1 problema(apie ploto skaičiavimą lenkta trapecija).

Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje xOy pateikiama figūra (žr. pav.), kurią riboja x ašis, tiesės x = a, x = b (a – kreivinė trapecija. Reikia apskaičiuoti kreivės plotą trapecijos formos.
Sprendimas. Geometrija pateikia receptus, kaip apskaičiuoti daugiakampių ir kai kurių apskritimo dalių (sektoriaus, atkarpos) plotus. Remdamiesi geometriniais svarstymais, galime rasti tik apytikslę reikiamo ploto reikšmę, argumentuodami taip.

Padalinkime atkarpą [a; b] (kreivosios trapecijos pagrindas) į n lygių dalių; šis padalijimas atliekamas naudojant taškus x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Per šiuos taškus nubrėžkime tiesias linijas, lygiagrečias y ašiai. Tada duotoji kreivinė trapecija bus padalinta į n dalių, į n siaurų stulpelių. Visos trapecijos plotas lygus stulpelių plotų sumai.

Atskirai panagrinėkime k-tą stulpelį, t.y. lenkta trapecija, kurios pagrindas yra atkarpa. Pakeiskime jį stačiakampiu, kurio pagrindas ir aukštis lygus f(x k) (žr. pav.). Stačiakampio plotas lygus \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kur \(\Delta x_k \) yra atkarpos ilgis; Natūralu gautą produktą laikyti apytiksle k-ojo stulpelio ploto verte.

Jei dabar darysime tą patį su visais kitais stulpeliais, gautume tokį rezultatą: tam tikros kreivinės trapecijos plotas S yra maždaug lygus laiptuotos figūros, sudarytos iš n stačiakampių, plotui S n (žr. pav.):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \taškai + f(x_k)\Delta x_k + \taškai + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Čia, dėl žymėjimo vienodumo, darome prielaidą, kad a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - atkarpos ilgis, \(\Delta x_1 \) - atkarpos ilgis ir kt.; šiuo atveju, kaip susitarėme aukščiau, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Taigi, \(S \approx S_n \), ir ši apytikslė lygybė yra tikslesnė, tuo didesnė n.
Pagal apibrėžimą manoma, kad reikalingas kreivinės trapecijos plotas yra lygus sekos ribai (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

2 problema(apie taško perkėlimą)
Juda tiesia linija materialus taškas. Greičio priklausomybė nuo laiko išreiškiama formule v = v(t). Raskite taško judėjimą per tam tikrą laikotarpį [a; b].
Sprendimas. Jeigu judėjimas būtų tolygus, tai uždavinys būtų išspręstas labai paprastai: s = vt, t.y. s = v(b-a). Norėdami judėti netolygiai, turite naudoti tas pačias idėjas, kuriomis buvo grindžiamas ankstesnės problemos sprendimas.
1) Padalinkite laiko intervalą [a; b] į n lygias dalis.
2) Apsvarstykite laikotarpį ir manykite, kad per šį laikotarpį greitis buvo pastovus, toks pat kaip ir momentu t k. Taigi darome prielaidą, kad v = v(t k).
3) Raskime apytikslę taško judėjimo per tam tikrą laikotarpį reikšmę; šią apytikslę reikšmę pažymėsime s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Raskite apytikslę poslinkio s reikšmę:
\(s \approx S_n \) kur
\(S_n = s_0 + \taškai + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \taškai + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Reikalingas poslinkis yra lygus sekos ribai (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Apibendrinkime. Įvairių problemų sprendimai buvo sumažinti iki to paties matematinio modelio. Daugelis įvairių mokslo ir technologijų sričių problemų lemia tą patį modelį sprendimo procese. Taigi tai matematinis modelis reikia specialiai studijuoti.

Apibrėžtinio integralo sąvoka

Pateiksime matematinį modelio, kuris buvo pastatytas trijose nagrinėjamose funkcijos y = f(x), tolydžios (bet nebūtinai neneigiamos, kaip buvo manoma nagrinėjamuose uždaviniuose) uždaviniuose intervale [a; b]:
1) padalinti atkarpą [a; b] į n lygių dalių;
2) sudarykite sumą $$ ​​S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) apskaičiuokite $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Matematinės analizės metu buvo įrodyta, kad ši riba egzistuoja tolydžios (arba dalimis tolydžios) funkcijos atveju. Jis vadinamas tam tikras funkcijos y = f(x) integralas virš atkarpos [a; b] ir žymimas taip:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Skaičiai a ir b vadinami integracijos ribomis (atitinkamai apatine ir viršutine).

Grįžkime prie aukščiau aptartų užduočių. 1 uždavinyje pateiktą srities apibrėžimą dabar galima perrašyti taip:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
čia S yra išlenktos trapecijos plotas, parodytas aukščiau esančiame paveikslėlyje. Tai yra geometrinė apibrėžtojo integralo reikšmė.

2 uždavinyje pateiktą taško, judančio tiesia linija greičiu v = v(t), poslinkio s apibrėžimą, pateiktą 2 užduotyje, galima perrašyti taip:

Niutono-Leibnizo formulė

Pirmiausia atsakykime į klausimą: koks ryšys tarp apibrėžtojo integralo ir antidarinio?

Atsakymą galima rasti 2 uždavinyje. Viena vertus, taško, judančio tiesia linija greičiu v = v(t), poslinkis s per laikotarpį nuo t = a iki t = b apskaičiuojamas taip: formulę
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Kita vertus, judančio taško koordinatė yra greičio antidarinė – pažymėkime ją s(t); Tai reiškia, kad poslinkis s išreiškiamas formule s = s(b) - s(a). Rezultate gauname:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kur s(t) yra v(t) antidarinys.

Matematinės analizės metu buvo įrodyta tokia teorema.
Teorema. Jei funkcija y = f(x) yra tolydi intervale [a; b], tada formulė galioja
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kur F(x) yra f(x) antidarinė.

Pateikta formulė paprastai vadinama Niutono-Leibnizo formulė anglų fiziko Izaoko Niutono (1643-1727) garbei ir vokiečių filosofas Gotfrydas Leibnicas (1646-1716), kurie jį gavo nepriklausomai vienas nuo kito ir beveik vienu metu.

Praktikoje vietoj F(b) - F(a) rašymo jie naudoja žymėjimą \(\left. F(x)\right|_a^b \) (ji kartais vadinama dvigubas pakeitimas) ir atitinkamai perrašykite Niutono-Leibnizo formulę tokia forma:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Skaičiuodami apibrėžtąjį integralą, pirmiausia suraskite antidarinį, o tada atlikite dvigubą keitimą.

Remdamiesi Niutono-Leibnizo formule, galime gauti dvi apibrėžtojo integralo savybes.

1 nuosavybė. Funkcijų sumos integralas lygi sumai integralai:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

2 nuosavybė. Iš integralo ženklo galima išimti pastovų koeficientą:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Plokštumos figūrų plotų apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą

Naudodami integralą galite apskaičiuoti ne tik kreivių trapecijos, bet ir plokščių figūrų plotus. sudėtingas tipas, pavyzdžiui, pavaizduota paveikslėlyje. Paveikslas P ribojamas tiesėmis x = a, x = b ir ištisinių funkcijų grafikais y = f(x), y = g(x), o atkarpoje [a; b] galioja nelygybė \(g(x) \leq f(x) \). Norėdami apskaičiuoti tokios figūros plotą S, atliksime šiuos veiksmus:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Taigi, figūros plotas S, apribotas tiesių linijų x = a, x = b ir funkcijų y = f(x), y = g(x) grafikais, ištisinis atkarpoje ir toks, kad bet kuriam x iš atkarpos [a; b] tenkinama nelygybė \(g(x) \leq f(x) \), apskaičiuota pagal formulę
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Kai kurių funkcijų neapibrėžtųjų integralų (antidarinių) lentelė

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \tekstas(arctg) x +C $$ $$ \int \tekstas(ch) x dx = \tekstas(sh) x +C $$ $$ \int \tekstas(sh) x dx = \tekstas(ch ) x +C $$

Pradedame svarstyti tikrąjį dvigubo integralo skaičiavimo procesą ir susipažįstame su jo geometrine reikšme.

Skaitmeninis dvigubas integralas lygus plotui plokščia figūra (integracijos regionas). Tai paprasčiausia dvigubo integralo forma, kai dviejų kintamųjų funkcija lygi vienetui: .

Pirmiausia pažvelkime į problemą bendrai. Dabar būsite labai nustebinti, kaip viskas paprasta! Apskaičiuokime plokščios figūros, apribotos linijomis, plotą. Tikslumui darome prielaidą, kad segmente . Šios figūros plotas yra lygus:

Pavaizduokime sritį brėžinyje:

Pasirinkime pirmąjį būdą pereiti teritoriją:

Taigi:

Ir iš karto svarbi techninė technika: iteruotus integralus galima skaičiuoti atskirai. Pirmiausia vidinis integralas, tada išorinis integralas. Šis metodas Labai rekomenduoju pradedantiesiems šioje temoje.

1) Apskaičiuokime vidinį integralą, o integravimas atliekamas per kintamąjį „y“:

Neapibrėžtas integralas čia yra paprasčiausias, o tada naudojama banali Niutono-Leibnizo formulė su vieninteliu skirtumu integracijos ribos yra ne skaičiai, o funkcijos. Pirmiausia jie įrašė „Y“ ( antiderivatinė funkcija) viršutinė riba, tada apatinė riba

2) Pirmoje pastraipoje gautas rezultatas turi būti pakeistas išoriniu integralu:

Kompaktiškesnis viso sprendimo vaizdas atrodo taip:

Gauta formulė - būtent taip darbo formulė apskaičiuoti plokštumos figūros plotą naudojant „paprastąjį“ apibrėžtąjį integralą! Žiūrėkite pamoką Ploto apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą, ji yra kiekviename žingsnyje!

Tai yra, ploto apskaičiavimo naudojant dvigubą integralą problema nelabai skiriasi nuo srities suradimo naudojant apibrėžtąjį integralą problemos! Tiesą sakant, tai tas pats!

Atitinkamai, jokių sunkumų neturėtų kilti! Aš nenagrinėsiu daug pavyzdžių, nes iš tikrųjų jūs ne kartą susidūrėte su šia užduotimi.

9 pavyzdys

Sprendimas: Pavaizduokime sritį brėžinyje:

Pasirinkime tokią zonos perėjimo tvarką:

Čia ir toliau nesigilinsiu į tai, kaip pereiti teritoriją, nes pirmoje pastraipoje buvo pateikti labai išsamūs paaiškinimai.

Taigi:

Kaip jau pastebėjau, pradedantiesiems geriau skaičiuoti iteruotus integralus atskirai, ir aš laikysiuosi to paties metodo:

1) Pirma, naudodamiesi Niutono-Leibnizo formule, sprendžiame vidinį integralą:

2) Pirmame žingsnyje gautas rezultatas pakeičiamas išoriniu integralu:

2 taškas iš tikrųjų yra plokštumos figūros ploto radimas naudojant apibrėžtąjį integralą.

Atsakymas:

Tai tokia kvaila ir naivi užduotis.

Įdomus nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

10 pavyzdys

Naudodami dvigubą integralą, apskaičiuokite plokštumos figūros, apribotos tiesėmis , , plotą.

Apytikslis pavyzdys sprendimo užbaigimas pamokos pabaigoje.

9-10 pavyzdžiuose daug pelningiau naudoti pirmąjį ploto įveikimo būdą, smalsūs skaitytojai, beje, gali pakeisti važiavimo tvarką ir apskaičiuoti plotus naudodami antrąjį metodą. Jei neklysite, natūralu, kad gausite tas pačias ploto vertes.

Tačiau kai kuriais atvejais veiksmingesnis yra antrasis būdas pervažiuoti teritoriją, todėl jauno vėpla kurso pabaigoje pažvelkime į dar kelis pavyzdžius šia tema:

11 pavyzdys

Naudodami dvigubą integralą, apskaičiuokite plokštumos, apribotos linijomis, plotą,

Sprendimas: Mes laukiame dviejų parabolių su keistenybe, kurios guli ant šonų. Nereikia šypsotis, panašūs dalykai gana dažnai pasitaiko keliuose integraluose.

Koks yra lengviausias būdas padaryti piešinį?

Įsivaizduokime parabolę dviejų funkcijų pavidalu:
– viršutinė šaka ir – apatinė šaka.

Panašiai įsivaizduokite parabolę viršutinės ir apatinės formos šakos.

Kitas, taškinis grafikų taisyklių braižymas, dėl kurio gaunama tokia keista figūra:

Figūros plotą apskaičiuojame naudodami dvigubą integralą pagal formulę:

Kas atsitiks, jei pasirinksime pirmąjį būdą pereiti teritoriją? Pirma, ši sritis turės būti padalinta į dvi dalis. Ir, antra, stebėsime šį liūdną vaizdą: . Integralai, žinoma, nėra itin sudėtingo lygio, bet... yra senas matematinis posakis: tiems, kurie yra arti šaknų, testo nereikia.

Todėl iš sąlygoje pateikto nesusipratimo išreiškiame atvirkštines funkcijas:

Atvirkštinės funkcijosŠiame pavyzdyje jie turi pranašumą, nes jie nurodo visą parabolę iš karto be jokių lapų, gilių, šakų ir šaknų.

Pagal antrąjį metodą ploto perėjimas bus toks:

Taigi:

Kaip sakoma, pajuskite skirtumą.

1) Mes susiduriame su vidiniu integralu:

Mes pakeičiame rezultatą į išorinį integralą:

Integravimas per kintamąjį „y“ neturėtų kelti painiavos; jei būtų raidė „zy“, būtų puiku integruoti per ją. Nors kas skaitė antrąją pamokos pastraipą Kaip apskaičiuoti apsisukimo kūno tūrį, jis nebepatiria nė menkiausio nepatogumo su integravimu pagal „Y“ metodą.

Taip pat atkreipkite dėmesį į pirmąjį žingsnį: integrandas yra lyginis, o integravimo intervalas yra simetriškas nuliui. Todėl segmentą galima sumažinti perpus, o rezultatą padvigubinti. Ši technika išsamiai komentuojama pamokoje. Veiksmingi metodai apibrėžtojo integralo skaičiavimas.

Ką pridėti…. Viskas!

Atsakymas:

Norėdami patikrinti savo integravimo techniką, galite pabandyti apskaičiuoti . Atsakymas turėtų būti lygiai toks pat.

12 pavyzdys

Naudodami dvigubą integralą, apskaičiuokite plokštumos, apribotos linijomis, plotą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Įdomu pastebėti, kad jei bandysite naudoti pirmąjį ploto įveikimo būdą, figūrą nebereikės dalyti į dvi, o į tris dalis! Ir atitinkamai gauname tris pasikartojančių integralų poras. Kartais taip nutinka.

Meistriškumo klasė baigėsi ir laikas pereiti į didmeistrio lygį - Kaip apskaičiuoti dvigubą integralą? Sprendimų pavyzdžiai. Antrame straipsnyje pasistengsiu nebūti tokia maniakiška =)

Linkiu sėkmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys:Sprendimas: Pavaizduokime sritį ant piešinio:

Pasirinkime tokią zonos perėjimo tvarką:

Taigi:
Pereikime prie atvirkštinių funkcijų:


Taigi:
Atsakymas:

4 pavyzdys:Sprendimas: Pereikime prie tiesioginių funkcijų:


Padarykime piešinį:

Pakeiskime teritorijos važiavimo tvarką:

Atsakymas:

Pereikime prie integralinio skaičiavimo taikymo. Šioje pamokoje analizuosime tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį plokštumos figūros ploto apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą. Pagaliau visi ieško prasmės aukštoji matematika- Tegul jie jį suranda. Niekada nežinai. Realiame gyvenime turėsite apytiksliai apskaičiuoti vasarnamio sklypą naudodami elementarias funkcijas ir rasti jo plotą naudodami apibrėžtą integralą.

Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite:

1) Suprask neapibrėžtas integralas bent jau vidutinio lygio. Taigi, manekenai pirmiausia turėtų perskaityti pamoką Ne.

2) Mokėti taikyti Niutono-Leibnizo formulę ir apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą. Puslapyje galite užmegzti šiltus draugiškus santykius su tam tikrais integralais Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio sudarymą, todėl jūsų žinios ir piešimo įgūdžiai taip pat bus aktualus klausimas. Bent jau turite mokėti sukurti tiesią liniją, parabolę ir hiperbolę.

Pradėkime nuo lenktos trapecijos. Išlenkta trapecija yra plokščia figūra, apribota kokios nors funkcijos grafiku y = f(x), ašis JAUTIS ir linijos x = a; x = b.

Kreivinės trapecijos plotas skaitine prasme lygus apibrėžtajam integralui

Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai sakėme, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingas faktas. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS. Tai yra, apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Apsvarstykite apibrėžtąjį integralą

Integrand

apibrėžia kreivę plokštumoje (jei pageidaujama, ją galima nubrėžti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.

1 pavyzdys

, , , .

Tai yra tipiškas priskyrimo pareiškimas. Svarbiausias sprendimo momentas yra brėžinio konstrukcija. Be to, brėžinys turi būti sukonstruotas TEISINGAI.

Kuriant brėžinį rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau statyti visas tieses (jei jos yra) ir tik Tada– parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Konstravimo taškas po taško techniką galima rasti pamatinėje medžiagoje Grafikai ir ypatybės elementarios funkcijos . Ten taip pat galite rasti labai naudingos medžiagos mūsų pamokai – kaip greitai sukonstruoti parabolę.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.

Padarykime piešinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis y= 0 nurodo ašį JAUTIS):

Lenktos trapecijos neužtemdysime, čia aišku kokia sritis mes kalbame apie. Sprendimas tęsiasi taip:

Atkarpoje [-2; 1] funkcijų grafikas y = x 2 + 2 yra virš ašiesJAUTIS, Štai kodėl:

Atsakymas: .

Kas turi sunkumų apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą ir taikant Niutono-Leibnizo formulę

,

kreiptis į paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai. Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Šiuo atveju brėžinyje esančių langelių skaičių skaičiuojame „iš akies“ - gerai, jų bus apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą xy = 4, x = 2, x= 4 ir ašis JAUTIS.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimiJAUTIS?

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y = e-x, x= 1 ir koordinačių ašys.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Jei lenkta trapecija visiškai išsidėstę po ašimi JAUTIS , tada jo plotą galima rasti naudojant formulę:

Tokiu atveju:

.

Dėmesio! Negalima painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokių geometrine prasme, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumoje, todėl nuo paprasčiausių mokyklinių uždavinių pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis, plotą y = 2x – x 2 , y = -x.

Sprendimas: Pirmiausia turite padaryti piešinį. Konstruojant brėžinį ploto uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės susikirtimo taškus y = 2x – x 2 ir tiesiai y = -x. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:

Tai reiškia, kad apatinė integracijos riba a= 0, viršutinė integravimo riba b= 3. Dažnai pelningiau ir greičiau konstruoti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išryškėja „savaime“. Nepaisant to, analitinį ribų radimo metodą vis tiek kartais tenka naudoti, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Grįžkime prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia konstruoti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:

Pakartokime, kad konstruojant taškiškai integracijos ribos dažniausiai nustatomos „automatiškai“.

O dabar darbo formulė:

Jei segmente [ a; b] tam tikra nuolatinė funkcija f(x) didesnis arba lygus kai kurie nuolatinė funkcija g(x), tada atitinkamos figūros plotą galima rasti naudojant formulę:

Čia jums nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, bet svarbu, kuris grafikas yra AUKŠČESNIS(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl nuo 2 x – x 2 reikia atimti - x.

Užbaigtas sprendimas gali atrodyti taip:

Norimą figūrą riboja parabolė y = 2x – x 2 viršuje ir tiesiai y = -xžemiau.

2 segmente x – x 2 ≥ -x. Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas: .

Faktiškai, mokyklos formulė lenktos trapecijos plotui apatinėje pusplokštumoje (žr. pavyzdį Nr. 3) – ypatinga byla formules

.

Kadangi ašis JAUTIS pateikta lygtimi y= 0, ir funkcijos grafikas g(x), esantis žemiau ašies JAUTIS, Tai

.

O dabar pora pavyzdžių jūsų sprendimui

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Raskite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendžiant problemas, susijusias su ploto apskaičiavimu naudojant apibrėžtąjį integralą, kartais nutinka juokingas įvykis. Brėžinys atliktas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, bet dėl ​​neatsargumo... Buvo rastas netinkamos figūros plotas.

7 pavyzdys

Pirmiausia padarykime piešinį:

Figūra, kurios sritį turime rasti, yra nuspalvinta mėlynai(atidžiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatsargumo jie dažnai nusprendžia, kad reikia rasti tamsesnę figūros sritį žalias!

Šis pavyzdys taip pat naudingas, nes jis apskaičiuoja figūros plotą naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:

1) Atkarpoje [-1; 1] virš ašies JAUTIS grafikas yra tiesiai y = x+1;

2) Atkarpoje virš ašies JAUTIS yra hiperbolės grafikas y = (2/x).

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Atsakymas:

8 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Pateikime lygtis „mokyklos“ forma

ir nupieškite tašką po taško:

Iš brėžinio aišku, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: b = 1.

Bet kokia yra apatinė riba?! Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas tai yra?

Gal būt, a=(-1/3)? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali taip pasirodyti a=(-1/4). Ką daryti, jei grafiką sudarėme neteisingai?

Tokiais atvejais tenka skirti papildomo laiko ir analitiškai išsiaiškinti integracijos ribas.

Raskime grafikų susikirtimo taškus

Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:

.

Vadinasi, a=(-1/3).

Tolesnis sprendimas yra trivialus. Svarbiausia nepainioti keitimų ir ženklų. Skaičiavimai čia nėra patys paprasčiausi. Ant segmento

, ,

pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Pamokos pabaigoje pažvelkime į dvi sudėtingesnes užduotis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendimas: pavaizduokime šią figūrą brėžinyje.

Norėdami piešti tašką po taško, turite žinoti išvaizda sinusoidės. Apskritai pravartu žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikus, taip pat kai kurias sinusines reikšmes. Juos galima rasti verčių lentelėje trigonometrinės funkcijos . Kai kuriais atvejais (pavyzdžiui, šiuo atveju) galima sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame turėtų būti iš esmės teisingai atvaizduoti integracijos grafikai ir ribos.

Čia nėra problemų dėl integracijos ribų, jos tiesiogiai išplaukia iš sąlygos:

– „x“ keičiasi iš nulio į „pi“. Priimkime kitą sprendimą:

Atkarpoje – funkcijos grafikas y= nuodėmė 3 x esantis virš ašies JAUTIS, Štai kodėl:

(1) Pamokoje galite pamatyti, kaip sinusai ir kosinusai integruojami į nelygines galias Trigonometrinių funkcijų integralai. Nuskabome vieną sinusą.

(2) Formoje naudojame pagrindinę trigonometrinę tapatybę

(3) Pakeiskime kintamąjį t= cos x, tada: yra virš ašies, todėl:

.

.

Pastaba: atkreipkite dėmesį, kaip imamas liestinės integralas kube; čia naudojamas pagrindinės išvadas trigonometrinė tapatybė

.

A)

Sprendimas.

Pirmiausia ir svarbiausias momentas sprendimai – piešimo piešinys.

Padarykime piešinį:

Lygtis y=0 nustato „x“ ašį;

- x=-2 Ir x=1 - tiesus, lygiagretus ašiai OU;

- y = x 2 + 2 - parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, kurios viršūnė yra taške (0;2).

komentuoti. Parabolei sukonstruoti pakanka rasti jos susikirtimo su koordinačių ašimis taškus, t.y. dėjimas x=0 rasti sankirtą su ašimi OU ir atitinkamai nuspręsdamas kvadratinė lygtis, suraskite sankirtą su ašimi Oi .

Parabolės viršūnę galima rasti naudojant formules:

Taip pat galite kurti linijas taškas po taško.

Intervale [-2;1] funkcijos grafikas y=x 2 +2 esančios virš ašies Jautis , Štai kodėl:

Atsakymas: S =9 kv.vnt

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Tokiu atveju „iš akies“ skaičiuojame langelių skaičių brėžinyje - gerai, jų bus apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimi Oi?

b) Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y=-e x , x=1 ir koordinačių ašys.

Sprendimas.

Padarykime piešinį.

Jei lenkta trapecija visiškai išsidėstę po ašimi Oi , tada jo plotą galima rasti naudojant formulę:

Atsakymas: S=(e-1) kv.vnt.“ 1,72 kv.vnt

Dėmesio! Nereikėtų painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusiau plokštumoje.

Su) Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis, plotą y = 2x-x 2, y = -x.

Sprendimas.

Pirmiausia reikia užbaigti piešinį. Paprastai tariant, brėžinį konstruojant plotų uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės susikirtimo taškus ir tiesiai Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis.

Išsprendžiame lygtį:

Tai reiškia, kad apatinė integracijos riba a=0 , viršutinė integracijos riba b = 3 .

Nutiesiame duotas tieses: 1. Parabolė - viršūnė taške (1;1); ašies susikirtimo Oi - taškais (0;0) ir (0;2). 2. Tiesi linija – 2 ir 4 koordinačių kampų pusiausvyra. O dabar Dėmesio! Jei segmente [ a;b] tam tikra nuolatinė funkcija f(x) didesnis arba lygus kokiai nors ištisinei funkcijai g(x), tada atitinkamos figūros plotą galima rasti naudojant formulę: . Ir nesvarbu, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, bet svarbu tai, kuris grafikas yra AUKŠTESNIS (kito grafiko atžvilgiu), o kuris yra PO. Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Galite statyti linijas taškas po taško, o integracijos ribos tampa aiškios „pačios“. Nepaisant to, analitinį ribų radimo metodą vis tiek kartais tenka naudoti, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios).

Norimą figūrą riboja parabolė viršuje ir tiesi linija apačioje.

Ant segmento , pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas: S =4,5 kv

Figūra, apribota ištisinės neneigiamos funkcijos $f(x)$ atkarpoje $$ ir tiesių $y=0, \ x=a$ ir $x=b$ grafiku, vadinama kreivine trapecija.

Atitinkamos kreivinės trapecijos plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Norėdami rasti kreivinės trapecijos plotą, problemas sąlygiškai padalinsime į $4 $ tipus. Pažvelkime į kiekvieną tipą išsamiau.

I tipas: lenkta trapecija yra aiškiai nurodyta. Tada nedelsdami pritaikykite formulę (*).

Pavyzdžiui, raskite kreivinės trapecijos plotą, kurį riboja funkcijos $y=4-(x-2)^(2)$ grafikas ir linijos $y=0, \ x=1$ ir $x. = 3 USD.

Nubraižykime šią išlenktą trapeciją.

Naudodami formulę (*) randame šios kreivinės trapecijos plotą.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\kairė((1)^(3)-(-1)^(3)\dešinė) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (vnt.$^(2)$).

II tipas: lenkta trapecija nurodoma netiesiogiai.Šiuo atveju tiesės $x=a, \ x=b$ dažniausiai nenurodomos arba nurodomos iš dalies. Tokiu atveju reikia rasti funkcijų $y=f(x)$ ir $y=0$ susikirtimo taškus. Šie taškai bus $a$ ir $b$ taškai.

Pavyzdžiui, raskite figūros plotą, kurį riboja funkcijų $y=1-x^(2)$ ir $y=0$ grafikai.

Raskime susikirtimo taškus. Norėdami tai padaryti, sulyginame dešiniąsias funkcijų puses.

Taigi $a=-1$ ir $b=1$. Nubraižykime šią išlenktą trapeciją.

Raskime šios lenktos trapecijos plotą.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (vnt.$^(2)$).

III tipas: figūros plotas, apribotas dviejų ištisinių neneigiamų funkcijų susikirtimo.Ši figūra nebus išlenkta trapecija, o tai reiškia, kad negalite apskaičiuoti jos ploto pagal formulę (*). Kaip būti? Pasirodo, šio paveikslo plotą galima rasti kaip skirtumą tarp kreivių trapecijos plotų, apribotų viršutinės funkcijos ir $y=0$ ($S_(uf)$), ir žemesnė funkcija ir $y=0$ ($S_(lf)$), kur $x=a, \ x=b$ vaidmenį atlieka šių funkcijų susikirtimo taškų $x$ koordinatės, t.y.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Skaičiuojant tokias sritis svarbiausia „nepraleisti“ pasirenkant viršutinę ir apatinę funkcijas.

Pavyzdžiui, raskite figūros plotą, kurį riboja funkcijos $y=x^(2)$ ir $y=x+6$.

Raskime šių grafikų susikirtimo taškus:

Pagal Vietos teoremą,

$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$

Tai yra $a=-2,\b=3$. Nubraižykime figūrą:

Taigi viršutinė funkcija yra $y=x+6$, o apatinė – $y=x^(2)$. Tada randame $S_(uf)$ ir $S_(lf)$, naudodami formulę (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\kairė.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (vnt.$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (vnt.$^(2)$).

Pakeiskime tai, ką radome, į (**) ir gaukime:

$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (vnt.$^(2)$).

IV tipas: figūros sritis, ribota funkcija s), kurie neatitinka neneigiamumo sąlygos. Norėdami rasti tokios figūros plotą, turite būti simetriški $Ox$ ašies atžvilgiu ( kitaip tariant, prieš funkcijas įdėkite „minusus“) parodykite plotą ir, naudodami I – III tipuose aprašytus metodus, raskite rodomos srities plotą. Ši sritis bus reikalinga. Pirmiausia gali tekti rasti funkcijų grafikų susikirtimo taškus.

Pavyzdžiui, raskite figūros plotą, kurį riboja funkcijų $y=x^(2)-1$ ir $y=0$ grafikai.

Raskime funkcijų grafikų susikirtimo taškus:

tie. $a=-1$ ir $b=1$. Nubraižykime plotą.

Pavaizduokime sritį simetriškai:

$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Rightrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Rezultatas yra kreivinė trapecija, kurią riboja funkcijos $y=1-x^(2)$ ir $y=0$ grafikas. Tai yra problema ieškant antrojo tipo išlenktos trapecijos. Jau išsprendėme. Atsakymas buvo toks: $S= 1\frac(1)(3)$ (vienetai $^(2)$). Tai reiškia, kad reikiamos kreivinės trapecijos plotas yra lygus:

$S=1\frac(1)(3)$ (vnt.$^(2)$).