Smulkus ir gražus paprasta užduotis iš tų, kurie tarnauja kaip gelbėjimosi priemonė plūduriuojančiam studentui, kategorijos. Gamtoje liepos vidurys, tad pats laikas su nešiojamuoju kompiuteriu įsikurti paplūdimyje. Anksti ryte pradėjo groti teorijos saulės spindulys, kad netrukus būtų galima sutelkti dėmesį į praktiką, kurioje, nepaisant deklaruojamo lengvumo, smėlyje yra stiklo šukių. Šiuo atžvilgiu rekomenduoju sąžiningai apsvarstyti kelis šio puslapio pavyzdžius. Norėdami išspręsti praktines problemas, turite mokėti rasti išvestinių ir suprasti straipsnio medžiagą Monotoniškumo intervalai ir funkcijos ekstremumai.

Pirma, trumpai apie pagrindinį dalyką. Pamokoje apie funkcijos tęstinumas Pateikiau tęstinumo taške ir tęstinumo intervale apibrėžimą. Pavyzdinis funkcijos elgesys segmente suformuluotas panašiai. Funkcija yra nepertraukiama tam tikru intervalu, jei:

1) jis yra tęstinis intervale ;
2) ištisinis taške Dešinėje ir taške paliko.

Antroje pastraipoje kalbėjome apie vadinamąjį vienpusis tęstinumas veikia taške. Yra keletas būdų, kaip jį apibrėžti, bet aš pasiliksiu prie anksčiau pradėtos linijos:

Funkcija yra nuolatinė taške Dešinėje, jei jis apibrėžtas tam tikrame taške ir jo dešinioji riba sutampa su funkcijos reikšme tam tikrame taške: . Jis yra nenutrūkstamas taške paliko, jei apibrėžta tam tikrame taške ir jo kairioji riba lygi verteiŠiuo atveju:

Įsivaizduokite, kad žali taškai yra nagai, prie kurių pritvirtinta stebuklinga elastinė juosta:

Protiškai paimkite raudoną liniją į rankas. Akivaizdu, kad ir kiek temptume grafiką aukštyn ir žemyn (išilgai ašies), funkcija vis tiek išliks ribotas– viršuje tvora, apačioje tvora, o aptvare ganosi mūsų gaminys. Taigi, funkcija, kuri tęsiasi intervale, yra ribojama. Matematinės analizės metu šis iš pažiūros paprastas faktas yra konstatuojamas ir griežtai įrodytas. Pirmoji Weierstrasso teorema....Daugelį erzina, kad matematikoje nuobodžiai pagrindžiami elementarūs teiginiai, bet tai turi svarbią reikšmę. Tarkime, tam tikras kilpinių viduramžių gyventojas ištraukė grafiką į dangų už matomumo ribos, tai buvo įterpta. Prieš išrandant teleskopą, ribota erdvė erdvėje nebuvo akivaizdi! Tikrai, kaip žinoti, kas mūsų laukia už horizonto? Juk kažkada Žemė buvo laikoma plokščia, todėl šiandien net įprasta teleportacija reikalauja įrodymų =)

Pagal Antroji Weierstrasso teorema, ištisinis segmentefunkcija pasiekia savo tiksli viršutinė riba ir tavo tikslus apatinis kraštas .

Taip pat skambinama numeriu maksimali funkcijos reikšmė segmente ir yra žymimi , o skaičius yra mažiausia funkcijos reikšmė atkarpoje pažymėtas .

Mūsų atveju:

Pastaba : teoriškai įrašai yra įprasti .

Apytiksliai kalbant, didžiausia vertė yra ten, kur daugiausia aukstas taskas grafika, o mažiausias yra ten, kur yra žemiausias taškas.

Svarbu! Kaip jau buvo pabrėžta straipsnyje apie funkcijos ekstremumai, didžiausia funkcijos vertė Ir mažiausia funkcijos reikšmė – NE TAS PATS, Ką maksimali funkcija Ir minimali funkcija. Taigi nagrinėjamame pavyzdyje skaičius yra funkcijos minimumas, bet ne mažiausia reikšmė.

Beje, kas vyksta už segmento ribų? Taip, net potvynis nagrinėjamos problemos kontekste mūsų visiškai nedomina. Užduotis apima tik dviejų skaičių paiešką Štai ir viskas!

Be to, sprendimas yra grynai analitinis nereikia daryti piešinio!

Algoritmas yra ant paviršiaus ir siūlo save iš aukščiau esančio paveikslo:

1) Raskite funkcijos reikšmes kritinius taškus, kurie priklauso šiam segmentui.

Pagauk dar vieną premiją: čia nereikia tikrinti, ar pakankama ekstremumo sąlyga, nes, kaip ką tik parodyta, ar yra minimumas arba maksimumas dar negarantuoja, kokia yra mažiausia arba didžiausia vertė. Parodomoji funkcija pasiekia maksimumą ir likimo valia toks pat skaičius yra didžiausia segmento funkcijos reikšmė. Bet, žinoma, toks sutapimas pasitaiko ne visada.

Taigi pirmuoju žingsniu greičiau ir paprasčiau apskaičiuoti funkcijos reikšmes kritiniuose segmentui priklausančiuose taškuose, nesijaudinant, ar juose yra ekstremalių, ar ne.

2) Apskaičiuojame funkcijos reikšmes segmento galuose.

3) Iš funkcijų reikšmių, rastų 1 ir 2 pastraipose, pasirinkite mažiausią ir didžiausią didelis skaičius, parašykite atsakymą.

Atsisėdame ant kranto mėlyna jūra ir kulnais trenkiame į seklią vandenį:

1 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausia vertė veikia tam tikru intervalu

Sprendimas:
1) Apskaičiuokime funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose, priklausančiuose šiam segmentui:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmę antrame kritiniame taške:

2) Apskaičiuokime funkcijos reikšmes segmento galuose:

3) „Paryškinti“ rezultatai gauti su eksponentais ir logaritmais, o tai labai apsunkina jų palyginimą. Dėl šios priežasties apsiginkluokite skaičiuotuvu arba Excel ir apskaičiuokime apytiksles reikšmes, nepamiršdami:

Dabar viskas aišku.

Atsakymas:

Dalinis-racionalus nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

6 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė

Didžiausia funkcijos reikšmė yra didžiausia, mažiausia reikšmė yra mažiausia iš visų jos reikšmių.

Funkcija gali turėti tik vieną didžiausią ir tik vieną mažiausią reikšmę arba gali neturėti jokios. Didžiausių ir mažiausių verčių radimas nuolatinės funkcijos yra pagrįsta šiomis šių funkcijų savybėmis:

1) Jei tam tikrame intervale (baigtiniame arba begaliniame) funkcija y=f(x) yra tolydi ir turi tik vieną ekstremumą ir jei tai yra didžiausia (minimali), tada ji bus didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė šiame intervale.

2) Jei funkcija f(x) yra ištisinė tam tikrame atkarpoje, tai šiame segmente ji būtinai turi didžiausias ir mažiausias reikšmes. Šios vertės pasiekiamos ekstremaliuose taškuose, esančiuose atkarpos viduje, arba šios atkarpos ribose.

Norint rasti didžiausias ir mažiausias segmento vertes, rekomenduojama naudoti šią schemą:

1. Raskite išvestinę.

2. Raskite kritinius funkcijos taškus, kuriuose =0 arba neegzistuoja.

3. Raskite funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose ir atkarpos galuose ir pasirinkite iš jų didžiausią f max ir mažiausią f max.

Sprendžiant taikomąsias problemas, ypač optimizavimo, svarbios funkcijos didžiausių ir mažiausių intervalo X reikšmių (visuotinio maksimumo ir globalinio minimumo) radimo uždaviniai. Norint išspręsti tokias problemas, remiantis sąlyga , pasirinkite nepriklausomą kintamąjį ir per šį kintamąjį išreikškite tiriamą reikšmę. Tada raskite norimą didžiausią arba mažiausią gautos funkcijos reikšmę. Šiuo atveju iš uždavinio sąlygų taip pat nustatomas nepriklausomo kintamojo kitimo intervalas, kuris gali būti baigtinis arba begalinis.

Pavyzdys. Bakas, kurio viršutinė dalis yra atviro stačiakampio gretasienio formos su kvadratiniu dugnu, viduje turi būti skarduota skarda. Kokie turėtų būti bako matmenys, jei jo talpa yra 108 litrai? vandens, kad jo skardinimo kaina butu minimali?

Sprendimas. Rezervuaro dengimo skarda kaina bus minimali, jei, esant tam tikrai talpai, jo paviršiaus plotas yra minimalus. Pažymėkime a dm pagrindo kraštą, b dm bako aukštį. Tada jo paviršiaus plotas S lygus

IR

Gautas ryšys nustato santykį tarp rezervuaro paviršiaus ploto S (funkcija) ir pagrindo a kraštinės (argumentas). Panagrinėkime ekstremumo funkciją S. Raskime pirmąją išvestinę, prilyginkime ją nuliui ir išspręskime gautą lygtį:

Taigi a = 6. (a) > 0, jei a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes ant intervalo.

Sprendimas: Nurodyta funkcija tęstinė visoje skaičių eilutėje. Funkcijos išvestinė

Išvestinė už ir už . Apskaičiuokime funkcijų reikšmes šiuose taškuose:

.

Funkcijos reikšmės nurodyto intervalo galuose yra lygios. Todėl didžiausia funkcijos reikšmė lygi at , mažiausia funkcijos reikšmė lygi at .

Savęs patikrinimo klausimai

1. Suformuluokite „L'Hopital“ taisyklę, kaip atskleisti formos neapibrėžtumus. Išvardykite įvairių tipų neapibrėžtumus, kuriuos galima išspręsti naudojant L'Hopital taisyklę.

2. Suformuluokite funkcijų didėjimo ir mažėjimo požymius.

3. Apibrėžkite funkcijos maksimumą ir minimumą.

4. Suformuluokite būtina sąlyga ekstremumo buvimas.

5. Kokios argumento reikšmės (kurie taškai) vadinamos kritinėmis? Kaip rasti šiuos taškus?

6. Kokie yra pakankami funkcijos ekstremumo egzistavimo požymiai? Nubrėžkite funkcijos tyrimo ekstremumu schemą naudojant pirmąją išvestinę.

7. Nubrėžkite funkcijos, esančios ekstremumu, tyrimo naudojant antrąją išvestinę schemą.

8. Apibrėžkite kreivės išgaubtą ir įgaubtą.

9. Kas vadinama funkcijos grafiko vingio tašku? Nurodykite šių taškų radimo būdą.

10. Suformuluokite reikiamus ir pakankamus kreivės išgaubimo ir įgaubimo požymius duotoje atkarpoje.

11. Apibrėžkite kreivės asimptotę. Kaip rasti funkcijos grafiko vertikaliąsias, horizontaliąsias ir įstriąsias asimptotes?

12. Metmenys bendra schema funkcijos tyrimas ir jos grafiko sudarymas.

13. Suformuluokite taisyklę, kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes duotame intervale.

Mažiausios ir didžiausios funkcijos reikšmių paieškos atkarpoje procesas primena įspūdingą skrydį aplink objektą (funkcijos grafikas) sraigtasparniu, šaudant į tam tikrus taškus iš tolimojo pabūklo ir pasirenkant labai specialūs taškai iš šių taškų kontroliniams šūviams. Taškai parenkami tam tikru būdu ir pagal tam tikros taisyklės. Pagal kokias taisykles? Apie tai kalbėsime toliau.

Jei funkcija y = f(x) yra nuolatinis intervale [ a, b] , tada jis pasiekia šį segmentą mažiausiai Ir aukščiausios vertės . Tai gali įvykti tiek ekstremalūs taškai, arba segmento galuose. Todėl norint rasti mažiausiai Ir didžiausios funkcijos reikšmės , nuolatinis intervale [ a, b], turite apskaičiuoti jo reikšmes kritinius taškus ir segmento galuose, o tada iš jų pasirinkite mažiausią ir didžiausią.

Pavyzdžiui, leiskite nustatyti didžiausią funkcijos reikšmę f(x) segmente [ a, b] . Norėdami tai padaryti, turite rasti visus jo kritinius taškus, esančius [ a, b] .

Kritinis taškas vadinamas tašku, kuriame apibrėžta funkcija, ir ji išvestinė arba lygus nuliui, arba neegzistuoja. Tada turėtumėte apskaičiuoti funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose. Ir galiausiai, reikėtų palyginti funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose ir segmento galuose ( f(a) Ir f(b)). Didžiausias iš šių skaičių bus didžiausia segmento funkcijos reikšmė [a, b] .

Suradimo problemos mažiausios funkcijos reikšmės .

Kartu ieškome mažiausios ir didžiausios funkcijos reikšmių

1 pavyzdys. Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes segmente [-1, 2] .

Sprendimas. Raskite šios funkcijos išvestinę. Prilyginkime išvestinę nuliui () ir gaukime du kritinius taškus: ir . Norint rasti mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes tam tikrame segmente, pakanka apskaičiuoti jos reikšmes atkarpos galuose ir taške, nes taškas nepriklauso atkarpai [-1, 2]. Šios funkcijos reikšmės yra: , , . Tai seka mažiausia funkcijos reikšmė(žemiau esančiame grafike pažymėta raudonai), lygus -7, pasiekiamas dešiniajame atkarpos gale - taške ir didžiausias(taip pat raudona grafike), lygi 9, - kritiniame taške.

Jei funkcija tam tikrame intervale yra ištisinė ir šis intervalas nėra atkarpa (bet yra, pavyzdžiui, intervalas; skirtumas tarp intervalo ir atkarpos: intervalo ribiniai taškai neįtraukiami į intervalą, o atkarpos ribiniai taškai įtraukiami į atkarpą), tada tarp funkcijos reikšmių gali nebūti mažiausio ir didžiausio. Taigi, pavyzdžiui, toliau esančiame paveikslėlyje parodyta funkcija yra nuolatinė ]-∞, +∞[ ir neturi didžiausios reikšmės.

Tačiau bet kokiam intervalui (uždarajam, atviram ar begaliniam) yra teisinga tokia nuolatinių funkcijų savybė.

4 pavyzdys. Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes segmente [-1, 3] .

Sprendimas. Šios funkcijos išvestinę randame kaip koeficiento išvestinę:

.

Išvestinę prilyginame nuliui, o tai mums suteikia vienetą kritinis taškas: . Ji priklauso segmentui [-1, 3] . Norėdami rasti mažiausią ir didžiausią tam tikro segmento funkcijos reikšmes, randame jos reikšmes segmento galuose ir rastame kritiniame taške:

Palyginkime šias vertes. Išvada: lygi -5/13, taške ir didžiausia vertė lygus 1 taške .

Mes ir toliau kartu ieškome mažiausios ir didžiausios funkcijos reikšmių

Yra dėstytojų, kurie, siekdami surasti mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes, nepateikia studentams sudėtingesnių nei ką tik aptartų pavyzdžių, ty tų, kurių funkcija yra daugianario ar trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai. Tačiau tokiais pavyzdžiais neapsiribosime, nes tarp mokytojų yra tokių, kurie mėgsta priversti mokinius mąstyti visapusiškai (išvestinių lentelė). Todėl bus naudojamas logaritmas ir trigonometrinė funkcija.

6 pavyzdys. Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes segmente .

Sprendimas. Šios funkcijos išvestinę randame kaip produkto darinys :

Išvestinę prilyginame nuliui, kuri suteikia vieną kritinį tašką: . Tai priklauso segmentui. Norėdami rasti mažiausią ir didžiausią tam tikro segmento funkcijos reikšmes, randame jos reikšmes segmento galuose ir rastame kritiniame taške:

Visų veiksmų rezultatas: funkcija pasiekia mažiausią reikšmę, lygus 0, taške ir taške ir didžiausia vertė, lygus e², taške.

7 pavyzdys. Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes segmente .

Sprendimas. Raskite šios funkcijos išvestinę:

Išvestinę prilyginame nuliui:

Vienintelis kritinis taškas priklauso segmentui. Norėdami rasti mažiausią ir didžiausią tam tikro segmento funkcijos reikšmes, randame jos reikšmes segmento galuose ir rastame kritiniame taške:

Išvada: funkcija pasiekia mažiausią reikšmę, lygus , taške ir didžiausia vertė, lygus , taške .

Taikomose ekstremaliose problemose, ieškant mažiausių (maksimalių) funkcijos reikšmių, paprastai reikia rasti minimumą (maksimumą). Bet ne patys minimumai ar maksimumai yra labiau praktiški įdomūs, o tos argumento vertės, kuriomis jos pasiekiamos. Sprendžiant taikomąsias problemas, iškyla papildomas sunkumas – funkcijų, apibūdinančių nagrinėjamą reiškinį ar procesą, sudarymas.

8 pavyzdys. 4 talpos bakas, gretasienio formos su kvadratiniu pagrindu ir atviras viršuje, turi būti skarduotas. Kokio dydžio turi būti bakas, kad jai uždengti būtų sunaudojama kuo mažiau medžiagos?

Sprendimas. Leisti x- pagrindo pusė, h- bako aukštis, S- jo paviršiaus plotas be dangos, V- jo tūris. Bako paviršiaus plotas išreiškiamas formule, t.y. yra dviejų kintamųjų funkcija. Išreikšti S kaip vieno kintamojo funkciją, mes naudojame tai, kad , iš kur . Rastos išraiškos pakeitimas hį formulę S:

Panagrinėkime šią funkciją iki jos kraštutinumo. Jis visur apibrėžiamas ir diferencijuojamas ]0, +∞[ ir

.

Išvestinę prilyginame nuliui () ir randame kritinį tašką. Be to, kai išvestinė neegzistuoja, bet ši reikšmė nėra įtraukta į apibrėžimo sritį ir todėl negali būti ekstremumo taškas. Taigi, tai yra vienintelis kritinis taškas. Patikrinkime, ar nėra ekstremumo, naudodami antrąjį pakankamo ženklą. Raskime antrąją išvestinę. Kai antroji išvestinė didesnė už nulį (). Tai reiškia, kad funkcijai pasiekus minimumą . Nuo šio minimumas yra vienintelis šios funkcijos ekstremumas, tai yra mažiausia jos reikšmė. Taigi, bako pagrindo šonas turi būti 2 m, o jo aukštis - .

9 pavyzdys. Iš taško A esantis prie geležinkelio linijos, iki taško SU, esantis atokiau nuo jo l, krovinys turi būti vežamas. Svorio vieneto gabenimo atstumo vienetui kaina geležinkeliu lygi , o greitkeliu lygi . Iki kokio taško M linijos geležinkelis reikėtų nutiesti greitkelį kroviniams gabenti A V SU buvo ekonomiškiausias (skyrius AB Manoma, kad geležinkelis yra tiesus)?

Kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente?

Už tai vadovaujamės gerai žinomu algoritmu:

1 . ODZ funkcijų paieška.

2 . Funkcijos išvestinės radimas

3 . Išvestinės prilyginimas nuliui

4 . Randame intervalus, per kuriuos išvestinė išlaiko savo ženklą, ir iš jų nustatome funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus:

Jei I intervale funkcijos išvestinė yra 0" title="f^(pirminis)(x)>0">, то функция !} per šį intervalą didėja.

Jei intervale I funkcijos išvestinė , tai funkcija per šį intervalą mažėja.

5 . Mes randame maksimalus ir minimalus funkcijos taškai.

IN maksimaliame funkcijos taške išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „-“.

IN minimalus funkcijos taškasišvestinė keičia ženklą iš "-" į "+".

6 . Funkcijos reikšmę randame segmento galuose,

• tada lyginame funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir maksimaliuose taškuose, ir pasirinkite didžiausią iš jų, jei reikia rasti didžiausią funkcijos reikšmę
• arba palyginkite funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir minimaliuose taškuose, ir pasirinkite mažiausią iš jų, jei reikia rasti mažiausią funkcijos reikšmę

Tačiau priklausomai nuo to, kaip funkcija veikia segmente, šis algoritmas gali būti žymiai sumažintas.

Apsvarstykite funkciją . Šios funkcijos grafikas atrodo taip:

Pažvelkime į keletą „Open Task Bank for“ problemų sprendimo pavyzdžių

1 . Užduotis B15 (Nr. 26695)

Ant segmento.

1. Funkcija apibrėžta visoms tikrosioms x reikšmėms

Akivaizdu, kad ši lygtis neturi sprendinių, o išvestinė yra teigiama visoms x reikšmėms. Vadinasi, funkcija didėja ir įgauna didžiausią reikšmę dešiniajame intervalo gale, ty esant x=0.

Atsakymas: 5.

2 . Užduotis B15 (Nr. 26702)

Raskite didžiausią funkcijos reikšmę segmente.

1. ODZ funkcijos title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Išvestinė yra lygi nuliui ties , tačiau šiuose taškuose ji nekeičia ženklo:

Todėl title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} padidėja ir įgauna didžiausią reikšmę dešinėje intervalo pabaigoje, ties .

Kad būtų akivaizdu, kodėl išvestinė nekeičia ženklo, išvestinės išraišką transformuojame taip:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Atsakymas: 5.

3. Užduotis B15 (Nr. 26708)

Raskite mažiausią funkcijos reikšmę segmente.

1. ODZ funkcijos: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Padėkime šios lygties šaknis ant trigonometrinio apskritimo.

Intervalą sudaro du skaičiai: ir

Pastatykime ženklus. Norėdami tai padaryti, nustatome išvestinės ženklą taške x=0: . Einant per taškus ir, išvestinė keičia ženklą.

Pavaizduokime funkcijos išvestinės ženklų kitimą koordinačių tiesėje:

Akivaizdu, kad taškas yra minimalus taškas (kuriame išvestinė keičia ženklą iš „-“ į „+“), o norėdami rasti mažiausią funkcijos reikšmę segmente, turite palyginti funkcijos reikšmes minimalus taškas ir kairiajame atkarpos gale, .

Standartinis tokių uždavinių sprendimo algoritmas apima, suradus funkcijos nulius, nustatomi išvestinės intervaluose ženklai. Tada apskaičiuojamos reikšmės rastuose maksimaliuose (arba mažiausiuose) taškuose ir intervalo ribose, priklausomai nuo to, koks klausimas yra sąlygoje.

Patariu viską daryti kiek kitaip. Kodėl? Aš rašiau apie tai.

Tokias problemas siūlau spręsti taip:

1. Raskite išvestinę.
2. Raskite išvestinės nulius.
3. Nustatykite, kurie iš jų priklauso šiam intervalui.
4. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes 3 žingsnio intervalo ir taškų ribose.
5. Padarome išvadą (atsakome į pateiktą klausimą).

Sprendžiant pateiktus pavyzdžius sprendimas nebuvo detaliai svarstomas kvadratines lygtis, jūs turite sugebėti tai padaryti. Jie taip pat turėtų žinoti.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

77422. Raskite didžiausią funkcijos y=x reikšmę 3 –3x+4 atkarpoje [–2;0].

Raskime išvestinės nulius:

Taškas x = –1 priklauso sąlygoje nurodytam intervalui.

Apskaičiuojame funkcijos reikšmes taškuose –2, –1 ir 0:

Didžiausia funkcijos reikšmė yra 6.

Atsakymas: 6

77425. Raskite atkarpoje mažiausią funkcijos y = x 3 – 3x 2 + 2 reikšmę.

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius:

Taškas x = 2 priklauso sąlygoje nurodytam intervalui.

Apskaičiuojame funkcijos reikšmes 1, 2 ir 4 taškuose:

Mažiausia funkcijos reikšmė –2.

Atsakymas: -2

77426. Raskite atkarpoje [–3;3] didžiausią funkcijos y = x 3 – 6x 2 reikšmę.

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius:

Sąlygoje nurodytame intervale yra taškas x = 0.

Apskaičiuojame funkcijos reikšmes taškuose –3, 0 ir 3:

Mažiausia funkcijos reikšmė yra 0.

Atsakymas: 0

77429. Raskite atkarpoje mažiausią funkcijos y = x 3 – 2x 2 + x +3 reikšmę.

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Gauname šaknis: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Sąlygoje nurodytame intervale yra tik x = 1.

Raskime funkcijos reikšmes 1 ir 4 taškuose:

Mes nustatėme, kad mažiausia funkcijos reikšmė yra 3.

Atsakymas: 3

77430. Raskite didžiausią funkcijos y = x 3 + 2x 2 + x + 3 reikšmę atkarpoje [– 4; -1].

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius ir išspręskime kvadratinę lygtį:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Paimkime šaknis:

Sąlygoje nurodytame intervale yra šaknis x = –1.

Funkcijos reikšmes randame taškuose –4, –1, –1/3 ir 1:

Mes nustatėme, kad didžiausia funkcijos reikšmė yra 3.

Atsakymas: 3

77433. Raskite atkarpoje mažiausią funkcijos y = x 3 – x 2 – 40x +3 reikšmę.

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius ir išspręskime kvadratinę lygtį:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Paimkime šaknis:

Sąlygoje nurodytame intervale yra šaknis x = 4.

Raskite funkcijų reikšmes taškuose 0 ir 4:

Nustatėme, kad mažiausia funkcijos reikšmė yra –109.

Atsakymas: –109

Panagrinėkime būdą, kaip nustatyti didžiausias ir mažiausias funkcijų vertes be išvestinės. Šis metodas gali būti naudojamas, jei turite didelių problemų. Principas paprastas - visas sveikųjų skaičių reikšmes iš intervalo pakeičiame į funkciją (faktas yra tas, kad visuose tokiuose prototipuose atsakymas yra sveikasis skaičius).

77437. Raskite atkarpoje [–2;2] mažiausią funkcijos y=7+12x–x 3 reikšmę.

Pakeiskite taškus nuo –2 iki 2: Žiūrėti sprendimą

77434. Raskite didžiausią funkcijos y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 reikšmę atkarpoje [–2;0].

Tai viskas. Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.