Hiperbolė yra taškų, kurių atstumo iki dviejų nurodytų taškų, vadinamų židiniais, lokusas yra pastovi reikšmė (ši konstanta turi būti teigiama ir mažesnė už atstumą tarp židinių).

Šią konstantą pažymėkime 2a, atstumą tarp židinių – ir parinksime koordinačių ašis taip pat, kaip § 3. Tegul yra savavališkas hiperbolės taškas.

Pagal hiperbolės apibrėžimą

Dešinėje lygybės pusėje turite pasirinkti pliuso ženklą jei ir minuso ženklą, jei

Kadangi paskutinė lygybė gali būti parašyta taip:

Tai hiperbolės lygtis pasirinktoje koordinačių sistemoje.

Išsilaisvinę nuo radikalų šioje lygtyje (kaip § 3), galime sumažinti lygtį iki paprasčiausios formos.

Pirmojo radikalo perkėlimas į dešinioji pusė lygybė ir abiejų pusių kvadratūra, po akivaizdžių transformacijų gauname:

Dar kartą padalijus abi lygybės puses kvadratu, suvedus panašius terminus ir padalinus iš laisvojo termino, gauname:

Nuo , vertė yra teigiama. Žymima per , t.y., darant prielaidą

gauname kanoninę hiperbolės lygtį.

Panagrinėkime hiperbolės formą.

1) Hiperbolės simetrija. Kadangi (3) lygtyje yra tik dabartinių koordinačių kvadratai, koordinačių ašys yra hiperbolės simetrijos ašys (žr. panašų teiginį dėl elipsės). Hiperbolės, kurioje yra židiniai, simetrijos ašis vadinama židinio ašimi. Simetrijos ašių susikirtimo taškas – simetrijos centras – vadinamas hiperbolės centru. Hiperbolės, pateiktos pagal (3) lygtį, židinio ašis sutampa su Ox ašimi, o centras yra pradžia.

2) Susikirtimo taškai su simetrijos ašimis. Raskime hiperbolės susikirtimo taškus su simetrijos ašimis – hiperbolės viršūnes. Darydami prielaidą, kad lygtyje randame hiperbolės susikirtimo su ašimi taškų abscises

Vadinasi, taškai yra hiperbolės viršūnės (51 pav.); atstumas tarp jų yra 2a. Norėdami rasti susikirtimo taškus su Oy ašimi, įdedame lygtį Norėdami nustatyti šių taškų ordinates, gauname lygtį

tai yra, y gavome įsivaizduojamas reikšmes; tai reiškia, kad Oy ašis nekerta hiperbolių.

Atsižvelgiant į tai, simetrijos ašis, kuri kerta hiperbolę, vadinama tikrąja simetrijos ašimi (židinio ašimi), simetrijos ašis, kuri nesikerta su hiperbole, vadinama įsivaizduojama simetrijos ašimi. Hiperbolės, pateiktos pagal (3) lygtį, tikroji simetrijos ašis yra ašis, įsivaizduojama simetrijos ašis – atkarpa, jungianti hiperbolės viršūnes, taip pat jos ilgis 2a, vadinama tikrąja ašimi. hiperbolė. Jei įsivaizduojamoje hiperbolės simetrijos ašyje brėžiame atkarpas OB ir ilgį b abiejose jos centro O pusėse, tai atkarpa ir jos ilgis vadinami įsivaizduojama hiperbolės ašimi. Dydžiai a ir b vadinami atitinkamai tikrosiomis ir įsivaizduojamomis hiperbolės pusašimis.

3) Hiperbolės forma. Tiriant hiperbolės formą, pakanka atsižvelgti į teigiamas x ir y reikšmes, nes kreivė yra simetriškai išdėstyta koordinačių ašių atžvilgiu.

Kadangi iš (3) lygties matyti, kad 1, tada gali pasikeisti nuo a iki Kai didėja nuo a iki tada Y taip pat didėja nuo 0 iki Kreivės forma parodyta Fig. 51. Jis yra tiesiomis linijomis apribotos juostos išorėje ir susideda iš dviejų atskirų atšakų. Bet kuriam vienos iš šių šakų taškui M (dešinė šaka), bet kuriam kitos šakos taškui M (kairė šaka).

4) Hiperbolės asimptotės. Norėdami aiškiau įsivaizduoti hiperbolės tipą, apsvarstykite dvi tiesias linijas, glaudžiai susijusias su ja - vadinamąsias asimptotes.

Darant prielaidą, kad x ir y yra teigiami, išsprendžiame (3) hiperbolės lygtį ordinatės y atžvilgiu:

Palyginkime lygtį su tiesės lygtimi, iškviečiant atitinkamus du taškus, esančius atitinkamai šioje tiesėje ir hiperbolėje ir turinčius tą pačią abscisę (51 pav.). Akivaizdu, kad atitinkamų taškų ordinačių skirtumas Y - y išreiškia atstumą tarp jų, t.y.

Parodykime, kad neribotai didėjant, atstumas MN, žudantis, linkęs į nulį. Iš tikrųjų,

Supaprastinus gauname:

Iš paskutinės formulės matome, kad neribotai padidėjus abscisei, atstumas MN mažėja ir linkęs į nulį. Iš to išplaukia, kad kai taškas M, judėdamas išilgai hiperbolės pirmajame kvadrante, pasislenka į begalybę, tada jo atstumas iki tiesės mažėja ir linkęs į nulį. Ta pati aplinkybė atsitiks, kai taškas M judės išilgai hiperbolės trečiajame kvadrante (dėl simetrijos pradžios O atžvilgiu).

Galiausiai, dėl hiperbolės simetrijos Oy ašies atžvilgiu, gausime antrą tiesią liniją, simetriškai išsidėsčiusią su tiesia linija, prie kurios taškas M taip pat neribotai artės, kai jis juda išilgai hiperbolės ir tolsta iki begalybės. antrasis ir ketvirtasis kvadrantai).

Šios dvi tiesės vadinamos hiperbolės asimptotėmis ir, kaip matėme, turi lygtis:

Akivaizdu, kad hiperbolės asimptotės yra išilgai stačiakampio įstrižainių, kurių viena kraštinė lygiagreti Ox ašiai ir lygi 2a, kita lygiagreti Oy ašiai ir yra lygi, o centras yra ties koordinačių kilmė (žr. 51 pav.).

Braižant hiperbolę naudojant jos lygtį, pirmiausia rekomenduojama sukonstruoti jos asimptotes.

Lygiakraščio hiperbolė. Hiperbolės atveju ji vadinama lygiakrašte; jos lygtis gaunama iš (3) ir turi tokią formą:

Akivaizdu, kad lygiakraštės hiperbolės asimptočių kampiniai koeficientai bus. Vadinasi, lygiakraštės hiperbolės asimptotės yra statmenos viena kitai ir dalija kampus tarp jos simetrijos ašių.

Kaip į svetainę įterpti matematines formules?

Jei kada nors reikės pridėti vieną ar dvi matematines formules į tinklalapį, paprasčiausias būdas tai padaryti yra taip, kaip aprašyta straipsnyje: matematinės formulės lengvai įterpiamos į svetainę paveikslėlių pavidalu, kuriuos automatiškai sugeneruoja Wolfram Alpha. . Be paprastumo, tai universalus metodas padės pagerinti svetainės matomumą paieškos sistemos. Jis veikia jau seniai (ir, manau, veiks amžinai), bet jau morališkai pasenęs.

Jei savo svetainėje reguliariai naudojate matematines formules, rekomenduoju naudoti MathJax – specialią „JavaScript“ biblioteką, kuri žiniatinklio naršyklėse, naudojant MathML, LaTeX arba ASCIIMathML žymėjimą, rodo matematinius žymėjimus.

Yra du būdai pradėti naudotis MathJax: (1) naudodami paprastą kodą, prie savo svetainės galite greitai prijungti MathJax scenarijų, kuris tinkamu metu bus automatiškai įkeltas iš nuotolinio serverio (serverių sąrašas); (2) atsisiųskite MathJax scenarijų iš nuotolinio serverio į savo serverį ir prijunkite jį prie visų savo svetainės puslapių. Antrasis metodas – sudėtingesnis ir daug laiko reikalaujantis – pagreitins jūsų svetainės puslapių įkėlimą, o jei pagrindinis MathJax serveris dėl kokių nors priežasčių laikinai taps nepasiekiamas, tai neturės jokios įtakos jūsų svetainei. Nepaisant šių privalumų, pasirinkau pirmąjį būdą, nes jis paprastesnis, greitesnis ir nereikalaujantis techninių įgūdžių. Sekite mano pavyzdžiu ir vos per 5 minutes savo svetainėje galėsite naudotis visomis MathJax funkcijomis.

Galite prijungti MathJax bibliotekos scenarijų iš nuotolinio serverio naudodami dvi kodo parinktis, paimtas iš pagrindinės MathJax svetainės arba dokumentacijos puslapyje:

Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į savo tinklalapio kodą, pageidautina tarp žymų ir arba iškart po žymos. Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai stebi ir įkelia naujausias MathJax versijas. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įterpsite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.

Lengviausias būdas prisijungti MathJax yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją aukščiau pateikto atsisiuntimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau. iki šablono pradžios (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir esate pasirengę įterpti matematines formules į savo svetainės tinklalapius.

Bet koks fraktalas konstruojamas pagal tam tikra taisyklė, kuris taikomas nuosekliai neribotą skaičių kartų. Kiekvienas toks laikas vadinamas iteracija.

Iteratyvus Menger kempinės konstravimo algoritmas yra gana paprastas: originalus kubas su 1 kraštine plokštumos, lygiagrečios jo paviršiams, padalintas į 27 vienodus kubus. Iš jo pašalinamas vienas centrinis kubas ir 6 šalia jo esantys kubeliai. Rezultatas yra rinkinys, susidedantis iš likusių 20 mažesnių kubelių. Tą patį padarę su kiekvienu iš šių kubelių, gauname rinkinį, kurį sudaro 400 mažesnių kubelių. Tęsdami šį procesą be galo, gauname Menger kempinę.

Apibrėžimas. Funkcijos grafiko asimptotė yra tiesė, turinti savybę, kad atstumas nuo funkcijos grafike esančio taško iki šios tiesės linkęs į nulį, kai grafiko taškas neribotai juda nuo pradžios..

Pagal jų radimo būdus išskiriami trys asimptotų tipai: vertikalūs, horizontalūs, įstrižai.

Akivaizdu, kad horizontalūs yra ypatingi pasvirusių atvejai (prie ).

Funkcijos grafiko asimptočių radimas pagrįstas šiais teiginiais.

1 teorema. Tegu funkcija apibrėžta bent kurioje nors taško pusiau kaimynystėje ir bent viena jos vienpusė riba šiame taške yra begalinė, t.y. išlygintas. Tada tiesi linija yra vertikali funkcijos grafiko asimptotė.

Taigi funkcijos grafiko vertikalių asimptočių reikia ieškoti funkcijos nepertraukiamumo taškuose arba jos apibrėžimo srities galuose (jei tai baigtiniai skaičiai).

2 teorema. Tegul funkcija yra apibrėžta argumentų reikšmėms, kurių absoliuti reikšmė yra pakankamai didelė, ir yra baigtinė funkcijos riba . Tada tiesi linija yra funkcijos grafiko horizontalioji asimptotė.

Gali atsitikti taip , A , ir yra baigtiniai skaičiai, tada grafikas turi dvi skirtingas horizontalias asimptotes: kairiarankius ir dešiniarankius. Jei egzistuoja tik viena iš baigtinių ribų, tai grafikas turi vieną kairiarankę arba vieną dešiniąją horizontaliąją asimptotę.

3 teorema. Tegul funkcija yra apibrėžta argumento reikšmėms, kurios yra pakankamai didelės absoliučia verte ir yra baigtinės ribos Ir . Tada tiesi linija yra pasvirusi funkcijos grafiko asimptotė.

Atkreipkite dėmesį, kad jei bent viena iš šių ribų yra begalinė, įstrižos asimptotės nėra.

Įstrižinė asimptota, kaip ir horizontali, gali būti vienpusė.

Pavyzdys. Raskite visas funkcijos grafiko asimptotes.

Sprendimas.

Funkcija apibrėžta adresu . Raskime jo vienpuses ribas taškuose.

Nes Ir (kitų dviejų vienpusių ribų gali neberasti), tada tiesės yra vertikalios funkcijos grafiko asimptotės.

Paskaičiuokime

(taikyti L'Hopital taisyklę) = .

Tai reiškia, kad tiesi linija yra horizontali asimptotė.

Kadangi horizontalioji asimptotė egzistuoja, mes nebeieškome linkusių (jų nėra).

Atsakymas: Grafike yra dvi vertikalios asimptotės ir viena horizontali.

Bendrųjų funkcijų tyrimas y = f(x).

Funkcijos apimtis. Raskite jo apibrėžimo sritį D(f). Jei tai nėra per sunku, naudinga rasti ir diapazoną E(f). (Tačiau daugeliu atvejų kyla klausimas apie radimą E(f) atidedamas, kol bus rastas funkcijos kraštutinumas.)

Ypatingos funkcijos savybės. Išsiaiškinkite bendrąsias funkcijos savybes: lygumą, nelygumą, periodiškumą ir kt. Ne kiekviena funkcija turi tokias savybes kaip lyginė arba nelyginė. Funkcija akivaizdžiai nėra nei lyginė, nei nelyginė, jei jos apibrėžimo sritis yra asimetrinė ašies taško 0 atžvilgiu Jautis. Lygiai taip pat bet kurios periodinės funkcijos apibrėžimo sritį sudaro arba visa realioji ašis, arba periodiškai pasikartojančių intervalų sistemų sąjunga.

Vertikalios asimptotės. Sužinokite, kaip funkcija elgiasi, kai argumentas artėja prie apibrėžimo srities ribinių taškų D(f), jei tokie ribiniai taškai yra. Tokiu atveju gali atsirasti vertikalių asimptotų. Jei funkcija turi nenutrūkstamų taškų, kuriuose ji nėra apibrėžta, šiuose taškuose taip pat reikia patikrinti, ar nėra funkcijos vertikalių asimptočių.

Įstrižinės ir horizontalios asimptotės. Jei apibrėžimo sritis D(f) apima (a;+) arba (−;b) formos spindulius, tuomet galite pabandyti surasti atitinkamai x+ arba x− įstrižus asimptotes (arba horizontalias asimptotes), t.y. rasti limxf (x). Įstrižai asimptotai: y = kx + b, kur k=limx+xf(x) ir b=limx+(f(x)−x). Asimptotės yra horizontalios: y = b, kur limxf(x)=b.

Grafiko susikirtimo su ašimis taškų radimas. Grafiko susikirtimo su ašimi taško radimas Oy. Norėdami tai padaryti, turite apskaičiuoti vertę f(0). Taip pat raskite grafiko susikirtimo su ašimi taškus Jautis, kodėl reikia rasti lygties šaknis f(x) = 0 (arba įsitikinkite, kad nėra šaknų). Lygtį dažnai galima išspręsti tik apytiksliai, tačiau šaknų atskyrimas padeda geriau suprasti grafiko struktūrą. Toliau reikia nustatyti funkcijos ženklą intervaluose tarp šaknų ir lūžio taškų.

Grafiko susikirtimo su asimptote taškų radimas. Kai kuriais atvejais gali prireikti rasti būdingus grafiko taškus, kurie nebuvo paminėti ankstesnėse pastraipose. Pavyzdžiui, jei funkcija turi pasvirusią asimptotę, galite pabandyti išsiaiškinti, ar yra grafiko susikirtimo su šia asimptote taškų.

Išgaubto ir įgaubto intervalų radimas. Tai daroma nagrinėjant antrosios išvestinės f(x) ženklą. Raskite vingio taškus išgaubtų ir įgaubtų intervalų sandūrose. Apskaičiuokite funkcijos reikšmę vingio taškuose. Jei funkcija turi kitų tęstinumo taškų (išskyrus vingio taškai), kurioje antroji išvestinė lygi 0 arba jos nėra, tuomet šiuose taškuose taip pat naudinga apskaičiuoti funkcijos reikšmę. Radę f(x) išsprendžiame nelygybę f(x)0. Kiekviename sprendimo intervale funkcija bus išgaubta žemyn. Išspręsdami atvirkštinę nelygybę f(x)0, randame intervalus, kuriuose funkcija yra išgaubta į viršų (tai yra įgaubta). Posūkio taškus apibrėžiame kaip tuos taškus, kuriuose funkcija keičia išgaubimo kryptį (ir yra ištisinė).

Funkcijos grafiko asimptotės

Asimptotės vaiduoklis ilgą laiką klaidžiojo po svetainę, kad pagaliau atsirastų atskirame straipsnyje ir sukeltų ypatingą malonumą skaitytojams, suglumusiems dėl išsamaus funkcijos tyrimo. Grafo asimptotų radimas yra viena iš nedaugelio nurodytos užduoties dalių, kuri mokykliniame kurse nagrinėjama tik apžvelgiamuoju būdu, nes įvykiai sukasi apie funkcijų ribų apskaičiavimą ir vis tiek yra susiję su aukštoji matematika. Lankytojams, kurie mažai supranta matematinę analizę, manau, kad užuomina aiški ;-) ...stop, stop, kur tu eini? Ribos yra lengvos!

Asimptotų pavyzdžiai buvo pastebėti iškart pirmoje elementariųjų funkcijų grafikų pamokoje, o dabar ši tema yra išsamiai svarstoma.

Taigi, kas yra asimptotas?

Įsivaizduok kintamasis taškas, kuris „keliauja“ funkcijos grafiku. Asimptotė yra tiesi linija, į kurią neribotai arti funkcijos grafikas artėja, kai jos kintamasis taškas juda į begalybę.

Pastaba : Apibrėžimas yra prasmingas, jei reikia formuluotės skaičiavimo žymėjime, skaitykite vadovėlį.

Lėktuve asimptotai klasifikuojami pagal jų natūralią vietą:

1) Vertikalios asimptotės, pateiktos formos lygtimi, kur „alfa“ yra tikrasis skaičius. Populiarus atstovas apibrėžia pačią ordinačių ašį,
su lengvu pykinimo jausmu prisimename hiperbolę.

2) Įstrižinės asimptotės tradiciškai rašomos tiesės lygtimi su nuolydis. Kartais atskira grupė paskirstyti ypatinga byla– horizontalios asimptotės. Pavyzdžiui, ta pati hiperbolė su asimptote.

Greitai eikime, pataikykime į temą trumpu kulkosvaidžio šūviu:

Kiek asimptotų gali turėti funkcijos grafikas?

Ne vienas, vienas, du, trys,... ar be galo daug. Toli ieškosime pavyzdžių, prisiminkime elementarias funkcijas. Parabolė, kubinė parabolė ir sinusinė banga apskritai neturi asimptotų. Eksponentinės, logaritminės funkcijos grafikas turi vieną asimptotę. Arktangentas ir arckotangentas turi du iš jų, o liestinė ir kotangentas turi be galo daug. Neretai grafikas turi ir horizontalias, ir vertikalias asimptotes. Hiperbolė, visada tave mylėsiu.

Ką reiškia ? Funkcijos grafiko vertikaliosios asimptotės

Vertikali grafiko asimptotė, kaip taisyklė, yra funkcijos begalinio nenuoseklumo taške. Tai paprasta: jei taške funkcija patiria begalinį nenuoseklumą, tai lygties nurodyta tiesė yra vertikali grafiko asimptotė.

Pastaba : Atkreipkite dėmesį, kad šis įrašas naudojamas dviem visiškai skirtingoms sąvokoms nurodyti. Ar taškas yra numanomas, ar tiesės lygtis, priklauso nuo konteksto.

Taigi, norint nustatyti vertikalios asimptotės buvimą taške, pakanka parodyti, kad bent viena iš vienpusių ribų begalinis. Dažniausiai tai yra taškas, kuriame funkcijos vardiklis yra lygus nuliui. Iš esmės paskutiniuose funkcijos tęstinumo pamokos pavyzdžiuose jau radome vertikalias asimptotes. Tačiau kai kuriais atvejais yra tik viena vienpusė riba, o jei ji begalinė, tai vėlgi – meilė ir palankumas vertikaliajai asimptotei. Paprasčiausia iliustracija: ir ordinačių ašis (žr. Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės).

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, taip pat išplaukia akivaizdus faktas: jei funkcija yra nuolatinė įjungta , tada vertikalių asimptočių nėra. Kažkodėl į galvą atėjo parabolė. Tikrai, kur čia galima „klijuoti“ tiesią liniją? ...taip... suprantu... Dėdės Freudo pasekėjai apėmė isteriją =)

Atvirkštinis teiginys paprastai yra klaidingas: pavyzdžiui, funkcija nėra apibrėžta visoje skaičių eilutėje, bet visiškai atimta asimptočių.

Funkcijos grafiko pasvirosios asimptotės

Įstrižinės (ypatingu atveju - horizontalios) asimptotės gali būti nubrėžtos, jei funkcijos argumentas linkęs į „plius begalybė“ arba „minus begalybė“. Todėl funkcijos grafikas negali turėti daugiau nei dvi pasvirusias asimptotes. Pavyzdžiui, diagrama eksponentinė funkcija turi vieną horizontalią asimptotę ties , o arktangentinis grafikas turi dvi tokias asimptotes ir tuos skirtingus.

Kai grafikas abiejose vietose artėja prie vieno įstrižos asimptotės, tada „begalybės“ paprastai sujungiamos į vieną įrašą. Pavyzdžiui, ...teisingai atspėjote: .

Bendra nykščio taisyklė:

Jei yra du galutinis riba , tada tiesė yra funkcijos grafiko įstrižoji asimptotė ties . Jei bent viena iš išvardytų ribų yra begalinė, tai nėra įstrižos asimptotės.

Pastaba : formulės galioja, jei „x“ yra linkęs tik į „plius begalybę“ arba tik į „minus begalybę“.

Parodykime, kad parabolė neturi įstrižų asimptotų:

Riba yra begalinė, o tai reiškia, kad nėra įstrižos asimptotės. Atkreipkite dėmesį, kad ieškant ribos poreikis dingo, nes atsakymas jau gautas.

Pastaba : Jei turite (ar turėsite) sunkumų suprasti pliuso-minuso, minuso-pliuso ženklus, skaitykite pagalbą pamokos pradžioje
apie be galo mažas funkcijas, kur kalbėjau apie tai, kaip teisingai interpretuoti šiuos ženklus.

Akivaizdu, kad bet kokiam kvadratiniam kubinė funkcija, daugianario 4-oji ir aukštesni laipsniai taip pat nėra įstrižų asimptotų.

Dabar įsitikinkime, kad grafike taip pat nėra įstrižos asimptotės. Norėdami atskleisti neapibrėžtumą, naudojame L'Hopital taisyklę:
, ką ir reikėjo patikrinti.

Kai funkcija auga neribotai, bet nėra tiesės, prie kurios artėtų jos grafikas be galo arti.

Pereikime prie praktinės pamokos dalies:

Kaip rasti funkcijos grafiko asimptotes?

Būtent taip suformuluojama tipinė užduotis, kuri apima VISŲ grafiko asimptotų (vertikalių, pasvirusių/horizontalių) paiešką. Nors, tiksliau keliant klausimą, kalbame apie asimptotų buvimo tyrimus (juk jų gali ir nebūti). Pradėkime nuo kažko paprasto:

1 pavyzdys

Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimą galima patogiai suskirstyti į du punktus:

1) Pirmiausia patikriname, ar nėra vertikalių asimptočių. Vardiklis eina į nulį ties , ir iš karto aišku, kad šioje vietoje funkcija patiria begalinį netolydumą, o lygties nurodyta tiesė yra vertikali funkcijos grafiko asimptotė. Tačiau prieš darant tokią išvadą būtina rasti vienpuses ribas:

Primenu skaičiavimo techniką, kuriai taip pat daug dėmesio skyriau straipsnyje Funkcijos tęstinumas. Lūžio taškai. Išraiškoje po ribos ženklu pakeičiame . Skaitiklyje nėra nieko įdomaus:
.

Tačiau vardiklyje pasirodo be galo mažas neigiamas skaičius :
, tai lemia ribos likimą.

Kairės pusės riba yra begalinė, ir iš esmės jau galima nuspręsti dėl vertikalios asimptotės buvimo. Bet vienpusės ribos reikalingos ne tik tam - jos PADĖDA SUPRASTAI KAIP išsidėsčiusios funkcijos grafikas ir TEISINGAI ją sukonstruoti. Todėl taip pat turime apskaičiuoti dešinės rankos ribą:

Išvada: vienpusės ribos yra begalinės, o tai reiškia, kad tiesė yra vertikali funkcijos grafiko asimptotė.

Pirma riba baigtinis, o tai reiškia, kad reikia „tęsti pokalbį“ ir rasti antrą ribą:

Antroji riba taip pat baigtinis.

Taigi mūsų asimptotas yra:

Išvada: lygties nurodyta tiesė yra horizontali funkcijos grafiko asimptotė ties .

Norėdami rasti horizontalią asimptotę
galite naudoti supaprastintą formulę:

Jei yra baigtinis ribą, tada tiesė yra funkcijos grafiko horizontalioji asimptote ties .

Nesunku pastebėti, kad funkcijos skaitiklis ir vardiklis yra tos pačios augimo eilės, o tai reiškia, kad ieškoma riba bus baigtinė:

Atsakymas :

Pagal sąlygą brėžinio daryti nereikia, bet jei jau tiriame funkciją, iš karto sudarome eskizą ant juodraščio:

Remdamiesi trimis rastomis ribomis, pabandykite patys išsiaiškinti, kaip gali būti funkcijos grafikas. Ar išvis sunku? Raskite 5-6-7-8 taškus ir pažymėkite juos brėžinyje. Tačiau šios funkcijos grafikas yra sudarytas naudojant elementariosios funkcijos grafiko transformacijas, o skaitytojai, atidžiai išnagrinėję aukščiau pateikto straipsnio 21 pavyzdį, gali nesunkiai atspėti, kokia tai kreivė.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Priminsiu, kad procesas patogiai skirstomas į du taškus – vertikalius asimptotus ir įstrižus asimptotus. Mėginio sprendime horizontalioji asimptotė randama naudojant supaprastintą schemą.

Praktikoje dažniausiai susiduriama su trupmeninėmis-racionaliosiomis funkcijomis, o išmokę hiperbolių užduotį apsunkinsime:

3 pavyzdys

Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas: vienas, du ir padaryta:

1) Vertikalios asimptotės yra begalinio nenuoseklumo taškuose, todėl reikia patikrinti, ar vardiklis eina į nulį. Išspręskime kvadratinę lygtį:

Diskriminantas yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi realias šaknis, o darbas žymiai padidėja =)

Norint toliau rasti vienpuses ribas, kvadratinį trinarį patogu koeficientuoti:
(kompaktiškam žymėjimui „minusas“ buvo įtrauktas į pirmąjį skliaustą). Kad būtumėte saugūs, patikrinkime mintyse arba skliausteliuose atidarydami skliaustus.

Perrašykime funkciją formoje

Suraskime taške vienpuses ribas:

Ir taške:

Taigi tiesės yra vertikalios nagrinėjamos funkcijos grafiko asimptotės.

2) Jei pažvelgsite į funkciją , tada visiškai akivaizdu, kad riba bus baigtinė ir turime horizontalią asimptotę. Trumpai parodykime jo buvimą:

Taigi tiesi linija (abscisių ašis) yra šios funkcijos grafiko horizontalioji asimptotė.

Atsakymas :

Rastos ribos ir asimptotai suteikia daug informacijos apie funkcijos grafiką. Pabandykite mintyse įsivaizduoti piešinį atsižvelgdami į šiuos faktus:

Nubraižykite savo schemos versiją juodraštyje.

Žinoma, rastos ribos aiškiai nenulemia grafiko išvaizdos ir galite suklysti, tačiau pats pratimas suteiks neįkainojamos pagalbos atliekant išsamų funkcijos tyrimą. Teisingas paveikslėlis yra pamokos pabaigoje.

4 pavyzdys

Raskite funkcijos grafiko asimptotes

5 pavyzdys

Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Tai savarankiško sprendimo užduotys. Abu grafikai vėl turi horizontalias asimptotes, kurias iš karto aptinka šie požymiai: 4 pavyzdyje vardiklio augimo tvarka daugiau, nei skaitiklio augimo tvarka, o 5 pavyzdyje skaitiklis ir vardiklis yra tos pačios augimo eilės. Mėginio tirpale pirmoji funkcija tiriama, ar nėra įstrižų asimptotų, o antroji – per ribą.

Horizontalūs asimptotai, mano subjektyviu įspūdžiu, yra pastebimai dažnesni nei tie, kurie yra „tikrai pakreipti“. Ilgai lauktas bendras atvejis:

6 pavyzdys

Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas: žanro klasika:

1) Kadangi vardiklis yra teigiamas, funkcija yra ištisinė visoje skaičių tiesėje ir nėra vertikalių asimptočių. …Ar tai gerai? Netinkamas žodis – puiku! Taškas Nr.1 ​​uždarytas.

2) Patikrinkime įstrižų asimptotų buvimą:

Pirma riba baigtinis, tad judėkime toliau. Skaičiuodami antrąją ribą, kad pašalintume neapibrėžtį „begalybė minus begalybė“, išraišką sumažiname iki bendro vardiklio:

Antroji riba taip pat baigtinis todėl nagrinėjamos funkcijos grafikas turi įstrižą asimptotę:

Išvada:

Taigi, kai funkcijos grafikas be galo arti artėja prie tiesios linijos:

Atkreipkite dėmesį, kad jis kerta įstrižą asimptotą ištakoje, ir tokie susikirtimo taškai yra gana priimtini - svarbu, kad begalybėje „viskas būtų normalu“ (iš tikrųjų čia kalbame apie asimptotes).

7 pavyzdys

Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas: nėra ką ypatingo komentuoti, todėl įforminsiu apytikslis pavyzdys galutinis sprendimas:

1) Vertikalios asimptotės. Panagrinėkime esmę.

Tiesi linija yra vertikali asimptotė diagramai ties .

2) Įstrižai asimptotai:

Tiesi linija yra pasvirusi grafiko asimptotė ties .

Atsakymas :

Rastos vienpusės ribos ir asimptotės leidžia su dideliu pasitikėjimu nuspėti, kaip atrodo šios funkcijos grafikas. Taisyklingas piešinys pamokos pabaigoje.

8 pavyzdys

Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, kad būtų patogiau skaičiuoti kai kurias ribas, skaitiklį galite padalyti iš vardiklio. Vėlgi, analizuodami rezultatus, pabandykite nubraižyti šios funkcijos grafiką.

Akivaizdu, kad „tikrųjų“ įstrižųjų asimptotų savininkai yra tų trupmeninių racionalių funkcijų grafikai, kuriose skaitiklio pirmaujantis laipsnis yra vienu didesnis už vardiklio pirminį laipsnį. Jei daugiau, įstrižo asimptoto nebus (pvz., ).

Tačiau gyvenime nutinka ir kitų stebuklų:

9 pavyzdys

11 pavyzdys

Išnagrinėkite funkcijos grafiką dėl asimptotų buvimo

Sprendimas: aišku , todėl nagrinėjame tik dešiniąją pusplokštumą, kurioje yra funkcijos grafikas.

Taigi tiesi linija (ordinačių ašis) yra vertikali funkcijos grafiko asimptotė.

2) Įstrižinės asimptotės tyrimas gali būti atliktas pagal visą schemą, tačiau straipsnyje „L'Hopital's Rules“ sužinojome, kad tiesinė funkcija Didesnė augimo tvarka nei logaritminė, todėl: (Žr. tos pačios pamokos 1 pavyzdį).

Išvada: x ašis yra horizontali funkcijos grafiko asimptotė.

Atsakymas :
, Jei ;
, Jei.

Piešinys aiškumo dėlei:

Įdomu tai, kad iš pažiūros panaši funkcija asimptotų visai neturi (norintieji gali tai patikrinti).

Du galutiniai pavyzdžiai Dėl savarankiškas mokymasis:

12 pavyzdys

Išnagrinėkite funkcijos grafiką dėl asimptotų buvimo

Daugeliu atvejų funkcijos grafiką sudaryti lengviau, jei pirmiausia sukuriate kreivės asimptotes.

Apibrėžimas 1. Asimptotės yra tos tiesės, prie kurių funkcijos grafikas priartėja taip arti, kiek norima, kai kintamasis linkęs į plius begalybę arba minus begalybę.

2 apibrėžimas. Tiesė vadinama funkcijos grafiko asimptote, jei atstumas nuo kintamojo taško M funkcijos grafikas iki šios linijos linkęs į nulį, nes taškas neribotai tolsta M nuo pradžios išilgai bet kurios funkcijos grafiko šakos.

Yra trys asimptotų tipai: vertikalūs, horizontalūs ir įstrižai.

Vertikalios asimptotės

Apibrėžimas . Tiesiai x = a yra funkcijos grafiko vertikali asimptote, jei taškas x = a yra šios funkcijos antrojo tipo nutrūkimo taškas.

Iš apibrėžimo matyti, kad tiesi linija x = a yra funkcijos grafiko vertikali asimptotė f(x), jei tenkinama bent viena iš sąlygų:

Šiuo atveju funkcija f(x) gali būti visai neapibrėžtas, atitinkamai kada x ≥ a Ir x ≤ a .

komentaras:

1 pavyzdys. Funkcijos grafikas y=ln x turi vertikalią asimptotę x= 0 (t. y. sutampa su ašimi Oy) ant apibrėžimo srities ribos, nes funkcijos kaip x riba iš dešinės linkusi į nulį yra lygi minus begalybei:

(nuotrauka aukščiau).

patys ir tada pamatysite sprendimus

2 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes.

3 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Horizontalios asimptotės

If (funkcijos riba, nes argumentas linkęs į pliusą arba minusą begalybę, yra lygi tam tikrai reikšmei b), tai y = b – horizontalioji asimptote kreivas y = f(x) (dešinė, kai X linkusi į pliuso begalybę, kairė, kai X linkusi į minus begalybę, ir dvipusė, jei ribos, kaip X linkusi į pliusą arba minus begalybę, yra lygios).

5 pavyzdys. Funkcijos grafikas

adresu a> 1 paliko horizontalią asimpototę y= 0 (t. y. sutampa su ašimi Jautis), kadangi funkcijos kaip „x“ riba yra atėmus begalybę, yra nulis:

Kreivė neturi dešinės horizontalios asimptotės, nes funkcijos riba kaip "x" linkusi plius begalybė yra lygi begalybei:

Įstrižai asimptotai

Vertikalios ir horizontalios asimptotės, kurias išnagrinėjome aukščiau, yra lygiagrečios koordinačių ašims, todėl jas sukurti mums tereikia tam tikras skaičius- abscisės arba ordinačių ašies taškas, per kurį eina asimptotas. Įstrižai asimptotei reikia didesnio nuolydžio k, kuris rodo linijos pasvirimo kampą ir laisvąjį terminą b, kuris rodo, kiek linija yra aukščiau arba žemiau pradžios. Tie, kurie nepamiršo analitinės geometrijos, o iš jos ir tiesės lygčių, pastebės, kad įstrižai asimptotei jie randa tiesės lygtį su kampiniu koeficientu. Įstrižinės asimptotės egzistavimą lemia tokia teorema, kurios pagrindu randami ką tik paminėti koeficientai.

Teorema. Norėdami padaryti kreivę y = f(x) turėjo asimptotą y = kx + b, būtina ir pakanka, kad būtų baigtinės ribos k Ir b kaip kintamasis x iki plius begalybės ir minus begalybės:

(1)

(2)

Tokiu būdu rasti skaičiai k Ir b ir yra pasvirieji asimptočių koeficientai.

Pirmuoju atveju (kaip x linkęs plius begalybė) gaunama į dešinę pakreipta asimptotė, antruoju (kaip x linkusi į minus begalybę) gaunama kairioji pasviroji asimptotė. Dešinysis įstrižas asimptotas parodytas Fig. iš apačios.

Ieškant įstrižosios asimptotės lygties, būtina atsižvelgti į X tendenciją ir į plius begalybę, ir į minus begalybę. Kai kurioms funkcijoms, pavyzdžiui, trupmeninėms racionaliosioms, šios ribos sutampa, tačiau daugeliui funkcijų šios ribos skiriasi ir gali egzistuoti tik viena.

Jei ribos sutampa ir x linkęs plius begalybė ir minus begalybė, tiesi linija y = kx + b yra dvipusė kreivės asimptotė.

Jei bent viena iš asimptotę apibrėžiančių ribų y = kx + b, neegzistuoja, tada funkcijos grafikas neturi pasvirosios asimptotės (bet gali turėti vertikalią).

Nesunku pastebėti, kad horizontali asimptotė y = b yra ypatingas įstrižo atvejis y = kx + b adresu k = 0 .

Todėl, jei bet kuria kryptimi kreivė turi horizontalioji asimptote, tada šia kryptimi nėra nuolydžio ir atvirkščiai.

6 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas. Funkcija apibrėžta visoje skaičių eilutėje, išskyrus x= 0, t.y.

Todėl lūžio taške x= 0 kreivė gali turėti vertikalią asimptotę. Iš tiesų, funkcijos riba, kai x linksta į nulį iš kairės, yra lygi plius begalybei:

Vadinasi, x= 0 – šios funkcijos grafiko vertikali asimptotė.

Šios funkcijos grafikas neturi horizontalios asimptotės, nes funkcijos riba kaip x linkusi plius begalybė yra lygi plius begalybei:

Išsiaiškinkime įstrižos asimptotės buvimą:

Turi ribotas ribas k= 2 ir b= 0. Tiesiai y = 2x yra dvipusė pasvirusi šios funkcijos grafiko asimptotė (paveikslėlis pavyzdžio viduje).

7 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas. Funkcija turi vieną lūžio tašką x= –1 . Apskaičiuokime vienpuses ribas ir nustatykime nutrūkimo tipą:

Išvada: x= −1 yra antrojo tipo nutrūkimo taškas, taigi tiesi linija x= −1 yra šios funkcijos grafiko vertikali asimptotė.

Ieškome įstrižų asimptotų. Kadangi ši funkcija yra trupmeninė-racionali, ribos pagal valią sutampa. Taigi, mes randame koeficientus, kaip pakeisti tiesią liniją - įstrižą asimptotę į lygtį:

Pakeitę rastus koeficientus į tiesės lygtį su nuolydžio koeficientu, gauname įstrižosios asimptotės lygtį:

y = −3x + 5 .

Paveiksle funkcijos grafikas pažymėtas bordo spalva, o asimptotės – juodai.

8 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas. Kadangi ši funkcija yra ištisinė, jos grafikas neturi vertikalių asimptočių. Mes ieškome įstrižų asimptotų:

.

Taigi šios funkcijos grafikas turi asimptotę y= 0 at ir neturi asyptoto ties .

9 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas. Pirmiausia ieškome vertikalių asimptočių. Norėdami tai padaryti, randame funkcijos apibrėžimo sritį. Funkcija apibrėžiama, kai nelygybė ir . Kintamojo ženklas x atitinka ženklą. Todėl apsvarstykite lygiavertę nelygybę. Iš to gauname funkcijos apibrėžimo sritį: . Vertikali asimptotė gali būti tik ant funkcijos apibrėžimo srities ribos. Bet x= 0 negali būti vertikali asimptotė, nes funkcija apibrėžta ties x = 0 .

Apsvarstykite dešinės pusės ribą (kairės ribos nėra):

.

Taškas x= 2 yra antrojo tipo nutrūkimo taškas, taigi tiesi linija x= 2 – šios funkcijos grafiko vertikali asimptotė.

Mes ieškome įstrižų asimptotų:

Taigi, y = x+ 1 - šios funkcijos grafiko pasvirusi asimptotė ties . Mes ieškome įstrižos asimptotės adresu:

Taigi, y = −x− 1 - pasvirusi asimptotė ties .

10 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas. Funkcija turi apibrėžimo sritį . Kadangi šios funkcijos grafiko vertikali asimptotė gali būti tik ant apibrėžimo srities ribos, vienpuses funkcijos ribas randame ties .