampas K sudaro 90 laipsnių.Žinomos kraštinės MR ir KR, jos lygios atitinkamai 30 ir 15 cm. Reikia išsiaiškinti kampo P reikšmę.

Sprendimas. Jei padarysite piešinį, paaiškės, kad MR yra hipotenuzė. Be to, jis yra dvigubai didesnis už KR šoną. Vėlgi reikia kreiptis į savybes. Vienas iš jų yra susijęs su kampais. Iš to aišku, kad KMR kampas yra 30º. Tai reiškia, kad norimas kampas P bus lygus 60º. Tai išplaukia iš kitos savybės, kurioje teigiama, kad dviejų suma aštrūs kampai turėtų būti 90 laipsnių.

Atsakymas: kampas P yra 60º.

Nr. 4. Turime rasti visus lygiašonio trikampio kampus. Yra žinoma, kad išorinis kampas nuo kampo prie pagrindo yra 110º.

Sprendimas. Kadangi nurodytas tik išorinis kampas, tai reikia naudoti. Jis sudaro neišskleistą kampą su vidiniu. Tai reiškia, kad iš viso jie suteiks 180º. Tai yra, kampas prie trikampio pagrindo bus lygus 70º. Kadangi jis yra lygiašonis, antrasis kampas turi tokią pačią reikšmę. Belieka apskaičiuoti trečiąjį kampą. Pagal savybę, būdingą visiems trikampiams, kampų suma yra 180º. Tai reiškia, kad trečiasis bus apibrėžtas kaip 180º - 70º - 70º = 40º.

Atsakymas: kampai yra 70º, 70º, 40º.

Nr. 5. Yra žinoma, kad lygiašonio trikampio kampas prieš pagrindą yra 90º. Ant pagrindo yra pažymėtas taškas. Atkarpa, jungianti jį su stačiu kampu, padalija ją santykiu 1 su 4. Reikia išsiaiškinti visus mažesniojo trikampio kampus.

Sprendimas. Iš karto galima nustatyti vieną iš kampų. Kadangi trikampis yra stačiakampis ir lygiašonis, tie, kurie yra jo pagrinde, bus 45º, ty 90º/2.

Antrasis iš jų padės rasti sąlygoje žinomą ryšį. Kadangi jis lygus nuo 1 iki 4, dalių, į kurias jis padalintas, yra tik 5. Tai reiškia, kad norint sužinoti mažesnį trikampio kampą reikia 90º/5 = 18º. Belieka išsiaiškinti trečiąjį. Norėdami tai padaryti, iš 180º (visų trikampio kampų sumos) turite atimti 45º ir 18º. Skaičiavimai yra paprasti, ir jūs gaunate: 117º.

Paprastai du trikampiai laikomi panašiais, jei jie yra vienodos formos, net jei jie yra skirtingo dydžio, pasukti ar net apversti.

Paveiksle parodytas dviejų panašių trikampių A 1 B 1 C 1 ir A 2 B 2 C 2 matematinis vaizdavimas parašytas taip:

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Du trikampiai yra panašūs, jei:

1. Kiekvienas vieno trikampio kampas lygus atitinkamam kito trikampio kampui:
∠A 1 = ∠ A 2 , ∠ B 1 = ∠ B 2 Ir ∠C 1 = ∠C 2

2. Vieno trikampio kraštinių santykis su atitinkamomis kito trikampio kraštinėmis yra lygus vienas kitam:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Santykiai dvi pusės vienas trikampis į atitinkamas kito trikampio kraštines yra lygūs vienas kitam ir tuo pačiu metu
kampai tarp šių kraštų yra lygūs:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ ir $\angle A_1 = \angle A_2$
arba
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ ir $\angle B_1 = \angle B_2$
arba
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ ir $\angle C_1 = \angle C_2$

Nepainiokite panašių trikampių su vienodais trikampiais. Lygių trikampių kraštinių ilgiai yra vienodi. Todėl sutapusiems trikampiams:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Iš to išplaukia, kad viskas vienodi trikampiai yra panašūs. Tačiau ne visi panašūs trikampiai yra lygūs.

Nors aukščiau pateiktas žymėjimas rodo, kad norint sužinoti, ar du trikampiai yra panašūs, ar ne, turime žinoti trijų kampų reikšmes arba kiekvieno trikampio trijų kraštinių ilgius, o norint išspręsti panašių trikampių problemas, pakanka žinoti bet kurios trys iš aukščiau paminėtų kiekvieno trikampio verčių. Šie kiekiai gali būti įvairiais deriniais:

1) trys kiekvieno trikampio kampai (nereikia žinoti trikampių kraštinių ilgių).

Arba bent 2 vieno trikampio kampai turi būti lygūs 2 kito trikampio kampams.
Kadangi jei 2 kampai yra lygūs, tai ir trečiasis kampas bus lygus. (trečiojo kampo reikšmė yra 180 - kampas1 - kampas2)

2) kiekvieno trikampio kraštinių ilgiai (kampų žinoti nereikia);

3) abiejų kraštinių ilgiai ir kampas tarp jų.

Toliau apžvelgsime kai kurių problemų su panašiais trikampiais sprendimą. Pirmiausia apžvelgsime problemas, kurias galima išspręsti tiesiogiai naudojant aukščiau pateiktas taisykles, o tada kai kurias aptarsime praktines problemas, kurios sprendžiamos panašių trikampių metodu.

Praktikuokite problemas su panašiais trikampiais

1 pavyzdys: Parodykite, kad du trikampiai žemiau esančiame paveikslėlyje yra panašūs.

Sprendimas:
Kadangi žinomi abiejų trikampių kraštinių ilgiai, čia galima taikyti antrąją taisyklę:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

2 pavyzdys: Parodykite, kad du duoti trikampiai yra panašūs, ir nustatykite kraštinių ilgius PQ Ir PR.

Sprendimas:
∠A = ∠P Ir ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(kadangi ∠C = 180 – ∠A – ∠B ir ∠R = 180 – ∠P – ∠Q)

Iš to išplaukia, kad trikampiai ΔABC ir ΔPQR yra panašūs. Taigi:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8 USD ir
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 USD

3 pavyzdys: Nustatykite ilgį ABšiame trikampyje.

Sprendimas:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Ir ∠A bendrieji => trikampiai ΔABC Ir ΔADE yra panašūs.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rodyklė dešinėn 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

4 pavyzdys: Nustatykite ilgį AD(x) geometrinė figūra paveikslėlyje.

Trikampiai ΔABC ir ΔCDE yra panašūs, nes AB || DE ir jie turi bendrą viršutinį kampą C.
Matome, kad vienas trikampis yra kito mastelio keitimas. Tačiau turime tai įrodyti matematiškai.

AB || DE, CD || AC ir BC || E.C.
∠BAC = ∠EDC ir ∠ABC = ∠DEC

Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, ir atsižvelgiant į bendro kampo buvimą C, galime teigti, kad trikampiai ΔABC ir ΔCDE yra panašūs.

Taigi:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rodyklė dešinėn CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 USD
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Praktiniai pavyzdžiai

5 pavyzdys: Gamykloje naudojama pasvirusi konvejerio juosta gaminiams transportuoti nuo 1 lygio iki 2 lygio, kuris yra 3 metrais aukščiau nei 1 lygis, kaip parodyta paveikslėlyje. Nuožulnus konvejeris aptarnaujamas iš vieno galo iki 1 lygio, o iš kito galo į darbo vietą, esančią 8 metrų atstumu nuo 1 lygio veikimo taško.

Gamykla nori atnaujinti konvejerį, kad pasiektų naują lygį, kuris yra 9 metrais virš 1 lygio, išlaikant konvejerio pasvirimo kampą.

Nustatykite atstumą, per kurį turi būti įrengta nauja darbo vieta, kad konvejeris veiktų naujajame gale 2 lygyje. Taip pat apskaičiuokite papildomą atstumą, kurį gaminys nuvažiuos perkeldamas į naują lygį.

Sprendimas:

Pirmiausia pažymėkime kiekvieną sankirtos tašką konkrečia raide, kaip parodyta paveikslėlyje.

Remiantis ankstesniuose pavyzdžiuose pateiktais samprotavimais, galime daryti išvadą, kad trikampiai ΔABC ir ΔADE yra panašūs. Vadinasi,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rodyklė dešinėn AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 mln
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Taigi naujas punktas turi būti įrengtas 16 metrų atstumu nuo esamo taško.

Ir kadangi konstrukcija susideda iš stačiųjų trikampių, gaminio judėjimo atstumą galime apskaičiuoti taip:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Panašiai $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
tai yra atstumas, kurį gaminys šiuo metu nuvažiuoja, kai pasiekia esamą lygį.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
tai yra papildomas atstumas, kurį gaminys turi nuvažiuoti, kad pasiektų naują lygį.

6 pavyzdys: Steve'as nori aplankyti savo draugą, kuris neseniai persikėlė gyventi naujas namas. Paveiksle pavaizduotas kelių žemėlapis iki Steve'o ir jo draugo namų bei Steve'o žinomi atstumai. Padėkite Steve'ui kuo greičiau patekti į jo draugo namus.

Sprendimas:

Kelio žemėlapį galima pavaizduoti geometriškai tokia forma, kaip parodyta paveikslėlyje.

Matome, kad trikampiai ΔABC ir ΔCDE yra panašūs, todėl:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Problemos pareiškime teigiama, kad:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km ir DE = 5 km

Naudodami šią informaciją galime apskaičiuoti šiuos atstumus:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

Steve'as gali patekti į savo draugo namus šiais maršrutais:

A -> B -> C -> E -> G, bendras atstumas 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, bendras atstumas 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, bendras atstumas 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, bendras atstumas 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Todėl maršrutas Nr.3 yra trumpiausias ir gali būti pasiūlytas Steve'ui.

7 pavyzdys:
Triša nori išmatuoti namo aukštį, bet neturi tinkamų įrankių. Ji pastebėjo, kad priešais namą auga medis, ir nusprendė panaudoti savo sumanumą bei mokykloje įgytas geometrijos žinias pastato aukščiui nustatyti. Ji išmatavo atstumą nuo medžio iki namo, rezultatas buvo 30 m. Tada atsistojo priešais medį ir pradėjo judėti atgal, kol viršutinis kraštas pastatas tapo matomas virš medžio lajos. Triša pažymėjo šią vietą ir išmatavo atstumą nuo jos iki medžio. Šis atstumas buvo 5 m.

Medžio aukštis – 2,8 m, o Trišos akių – 1,6 m. Padėkite Trišai nustatyti pastato aukštį.

Sprendimas:

Geometrinis uždavinio vaizdas parodytas paveikslėlyje.

Pirmiausia naudojame trikampių ΔABC ir ΔADE panašumą.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rodyklė dešinėn 2,8 \times AC = 1,6 \kartai (5) + AC) = 8 + 1,6 \karto AC $

$(2,8–1,6) \times AC = 8 \Darrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67 $

Tada galime naudoti trikampių ΔACB ir ΔAFG arba ΔADE ir ΔAFG panašumą. Pasirinkime pirmąjį variantą.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rodyklė dešinėn H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 m$