Pradėdami kalbėti apie vidurkius, žmonės dažniausiai prisimena, kaip baigė mokyklą ir įstojo į mokymo įstaigą. Tada pagal atestatą buvo skaičiuojamas balų vidurkis: sumuojami visi pažymiai (ir geri, ir nelabai), gauta suma padalinta iš jų skaičiaus. Taip apskaičiuojamas paprasčiausias vidurkio tipas, vadinamas paprastu aritmetiniu vidurkiu. Praktikoje naudojama statistika Skirtingos rūšys vidurkiai: aritmetiniai, harmoniniai, geometriniai, kvadratiniai, struktūriniai vidurkiai. Priklausomai nuo duomenų pobūdžio ir tyrimo tikslų, naudojamas vienas ar kitas tipas.

Vidutinė vertė yra labiausiai paplitęs statistinis rodiklis, kurio pagalba pateikiama bendra panašių reiškinių visumos charakteristika pagal vieną iš kintamųjų charakteristikų. Tai rodo gyventojų vieneto charakteristikos lygį. Vidutinių dydžių pagalba palyginamos įvairios populiacijos pagal įvairias charakteristikas, tiriami socialinio gyvenimo reiškinių ir procesų raidos dėsniai.

Statistikoje naudojamos dvi vidurkių klasės: galios (analitinis) ir struktūrinis. Pastarieji yra naudojami variacijų serijų struktūrai apibūdinti ir bus toliau aptariami skyriuje. 8.

Galios vidurkių grupė apima aritmetinius, harmoninius, geometrinius ir kvadratinius vidurkius. Atskiros jų skaičiavimo formulės gali būti sumažintos iki formos, bendros visiems galios vidurkiams, būtent

čia m yra laipsnio vidurkio eksponentas: kai m = 1, gauname aritmetinio vidurkio apskaičiavimo formulę, kai m = 0 - geometrinis vidurkis, m = -1 - harmoninis vidurkis, kai m = 2 - kvadratinis vidurkis ;

x i - parinktys (reikšmės, kurias paima atributas);

f i – dažniai.

Pagrindinė sąlyga, kuriai esant galios vidurkiai gali būti naudojami atliekant statistinę analizę, yra populiacijos homogeniškumas, kuriame neturėtų būti pradinių duomenų, kurie smarkiai skiriasi savo kiekybine verte (literatūroje jie vadinami anomaliniais stebėjimais).

Parodykime šios sąlygos svarbą tokiu pavyzdžiu.

6.1 pavyzdys. Apskaičiuokime vidurkį darbo užmokesčio mažos įmonės darbuotojų.

6.1 lentelė. Darbuotojų darbo užmokestis

Nr.	Atlyginimas, rub.	Nr.	Atlyginimas, rub.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Norint apskaičiuoti vidutinį darbo užmokestį, reikia susumuoti visiems įmonės darbuotojams priskaičiuotą darbo užmokestį (t. y. rasti darbo užmokesčio fondą) ir padalyti iš darbuotojų skaičiaus:

Dabar pridėkime prie mūsų viso tik vieną asmenį (šios įmonės direktorių), bet su 50 000 rublių atlyginimu. Šiuo atveju apskaičiuotas vidurkis bus visiškai kitoks:

Kaip matome, viršija 7000 rublių ir t.t. ji yra didesnė už visas atributų reikšmes, išskyrus vieną stebėjimą.

Užtikrinti, kad praktikoje tokių atvejų nepasitaikytų, o vidurkis neprarastų reikšmės (6.1 pavyzdyje jis nebeatliktų apibendrinančios populiacijos charakteristikos, kokios turėtų būti), skaičiuojant vidurkį, anomaliai, aštriai. išsiskiriantys stebėjimai turėtų būti neįtraukti į analizę, o temos padaryti populiaciją vienalytę arba suskirstyti populiaciją į vienarūšes grupes ir apskaičiuoti kiekvienos grupės vidutines reikšmes ir analizuoti ne bendrą vidurkį, o grupės vidutines reikšmes.

6.1. Aritmetinis vidurkis ir jo savybės

Aritmetinis vidurkis apskaičiuojamas kaip paprastas arba svertinis dydis.

Skaičiuodami vidutinį darbo užmokestį pagal 6.1 lentelės pavyzdžio duomenis, visas atributo reikšmes sudėjome ir padalinome iš jų skaičiaus. Skaičiavimų eigą parašysime paprastos aritmetinės vidurkio formulės forma

kur x i - parinktys (individualios charakteristikos vertės);

n yra vienetų skaičius visumoje.

6.2 pavyzdys. Dabar sugrupuokime duomenis iš lentelės 6.1 pavyzdyje ir kt. Sukurkime darbuotojų pasiskirstymo pagal darbo užmokesčio lygį diskrečiąją variacijų eilutę. Grupavimo rezultatai pateikti lentelėje.

Parašykime vidutinio darbo užmokesčio apskaičiavimo išraišką kompaktiškesne forma:

6.2 pavyzdyje buvo pritaikyta svertinio aritmetinio vidurkio formulė

kur f i yra dažniai, rodantys, kiek kartų atributo x i y reikšmė atsiranda populiacijos vienetais.

Aritmetinį svertinį vidurkį patogu apskaičiuoti lentelėje, kaip parodyta žemiau (6.3 lentelė):

6.3 lentelė. Aritmetinio vidurkio apskaičiavimas diskrečioje eilutėje

Pradiniai duomenys	Numatomas rodiklis
atlyginimas, rub.	darbuotojų skaičius, žmonės	darbo užmokesčio fondas, rub.
x i	f i	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Iš viso	20	132 080

Pažymėtina, kad paprastasis aritmetinis vidurkis naudojamas tais atvejais, kai duomenys nėra sugrupuoti ar sugrupuoti, tačiau visi dažniai yra lygūs.

Dažnai stebėjimo rezultatai pateikiami intervalų pasiskirstymo eilučių forma (žr. lentelę 6.4 pavyzdyje). Tada, skaičiuojant vidurkį, intervalų vidurio taškai imami x i. Jei pirmasis ir paskutinis intervalai yra atviri (neturi vienos iš ribų), tada jie yra sąlyginai „uždaryti“, šio intervalo reikšme imant gretimo intervalo reikšmę ir pan. pirmasis uždaromas pagal antrojo vertę, o paskutinis - pagal priešpaskutinės vertę.

6.3 pavyzdys. Remdamiesi vienos iš gyventojų grupių atrankinės apklausos rezultatais, apskaičiuosime vidutinių piniginių pajamų vienam gyventojui dydį.

Aukščiau pateiktoje lentelėje pirmojo intervalo vidurys yra 500. Iš tiesų, antrojo intervalo reikšmė yra 1000 (2000-1000); tada pirmojo apatinė riba yra 0 (1000-1000), o vidurinė - 500. Tą patį darome ir su paskutiniu intervalu. Viduryje laikome 25 000: priešpaskutinio intervalo reikšmė yra 10 000 (20 000–10 000), tada viršutinė riba yra 30 000 (20 000 + 10 000), o vidurinė atitinkamai yra 25 000.

6.4 lentelė. Aritmetinio vidurkio skaičiavimas intervalų eilutėje

Vidutinės grynųjų pinigų pajamos vienam gyventojui, rub. per mėnesį	Gyventojų skaičius iš viso, % f i	Intervalų vidurio taškai x i	x i f i
Iki 1000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20 000 ir daugiau	10,4	25 000	260 000
Iš viso	100,0	-	892 850

Tada vidutinės mėnesio pajamos vienam gyventojui bus

Dabar pakalbėkime apie kaip skaičiuoti Vidutinė vertė .
Klasikine forma bendroji statistikos teorija mums siūlo vieną vidutinės vertės pasirinkimo taisyklių variantą.
Pirmiausia turite sukurti teisingą loginę vidutinės vertės (AFV) skaičiavimo formulę. Kiekvienai vidutinei vertei visada yra tik viena loginė formulė jai apskaičiuoti, todėl čia sunku suklysti. Tačiau visada turime atsiminti, kad skaitiklyje (tai yra trupmenos viršuje) visų reiškinių suma, o vardiklyje (tai yra trupmenos apačioje) viso elementai.

Sudarę loginę formulę, galite naudoti taisykles (kad būtų lengviau suprasti, jas supaprastinsime ir sutrumpinsime):
1. Jei pirminiuose duomenyse (nustatytuose pagal dažnumą) yra loginės formulės vardiklis, tada skaičiavimas atliekamas naudojant svertinio aritmetinio vidurkio formulę.
2. Jei pirminiuose duomenyse pateikiamas loginės formulės skaitiklis, tada skaičiavimas atliekamas naudojant svertinio harmoninio vidurkio formulę.
3. Jei užduotyje pateikiamas ir loginės formulės skaitiklis, ir vardiklis (taip nutinka retai), tada atliekame skaičiavimą naudodami šią formulę arba paprastą aritmetinio vidurkio formulę.
Tai yra klasikinė idėja pasirinkti tinkamą vidurkio skaičiavimo formulę. Toliau pateikiame veiksmų seką sprendžiant vidutinės reikšmės skaičiavimo uždavinius.

Vidutinės vertės skaičiavimo uždavinių sprendimo algoritmas

A. Nustatykite vidutinės vertės apskaičiavimo metodą - paprastas arba svertinis . Jei duomenys pateikiami lentelėje, tai naudojame svertinį metodą, jei duomenys pateikiami paprastu surašymu, tai naudojame paprastą skaičiavimo metodą.

B. Nustatykite arba sutvarkykite simboliai – x - variantas, f – dažnis . Galima pasirinkti, kurio reiškinio vidutinę vertę norite rasti. Likę duomenys lentelėje bus dažnis.

B. Nustatome vidutinės vertės apskaičiavimo formą - aritmetinė arba harmoninė . Nustatymas atliekamas naudojant dažnio stulpelį. Aritmetinė forma naudojama, jei dažniai nurodyti aiškiu dydžiu (sąlygiškai galite pakeisti žodį gabalai, elementų skaičius "gabalai"). Harmoninė forma naudojama, jei dažniai nurodomi ne aiškiu dydžiu, o kompleksiniu rodikliu (vidutinio dydžio ir dažnio sandauga).

Sunkiausia atspėti, kur ir koks kiekis duotas, ypač tokiuose reikaluose nepatyrusiam studentui. Esant tokiai situacijai, galite naudoti vieną iš šių būdų. Kai kurioms užduotims (ekonominėms) tinka per ilgus praktikos metus parengtas teiginys (B.1 punktas). Kitose situacijose turėsite naudoti B.2 punktą.

B.1 Jei dažnis nurodomas piniginiais vienetais (rubliais), tada skaičiavimui naudojamas harmoninis vidurkis, šis teiginys visada teisingas, jei nustatytas dažnis nurodomas pinigais, kitose situacijose ši taisyklė negalioja.

B.2 Naudokite šiame straipsnyje nurodytas vidutinės vertės pasirinkimo taisykles. Jei dažnis pateikiamas vidutinės vertės apskaičiavimo loginės formulės vardikliu, tada apskaičiuojame naudodamiesi aritmetinio vidurkio forma, jei dažnis pateikiamas pagal vidutinės vertės skaičiavimo loginės formulės skaitiklį, tada apskaičiuojame naudodami harmoninė vidurkio forma.

Pažvelkime į šio algoritmo naudojimo pavyzdžius.

A. Kadangi duomenys pateikiami eilutėje, naudojame paprastą skaičiavimo metodą.

B.V. Turime tik duomenis apie pensijų dydį, o jie bus mūsų pasirinkimas - x. Duomenys pateikiami kaip paprastas skaičius (12 žmonių), skaičiavimui naudojame paprastą aritmetinį vidurkį.

Vidutinė pensininko pensija yra 9208,3 rubliai.

B. Kadangi reikia rasti vidutinį mokėjimą vienam vaikui, pirmoje skiltyje yra parinktys, ten dedame žymėjimą x, antrasis stulpelis automatiškai tampa dažniu f.

B. Dažnis (vaikų skaičius) nurodomas aiškiai išreikštu kiekiu (galite pakeisti žodį „vaikai“, rusų kalbos požiūriu tai yra neteisinga frazė, bet iš tikrųjų labai patogu patikrinti), o tai reiškia, kad skaičiavimui naudojamas svertinis aritmetinis vidurkis.

Tą pačią problemą galima išspręsti ne formuliniu, o lentelės metodu, tai yra, visus tarpinių skaičiavimų duomenis suvedant į lentelę.

Todėl viskas, ką dabar reikia padaryti, yra atskirti dvi sumas teisinga tvarka.

Vidutinė išmoka vienam vaikui per mėnesį buvo 1910 rublių.

A. Kadangi duomenys pateikti lentelėje, skaičiavimui naudojame svertinę formą.

B. Dažnis (gamybos savikaina) nurodomas numanomu dydžiu (dažnis nurodomas rublių algoritmo taškas B1), o tai reiškia, kad skaičiavimui naudojamas svertinis harmoninis vidurkis. Apskritai, iš esmės gamybos savikaina yra kompleksinis rodiklis, kuris gaunamas padauginus produkto vieneto savikainą iš tokių gaminių skaičiaus, tai yra harmoninio vidurkio esmė.

Kad ši problema būtų išspręsta naudojant aritmetinio vidurkio formulę, būtina, kad vietoj gamybos savikainos būtų keletas gaminių su atitinkama savikaina.

Atkreipkite dėmesį, kad po skaičiavimų gauta suma vardiklyje yra 410 (120+80+210), tai yra bendras pagamintų gaminių skaičius.

Vidutinė produkto vieneto kaina buvo 314,4 rubliai.

A. Kadangi duomenys pateikti lentelėje, skaičiavimui naudojame svertinę formą.

B. Kadangi reikia rasti vidutinę produkto vieneto kainą, parinktys yra pirmame stulpelyje, ten dedame žymėjimą x, antrasis stulpelis automatiškai tampa dažniu f.

B. Dažnumas (bendras neatvykimų skaičius) pateikiamas numanomu dydžiu (tai yra dviejų neatvykimų skaičiaus ir mokinių, turinčių tokį neatvykimų skaičių, rodiklių sandauga), o tai reiškia, kad naudojamas svertinis harmoninis vidurkis. apskaičiavimui. Naudosime algoritmo tašką B2.

Norint, kad ši problema būtų išspręsta naudojant aritmetinio vidurkio formulę, vietoj to būtina iš viso trūko mokinių skaičiaus.

Sudarome loginę formulę, kaip apskaičiuoti vidutinį vieno mokinio neatvykimų skaičių.

Dažnis pagal užduoties sąlygas Bendras praleidimų skaičius. Loginėje formulėje šis rodiklis yra skaitiklyje, o tai reiškia, kad naudojame harmoninio vidurkio formulę.

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje esanti suma, gauta po skaičiavimų 31 (18+8+5), yra bendras studentų skaičius.

Vidutinis vieno mokinio neatvykimų skaičius yra 13,8 dienos.

Aritmetinio vidurkio ir geometrinio vidurkio tema įtraukta į 6-7 klasių matematikos programą. Kadangi pastraipa gana lengvai suprantama, ji greitai praeina, o baigiantis mokslo metams mokiniai ją pamiršo. Tačiau tam reikalingos pagrindinės statistikos žinios išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą, taip pat už tarptautinius egzaminus SAT. Taip ir už Kasdienybė išvystytas analitinis mąstymas niekada nekenkia.

Kaip apskaičiuoti skaičių aritmetinį ir geometrinį vidurkį

Tarkime, kad yra skaičių eilutė: 11, 4 ir 3. Aritmetinis vidurkis yra visų skaičių suma, padalyta iš pateiktų skaičių. Tai yra, skaičių 11, 4, 3 atveju atsakymas bus 6. Kaip gauti 6?

Sprendimas: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Vardiklyje turi būti skaičius, lygus skaičių, kurių vidurkį reikia rasti, skaičiui. Suma dalijasi iš 3, nes yra trys nariai.

Dabar turime išsiaiškinti geometrinį vidurkį. Tarkime, kad yra skaičių serija: 4, 2 ir 8.

Skaičių geometrinis vidurkis yra visų pateiktų skaičių sandauga, esanti po šaknimi, kurios galia lygi nurodytų skaičių skaičiui. Tai reiškia, kad skaičių 4, 2 ir 8 atveju atsakymas bus 4. Štai kaip. tai paaiškėjo:

Sprendimas: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Abiejuose variantuose gavome ištisus atsakymus, nes pavyzdžiui buvo paimti specialūs skaičiai. Taip nutinka ne visada. Daugeliu atvejų atsakymas turi būti suapvalintas arba paliktas šaknyje. Pavyzdžiui, skaičių 11, 7 ir 20 aritmetinis vidurkis yra ≈ 12,67, o geometrinis vidurkis yra ∛1540. O į skaičius 6 ir 5 atsakymai bus atitinkamai 5,5 ir √30.

Ar gali atsitikti taip, kad aritmetinis vidurkis taps lygus geometriniam vidurkiui?

Žinoma, kad gali. Bet tik dviem atvejais. Jei yra skaičių serija, susidedanti tik iš vienetų arba nulių. Taip pat pažymėtina, kad atsakymas nepriklauso nuo jų skaičiaus.

Įrodymas su vienetais: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetinis vidurkis).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrinis vidurkis).

Įrodymas su nuliais: (0 + 0) / 2=0 (aritmetinis vidurkis).

√(0 × 0) = 0 (geometrinis vidurkis).

Kito varianto nėra ir negali būti.

Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. vidutinę reikšmę.

Vidutinis(matematikoje ir statistikoje) skaičių aibės – visų skaičių suma, padalinta iš jų skaičiaus. Tai vienas iš labiausiai paplitusių centrinės tendencijos matų.

Jį (kartu su geometriniu vidurkiu ir harmoniniu vidurkiu) pasiūlė pitagoriečiai.

Specialūs aritmetinio vidurkio atvejai yra vidurkis (bendra visuma) ir imties vidurkis (imtis).

Įvadas

Pažymime duomenų rinkinį X = (x 1 , x 2 , …, x n), tada imties vidurkis paprastai nurodomas horizontalia juosta virš kintamojo (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), tariama " x su linija").

Graikiška raidė μ naudojama visos populiacijos aritmetiniam vidurkiui žymėti. Atsitiktinio dydžio, kurio vidutinė vertė nustatoma, μ yra tikimybės vidurkis arba atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis. Jei rinkinys X yra atsitiktinių skaičių, kurių tikimybinis vidurkis μ, rinkinys, tada bet kuriai imčiai x i iš šios aibės μ = E( x i) yra šios imties matematinis lūkestis.

Praktiškai skirtumas tarp μ ir x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) yra tas, kad μ yra tipiškas kintamasis, nes galite matyti imtį, o ne visą populiaciją. Todėl, jei imtis pavaizduota atsitiktinai (tikimybių teorijos požiūriu), tada x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (bet ne μ) gali būti traktuojamas kaip atsitiktinis kintamasis, turintis tikimybių pasiskirstymą imtyje ( vidurkio tikimybių skirstinys).

Abu šie dydžiai apskaičiuojami taip pat:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\ctaškai +x_(n)).

Jeigu X yra atsitiktinis dydis, tada matematinis lūkestis X gali būti laikomas verčių aritmetiniu vidurkiu pakartotinai matuojant kiekį X. Tai yra įstatymo apraiška dideli skaičiai. Todėl imties vidurkis naudojamas nežinomai laukiamai vertei įvertinti.

Elementariojoje algebroje įrodyta, kad vidurkis n+ 1 skaičius viršija vidurkį n skaičiai tada ir tik tada, kai naujasis skaičius yra didesnis už senąjį vidurkį, mažesnis tada ir tik tada, kai naujasis skaičius yra mažesnis už vidurkį, ir nesikeičia tada ir tik tada, kai naujasis skaičius yra lygus vidurkiui. Daugiau n, tuo mažesnis skirtumas tarp naujų ir senų vidurkių.

Atkreipkite dėmesį, kad yra keletas kitų „vidurkių“, įskaitant galios vidurkį, Kolmogorovo vidurkį, harmoninį vidurkį, aritmetinį-geometrinį vidurkį ir įvairius svertinius vidurkius (pvz., svertinį aritmetinį vidurkį, svertinį geometrinį vidurkį, svertinį harmoninį vidurkį).

Pavyzdžiai

• Norėdami gauti tris skaičius, turite juos pridėti ir padalyti iš 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).

• Jei norite gauti keturis skaičius, turite juos pridėti ir padalyti iš 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).

Arba paprasčiau 5+5=10, 10:2. Kadangi mes sudėjome 2 skaičius, o tai reiškia, kiek skaičių pridedame, dalijame iš tiek.

Nuolatinis atsitiktinis dydis

Nuolat paskirstyto dydžio f (x) (\displaystyle f(x)) aritmetinis vidurkis intervale [ a ; b ] (\displaystyle ) nustatomas per apibrėžtą integralą:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Kai kurios vidurkio naudojimo problemos

Trūksta tvirtumo

Pagrindinis straipsnis: Tvirtumas statistikoje

Nors aritmetiniai vidurkiai dažnai naudojami kaip vidurkiai arba pagrindinės tendencijos, ši sąvoka nėra patikima statistika, o tai reiškia, kad aritmetiniam vidurkiui didelę įtaką daro „dideli nukrypimai“. Pastebėtina, kad skirstiniuose su dideliu iškrypimo koeficientu aritmetinis vidurkis gali neatitikti „vidurkio“ sąvokos, o vidurkio reikšmės iš patikimos statistikos (pavyzdžiui, mediana) gali geriau apibūdinti centrinę vertę. tendencija.

Klasikinis pavyzdys yra vidutinių pajamų apskaičiavimas. Aritmetinis vidurkis gali būti klaidingai interpretuojamas kaip mediana, todėl galima daryti išvadą, kad žmonių, gaunančių didesnes pajamas, yra daugiau nei iš tikrųjų. „Vidutinės“ pajamos aiškinamos taip, kad dauguma žmonių turi maždaug šio skaičiaus pajamas. Šios „vidutinės“ (aritmetinio vidurkio prasme) pajamos yra didesnės už daugumos žmonių pajamas, nes dėl didelių pajamų, kurios labai nukrypsta nuo vidurkio, aritmetinis vidurkis yra labai iškreiptas (priešingai, vidutinės pajamos prie medianos). „priešina“ tokiam iškrypimui). Tačiau šios „vidutinės“ pajamos nieko nesako apie žmonių skaičių, artimą vidutinėms pajamoms (ir nieko nesako apie žmonių skaičių, artimą modalinėms pajamoms). Tačiau jei į sąvokas „vidutinis“ ir „dauguma žmonių“ žiūrėsite lengvai, galite padaryti neteisingą išvadą, kad dauguma žmonių turi didesnes pajamas, nei yra iš tikrųjų. Pavyzdžiui, ataskaita apie „vidutinį“ grynųjų pajamų Medinoje, Vašingtone, apskaičiuotą kaip aritmetinį visų metinių gyventojų grynųjų pajamų vidurkį, duotų stebėtinai didelį skaičių dėl Billo Gateso. Apsvarstykite pavyzdį (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetinis vidurkis yra 3,17, bet penkios iš šešių verčių yra mažesnės už šį vidurkį.

Sudėtinės palūkanos

Pagrindinis straipsnis: Investicijų grąža

Jei skaičiai padauginti, bet ne sulankstyti, reikia naudoti geometrinį vidurkį, o ne aritmetinį vidurkį. Dažniausiai šis incidentas įvyksta skaičiuojant investicijų į finansus grąžą.

Pavyzdžiui, jei pirmaisiais metais akcijos nukrito 10%, o antraisiais pabrango 30%, tada neteisinga skaičiuoti „vidutinį“ padidėjimą per tuos dvejus metus kaip aritmetinį vidurkį (–10% + 30%) / 2 = 10 %; teisingą vidurkį šiuo atveju duoda sudėtinis metinis augimo tempas, kuris suteikia tik apie 8,16653826392 % ≈ 8,2 % metinį augimo tempą.

Taip yra todėl, kad procentai kiekvieną kartą turi naują atskaitos tašką: 30% yra 30% nuo mažesnio skaičiaus nei kaina pirmųjų metų pradžioje: jei akcijų kaina prasidėjo nuo 30 USD ir nukrito 10%, antrųjų metų pradžioje jos vertė yra 27 USD. Jei akcijos padidėtų 30%, antrųjų metų pabaigoje jų vertė būtų 35,1 USD. Aritmetinis šio augimo vidurkis yra 10%, bet kadangi akcijos per 2 metus pabrango tik 5,1 USD, vidutinis augimas 8,2% duoda galutinį rezultatą 35,1 USD:

[30 USD (1–0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Jei lygiai taip pat naudosime vidurkį aritmetinė vertė 10%, negausime tikrosios vertės: [30 USD (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 USD].

Sudėtinės palūkanos 2 metų pabaigoje: 90% * 130% = 117%, tai yra, bendras padidėjimas yra 17%, o vidutinės metinės sudėtinės palūkanos yra 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%) ))\apytiksliai 108,2\%) , tai yra vidutinis metinis padidėjimas 8,2%.

Kryptys

Pagrindinis straipsnis: Paskirties vietos statistika

Skaičiuojant kai kurių kintamųjų, kurie kinta cikliškai (pvz., fazės ar kampo) aritmetinį vidurkį, reikia būti ypač atsargiems. Pavyzdžiui, 1° ir 359° vidurkis būtų 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Šis skaičius neteisingas dėl dviejų priežasčių.

• Pirma, kampiniai matai nustatomi tik diapazone nuo 0° iki 360° (arba nuo 0 iki 2π, matuojant radianais). Taigi tą pačią skaičių porą galima parašyti kaip (1° ir −1°) arba kaip (1° ir 719°). Kiekvienos poros vidutinės reikšmės skirsis: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ circ )) .
• Antra, šiuo atveju 0° reikšmė (atitinka 360°) bus geometriškai geresnė vidutinė vertė, nes skaičiai nuo 0° nukrypsta mažiau nei nuo bet kurios kitos reikšmės (reikšmė 0° turi mažiausią dispersiją). Palyginti:
  • skaičius 1° nukrypsta nuo 0° tik 1°;
  • skaičius 1° nukrypsta nuo apskaičiuoto 180° vidurkio 179°.

Vidutinė ciklinio kintamojo vertė, apskaičiuota naudojant pirmiau pateiktą formulę, bus dirbtinai perkelta, palyginti su realiu vidurkiu, link skaitinio diapazono vidurio. Dėl šios priežasties vidurkis apskaičiuojamas kitu būdu, ty skaičius su mažiausia dispersija ( centrinis taškas). Be to, vietoj atimties naudojamas modulinis atstumas (tai yra apskritimo atstumas). Pavyzdžiui, modulinis atstumas tarp 1° ir 359° yra 2°, o ne 358° (apskritime tarp 359° ir 360° = 0° – vienas laipsnis, tarp 0° ir 1° – taip pat 1°, iš viso - 2 °).

4.3. Vidutinės reikšmės. Vidutinių vertybių esmė ir reikšmė

Vidutinis dydis statistikoje yra bendras rodiklis, apibūdinantis tipinį reiškinio lygį konkrečiomis vietos ir laiko sąlygomis, atspindintis kintamos charakteristikos reikšmę kokybiškai vienalytės populiacijos vienetui. Ekonominėje praktikoje naudojami įvairūs rodikliai, skaičiuojami kaip vidutinės reikšmės.

Pavyzdžiui, bendras darbuotojų pajamų rodiklis akcinė bendrovė(UAB) – vidutinės vieno darbuotojo pajamos, nustatomos pagal nagrinėjamo laikotarpio (metų, ketvirčio, ​​mėnesio) darbo užmokesčio fondo ir socialinių išmokų santykį su UAB darbuotojų skaičiumi.

Vidurkio apskaičiavimas yra vienas iš įprastų apibendrinimo būdų; Vidutinis rodiklis atspindi tai, kas yra bendra (tipiška) visiems tiriamos populiacijos vienetams, o kartu nepaiso atskirų vienetų skirtumų. Kiekviename reiškinyje ir jo raidoje yra derinys nelaimingų atsitikimų Ir būtinybė. Skaičiuojant vidurkius, dėl didelių skaičių dėsnio veikimo atsitiktinumas anuliuoja ir išsibalansuoja, todėl kiekvienu konkrečiu atveju galima abstrahuotis nuo nesvarbių reiškinio ypatybių, nuo charakteristikos kiekybinių reikšmių. . Gebėjimas abstrahuotis nuo individualių verčių atsitiktinumo, svyravimų slypi mokslinėje vidurkių, kaip apibendrinant populiacijų ypatybės.

Kai iškyla apibendrinimo poreikis, apskaičiavus tokias charakteristikas, pakeičiama daug skirtingų individualių požymio verčių. vidutinis rodiklis, apibūdinantis visą reiškinių visumą, leidžiantis nustatyti masiniams socialiniams reiškiniams būdingus modelius, kurie atskiruose reiškiniuose nematomi.

Vidurkis atspindi būdingą, tipinį, realų tiriamų reiškinių lygį, charakterizuoja šiuos lygius ir jų pokyčius laike ir erdvėje.

Vidurkis yra apibendrinta proceso dėsnių charakteristika tomis sąlygomis, kuriomis jis vyksta.

4.4. Vidurkių rūšys ir jų skaičiavimo metodai

Vidurkio tipo pasirinkimą lemia tam tikro rodiklio ekonominis turinys ir pirminiai duomenys. Kiekvienu konkrečiu atveju naudojama viena iš vidutinių verčių: aritmetika, garmonicinis, geometrinis, kvadratinis, kubinis ir tt Išvardinti vidurkiai priklauso klasei raminantis vidutinis.

Be galios vidurkių, statistinėje praktikoje naudojami struktūriniai vidurkiai, kurie laikomi režimu ir mediana.

Pakalbėkime išsamiau apie galios vidurkius.

Aritmetinis vidurkis

Labiausiai paplitęs vidurkio tipas yra vidutinis aritmetika. Jis naudojamas tais atvejais, kai visos populiacijos kintamos charakteristikos tūris yra atskirų jos vienetų charakteristikų verčių suma. Socialiniams reiškiniams būdingas kintamos charakteristikos apimčių adityvumas (suvestumas), tai lemia aritmetinio vidurkio taikymo sritį ir paaiškina jo, kaip bendrojo rodiklio, paplitimą, pvz.: bendras darbo užmokesčio fondas yra darbo užmokesčio suma; visų darbininkų, bendras derlius – tai iš viso sėjos ploto pagamintos produkcijos suma.

Norėdami apskaičiuoti aritmetinį vidurkį, visų savybių reikšmių sumą turite padalyti iš jų skaičiaus.

Formoje naudojamas aritmetinis vidurkis paprastasis vidurkis ir svertinis vidurkis. Pradinė, apibrėžianti forma yra paprastas vidurkis.

Paprastas aritmetinis vidurkis lygi paprastai vidutinių charakteristikų individualių verčių sumai, padalytai iš bendro šių verčių skaičiaus (naudojama tais atvejais, kai yra nesugrupuotos individualios charakteristikos reikšmės):

Kur
- individualios kintamojo reikšmės (variantai); m - vienetų skaičius populiacijoje.

Be to, sumavimo ribos formulėse nebus nurodytos. Pavyzdžiui, reikia rasti vidutinę vieno darbininko (mechaniko) produkciją, jei žinote, kiek dalių pagamino kiekvienas iš 15 darbuotojų, t.y. pateikta keletas individualių charakteristikos reikšmių, vnt.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Paprastasis aritmetinis vidurkis apskaičiuojamas pagal (4.1) formulę, 1 vnt.:

Vadinamas variantų, kurie pasikartoja skirtingą skaičių kartų arba, kaip sakoma, turi skirtingą svorį, vidurkis svertinis. Svoriai yra vienetų skaičius skirtingos grupės agregatai (identiški variantai sujungiami į grupę).

Svertinis aritmetinis vidurkis- sugrupuotų verčių vidurkis, - apskaičiuojamas pagal formulę:

, (4.2)

Kur
- svoris (identiškų ženklų pasikartojimo dažnis);

- požymių dydžio ir jų dažnių sandaugų suma;

- bendro gyventojų vienetų skaičiaus.

Svertinio aritmetinio vidurkio apskaičiavimo techniką iliustruojame aukščiau aptartu pavyzdžiu. Norėdami tai padaryti, sugrupuosime šaltinio duomenis ir patalpinsime juos į lentelę. 4.1.

4.1 lentelė

Darbuotojų paskirstymas detalių gamybai

Pagal (4.2) formulę svertinis aritmetinis vidurkis yra lygus, vnt.:

Kai kuriais atvejais svoriai gali būti pateikiami ne kaip absoliučios vertės, o kaip santykinės vertės (procentais arba vieneto dalimis). Tada aritmetinio svertinio vidurkio formulė atrodys taip:

Kur
- specifiškumas, t.y. kiekvieno dažnio dalis bendroje visų sumoje

Jei dažniai skaičiuojami trupmenomis (koeficientais), tada
= 1, o aritmetiškai svertinio vidurkio formulė yra tokia:

Svertinio aritmetinio vidurkio apskaičiavimas iš grupės vidurkių atliekama pagal formulę:

,

Kur f-vienetų skaičius kiekvienoje grupėje.

Grupės vidurkių aritmetinio vidurkio apskaičiavimo rezultatai pateikti lentelėje. 4.2.

4.2 lentelė

Darbuotojų pasiskirstymas pagal vidutinį darbo stažą

Šiame pavyzdyje parinktys yra ne individualūs duomenys apie atskirų darbuotojų darbo stažą, o kiekvienos dirbtuvės vidurkis. Svarstyklės f yra darbuotojų skaičius parduotuvėse. Taigi vidutinė darbuotojų darbo patirtis visoje įmonėje bus metai:

.

Aritmetinio vidurkio skaičiavimas pasiskirstymo eilutėse

Jei apskaičiuojamos charakteristikos reikšmės nurodomos intervalų forma („nuo - iki“), t.y. pasiskirstymo intervalų serijas, tada skaičiuojant aritmetinį vidurkį šių intervalų vidurio taškai laikomi grupių charakteristikų reikšmėmis, todėl susidaro atskira eilutė. Apsvarstykite šį pavyzdį (4.3 lentelė).

Pereikime nuo intervalų serijos į diskrečią eilutę, pakeisdami intervalų reikšmes jų vidutinėmis reikšmėmis/(paprastas vidurkis

4.3 lentelė

UAB darbuotojų pasiskirstymas pagal mėnesinį atlyginimo lygį

Darbuotojų grupės	Darbuotojų skaičius	Intervalo vidurys
darbo užmokestis, trintis.	žmonės, f	trinti., X
900 ar daugiau

atvirų intervalų reikšmės (pirmasis ir paskutinis) sąlyginai prilyginami greta jų esantiems intervalams (antrasis ir priešpaskutinis).

Apskaičiuojant šį vidurkį, leidžiamas tam tikras netikslumas, nes daroma prielaida apie tolygų charakteristikos vienetų pasiskirstymą grupėje. Tačiau kuo siauresnis intervalas ir kuo daugiau vienetų intervale, tuo mažesnė paklaida.

Suradus intervalų vidurio taškus, skaičiavimai atliekami taip pat, kaip ir diskrečioje eilutėje - variantai dauginami iš dažnių (svorių), o sandaugų suma dalijama iš dažnių (svorių) sumos. , tūkstančiai rublių:

.

Taigi, vidutinis lygis UAB darbuotojų atlyginimas – 729 rubliai. per mėnesį.

Aritmetinio vidurkio apskaičiavimas dažnai reikalauja daug laiko ir darbo. Tačiau daugeliu atvejų vidurkio apskaičiavimo procedūra gali būti supaprastinta ir palengvinta, jei naudojate jo savybes. Pateiksime (be įrodymų) kai kurias pagrindines aritmetinio vidurkio savybes.

1 nuosavybė. Jei visos individualios charakteristikos reikšmės (t. visos galimybės) sumažinti arba padidinti ikartų, tada vidutinė vertė nauja charakteristika atitinkamai sumažės arba padidės ikartą.

2 nuosavybė. Jei sumažinami visi vidurkinami charakteristikos variantaisiūti arba padidinti skaičiumi A, tada atitinka aritmetinį vidurkįiš tikrųjų sumažės arba padidės tuo pačiu skaičiumi A.

3 nuosavybė. Jei visų suvidurkintų variantų svoriai sumažinami arba padidinti Į kartų, tada aritmetinis vidurkis nepasikeis.

Kaip vidutinius svorius, o ne absoliučius rodiklius, galite naudoti konkrečius bendros sumos svorius (dalijas arba procentus). Tai supaprastina vidurkio skaičiavimus.

Norėdami supaprastinti vidurkio skaičiavimus, jie eina mažinant parinkčių ir dažnių vertes. Didžiausias supaprastinimas pasiekiamas, kai, kaip A vienos iš centrinių parinkčių, kurios dažnis yra didžiausias, reikšmė pasirenkama kaip / - intervalo reikšmė (serijai su vienodais intervalais). Dydis A vadinamas atskaitos tašku, todėl šis vidurkio apskaičiavimo būdas vadinamas „skaičiavimo nuo sąlyginio nulio metodu“ arba „akimirkų būdu“.

Tarkime, kad visi variantai X iš pradžių sumažėjo tuo pačiu skaičiumi A, o paskui sumažėjo i kartą. Gauname naują variacinę naujų variantų paskirstymo seriją .

Tada naujų variantų bus išreikšta:

,

ir jų naujas aritmetinis vidurkis , -pirmo užsakymo momentas- formulė:

.

Jis lygus pradinių variantų vidurkiui, pirmiausia sumažintam A, ir tada į i kartą.

Norint gauti tikrąjį vidurkį, reikalingas pirmos eilės momentas m 1 , padauginkite iš i ir pridėkite A:

.

Šis metodas aritmetinio vidurkio apskaičiavimas iš variacijų eilutės vadinamas „akimirkų būdu“.Šis metodas naudojamas eilutėmis vienodais intervalais.

Aritmetinio vidurkio apskaičiavimą momentų metodu iliustruoja lentelės duomenys. 4.4.

4.4 lentelė

Mažų įmonių pasiskirstymas regione pagal ilgalaikio gamybinio turto (FPF) vertę 2000 m.

Įmonių grupės pagal OPF vertę, tūkstančiai rublių.	Įmonių skaičius f	Intervalų vidurio taškai x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Pirmojo užsakymo momento radimas

.

Tada imant A = 19 ir tai žinant i= 2, apskaičiuokite X, tūkstantis rublių:

Vidutinių verčių tipai ir jų skaičiavimo metodai

Scenoje statistinis apdorojimas Gali būti keliamos įvairios tyrimo problemos, kurių sprendimui reikia parinkti tinkamą vidurkį. Tokiu atveju reikia vadovautis tokia taisykle: dydžiai, kurie reiškia vidurkio skaitiklį ir vardiklį, turi būti logiškai susiję vienas su kitu.

• galios vidurkiai;
• struktūriniai vidurkiai.

Pristatykime šias konvencijas:

Kiekiai, kurių vidurkis skaičiuojamas;

Vidurkis, kur aukščiau esanti juosta rodo, kad vyksta atskirų verčių vidurkis;

Dažnis (atskirų charakteristikų reikšmių pakartojamumas).

Įvairūs vidurkiai gaunami iš bendros galios vidurkio formulės:

(5.1)

kai k = 1 - aritmetinis vidurkis; k = -1 - harmoninis vidurkis; k = 0 - geometrinis vidurkis; k = -2 – vidutinis kvadratas.

Vidutinės vertės gali būti paprastos arba svertinės. Svertiniai vidurkiai Tai yra reikšmės, kuriose atsižvelgiama į tai, kad kai kurie atributų reikšmių variantai gali turėti skirtingus skaičius, todėl kiekviena parinktis turi būti padauginta iš šio skaičiaus. Kitaip tariant, „svarstyklės“ yra suvestinių vienetų skaičiai skirtingose ​​grupėse, t.y. Kiekviena parinktis yra „sveriama“ pagal jos dažnumą. Dažnis f vadinamas statistinis svoris arba Vidutinis svoris.

Aritmetinis vidurkis- labiausiai paplitęs vidurkio tipas. Jis naudojamas, kai skaičiuojama su negrupuotais statistiniais duomenimis, kur reikia gauti vidutinį terminą. Aritmetinis vidurkis – tai vidutinė charakteristikos reikšmė, kurią gavus bendras charakteristikos tūris visumoje išlieka nepakitęs.

Aritmetinio vidurkio formulė ( paprastas) turi formą

kur n yra populiacijos dydis.

Pavyzdžiui, vidutinis įmonės darbuotojų atlyginimas apskaičiuojamas kaip aritmetinis vidurkis:

Čia lemiami rodikliai yra kiekvieno darbuotojo atlyginimas ir įmonės darbuotojų skaičius. Skaičiuojant vidurkį, bendra darbo užmokesčio suma išliko ta pati, tačiau paskirstyta visiems darbuotojams po lygiai. Pavyzdžiui, reikia apskaičiuoti vidutinį darbuotojų atlyginimą mažoje įmonėje, kurioje dirba 8 žmonės:

Skaičiuojant vidutines reikšmes, atskiros charakteristikos reikšmės, kurios yra suvidurkintos, gali būti kartojamos, todėl vidutinė vertė apskaičiuojama naudojant sugrupuotus duomenis. Tokiu atveju mes kalbame apie apie naudojimą svertinis aritmetinis vidurkis, kuris turi formą

(5.3)

Taigi, turime apskaičiuoti vidutinę akcinės bendrovės akcijų kainą biržoje. Yra žinoma, kad sandoriai buvo įvykdyti per 5 dienas (5 sandoriai), parduotų akcijų skaičius pagal pardavimo kursą pasiskirstė taip:

1 - 800 ak. - 1010 rub.

2 - 650 ak. - 990 rub.

3 - 700 ak. - 1015 rubliai.

4 - 550 ak. - 900 rublių.

5 - 850 ak. - 1150 rublių.

Pradinis vidutinės akcijų kainos nustatymo koeficientas yra bendros sandorių sumos (TVA) ir parduotų akcijų skaičiaus (KPA) santykis.

5.1. Vidutinės vertės samprata

Vidutinė vertė - Tai bendras rodiklis, apibūdinantis tipinį reiškinio lygį. Jis išreiškia charakteristikos reikšmę populiacijos vienetui.

Vidurkis visada apibendrina kiekybinį požymio kitimą, t.y. vidutinėse reikšmėse eliminuojami individualūs skirtumai tarp populiacijos vienetų dėl atsitiktinių aplinkybių. Priešingai nei vidurkis, absoliuti reikšmė, apibūdinanti atskiro populiacijos vieneto charakteristikos lygį, neleidžia palyginti charakteristikos reikšmių tarp vienetų, priklausančių skirtingoms populiacijoms. Taigi, jei jums reikia palyginti dviejų įmonių darbuotojų atlyginimų lygius, jūs negalite lyginti šią savybę du darbuotojai iš skirtingų įmonių. Palyginimui atrinktų darbuotojų atlyginimas šioms įmonėms gali būti nebūdingas. Lyginant darbo užmokesčio fondų dydį nagrinėjamose įmonėse, neatsižvelgiama į darbuotojų skaičių, todėl neįmanoma nustatyti, kur darbo užmokesčio lygis didesnis. Galiausiai gali būti lyginami tik vidutiniai rodikliai, t.y. Kiek vidutiniškai uždirba vienas darbuotojas kiekvienoje įmonėje? Taigi, reikia apskaičiuoti vidutinę reikšmę kaip apibendrinančią populiacijos charakteristiką.

Vidurkio apskaičiavimas yra vienas iš įprastų apibendrinimo būdų; vidutinis rodiklis paneigia tai, kas yra bendra (tipiška) visiems tiriamos populiacijos vienetams, o tuo pačiu ignoruoja atskirų vienetų skirtumus. Kiekviename reiškinyje ir jo raidoje yra atsitiktinumo ir būtinybės derinys. Skaičiuojant vidurkius, dėl didelių skaičių dėsnio veikimo atsitiktinumas anuliuoja ir išsibalansuoja, todėl kiekvienu konkrečiu atveju galima abstrahuotis nuo nesvarbių reiškinio ypatybių, nuo charakteristikos kiekybinių reikšmių. . Gebėjimas abstrahuotis nuo atskirų verčių atsitiktinumo ir svyravimų yra mokslinė vidurkių, kaip agregatų apibendrinančių charakteristikų, vertė.

Kad vidurkis būtų tikrai reprezentatyvus, jis turi būti skaičiuojamas atsižvelgiant į tam tikrus principus.

Pažiūrėkime kai kuriuos Bendri principai vidutinių verčių taikymas.
1. Turi būti nustatytas populiacijų, sudarytų iš kokybiškai vienarūšių vienetų, vidurkis.
2. Vidurkis turi būti skaičiuojamas populiacijai, kurią sudaro pakankamai didelis skaičius vienetų.
3. Vidurkis turi būti skaičiuojamas populiacijai, kurios vienetai yra normalios, natūralios būklės.
4. Vidurkis turėtų būti skaičiuojamas atsižvelgiant į tiriamo rodiklio ekonominį turinį.

5.2. Vidurkių rūšys ir jų skaičiavimo metodai

Dabar panagrinėkime vidutinių verčių tipus, jų skaičiavimo ypatybes ir taikymo sritis. Vidutinės vertės skirstomos į dvi dideles klases: galios vidurkius, struktūrinius vidurkius.

KAM galios vidurkis Tai apima labiausiai žinomus ir dažniausiai naudojamus tipus, tokius kaip geometrinis vidurkis, aritmetinis vidurkis ir kvadratinis vidurkis.

Kaip struktūriniai vidurkiai atsižvelgiama į režimą ir medianą.

Sutelkime dėmesį į galios vidurkius. Galios vidurkiai, priklausomai nuo šaltinio duomenų pateikimo, gali būti paprasti arba svertiniai. Paprastas vidurkis Jis apskaičiuojamas remiantis nesugrupuotais duomenimis ir turi tokią bendrą formą:

čia X i yra charakteristikos, kurios vidurkis, variantas (reikšmė);

n – skaičiaus parinktis.

Svertinis vidurkis yra apskaičiuojamas pagal sugrupuotus duomenis ir turi bendrą išvaizdą

,

čia X i yra charakteristikos, kurios vidurkis, variantas (reikšmė) arba vidutinė intervalo, kuriame matuojamas variantas, reikšmė;
m – vidutinis laipsnio indeksas;
f i – dažnis, rodantis, kiek kartų jis kartojasi i-e vertė vidutinė charakteristika.

Pateiksime kaip pavyzdį 20 žmonių grupės studentų vidutinio amžiaus skaičiavimą:

Vidutinį amžių apskaičiuojame naudodami paprastą vidurkio formulę:

Sugrupuokime šaltinio duomenis. Gauname šias paskirstymo serijas:

Grupavimo rezultate gauname naują rodiklį – dažnumą, nurodantį X metų amžiaus mokinių skaičių. Todėl vidutinis grupės mokinių amžius bus skaičiuojamas pagal svertinio vidurkio formulę:

Bendrosios galios vidurkių skaičiavimo formulės turi eksponentą (m). Atsižvelgiant į reikiamą vertę, išskiriami šie galios vidurkių tipai:
harmoninis vidurkis, jei m = -1;
geometrinis vidurkis, jei m –> 0;
aritmetinis vidurkis, jei m = 1;
vidutinis kvadratas, jei m = 2;
vidutinis kubinis, jei m = 3.

Galios vidurkių formulės pateiktos lentelėje. 4.4.

Jei apskaičiuosite visų tipų vidurkius tiems patiems pradiniams duomenims, tada jų reikšmės skirsis. Čia galioja daugumos vidurkių taisyklė: didėjant eksponentui m, didėja ir atitinkama vidutinė reikšmė:

Statistinėje praktikoje aritmetiniai vidurkiai ir harmoniniai svertiniai vidurkiai naudojami dažniau nei kitų tipų svertiniai vidurkiai.

5.1 lentelė

Galios priemonių rūšys

Savotiška galia vidutinis	Indeksas laipsnis (m)	Skaičiavimo formulė
		Paprasta	Svertinis
Harmoninis	-1
Geometrinis	0
Aritmetika	1
Kvadratinis	2
Kubinis	3

Harmoninis vidurkis turi daugiau sudėtingas dizainas nei aritmetinis vidurkis. Harmoninis vidurkis naudojamas skaičiavimams, kai kaip svoriai naudojami ne populiacijos vienetai – charakteristikos nešėjai, o šių vienetų sandauga su charakteristikos reikšmėmis (t.y. m = Xf). Vidutinė harmonika turėtų būti naudojama tais atvejais, kai nustatomos, pavyzdžiui, vidutinės darbo, laiko, medžiagų sąnaudos vienam produkcijos vienetui, vienai daliai dviem (trims, keturioms ir kt.) įmonėms, gamyba užsiimantiems darbuotojams. tos pačios rūšies gaminio, tos pačios dalies, gaminio.

Pagrindinis reikalavimas vidutinės vertės apskaičiavimo formulei yra tas, kad visi skaičiavimo etapai turėtų realų ir reikšmingą pagrindimą; gauta vidutinė vertė turėtų pakeisti individualias kiekvieno objekto atributo reikšmes, nenutraukdama ryšio tarp atskirų ir suvestinių rodiklių. Kitaip tariant, vidutinė reikšmė turi būti skaičiuojama taip, kad kiekvieną atskirą suvidurkinto rodiklio reikšmę pakeitus jos vidutine verte, koks nors galutinis suvestinis rodiklis, vienaip ar kitaip susietas su vidutine reikšme, liktų nepakitęs. Ši suma vadinama apibrėžiantis nes jo santykio su atskiromis vertėmis pobūdis lemia konkrečią vidutinės vertės apskaičiavimo formulę. Parodykime šią taisyklę geometrinio vidurkio pavyzdžiu.

Geometrinio vidurkio formulė

dažniausiai naudojamas skaičiuojant vidutinę vertę pagal individualią santykinę dinamiką.

Geometrinis vidurkis naudojamas, jei pateikiama grandinės santykinės dinamikos seka, nurodanti, pavyzdžiui, gamybos padidėjimą, palyginti su praėjusių metų lygiu: i 1, i 2, i 3,..., i n. Akivaizdu, kad gamybos apimtis in praeitais metais nustatomas pagal pradinį jo lygį (q 0) ir vėlesnį padidėjimą bėgant metams:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×... × i n .

Paėmę q n kaip lemiantį rodiklį ir pakeitę atskiras dinamikos rodiklių reikšmes vidutinėmis, gauname ryšį

Iš čia

5.3. Struktūriniai vidurkiai

Tyrimui naudojamas specialus vidurkių tipas – struktūriniai vidurkiai vidinė struktūra atributų reikšmių pasiskirstymo serija, taip pat vidutinės vertės (galios tipo) įvertinimui, jei jos apskaičiavimas negali būti atliktas pagal turimus statistinius duomenis (pavyzdžiui, jei nagrinėjamame pavyzdyje nebuvo duomenų apie tiek tūrį gamybos ir kaštų suma įmonių grupėms) .

Rodikliai dažniausiai naudojami kaip struktūriniai vidurkiai mada - dažniausiai pasikartojanti požymio reikšmė – ir medianos – charakteristikos reikšmė, kuri padalija jos reikšmių seką į dvi lygias dalis. Dėl to vienai pusei populiacijos vienetų požymio reikšmė neviršija medianos lygio, o kitai pusei – ne mažesnė už ją.

Jei tiriama charakteristika turi atskiras reikšmes, tada nėra jokių ypatingų sunkumų apskaičiuojant režimą ir medianą. Jei duomenys apie atributo X reikšmes pateikiami tvarkingų jo kitimo intervalų (intervalų serijų) forma, režimo ir medianos skaičiavimas tampa šiek tiek sudėtingesnis. Kadangi medianos reikšmė padalija visą aibę į dvi lygias dalis, ji patenka į vieną iš charakteristikos X intervalų. Naudojant interpoliaciją, medianos reikšmė randama šiame medianiniame intervale:

,

čia X Me yra apatinė vidurinio intervalo riba;
h Me – jo vertė;
(Suma m)/2 – pusė viso stebėjimų skaičiaus arba pusė rodiklio apimties, kuri naudojama kaip svoris vidutinės reikšmės apskaičiavimo formulėse (absoliučiais arba santykiniais dydžiais);
S Me-1 – stebėjimų suma (arba svertinio požymio apimtis), sukaupta prieš medianos intervalo pradžią;
m Me – stebėjimų skaičius arba svertinės charakteristikos apimtis medianiniame intervale (taip pat absoliučia ar santykine išraiška).

Mūsų pavyzdyje galima gauti net tris vidutines vertes – remiantis įmonių skaičiumi, gamybos apimtimi ir bendromis gamybos sąnaudomis:

Taigi pusėje įmonių produkcijos vieneto savikaina viršija 125,19 tūkst. rublių, pusė visos produkcijos apimties pagaminama, kai produkto savikaina yra didesnė nei 124,79 tūkst. ir 50% visų išlaidų susidaro, kai vieno produkto savikaina viršija 125,07 tūkst. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad yra tam tikra kainų didėjimo tendencija, nes Me 2 = 124,79 tūkst. rublių, o vidutinis lygis yra 123,15 tūkst.

Skaičiuojant charakteristikos modalinę vertę pagal intervalų serijos duomenis, būtina atkreipti dėmesį į tai, kad intervalai yra identiški, nes nuo to priklauso charakteristikos X verčių pakartojamumo rodiklis intervalų serija su vienodais intervalais, režimo dydis nustatomas kaip

kur X Mo yra mažesnė modalinio intervalo reikšmė;
m Mo – stebėjimų skaičius arba svertinės charakteristikos apimtis modaliniame intervale (absoliučiais arba santykiniais dydžiais);
m Mo -1 – tas pats intervalui prieš modalinį;
m Mo+1 – tas pats intervalui po modalinio;
h – charakteristikos kitimo intervalo reikšmės grupėse.

Mūsų pavyzdyje galime apskaičiuoti tris modalines vertes, remdamiesi įmonių skaičiaus ypatybėmis, produktų apimtimi ir išlaidų dydžiu. Visais trimis atvejais modalinis intervalas yra vienodas, nes tam pačiam intervalui įmonių skaičius, gamybos apimtis ir bendra gamybos sąnaudų suma yra didžiausi:

Taigi dažniausiai yra įmonių, kurių sąnaudų lygis yra 126,75 tūkst. rublių, dažniausiai gaminami produktai, kurių sąnaudų lygis yra 126,69 tūkst. rublių, o dažniausiai gamybos sąnaudos paaiškinamos 123,73 tūkst. rublių sąnaudų lygiu.

5.4. Variacijos rodikliai

Konkrečios sąlygos, kuriose yra kiekvienas iš tiriamų objektų, taip pat jų pačių raidos ypatybės (socialinės, ekonominės ir kt.) išreiškiamos atitinkamais skaitiniais statistinių rodiklių lygiais. Taigi, variacija, tie. neatitikimas tarp to paties rodiklio lygių skirtinguose objektuose yra objektyvaus pobūdžio ir padeda suprasti tiriamo reiškinio esmę.

Statistikos skirtumams matuoti naudojami keli metodai.

Paprasčiausias yra apskaičiuoti rodiklį variacijos diapazonas H kaip skirtumas tarp didžiausių (X max) ir mažiausių (X min) pastebėtų charakteristikos verčių:

H=X maks. – X min.

Tačiau variacijų diapazonas rodo tik kraštutines bruožo reikšmes. Čia neatsižvelgiama į tarpinių verčių pakartojamumą.

Griežtesnės charakteristikos yra kintamumo rodikliai, palyginti su vidutiniu požymio lygiu. Paprasčiausias šio tipo indikatorius yra vidutinis tiesinis nuokrypis L kaip charakteristikos absoliučių nuokrypių nuo jos vidutinio lygio aritmetinis vidurkis:

Kai atskiros X reikšmės yra kartojamos, naudokite svertinio aritmetinio vidurkio formulę:

(Prisiminti, kad algebrinė suma nuokrypis nuo vidutinio lygio yra lygus nuliui.)

Vidutinio tiesinio nuokrypio rodiklis plačiai naudojamas praktikoje. Jo pagalba, pavyzdžiui, analizuojama darbuotojų sudėtis, gamybos ritmas, medžiagų tiekimo vienodumas, kuriamos materialinio skatinimo sistemos. Bet, deja, šis rodiklis apsunkina tikimybinius skaičiavimus ir apsunkina matematinės statistikos metodų naudojimą. Todėl statistikoje moksliniai tyrimai dažniausiai variacijai matuoti naudojamas rodiklis dispersijos.

Charakteristikos (s 2) dispersija nustatoma pagal kvadratinės galios vidurkį:

.

Rodiklis s lygus vadinamas vidutinis kvadratinis nuokrypis.

Bendrojoje statistikos teorijoje sklaidos rodiklis yra to paties pavadinimo tikimybių teorijos rodiklio įvertis ir (kaip kvadratinių nuokrypių suma) matematinės statistikos sklaidos įvertis, leidžiantis pasinaudoti šių taisyklių nuostatomis. socialinių ekonominių procesų analizės teorinės disciplinos.

Jei pokytis apskaičiuojamas pagal nedidelį skaičių stebėjimų, paimtų iš neribotos populiacijos, tada vidutinė charakteristikos reikšmė nustatoma su tam tikra paklaida. Apskaičiuota dispersijos reikšmė pasislenka link mažėjimo. Norint gauti nešališką įvertį, imties dispersija, gauta naudojant anksčiau pateiktas formules, turi būti padauginta iš reikšmės n / (n - 1). Dėl to, atlikus nedidelį skaičių stebėjimų (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Paprastai jau n > (15÷20) neatitikimas tarp šališko ir nešališko įverčių tampa nereikšmingas. Dėl tos pačios priežasties dispersijų pridėjimo formulėje į šališkumą paprastai neatsižvelgiama.

Jei iš bendrosios visumos paimamos kelios imtys ir kiekvieną kartą nustatoma vidutinė charakteristikos reikšmė, tai iškyla vidurkių kintamumo vertinimo problema. Įvertinti dispersiją Vidutinė vertė tai įmanoma remiantis tik vienu imties stebėjimu naudojant formulę

,

kur n yra imties dydis; s 2 – charakteristikos dispersija, apskaičiuota iš imties duomenų.

Didumas vadinamas vidutinė atrankos klaida ir yra atributo X imties vidutinės vertės nuokrypio nuo tikrosios vidutinės vertės charakteristika. Imties stebėjimo rezultatų patikimumui įvertinti naudojamas vidutinės paklaidos rodiklis.

Santykinės sklaidos rodikliai. Tiriamos charakteristikos kintamumo matui apibūdinti kintamumo rodikliai apskaičiuojami santykinėmis reikšmėmis. Jie leidžia palyginti dispersijos pobūdį skirtinguose pasiskirstymuose (skirtingi tos pačios charakteristikos stebėjimo vienetai dviejose populiacijose, su skirtingos reikšmės vidurkiai, lyginant skirtingas populiacijas). Santykinės sklaidos priemonės rodiklių skaičiavimas atliekamas kaip santykis absoliutus rodiklis dispersija iki aritmetinio vidurkio, padauginta iš 100%.

1. Virpesių koeficientas atspindi santykinį charakteristikos kraštutinių verčių svyravimą aplink vidurkį

.

2. Santykinis tiesinis išjungimas apibūdina absoliučių nuokrypių nuo vidutinės reikšmės ženklo vidutinės reikšmės proporciją.

.

3. Variacijos koeficientas:

yra labiausiai paplitęs kintamumo matas, naudojamas vidutinių verčių tipiškumui įvertinti.

Statistikoje populiacijos, kurių variacijos koeficientas didesnis nei 30–35%, laikomos nevienalytėmis.

Šis variacijos vertinimo metodas taip pat turi reikšmingą trūkumą. Iš tiesų, pavyzdžiui, tegul pradinė darbuotojų, kurių vidutinė patirtis yra 15 metų, o standartinis nuokrypis s = 10 metų, populiacija „pasensta“ dar 15 metų. Dabar = 30 metų, o standartinis nuokrypis vis dar yra 10. Anksčiau nevienalytė populiacija (10/15 × 100 = 66,7%), todėl laikui bėgant pasirodė gana vienalytis (10/30 × 100 = 33,3%).

Boyarsky A.Ya. Statistikos teorinės studijos: Šešt. Mokslinis Trudovas – M.: Statistika, 1974 m. 19–57 p.

Ankstesnis